Az x tengely körüli forgástest térfogata parametrikus. Egy paraméteresen meghatározott görbe által határolt ábra területének kiszámítása. Egy lapos alak tengely körüli elforgatásával keletkezett test térfogatának kiszámítása

Szakaszok: Matematika

Az óra típusa: kombinált.

Az óra célja: megtanulják kiszámítani a forgástestek térfogatát integrálok segítségével.

Feladatok:

megszilárdítsa a görbe vonalú trapézok kiválasztásának képességét számos geometriai alakzat közül, és fejleszti a görbe vonalú trapézok területének kiszámításának képességét;
megismerkedjen a háromdimenziós figura fogalmával;
megtanulják kiszámítani a forgástestek térfogatát;
hozzájárulni a fejlődéshez logikus gondolkodás, kompetens matematikai beszéd, pontosság a rajzok felépítésében;
a téma iránti érdeklődés ébresztésére, matematikai fogalmakkal, képekkel operálni, az akarat, önállóság, kitartás nevelése a végeredmény elérésében.

Az órák alatt

I. Szervezési mozzanat.

Csoportos üdvözlet. Kommunikáció a tanulókkal az óra céljairól.

Visszaverődés. Nyugodt dallam.

A mai órát egy példázattal szeretném kezdeni. „Volt egy bölcs ember, aki mindent tudott. Egy ember be akarta bizonyítani, hogy a bölcs nem tud mindent. Kezében szorongatta a pillangót, és megkérdezte: „Mondd meg, bölcs, melyik pillangó van a kezemben: élő vagy halott?” És ő maga azt gondolja: "Ha az élő azt mondja, megölöm, ha a halott azt mondja, kiengedem." A bölcs gondolkodva válaszolt: "Minden a te kezedben". (Bemutatás.Csúszik)

- Ezért dolgozzunk ma eredményesen, sajátítsunk el egy új tudástárat, és a megszerzett készségeket, képességeket a későbbi életkorban, gyakorlati tevékenységekben is kamatoztatjuk. "Minden a te kezedben".

II. Korábban tanult anyag ismétlése.

Tekintsük át a korábban tanulmányozott anyag főbb pontjait. Ehhez végezzük el a feladatot – Távolítsa el a felesleges szót.(Csúszik.)

(A diák a személyi igazolványhoz megy, egy radír segítségével eltávolítja a felesleges szót.)

- Jobb "Differenciális". Próbálja meg a fennmaradó szavakat egy közös szóval elnevezni. (Integrálszámítás.)

- Emlékezzünk az integrálszámítás főbb szakaszaira és fogalmaira.

"Matematikai csomó".

Gyakorlat. A bérletek visszaállítása. (A tanuló kijön, és tollal leírja a szükséges szavakat.)

- Az integrálok alkalmazásáról később hallunk majd beszámolót.

Dolgozz füzetekben.

– A Newton-Leibniz képletet Isaac Newton (1643–1727) angol fizikus és Gottfried Leibniz (1646–1716) német filozófus dolgozta ki. És ez nem meglepő, mert a matematika az a nyelv, amelyet maga a természet beszél.

– Gondolja át, hogyan használható ez a képlet a gyakorlati feladatok megoldásában.

1. példa: Számítsa ki egy vonallal határolt ábra területét!

Megoldás: Építsd tovább Koordináta sík függvénygrafikonok . Válassza ki a keresendő ábra területét.

III. Új anyagok tanulása.

- Ügyeljen a képernyőre. Mi látható az első képen? (Csúszik) (Az ábra lapos ábrát mutat.)

Mi látható a második képen? Lapos ez a figura? (Csúszik) (Az ábra egy háromdimenziós ábrát mutat.)

az űrben, a földön és a bent Mindennapi élet nem csak lapos figurákkal találkozunk, hanem háromdimenziósakkal is, de hogyan lehet kiszámítani az ilyen testek térfogatát? Például egy bolygó, egy üstökös, egy meteorit térfogata stb.

– Gondoljon a térfogatra és a házak építésére, valamint a víz egyik edényből a másikba öntésére. Meg kellett volna születniük a mennyiségszámítási szabályoknak, módszereknek, más kérdés, hogy ezek mennyire voltak pontosak és indokoltak.

Diáküzenet. (Tyurina Vera.)

Az 1612-es év az osztrák Linz város lakói számára, ahol az akkori híres csillagász, Johannes Kepler élt, különösen a szőlő tekintetében volt nagyon termékeny. Az emberek boroshordókat készítettek elő, és tudni akarták, hogyan határozzák meg gyakorlatilag a térfogatukat. (2. dia)

- Kepler megfontolt munkái tehát egy egész kutatásfolyam kezdetét jelentették, amely a 17. század utolsó negyedében tetőzött. tervezés I. Newton és G.V. munkáiban. Leibniz differenciál- és integrálszámítás. Azóta a nagyságrendi változók matematikája vezető helyet foglal el a matematikai tudásrendszerben.

- Tehát ma ilyen gyakorlati tevékenységekkel fogunk foglalkozni, ezért

Óránk témája: "Forradalomtestek térfogatának kiszámítása határozott integrál segítségével." (Csúszik)

- A következő feladat elvégzésével megtanulod a forradalom test definícióját.

"Labirintus".

A labirintus (görög szó) azt jelenti, hogy átjárás a börtönbe. A labirintus utak, átjárók, szobák bonyolult hálózata, amelyek egymással kommunikálnak.

De a meghatározás „összeomlott”, utalások voltak nyilak formájában.

Gyakorlat. Találja meg a kiutat a zavaros helyzetből, és írja le a meghatározást.

Csúszik. „Utasítási kártya” Térfogatszámítás.

Határozott integrál segítségével kiszámíthatja egy test térfogatát, különösen egy forgástestet.

A forgástest olyan test, amelyet egy görbe vonalú trapéz alapja körüli elforgatásával kapunk (1., 2. ábra).

A forgástest térfogatát a következő képletek egyikével számítjuk ki:

1. az x tengely körül.

2. , ha a görbe vonalú trapéz elforgatása az y tengely körül.

Minden tanuló oktatási kártyát kap. A tanár kiemeli a főbb pontokat.

A tanár elmagyarázza a táblán lévő példák megoldását.

Tekintsünk egy részletet A. S. Puskin híres meséjéből: „Szaltán cár meséje, dicsőséges és hatalmas fia Gvidon Szaltanovics hercegről és a gyönyörű Lebed hercegnőről” (4. dia):

…..
És hozott egy részeg hírnököt
Ugyanezen a napon a rendelés:
„A cár megparancsolja a bojárjainak,
Nem vesztegeti az időt,
És a királynő és az utód
Titokban a vizek mélységébe vetve.”
Nincs mit tenni: a bojárok,
Miután gyászolta az uralkodót
És a fiatal királynő
Tömeg jött a hálószobájába.
Kijelentette a királyi végrendeletet -
Neki és fiának gonosz sorsa van,
Olvasd fel a rendeletet
És a királynő is egyben
Egy hordóba tettek a fiammal,
Imádkozott, gurult
És beengedtek az okianba...
Így rendelte Saltan cár.

Mekkora legyen a hordó térfogata, hogy a királyné és a fia elférjen benne?

– Fontolja meg a következő feladatokat

1. Határozzuk meg egy vonalakkal határolt görbe trapéz y tengelye körüli elforgatásával kapott test térfogatát: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Válasz: 1163 cm 3 .

Határozzuk meg a test térfogatát, amelyet egy parabola trapéz abszcissza körüli forgatásával kapunk y = , x = 4, y = 0.

IV. Új anyag rögzítése

2. példa Számítsd ki a szirom x tengely körüli forgásával létrejövő test térfogatát! y \u003d x 2, y 2 \u003d x.

Ábrázoljuk a függvény grafikonjait. y=x2, y2=x. Menetrend y 2 = x formára alakítani y= .

Nekünk van V \u003d V 1 - V 2 Számítsuk ki az egyes függvények térfogatát

- Most nézzük meg a moszkvai rádióállomás tornyát a Shabolovkán, amelyet egy csodálatos orosz mérnök, V. G. Shukhov tiszteletbeli akadémikus terve alapján építettek. Részekből áll - a forradalom hiperboloidjaiból. Ezenkívül mindegyik egyenes vonalú fémrudakból készül, amelyek szomszédos köröket kötnek össze (8., 9. ábra).

- Fontolja meg a problémát.

Határozzuk meg a hiperbola íveinek elforgatásával kapott test térfogatát! ábrán látható módon a képzeletbeli tengelye körül. 8, hol

kocka egységek

Csoportos feladatok. A tanulók feladatokkal sorsolnak, whatman papírra rajzokat készítenek, a csoport egyik képviselője megvédi a munkát.

1. csoport.

Találat! Találat! Újabb találat!
Egy labda berepül a kapuba - BALL!
Ez pedig egy görögdinnyegolyó
Zöld, kerek, finom.
Nézd meg jobban – micsoda labda!
Körökből áll.
A görögdinnyét karikákra vágjuk
És kóstolja meg őket.

Határozza meg a függvény OX tengelye körüli elforgatással kapott térfogatát

Hiba! A könyvjelző nincs meghatározva.

- Mondd, kérlek, hol találkozunk ezzel a figurával?

Ház. feladat az 1. csoportnak. HENGER (csúszik) .

– Henger – mi az? – kérdeztem apámat.
Az apa nevetett: A cilinder kalap.
Birtokolni az ábrázolás helyes,
A henger, mondjuk, egy bádogdoboz.
A gőzölő csöve egy henger,
A cső a tetőn is,

Minden cső hasonló a hengerhez.
És mondtam egy ilyen példát
Szeretett kaleidoszkópom
Nem tudod levenni róla a szemed.
Úgy néz ki, mint egy henger.

- Gyakorlat. Házi feladatábrázoljuk a függvényt és számítsuk ki a térfogatot.

2. csoport. KÚP (csúszik).

Anya azt mondta: És most
A kúpról az én történetem lesz.
Stargazer magas sapkában
Egész évben számolja a csillagokat.
KÚP - csillagnéző sapka.
Ő az. Megértetted? Ez az.
Anya az asztalnál volt
Olajt töltött üvegekbe.
- Hol van a tölcsér? Nincs tölcsér.
Néz. Ne állj a pálya szélére.
- Anya, nem mozdulok el a helyről,
Mesélj többet a kúpról.
- A tölcsér öntözőkanna kúp alakú.
Gyerünk, keress meg gyorsan.
Nem találtam a tölcsért
De anya készített egy táskát,
Tekerje kartonpapírt az ujja köré
És ügyesen gemkapoccsal rögzítve.
Ömlött az olaj, anya boldog
A kúp pont jól jött ki.

Gyakorlat. Számítsa ki az x tengely körüli elforgatással kapott test térfogatát!

Ház. feladat a 2. csoportnak. PIRAMIS(csúszik).

láttam a képet. Ezen a képen
Van egy PIRAMIS a homokos sivatagban.
A piramisban minden rendkívüli,
Van benne némi rejtély és rejtély.
A Szpasszkaja torony a Vörös téren
A gyerekek és a felnőttek is jól ismertek.
Nézze meg a tornyot - hétköznapi megjelenésű,
Mi van rajta? Piramis!

Gyakorlat. Házi feladat ábrázoljon egy függvényt, és számítsa ki a piramis térfogatát

- Különböző testek térfogatát a testek térfogatára vonatkozó alapképlet alapján számoltuk ki az integrál segítségével.

Ez egy újabb megerősítése annak, hogy a határozott integrál némi alapja a matematika tanulmányozásának.

– Most pedig pihenjünk egy kicsit.

Keress párat.

Matematikai dominó dallam szól.

„Az utat, amelyet ő maga keresett, soha nem felejtjük el…”

Kutatómunka. Az integrál alkalmazása a közgazdaságtanban és a technológiában.

Tesztek erős tanulóknak és matematikai focinak.

Matek szimulátor.

2. Egy adott függvény összes antideriváltjának halmazát nevezzük

A) határozatlan integrál

B) funkció,

B) differenciálás.

7. Határozza meg a vonalakkal határolt görbe trapéz abszcissza tengelye körüli elforgatásával kapott test térfogatát:

D/Z. Számítsa ki a forgástestek térfogatát!

Visszaverődés.

A reflexió elfogadása a formában cinquain(öt sor).

1. sor - a téma neve (egy főnév).

2. sor - a téma leírása dióhéjban, két melléknév.

3. sor – a témán belüli cselekvés leírása három szóban.

4. sor - négy szóból álló kifejezés, a témához való hozzáállást mutatja (egész mondat).

Az 5. sor a téma lényegét megismétlő szinonimája.

Hangerő.
Határozott integrál, integrálható függvény.
Építünk, forgatunk, számolunk.
Görbe trapéz (az alapja körül) elforgatásával kapott test.
Forradalom teste (3D geometriai test).

Következtetés (csúszik).

A határozott integrál a matematika tanulmányozásának egyfajta alapja, amely nélkülözhetetlenül hozzájárul a gyakorlati tartalmú problémák megoldásához.
Az „Integrál” téma egyértelműen bemutatja a matematika és a fizika, a biológia, a közgazdaságtan és a technológia kapcsolatát.
Fejlesztés modern tudomány elképzelhetetlen az integrál használata nélkül. Ennek kapcsán középfokú szakirányú képzés keretében szükséges megkezdeni a tanulását!

Osztályozás. (Kommentárral.)

A nagy Omar Khayyam matematikus, költő és filozófus. Arra szólít fel, hogy legyen ura sorsának. Hallgasson meg egy részletet művéből:

Azt mondod, ez az élet csak egy pillanat.
Értékeld, meríts ihletet belőle.
Ahogy elkölted, úgy elmúlik.
Ne felejtsd el: ő a te teremtményed.

Határozzuk meg a test térfogatát, amelyet a cikloid ív alapja körüli forgása generál. Roberval úgy találta meg, hogy a keletkezett tojás alakú testet (5.1. ábra) végtelenül vékony rétegekre bontotta, hengereket írt ezekbe a rétegekbe, és összeadta a térfogatukat. A bizonyítás hosszú, fárasztó és nem teljesen szigorú. Ezért ennek kiszámításához a magasabb matematikához fordulunk. Állítsuk be paraméteresen a cikloid egyenletet.

Az integrálszámításban a kötetek tanulmányozásakor a következő megjegyzést használja:

Ha a görbe vonalú trapézt határoló görbe paraméteres egyenletekkel van megadva, és az ezekben az egyenletekben szereplő függvények kielégítik a változó változására vonatkozó tétel feltételeit egy bizonyos integrálban, akkor a trapéz Ox tengely körüli forgástestének térfogata képlettel kell kiszámítani:

Ezzel a képlettel keressük meg a szükséges kötetet.

Ugyanígy kiszámítjuk ennek a testnek a felületét.

L=((x,y): x=a(t - sin t), y=a(1 - költség), 0 ? t ? 2р)

Az integrálszámításban a következő képlet létezik egy forgástest felületének meghatározására egy görbe x tengelye körül egy szakaszon parametrikusan (t 0 ?t ?t 1):

Ha ezt a képletet alkalmazzuk a cikloid egyenletünkre, a következőt kapjuk:

Tekintsünk egy másik felületet is, amelyet a cikloid ív forgása generál. Ehhez megépítjük a cikloid ívnek az alapjához viszonyított tükörtükrözését, és a cikloid és a visszaverődése által alkotott ovális alakot a KT tengelye körül elforgatjuk (5.2. ábra).

Először keressük meg a cikloid ívének a KT tengely körüli forgásával keletkezett test térfogatát. A térfogatát a (*) képlet alapján számítjuk ki:

Így kiszámítottuk ennek a fehérrépatestnek a térfogatát. Ekkor a teljes mennyiség lesz

Tekintsen példákat a kapott képlet alkalmazására, amely lehetővé teszi a paraméteresen meghatározott vonalak által határolt ábrák területeinek kiszámítását.

Példa.

Számítsa ki annak az alaknak a területét, amelyet egy olyan egyenes határol, amelynek parametrikus egyenletei így néznek ki.

Megoldás.

Példánkban a parametrikusan meghatározott egyenes egy ellipszis, amelynek féltengelye 2 és 3 egység. Építsük meg.

Keresse meg az ellipszis negyedének területét, amely az első kvadránsban található. Ez a terület az intervallumban található . A teljes ábra területét úgy számítjuk ki, hogy a kapott értéket megszorozzuk néggyel.

Amink van:

Mert k = 0 kapjuk az intervallumot . Ezen az intervallumon a függvény monoton csökkenő (lásd a részt). A képletet alkalmazzuk a terület kiszámításához, és a Newton-Leibniz képlet segítségével megkeressük a határozott integrált:

Tehát az eredeti ábra területe .

Megjegyzés.

Felmerül egy logikus kérdés: miért vettük az ellipszis negyedét, és miért nem a felét? Figyelembe lehetett venni az ábra felső (vagy alsó) felét. A tartományban van . Ebben az esetben megtettük volna

Vagyis k = 0 esetén az intervallumot kapjuk. Ezen az intervallumon a függvény monoton csökkenő.

Ekkor az ellipszis felének területét adjuk meg

De az ellipszis jobb vagy bal felét nem lehet felvenni.

Az origó közepén és az a és b féltengelyeken lévő ellipszis parametrikus ábrázolása alakja . Ha ugyanúgy járunk el, mint az elemzett példában, akkor azt kapjuk képlet az ellipszis területének kiszámításához .

Az R sugarú koordináták origójának középpontjában lévő kört egy egyenletrendszer ad meg a t paraméteren keresztül. Ha a kapott képletet egy ellipszis területére használjuk, akkor azonnal írhatunk képlet a kör területének meghatározásához sugár R : .

Oldjunk meg még egy példát.

Példa.

Számítsa ki egy paraméteresen megadott görbe által határolt ábra területét.

Megoldás.

Kicsit előre tekintve a görbe egy "megnyúlt" astroid. (Az astroidnak a következő paraméteres ábrázolása van).

Foglalkozzunk részletesen egy ábrát határoló görbe felépítésével. Pontról pontra építjük. Általában egy ilyen konstrukció elegendő a legtöbb probléma megoldásához. Többben nehéz esetek, kétségtelenül a parametrikus részletes tanulmányozása adott funkciót differenciálszámítás segítségével.

A mi példánkban.

Ezek a függvények a t paraméter minden valós értékére definiálva vannak, és a szinusz és a koszinusz tulajdonságaiból tudjuk, hogy periodikusak, két pi periódussal. Így néhány függvény értékének kiszámítása (Például ), pontot kapunk .

A kényelem kedvéért beírjuk az értékeket a táblázatba:

Jelöljük a pontokat a síkon, és SZEKVENCIÁLISAN összekötjük egy vonallal.

Számítsuk ki az első koordinátanegyedben található terület területét. Erre a területre .

Nál nél k=0 kapjuk az intervallumot , amelyen a függvény monoton csökken. A képlet segítségével keressük meg a területet:

Megkapta határozott integrálok kiszámítjuk a Newton-Leibniz képlet segítségével, és megkeressük a Newton-Leibniz képlet antideriváltjait a forma rekurzív képletével , Ahol .

Ezért az ábra negyedének területe az , akkor az egész ábra területe egyenlő .

Hasonlóképpen azt is meg lehet mutatni astroid terület mint , és az ábra vonal által határolt területét a képlet számítja ki.

Üdvözlettel, kedves Argemony Egyetem hallgatói!

Még egy kicsit - és a tanfolyam befejeződik, és most ezt tesszük.

Zhouli enyhén intett a kezével – és egy alak jelent meg a levegőben. Vagy inkább téglalap alakú trapéz volt. Egyszerűen lógott a levegőben, az oldalain áramló mágikus energia hozta létre, és magában a trapézban is kavargott, amitől szikrázott és csillogott.
Ezután a tanár kissé észrevehetően körkörös mozdulatot tett az ujjaival - és a trapéz forogni kezdett egy láthatatlan tengely körül. Eleinte lassan, majd egyre gyorsabban - úgy, hogy egy térfogati alak kezdett egyértelműen megjelenni a levegőben. Úgy érezte, varázslatos energia áramlik át rajta.

Aztán a következő történt: a figura és belsejének sziporkázó kontúrjai kezdtek megtelni valami anyaggal, a ragyogás egyre kevésbé volt észrevehető, de maga a figura egyre inkább úgy nézett ki, mint valami kézzelfogható. Az anyagszemcsék egyenletesen oszlottak el az ábrán. És most mindennek vége: forgásnak és ragyogásnak egyaránt. Egy tölcsérre emlékeztető tárgy lógott a levegőben. Zhouli óvatosan az asztalhoz tette.

Tessék. Az ilyesmi sok tárgyat képes megvalósítani - néhány lapos figurát képzeletbeli vonalak körül forgatva. Természetesen a materializációhoz bizonyos mennyiségű anyagra van szükség, amely mágikus energia segítségével kitölti a kialakult és ideiglenesen megtartott teljes térfogatot. De ahhoz, hogy pontosan kiszámítsa, mennyi anyagra van szükség, ismernie kell a kapott test térfogatát is. Ellenkező esetben, ha az anyag kicsi, akkor nem tölti ki a teljes térfogatot, és a test törékenynek és hibásnak bizonyulhat. Az anyag nagy feleslegének materializálása és megtartása pedig szükségtelen mágikus energia ráfordítás.
De mi van akkor, ha korlátozott mennyiségű anyagunk van? Ezután, ismerve a testek térfogatának kiszámítását, megbecsülhetjük, hogy mekkora testet készíthetünk nagy mágikus energia ráfordítása nélkül.
Ami a vonzott anyag feleslegét illeti, van egy másik gondolat is. Hová tűnik a felesleges anyag? Összeomlanak, ha nem használják? Vagy ragaszkodjon a testhez?
Általában van még min gondolkodni. Ha van valami ötleted, szívesen meghallgatom. Addig pedig térjünk át az így kapott testek térfogatának kiszámítására.
Itt több esetet is figyelembe veszünk.

1. eset

Az a terület, amelyet elforgatunk, a legklasszikusabb görbe trapéz.

Természetesen csak az OX tengely körül tudjuk forgatni. Ha ezt a trapézt vízszintesen jobbra mozgatjuk, hogy ne keresztezze az OY tengelyt, akkor e tengely körül elforgatható. A varázslási képletek mindkét esetben a következők:

Ön és én már elég jól elsajátítottuk az alapvető mágikus effektusokat a függvényeken, így azt hiszem, nem lesz nehéz Önnek, ha szükséges, úgy mozgatni az ábrát a koordináta tengelyekben, hogy kényelmesen elhelyezkedjen a vele való munkavégzéshez. .

2. eset

Nemcsak a klasszikus görbe vonalú trapézt, hanem egy ilyen alakot is elforgathat:

Forgatáskor egyfajta gyűrűt kapunk. Az ábrát a pozitív területre mozgatva pedig az OY tengely körül is elforgathatjuk. Gyűrűt is kapunk, vagy nem. Minden attól függ, hogy az ábra hogyan helyezkedik el: ha bal oldali határa pontosan az OY tengely mentén halad, akkor a gyűrű nem fog működni. Az ilyen forgástestek térfogatát a következő varázslatok segítségével számíthatja ki:

3. eset

Emlékezzünk vissza, hogy vannak csodálatos görbéink, de ezek nem a szokásos módon vannak beállítva, hanem parametrikus formában. Az ilyen görbék gyakran zártak. A t paramétert úgy kell megváltoztatni, hogy a görbe (határvonal) mentén haladva a zárt alak balra maradjon.

Ezután az OX vagy OY tengelyhez viszonyított forgástestek térfogatának kiszámításához a következő varázslatokat kell használni:

Ugyanezek a képletek használhatók nem zárt görbék esetén is: amikor mindkét vége az OX tengelyen vagy az OY tengelyen fekszik. Az ábra valahogy zártnak bizonyul: a végeket a tengely egy szegmense zárja le.

4. eset

A csodálatos görbéink közül néhányat poláris koordináták (r=r(fi)) adnak meg. És akkor az ábra elforgatható a poláris tengely körül. Ebben az esetben a derékszögű koordinátarendszert kombináljuk a poláris koordinátarendszerrel, és azt feltételezzük
x=r(fi)*cos(fi)
y=r(fi)*sin(fi)
Így elérkeztünk a görbe paraméteres alakjához, ahol az fi paraméternek úgy kell változnia, hogy a görbe bejárásakor a terület a bal oldalon maradjon.
És a 3. esetből származó varázsképleteket használjuk.

A poláris koordináták esetében azonban létezik egy varázslati képlet is:

Természetesen a síkfigurák bármilyen más vonal körül is elforgathatók, nem csak az OX és OY tengelyek körül, de ezek a manipulációk már bonyolultabbak, ezért csak az előadáson tárgyalt esetekre szorítkozunk.

És most házi feladat . Konkrét számokat nem mondok. Sok funkciót megtanultunk már, és szeretném, ha saját kezűleg konstruálnál valamit, amire szükséged lehet a mágikus gyakorlatban. Azt hiszem, négy példa elég lesz az előadásban említett összes esetre.

Mielőtt rátérnénk a forgásfelület területére vonatkozó képletekre, röviden megfogalmazzuk magát a forgásfelületet. A forradalom felülete, vagy ami ugyanaz, egy forgástest felülete egy szegmens elforgatásával kialakított téralak AB görbe a tengely körül Ökör(kép lent).

Képzeljünk el egy görbe vonalú trapézt, amelyet felülről határol a görbe említett szakasza. Ennek a trapéznek az azonos tengely körüli forgásával létrejött test Ökör, és van egy forradalom. És a forgásfelület vagy a forgástest felülete annak külső héja, nem számítva a vonalak tengelye körüli forgás által alkotott köröket x = aÉs x = b .

Vegyük észre, hogy a forgástestet és ennek megfelelően felületét úgy is kialakíthatjuk, hogy az ábrát nem a tengely körül forgatjuk Ökör, és a tengely körül Oy.

A forgásfelület téglalap alakú koordinátákkal megadott területének kiszámítása

Beengedni derékszögű koordináták a síkon az egyenlet szerint y = f(x) egy görbe adott, melynek a koordinátatengely körüli elforgatása egy forgástestet alkot.

A forradalom felületének kiszámítására szolgáló képlet a következő:

(1).

1. példa Határozzuk meg a tengely körüli forgással képzett paraboloid felületét Ökör a változásnak megfelelő parabola íve x tól től x= 0 to x = a .

Megoldás. Explicit módon kifejezzük a parabola ívét meghatározó függvényt:

Keressük ennek a függvénynek a deriváltját:

Mielőtt a forgásfelület meghatározására szolgáló képletet használnánk, írjuk fel az integrandusának azt a részét, amely a gyök, és helyettesítsük az ott talált deriválttal:

Válasz: A görbe ívhossza a

2. példa Határozza meg a felület azon területét, amelyet egy tengely körüli forgás alkot Ökör astroidák.

Megoldás. Elegendő az astroid első negyedben elhelyezkedő egyik ágának forgásából származó felületet kiszámítani, és megszorozni 2-vel. Az astroid egyenletből kifejezetten kifejezzük azt a függvényt, amelyet a képletben be kell pótolnunk. a forgásfelület meghatározásához:

0-tól integrációt végzünk a:

A fordulat felületének kiszámítása paraméteresen megadva

Tekintsük azt az esetet, amikor a forgásfelületet alkotó görbét a paraméteres egyenletek adják meg

Ezután a forgásfelület területét a képlet alapján számítjuk ki

(2).

3. példa Keresse meg a forgásfelület területét, amelyet egy tengely körüli forgás alkot Oy cikloid és egyenes által határolt ábra y = a. A cikloidot a parametrikus egyenletek adják meg