A tizedes tört akkor használatos, ha nem egész számokkal kell műveleteket végrehajtani. Ez irracionálisnak tűnhet. De az ilyen típusú számok nagyban megkönnyítik a velük végrehajtandó matematikai műveleteket. Ez a megértés idővel jön, amikor az írásuk megszokottá válik, és nem okoz nehézséget az olvasás, elsajátítják a tizedestörtek szabályait. Sőt, minden, már ismert cselekvés megismétlődik, amelyeket természetes számokkal tanulunk meg. Csak emlékeznie kell néhány funkcióra.

Tizedes definíció

A decimális egy nem egész szám speciális ábrázolása, amelynek nevezője osztható 10-zel, és a válasz egy, esetleg nulla. Más szóval, ha a nevező 10, 100, 1000 és így tovább, kényelmesebb a számot vesszővel átírni. Ekkor az egész rész lesz előtte, majd a tört rész. Ezenkívül a szám második felének rekordja a nevezőtől függ. A törtrészben lévő számjegyek számának meg kell egyeznie a nevezővel.

A fentieket ezekkel a számokkal illusztrálhatjuk:

9/10=0,9; 178/10000=0,0178; 3,05; 56 003,7006.

A tizedesjegy használatának okai

A matematikusoknak több okból is szükségük volt tizedesjegyekre:

Egyszerűsítse a felvételt. Egy ilyen tört egy vonal mentén helyezkedik el anélkül, hogy a nevező és a számláló között kötőjel lenne, miközben az átlátszóság nem szenved.

Egyszerűség ehhez képest. Elég csak az azonos pozícióban lévő számokat korrelálni, míg a közönséges törtekkel közös nevezőre kellene hozni őket.

A számítások egyszerűsítése.

A számológépeket nem közönséges törtek bevezetésére tervezték, minden művelethez decimális jelölést használnak.

Hogyan kell helyesen olvasni az ilyen számokat?

A válasz egyszerű: csakúgy, mint egy közönséges vegyes szám, amelynek a nevezője 10 többszöröse. Az egyetlen kivétel az egész érték nélküli törtek, akkor olvasáskor azt kell mondani, hogy „nulla egész”.

Például a 45/1000-et így kell kiejteni negyvenöt ezrelék, míg a 0,045 úgy fog hangzani nulla pont negyvenöt ezredrész.

Vegyes számmal egész rész egyenlő 7-tel és 17/100 törtével, ami 7,17-nek lesz írva, mindkét esetben úgy lesz olvasható hét pont tizenhét század.

A számjegyek szerepe a törtek jelölésében

Igaz, hogy megjegyezzük a kisülést – ezt követeli meg a matematika. Tizedesjegyek jelentésük pedig jelentősen megváltozhat, ha rossz helyre írjuk be a számot. Ez azonban korábban is igaz volt.

A tizedes tört egész részének számjegyeinek olvasásához csak a természetes számokra ismert szabályokat kell használni. A jobb oldalon pedig tükröződnek és másképp olvashatók. Ha az egész részben "tízes" hangzott el, akkor a tizedesvessző után már "tizedes" lesz.

Ez jól látható ebből a táblázatból.

Tizedesjegyek táblázat

Osztály	ezrek			egységek			,	töredék
kisülés	száz	december.	egységek	száz	december.	egységek		tizedik	századik	ezredik	tízezredik

Hogyan írjunk fel vegyes számot tizedesjegyként?

Ha a nevező 10-nel vagy 100-zal egyenlő számot és másokat tartalmaz, akkor a tört tizedesjegyre való konvertálásának kérdése egyszerű. Ehhez elég az összes alkotórészt más módon átírni. A következő pontok segítenek ebben:

írd kicsit félre a tört számlálóját, ebben a pillanatban a tizedesvessző a jobb oldalon található, az utolsó számjegy után;

mozgassa a vesszőt balra, itt a legfontosabb a számok helyes számolása - annyi pozícióba kell mozgatnia, ahány nulla van a nevezőben;

ha nincs belőlük elég, akkor az üres helyeken nullák jelenjenek meg;

a számláló végén lévő nullák már nem szükségesek, és áthúzhatók;

a vessző elé adj egy egész részt, ha nem volt ott, akkor itt is megjelenik a nulla.

Figyelem. A más számokkal körülvett nullákat nem lehet áthúzni.

Arról, hogyan lehet olyan helyzetben, amikor a nevező nem csak egytől és nullától kezdve tartalmaz egy számot, hogyan lehet egy törtet tizedesre konvertálni, egy kicsit lejjebb olvashat. Ez egy fontos információ, amelyet feltétlenül el kell olvasnia.

Hogyan alakíthatunk át egy törtet tizedessé, ha a nevező tetszőleges szám?

Itt két lehetőség van:

Amikor a nevező olyan számként ábrázolható, amely bármely hatványhoz tíz.

Ha egy ilyen művelet nem végezhető el.

Hogyan ellenőrizhető? A nevezőt faktorizálni kell. Ha csak 2 és 5 van a szorzatban, akkor minden rendben van, és a tört könnyen átszámítható utolsó tizedesjegyre. Ellenkező esetben, ha 3, 7 és más prímszámok jelennek meg, akkor az eredmény végtelen lesz. Az ilyen tizedes törtet a matematikai műveletekben való könnyebb használhatóság érdekében kerekíteni szokás. Erről egy kicsit lejjebb lesz szó.

Az ilyen tizedes törtek előállítási módjának tanulmányozása, 5. osztály. A példák nagyon hasznosak lesznek itt.

Legyenek a nevezők számok: 40, 24 és 75. A prímtényezőkre való bontásuk a következő lesz:

• 40=2 2 2 5;
• 24=2 2 2 3;
• 75=5 5 3.

Ezekben a példákban csak az első tört ábrázolható végső törtként.

Algoritmus egy közönséges tört végső tizedesjegyre konvertálására

Ellenőrizzük a nevező prímtényezőkké alakítását, és győződjön meg arról, hogy 2-ből és 5-ből áll.

Adjunk hozzá annyi 2-t és 5-öt, hogy egyenlő számmá váljanak. Megadják a további szorzó értékét.

Szorozzuk meg a nevezőt és a számlálót ezzel a számmal. Az eredmény egy közönséges tört, amelynek sora alatt bizonyos mértékig 10 található.

Ha a feladatban ezeket a műveleteket vegyes számmal hajtjuk végre, akkor először nem megfelelő törtként kell ábrázolni. És csak ezután járjon el a leírt forgatókönyv szerint.

Közönséges tört ábrázolása kerekített tizedesjegyként

Ez a módszer a tört tizedesjegyre konvertálására még egyszerűbbnek tűnik valakinek. Mert nincs benne sok akció. Csak el kell osztania a számlálót a nevezővel.

Bármely számhoz, amelynek a tizedesponttól jobbra van egy tizedes része, végtelen számú nullát rendelhetünk. Ezt a tulajdonságot kell használni.

Először írja le az egész részt, és tegyen utána vesszőt. Ha a tört helyes, írjon nullát.

Ezután el kell végezni a számlálónak a nevezővel való osztását. Hogy azonos számú számjegyük legyen. Vagyis rendelje hozzá a szükséges számú nullát a számlálótól jobbra.

Hajtsa végre az osztást egy oszlopban, amíg a kívánt számjegyet be nem tárcsázza. Például, ha századokra kell felfelé kerekíteni, akkor a válaszban 3 legyen belőlük. Általában eggyel több számjegy legyen, mint amennyit a végén kapni kell.

A közbenső választ a tizedesvessző után rögzítse, és a szabályok szerint kerekítse. Ha az utolsó számjegy 0 és 4 között van, akkor csak el kell dobnia. És amikor 5-9, akkor az előtte lévőt eggyel növelni kell, az utolsót eldobva.

Visszatérés tizedesből a közönségesbe

A matematikában akkor vannak problémák, amikor kényelmesebb a tizedes törteket közönséges törtek formájában ábrázolni, amelyekben van egy nevezővel rendelkező számláló. Megkönnyebbülten fellélegezhet: ez a művelet mindig lehetséges.

Ehhez az eljáráshoz a következőket kell tennie:

írja le az egész részt, ha egyenlő nullával, akkor semmit sem kell írni;

rajzoljon egy törtvonalat;

fölé írd a jobb oldali számokat, ha az első nullák, akkor azokat át kell húzni;

a sor alá írjunk annyi nullát tartalmazó egységet, ahány számjegy van a tizedesvessző után az eredeti törtben.

Mindössze ennyit kell tennie a tizedes törtté alakításához.

Mit lehet kezdeni a tizedesjegyekkel?

A matematikában ezek bizonyos tizedes törtekkel végzett műveletek, amelyeket korábban más számokra hajtottak végre.

Ők:

összehasonlítás;

összeadás és kivonás;

szorzás és osztás.

Az első művelet, az összehasonlítás, hasonló ahhoz, ahogyan a természetes számok esetében történt. Annak meghatározásához, hogy melyik a nagyobb, össze kell hasonlítania az egész rész számjegyeit. Ha egyenlőnek bizonyulnak, akkor átváltanak a törtre, és azonos módon hasonlítják össze őket számjegyekkel. A legnagyobb számjegyet tartalmazó szám lesz a válasz.

Tizedesjegyek összeadása és kivonása

Talán ezek a legegyszerűbb lépések. Mert a természetes számokra vonatkozó szabályok szerint hajtják végre.



Tehát a tizedes törtek hozzáadásához ezeket egymás alá kell írni, vesszőt helyezve egy oszlopba. Egy ilyen rekordnál az egész számok a vesszők bal oldalán, a tört részek pedig a jobb oldalon jelennek meg. Most pedig apránként kell összeadnia a számokat, ahogyan a természetes számoknál is történik, a vesszőt lefelé mozgatva. Az összeadást a szám tört részének legkisebb számjegyétől kell kezdenie. Ha nincs elég szám a jobb felében, adjon hozzá nullákat.

A kivonás ugyanúgy működik. És itt érvényes a szabály, amely leírja annak lehetőségét, hogy a legmagasabb számjegyből vegyünk egységet. Ha a redukált törtnek a tizedesvessző után kevesebb számjegye van, mint a részrésznek, akkor a rendszer egyszerűen nullákat rendel hozzá.

Kicsit bonyolultabb a helyzet azokkal a feladatokkal, ahol tizedes törtek szorzását és osztását kell végrehajtani.

Hogyan lehet tizedes számot szorozni különböző példákban?

A tizedes törtek természetes számmal való szorzásának szabálya a következő:

írja le őket egy oszlopba, figyelmen kívül hagyva a vesszőt;

szaporodjanak, mintha természetesek lennének;

vesszővel válassza el annyi számjegyet, ahány az eredeti szám törtrészében volt.

Speciális eset egy olyan példa, amelyben egy természetes szám bármely hatványhoz egyenlő 10-zel. Ezután a válaszhoz csak annyi pozícióval kell jobbra mozgatnia a vesszőt, ahány nulla egy másik tényezőben. Más szóval, ha 10-zel szorozzuk, a vessző egy számjeggyel, 100-zal tolódik el - kettő lesz belőle, és így tovább. Ha nincs elég számjegy a tört részben, akkor üres helyekre nullákat kell írni.

A szabály, amelyet akkor használunk, amikor a feladatban meg kell szorozni a tizedes törteket egy másik azonos számmal:

írja le őket egymás alá, figyelmen kívül hagyva a vesszőket;

szorozzuk meg, mintha természetes számok lennének;

vesszővel válassza el annyi számjegyet, amennyi mindkét eredeti tört törtrészében együtt volt.

Különleges esetként olyan példákat különböztetünk meg, amelyekben az egyik tényező 0,1 vagy 0,01 és így tovább. Ezekben a vesszőt balra kell mozgatni a bemutatott tényezők számjegyeinek számával. Vagyis ha megszorozzuk 0,1-gyel, akkor a vessző egy pozícióval eltolódik.

Hogyan lehet tizedes törtet osztani a különböző feladatokban?

A tizedes törtek természetes számmal való osztása a következő szabály szerint történik:

írd le őket felosztás céljából egy oszlopba, mintha természetesek lennének;

osszuk el a szokásos szabály szerint, amíg az egész rész véget nem ér;

tegyen vesszőt a válaszba;

folytassa a törtkomponens elosztását, amíg a maradék nulla lesz;

szükség esetén hozzárendelheti a kívánt számú nullát.

Ha az egész rész egyenlő nullával, akkor az sem lesz benne a válaszban.

Külön-külön van egy felosztás tíz, száz stb. számokra. Ilyen problémák esetén a vesszőt balra kell mozgatni az osztó nulláinak számával. Előfordul, hogy nincs elég számjegy az egész részben, akkor helyette nullákat használnak. Látható, hogy ez a művelet hasonló a 0,1-gyel való szorzáshoz és hasonló számokhoz.

A tizedesjegyek felosztásához ezt a szabályt kell használnia:

alakítsuk az osztót természetes számmá, és ehhez mozgassuk a benne lévő vesszőt jobbra a végére;

mozgassa a vesszőt és az oszthatóban azonos számú számjegygel;

kövesse az előző forgatókönyvet.

A 0,1-gyel való osztás kiemelve; 0,01 és más hasonló számok. Ilyen példákban a vessző jobbra tolódik el a tört rész számjegyeinek számával. Ha ezek elmúltak, akkor hozzá kell rendelni a hiányzó nullák számát. Érdemes megjegyezni, hogy ez a művelet megismétli a 10-zel és hasonló számokkal való osztást.



Következtetés: minden a gyakorláson múlik

A tanulásban semmi sem könnyű vagy könnyed. Az új anyagok megbízható elsajátítása időt és gyakorlást igényel. A matematika sem kivétel.

Annak érdekében, hogy a tizedes törtek témája ne okozzon nehézséget, a lehető legtöbb példát kell megoldania velük. Hiszen volt idő, amikor a természetes számok összeadása zavaró volt. És most minden rendben van.

Ezért egy jól ismert mondatot átfogalmazva: dönts, dönts és dönts újra. Ezután az ilyen számokkal kapcsolatos feladatokat egyszerűen és természetesen hajtják végre, mint egy másik rejtvény.

A feladványokat egyébként eleinte nehéz megoldani, aztán meg kell tenni a szokásos mozdulatokat. Ugyanígy be matematikai példák: miután többször végigjárta ugyanazt az utat, akkor többé nem fog gondolkodni azon, hogy hova forduljon.

Az aritmetikában található sok tört közül különös figyelmet érdemelnek azok, amelyeknek nevezője 10, 100, 1000 - általában a tíz bármely hatványa. Ezeknek a törteknek külön neve és jelölése van.

A tizedes minden olyan szám, amelynek nevezője tíz hatványa.

Decimális példák:

Miért volt szükség egyáltalán az ilyen frakciók elkülönítésére? Miért van szükségük saját jelentkezési lapra? Ennek legalább három oka van:

1. A tizedesjegyeket sokkal könnyebb összehasonlítani. Ne feledje: a közönséges törtek összehasonlításához ki kell vonni őket egymástól, és különösen a törteket közös nevezőre kell hozni. A tizedes törtekben ezek egyike sem kötelező;
2. Számítások csökkentése. A tizedesjegyek a saját szabályaik szerint adnak össze és szoroznak, és egy kis gyakorlással sokkal gyorsabban fog tudni dolgozni velük, mint a közönségesekkel;
3. Könnyű rögzítés. A közönséges törtektől eltérően a tizedesjegyeket egy sorban írják az egyértelműség elvesztése nélkül.

A legtöbb számológép tizedesjegyben is ad választ. Egyes esetekben az eltérő felvételi formátum problémákat okozhat. Például mi van, ha 2/3 rubelt kérsz egy üzletben :)

A tizedes törtek írásának szabályai

A tizedes törtek fő előnye a kényelmes és vizuális jelölés. Ugyanis:

A decimális jelölés a decimális jelölés olyan formája, ahol az egész részt szabályos ponttal vagy vesszővel választják el a tört résztől. Ebben az esetben magát az elválasztót (pontot vagy vesszőt) tizedesvesszőnek nevezzük.

Például 0,3 (értsd: "nulla egész, 3 tized"); 7,25 (7 egész szám, 25 század); 3,049 (3 egész szám, 49 ezrelék). Minden példa az előző definícióból származik.

Írásban általában vesszőt használnak tizedesvesszőként. Itt és lent a vessző is használatos az egész oldalon.

Egy tetszőleges tizedes tört meghatározott formában történő írásához három egyszerű lépést kell követnie:

1. Írja ki külön a számlálót;
2. Tolja el a tizedesvesszőt balra annyi hellyel, ahány nulla van a nevezőben. Tegyük fel, hogy kezdetben a tizedesvessző az összes számjegytől jobbra van;
3. Ha a tizedesvessző eltolódott, és utána a rekord végén nullák vannak, azokat át kell húzni.

Előfordul, hogy a második lépésben a számlálónak nincs elég számjegye a váltás befejezéséhez. Ebben az esetben a hiányzó pozíciókat nullákkal töltjük ki. És általában tetszőleges számú nulla hozzárendelhető tetszőleges szám bal oldalán az egészség károsodása nélkül. Csúnya, de néha hasznos.

Első pillantásra ez az algoritmus meglehetősen bonyolultnak tűnhet. Valójában minden nagyon-nagyon egyszerű - csak gyakorolni kell egy kicsit. Vessen egy pillantást a példákra:

Feladat. Minden törtnél adja meg a tizedesjegyét:

Az első tört számlálója: 73. A tizedesvesszőt egy előjellel toljuk el (mivel a nevező 10) - 7,3-at kapunk.

A második tört számlálója: 9. A tizedesvesszőt két számjeggyel toljuk el (mivel a nevező 100) - 0,09-et kapunk. A tizedesvessző után egy nullát kellett hozzáadnom, előtte pedig még egyet, hogy ne maradjon furcsa jelölés, például „.09”.

A harmadik tört számlálója: 10029. A tizedesvesszőt három számjeggyel toljuk el (mivel a nevező 1000) - 10,029-et kapunk.

Az utolsó tört számlálója: 10500. Ismét eltoljuk a pontot három számjeggyel - 10.500-at kapunk. A szám végén plusz nullák találhatók. Áthúzzuk őket - 10,5-öt kapunk.

Ügyeljen az utolsó két példára: a 10,029 és 10,5 számokra. A szabályok szerint a jobb oldali nullákat át kell húzni, ahogy az az utolsó példában is történik. Ezt azonban semmi esetre sem szabad a számon belüli nullákkal (amelyeket más számjegyek vesznek körül). Ezért kaptunk 10,029-et és 10,5-öt, és nem 1,29-et és 1,5-öt.

Tehát kitaláltuk a tizedes törtek rögzítésének definícióját és formáját. Most megtudjuk, hogyan lehet a közönséges törteket tizedesjegyekké alakítani – és fordítva.

Váltás törtekről tizedesjegyekre

Tekintsük az a/b alak egyszerű numerikus törtét. Használhatja a tört alaptulajdonságát, és megszorozhatja a számlálót és a nevezőt olyan számmal, hogy tíz hatványt kapjon. Mielőtt azonban ezt megtenné, kérjük, olvassa el a következőket:

Vannak nevezők, amelyeket nem redukálunk tíz hatványára. Tanuld meg felismerni az ilyen törteket, mert az alábbiakban leírt algoritmus szerint nem lehet velük dolgozni.

Ez az. Nos, hogyan lehet megérteni, hogy a nevező tízes hatványra csökken-e vagy sem?

A válasz egyszerű: faktorizálja a nevezőt prímtényezőkké. Ha csak a 2-es és 5-ös tényező van jelen a bővítésben, akkor ez a szám tízes hatványra csökkenthető. Ha vannak más számok (3, 7, 11 - bármi), akkor elfelejtheti a tíz fokát.

Feladat. Ellenőrizze, hogy a megadott törtek tizedesjegyekként ábrázolhatók-e:

Ezeknek a törteknek a nevezőit kiírjuk és faktorizáljuk:

20 \u003d 4 5 \u003d 2 2 5 - csak a 2 és 5 számok vannak jelen, ezért a tört tizedesjegyként is ábrázolható.

12 \u003d 4 3 \u003d 2 2 3 - van egy "tiltott" tényező 3. A tört nem ábrázolható tizedesjegyként.

640 \u003d 8 8 10 \u003d 2 3 2 3 2 5 \u003d 2 7 5. Minden rendben van: nincs más, mint a 2-es és 5-ös szám. A tört tizedesjegyként jelenik meg.

48 \u003d 6 8 \u003d 2 3 2 3 \u003d 2 4 3. A 3-as tényező ismét „felszínre került”, nem ábrázolható tizedes törtként.

Tehát kitaláltuk a nevezőt - most megvizsgáljuk a tizedes törtekre váltás teljes algoritmusát:

1. Tényezősítse az eredeti tört nevezőjét, és győződjön meg arról, hogy általában tizedesként ábrázolható. Azok. ellenőrizze, hogy csak a 2. és 5. faktor szerepel-e a bővítésben, ellenkező esetben az algoritmus nem működik;
2. Számold meg hány kettős és ötös van jelen a felbontásban (nem lesz ott más szám, emlékszel?). Válasszunk olyan kiegészítő szorzót, hogy a kettesek és az ötösök száma egyenlő legyen.
3. Valójában az eredeti tört számlálóját és nevezőjét szorozzuk meg ezzel a tényezővel - megkapjuk a kívánt reprezentációt, pl. a nevező tíz hatványa lesz.

Természetesen a járulékos tényező is csak kettesre és ötösre bomlik le. Ugyanakkor, hogy ne bonyolítsa az életét, a lehető legkisebb tényezőt kell kiválasztania az összes lehetséges közül.

És még egy dolog: ha az eredeti törtben van egész rész, akkor ezt a törtet feltétlenül alakítsa át helytelenné - és csak ezután alkalmazza a leírt algoritmust.

Feladat. Alakítsa át ezeket a számokat tizedesjegyekké:

Tényezősítsük az első tört nevezőjét: 4 = 2 · 2 = 2 2 . Ezért egy tört tizedesjegyként ábrázolható. A bővítésben két kettes van, ötös nincs, így a további tényező 5 2 = 25. A kettesek és ötösök száma ezzel lesz egyenlő. Nekünk van:

Most foglalkozzunk a második törttel. Ehhez vegye figyelembe, hogy 24 \u003d 3 8 \u003d 3 2 3 - a bővítésben hármas van, így a tört nem ábrázolható tizedesjegyként.

Az utolsó két tört 5-ös (prímszám) és 20 = 4 5 = 2 2 5 nevezővel rendelkezik – mindenhol csak kettesek és ötösök vannak jelen. Ugyanakkor az első esetben a „teljes boldogsághoz” nincs elég 2-es szorzó, a másodikban pedig - 5. Kapjuk:

Váltás tizedesjegyről közönségesre

A fordított átalakítás - decimális jelölésről normálra - sokkal egyszerűbb. Nincsenek korlátozások és speciális ellenőrzések, így a tizedes törteket mindig klasszikus "kétszintessé" alakíthatja.

A fordítási algoritmus a következő:

1. Húzd át az összes nullát a tizedesjegy bal oldalán, valamint a tizedesvesszőt. Ez lesz a kívánt tört számlálója. A legfontosabb dolog - ne vigye túlzásba, és ne húzza ki a belső nullákat, amelyeket más számok vesznek körül;
2. Számolja ki, hogy a tizedesvessző után hány számjegy van az eredeti tizedes törtben! Vegyük az 1-es számot, és adjunk hozzá annyi nullát a jobb oldalhoz, ahány karaktert megszámoltuk. Ez lesz a nevező;
3. Tulajdonképpen írja fel azt a törtet, amelynek a számlálóját és a nevezőjét most találtuk. Lehetőleg csökkentse. Ha az eredeti törtben egész rész volt, akkor most egy nem megfelelő törtet kapunk, ami nagyon kényelmes a további számításokhoz.

Feladat. Tizedesjegyek átalakítása közönségessé: 0,008; 3,107; 2,25; 7,2008.

A bal oldali nullákat és a vesszőket áthúzzuk - a következő számokat kapjuk (ezek számlálók lesznek): 8; 3107; 225; 72008.

A tizedesvessző utáni első és második törtben 3 tizedesjegy található, a másodikban 2, a harmadikban pedig akár 4 tizedesjegy. Megkapjuk a nevezőket: 1000; 1000; 100; 10000.

Végül kombináljuk a számlálókat és a nevezőket közönséges törtekké:

Amint a példákból látható, a kapott frakció nagyon gyakran csökkenthető. Még egyszer megjegyzem, hogy bármely tizedes tört közönséges törtként ábrázolható. A fordított átalakítás nem mindig lehetséges.

törtszám.

Törtszám decimális jelölése egy két vagy több számjegy halmaza $0$ és $9$ között, amelyek között van az úgynevezett \textit (tizedesvessző).

1. példa

Például 35,02 USD; 100,7 USD; 123 USD \ 456,5 USD; 54,89 dollár.

Egy szám tizedesjegyének bal szélső számjegye nem lehet nulla, kivéve, ha a tizedesvessző közvetlenül a $0$ első számjegy után van.

2. példa

Például 0,357 USD; 0,064 USD.

A tizedesvesszőt gyakran tizedesvessző váltja fel. Például 35,02 USD; 100,7 USD; 123 USD \ 456,5 USD; 54,89 dollár.

Tizedes definíció

1. definíció

Tizedesjegyek törtszámok, amelyek decimális jelöléssel vannak ábrázolva.

Például 121,05 USD; 67,9 USD; 345,6700 dollár.

A tizedesjegyek a szabályos törtek tömörebb ábrázolására szolgálnak, amelyek nevezői a $10$, $100$, $1\000$ stb. és vegyes számok, amelyek nevezője $10$, $100$, $1\000$ stb.

Például, közönséges tört A $\frac(8)(10)$ decimális $0.8$, a vegyes szám pedig $405\frac(8)(100)$ $405.08$ tizedesjegyként írható fel.

Tizedesjegyek olvasása

A szabályos törteknek megfelelő tizedesek ugyanúgy olvashatók, mint a közönséges törtek, csak a „nulla egész szám” kifejezés kerül elé. Például a $\frac(25)(100)$ közönséges tört ("huszonöt századrész") megfelel a $0,25$ tizedes törtnek (értsd: "nulla pont huszonöt századrész").

A vegyes számoknak megfelelő tizedeseket ugyanúgy olvassuk, mint a vegyes számokat. Például a $43\frac(15)(1000)$ vegyes szám a $43.015$ tizedes törtnek felel meg (lásd: "negyvenhárom pontos tizenöt ezrelék").

Helyek tizedesjegyben

A decimális jelölésben az egyes számjegyek értéke a helyétől függ. Azok. tizedes törtekben a fogalom is helyet kap kisülés.

A tizedes törtben lévő számjegyek tizedesvesszőig ugyanazt a nevet kapják, mint a benne lévő számjegyek természetes számok. A tizedesvessző utáni számjegyeket tizedes törtben a táblázat tartalmazza:

1. kép

3. példa

Például a tizedes törtben 56 328 $, 5 $ a tízes helyen, 6 $ az egységekben, 3 $ a tizedik helyen, 2 $ a századik helyen, 8 $ az ezredik helyen található.

A tizedes tört számjegyeit a szenioritás különbözteti meg. A tizedes tört olvasásakor balról jobbra mozognak - től idősebbürítéshez junior.

4. példa

Például 56,328 $ decimális értékben a legjelentősebb (legnagyobb) számjegy a tízes számjegy, a legkisebb (legalacsonyabb) számjegy pedig az ezredjegy.

A tizedes tört ugyanúgy bővíthető számjegyekké, mint a természetes számok számjegyeivé.

5. példa

Például bontsuk ki a 37 851 $ tizedes törtet számjegyekre:

$37,851=30+7+0,8+0,05+0,001$

Tizedesjegyek vége

2. definíció

Tizedesjegyek vége tizedes törteknek nevezzük, amelyek rekordjai véges számú karaktert (számjegyet) tartalmaznak.

Például 0,138 USD; 5,34 USD; 56,123456 USD; 350 972,54 USD.

Bármely utolsó tizedes tört átváltható közönséges törtté vagy vegyes számmá.

6. példa

Például a 7,39 USD utolsó tizedesjegye megfelel a törtszám$7\frac(39)(100)$, és az utolsó tizedesjegy $0.5$ megfelel a megfelelő $\frac(5)(10)$ törtnek (vagy bármely vele megegyező törtnek, pl. $\frac(1) (2) $ vagy $\frac(10)(20)$.

Közönséges tört átalakítása tizedes törtté

A $10, 100, \dots$ nevezőkkel rendelkező közönséges törtek tizedesjegyekké alakítása

Mielőtt néhány megfelelő közönséges tört tizedesjegyre konvertálna, először „elő kell készíteni”. Az ilyen előkészítés eredménye ugyanannyi számjegy legyen a számlálóban és annyi nulla a nevezőben.

A helyes közönséges törtek „előzetes előkészítésének” a tizedes törtekké való konvertálásához a lényege, hogy a számláló bal oldalán annyi nullát adunk hozzá, hogy a számjegyek teljes száma egyenlő legyen a nevezőben lévő nullák számával.

7. példa

Például készítsük elő a $\frac(43)(1000)$ közönséges törtet a tizedesvesszőre való átalakításra, és kapjuk meg a $\frac(043)(1000)$ értéket. A $\frac(83)(100)$ közönséges törtet pedig nem kell elkészíteni.

Fogalmazzuk meg szabály egy megfelelő közös tört tizedes törtre való konvertálására $10$, vagy $100$, vagy $1\000$, $\dots$:

írd $0$;

tegyünk utána tizedesvesszőt;

írja le a számot a számlálóból (ha szükséges, az előkészítés után nullákkal együtt).

8. példa

Alakítsa át a $\frac(23)(100)$ megfelelő törtet tizedesvesszővé.

Megoldás.

A nevező a $100$ szám, amely $2$ két nullát tartalmaz. A számláló a $23$ számot tartalmazza, amely $2$.számjegyet tartalmaz. ez azt jelenti, hogy ennek a törtnek a tizedesvesszőre való átszámítására való előkészítése nem szükséges.

Írjunk $0$-t, tegyünk egy tizedesvesszőt, és írjuk be a számlálóból a $23$ számot. A tizedes tört 0,23 dollárt kapjuk.

Válasz: $0,23$.

9. példa

Írja be a megfelelő $\frac(351)(100000)$ törtet tizedesjegyként.

Megoldás.

Ennek a törtnek a számlálója $3$ számjegyből áll, a nevezőben lévő nullák száma pedig $5$, ezért ezt a közönséges törtet fel kell készíteni a tizedesvesszőre való átszámításra. Ehhez adjon hozzá $5-3=2$ nullákat a számláló bal oldalához: $\frac(00351)(100000)$.

Most alakíthatjuk ki a kívánt tizedes törtet. Ehhez írja be $0$, majd tegyen egy vesszőt, és írja be a számot a számlálóból. 0,00351 $ tizedes törtet kapunk.

Válasz: $0,00351$.

Fogalmazzuk meg szabály a $10$, $100$, $\dots$ nevezővel rendelkező helytelen köztörtek tizedesjegyre való konvertálására:

írj egy számot a számlálóból;

tizedesvesszővel válassza el a jobb oldalon annyi számjegyet, ahány nulla van az eredeti tört nevezőjében.

10. példa

A helytelen köztört $\frac(12756)(100)$ konvertálása tizedestörtre.

Megoldás.

Írjuk fel a számot a $12756$ számlálóból, majd válasszuk el a jobb oldali számjegyeket tizedesvesszővel $2$, mert a $2$ eredeti tört nevezője nulla. 127,56 $ tizedes törtet kapunk.

Utasítás

Ismerje meg, hogyan alakíthatja át a tizedesjegyeket törtté. Számolja meg, hány karakter van vesszővel elválasztva. Egy számjegy a tizedesvesszőtől jobbra azt jelenti, hogy a nevező 10, két számjegy 100, három számjegy 1000, és így tovább. Például a tizedesjegy 6,8 „hat pontos nyolc”. A konvertáláskor először írja be az egész egységek számát - 6. Írjon 10-et a nevezőbe. A 8-as szám lesz a számlálóban. Kiderül, hogy 6,8 \u003d 6 8/10. Ne feledje a rövidítési szabályokat. Ha a számláló és a nevező osztható ugyanazzal a számmal, akkor a tört közös osztóval csökkenthető. Ebben az esetben ez a szám 2. 6 8/10 = 6 2/5.

Próbáljon tizedesjegyeket hozzáadni. Ha ezt egy oszlopban teszi, akkor legyen óvatos. Az összes szám számjegyének szigorúan egymás alatt kell lennie - vessző alatt. Az összeadás szabályai pontosan ugyanazok, mint a -val végzett műveletnél. Adjunk hozzá ugyanahhoz a 6,8-hoz egy másik tizedes törtet - például 7,3. Írj egy hármast a nyolc alá, egy vesszőt a vessző alá, és egy hetest a hatos alá. Kezdje az összeadást az utolsó számjegytől. 3+8=11, azaz írj fel 1-et, emlékezz 1-re. Ezután adjunk hozzá 6 + 7-et, és kapjunk 13-at. Adjuk hozzá, ami a fejünkben maradt, és írjuk le az eredményt - 14.1.

A kivonás ugyanúgy történik. Írja a számjegyeket egymás alá, vesszőt - vessző alá. Mindig összpontosítson rá, különösen akkor, ha a redukált számjegyek száma utána kevesebb, mint a kivontban. Vonjunk ki egy adott számból, például 2,139. Írd a kettőt a hat alá, az egyet a nyolc alá, a maradék két számot a következő számjegyek alá, amelyeket nullákkal jelölhetünk! Kiderült, hogy a minuend nem 6,8, hanem 6,800. A művelet elvégzése után összesen 4661-et kapsz.

A negatív tizedesjegyekkel végzett műveleteket ugyanúgy hajtjuk végre, mint az egész számokkal. Hozzáadáskor a mínusz kikerül a zárójelből, és zárójelbe kerül adott számokat, és egy plusz jel kerül közéjük. Ennek eredményeként kiderül negatív szám. Vagyis a -6,8 és -7,3 összeadása ugyanazt az eredményt kapja, mint a 14,1, de előtte "-" van. Ha a részrész nagyobb, mint a minuend, akkor a mínusz is kikerül a zárójelből, több a kisebbet kivonjuk. Vonja ki a -7,3-at 6,8-ból. Alakítsa át a kifejezést a következőképpen. 6,8 - 7,3 \u003d - (7,3 - 6,8) \u003d -0,5.

A tizedesjegyek szorzásához felejtse el egy időre a vesszőt. Szorozza meg őket úgy, mintha egész számok lennének. Ezután mindkét tényezőben számolja meg a tizedesvessző után jobbra lévő számjegyek számát. Válasszon el ugyanannyi karaktert a munkában. Ha megszorozzuk 6,8-at és 7,3-at, akkor 49,64-et kapunk. Vagyis a vesszőtől jobbra 2 számjegy lesz, míg a szorzóban és a szorzóban egy-egy.

Osszuk el a megadott törtet valamilyen egész számmal. Ez a művelet ugyanúgy történik, mint az egész számok esetében. A lényeg az, hogy ne feledkezzünk meg a vesszőről, és tegyünk 0-t az elejére, ha az egész egységek száma nem osztható osztóval. Például próbálja meg ugyanazt a 6,8-at elosztani 26-tal. Tegyen 0-t az elejére, mert a 6 kisebb, mint 26. Vesszővel válassza el, a tizedek és századok továbbmennek. Az eredmény körülbelül 0,26 lesz. Valójában ebben az esetben egy végtelen nem periodikus törtet kapunk, amely a kívánt pontossági fokra kerekíthető.

Két tizedes tört osztásakor használjuk azt a tulajdonságot, hogy az osztó és az osztó azonos számmal való szorzásakor a hányados nem változik. Ez azt jelenti, hogy mindkét törtet egész számokká alakítsa, attól függően, hogy hány tizedesjegy van. Ha a 6,8-at el akarjuk osztani 7,3-mal, akkor elég mindkét számot megszorozni 10-zel. Kiderült, hogy a 68-at el kell osztani 73-mal. Ha az egyik számban több számjegy van a tizedesvessző után, először konvertálja át egy egész számot, majd egy második számot. Szorozza meg ugyanazzal a számmal. Azaz, ha 6,8-at osztunk 4,136-tal, akkor az osztalékot és az osztót ne 10-zel, hanem 1000-szeresre növeljük. Ha 6800-at elosztunk 1436-tal, akkor 4,735-öt kapunk.

Mint:

± d m … d 1 d 0 , d -1 d -2 …

ahol ± a tört jele: + vagy -,

, - tizedesvessző, amely elválasztóként szolgál a szám egész és tört része között,

dk- decimális számjegyek.

Ugyanakkor a vessző előtti számsorrendnek (tőle balra) van vége (mint például számjegyenként min 1), a vessző után (jobbra) pedig véges is lehet (opcióként, előfordulhat, hogy a vessző után egyáltalán nincsenek számjegyek), és végtelen.

Tizedes érték ± d m … d 1 d 0 , d -1 d -2 … egy valós szám:

amely egyenlő véges vagy végtelen számú tag összegével.

A valós számok tizedes törtekkel történő ábrázolása az egész számok jelölésének általánosítása a decimális számrendszerben. Egy egész szám decimális ábrázolásában nincs számjegy a tizedesvessző után, így ez az ábrázolás így néz ki:

± d m … d 1 d 0 ,

És ez egybeesik számunk decimális számrendszerben való rögzítésével.

Decimális- ez az eredmény, ha 1-et 10, 100, 1000 és így tovább részekre osztunk. Ezek a törtek meglehetősen kényelmesek a számításokhoz, mert ugyanazon a helyzetrendszeren alapulnak, amelyre az egész számok számlálása és jelölése épül. Emiatt a tizedes törtek jelölése és szabályai szinte megegyeznek az egész számokkal.

A tizedes törtek írásakor a nevezőt nem kell jelölni, azt a megfelelő ábra által elfoglalt hely határozza meg. Először írja be a szám egész részét, majd tegyen egy tizedesvesszőt a jobb oldalra. A tizedesvessző utáni első számjegy a tizedek számát, a második a századok számát, a harmadik az ezredek számát jelöli, és így tovább. A tizedesvessző utáni számok tizedes jel.

Például:

A tizedestörtek egyik előnye, hogy nagyon könnyen átalakíthatók közönséges törtekké: a tizedesvessző utáni szám (miénk 5047) számláló; névadó egyenlő n fok 10, ahol n- a tizedesjegyek száma (ez van n=4):

Ha a tizedes törtben nincs egész rész, akkor a tizedesvessző elé nullát teszünk:

A tizedes törtek tulajdonságai.

1. A tizedesjegy nem változik, ha nullákat adunk a jobb oldalra:

13.6 =13.6000.

2. A tizedesjegy nem változik, ha a tizedesjegy végén lévő nullákat eltávolítjuk:

0.00123000 = 0.00123.

Figyelem! A NEM tizedesjegy végén lévő nullákat nem szabad eltávolítani!

3. A tizedes tört 10, 100, 1000 és így tovább növekszik, amikor a tizedesvesszőt jobbra mozgatjuk 1-es, 2-es, 2-es és így tovább:

3,675 → 367,5 (a tört százszorosára nőtt).

4. A tizedes tört kisebb lesz tíznél, száznál, ezernél és így tovább, amikor a tizedesvesszőt balra mozgatjuk 1-es, 2-es, 3-as és így tovább:

1536,78 → 1,53678 (a tört ezerszer kisebb lett).

A tizedesjegyek típusai.

A tizedesjegyeket osztjuk végső, végtelenÉs periodikus tizedesjegyek.

Tizedes vége - ez egy véges számú számjegyet tartalmazó tört a tizedesvessző után (vagy egyáltalán nincsenek ott), pl. így néz ki:

Valós szám csak akkor ábrázolható véges tizedes törtként, ha ez a szám racionális, és ha irreducibilis törtként írjuk le p/q névadó q 2-en és 5-ön kívül nincs más prímosztója.

Végtelen decimális.

Egy végtelenül ismétlődő számjegycsoportot tartalmaz időszak. Az időszak zárójelben van írva. Például 0,12345123451234512345… = 0.(12345).

Periodikus decimális- ez egy olyan végtelen tizedes tört, amelyben a tizedesvessző utáni számsor egy bizonyos helyről indulva periodikusan ismétlődő számjegycsoport. Más szavakkal, periodikus tört egy tizedes, amely így néz ki:

Az ilyen törtet általában így írják röviden:

Számcsoport b 1 … b l, ami ismétlődik, az tört időszak, a számjegyek száma ebben a csoportban időszak hossza.

Ha egy periodikus törtben a pont közvetlenül a tizedesvessző után következik, akkor a tört az tiszta periodikus. Ha a vessző és az 1. pont között számok vannak, akkor a tört az vegyes periodikus, és a tizedesvessző utáni számjegyek csoportja az 1. pont jelig - frakció preperiódus.

Például, az 1,(23) = 1,2323… tört tiszta periodikus, a 0,1(23)=0,12323… tört pedig vegyes periodikus.

A periodikus törtek fő tulajdonsága, aminek köszönhetően megkülönböztetik őket a tizedes törtek teljes halmazától, abban rejlik, hogy a periodikus törtek és csak ezek képviselnek racionális számokat. Pontosabban a következő történik:

Bármely végtelen ismétlődő decimális szám racionális számot jelent. Fordítva, ha egy racionális számot végtelen tizedes törtre bontunk, akkor ez a tört periodikus lesz.