Matemaatikas on igal tegevusel oma vastandpaar - sisuliselt on see üks Hegeli dialektikaseaduse ilminguid: "vastandite ühtsus ja võitlus". Sellise “paari” üks tegevustest on suunatud arvu suurendamisele ja teine, vastupidine, on vähenemine. Näiteks liitmisele vastandlik tegevus on lahutamine ja jagamine korrutamisele. Võimuks tõstmisel on ka oma dialektiline vastand. See puudutab juurte ekstraheerimist.

Sellise ja sellise astme juure eraldamine arvust tähendab arvutamist, milline arv tuleb tõsta vastava astmeni, et selle arvuni jõuda. Kahel kraadil on oma eraldi nimed: teist kraadi nimetatakse "ruuduks" ja kolmandaks - "kuubiks". Sellest lähtuvalt on meeldiv nimetada nende jõudude juuri ruutjuureks ja kuupjuureks. Kuubijuurtega toimingud on omaette arutelu teema, kuid nüüd räägime liitmisest ruutjuured.

Alustame sellest, et mõnel juhul on lihtsam kõigepealt ruutjuured välja võtta ja seejärel tulemused lisada. Oletame, et peame leidma sellise avaldise väärtuse:

Lõppude lõpuks pole sugugi keeruline arvutada, et 16 ruutjuur on 4 ja 121 ruutjuur on 11. Seetõttu

√16+√121=4+11=15

See on aga kõige lihtsam juhtum - siin räägitakse täisruutudest, s.t. arvude kohta, mis saadakse täisarvude ruudustamisel. Kuid see ei ole alati nii. Näiteks arv 24 ei ole täiuslik ruut (te ei leia täisarvu, mille teise astmeni tõstmisel oleks tulemuseks 24). Sama kehtib ka sellise arvu kohta nagu 54 ... Mis siis, kui peame nende arvude ruutjuured liitma?

Sel juhul saame vastuseks mitte arvu, vaid teise avaldise. Maksimaalne, mida me siin teha saame, on algset väljendit nii palju kui võimalik lihtsustada. Selleks peate ruutjuure alt välja võtma tegurid. Vaatame, kuidas seda tehakse, kasutades näitena mainitud numbreid:

Alustuseks faktoriseerime 24 – nii, et ühte neist saab hõlpsasti võtta ruutjuurena (st nii, et see on täisruut). Seal on selline arv - see on 4:

Nüüd teeme sama 54-ga. Selle koosseisus on see arv 9:

Seega saame järgmise:

√24+√54=√(4*6)+ √(9*6)

Nüüd eraldame juured sellest, millest saame need eraldada: 2*√6+3*√6

Siin on ühine tegur, mille saame sulgudest välja võtta:

(2+3)* √6=5*√6

See on lisamise tulemus - siin ei saa midagi muud välja tõmmata.

Tõsi, võite kasutada kalkulaatorit - tulemus on siiski ligikaudne ja suure arvu komakohtadega:

√6=2,449489742783178

Järk-järgult ümardades saame ligikaudu 2,5. Kui soovime siiski viia eelmise näite lahenduse loogilisele järeldusele, saame selle tulemuse korrutada 5-ga – saame 12,5. Selliste algandmetega täpsemat tulemust saada ei saa.

Tere kiisud! Eelmisel korral analüüsisime üksikasjalikult, mis on juured (kui te ei mäleta, soovitan lugeda). Selle õppetunni peamine järeldus: juurtel on ainult üks universaalne määratlus, mida peate teadma. Ülejäänu on jama ja ajaraisk.

Täna läheme kaugemale. Õpime korrutama juuri, uurime mõningaid korrutamisega seotud ülesandeid (kui need ülesanded ei lahene, võivad need eksamil saatuslikuks saada) ja harjutame korralikult. Nii et varuge popkorni, tehke end mugavalt - ja me alustame. :)

Sa pole veel suitsetanud, eks?

Tund osutus üsna mahukaks, nii et jagasin selle kaheks osaks:

1. Esiteks vaatame korrutamise reegleid. Näib, et kork vihjab: see on siis, kui on kaks juurt, nende vahel on märk "korruta" - ja me tahame sellega midagi ette võtta.
2. Seejärel analüüsime vastupidist olukorda: on üks suur juur ja me olime kannatamatud esitama seda kahe juure produktina lihtsamal viisil. Millise ehmatusega see vajalik on, on omaette küsimus. Analüüsime ainult algoritmi.

Need, kes ei jõua ära oodata, et kohe 2. osasse hüpata, olete teretulnud. Alustame ülejäänud järjekorras.

Põhiline korrutamisreegel

Alustame kõige lihtsamast - klassikalistest ruutjuurtest. Need, mida tähistatakse $\sqrt(a)$ ja $\sqrt(b)$. Nende jaoks on üldiselt kõik selge:

korrutamisreegel. Ruutjuure korrutamiseks teisega peate lihtsalt korrutama nende radikaalavaldised ja kirjutama tulemuse ühise radikaali alla:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Paremal ega vasakul olevatele numbritele lisapiiranguid ei seata: kui kordaja juured on olemas, siis on olemas ka korrutis.

Näited. Vaatleme korraga nelja näidet numbritega:

\[\begin(joonda) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(joonda)\]

Nagu näete, on selle reegli peamine tähendus irratsionaalsete väljendite lihtsustamine. Ja kui esimeses näites oleksime juured 25-st ja 4-st välja võtnud ilma uute reegliteta, siis algab tina: $\sqrt(32)$ ja $\sqrt(2)$ ei loe iseenesest, vaid nende korrutis osutub täpseks ruuduks, seega on selle juur võrdne ratsionaalarvuga.

Eraldi tahaksin märkida viimast rida. Seal on mõlemad radikaalsed avaldised murrud. Tänu tootele kummuvad paljud tegurid ja kogu avaldis muutub piisavaks arvuks.

Muidugi ei jää kõik alati nii ilusaks. Mõnikord on juurte all täielik jama - pole selge, mida sellega teha ja kuidas pärast korrutamist teisendada. Veidi hiljem, kui õppima asud irratsionaalsed võrrandid ja ebavõrdsused, on üldiselt igasuguseid muutujaid ja funktsioone. Ja väga sageli loodavad probleemide koostajad lihtsalt sellele, et leiate mõned lepingutingimused või tegurid, mille järel ülesanne on oluliselt lihtsam.

Lisaks pole vaja täpselt kahte juuri korrutada. Korrutada saab kolm korraga, neli - jah isegi kümme! See reeglit ei muuda. Vaata:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(joonda)\]

Ja jälle väike märkus teise näite kohta. Nagu näete, on kolmandas kordajas juure all kümnendmurd - arvutuste käigus asendame selle tavalisega, mille järel kõike on lihtne vähendada. Niisiis: soovitan tungivalt vabaneda kümnendmurdudest kõigis irratsionaalsetes avaldistes (see tähendab, et need sisaldavad vähemalt ühte radikaalikooni). See säästab tulevikus palju aega ja närve.

Aga see oli lüüriline kõrvalepõige. Vaatleme nüüd üldisemat juhtumit - kui juureksponent sisaldab suvalist arvu $n$, mitte ainult "klassikalist" kahte.

Suvalise näitaja juhtum

Niisiis, me arvasime välja ruutjuured. Ja mida teha kuubikutega? Või üldiselt suvalise $n$ astme juurtega? Jah, kõik on sama. Reegel jääb samaks:

Kahe $n$ astme juure korrutamiseks piisab nende radikaalavaldiste korrutamisest, mille järel kirjutatakse tulemus ühe radikaali alla.

Üldiselt pole midagi keerulist. Välja arvatud juhul, kui arvutuste maht võib olla suurem. Vaatame paari näidet:

Näited. Arvutage tooteid:

\[\begin(joona) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac((4)^(3)))(((25)^(3 ))))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(joonda)\]

Ja jälle tähelepanu teisele väljendile. Korrutame kuupjuured, vabaneme kümnendmurd ja selle tulemusena saame nimetaja arvude 625 ja 25 korrutise. suur number- Isiklikult ei mõtle ma kohe, millega see võrdub.

Seetõttu valisime lugejas ja nimetajas lihtsalt täpse kuubiku ning seejärel kasutasime $n$-nda astme juure ühte võtmeomadust (või, kui soovite, definitsiooni):

\[\begin(joonda) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a\right|. \\ \end(joonda)\]

Sellised "pettused" võivad säästa palju aega eksamil või kontrolltööd nii et pidage meeles:

Ärge kiirustage radikaalavaldises olevaid numbreid korrutama. Esiteks kontrollige: mis siis, kui mis tahes väljendi täpne aste on seal "krüpteeritud"?

Arvestades selle märkuse ilmselgust, pean tunnistama, et enamik ettevalmistamata õpilasi ei näe täpseid kraade. Selle asemel korrutavad nad kõike, mis ette tuleb, ja siis imestavad: miks nad said nii jõhkraid numbreid? :)

See kõik on aga lapsemäng võrreldes sellega, mida me praegu uurime.

Juurte korrutamine erinevate astendajatega

Noh, nüüd saame korrutada juured samade eksponenditega. Mis siis, kui hinded on erinevad? Ütle, kuidas korrutada tavaline $\sqrt(2)$ sellise jamaga nagu $\sqrt(23)$? Kas seda on üldse võimalik teha?

Jah, muidugi saate. Kõik tehakse järgmise valemi järgi:

Juurte korrutamise reegel. $\sqrt[n](a)$ korrutamiseks $\sqrt[p](b)$-ga tehke lihtsalt järgmine teisendus:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

See valem töötab aga ainult siis, kui radikaalsed väljendid on mittenegatiivsed. See on väga oluline märkus, mille juurde tuleme veidi hiljem tagasi.

Praegu vaatame paari näidet:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(joonda)\]

Nagu näete, pole midagi keerulist. Nüüd mõtleme välja, kust tuli mittenegatiivsuse nõue ja mis juhtub, kui me seda rikume. :)

Juurte paljundamine on lihtne.

Miks peavad radikaalsed väljendid olema mittenegatiivsed?

Muidugi võite muutuda nagu kooliõpetajateks ja tsiteerida nutika pilguga õpikut:

Mittenegatiivsuse nõue on seotud paaris- ja paarituastme juurte erinevate definitsioonidega (vastavalt on ka nende määratlusvaldkonnad erinevad).

No sai selgemaks? Isiklikult 8. klassis seda jama lugedes sain enda jaoks aru umbes nii: “Mitteegatiivsuse nõue on seotud *#&^@(*#@^#)~%” - ühesõnaga ma ma ei saanud tol ajal jamast aru. :)

Nii et nüüd selgitan kõike tavalisel viisil.

Kõigepealt uurime, kust pärineb ülaltoodud korrutamisvalem. Selleks tuletan teile meelde juure ühte olulist omadust:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Teisisõnu, juuravaldise võime julgelt tõsta suvalise loomuliku astmeni $k$ – sel juhul tuleb juurindeks sama astmega korrutada. Seetõttu saame hõlpsalt taandada kõik juured ühiseks näitajaks, mille järel me korrutame. Siit pärineb korrutusvalem:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Kuid on üks probleem, mis piirab tõsiselt kõigi nende valemite rakendamist. Mõelge sellele numbrile:

Äsja antud valemi järgi saame lisada mis tahes kraadi. Proovime lisada $k=2$:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Miinuse eemaldasime just seetõttu, et ruut põletab miinuse (nagu iga teine ​​paariskraad). Ja nüüd teostame pöördteisendust: "vähendame" kahte eksponendis ja astmes. Lõppude lõpuks saab iga võrdsust lugeda nii vasakult paremale kui ka paremalt vasakule:

\[\begin(joona) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Paremnool \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](a); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Paremnool \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(joonda)\]

Siis aga juhtub midagi hullu:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

See ei saa olla tingitud sellest, et $\sqrt(-5) \lt 0$ ja $\sqrt(5) \gt 0$. Seega ühtlaste jõudude ja negatiivsed arvud meie valem enam ei tööta. Pärast seda on meil kaks võimalust:

1. Võidelda vastu seina, et väita, et matemaatika on rumal teadus, kus “on mingid reeglid, aga see on ebatäpne”;
2. Kehtestage täiendavaid piiranguid, mille alusel valem muutub 100% toimivaks.

Esimeses variandis peame pidevalt tabama "mittetöötavaid" juhtumeid - see on keeruline, pikk ja üldiselt fu. Seetõttu eelistasid matemaatikud teist võimalust. :)

Aga ära muretse! Praktikas see piirang arvutusi kuidagi ei mõjuta, sest kõik kirjeldatud probleemid puudutavad vaid paaritu astme juuri ja neist saab miinuseid välja võtta.

Seetõttu sõnastame veel ühe reegli, mis kehtib üldiselt kõigi juurtega toimingute kohta:

Enne juurte korrutamist veenduge, et radikaalavaldised ei oleks negatiivsed.

Näide. Numbris $\sqrt(-5)$ saate juuremärgi alt miinuse välja võtta - siis on kõik korras:

\[\begin(joonda) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Paremnool \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(joonda)\]

Kas tunnete erinevust? Kui jätta juure alla miinus, siis radikaalavaldise ruudustamisel see kaob ja hakkab jama. Ja kui võtate kõigepealt välja miinuse, siis võite isegi ruutu tõsta / eemaldada, kuni olete näost siniseks muutunud - arv jääb negatiivseks. :)

Seega on kõige õigem ja usaldusväärsem viis juurte paljundamiseks järgmine:

1. Eemaldage radikaalide alt kõik miinused. Miinused on ainult paaritu paljususe juurtes - neid saab asetada juure ette ja vajadusel vähendada (näiteks kui neid miinuseid on kaks).
2. Tehke korrutamine vastavalt ülaltoodud reeglitele, millest tänases tunnis räägiti. Kui juurte indeksid on samad, korrutage lihtsalt juuravaldised. Ja kui need on erinevad, kasutame kurja valemit \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. 3. Naudime tulemust ja häid hindeid. :)

Noh? Kas harjutame?

Näide 1. Lihtsustage väljendit:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=-\ sqrt(64)=-4; \end(joonda)\]

See on kõige lihtsam variant: juurte näitajad on samad ja paaritud, probleem on ainult teise kordaja miinuses. Me talume seda miinus nafigu, pärast mida kõike on lihtne kaaluda.

Näide 2. Lihtsusta väljendit:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( joondada)\]

Siin oleks paljudes segaduses asjaolu, et väljund osutus irratsionaalseks arvuks. Jah, see juhtub: me ei saanud juurtest täielikult lahti, kuid vähemalt lihtsustasime väljendit oluliselt.

Näide 3. Lihtsusta väljendit:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left(((() a)^(4)) \parem))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(joonda)\]

Sellele tahaksin teie tähelepanu juhtida. Siin on kaks punkti:

1. Juure all ei ole konkreetne arv või aste, vaid muutuja $a$. Esmapilgul on see pisut ebatavaline, kuid tegelikkuses lahendades matemaatika ülesandeid enamasti peate tegelema muutujatega.
2. Lõpuks õnnestus meil radikaalavaldises juureksponenti ja kraadi "vähendada". Seda juhtub üsna sageli. Ja see tähendab, et kui te ei kasuta põhivalemit, oli võimalik arvutusi oluliselt lihtsustada.

Näiteks võite teha järgmist.

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^() 4)) \parem))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \ \end(joonda)\]

Tegelikult viidi kõik teisendused läbi ainult teise radikaaliga. Ja kui te ei värvi üksikasjalikult kõiki vaheetappe, siis lõpuks väheneb arvutuste hulk oluliselt.

Tegelikult oleme sarnase ülesandega juba eespool $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$ näite lahendamisel kokku puutunud. Nüüd saab seda palju lihtsamalt kirjutada:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(joonda)\]

Noh, me mõtlesime juurte korrutamise välja. Mõelge nüüd pöördtehtele: mida teha, kui juure all on töö?

Matemaatikas võivad juured olla ruut-, kuup- või mõne muu astendajaga (astmega), mis kirjutatakse vasakule juuremärgi kohale. Juuremärgi all olevat avaldist nimetatakse juuravaldiseks. Juurte lisamine sarnaneb algebralise avaldise terminite lisamisega, see tähendab, et see nõuab sarnaste juurte defineerimist.

Sammud

1. osa 2-st: juurte leidmine

Juuretähistus. Juuremärgi () all olev avaldis tähendab, et sellest avaldisest on vaja eraldada teatud astme juur.

• Juur on tähistatud märgiga.
• Juure indeks (kraad) kirjutatakse vasakule juuremärgi kohale. Näiteks 27 kuupjuur on kirjutatud järgmiselt: (27)
• Kui juure astendaja (aste) puudub, loetakse astendaja võrdseks 2-ga, see tähendab, et see on ruutjuur (või teise astme juur).
• Juuremärgi ette kirjutatud arvu nimetatakse kordajaks (see tähendab, et see arv korrutatakse juurega), näiteks 5 (2)
• Kui juure ees ei ole tegurit, siis on see võrdne 1-ga (tuletage meelde, et iga arv, mis on korrutatud 1-ga, võrdub iseendaga).
• Kui töötate juurtega esimest korda, tehke vastavad märkmed juure kordaja ja eksponendi kohta, et mitte segadusse sattuda ja nende eesmärki paremini mõista.

Pidage meeles, milliseid juuri saab voltida ja milliseid mitte. Nii nagu avaldisele ei saa lisada erinevaid termineid, nagu 2a + 2b 4ab, ei saa ka lisada erinevaid juuri.

Te ei saa lisada juuri erinevate juuravaldistega, näiteks (2) + (3) (5). Kuid võite lisada numbreid sama juure alla, näiteks (2 + 3) = (5) (2 ruutjuur on ligikaudu 1,414, 3 ruutjuur ligikaudu 1,732 ja 5 ruutjuur ligikaudu 2,236 ).

Te ei saa lisada juuri samade radikaalsete väljenditega, kuid erinevad näitajad, näiteks (64) + (64) (see summa ei ole võrdne (64), sest 64 ruutjuur on 8, kuupjuur 64 on 4, 8 + 4 = 12, mis on palju suurem kui 64 viies juur, mis on ligikaudu võrdne 2,297-ga).

2. osa 2-st: juurte lihtsustamine ja lisamine

Tuvastage ja rühmitage sarnased juured. Sarnased juured on juured, millel on samad eksponendid ja samad juuravaldised. Näiteks kaaluge väljendit:
2 (3) + (81) + 2 (50) + (32) + 6 (3)

• Esmalt kirjuta avaldis ümber nii, et sama eksponendiga juured oleksid jadas.
  2 (3) + 2 (50) + (32) + 6 (3) + (81)
• Seejärel kirjuta avaldis ümber nii, et sama astendaja ja sama juuravaldisega juured oleksid jadas.
  2 (50) + (32) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Lihtsustage oma juuri. Selleks lagundage (võimaluse korral) radikaalavaldised kaheks teguriks, millest üks võetakse juure alt välja. Sel juhul renderdatud arv ja juurtegur korrutatakse.

Ülaltoodud näites tehke 50 2*25-ks ja number 32 2*16-ks. 25-st ja 16-st saate välja võtta ruutjuured (vastavalt 5 ja 4) ning võtta juure alt välja 5 ja 4, korrutades need vastavalt teguritega 2 ja 1. Nii saate lihtsustatud avaldise: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Arvu 81 saab arvestada 3 * 27-ga ja kuupjuure 3 saab võtta arvust 27. Selle numbri 3 saab juure alt välja võtta. Seega saate veelgi lihtsustatud avaldise: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + 3 (3)

Lisage sarnaste juurte tegurid. Meie näites on sarnased ruutjuured 2 (neid saab lisada) ja sarnased ruutjuured 3 (neid saab ka lisada). Kuupjuurel 3 pole selliseid juuri.

10 (2) + 4 (2) = 14 (2).

2 (3)+ 6 (3) = 8 (3).

Lõplik lihtsustatud avaldis: 14 (2) + 8 (3) + 3 (3)

• Üldtunnustatud reeglid avaldises juurte kirjutamise järjekorra kohta puuduvad. Seetõttu saate juured kirjutada nende eksponentide ja radikaalavaldiste kasvavas järjekorras.

Tähelepanu, ainult TÄNA!

Kõik huvitav

Arv, mis on juuremärgi all, segab sageli võrrandi lahendamist, sellega on ebamugav töötada. Isegi kui see on tõstetud astmeni, murdosa või seda ei saa teatud määral esitada täisarvuna, võib proovida selle tuletada …

Arvu x juur on arv, mis juure astmeni tõstmisel võrdub x-ga. Kordaja on korrutatav arv. See tähendab, et avaldises nagu x*ª-&radic-y peate juure alla lisama x. Juhend 1 Määrake kraad ...

Kui juuravaldis sisaldab hulka matemaatilised tehted muutujatega, mõnikord on selle lihtsustamise tulemusena võimalik saada suhteliselt lihtne väärtus, millest osa saab juure alt välja võtta. See lihtsustus on kasulik...

Erineva astme juurtega aritmeetilised tehted võivad füüsikas ja tehnoloogias arvutusi oluliselt lihtsustada ja täpsemaks muuta. Korrutamisel ja jagamisel on mugavam mitte võtta igast tegurist ega dividendist ja jagajast juur, vaid kõigepealt ...

Arvu x ruutjuur on arv a, mis endaga korrutades annab arvu x: a * a = a^2 = x, x = a. Nagu iga arvu puhul, saate ruutjuurtega teha liitmise ja lahutamise aritmeetilisi tehteid. Juhend...

Matemaatikas võib juurel olla kaks tähendust: see on aritmeetiline tehe ja iga võrrandi lahend, algebraline, parameetriline, diferentsiaal või mis tahes muu. Juhend 1Arvu a n-nda astme juur on selline arv, mis ...

Erinevaid aritmeetilisi tehteid juurtega sooritades on sageli vaja osata radikaalavaldisi teisendada. Arvutuste lihtsustamiseks võib osutuda vajalikuks faktor radikaali märgist välja võtta või selle alla panna. See toiming võib...

Juur on ikoon, mis tähistab sellise arvu leidmise matemaatilist operatsiooni, mille tõstmine enne juuremärki näidatud astmeni peaks andma just selle märgi all näidatud numbri. Sageli selleks, et lahendada probleeme, milles on ...

Juur-sisselogimine matemaatikateadused nimetatakse juurte sümboliks. Juuremärgi all olevat arvu nimetatakse radikaalavaldisteks. Eksponenti puudumisel on juur ruut, vastasel juhul näitab joonis ...

Aritmeetika n-nda juur astmeid reaalarvust a nimetatakse selliseks mittenegatiivseks arvuks x, n-s võimsus mis on võrdne arvuga a. Need. (n) a = x, x^n = a. Aritmeetilise juure ja ratsionaalarvu lisamiseks on erinevaid viise.…

Reaalarvu a n-s juur on arv b, mille puhul on tõene võrdus b^n = a. Juured mitte ühtlane aste eksisteerivad negatiivsete ja positiivsete arvude jaoks ning isegi juured eksisteerivad ainult positiivsete arvude jaoks.…

Sisu:

Matemaatikas võivad juured olla ruut-, kuup- või mõne muu astendajaga (astmega), mis kirjutatakse vasakule juuremärgi kohale. Juuremärgi all olevat avaldist nimetatakse juuravaldiseks. Juurte lisamine sarnaneb algebralise avaldise terminite lisamisega, see tähendab, et see nõuab sarnaste juurte defineerimist.

Sammud

1. osa Juurte leidmine

1. 1 Juuretähistus. Juuremärgi (√) all olev avaldis tähendab, et sellest avaldisest on vaja eraldada teatud astme juur.
   • Juure tähistatakse märgiga √.
   • Juure indeks (kraad) kirjutatakse vasakule juuremärgi kohale. Näiteks 27 kuupjuur on kirjutatud järgmiselt: 3 √(27)
   • Kui juure astendaja (aste) puudub, loetakse astendaja võrdseks 2-ga, see tähendab, et see on ruutjuur (või teise astme juur).
   • Juuremärgi ette kirjutatud arvu nimetatakse teguriks (st see arv korrutatakse juurega), näiteks 5√ (2)
   • Kui juure ees ei ole tegurit, siis on see võrdne 1-ga (tuletage meelde, et iga arv, mis on korrutatud 1-ga, võrdub iseendaga).
   • Kui töötate juurtega esimest korda, tehke vastavad märkmed juure kordaja ja eksponendi kohta, et mitte segadusse sattuda ja nende eesmärki paremini mõista.
2. 2 Pidage meeles, milliseid juuri saab voltida ja milliseid mitte. Nii nagu avaldisele ei saa lisada erinevaid termineid, näiteks 2a + 2b ≠ 4ab, ei saa lisada ka erinevaid juuri.
   • Erinevate radikaalavaldistega juuri ei saa lisada, näiteks √(2) + √(3) ≠ √(5). Kuid võite lisada arvud sama juure alla, näiteks √(2 + 3) = √(5) (2 ruutjuur on umbes 1,414, 3 ruutjuur on umbes 1,732 ja 5 ruutjuur on umbes 2.236) .
   • Sa ei saa lisada juure samade juuravaldistega, vaid erinevate astendajatega, näiteks √ (64) + 3 √ (64) (see summa ei võrdu 5 √ (64), kuna 64 ruutjuur on 8, 64 kuupjuur on 4 , 8 + 4 = 12, mis on palju suurem kui 64 viies juur, mis on ligikaudu 2,297).

2. osa Juurte lihtsustamine ja lisamine

1. 1 Tuvastage ja rühmitage sarnased juured. Sarnased juured on juured, millel on samad eksponendid ja samad juuravaldised. Näiteks kaaluge väljendit:
   2√(3) + 3 √(81) + 2√(50) + √(32) + 6√(3)
   • Esmalt kirjuta avaldis ümber nii, et sama eksponendiga juured oleksid jadas.
     2√(3) + 2√(50) + √(32) + 6√(3) + 3 √(81)
   • Seejärel kirjuta avaldis ümber nii, et sama astendaja ja sama juuravaldisega juured oleksid jadas.
     2√(50) + √(32) + 2√(3) + 6√(3) + 3 √(81)
2. 2 Lihtsustage oma juuri. Selleks lagundage (võimaluse korral) radikaalavaldised kaheks teguriks, millest üks võetakse juure alt välja. Sel juhul renderdatud arv ja juurtegur korrutatakse.
   • Ülaltoodud näites tehke 50 2*25-ks ja number 32 2*16-ks. Alates 25 ja 16 võite võtta ruutjuured (vastavalt 5 ja 4) ning võtta juure alt välja 5 ja 4, korrutades need vastavalt teguritega 2 ja 1. Nii saate lihtsustatud avaldise: 10√(2) + 4√(2) + 2√(3) + 6√(3) + 3√(81)
   • Arvu 81 saab arvestada 3 * 27-ga ja kuupjuure 3 saab võtta arvust 27. Selle numbri 3 saab juure alt välja võtta. Seega saate veelgi lihtsustatud avaldise: 10√(2) + 4√(2) + 2√(3)+ 6√(3) + 3 3 √(3)
3. 3 Lisage sarnaste juurte tegurid. Meie näites on sarnased ruutjuured 2 (neid saab lisada) ja sarnased ruutjuured 3 (neid saab ka lisada). Kuupjuurel 3 pole selliseid juuri.
   • 10√(2) + 4√(2) = 14√(2).
   • 2√(3)+ 6√(3) = 8√(3).
   • Lõplik lihtsustatud avaldis: 14√(2) + 8√(3) + 3 3 √(3)

• Üldtunnustatud reeglid avaldises juurte kirjutamise järjekorra kohta puuduvad. Seetõttu saate juured kirjutada nende eksponentide ja radikaalavaldiste kasvavas järjekorras.

Juurte liitmine ja lahutamine- üks levinumaid "komistuskivisid" neile, kes võtavad keskkoolis matemaatika (algebra) kursuse. Nende õige liitmise ja lahutamise õppimine on aga väga oluline, sest näited juurte summa või erinevuse kohta sisalduvad Unified põhiprogrammis. Riigieksam erialal "matemaatika".

Selliste näidete lahenduse valdamiseks on teil vaja kahte asja - reeglite mõistmist ja praktikat. Olles lahendanud ühe või kaks tosinat tüüpilist näidet, viib õpilane selle oskuse automatismi ja siis pole tal eksamil midagi karta. Aritmeetiliste tehtete valdamist on soovitatav alustada liitmisest, sest nende liitmine on veidi lihtsam kui lahutamine.

Kõige lihtsam on seda selgitada ruutjuure näitega. Matemaatikas on väljakujunenud mõiste "ruut". "Ruut" tähendab kindla arvu endaga ühekordset korrutamist.. Näiteks kui panete ruutu 2, saate 4. Kui panete ruutu 7, saate 49. Ruut 9 on 81. Seega on 4 ruutjuur 2, 49 ruut on 7 ja 81 ruut on 9.

Selle teema õpetamine matemaatikas algab reeglina ruutjuurtest. Et see kohe kindlaks teha, õpilane Keskkool peab teadma peast korrutustabelit. Kes seda tabelit hästi ei tunne, peab kasutama vihjeid. Tavaliselt on arvust juurruudu eraldamise protsess toodud tabelina paljude kaantel kooli vihikud matemaatika.

Juured on järgmist tüüpi:

• ruut;
• kuubik (või nn kolmas aste);
• neljas aste;
• viies aste.

Lisamise reeglid

Tüüpinäite edukaks lahendamiseks tuleb arvestada, et mitte kõik juurarvud saab üksteisega virnastada. Et neid saaks kokku panna, tuleb need ühtseks mustriks viia. Kui see pole võimalik, pole probleemil lahendust. Selliseid probleeme leidub sageli ka matemaatikaõpikutes kui omamoodi lõksu õpilastele.

Lisamine ei ole ülesannetes lubatud, kui radikaalavaldised erinevad üksteisest. Seda saab illustreerida hea näide:

• õpilane seisab silmitsi ülesandega: liita ruutjuur 4-st ja 9-st;
• kogenematu õpilane, reeglite tundmine, kirjutab tavaliselt: "ruutjuur 4-st + juur 9-st \u003d juur 13-st."
• on väga lihtne tõestada, et selline lahendusviis on vale. Selleks tuleb leida ruutjuur 13-st ja kontrollida, kas näide on õigesti lahendatud;
• kasutades mikrokalkulaatorit, saate kindlaks teha, et see on ligikaudu 3,6. Nüüd jääb üle lahendust kontrollida;
• juur 4=2 ja 9=3;
• Kahe ja kolme summa on viis. Seega võib seda lahendusalgoritmi pidada valeks.

Kui juured on sama kraad, kuid erinevad numbrilised avaldised, võetakse see sulgudest välja ja sisestatakse sulud kahe radikaalavaldise summa. Seega on see sellest summast juba välja võetud.

Lisamise algoritm

Lihtsaima probleemi õigeks lahendamiseks on vaja:

1. Määrake, mis täpselt lisamist vajab.
2. Uurige, kas matemaatikas kehtivatest reeglitest juhindudes on võimalik üksteisele väärtusi lisada.
3. Kui neid ei saa lisada, peate need muutma nii, et neid saaks lisada.
4. Pärast kõigi vajalike teisenduste tegemist on vaja liita ja valmis vastus üles kirjutada. Lisamine võib toimuda mõtteliselt või kalkulaatoriga, olenevalt näite keerukusest.

Mis on sarnased juured

Lisanäite õigeks lahendamiseks tuleb ennekõike mõelda, kuidas seda lihtsustada. Selleks peavad teil olema algteadmised, mis on sarnasus.

Võimalus sarnaseid tuvastada aitab kiiresti lahendada sama tüüpi liitmisnäiteid, viies need lihtsustatud kujule. Tüüpilise lisamise näite lihtsustamiseks peate:

1. Leidke sarnased ja jagage need ühte rühma (või mitmesse rühma).
2. Kirjutage olemasolev näide ümber nii, et sama näitajaga juured järgneksid selgelt üksteisele (seda nimetatakse "rühmitamiseks").
3. Järgmiseks tuleks avaldis uuesti kirjutada, seekord nii, et sarnased (millel on sama indikaator ja sama tüvikuju) järgneksid ka üksteisele.

Pärast seda on lihtsustatud näidet tavaliselt lihtne lahendada.

Mis tahes liitmisnäite õigeks lahendamiseks peate selgelt mõistma liitmise põhireegleid ning teadma ka, mis on juur ja kuidas see juhtub.

Mõnikord tunduvad sellised ülesanded esmapilgul väga keerulised, kuid tavaliselt on need sarnased rühmitades hõlpsasti lahendatavad. Kõige tähtsam on harjutamine ja siis hakkab õpilane "ülesandeid nagu pähklid klõpsima". Juurte liitmine on matemaatika üks olulisemaid harusid, mistõttu peaksid õpetajad eraldama selle õppimiseks piisavalt aega.

Video

See video aitab teil ruutjuurtega võrrandeid mõista.