Legyen két l és m egyenes egy derékszögű koordinátarendszerben az általános egyenletekkel: l: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, m: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

A normálvektorok ezekhez az egyenesekhez: = (A 1 , B 1) - az l egyeneshez,

= (A 2 , B 2) az m egyenesre.

Legyen j az l és m egyenesek közötti szög.

Mivel az egymásra merőleges oldalú szögek vagy egyenlőek, vagy összeadódnak p-vel, akkor , azaz cos j = .

Tehát bebizonyítottuk a következő tételt.

Tétel. Legyen j a síkban lévő két egyenes közötti szög, és ezeket az egyeneseket a derékszögű koordinátarendszerben az A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 és A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 általános egyenletek adják meg. Ekkor cos j = .

Feladatok.

1) Készítsen képletet a vonalak közötti szög kiszámításához, ha:

(1) mindkét sor paraméteresen van megadva; (2) mindkét egyenest kanonikus egyenletek adják meg; (3) az egyik egyenest paraméteresen, a másikat az általános egyenlet adja meg; (4) mindkét egyenest a lejtőegyenlet adja.

2) Legyen j a síkban lévő két egyenes közötti szög, és ezeket az egyeneseket az y = k 1 x + b 1 és y =k 2 x + b 2 egyenletek adják a derékszögű koordinátarendszernek.

Ekkor tan j = .

3) Fedezze fel a derékszögű koordinátarendszerben az általános egyenletekkel megadott két egyenes egymáshoz viszonyított helyzetét, és töltse ki a táblázatot:

Egy pont és egy egyenes távolsága egy síkban.

Adjuk meg az l egyenest a Descartes-koordinátarendszerben az Ax + By + C = 0 általános egyenlettel. Határozzuk meg az M(x 0 , y 0) pont és az l egyenes távolságát!

Az M pont és az l egyenes távolsága a HM merőleges hossza (H н l, HM ^ l).

Az l egyeneshez tartozó vektor és normálvektor kollineáris, így | | = | | | | és | | = .

Legyenek a H pont koordinátái (x,y).

Mivel a H pont az l egyeneshez tartozik, akkor Ax + By + C = 0 (*).

A és a vektorok koordinátái: = (x 0 - x, y 0 - y), = (A, B).

| | = = =

(C = -Ax - By , lásd (*))

Tétel. Adjuk meg az l egyenest a derékszögű koordinátarendszerben az Ax + By + C = 0 általános egyenlettel. Ekkor az M(x 0 , y 0) pont és az egyenes közötti távolságot a következő képlettel számítjuk ki: r (M; l) = .

Feladatok.

1) Készítsen képletet egy pont és az egyenes közötti távolság kiszámítására, ha: (1) az egyenes paraméteresen van megadva; (2) az egyenest a kanonikus egyenletek adják meg; (3) az egyenest a lejtőegyenlet adja meg.

2) Írja fel a Q(-2,4) középpontú 3x - y = 0 egyenest érintő kör egyenletét!

3) Írja fel a 2x + y - 1 = 0 és x + y + 1 = 0 egyenesek metszéspontja által alkotott szögeket felező egyenesek egyenleteit!

27. § A térbeli sík elemző meghatározása

Meghatározás. A sík normálvektora nem nulla vektort fogunk hívni, amelynek bármely képviselője merőleges az adott síkra.

Megjegyzés. Nyilvánvaló, hogy ha a vektor legalább egy képviselője merőleges a síkra, akkor a vektor összes többi képviselője merőleges erre a síkra.

Legyen adott egy derékszögű koordináta-rendszer a térben.

Legyen adott az a sík, = (A, B, C) – ennek a síknak a normálvektora, az M (x 0 , y 0 , z 0) pont az a síkhoz tartozik.

Az a sík bármely N(x, y, z) pontjára a és vektorok merőlegesek, azaz skaláris szorzatuk nullával egyenlő: = 0. Írjuk fel koordinátákban az utolsó egyenlőséget: A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0.

Legyen -Ax 0 - By 0 - Cz 0 = D, akkor Ax + By + Cz + D = 0.

Vegyünk egy K (x, y) pontot úgy, hogy Ax + By + Cz + D \u003d 0. Mivel D \u003d -Ax 0 - 0 - Cz 0, akkor A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0. Mivel az irányított szakasz koordinátái = (x - x 0, y - y 0, z - z 0), az utolsó egyenlőség azt jelenti, hogy ^ , és ezért K н a.

Tehát bebizonyítottuk a következő tételt:

Tétel. A derékszögű koordinátarendszerben a tér bármely síkja definiálható az Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) egyenlettel, ahol (A, B, C) a normálvektor koordinátái ehhez a síkhoz.

Ennek a fordítottja is igaz.

Tétel. Bármely Ax + By + Cz + D \u003d 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) alakú egyenlet a derékszögű koordinátarendszerben meghatároz egy bizonyos síkot, míg (A, B, C) a normálvektor koordinátái ehhez a síkhoz.

Bizonyíték.

Vegyünk egy M pontot (x 0, y 0, z 0) úgy, hogy Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0 és vektor = (A, B, C) ( ≠ q).

Egy sík (és csak egy) halad át a vektorra merőleges M ponton. Az előző tétel szerint ezt a síkot az Ax + By + Cz + D = 0 egyenlet adja.

Meghatározás. Az Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) alakú egyenletet nevezzük. a sík általános egyenlete.

Példa.

Írjuk fel az M (0,2,4), N (1,-1,0) és K (-1,0,5) pontokon átmenő sík egyenletét!

1. Határozza meg a normálvektor koordinátáit a síkra (MNK)! Mert vektor termék´ ortogonális a nem kollineáris vektorokra, és akkor a vektor kollineáris a ´-ra.

= (1, -3, -4), = (-1, -2, 1);

´ = ,

´ = (-11, 3, -5).

Tehát normálvektorként vegyük a = (-11, 3, -5) vektort.

2. Használjuk most az első tétel eredményeit:

adott sík egyenlete A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0, ahol (A, B, C) a normálvektor koordinátái, (x 0 , y 0, z 0) a síkban fekvő pont koordinátái (például M pont).

11 (x - 0) + 3 (y - 2) - 5 (z - 4) = 0

11x + 3y - 5z + 14 = 0

Válasz: -11x + 3y - 5z + 14 = 0.

Feladatok.

1) Írja fel a sík egyenletét, ha

(1) a sík az M (-2,3,0) ponton halad át párhuzamosan a 3x + y + z = 0 síkkal;

(2) a sík tartalmazza az (Ox) tengelyt, és merőleges az x + 2y – 5z + 7 = 0 síkra.

2) Írd fel egy három megadott ponton átmenő sík egyenletét!

28. § Féltér analitikai specifikációja*

Megjegyzés*. Valami síkot javítsanak ki. Alatt féltér egy adott sík egyik oldalán fekvő pontok halmazát fogjuk érteni, azaz két pont ugyanabban a féltérben van, ha az őket összekötő szakasz nem metszi az adott síkot. Ezt a síkot hívják ennek a féltérnek a határa. Adott sík és féltér unióját nevezzük zárt féltér.

Legyen egy derékszögű koordináta-rendszer rögzítve a térben.

Tétel. Adjuk meg az a síkot az Ax + By + Cz + D = 0 általános egyenlettel. Ekkor a két féltér egyikét, amelyre az a sík felosztja, az Ax + By + Cz + D > 0 egyenlőtlenség adja, a második félteret pedig az Ax + By + Cz + D egyenlőtlenség adja meg.< 0.

Bizonyíték.

Ábrázoljuk az = (A, B, С) normálvektort az a síkra az ezen a síkon fekvő M (x 0, y 0, z 0) pontból: = , M н a, MN ^ a. A sík a teret két féltérre osztja: b 1 és b 2 . Nyilvánvaló, hogy az N pont e félterek egyikéhez tartozik. Az általánosság elvesztése nélkül feltételezzük, hogy N н b 1 .

Bizonyítsuk be, hogy a b 1 félteret az Ax + By + Cz + D > 0 egyenlőtlenség határozza meg.

1) Vegyünk egy K(x,y,z) pontot a b 1 féltérben. Az Ð NMK szög a vektorok közötti szög, és hegyesszögű, tehát ezen vektorok skaláris szorzata pozitív: > 0. Írjuk fel ezt az egyenlőtlenséget koordinátákba: A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0, azaz Ax + By -z By - 0 > 0 C - z By - 0 > 0.

Mivel M н b 1, akkor Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0, ezért -Ax 0 - By 0 - C z 0 = D. Ezért az utolsó egyenlőtlenség a következőképpen írható fel: Ax + By + Cz + D > 0.

2) Vegyünk egy L(x,y) pontot úgy, hogy Ax + By + Cz + D > 0.

Írjuk át az egyenlőtlenséget, D helyett (-Ax 0 - By 0 - C z 0) (mivel M н b 1, akkor Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0): A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0.

Az (x - x 0, y - y 0, z - z 0) koordinátákkal rendelkező vektor vektor, így az A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) kifejezés az és a vektorok skaláris szorzataként értelmezhető. Mivel a és vektorok skaláris szorzata pozitív, a köztük lévő szög hegyes és az L н b 1 pont.

Hasonlóképpen bebizonyítható, hogy a b 2 félteret az Ax + By + Cz + D egyenlőtlenség adja.< 0.

Megjegyzések.

1) Nyilvánvaló, hogy a fenti bizonyítás nem függ az a síkban lévő M pont megválasztásától.

2) Nyilvánvaló, hogy ugyanaz a féltér különböző egyenlőtlenségekkel definiálható.

Ennek a fordítottja is igaz.

Tétel. Bármely Ax + By + Cz + D > 0 (vagy Ax + By + Cz + D) alakú lineáris egyenlőtlenség< 0) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) задает в пространстве в декартовой системе координат полупространство с границей Ax + By + Cz + D = 0.

Bizonyíték.

Az Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) egyenlet a térben egy a síkot határoz meg (lásd § ...). Ahogy az előző tételben bebizonyosodott, a két féltér közül az egyiket, amelyre a sík felosztja, az Ax Ax + By + Cz + D > 0 egyenlőtlenség adja.

Megjegyzések.

1) Nyilvánvaló, hogy egy zárt féltér definiálható egy nem szigorú lineáris egyenlőtlenséggel, és bármely nem szigorú lineáris egyenlőtlenség a Descartes-koordináta-rendszerben egy zárt félteret határoz meg.

2) Bármely konvex poliéder definiálható zárt félterek (amelyek határai a poliéder lapjait tartalmazó síkok) metszéspontjaként, vagyis analitikusan lineáris, nem szigorú egyenlőtlenségek rendszerével.

Feladatok.

1) Bizonyítsa be a bemutatott két tételt tetszőlegesre! affin rendszer koordináták.

2) Ennek fordítva igaz-e, hogy bármilyen rendszer nem szigorú lineáris egyenlőtlenségek konvex sokszöget határoz meg?

Gyakorlat.

1) Fedezze fel két, általános egyenletekkel megadott sík egymáshoz viszonyított helyzetét a derékszögű koordinátarendszerben, és töltse ki a táblázatot!

SÍK KÖZÖTTI SZÖG

Tekintsünk két α 1 és α 2 síkot, amelyeket az egyenletek adnak meg:

Alatt sarok két sík között az e síkok által alkotott kétszögek egyikét értjük. Nyilvánvaló, hogy a normálvektorok és az α 1 és α 2 síkok közötti szög egyenlő a jelzett szomszédos kétszögek valamelyikével, ill. . Ezért . Mert És , Azt

.

Példa. Határozza meg a síkok közötti szöget! x+2y-3z+4=0 és 2 x+3y+z+8=0.

Két sík párhuzamosságának feltétele.

Két α 1 és α 2 sík akkor és csak akkor párhuzamos, ha normálvektoraik és párhuzamosak, és ezért .

Tehát két sík akkor és csak akkor párhuzamos egymással, ha a megfelelő koordinátákon az együtthatók arányosak:

vagy

Síkok merőlegességének feltétele.

Nyilvánvaló, hogy két sík akkor és csak akkor merőleges, ha normálvektoraik merőlegesek, ezért vagy .

És így, .

Példák.

KÖZVETLENÜL A TÉRBEN.

VEKTOR EGYENLET KÖZVETLEN.

PARAMÉTERES EGYENLETEK KÖZVETLEN

Egy egyenes térbeli helyzetét teljes mértékben meghatározzuk bármely fix pontjának megadásával M 1 és egy ezzel az egyenessel párhuzamos vektor.

Az egyenessel párhuzamos vektort nevezzük irányító ennek az egyenesnek a vektora.

Szóval hagyd az egyenest l ponton halad át M 1 (x 1 , y 1 , z 1) a vektorral párhuzamos egyenesen fekve.

Tekintsünk egy tetszőleges pontot M(x,y,z) egyenes vonalon. Az ábrán látható, hogy .

A és vektorok kollineárisak, tehát van ilyen szám t, mi , hol van a szorzó t tetszőleges számértéket vehet fel a pont helyzetétől függően M egyenes vonalon. Tényező t paraméternek nevezzük. A pontok sugárvektorainak jelölése M 1 és M illetőleg a és -on keresztül kapjuk meg. Ezt az egyenletet ún vektor egyenes egyenlet. Azt mutatja, hogy minden paraméter értéke t valamely pont sugárvektorának felel meg M egyenes vonalon fekve.

Ezt az egyenletet koordináta alakban írjuk fel. Vedd észre, és innen

A kapott egyenleteket ún parametrikus egyenes egyenletek.

A paraméter megváltoztatásakor t változnak a koordináták x, yÉs zés pont M egyenes vonalban mozog.

KANONIKUS EGYENLETEK KÖZVETLEN

Hadd M 1 (x 1 , y 1 , z 1) - egy egyenesen fekvő pont l, És az irányvektora. Ismét vegyünk egy tetszőleges pontot egy egyenesen M(x,y,z)és vegyük figyelembe a vektort.

Nyilvánvaló, hogy a és vektorok kollineárisak, ezért a koordinátáiknak arányosnak kell lenniük

– kánoni egyenes egyenletek.

Megjegyzés 1. Vegye figyelembe, hogy az egyenes kanonikus egyenletei a paraméteres egyenletekből a paraméter kiiktatásával kaphatók meg. t. Valóban, a kapott parametrikus egyenletekből vagy .

Példa.Írd fel az egyenes egyenletét! paraméteres módon.

Jelöli , ennélfogva x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

2. megjegyzés. Legyen az egyenes merőleges az egyik koordinátatengelyre, például a tengelyre Ökör. Ekkor az egyenes irányvektora merőleges Ökör, ennélfogva, m=0. Következésképpen az egyenes paraméteres egyenletei alakot öltenek

A paraméter eltávolítása az egyenletekből t formában kapjuk meg az egyenes egyenleteit

Azonban ebben az esetben is megegyezünk abban, hogy az egyenes kanonikus egyenleteit formálisan az alakba írjuk . Tehát, ha az egyik tört nevezője nulla, akkor ez azt jelenti, hogy az egyenes merőleges a megfelelő koordinátatengelyre.

Hasonlóképpen a kanonikus egyenletek a tengelyekre merőleges egyenesnek felel meg ÖkörÉs Oy vagy párhuzamos tengely Oz.

Példák.

ÁLTALÁNOS EGYENLETEK EGY KÖZVETLEN VONAL, MINT KÉT SÍK MEGFELELÉSE

A térben minden egyes egyenesen végtelen számú sík halad át. Bármelyik kettő metszi egymást, meghatározza a térben. Ezért bármely két ilyen sík egyenlete együtt tekintve ennek az egyenesnek az egyenlete.

Általában bármely két nem párhuzamos sík, amelyet az általános egyenletek adnak meg

meghatározzák a metszésvonalukat. Ezeket az egyenleteket ún általános egyenletek egyenes.

Példák.

Szerkesszünk egyenletekkel megadott egyenest!

Egy egyenes felépítéséhez elegendő megtalálni bármelyik két pontját. A legegyszerűbb módja az, hogy kiválasztja az egyenes metszéspontjait koordinátasíkok. Például a síkkal való metszéspont xOy egy egyenes egyenleteiből kapjuk, feltételezve z= 0:

Ezt a rendszert megoldva megtaláljuk a lényeget M 1 (1;2;0).

Hasonlóképpen, feltételezve y= 0, megkapjuk az egyenes és a sík metszéspontját xOz:

Az egyenes általános egyenleteiből áttérhetünk a kanonikus vagy parametrikus egyenleteire. Ehhez meg kell találnia egy pontot M 1 az egyenesen és az egyenes irányvektora.

Pont koordinátái M 1-et ebből az egyenletrendszerből kapjuk, és az egyik koordinátának tetszőleges értéket adunk. Az irányvektor megtalálásához vegye figyelembe, hogy ennek a vektornak merőlegesnek kell lennie mindkét normálvektorra És . Ezért az egyenes irányvektorához l felveheti a normálvektorok keresztszorzatát:

.

Példa. Adja meg az egyenes általános egyenleteit! a kanonikus formára.

Keressen egy pontot egy egyenesen. Ehhez tetszőlegesen kiválasztunk egyet a koordináták közül, pl. y= 0, és oldja meg az egyenletrendszert:

Az egyenest meghatározó síkok normálvektorainak koordinátái vannak Ezért az irányvektor egyenes lesz

. Ennélfogva, l: .

JOGAK KÖZÖTTI SZÖG

sarok térbeli egyenesek között az adatokkal párhuzamos tetszőleges ponton áthúzott két egyenes által alkotott szomszédos szögek bármelyikét nevezzük.

Adjunk meg két egyenest a térben:

Nyilvánvalóan az egyenesek közötti φ szög felfogható az irányvektoraik és az közötti szögnek. Mivel , akkor a vektorok közötti szög koszinuszának képlete szerint kapjuk

Minden matematika vizsgára készülő diák számára hasznos lesz, ha megismétli a „Vonalok közötti szög keresése” témát. Amint a statisztikák azt mutatják, a tanúsítási teszt sikeres letételekor a sztereometria e szakaszában szereplő feladatok nagyszámú diák számára nehézséget okoznak. Ugyanakkor az egyenesek közötti szög megállapítását igénylő feladatok megtalálhatók a USE-ban mind az alap, mind a profilszint. Ez azt jelenti, hogy ezeket mindenkinek meg kell tudnia oldani.

Alapvető pillanatok

A vonalak térbeli kölcsönös elrendezésének 4 típusa van. Egybeeshetnek, metszhetik egymást, lehetnek párhuzamosak vagy metszőek. A köztük lévő szög lehet hegyes vagy egyenes.

Az egységes államvizsgán vagy például a megoldásban a vonalak közötti szög megtalálásához a moszkvai és más városok iskolásai több módszert is használhatnak a sztereometria ezen szakaszában a problémák megoldására. A feladatot klasszikus konstrukciókkal oldhatja meg. Ehhez érdemes elsajátítani a sztereometria alapvető axiómáit, tételeit. A tanulónak képesnek kell lennie logikus érvelés felépítésére és rajzok készítésére annak érdekében, hogy a feladatot egy planimetrikus feladathoz hozzák.

Alkalmazással is használhatja a vektor-koordináta módszert egyszerű képletek, szabályok és algoritmusok. Ebben az esetben a legfontosabb az összes számítás helyes végrehajtása. Fejlessze problémamegoldó készségeit a sztereometriában és más témákban iskolai tanfolyam segíteni fog neked oktatási projekt"Shkolkovo".

Legyenek vonalak adottak a térben lÉs m. A tér valamely A pontján keresztül egyenes vonalakat húzunk l 1 || lÉs m 1 || m(138. ábra).

Figyeljük meg, hogy az A pont tetszőlegesen választható, különösen az adott egyenesek valamelyikén feküdhet. Ha egyenes lÉs m metszi egymást, akkor A-t tekinthetjük ezen egyenesek metszéspontjának ( l 1 = lÉs m 1 = m).

Szög a nem párhuzamos vonalak között lÉs m a metsző egyenesek által alkotott szomszédos szögek legkisebb értéke l 1 És m 1 (l 1 || l, m 1 || m). A párhuzamos egyenesek közötti szöget nullának kell tekinteni.

Szög a vonalak között lÉs m jelölése \(\widehat((l;m)) \). A definícióból az következik, hogy ha fokban mérjük, akkor 0 ° < \(\widehat((l;m)) \) < 90°, és ha radiánban, akkor 0 < \(\widehat((l;m)) \) < π / 2 .

Feladat. Adott az ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 kocka (139. ábra).

Határozzuk meg az AB és DC 1 egyenesek közötti szöget.

Egyenes AB és DC 1 kereszteződés. Mivel a DC egyenes párhuzamos az AB egyenessel, az AB és DC 1 egyenesek közötti szög a definíció szerint egyenlő \(\widehat(C_(1)DC)\).

Ezért \(\widehat((AB;DC_1))\) = 45°.

Közvetlen lÉs m hívott merőleges, ha \(\widehat((l;m)) \) = π / 2. Például egy kockában

A vonalak közötti szög kiszámítása.

A térben két egyenes közötti szög kiszámításának problémája ugyanúgy megoldott, mint a síkban. Jelölje φ-vel a vonalak közötti szöget l 1 És l 2 , és ψ-n keresztül - az irányvektorok közötti szög A És b ezeket az egyenes vonalakat.

Aztán ha

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90° (206.6. ábra), akkor φ = 180° - ψ. Nyilvánvaló, hogy mindkét esetben igaz a cos φ = |cos ψ| egyenlőség. A képlet szerint (az a és b nem nulla vektorok közötti szög koszinusza egyenlő ezen vektorok skaláris szorzatával osztva a hosszuk szorzatával)

$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$

ennélfogva,

$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$

Adják meg az egyeneseket a kanonikus egyenleteik

$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; És \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$

Ezután a képlet segítségével meghatározzuk a vonalak közötti φ szöget

$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2)\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)

Ha az egyik egyenest (vagy mindkettőt) nem kanonikus egyenletek adják meg, akkor a szög kiszámításához meg kell találni ezen egyenesek irányvektorainak koordinátáit, majd az (1) képletet kell használni.

1. feladat. Számítsa ki a vonalak közötti szöget

$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;és\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$

Az egyenesek irányvektorainak koordinátái vannak:

a \u003d (-√2; √2; -2), b = (√3 ; √3 ; √6 ).

Az (1) képlet alapján azt találjuk

$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)(2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2)

Ezért ezen vonalak közötti szög 60°.

2. feladat. Számítsa ki a vonalak közötti szöget

$$ \begin(esetek)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(esetek) és \begin(esetek)4x-y+z=0\\y+z+1=0\end(esetek) $$

A vezetővektor mögött A az első egyenest vesszük a normálvektorok vektorszorzatát n 1 = (3; 0; -12) és n 2 = (1; 1; -3) ezt az egyenest meghatározó síkok. A \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) képlettel azt kapjuk, hogy

$$ a==\begin(vmátrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$

Hasonlóképpen megtaláljuk a második egyenes irányvektorát:

$$ b=\begin(vmátrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$

De az (1) képlet kiszámítja a kívánt szög koszinuszát:

$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2^2+4^2+4^2))=0 $$

Ezért ezen vonalak közötti szög 90°.

3. feladat. A MAVS háromszöggúlában az MA, MB és MC élek egymásra merőlegesek, (207. ábra);

hosszuk rendre 4, 3, 6. A D pont a középső [MA]. Keresse meg a CA és a DB egyenesek közötti φ szöget.

Legyenek SA és DB az SA és DB egyenesek irányvektorai.

Vegyük az M pontot a koordináták origójának. A feladatfeltétel szerint van A (4; 0; 0), B(0; 0; 3), C(0; 6; 0), D (2; 0; 0). Ezért \(\overrightarrow(CA)\) = (4; - 6;0), \(\overrightarrow(DB)\)= (-2; 0; 3). Az (1) képletet használjuk:

$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9)) $$

A koszinusztáblázat alapján azt találjuk, hogy a CA és a DB egyenesek közötti szög körülbelül 72°.

Ennek segítségével online számológép keresse meg a vonalak közötti szöget. Részletes megoldást adunk magyarázatokkal. A vonalak közötti szög kiszámításához állítsa be a méretet (2-ha egy egyenest síkon veszünk figyelembe, 3- ha egy egyenest térben veszünk figyelembe), írjuk be az egyenlet elemeit a cellákba, majd kattintsunk a "Megoldás" gombra. Lásd alább az elméleti részt.

×

Figyelem

Törli az összes cellát?

Bezárás Törlés

Adatbeviteli utasítás. A számokat egész számokként (például 487, 5, -7623 stb.), decimális számokként (pl. 67., 102,54 stb.) vagy törtként kell megadni. A törtet a/b formában kell beírni, ahol a és b (b>0) egész szám, ill. decimális számok. Példák 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 stb.

1. Egy sík vonalai közötti szög

Az egyeneseket a kanonikus egyenletek adják meg

1.1. A vonalak közötti szög meghatározása

Hagyja, hogy a vonalak kétdimenziós térben legyenek L 1 és L

Így az (1.4) képletből megtalálhatjuk a vonalak közötti szöget L 1 és L 2. Amint az 1. ábrán látható, a metsző vonalak szomszédos szögeket alkotnak φ És φ 1 . Ha a talált szög nagyobb, mint 90°, akkor megtalálhatja a vonalak közötti minimális szöget L 1 és L 2: φ 1 =180-φ .

Az (1.4) képletből következtethetünk két egyenes párhuzamosságának és merőlegességének feltételeire.

Példa 1. Határozza meg a vonalak közötti szöget!

Egyszerűsítsük és oldjuk meg:

1.2. Párhuzamos vonalak állapota

Hadd φ =0. Akkor cosφ=1. Ebben az esetben az (1.4) kifejezés a következő formában jelenik meg:

,

,

2. példa Határozza meg, hogy az egyenesek párhuzamosak-e

Az (1.9) egyenlőség teljesül, ezért az (1.10) és (1.11) egyenesek párhuzamosak.

Válasz. Az (1.10) és (1.11) egyenesek párhuzamosak.

1.3. A vonalak merőlegességének feltétele

Hadd φ =90°. Akkor cosφ=0. Ebben az esetben az (1.4) kifejezés a következő formában jelenik meg:

3. példa Határozza meg, hogy az egyenesek merőlegesek-e

Az (1.13) feltétel teljesül, ezért az (1.14) és (1.15) egyenesek merőlegesek.

Válasz. Az (1.14) és (1.15) egyenesek merőlegesek.

Az egyeneseket az általános egyenletek adják meg

1.4. A vonalak közötti szög meghatározása

Legyen két sor L 1 és L 2 általános egyenletek adják meg

Két vektor skaláris szorzatának definíciójából a következőt kapjuk:

4. példa Keresse meg a vonalak közötti szöget

Értékek helyettesítése A 1 , B 1 , A 2 , B 2 in (1,23), kapjuk:

Ez a szög nagyobb, mint 90°. Keresse meg a vonalak közötti minimális szöget. Ehhez vonja le ezt a szöget 180-ból:

Másrészt a párhuzamos egyenesek feltétele L 1 és L 2 ekvivalens a kollineáris vektorok feltételével n 1 és n 2, és a következőképpen ábrázolható:

Az (1.24) egyenlőség teljesül, ezért az (1.26) és (1.27) egyenesek párhuzamosak.

Válasz. Az (1.26) és (1.27) egyenesek párhuzamosak.

1.6. A vonalak merőlegességének feltétele

A vonalak merőlegességének feltétele L 1 és L 2 helyettesítéssel kinyerhető az (1.20) képletből kötözősaláta(φ )=0. Ezután a skalárszorzat ( n 1 ,n 2)=0. Ahol

Az (1.28) egyenlőség teljesül, ezért az (1.29) és (1.30) egyenesek merőlegesek.

Válasz. Az (1.29) és (1.30) egyenesek merőlegesek.

2. A vonalak közötti szög a térben

2.1. A vonalak közötti szög meghatározása

Engedd a vonalakat a térbe L 1 és L 2-t a kanonikus egyenletek adják meg

ahol | q 1 | és | q 2 | irányvektor modulok q 1 és q 2, ill. φ - vektorok közötti szög q 1 és q 2 .

A (2.3) kifejezésből a következőket kapjuk:

.

Egyszerűsítsük és oldjuk meg:

.

Keressük meg a sarkot φ