Selles õppetükis käsitleme üksikasjalikult funktsiooni y \u003d sin x, selle peamisi omadusi ja graafikut. Tunni alguses anname koordinaatringil trigonomeetrilise funktsiooni y \u003d sin t definitsiooni ning vaatleme funktsiooni graafikut ringil ja sirgel. Näitame graafikul selle funktsiooni perioodilisust ja vaatleme funktsiooni põhiomadusi. Tunni lõpus lahendame funktsiooni ja selle omaduste graafiku abil mõned lihtsad ülesanded.
Teema: Trigonomeetrilised funktsioonid
Õppetund: Funktsioon y=sinx, selle peamised omadused ja graafik
Funktsiooni kaalumisel on oluline seostada funktsiooni üks väärtus iga argumendi väärtusega. See kirjavahetuse seadus ja seda nimetatakse funktsiooniks.
Määratleme vastavusseaduse .
Iga reaalarv vastab ühikringi ühele punktile, millel on üks ordinaat, mida nimetatakse arvu siinuseks (joonis 1).
Igale argumendi väärtusele määratakse üks funktsiooni väärtus.
Siinuse definitsioonist tulenevad ilmsed omadused.
Joonis näitab seda 
sest on ühikringjoone punkti ordinaat.
Mõelge funktsioonigraafikule. Meenutagem argumendi geomeetrilist tõlgendust. Argumendiks on radiaanides mõõdetud kesknurk. Teljele joonistame reaalarvud või nurgad radiaanides piki telge vastavad funktsiooni väärtused.
Näiteks ühikringi nurk vastab graafiku punktile (joonis 2)
Saime saidil funktsiooni graafiku, kuid teades siinuse perioodi, saame kujutada funktsiooni graafikut kogu definitsioonipiirkonnas (joonis 3).
Funktsiooni põhiperiood on See tähendab, et graafiku saab saada segmendi kohta ja seejärel jätkata kogu määratluspiirkonnas.
Mõelge funktsiooni omadustele:
1) Määratluse valdkond:
2) Väärtuste vahemik: 
3) Funktsioon paaritu:
4) Väikseim positiivne periood:
5) Graafiku ja x-telje lõikepunktide koordinaadid: 
6) Graafiku ja y-telje lõikepunkti koordinaadid:
7) Intervallid, mille korral funktsioon võtab positiivseid väärtusi:
8) Intervallid, mille jooksul funktsioon võtab negatiivseid väärtusi:
9) intervallide suurendamine:
10) Kahanevad intervallid:
11) Madalad punktid: 
12) Minimaalsed omadused:
13) Kõrgpunktid: 
14) Maksimaalsed funktsioonid:
Oleme käsitlenud funktsiooni ja selle graafiku omadusi. Omadusi kasutatakse probleemide lahendamisel korduvalt.
Bibliograafia
1. Algebra ja analüüsi algus, hinne 10 (kahes osas). Õpik haridusasutustele ( profiili tase) toim. A. G. Mordkovitš. -M.: Mnemosyne, 2009.
2. Algebra ja analüüsi algus, hinne 10 (kahes osas). Ülesannete raamat haridusasutustele (profiilitasand), toim. A. G. Mordkovitš. -M.: Mnemosyne, 2007.
3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra ja matemaatiline analüüs klassile 10 ( õpetus matemaatika süvaõppega koolide ja klasside õpilastele).-M .: Haridus, 1996.
4. Galitski M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Sügav õppimine algebra ja matemaatiline analüüs.-M.: Haridus, 1997.
5. Matemaatikaülesannete kogu tehnikaülikooli sisseastujatele (M.I.Skanavi toimetamisel).-M.: Kõrgkool, 1992.a.
6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebratreener.-K.: A.S.K., 1997.
7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Algebra ülesanded ja analüüsi algus (käsiraamat üldharidusasutuste 10-11 klassi õpilastele).-M .: Haridus, 2003.
8. Karp A.P. Algebra ülesannete kogu ja analüüsi algus: õpik. toetus 10-11 rakule. sügavaga Uuring matemaatika.-M.: Haridus, 2006.
Kodutöö
Algebra ja analüüsi algus, 10. klass (kahes osas). Ülesannete raamat haridusasutustele (profiilitasand), toim.
A. G. Mordkovitš. -M.: Mnemosyne, 2007.
№№ 16.4, 16.5, 16.8.
Täiendavad veebiressursid
3. Haridusportaal eksamiteks valmistumiseks ().
Saime teada, et trigonomeetriliste funktsioonide käitumine ja funktsioonid y = sin x eriti, tervel arvureal (või argumendi kõigi väärtuste jaoks X) on täielikult määratud selle käitumisega intervallis 0 < X < π / 2 .
Seetõttu joonistame kõigepealt funktsiooni y = sin x täpselt selles intervallis.
Teeme järgmise oma funktsiooni väärtuste tabeli;
Märkides koordinaattasandile vastavad punktid ja ühendades need sujuva joonega, saame joonisel näidatud kõvera
Saadud kõvera saab koostada ka geomeetriliselt ilma funktsiooni väärtuste tabelit koostamata y = sin x .
1. Ringi raadiusega 1 esimene veerand on jagatud 8 võrdseks osaks.Ringjoone jaotuspunktide ordinaadid on vastavate nurkade siinused.
2. Ringjoone esimene veerand vastab nurkadele 0 kuni π / 2 . Seetõttu teljel X Võtke segment ja jagage see 8 võrdseks osaks.
3.Joonistame teljega paralleelsed sirged X, ja jagamispunktidest taastame ristid horisontaaljoontega ristumiskohale.
4. Ühendage ristumiskohad sujuva joonega.
Vaatame nüüd intervalli π /
2
<
X <
π
.
Iga argumendi väärtus X sellest intervallist saab esitada kui
x = π / 2 + φ
Kus 0 < φ < π / 2 . Reduktsioonivalemite järgi
patt ( π / 2 + φ ) = cos φ = patt ( π / 2 - φ ).
Telje punktid X abstsissiga π / 2 + φ Ja π / 2 - φ telje punkti suhtes sümmeetrilised X abstsissiga π / 2 , ja siinused nendes punktides on samad. See võimaldab teil saada funktsiooni graafiku y = sin x intervallil [ π / 2 , π ], kuvades lihtsalt sümmeetriliselt selle funktsiooni graafiku intervallis sirgjoone suhtes X = π / 2 .
Nüüd kinnisvara kasutuses paaritu funktsioon y \u003d sin x,
patt (- X) = -patt X,
seda funktsiooni on lihtne joonistada intervallisse [- π , 0].
Funktsioon y \u003d sin x on perioodiline perioodiga 2π ;. Seetõttu piisab selle funktsiooni kogu graafiku koostamiseks, kui jätkata joonisel näidatud kõverat perioodiliselt punktiga vasakule ja paremale. 2π .
Saadud kõverat nimetatakse sinusoid . See on funktsiooni graafik y = sin x.
Joonis illustreerib hästi kõiki neid funktsiooni omadusi y = sin x , mida oleme varem tõestanud. Tuletage meelde need omadused.
1) Funktsioon y = sin x määratletud kõigi väärtuste jaoks X , nii et selle domeen on kõigi reaalarvude hulk.
2) Funktsioon y = sin x piiratud. Kõik vajalikud väärtused on vahemikus -1 kuni 1, sealhulgas need kaks numbrit. Seetõttu määrab selle funktsiooni vahemiku ebavõrdsus -1 < juures < 1. Millal X = π / 2 + 2k π funktsioon võtab kõrgeimad väärtused, võrdub 1 ja x = - π / 2 + 2k π - väikseimad väärtused, võrdne -1.
3) Funktsioon y = sin x on paaritu (sinusoid on päritolu suhtes sümmeetriline).
4) Funktsioon y = sin x perioodiline perioodiga 2 π .
5) Intervallidega 2n π < x < π + 2n π (n on mis tahes täisarv) see on positiivne ja intervallides π + 2k π < X < 2π + 2k π (k on suvaline täisarv) see on negatiivne. Kui x = k π funktsioon läheb nulli. Seetõttu on need argumendi x väärtused (0; ± π ; ±2 π ; ...) nimetatakse funktsiooni nullideks y = sin x
6) intervallidega - π / 2 + 2n π < X < π / 2 + 2n π funktsiooni y = patt x suureneb monotoonselt ja intervallidega π / 2 + 2k π < X < 3π / 2 + 2k π see monotoonselt väheneb.
Pöörake erilist tähelepanu funktsiooni käitumisele y = sin x punkti lähedal X = 0 .
Näiteks sin 0,012 ≈ 0,012; sin(-0,05) ≈ -0,05;
sin2° = patt π 2 / 180 = patt π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.
Siiski tuleb märkida, et mis tahes x väärtuste puhul
| patt x| < | x | . (1)
Tõepoolest, olgu joonisel näidatud ringi raadius võrdne 1-ga,
a /
AOB = X.
Siis pattu x= AC. Aga AU< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол X. Selle kaare pikkus on ilmselt võrdne X, kuna ringi raadius on 1. Seega 0 puhul< X < π / 2
sin x< х.
Seega funktsiooni veidruse tõttu y = sin x on lihtne näidata, et kui - π / 2 < X < 0
| patt x| < | x | .
Lõpuks kl x = 0
| sin x | = | x |.
Seega | X | < π / 2 ebavõrdsus (1) on tõestatud. Tegelikult kehtib see ebavõrdsus ka | x | > π / 2 tingitud asjaolust, et | | patt X | < 1, a π / 2 > 1
Harjutused
1.Vastavalt talitlusgraafikule y = sin x määrake: a) sin 2; b) patt 4; c) patt (-3).
2. Ajakava funktsioon y = sin x
määrata, milline number intervallist
[ - π /
2 ,
π /
2
] siinus on võrdne: a) 0,6; b) -0,8.
3. Planeeritud funktsioon y = sin x
määrake, millistel arvudel on siinus,
võrdne 1/2-ga.
4. Leia ligikaudne (tabeleid kasutamata): a) sin 1°; b) sin 0,03;
c) sin (-0,015); d) sin (-2°30").
>>Matemaatika: funktsioonid y \u003d sin x, y \u003d cos x, nende omadused ja graafikud
Funktsioonid y \u003d sin x, y \u003d cos x, nende omadused ja graafikud
Selles jaotises käsitleme funktsioonide y = mõningaid omadusi sin x,y= cos x ja joonistage nende graafikud.
1. Funktsioon y \u003d sin X.
Eespool §-s 20 sõnastasime reegli, mis lubab iga arvu t seostada arvuga cos t, s.t. iseloomustas funktsiooni y = sin t. Märgime mõned selle omadused.
Funktsiooni u = sint omadused.
Määratluspiirkond on reaalarvude hulk K.
See tuleneb asjaolust, et suvaline arv 2 vastab arvuringi punktile M(1), millel on täpselt määratletud ordinaat; see ordinaat on cos t.
u = sin t on paaritu funktsioon.
See tuleneb asjaolust, et nagu oli tõendatud §-s 19, iga t võrdsus
See tähendab, et funktsiooni u \u003d sin t graafik, nagu iga paaritu funktsiooni graafik, on sümmeetriline lähtepunkti suhtes ristkülikukujuline süsteem koordinaadid tOi.
Funktsioon u = sin t suureneb intervallil 
See tuleneb asjaolust, et kui punkt liigub piki arvringi esimest veerandit, siis ordinaat järk-järgult suureneb (0-lt 1-le – vt joonis 115) ja kui punkt liigub mööda arvringi teist veerandit, suureneb ordinaat järk-järgult väheneb (1-lt 0-le – vt joonis 115). Joon 116).
Funktsioon u = sin t on piiratud nii alt kui ka ülalt. See tuleneb asjaolust, et nagu nägime §-s 19, iga t ebavõrdsus
(funktsioon jõuab selle väärtuseni vormi mis tahes punktis 
(funktsioon jõuab selle väärtuseni vormi mis tahes punktis
Saadud omadusi kasutades konstrueerime meid huvitava funktsiooni graafiku. Kuid (tähelepanu!) u - sin t asemel kirjutame y \u003d sin x (oleme ju rohkem harjunud kirjutama y \u003d f (x), mitte u \u003d f (t)). See tähendab, et me koostame graafiku tavalises koordinaatsüsteemis хОу (ja mitte tOy).
Teeme funktsiooni väärtuste tabeli - sin x:
Kommenteeri.
Siin on üks termini "sine" päritolu versioone. Ladina keeles tähendab sinus painutust (vibunööri).
Ehitatud graafik mingil määral õigustab seda terminoloogiat. 
Sirget, mis toimib funktsiooni y \u003d sin x graafikuna, nimetatakse sinusoidiks. Sinusoidi see osa, mis on näidatud joonisel fig. 118 või 119, nimetatakse siinuslaineks ja seda osa sinusoidist, mis on näidatud joonisel fig. 117 nimetatakse poollaineks või siinuslaine kaareks.
2. Funktsioon y = cos x.
Funktsiooni y \u003d cos x uurimist saab läbi viia ligikaudu sama skeemi järgi, mida kasutati ülal funktsiooni y \u003d sin x jaoks. Kuid me valime tee, mis viib eesmärgini kiiremini. Esiteks tõestame kahte valemit, mis on iseenesest olulised (seda näete keskkoolis), kuid millel on meie eesmärkidel seni vaid abiväärtus.
Mis tahes t väärtuse korral võrdsused
Tõestus. Vastagu arv t arvulise n ringi punktile M ja arv * + - punktile P (joonis 124; lihtsuse huvides võtsime punkti M esimesel veerandil). Kaared AM ja BP on vastavalt võrdsed ning ka täisnurksed kolmnurgad OKM ja OBP on võrdsed. Seega O K = Ob, MK = Pb. Nendest võrdsustest ning kolmnurkade OKM ja OLR asukohast koordinaatsüsteemis teeme kaks järeldust:
1) punkti P ordinaat nii absoluutväärtuses kui ka märgis langeb kokku punkti M abstsissiga; see tähendab et
2) punkti P abstsiss on absoluutväärtuselt võrdne punkti M ordinaadiga, kuid erineb sellest märgi poolest; see tähendab et
Ligikaudu sama arutluskäik viiakse läbi juhtudel, kui punkt M ei kuulu esimesse veerandisse.
Kasutame valemit 
(see on ülaltoodud valem, ainult muutuja t asemel kasutame muutujat x). Mida see valem meile annab? See võimaldab meil väita, et funktsioonid
on identsed, seega on nende graafikud samad.
Joonistame funktsiooni 
Selleks liigume edasi abikoordinaatide süsteemi, mille alguspunkt on punktis (punktiirjoon on joonistatud joonisel 125). Seostage funktsioon y \u003d sin x uus süsteem koordinaadid – see on funktsiooni graafik 
(joon. 125), s.o. funktsiooni y - cos x graafik. Seda, nagu funktsiooni y \u003d sin x graafikut, nimetatakse sinusoidiks (mis on üsna loomulik).
Funktsiooni y = cos x omadused.
y = cos x on paarisfunktsioon.
Ehituse etapid on näidatud joonisel fig. 126:
1) koostame funktsiooni y \u003d cos x graafiku (täpsemalt ühe poollaine);
2) venitades konstrueeritud graafiku x-teljelt koefitsiendiga 0,5, saame vajaliku graafiku ühe poollaine;
3) Saadud poollaine abil koostame funktsiooni y \u003d 0,5 cos x kogu graafiku.
|BD|- punktis tsentreeritud ringikaare pikkus A.
α
on radiaanides väljendatud nurk.
siinus ( sinα) – see trigonomeetriline funktsioon, sõltuvalt hüpotenuusi ja jala vahelisest nurgast α täisnurkne kolmnurk, võrdne suhtega vastasjala pikkus |BC| hüpotenuusi pikkuseni |AC|.
koosinus ( cosα) on trigonomeetriline funktsioon, mis sõltub täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi ja haru vahelisest nurgast α, mis on võrdne külgneva haru pikkuse suhtega |AB| hüpotenuusi pikkuseni |AC|.
Aktsepteeritud nimetused
;
;
.
;
;
.
Siinusfunktsiooni graafik, y = sin x
Koosinusfunktsiooni graafik, y = cos x
Siinuse ja koosinuse omadused
Perioodilisus
Funktsioonid y= sin x ja y= cos x perioodiline perioodiga 2 π.
Pariteet
Siinusfunktsioon on paaritu. Koosinusfunktsioon on paaris.
Määratluse ja väärtuste valdkond, äärmused, tõus, vähenemine
Funktsioonid siinus ja koosinus on pidevad oma definitsioonipiirkonnas, st kõigi x jaoks (vt pidevuse tõestust). Nende peamised omadused on toodud tabelis (n - täisarv).
| y= sin x | y= cos x | |
| Ulatus ja järjepidevus | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Väärtuste vahemik | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
| Kasvav | ||
| Langevad | ||
| Maksimum, y= 1 | ||
| Miinimum, y = - 1 | ||
| Nullid, y= 0 | ||
| Lõikepunktid y-teljega, x = 0 | y= 0 | y= 1 |
Põhivalemid
Siinuse ja koosinuse ruudu summa
Siinus- ja koosinusvalemid summa ja vahe jaoks
;
;
Siinuse ja koosinuse korrutise valemid
Summa ja vahe valemid
Siinuse väljendamine koosinuse kaudu
;
;
;
.
Koosinuse väljendamine siinuse kaudu
;
;
;
.
Väljend puutuja järgi
; .
Meil on:
;
.
aadressil:
;
.
Siinuste ja koosinuste, puutujate ja kotangentide tabel
See tabel näitab siinuste ja koosinuste väärtusi mõne argumendi väärtuse jaoks. 
Avaldised keeruliste muutujate kaudu
;
Euleri valem
Avaldised hüperboolsete funktsioonide järgi
;
;
Tuletised
; . Valemite tuletamine >>>
N-ndat järku tuletised:
{ -∞ <
x < +∞ }
Sekant, kosekant
Pöördfunktsioonid
Pöördfunktsioonid siinus ja koosinus on vastavalt arcsinus ja arkosinus.
Arksiin, arcsin
Arkosiin, arccos
Viited:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Matemaatika käsiraamat inseneridele ja kõrgkoolide üliõpilastele, Lan, 2009.
