Különféle, tisztán matematikai és alkalmazott jellegű feladatok megoldása során (különösen az építőiparban) gyakran meg kell határozni egy adott geometriai alakzat magasságának értékét. Hogyan számíthatunk ki egy adott értéket (magasságot) egy háromszögben?

Ha 3 olyan pontot párosítunk, amelyek nem egyetlen egyenesen helyezkednek el, akkor a kapott ábra egy háromszög lesz. Magasság - az ábra bármely csúcsából származó vonal egy része, amely metszéspontban van ellenkező oldal 90°-os szöget zár be.

Keresse meg a magasságot egy léptékű háromszögben

Határozzuk meg a háromszög magasságának értékét abban az esetben, ha az ábrának tetszőleges szögei és oldalai vannak.

Heron képlete

h(a)=(2√(p(p-a)*(p-b)*(p-c)))/a, ahol

p - az ábra kerületének fele, h(a) - az a oldalra merőleges szegmens,

p=(a+b+c)/2 – a fél kerület számítása.

Ha van az ábrán egy terület, akkor a magasságának meghatározásához használhatja a h(a)=2S/a arányt.

Trigonometrikus függvények

Az a oldal metszéspontjában derékszöget bezáró szakasz hosszának meghatározásához a következő összefüggéseket használhatjuk: ha a b oldal és a γ szög vagy a c oldal és a β szög ismert, akkor h(a)=b*sinγ vagy h(a)=c*sinβ.
Ahol:
γ a b és a oldal közötti szög,
β a c és a oldal közötti szög.

Összefüggés a sugárral

Ha az eredeti háromszög körbe van írva, akkor egy ilyen kör sugarát használhatja a magasság meghatározására. Középpontja azon a ponton található, ahol mind a 3 magasság metszi egymást (minden csúcsból) - az ortocentrum, és a távolság attól a csúcstól (bármilyen) a sugár.

Ekkor h(a)=bc/2R, ahol:
b, c - a háromszög másik két oldala,
R a háromszöget leíró kör sugara.

Keresse meg a magasságot egy derékszögű háromszögben

Ebben a geometriai alakzatban a metszéspontban 2 oldal derékszöget alkot - 90 °. Ezért, ha meg kell határozni a benne lévő magasság értékét, akkor ki kell számítani vagy az egyik láb méretét, vagy annak a szegmensnek az értékét, amely 90 ° -ot képez a hipotenusszal. Kijelöléskor:
a, b - lábak,
c a hipotenusz,
h(c) a hipotenuszra merőleges.
Gyárt szükséges számításokat a következő relációkkal végezhető el:

• Pitagorasz tétel:

a \u003d √ (c 2 -b 2),
b \u003d √ (c 2 -a 2),
h(c)=2S/c S=ab/2, majd h(c)=ab/c .

• Trigonometrikus függvények:

a=c*sinβ,
b=c* cosβ,
h(c)=ab/c=с* sinβ* cosβ.

Keresse meg a magasságot egy egyenlő szárú háromszögben

Ezt a geometriai alakot két egyenlő méretű oldal jelenléte és a harmadik - az alap - jellemzi. A harmadik, más oldalra húzott magasság meghatározásához a Pitagorasz-tétel jön segítségül. A megnevezésekkel
a - oldal,
c - alap,
h(c) egy c-vel 90°-os szöget bezárt szakasz, akkor h(c)=1/2 √(4a 2 -c 2).

A háromszög magassága az a merőleges, amely a háromszög bármely csúcsából a szemközti oldalra, vagy annak meghosszabbítására esik (azt az oldalt, amelyre a merőleges esik, ebben az esetben a háromszög alapjának nevezzük).

Egy tompa háromszögben két magasság esik az oldalak kiterjedésére, és a háromszögön kívül esik. A harmadik a háromszög belsejében található.

Egy hegyesszögű háromszögben mindhárom magasság a háromszög belsejében található.

Egy derékszögű háromszögben a lábak magasságként szolgálnak.

Hogyan lehet megtalálni a magasságot az alaptól és a területtől

Emlékezzünk vissza a háromszög területének kiszámításának képletére. A háromszög területét a következő képlettel számítjuk ki: A=1/2bh.

• A a háromszög területe
• b a háromszög azon oldala, amelyre a magasság le van csökkentve.
• h a háromszög magassága

Nézd meg a háromszöget, és gondold át, milyen mennyiségeket tudsz már. Ha adott egy területet, jelölje meg "A" vagy "S" betűvel. Meg kell adni az oldal értékét is, jelölje "b" betűvel. Ha nem kapsz területet és nem kapsz oldalt, használj másik módszert.

Ne feledje, hogy a háromszög alapja lehet a háromszög bármely olyan oldala, ahol a magasság csökken (függetlenül attól, hogy a háromszög hogyan van elhelyezve). Ennek jobb megértéséhez képzelje el, hogy el tudja forgatni ezt a háromszöget. Forgassa el úgy, hogy az általa ismert oldal lefelé nézzen.

Például egy háromszög területe 20, az egyik oldala pedig 4. Ebben az esetben „A = 20”, „b = 4””.

Cserélje be a terület kiszámítására szolgáló képletben megadott értékeket (A \u003d 1 / 2bh), és keresse meg a magasságot. Először szorozza meg a (b) oldalt 1/2-vel, majd ossza el az (A) területet a kapott értékkel. Így megtalálja a háromszög magasságát.

Példánkban: 20 = 1/2(4)h

20 = 2 óra
10 = óra

Idézzük fel egy egyenlő oldalú háromszög tulajdonságait! Egy egyenlő oldalú háromszögben minden oldal és minden szög egyenlő (minden szög 60˚). Ha egy ilyen háromszögben magasságot rajzol, akkor két egyenlő derékszögű háromszöget kap.
Vegyünk például egy egyenlő oldalú háromszöget, amelynek oldala 8.

Emlékezz a Pitagorasz-tételre. A Pitagorasz-tétel kimondja, hogy bármely „a” és „b” szárú derékszögű háromszögben a „c” hipotenusz: a2 + b2 \u003d c2. Ezzel a tétellel megkereshetjük egy egyenlő oldalú háromszög magasságát!

Egy egyenlő oldalú háromszöget ossza fel két derékszögű háromszögre (ehhez húzzon egy magasságot). Ezután jelölje be az egyik derékszögű háromszög oldalait. Egy egyenlő oldalú háromszög oldalsó oldala a "c" hipotenuzus derékszögű háromszög. Az "a" láb egyenlő az egyenlő oldalú háromszög oldalának 1/2-ével, a "b" szár pedig az egyenlő oldalú háromszög szükséges magassága.

Tehát a példánkban egy egyenlő oldalú háromszöggel ismert párt egyenlő 8-cal: c = 8 és a = 4.

Helyettesítsd be ezeket az értékeket a Pitagorasz-tételbe, és számítsd ki a b2-t. Először állítsa be a „c” és „a” négyzetet (mindegyik értéket szorozza meg önmagával). Ezután vonjuk ki a2-t c2-ből.

42 + b2 = 82
16 + b2 = 64
b2 = 48

Kivonat Négyzetgyök b2-ből keressük meg a háromszög magasságát. Ehhez használjon számológépet. A kapott érték az egyenlő oldalú háromszög magassága lesz!

b = √48 = 6,93

Hogyan lehet megtalálni a magasságot szögek és oldalak segítségével

Gondold át, milyen értékeket ismersz. A háromszög magasságát akkor találhatja meg, ha ismeri az oldalakat és a szögeket. Például, ha ismert az alap és az oldal közötti szög. Vagy ha mindhárom oldal értéke ismert. Tehát jelöljük a háromszög oldalait: "a", "b", "c", a háromszög szögeit: "A", "B", "C", és a területet - az "S" betűt.

Ha ismeri mindhárom oldalt, szüksége lesz a háromszög területére és a Heron képletére.

Ha ismeri a két oldalt és a köztük lévő szöget, akkor a következő képlettel keresheti meg a területet: S=1/2ab(sinC).

Ha megadja mindhárom oldal értékét, használja a Heron képletét. Ez a képlet több lépést igényel. Először meg kell találnia az "s" változót (ezzel a betűvel jelöljük a háromszög kerületének felét). Ehhez helyettesítse be az ismert értékeket ebbe a képletbe: s = (a+b+c)/2.

Olyan háromszög esetén, amelynek oldalai a = 4, b = 3, c = 5, s = (4+3+5)/2. Az eredmény: s=12/2, ahol s=6.

Ezután a második akcióval megkeressük a területet (Héron képletének második része). Terület = √(s(s-a)(s-b)(s-c)). A "terület" szó helyett írja be a megfelelő képletet a terület megtalálásához: 1/2bh (vagy 1/2ah, vagy 1/2ch).

Most keresse meg a magasság (h) ekvivalens kifejezését. Háromszögünkre a következő egyenlet lesz érvényes: 1/2(3)h = (6(6-4)(6-3)(6-5)). Ahol 3/2h=√(6(2(3(1))). Kiderül, 3/2h = √(36). Számológép segítségével számítsuk ki a négyzetgyököt. Példánkban: 3/2h = 6. Kiderül, hogy a magasság (h) 4, a b oldal az alap.

Ha a feladat feltétele alapján két oldal és egy szög ismert, akkor más képletet is használhat. Cserélje le a képlet területét a megfelelő kifejezéssel: 1/2bh. Így a következő képletet kapjuk: 1/2bh = 1/2ab(sinC). Egyszerűsíthető a következő alakra: h = a(sin C) egy ismeretlen változó eltávolítására.

Most hátra van a kapott egyenlet megoldása. Például legyen "a" = 3, "C" = 40 fok. Ekkor az egyenlet így fog kinézni: "h" = 3 (sin 40). Számológép és szinusztábla segítségével számítsa ki a "h" értékét. Példánkban h = 1,928.

Hogyan lehet megtalálni a háromszög legnagyobb vagy legkisebb magasságát? Minél kisebb a háromszög magassága, annál nagyobb a hozzá húzott magasság. Vagyis egy háromszög magassága közül a legnagyobb az, amelyik a legkisebb oldalához van húzva. - amelyik a háromszög oldalai közül a legnagyobbra van húzva.

Egy háromszög maximális magasságának meghatározása , eloszthatja a háromszög területét annak az oldalnak a hosszával, amelyre ez a magasság húzódik (vagyis a háromszög legkisebb oldalának hosszával).

Ennek megfelelően d Egy háromszög legkisebb magasságának meghatározása Osszuk el a háromszög területét a leghosszabb oldalának hosszával.

1. feladat.

Határozzuk meg annak a háromszögnek a legkisebb magasságát, amelynek oldalai 7 cm, 8 cm és 9 cm.

Adott:

AC=7cm, AB=8cm, BC=9cm.

Keresse meg: a háromszög legkisebb magasságát.

Megoldás:

A háromszög magassága közül a legkisebb az, amelyik a leghosszabb oldalához van húzva. Tehát meg kell találnia a BC oldalra húzott AF magasságot.

A jelölés megkönnyítése érdekében bevezetjük a jelölést

BC=a, AC=b, AB=c, AF=ha.

A háromszög magassága megegyezik a háromszög területének kétszeresének hányadosával osztva azzal az oldallal, amelyre ezt a magasságot húzzuk. Megtalálható a Heron-képlet segítségével. Ezért

Kiszámoljuk:

Válasz:

2. feladat.

Keresse meg egy háromszög leghosszabb oldalát, amelynek oldalai 1 cm, 25 cm és 30 cm.

Adott:

AC=25 cm, AB=11 cm, BC=30 cm.

Megtalálja:

az ABC háromszög legnagyobb magassága.

Megoldás:

A háromszög legnagyobb magasságát a legkisebb oldalához húzzuk.

Tehát meg kell találnunk az AB oldalra húzott magassági CD-t.

A kényelem kedvéért jelöljük

Számos geometriai probléma megoldásához meg kell találnia a magasságot adott ábra. Ezek a feladatok gyakorlati jelentőséggel bírnak. Az építési munkák során a magasság meghatározása segít a szükséges anyagmennyiség kiszámításában, valamint annak meghatározásában, hogy a lejtők és a nyílások milyen pontosan készülnek. A minták felépítéséhez gyakran szükség van egy elképzelésre a tulajdonságokról

Sokan, annak ellenére, hogy jó osztályzatokat az iskolában, amikor az épület rendes geometriai formák Felmerül a kérdés, hogyan lehet megtalálni egy háromszög vagy paralelogramma magasságát. És ez a legnehezebb. Ez azért van, mert a háromszög lehet hegyesszögű, tompaszögű, egyenlő szárú vagy derékszögű. Mindegyiknek megvannak a saját szabályai az építkezésre és a számításra.

Hogyan találjuk meg grafikusan egy olyan háromszög magasságát, amelyben minden szög hegyesszögű

Ha a háromszög minden szöge hegyes (a háromszög minden szöge kisebb, mint 90 fok), akkor a magasság meghatározásához tegye a következőket.

1. A megadott paraméterek szerint háromszöget készítünk.
2. Vezessük be a jelölést. A, B és C az ábra csúcsai lesznek. Az egyes csúcsoknak megfelelő szögek α, β, γ. A sarkokkal szemközti oldalak a, b, c.
3. A magasság a szög csúcsától a háromszög ellenkező oldaláig tartó merőleges. A háromszög magasságának meghatározásához merőlegeseket építünk: az α szög csúcsából az a oldalra, a β szög csúcsából a b oldalra stb.
4. A magasság és az a oldal metszéspontját H1 jelöljük, magát a magasságot pedig h1. A magasság és a b oldal metszéspontja H2, magassága pedig h2 lesz. A c oldalnál a magasság h3, a metszéspont pedig H3 lesz.

Magasság egy tompaszögű háromszögben

Most fontolja meg, hogyan találja meg a háromszög magasságát, ha az (90 foknál nagyobb). Ebben az esetben a tompaszögből húzott magasság a háromszög belsejében lesz. A fennmaradó két magasság a háromszögön kívül lesz.

Legyenek a háromszögünkben az α és β szögek hegyesek, a γ szög pedig tompaszögű. Ezután az α és β szögekből kilépő magasságok megszerkesztéséhez a háromszög velük szemben lévő oldalait kell folytatni, hogy merőlegeseket rajzoljunk.

Hogyan találjuk meg az egyenlő szárú háromszög magasságát

Ennek a figurának kettő van egyenlő oldalakés az alap, míg az alapnál lévő szögek is egyenlők egymással. Az oldalak és szögek egyenlősége megkönnyíti a magasságok kialakítását és kiszámítását.

Először is rajzoljuk meg magát a háromszöget. Legyenek a b és c oldalak, valamint a β, γ szögek rendre egyenlők.

Most húzzunk egy magasságot az α szög csúcsából, jelöljük h1-el. Ez a magasság a felező és a medián is lesz.

Az alapozáshoz csak egy konstrukció készíthető. Például rajzoljon egy mediánt - egy szegmenst, amely összeköti egy egyenlő szárú háromszög csúcsát és a szemközti oldalt, az alapot, hogy megtalálja a magasságot és a felezőt. És a másik két oldal magasságának kiszámításához csak egy magasságot építhet. Így ahhoz, hogy grafikusan meghatározzuk, hogyan kell kiszámítani egy egyenlő szárú háromszög magasságát, elegendő három magasságból kettőt találni.

Hogyan találjuk meg a derékszögű háromszög magasságát

Sokkal könnyebb meghatározni egy derékszögű háromszög magasságát, mint másoké. Ez azért van, mert maguk a lábak derékszöget alkotnak, ami azt jelenti, hogy magasságok.

A harmadik magasság felépítéséhez szokás szerint a csúcsot összekötő merőlegest húzunk derékszögés az ellenkező oldalt. Ennek eredményeként ebben az esetben egy háromszög létrehozásához csak egy konstrukció szükséges.