87. § Törtek összeadása.

A törtek összeadása sok hasonlóságot mutat az egész számok hozzáadásával. A törtek összeadása olyan művelet, amely abból áll, hogy több megadott számot (tagot) egy számmá (összeggé) vonnak össze, amely a kifejezések egységeinek összes egységét és törtrészét tartalmazza.

Három esetet vizsgálunk meg egymás után:

1. Azonos nevezőjű törtek összeadása.
2. Különböző nevezőjű törtek összeadása.
3. Vegyes számok összeadása.

1. Azonos nevezőjű törtek összeadása.

Vegyünk egy példát: 1 / 5 + 2 / 5 .

Vegyük az AB szakaszt (17. ábra), vegyük egységnek, és osszuk el 5-tel egyenlő részek, akkor ennek a szegmensnek az AC része az AB szegmens 1/5-ével, a CD szegmens része pedig az AB 2/5-ével lesz egyenlő.

A rajzon látható, hogy ha az AD szakaszt vesszük, akkor az egyenlő lesz 3/5 AB-vel; de az AD szegmens pontosan az AC és CD szegmensek összege. Tehát írhatjuk:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Figyelembe véve ezeket a kifejezéseket és az így kapott összeget, azt látjuk, hogy az összeg számlálóját a tagok számlálóinak összeadásával kaptuk, és a nevező változatlan maradt.

Ebből a következő szabályt kapjuk: Azonos nevezőjű törtek hozzáadásához hozzá kell adni a számlálóikat, és meg kell hagyni ugyanazt a nevezőt.

Vegyünk egy példát:

2. Különböző nevezőjű törtek összeadása.

Adjunk hozzá törteket: 3/4 + 3/8 Először le kell redukálni őket a legkisebb közös nevezőre:

A köztes linket 6/8 + 3/8 nem lehetett volna megírni; a nagyobb érthetőség kedvéért ide írtuk.

Így a különböző nevezőjű törtek összeadásához először a legkisebb közös nevezőre kell hozni őket, hozzá kell adni a számlálóikat, és alá kell írni a közös nevezőt.

Vegyünk egy példát (a megfelelő törtek fölé további tényezőket írunk):

3. Vegyes számok összeadása.

Adjuk össze a számokat: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.

Először hozzuk közös nevezőre a számaink tört részeit, és írjuk át újra:

Most adja hozzá az egész és a tört részeket egymás után:

88. § Törtek kivonása.

A törtek kivonása ugyanúgy definiálható, mint az egész számok kivonása. Ez egy olyan művelet, amellyel két tag és az egyik tag összege alapján egy másik tag található. Nézzünk meg három esetet egymás után:

1. Azonos nevezőjű törtek kivonása.
2. Különböző nevezőjű törtek kivonása.
3. Vegyes számok kivonása.

1. Azonos nevezőjű törtek kivonása.

Vegyünk egy példát:

13 / 15 - 4 / 15

Vegyük az AB szakaszt (18. ábra), vegyük egységnek, és osszuk fel 15 egyenlő részre; akkor ennek a szakasznak az AC része az AB 1/15-e, és ugyanennek a szakasznak az AD része az AB 13/15-ének felel meg. Tegyünk félre egy másik ED szakaszt, amely egyenlő 4/15 AB-vel.

13/15-ből ki kell vonnunk a 4/15-öt. A rajzon ez azt jelenti, hogy az ED szakaszt ki kell vonni az AD szakaszból. Ennek eredményeként az AE szegmens megmarad, ami az AB szegmens 9/15-e. Tehát írhatjuk:

Az általunk készített példa azt mutatja, hogy a különbség számlálóját a számlálók kivonásával kaptuk meg, és a nevező változatlan maradt.

Ezért az azonos nevezőjű törtek kivonásához ki kell vonnia a rész számlálóját a minuend számlálójából, és meg kell hagynia ugyanazt a nevezőt.

2. Különböző nevezőjű törtek kivonása.

Példa. 3/4 - 5/8

Először is csökkentsük ezeket a törteket a legkisebb közös nevezőre:

A közbülső link 6 / 8 - 5 / 8 az érthetőség kedvéért ide van írva, de a jövőben kihagyható.

Így ahhoz, hogy törtből törtet lehessen levonni, először a legkisebb közös nevezőre kell hozni, majd ki kell vonni a rész számlálóját a minuend számlálójából, és a közös nevezőt a különbségük alá kell írni.

Vegyünk egy példát:

3. Vegyes számok kivonása.

Példa. 10 3/4 - 7 2/3 .

Hozzuk a minuend és a részösszeg tört részeit a legkisebb közös nevezőre:

Az egészből kivontunk egy egészet, a töredékből pedig egy törtet. De vannak esetek, amikor a részösszeg tört része nagyobb, mint a minuend tört része. Ilyen esetekben a redukált egész részéből ki kell venni egy egységet, fel kell osztani azokra a részekre, amelyekben a tört rész kifejeződik, és hozzá kell adni a redukált tört részéhez. Ezután a kivonás ugyanúgy történik, mint az előző példában:

89. § Törtek szorzása.

A törtek szorzásának tanulmányozásakor figyelembe vesszük következő kérdéseket:

1. Tört szorzása egész számmal.
2. Adott szám törtrészének megkeresése.
3. Egész szám szorzása törttel.
4. Tört szorzása törttel.
5. Vegyes számok szorzása.
6. Az érdeklődés fogalma.
7. Adott szám százalékos arányának megállapítása. Tekintsük őket egymás után.

1. Tört szorzása egész számmal.

Egy tört egész számmal való szorzása ugyanazt jelenti, mint egy egész szám egész számmal való szorzása. Egy tört (szorzó) egész számmal (szorzóval) való szorzása azt jelenti, hogy azonos tagok összegét állítjuk össze, amelyben minden tag egyenlő a szorzóval, a tagok száma pedig a szorzóval.

Tehát, ha meg kell szoroznia 1/9-et 7-tel, akkor ezt a következőképpen teheti meg:

Könnyen megkaptuk az eredményt, mivel a műveletet az azonos nevezőjű törtek összeadására csökkentettük. Ennélfogva,

Ennek a műveletnek a figyelembevétele azt mutatja, hogy egy tört egész számmal való megszorzása megegyezik a tört annyiszoros növelésével, ahány egység van az egész számban. És mivel a tört növekedését vagy a számlálójának növelésével érjük el

vagy nevezőjének csökkentésével , akkor vagy megszorozhatjuk a számlálót az egész számmal, vagy eloszthatjuk vele a nevezőt, ha lehetséges az osztás.

Innen kapjuk a szabályt:

Egy tört egész számmal való szorzásához meg kell szorozni a számlálót ezzel az egész számmal, és a nevezőt változatlannak kell hagyni, vagy ha lehetséges, el kell osztani a nevezőt ezzel a számmal, a számlálót változatlanul hagyva.

Szorzáskor rövidítések is lehetségesek, például:

2. Adott szám törtrészének megkeresése. Sok olyan feladat van, amelyben meg kell találni vagy ki kell számítani egy adott szám egy részét. E feladatok és a többi között az a különbség, hogy bizonyos objektumok vagy mértékegységek számát adják meg, és ennek a számnak egy részét meg kell találni, amit itt is egy bizonyos tört jelzi. A megértés megkönnyítése érdekében először példákat adunk az ilyen problémákra, majd bemutatjuk a megoldási módot.

1. feladat. 60 rubelem volt; Ennek a pénznek az 1/3-át könyvvásárlásra költöttem. Mennyibe kerültek a könyvek?

2. feladat. A vonatnak A és B városok közötti távolságot, 300 km-t kell megtennie. Ennek a távnak a 2/3-át már megtette. Hány kilométer ez?

3. feladat. A faluban 400 ház található, 3/4-e tégla, a többi fa. Hány téglaház van?

Íme néhány probléma a sok közül, amelyekkel meg kell küzdenünk, hogy megtaláljuk egy adott szám töredékét. Ezeket általában egy adott szám törtrészének megtalálására vonatkozó feladatoknak nevezik.

Az 1. feladat megoldása. 60 rubeltől. 1/3-át költöttem könyvekre; Tehát a könyvek költségének megállapításához el kell osztania a 60-as számot 3-mal:

2. feladat megoldása. A probléma jelentése az, hogy meg kell találnia a 300 km 2/3-át. Számítsa ki a 300 első 1/3-át; ezt úgy érjük el, hogy 300 km-t elosztunk 3-mal:

300: 3 = 100 (ez a 300 1/3-a).

A 300 kétharmadának megtalálásához meg kell dupláznia a kapott hányadost, azaz meg kell szoroznia 2-vel:

100 x 2 = 200 (ez a 300 2/3-a).

A 3. feladat megoldása. Itt meg kell határoznia a téglaházak számát, amelyek a 400-nak a 3/4-e. Először keressük meg a 400 1/4-ét,

400: 4 = 100 (ez a 400 1/4-e).

A 400 háromnegyedének kiszámításához a kapott hányadost meg kell háromszorozni, azaz meg kell szorozni 3-mal:

100 x 3 = 300 (ez a 400 3/4-e).

A problémák megoldása alapján a következő szabályt vezethetjük le:

Egy adott szám törtrészének értékének meghatározásához ezt a számot el kell osztani a tört nevezőjével, és meg kell szorozni a kapott hányadost a számlálójával.

3. Egész szám szorzása törttel.

Korábban (26. §) megállapították, hogy az egész számok szorzását azonos tagok összeadásaként kell érteni (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). Ebben a bekezdésben (1. bekezdés) megállapították, hogy egy tört egész számmal való szorzata azt jelenti, hogy megtaláljuk az azonos tagok összegét ezzel a törttel.

A szorzás mindkét esetben az azonos tagok összegének megállapításából állt.

Most továbblépünk egy egész szám törttel való szorzására. Itt találkozunk például ilyen szorzással: 9 2/3. Teljesen nyilvánvaló, hogy a szorzás előző definíciója erre az esetre nem vonatkozik. Ez nyilvánvaló abból a tényből, hogy az ilyen szorzást nem helyettesíthetjük egyenlő számok összeadásával.

Emiatt új definíciót kell adnunk a szorzásnak, vagyis meg kell válaszolnunk azt a kérdést, hogy mit kell érteni törttel való szorzás alatt, hogyan kell érteni ezt a cselekvést.

Egy egész szám törttel való szorzásának jelentése világos a következő definícióból: egy egész számot (szorzót) megszorozni törttel (szorzóval) azt jelenti, hogy megtaláljuk a szorzónak ezt a törtrészét.

Ugyanis a 9-et 2/3-mal megszorozni azt jelenti, hogy a kilenc egység 2/3-át megtaláljuk. Az előző bekezdésben az ilyen problémákat megoldottuk; így könnyű kitalálni, hogy végül 6-ot kapunk.

De most egy érdekes és fontos kérdés merül fel: első pillantásra miért ilyen különféle tevékenységek hogyan találja meg az összeget egyenlő számokés a szám történek megtalálása az aritmetikában ugyanazt a szót "szorzásnak" nevezik?

Ez azért van így, mert az előző művelet (a szám többszöri megismétlése kifejezésekkel) és az új művelet (a szám törtrészének megkeresése) homogén kérdésekre ad választ. Ez azt jelenti, hogy itt abból a megfontolásból indulunk ki, hogy a homogén kérdéseket vagy feladatokat egy és ugyanazon cselekvés oldja meg.

Ennek megértéséhez vegye figyelembe a következő problémát: „1 m ruha ára 50 rubel. Mennyibe kerül 4 m ilyen ruha?

Ezt a problémát úgy oldjuk meg, hogy a rubelek számát (50) megszorozzuk a méterek számával (4), azaz 50 x 4 = 200 (rubel).

Vegyük ugyanezt a problémát, de benne a ruha mennyisége törtszámmal lesz kifejezve: „1 m ruha ára 50 rubel. Mennyibe kerül 3/4 m ilyen ruha?

Ezt a problémát úgy is meg kell oldani, hogy a rubelek számát (50) megszorozzuk a méterek számával (3/4).

A benne lévő számokat többször is megváltoztathatja anélkül, hogy a feladat jelentését megváltoztatná, például vegyen 9/10 m-t vagy 2 3/10 m-t stb.

Mivel ezek a feladatok azonos tartalmúak és csak számokban térnek el egymástól, a megoldásukhoz használt cselekvéseket ugyanazzal a szóval - szorzásnak nevezzük.

Hogyan szorozható meg egy egész szám törttel?

Vegyük az utolsó feladatban talált számokat:

A definíció szerint 50-ből 3/4-et kell találnunk. Először az 50-ből az 1/4-et, majd a 3/4-et találjuk meg.

50-ből 1/4 az 50/4;

50-ből 3/4 az.

Ennélfogva.

Vegyünk egy másik példát: 12 5 / 8 = ?

12-ből 1/8 az 12/8,

A 12-es szám 5/8-a .

Ennélfogva,

Innen kapjuk a szabályt:

Egy egész szám törttel való szorzásához meg kell szorozni az egész számot a tört számlálójával, és ezt a szorzatot kell számlálóvá tenni, nevezőként pedig az adott tört nevezőjét kell aláírni.

Ezt a szabályt betűkkel írjuk:

Ahhoz, hogy ez a szabály teljesen egyértelmű legyen, ne feledjük, hogy a tört hányadosnak tekinthető. Ezért célszerű a talált szabályt összehasonlítani a szám hányadossal való szorzásának szabályával, amelyet a 38. §-ban rögzítettek.

Emlékeztetni kell arra, hogy a szorzás végrehajtása előtt meg kell tennie (ha lehetséges) vágások, Például:

4. Tört szorzása törttel. A tört törttel való szorzása ugyanazt jelenti, mint egy egész szám törttel való szorzása, vagyis ha tört törttel szoroz, meg kell találnia a tört törtét a szorzóban az első törtből (szorzó).

Ugyanis a 3/4-et 1/2-vel (fele) megszorozni azt jelenti, hogy megtaláljuk a 3/4 felét.

Hogyan szorozunk meg egy törtet törttel?

Vegyünk egy példát: 3/4-szer 5/7. Ez azt jelenti, hogy meg kell találnod az 5/7-et a 3/4-ből. Keresse meg először a 3/4 1/7-ét, majd az 5/7-et

A 3/4 1/7-e így lenne kifejezve:

Az 5/7 számok 3/4 a következőképpen lesznek kifejezve:

És így,

Egy másik példa: 5/8-szor 4/9.

5/8 1/9 része ,

4/9 számok 5/8 .

És így,

Ezekből a példákból a következő szabályra lehet következtetni:

Egy tört törttel való szorzásához meg kell szorozni a számlálót a számlálóval, a nevezőt pedig a nevezővel, és az első szorzatot a szorzat számlálójává, a második szorzatot pedig a nevezővé kell tenni.

Ez a szabály benne Általános nézetígy írható:

A szorzásnál (ha lehetséges) csökkentéseket kell végezni. Vegye figyelembe a példákat:

5. Vegyes számok szorzása. Mivel a vegyes számok könnyen helyettesíthetők helytelen törtekkel, ezt a körülményt általában vegyes számok szorzásakor alkalmazzák. Ez azt jelenti, hogy azokban az esetekben, amikor a szorzót, vagy a szorzót, vagy mindkét tényezőt vegyes számként fejezzük ki, akkor azokat helytelen törtekkel helyettesítjük. Szorozza meg például a vegyes számokat: 2 1/2 és 3 1/5. Mindegyiket nem megfelelő törtté alakítjuk, majd a kapott törteket megszorozzuk a tört törttel való szorzásának szabálya szerint:

Szabály. A vegyes számok szorzásához először át kell alakítani azokat nem megfelelő törtekre, majd a tört törttel való szorzásának szabálya szerint szorozni.

Jegyzet. Ha az egyik tényező egész szám, akkor a szorzás az eloszlási törvény alapján a következőképpen hajtható végre:

6. Az érdeklődés fogalma. A feladatok megoldásánál és a különféle gyakorlati számítások végzésekor mindenféle törtet használunk. De szem előtt kell tartani, hogy sok mennyiség nem bármilyen, hanem természetes felosztást enged meg számára. Például vehet egy századot (1/100) a rubelből, ez egy fillér lesz, két század 2 kopecka, három század 3 kopecka. Elveheti a rubel 1/10-ét, ez "10 kopecks, vagy egy fillér lesz. Elveheti a rubel negyedét, azaz 25 kopecket, fél rubelt, azaz 50 kopecket (ötven kopecket). De gyakorlatilag nem. ne vegyünk például 2/7 rubelt, mert a rubel nincs hetedrészekre osztva.

A súly mértékegysége, azaz a kilogramm, mindenekelőtt tizedes részeket tesz lehetővé, például 1/10 kg vagy 100 g. És a kilogramm olyan törtrészei, mint 1/6, 1/11, 1/ 13 nem gyakori.

A (metrikus) mértékeink általában decimálisak, és lehetővé teszik a decimális felosztást.

Meg kell azonban jegyezni, hogy rendkívül hasznos és kényelmes a legkülönbözőbb esetekben ugyanazt az (egységes) módszert alkalmazni a mennyiségek felosztására. Sok éves tapasztalat azt mutatja, hogy egy ilyen jól indokolt felosztás a „százados” felosztás. Nézzünk néhány példát az emberi gyakorlat legkülönfélébb területeihez.

1. A könyvek ára a korábbi ár 12/100-ával csökkent.

Példa. A könyv korábbi ára 10 rubel. 1 rubellel csökkent. 20 kop.

2. A takarékpénztárak év közben fizetik ki a betéteseknek a megtakarításokba helyezett összeg 2/100-át.

Példa. 500 rubelt tesznek a pénztárba, ebből az összegből az év bevétele 10 rubel.

3. Egy iskola végzettek száma az összes tanulólétszám 5/100-a volt.

PÉLDA Az iskolában mindössze 1200 diák tanult, közülük 60-an végezték el az iskolát.

A szám századrészét százaléknak nevezzük..

A "százalék" szó innen származik latin a "cent" gyöke pedig százat jelent. Az elöljárószóval (pro centum) együtt ez a szó azt jelenti, hogy „százért”. Ennek a kifejezésnek a jelentése abból a tényből következik, hogy kezdetben in az ókori Róma A kamat az a pénz volt, amelyet az adós "minden száz után" fizetett a hitelezőnek. A "cent" szót ilyen ismerős szavakkal hallják: centner (száz kilogramm), centiméter (centimétert mondanak).

Például ahelyett, hogy azt mondanánk, hogy az üzem az elmúlt hónapban az általa előállított összes termék 1/100-át állította elő, inkább ezt mondjuk: az üzem az elmúlt hónapban a selejt egy százalékát állította elő. Ahelyett, hogy azt mondanánk: az üzem 4/100-zal több terméket állított elő, mint a megállapított terv, azt mondjuk: az üzem 4 százalékkal haladta meg a tervet.

A fenti példák különbözőképpen fejezhetők ki:

1. A könyvek ára a korábbi árhoz képest 12 százalékkal csökkent.

2. A takarékpénztárak a betéteseknek évente 2 százalékot fizetnek a megtakarításba helyezett összegből.

3. Egy iskola végzőseinek száma az iskola összes tanulói létszámának 5 százaléka volt.

A betű rövidítéséhez a százalékos szó helyett a% jelet szokás írni.

Nem szabad azonban elfelejteni, hogy a %-os jelet általában nem a számításokba írják, hanem a problémafelvetésbe és a végeredménybe is beírható. Számítások végzésekor az ikonnal egész szám helyett 100-as nevezőjű törtet kell írni.

Le kell tudnia cserélni egy egész számot a megadott ikonnal egy 100-as nevezőjű törtre:

Ezzel szemben meg kell szoknia, hogy a 100-as nevezőjű tört helyett egész számot írjon a jelzett ikonnal:

7. Adott szám százalékos arányának megállapítása.

1. feladat. Az iskola 200 köbmétert kapott. m tűzifa, 30%-a nyírfa tűzifa. Mennyi nyírfa volt benne?

Ennek a problémának az a jelentése, hogy a nyírfa tűzifa csak egy része volt az iskolába szállított tűzifának, és ez a rész 30/100 töredékében van kifejezve. Tehát azzal a feladattal állunk szemben, hogy megtaláljuk a szám törtrészét. Megoldásához meg kell szoroznunk 200-at 30 / 100-zal (a szám történek megtalálására szolgáló feladatokat a szám törttel való szorzásával oldjuk meg.).

Tehát 200 30%-a 60-nak felel meg.

Az ebben a problémában előforduló 30/100-as tört 10-zel csökkenthető. Ezt a csökkentést már a kezdetektől végre lehetne hajtani; a probléma megoldása nem változna.

2. feladat. 300 gyerek volt a táborban különböző korúak. A 11 évesek aránya 21%, a 12 évesek aránya 61%, végül a 13 évesek aránya 18%. Hány gyerek volt az egyes korosztályokból a táborban?

Ebben a feladatban három számítást kell végrehajtania, azaz egymás után meg kell keresnie a 11 éves, majd a 12 éves és végül a 13 éves gyermekek számát.

Tehát itt háromszor kell megtalálni egy szám töredékét. Csináljuk:

1) Hány gyerek volt 11 éves?

2) Hány gyerek volt 12 éves?

3) Hány gyerek volt 13 éves?

A feladat megoldása után célszerű összeadni a talált számokat; az összegük 300 legyen:

63 + 183 + 54 = 300

Arra is figyelni kell, hogy a probléma feltételében megadott százalékok összege 100:

21% + 61% + 18% = 100%

Ez arra utal, hogy a táborban 100%-os gyereklétszámot vettek.

3 és da cha 3. A munkás havi 1200 rubelt kapott. Ebből 65%-ot költött élelmiszerre, 6%-ot lakásra és fűtésre, 4%-ot gázra, villanyra és rádióra, 10%-ot kulturális szükségletekre és 15%-ot spórolt. Mennyi pénzt költöttek a feladatban megjelölt igényekre?

A feladat megoldásához 5-ször meg kell találni az 1200-as szám törtrészét.

1) Mennyi pénzt költenek élelmiszerre? A feladat szerint ez a kiadás az összes kereset 65%-a, azaz az 1200-as szám 65/100-a. Végezzük el a számítást:

2) Mennyi pénzt fizettek egy fűtéses lakásért? Az előzőhöz hasonlóan érvelve a következő számításhoz jutunk:

3) Mennyi pénzt fizetett a gázért, villanyért és rádióért?

4) Mennyi pénzt fordítanak kulturális szükségletekre?

5) Mennyi pénzt takarított meg a dolgozó?

Az ellenőrzéshez hasznos összeadni az ebben az 5 kérdésben található számokat. Az összegnek 1200 rubelnek kell lennie. Minden bevétel 100%-nak számít, ami könnyen ellenőrizhető, ha összeadja a problémanyilatkozatban megadott százalékokat.

Három problémát oldottunk meg. Annak ellenére, hogy ezek a feladatok különböző dolgokról szóltak (tűzifa szállítása az iskolába, különböző életkorú gyerekek száma, dolgozó költségei), ugyanúgy megoldották. Ez azért történt, mert minden feladatban meg kellett találni a megadott számok néhány százalékát.

90. § Törtosztás.

A törtek felosztásának tanulmányozásakor a következő kérdéseket vesszük figyelembe:

1. Oszd el egy egész számot egy egész számmal.
2. Tört osztása egész számmal
3. Egész szám osztása törttel.
4. Tört osztása törttel.
5. Vegyes számok felosztása.
6. Szám keresése a tört alapján.
7. Szám keresése százalékos aránya alapján.

Tekintsük őket egymás után.

1. Oszd el egy egész számot egy egész számmal.

Ahogy az egész számok részben jeleztük, az osztás az a művelet, amely abból áll, hogy két tényező (az osztalék) és az egyik tényező (osztó) szorzata mellett egy másik tényezőt találunk.

Egy egész szám osztása egész számmal, amelyet az egész számok osztályában vettünk figyelembe. Az osztásnak két esetével találkoztunk: a maradék nélkül, vagy "egészen" (150: 10 = 15) és maradékkal (100: 9 = 11 és 1 a maradékban). Azt mondhatjuk tehát, hogy az egész számok területén a pontos osztás nem mindig lehetséges, mert az osztó nem mindig az osztó és az egész szorzata. A törttel való szorzás bevezetése után az egész számok bármely osztási esetét lehetségesnek tekinthetjük (csak a nullával való osztás kizárt).

Például 7 elosztása 12-vel azt jelenti, hogy olyan számot találunk, amelynek szorzata 12-vel 7 lenne. Ez a szám a 7/12 tört, mert 7/12 12 = 7. Egy másik példa: 14: 25 = 14/25, mert 14/25 25 = 14.

Így egy egész szám egész számmal való osztásához törtet kell alkotnia, amelynek a számlálója egyenlő az osztással, a nevező pedig az osztó.

2. Tört osztása egész számmal.

A 6/7 törtet osszuk el 3-mal. Az osztás fenti definíciója szerint itt van a szorzat (6/7) és az egyik tényező (3); Olyan második tényezőt kell találni, amelyet 3-mal megszorozva az adott szorzat 6/7-et adna. Nyilvánvalóan háromszor kisebbnek kell lennie, mint ez a termék. Ez azt jelenti, hogy az előttünk álló feladat a 6/7 tört 3-szoros csökkentése volt.

Azt már tudjuk, hogy egy tört csökkentése történhet a számlálójának csökkentésével vagy a nevezőjének növelésével. Ezért írhatod:

Ebben az esetben a 6 számláló osztható 3-mal, ezért a számlálót 3-szor kell csökkenteni.

Vegyünk egy másik példát: 5 / 8 osztva 2-vel. Itt az 5 számláló nem osztható 2-vel, ami azt jelenti, hogy a nevezőt meg kell szorozni ezzel a számmal:

Ez alapján megállapíthatjuk a szabályt: Egy tört egész számmal való osztásához el kell osztani a tört számlálóját ezzel az egész számmal(ha lehetséges), ugyanazt a nevezőt hagyja meg, vagy szorozza meg a tört nevezőjét ezzel a számmal, és hagyja meg ugyanazt a számlálót.

3. Egész szám osztása törttel.

Legyen előírva, hogy 5-öt el kell osztani 1/2-vel, azaz keressünk egy számot, amely 1/2-vel való szorzás után 5-öt ad. Nyilván ennek a számnak nagyobbnak kell lennie 5-nél, mivel az 1/2 megfelelő tört, és ha egy számot megszorozunk egy megfelelő törttel, a szorzatnak kisebbnek kell lennie, mint a szorzó. Az érthetőség kedvéért írjuk le a cselekvéseinket a következőképpen: 5: 1 / 2 = x , tehát x 1/2 \u003d 5.

Meg kell találnunk egy ilyen számot x , ami 1/2-vel szorozva 5-öt adna. Mivel egy bizonyos szám 1/2-vel való szorzása azt jelenti, hogy ennek a számnak az 1/2-ét megtaláljuk, ezért az ismeretlen szám 1/2-ét x 5, és az egész szám x kétszer annyi, azaz 5 2 \u003d 10.

Tehát 5: 1/2 = 5 2 = 10

Ellenőrizzük:

Nézzünk még egy példát. Legyen szükséges 6-ot 2/3-mal osztani. Először próbáljuk meg megtalálni a kívánt eredményt a rajz segítségével (19. ábra).

19. ábra

Rajzolj egy AB szakaszt, amely 6 egységnek felel meg, és ossz minden egységet 3 egyenlő részre. Mindegyik egységben a teljes AB szegmens háromharmada (3/3) hatszor nagyobb, azaz. e. 18/3. Kis zárójelek segítségével 18 kapott 2-es szegmenst kötünk össze; Csak 9 szegmens lesz. Ez azt jelenti, hogy a 2/3 tört 9-szer szerepel b egységben, vagy más szóval a 2/3 tört 9-szer kisebb, mint 6 egész szám. Ennélfogva,

Hogyan lehet elérni ezt az eredményt rajz nélkül, csak számításokkal? A következőképpen érvelünk: el kell osztani a 6-ot 2/3-mal, azaz arra a kérdésre kell válaszolni, hogy a 6-ban hányszor van 2/3. Először nézzük meg: hányszor az 1/3 6-ban található? Egy egész egységben - 3 harmad, és 6 egységben - 6-szor több, azaz 18 harmad; ennek a számnak a megtalálásához meg kell szoroznunk a 6-ot 3-mal. Így az 1/3-at b egység 18-szor tartalmazza, a 2/3-ot pedig nem 18-szor, hanem feleannyiszor, azaz 18-at: 2 = 9 Ezért a 6-ot 2/3-mal osztva a következőket tettük:

Innen kapjuk meg az egész szám törttel való osztásának szabályát. Egy egész szám törttel való osztásához ezt az egész számot meg kell szorozni az adott tört nevezőjével, és ezt a szorzatot számlálóvá téve el kell osztani az adott tört számlálójával.

A szabályt betűkkel írjuk:

Ahhoz, hogy ez a szabály teljesen egyértelmű legyen, ne feledjük, hogy a tört hányadosnak tekinthető. Ezért célszerű a talált szabályt összehasonlítani a szám hányadossal való osztásának szabályával, amelyet a 38. §-ban rögzítettek. Vegye figyelembe, hogy ott is ugyanazt a képletet kapták.

Felosztáskor rövidítések is lehetségesek, például:

4. Tört osztása törttel.

A 3/4-et el kell osztani 3/8-cal. Mi jelöli az osztás eredményeként kapott számot? Megválaszolja a kérdést, hogy a 3/8-as tört hányszor szerepel a 3/4-ben. A probléma megértéséhez készítsünk rajzot (20. ábra).

Vegyük az AB szakaszt, vegyük egységként, osszuk 4 egyenlő részre, és jelöljünk be 3 ilyen részt. Az AC szegmens az AB szegmens 3/4-e lesz. Osszuk most fel mind a négy kezdeti szakaszt, majd az AB szakaszt 8 egyenlő részre osztjuk, és mindegyik ilyen rész egyenlő lesz az AB szakasz 1/8-ával. 3 ilyen szegmenst kötünk össze ívekkel, majd az AD és a DC szegmensek mindegyike egyenlő lesz az AB szegmens 3/8-ával. A rajz azt mutatja, hogy a 3/8-nak megfelelő szegmens pontosan 2-szer szerepel a 3/4-nek megfelelő szegmensben; Tehát az osztás eredménye így írható fel:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Nézzünk még egy példát. A 15/16-ot el kell osztani 3/32-vel:

Így érvelhetünk: meg kell találnunk egy számot, amelyet 3/32-vel megszorozva 15/16 szorzatot kapunk. Írjuk fel a számításokat így:

15 / 16: 3 / 32 = x

3 / 32 x = 15 / 16

3/32 ismeretlen szám x smink 15/16

1/32 ismeretlen szám x van,

32/32 számok x smink .

Ennélfogva,

Így egy tört törttel való osztásához meg kell szorozni az első tört számlálóját a második nevezőjével, és meg kell szorozni az első tört nevezőjét a második számlálójával, és az első szorzatot kell számlálóvá és a második a nevező.

Írjuk fel a szabályt betűkkel:

Felosztáskor rövidítések is lehetségesek, például:

5. Vegyes számok felosztása.

A vegyes számok felosztásánál először hibás törtekké kell alakítani, majd a kapott törteket az osztási szabályok szerint osztani. törtszámok. Vegyünk egy példát:

Vegyes számok átalakítása helytelen törtekre:

Most osszuk el:

Így a vegyes számok felosztásához hibás törtekké kell alakítani őket, majd osztani kell a törtosztás szabálya szerint.

6. Szám keresése a tört alapján.

A törtekkel kapcsolatos különféle feladatok között előfordulnak olyanok is, amelyekben egy ismeretlen szám törtrészének értéke van megadva, és ezt a számot kell megtalálni. Ez a fajta probléma fordítottja lesz egy adott szám törtrészének megtalálásának problémájának; ott egy számot adtak, és meg kellett találni ennek a számnak a töredékét, itt egy szám törtrésze van megadva, és magának ezt a számot kell megtalálni. Ez a gondolat még világosabbá válik, ha az ilyen típusú problémák megoldása felé fordulunk.

1. feladat. Az első napon 50 ablakot üvegeztek be az üvegezők, ami az épített ház összes ablakának 1/3-a. Hány ablak van a házban?

Megoldás. A probléma azt mondja, hogy 50 üvegezett ablak teszi ki a ház összes ablakának 1/3-át, ami azt jelenti, hogy összesen 3-szor több ablak van, pl.

A háznak 150 ablaka volt.

2. feladat. Az üzletben 1500 kg lisztet értékesítettek, ami az üzlet teljes lisztkészletének 3/8-a. Mennyi volt a bolt kezdeti lisztkészlete?

Megoldás. A probléma feltételéből látható, hogy az eladott 1500 kg liszt a teljes készlet 3/8-át teszi ki; ez azt jelenti, hogy ennek az állománynak az 1/8-a 3-szor kisebb lesz, azaz a kiszámításához 1500-at kell háromszorosára csökkenteni:

1500: 3 = 500 (ez az állomány 1/8-a).

Nyilvánvalóan a teljes készlet 8-szor nagyobb lesz. Ennélfogva,

500 8 \u003d 4000 (kg).

A kezdeti lisztkészlet a boltban 4000 kg volt.

A probléma mérlegeléséből a következő szabályra lehet következtetni.

Ahhoz, hogy egy számot a történek adott értékével találjunk meg, elegendő ezt az értéket elosztani a tört számlálójával, és az eredményt megszorozni a tört nevezőjével.

Két feladatot oldottunk meg a törtszám alapján. Az ilyen problémákat, amint az az utolsóból különösen jól látható, két művelettel oldjuk meg: osztással (amikor egy részt találunk) és szorzással (ha az egész számot megtaláljuk).

Azonban miután megvizsgáltuk a törtek felosztását, a fenti problémák egy művelettel megoldhatók, nevezetesen: törtosztással.

Például az utolsó feladat egy művelettel megoldható:

A jövőben meg fogjuk oldani azt a problémát, hogy egy szám törtrésze alapján találjunk egy műveletben - osztásban.

7. Szám keresése százalékos aránya alapján.

Ezekben a feladatokban meg kell találnia egy számot, ennek a számnak néhány százalékának ismeretében.

1. feladat. Ez év elején 60 rubelt kaptam a takarékpénztártól. bevétel abból az összegből, amit egy éve megtakarításba tettem. Mennyi pénzt tettem a takarékpénztárba? (A pénztárak a bevétel 2%-át adják a betéteseknek évente.)

A probléma jelentése az, hogy egy bizonyos összeget betettem egy takarékpénztárba, és ott feküdt egy évig. Egy év után 60 rubelt kaptam tőle. bevétel, ami a befektetett pénzem 2/100-a. Mennyi pénzt helyeztem el?

Ezért ennek a pénznek a kétféle (rubelben és töredékben) kifejezett részét ismerve meg kell találnunk a teljes, még ismeretlen összeget. Ez egy közönséges probléma egy szám megtalálásának törtrésze alapján. A következő feladatokat osztással oldjuk meg:

Tehát 3000 rubelt tettek a takarékpénztárba.

2. feladat. A horgászok két hét alatt 64%-kal teljesítették a havi tervet, 512 tonna halat készítettek elő. Mi volt a tervük?

A probléma állapotából ismert, hogy a halászok befejezték a terv egy részét. Ez a rész 512 tonnának felel meg, ami a terv 64%-a. Hogy a terv szerint hány tonna halat kell kitermelni, nem tudjuk. A feladat megoldása ennek a számnak a megtalálásából áll.

Az ilyen feladatokat felosztással oldják meg:

Tehát a terv szerint 800 tonna halat kell előkészíteni.

3. feladat. A vonat Rigából Moszkvába ment. Amikor áthaladt a 276. kilométeren, az egyik utas megkérdezte az arra haladó kalauzt, hogy mennyit tettek meg már az útból. A karmester erre azt válaszolta: „A teljes út 30%-át már megtettük.” Mi a távolság Riga és Moszkva között?

A probléma állapotából látható, hogy a Riga és Moszkva közötti út 30%-a 276 km. Meg kell találnunk a városok közötti teljes távolságot, azaz ehhez a részhez meg kell találnunk az egészet:

91. § Kölcsönös számok. Az osztás helyettesítése szorzással.

Vegyük a tört 2/3-ot, és rendezzük át a számlálót a nevező helyére, 3/2-t kapunk. Megkaptuk a töredékét, ennek a reciprokát.

Ahhoz, hogy egy adott törtreciprokát kapjuk, a nevező helyére a számlálót, a számláló helyére a nevezőt kell tenni. Ily módon olyan törtet kaphatunk, amely bármely tört reciproka. Például:

3/4, fordított 4/3; 5/6, fordított 6/5

Két olyan törtet, amelyeknek az a tulajdonsága, hogy az első számlálója a második nevezője, az elsőé pedig a második számlálója, ún. kölcsönösen inverz.

Most gondoljuk át, hogy melyik tört lesz az 1/2 reciprokja. Nyilván 2/1 lesz, vagy csak 2. Ennek reciprokát keresve egész számot kaptunk. És ez az eset nem elszigetelt; ellenkezőleg, minden 1 (egy) számlálóval rendelkező tört esetén a reciprok egész számok lesznek, például:

1/3, inverz 3; 1/5, fordított 5

Mivel a reciprok keresésekor egész számokkal is találkoztunk, a jövőben nem reciprokokról, hanem reciprokokról fogunk beszélni.

Találjuk ki, hogyan írjuk fel egy egész szám reciprokát. Törteknél ez egyszerűen megoldható: a nevezőt kell a számláló helyére tenni. Ugyanígy megkaphatja egy egész szám reciprokát, mivel bármely egész szám nevezője lehet 1. Ezért a 7 reciproka 1/7 lesz, mert 7 \u003d 7 / 1; a 10-es szám esetében fordítva 1/10, mivel 10 = 10/1

Ezt a gondolatot másképpen is kifejezhetjük: adott szám reciprokát úgy kapjuk meg, hogy egyet elosztunk a megadott számmal. Ez az állítás nem csak egész számokra igaz, hanem törtekre is. Valóban, ha olyan számot akarunk írni, amely az 5/9 tört reciprokja, akkor vehetünk 1-et és oszthatjuk 5/9-cel, azaz.

Most emeljünk ki egyet ingatlan kölcsönösen reciprok számok, amelyek hasznosak lesznek számunkra: kölcsönösen reciprok számok szorzata eggyel egyenlő. Valóban:

Ezt a tulajdonságot felhasználva a következő módon találhatunk reciprokokat. Keressük meg a 8 reciprokát.

Jelöljük a betűvel x , majd 8 x = 1, tehát x = 1/8. Keressünk egy másik számot, a 7/12 inverzét, és jelöljük betűvel x , majd 7/12 x = 1, tehát x = 1:7 / 12 vagy x = 12 / 7 .

Itt vezettük be a reciprok számok fogalmát, hogy némileg kiegészítsük a törtek felosztásával kapcsolatos információkat.

Ha a 6-ot elosztjuk 3/5-tel, akkor a következőket tesszük:

Fizetés Speciális figyelem kifejezésre, és hasonlítsa össze a megadottal: .

Ha a kifejezést külön vesszük, anélkül, hogy az előzőhöz kapcsolódnánk, akkor lehetetlen megoldani azt a kérdést, hogy honnan jött: a 6-ot 3/5-tel osztva, vagy a 6-ot 5/3-dal megszorozva. Az eredmény mindkét esetben ugyanaz. Tehát mondhatjuk hogy egy szám elosztása egy másikkal helyettesíthető az osztalék és az osztó reciproka szorzásával.

Az alábbiakban bemutatott példák teljes mértékben megerősítik ezt a következtetést.

Törtek szorzása és osztása.

Figyelem!
Vannak további
anyag az 555. külön szakaszban.
Azoknak, akik erősen "nem nagyon..."
És azoknak, akik "nagyon...")

Ez a művelet sokkal szebb, mint az összeadás-kivonás! Mert az könnyebb. Emlékeztetlek: a tört törttel való szorzásához meg kell szorozni a számlálókat (ez lesz az eredmény számlálója) és a nevezőket (ez lesz a nevező). Azaz:

Például:

Minden rendkívül egyszerű. És kérlek, ne keress közös nevezőt! Nem kell ide...

Egy tört törttel való osztásához meg kell fordítania második(ez fontos!) tört, és szorozza meg őket, azaz:

Például:

Ha az egész számokkal és törtekkel való szorzást vagy osztást elkaptuk, az rendben van. Akárcsak az összeadásnál, egész számból törtet készítünk, amelynek nevezője egy egység – és menj! Például:

A középiskolában gyakran kell megküzdenie a háromemeletes (vagy akár négyemeletes!) törtekkel. Például:

Hogyan lehet ezt a törtet tisztességes formára hozni? Igen, nagyon könnyű! Használja a két ponton keresztüli osztást:

De ne feledkezzünk meg a felosztási sorrendről sem! A szorzással ellentétben itt ez nagyon fontos! Természetesen nem fogjuk összekeverni a 4:2-t és a 2:4-et sem. De egy háromemeletes töredékben könnyű hibázni. Kérjük, vegye figyelembe például:

Az első esetben (kifejezés a bal oldalon):

A másodikban (kifejezés a jobb oldalon):

Érezd a különbséget? 4 és 1/9!

Mi a felosztás sorrendje? Vagy zárójelek, vagy (mint itt) a vízszintes kötőjelek hossza. Fejleszteni egy szemet. És ha nincsenek zárójelek vagy kötőjelek, például:

majd oszd-szorozd sorrendben, balról jobbra!

És még egy nagyon egyszerű és fontos trükk. A diplomás akciókban jól fog jönni neked! Ossza el az egységet tetszőleges törttel, például 13/15-tel:

A lövés megfordult! És ez mindig megtörténik. Ha 1-et tetszőleges törttel osztunk, az eredmény ugyanaz a tört, csak megfordítva.

Ennyi a törtekkel végzett művelet. A dolog meglehetősen egyszerű, de több mint elég hibát ad. jegyzet gyakorlati tanácsokat, és ezek (hibák) kevesebbek lesznek!

Gyakorlati tippek:

1. A törtkifejezésekkel való munka során a legfontosabb a pontosság és a figyelmesség! Ezek nem közönséges szavak, nem jókívánságok! Ez súlyos igény! Végezzen minden számítást a vizsgán teljes értékű feladatként, koncentráltan és világosan. Jobb két extra sort írni egy piszkozatba, mint fejben számolgatni.

2. A példákban -val különböző típusok törtek - lépjen a közönséges törtekre.

3. Az összes törtet ütközésig csökkentjük.

4. Többszintes törtkifejezések két ponton keresztüli osztás segítségével közönségessé redukáljuk (követjük az osztás sorrendjét!).

5. Gondolatban törtre osztjuk az egységet, egyszerűen a tört megfordításával.

Itt vannak az elvégzendő feladatok. A válaszok minden feladat után megérkeznek. Használja a téma anyagait és gyakorlati tanácsait. Becsülje meg, hány példát tud helyesen megoldani. Első alkalommal! Számológép nélkül! És vonja le a megfelelő következtetéseket...

Emlékezzen a helyes válaszra a második (főleg a harmadik) alkalomból szerzett - nem számít! Ilyen a kemény élet.

Így, vizsga módban oldja meg ! Ez egyébként a vizsgára való felkészülés. Megoldunk egy példát, ellenőrizzük, megoldjuk a következőket. Mindent eldöntöttünk – újra ellenőriztük az elsőtől az utolsóig. De csak Akkor nézd meg a válaszokat.

Kiszámítja:

Döntött?

Olyan válaszokat keres, amelyek megfelelnek a tiédnek. Kifejezetten összevissza írtam őket, távol a kísértéstől, hogy úgy mondjam... Itt vannak, pontosvesszővel leírva a válaszok.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

És most levonjuk a következtetéseket. Ha minden sikerült - örülök neked! Az elemi számítások törtekkel nem a te problémád! Komolyabb dolgokat is csinálhatsz. Ha nem...

Tehát két probléma közül az egyik van. Vagy egyszerre mindkettő.) Tudáshiány és (vagy) figyelmetlenség. De ez megoldható Problémák.

Ha tetszik ez az oldal...

Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)

Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanulás – érdeklődéssel!)

függvényekkel, származékokkal ismerkedhet meg.

Legutóbb megtanultuk, hogyan kell törteket összeadni és kivonni (lásd a "Törtek összeadása és kivonása" című leckét). A legnehezebb pillanat ezekben az akciókban az volt, hogy a törteket közös nevezőre hozzuk.

Itt az ideje, hogy foglalkozzunk a szorzással és az osztással. A jó hír az, hogy ezek a műveletek még egyszerűbbek, mint az összeadás és a kivonás. Kezdjük a legegyszerűbb esettel, amikor két pozitív tört van megkülönböztetett egész rész nélkül.

Két tört szorzásához külön meg kell szoroznia a számlálójukat és a nevezőiket. Az első szám az új tört számlálója, a második pedig a nevező.

Két tört felosztásához meg kell szorozni az első törtet a "fordított" másodikkal.

Kijelölés:

A definícióból az következik, hogy a törtek osztása szorzásra redukálódik. Egy tört megfordításához cserélje fel a számlálót és a nevezőt. Ezért az egész leckét főként a szorzást fogjuk figyelembe venni.

A szorzás eredményeként redukált tört keletkezhet (és gyakran keletkezik is) - természetesen csökkenteni kell. Ha az összes csökkentés után a tört hibásnak bizonyult, akkor az egész részt meg kell különböztetni benne. De ami pontosan nem fog megtörténni a szorzással, az a közös nevezőre való redukálás: nincsenek keresztirányú módszerek, maximális tényezők és legkisebb közös többszörösek.

Értelemszerűen a következőkkel rendelkezünk:

Törtek szorzása egész résszel és negatív törtekkel

Ha a törtrészekben egész szám van, akkor azokat helytelenné kell alakítani - és csak ezután szorozni a fent vázolt sémák szerint.

Ha egy tört számlálójában, a nevezőben vagy előtte mínusz van, akkor az alábbi szabályok szerint kivehető a szorzás határából, vagy teljesen eltávolítható:

1. Pluszszorok mínusz mínuszt ad;
2. Két negatívum igenlővé tesz.

Ezekkel a szabályokkal eddig csak negatív törtek összeadásakor és kivonásakor találkoztunk, amikor az egész résztől kellett megszabadulni. Egy termék esetében általánosíthatóak, hogy egyszerre több mínuszt is „égessenek”:

1. Páronként áthúzzuk a mínuszokat, amíg teljesen eltűnnek. Szélsőséges esetben egy mínusz túlélhet - az, amelyik nem talált egyezést;
2. Ha nem marad mínusz, a művelet befejeződött - elkezdheti a szorzást. Ha az utolsó mínusz nincs áthúzva, mivel nem talált párat, kivesszük a szorzás határából. Kapsz egy negatív törtet.

Feladat. Keresse meg a kifejezés értékét:

Az összes törtet helytelenre fordítjuk, majd kivesszük a mínuszokat a szorzás határain kívül. Ami megmarad, azt a szokásos szabályok szerint megszorozzák. Kapunk:

Hadd emlékeztesselek még egyszer, hogy a mínusz, amely a tört előtt áll a kiemelten egész rész, kifejezetten a teljes törtre vonatkozik, és nem csak annak egész részére (ez az utolsó két példára vonatkozik).

Szintén figyelni negatív számok: Szorzáskor zárójelben vannak. Ez azért történik, hogy a mínuszokat elkülönítsék a szorzójelektől, és az egész jelölés pontosabb legyen.

Törtszámok csökkentése menet közben

A szorzás nagyon munkaigényes művelet. A számok itt meglehetősen nagyok, és a feladat egyszerűsítése érdekében megpróbálhatja még jobban csökkenteni a törtet szorzás előtt. Valójában a törtek számlálói és nevezői lényegében közönséges tényezők, ezért a tört alapvető tulajdonságával redukálhatók. Vessen egy pillantást a példákra:

Feladat. Keresse meg a kifejezés értékét:

Értelemszerűen a következőkkel rendelkezünk:

Minden példában pirossal jelöljük a csökkentett számokat és a belőlük megmaradt számokat.

Kérjük, vegye figyelembe: az első esetben a szorzók teljes mértékben csökkentek. Az egységek a helyükön maradtak, ami általánosságban kihagyható. A második példában nem sikerült teljes csökkentést elérni, de a számítások összmennyisége így is csökkent.

Azonban semmi esetre se használja ezt a technikát törtek összeadásakor és kivonásakor! Igen, néha vannak hasonló számok, amelyeket csak csökkenteni szeretne. Tessék, nézd:

Ezt nem teheted!

A hiba abból adódik, hogy tört összeadásakor a tört számlálójában az összeg jelenik meg, nem pedig a számok szorzata. Ezért lehetetlen a tört fő tulajdonságát alkalmazni, mivel ez a tulajdonság kifejezetten a számok szorzására vonatkozik.

Egyszerűen nincs más ok a törtek csökkentésére, így az előző probléma helyes megoldása így néz ki:

Helyes megoldás:

Mint látható, a helyes válasz nem volt olyan szép. Általában legyen óvatos.

) és a nevezőt nevezővel (a szorzat nevezőjét kapjuk).

Tört szorzási képlet:

Például:

Mielőtt folytatnánk a számlálók és nevezők szorzását, ellenőrizni kell a törtcsökkentés lehetőségét. Ha sikerül csökkentenie a törtet, akkor könnyebben folytathatja a számításokat.

Közönséges tört osztása törttel.

Természetes számot tartalmazó törtek osztása.

Nem olyan ijesztő, mint amilyennek látszik. Az összeadáshoz hasonlóan egy egész számot törtté alakítunk, amelynek nevezője egy egység. Például:

Vegyes törtek szorzása.

A törtek szorzásának szabályai (vegyes):

• vegyes frakciókat nem megfelelővé alakítani;
• szorozzuk meg a törtek számlálóit és nevezőit;
• csökkentjük a törtet;
• ha nem megfelelő törtet kapunk, akkor a nem megfelelő törtet vegyes törtté alakítjuk.

Jegyzet! Megszaporodni vegyes frakció egy másik vegyes törthez először nem megfelelő törtek formába kell hoznia őket, majd meg kell szorozni a közönséges törtek szorzási szabálya szerint.

A második módszer a tört természetes számmal való szorzására.

Kényelmesebb a második módszer használata egy közönséges tört számmal való szorzására.

Jegyzet! Egy tört természetes számmal való szorzásához el kell osztani a tört nevezőjét ezzel a számmal, és a számlálót változatlanul kell hagyni.

A fenti példából kitűnik, hogy ezt az opciót kényelmesebb használni, ha egy tört nevezőjét maradék nélkül osztjuk egy természetes számmal.

Többszintű törtek.

A középiskolában gyakran találnak háromemeletes (vagy több) törteket. Példa:

Ahhoz, hogy egy ilyen tört a szokásos formájába kerüljön, 2 pontra kell osztani:

Jegyzet! A törtek felosztásánál nagyon fontos az osztás sorrendje. Vigyázz, itt könnyen összezavarodhatsz.

Jegyzet, Például:

Ha egyet tetszőleges törttel osztunk, az eredmény ugyanaz a tört lesz, csak megfordítva:

Gyakorlati tippek a törtek szorzásához és osztásához:

1. A törtkifejezésekkel való munka során a legfontosabb a pontosság és a figyelmesség. Minden számítást gondosan és pontosan, koncentráltan és világosan végezzen. Jobb, ha leírsz néhány plusz sort a piszkozatba, mint összezavarodni a fejedben folyó számításokban.

2. A különböző típusú törtekkel kapcsolatos feladatoknál - lépjen a közönséges törtek típusára.

3. Az összes törtet addig csökkentjük, amíg már nem lehet redukálni.

4. A többszintű törtkifejezéseket 2 ponton keresztüli osztás segítségével közönségessé tesszük.

5. Gondolatban törtre osztjuk az egységet, egyszerűen a tört megfordításával.

Egy másik, közönséges törtekkel végrehajtható művelet a szorzás. Megpróbáljuk elmagyarázni annak alapvető szabályait a feladatok megoldása során, megmutatjuk, hogyan szorozzuk meg a közönséges tört természetes számmal, és hogyan kell helyesen szorozni három vagy több közönséges törtet.

Először írjuk le az alapszabályt:

1. definíció

Ha megszorozunk egy közönséges törtet, akkor a kapott tört számlálója egyenlő lesz az eredeti törtek számlálóinak szorzatával, a nevező pedig a nevezőik szorzatával. Szó szerinti formában két a / b és c / d tört esetén ez a b · c d = a · c b · d formában fejezhető ki.

Nézzünk egy példát ennek a szabálynak a helyes alkalmazására. Tegyük fel, hogy van egy négyzet, amelynek oldala egy számegységgel egyenlő. Ekkor az ábra területe 1 négyzet lesz. Mértékegység. Ha a négyzetet egyenlő téglalapokra osztjuk, amelyek oldalai egyenlők a numerikus egység 1 4 és 1 8 oldalával, akkor azt kapjuk, hogy most 32 téglalapból áll (mert 8 4 = 32). Ennek megfelelően mindegyik területe egyenlő lesz a teljes ábra területének 1 32-ével, azaz. 132 nm. egységek.

Van egy árnyékolt töredékünk, amelynek oldalai 5 8 numerikus egységgel és 3 4 numerikus egységekkel egyenlők. Ennek megfelelően a terület kiszámításához meg kell szorozni az első törtet a másodikkal. 5 8 3 4 négyzetméter lesz. egységek. De egyszerűen megszámolhatjuk, hogy hány téglalap van a töredékben: 15 db van, ami azt jelenti, hogy a teljes terület 1532 négyzetegység.

Mivel 5 3 = 15 és 8 4 = 32, a következő egyenletet írhatjuk fel:

5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32

Megerősíti a közönséges törtek szorzására általunk megfogalmazott szabályt, amely a b · c d = a · c b · d formában van kifejezve. Ugyanúgy működik a megfelelő és nem megfelelő törteknél is; Különböző és azonos nevezőjű törtek szorzására használható.

Elemezzük a közönséges törtek szorzásának több feladat megoldását.

1. példa

Szorozzuk meg a 7 11-et 9 8-cal.

Megoldás

Először is kiszámítjuk a feltüntetett törtek számlálóinak szorzatát 7-9-cel megszorozva. 63-at kaptunk. Ekkor kiszámítjuk a nevezők szorzatát, és megkapjuk: 11 8 = 88 . Állítsuk össze a választ két számból: 63 88.

A teljes megoldás így írható:

7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88

Válasz: 7 11 9 8 = 63 88 .

Ha a válaszban redukálható törtet kaptunk, akkor be kell fejeznünk a számítást és el kell végeznünk a redukciót. Ha nem megfelelő törtet kapunk, abból ki kell jelölnünk az egész részt.

2. példa

Számítsa ki a törtek szorzatát! 4 15 és 55 6 .

Megoldás

A fent vizsgált szabály szerint a számlálót meg kell szoroznunk a számlálóval, a nevezőt pedig a nevezővel. A megoldás bejegyzése így fog kinézni:

4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90

Csökkentett frakciót kaptunk, i.e. amelyiknek van 10-zel osztható jele.

Csökkentsük a törtet: 220 90 GCD (220, 90) \u003d 10, 220 90 \u003d 220: 10 90: 10 \u003d 22 9. Ennek eredményeként egy nem megfelelő törtet kaptunk, amelyből kiválasztjuk az egész részt, és vegyes számot kapunk: 22 9 \u003d 2 4 9.

Válasz: 4 15 55 6 = 2 4 9 .

A számítás kényelme érdekében a szorzási művelet végrehajtása előtt csökkenthetjük az eredeti törteket is, amihez a törtet a · c b · d alakba kell hoznunk. A változók értékeit egyszerű tényezőkre bontjuk, és ugyanazokat töröljük.

Hadd magyarázzuk el, hogyan néz ki ez egy adott probléma adatainak felhasználásával.

3. példa

Számítsa ki a szorzatot 4 15 55 6 .

Megoldás

Írjuk fel a számításokat a szorzási szabály alapján. Képesek leszünk:

4 15 55 6 = 4 55 15 6

Mivel 4 = 2 2 , 55 = 5 11 , 15 = 3 5 és 6 = 2 3 , akkor 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3 .

2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9

Válasz: 4 15 55 6 = 2 4 9 .

Az a numerikus kifejezés, amelyben a közönséges törtek szorzása történik, kommutatív tulajdonsággal rendelkezik, vagyis szükség esetén megváltoztathatjuk a tényezők sorrendjét:

a b c d = c d a b = a c b d

Hogyan szorozzuk meg a tört természetes számmal

Rögtön írjuk le az alapszabályt, majd próbáljuk meg elmagyarázni a gyakorlatban.

2. definíció

Egy közönséges tört természetes számmal való szorzásához meg kell szoroznia ennek a törtnek a számlálóját ezzel a számmal. Ebben az esetben a végső tört nevezője egyenlő lesz az eredeti közönséges tört nevezőjével. Valamely a b tört n természetes számmal való szorzata a b · n = a · n b képletként írható fel.

Könnyű megérteni ezt a képletet, ha emlékszel arra, hogy bármely természetes szám ábrázolható közönséges törtként, amelynek nevezője eggyel egyenlő, azaz:

a b n = a b n 1 = a n b 1 = a n b

Magyarázzuk meg elképzelésünket konkrét példákkal.

4. példa

Számítsa ki 2 27 5-tel szorzatát.

Megoldás

Ha az eredeti tört számlálóját megszorozzuk a második tényezővel, 10-et kapunk. A fenti szabály értelmében 10 27-et kapunk eredményül. A teljes megoldás ebben a bejegyzésben található:

2 27 5 = 2 5 27 = 10 27

Válasz: 2 27 5 = 10 27

Amikor egy természetes számot megszorozunk egy közös törttel, gyakran csökkenteni kell az eredményt, vagy vegyes számként kell ábrázolnunk.

5. példa

Feltétel: Számítsa ki 8-szor 5 12 szorzatát!

Megoldás

A fenti szabály szerint egy természetes számot megszorozunk a számlálóval. Ennek eredményeként azt kapjuk, hogy 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12. A végső törtnek 2-vel osztható jelei vannak, ezért csökkentenünk kell:

LCM (40, 12) \u003d 4, tehát 40 12 \u003d 40:4 12:4 \u003d 10 3

Most már csak az egész részt kell kiválasztanunk, és felírnunk a kész választ: 10 3 = 3 1 3.

Ebben a bejegyzésben a teljes megoldás látható: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3 .

Csökkenthetjük a törtet úgy is, hogy a számlálót és a nevezőt prímtényezőkké alakítjuk, és az eredmény pontosan ugyanaz lenne.

Válasz: 5 12 8 = 3 1 3 .

Az a numerikus kifejezés, amelyben egy természetes számot megszorozunk törttel, szintén rendelkezik eltolási tulajdonsággal, vagyis a tényezők sorrendje nem befolyásolja az eredményt:

a b n = n a b = a n b

Három vagy több gyakori tört szorzása

A közönséges törtek szorzási műveletére kiterjeszthetjük ugyanazokat a tulajdonságokat, amelyek a szorzásra jellemzőek természetes számok. Ez e fogalmak meghatározásából következik.

Az asszociatív és kommutatív tulajdonságok ismeretének köszönhetően lehetőség van három vagy több közönséges tört szorzására. A nagyobb kényelem érdekében megengedett a tényezők átrendezése helyenként, vagy a zárójelek olyan elrendezése, amely megkönnyíti a számolást.

Mutassunk egy példát, hogyan történik ez.

6. példa

Szorozzon meg négy közönséges törtet 1 20 , 12 5 , 3 7 és 5 8 .

Megoldás: Először rögzítsük a munkát. 1 20 12 5 3 7 5 8-at kapunk. Össze kell szoroznunk az összes számlálót és nevezőt: 1 20 12 5 3 7 5 8 = 1 12 3 5 20 5 7 8 .

Mielőtt elkezdenénk a szorzást, egy kicsit megkönnyíthetjük magunknak, és néhány számot prímtényezőkre bonthatunk a további csökkentés érdekében. Ez könnyebb lesz, mint az ebből származó kész frakció csökkentése.

1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9 280

Válasz: 1 12 3 5 20 5 7 8 = 9280.

7. példa

Szorozz meg 5 számot 7 8 12 8 5 36 10 .

Megoldás

A kényelem kedvéért csoportosíthatjuk a 7 8-as törtet a 8-as számmal, a 12-es számot pedig az 5 36-os törttel, mivel ez egyértelművé teszi számunkra a jövőbeni csökkentéseket. Ennek eredményeként a következőket kapjuk:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = = 7 5 3 10 = 7 = 3 5 3 10 116 2 3

Válasz: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3 .

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt