HÁROMSZÖGEK.

17. § SZIMMETRIA relatíve KÖZVETLEN.

1. Egymással szimmetrikus ábrák.

Rajzoljunk néhány figurát egy papírlapra tintával, és egy ceruzával azon kívül - egy tetszőleges egyenes vonalat. Ezután anélkül, hogy a tinta megszáradna, hajtsa be a papírlapot ezen az egyenes vonalon úgy, hogy a lap egyik része átfedje a másikat. A lap ezen másik részén így ennek az alaknak a lenyomata lesz.

Ha ezután újra kiegyenesíti a papírlapot, akkor két figura lesz rajta, amelyeket ún szimmetrikus ehhez az egyeneshez képest (128. ábra).

Két alakzatot akkor nevezünk szimmetrikusnak valamelyik egyeneshez képest, ha a rajz síkját ezen egyenes mentén hajtjuk össze.

Azt a vonalat, amelyre nézve ezek az ábrák szimmetrikusak, az alakjuknak nevezzük szimmetriatengely.

A szimmetrikus alakzatok definíciójából következik, hogy minden szimmetrikus alak egyenlő.

A sík hajlítása nélkül, de geometriai konstrukció segítségével szimmetrikus figurákat kaphat. Legyen szükség egy adott C pontra szimmetrikus C" pont megalkotására az AB egyenesre nézve. A C pontból ejtsük ki a merőlegest
CD-t az AB egyenesre és annak folytatásán félretesszük a DC "= DC szakaszt. Ha a rajz síkját AB mentén hajlítjuk, akkor a C pont egybeesik a C" ponttal: C és C pont szimmetrikus (129. ábra).

Legyen most szükséges egy szimmetrikus C "D" szakasz megszerkesztése ezt a szegmenst CD az AB vonalhoz képest. Építsük meg a C és D pontokra szimmetrikus C "és D" pontokat. Ha a rajz síkját AB mentén hajlítjuk, akkor a C és D pont egybeesik a C "és D" pontokkal (130. ábra). , a CD és C "D" szegmensek egybeesnek, szimmetrikusak lesznek.

Készítsünk most egy adott ABCD sokszögre szimmetrikus ábrát egy adott MN szimmetriatengelyhez képest (131. ábra).

A feladat megoldásához eldobjuk az A merőlegeseket A, BAN BEN b, VAL VEL Val vel, D dés E e az MN szimmetriatengelyen. Ezután ezeknek a merőlegeseknek a kiterjesztésein félretesszük a szakaszokat
A A" = A A, b B" = B b, Val vel C" \u003d Cs; d D""=D dÉs e E" = E e.

Az A "B" C "D" E "sokszög szimmetrikus lesz az ABCD sokszögre. Valójában, ha a rajzot az MN egyenes mentén hajtjuk, akkor mindkét sokszög megfelelő csúcsai egybeesnek, ami azt jelenti, hogy maguk a sokszögek ez is egybeesik, ez bizonyítja, hogy az ABCD és A" B"C"D"E" sokszögek szimmetrikusak az MN egyenesre.

2. Szimmetrikus részekből álló ábrák.

Gyakran megtalálható geometriai alakzatok, amelyeket valamilyen egyenes két szimmetrikus részre oszt. Az ilyen alakokat ún szimmetrikus.

Tehát például egy szög szimmetrikus alakzat, a szögfelező pedig a szimmetriatengelye, mivel ha végighajlítjuk, a szög egyik része a másikkal kombinálódik (132. ábra).

Körben a szimmetriatengely az átmérője, mivel a mentén hajlítva az egyik félkör a másikkal kombinálódik (133. ábra). Ugyanígy szimmetrikusak a 134, a, b ábrák.

A szimmetrikus figurák gyakran megtalálhatók a természetben, az építőiparban és az ékszerekben. A 135 és 136 rajzokon elhelyezett képek szimmetrikusak.

Megjegyzendő, hogy szimmetrikus alakzatokat csak bizonyos esetekben lehet egyszerű síkbeli mozgatással kombinálni. A szimmetrikus alakzatok kombinálásához általában az egyiket fejjel lefelé kell fordítani,

Az óra célja:

• a "szimmetrikus pontok" fogalmának kialakítása;
• tanítsa meg a gyerekeket az adatokra szimmetrikus pontok felépítésére;
• megtanulják az adatokra szimmetrikus szegmenseket felépíteni;
• a múlt megszilárdítása (számítási készségek kialakítása, többjegyű szám felosztása egyjegyűre).

Az állványon „leckére” kártyák:

1. Szervezési mozzanat

Üdv.

A tanár felhívja a figyelmet az állványra:

Gyerekek, a leckét a munkánk megtervezésével kezdjük.

Ma a matematika órán 3 birodalomba teszünk kirándulást: az aritmetika, az algebra és a geometria birodalmába. Kezdjük a leckét a mai számunkra legfontosabb dologgal, a geometriával. Elmondok neked egy mesét, de "A mese hazugság, de van benne utalás - lecke a jó fickók számára."

": Egy Buridan nevű filozófusnak volt egy szamara. Egyszer, hosszú időre távozva, a filozófus két egyforma karnyi szénát tett a szamár elé. Egy padot tett, a padtól balra és attól jobbra. ugyanilyen távolságra pontosan ugyanannyi szénát rakott.

1. ábra a táblán:

A szamár egyik karó szénától a másikig sétált, de nem döntötte el, melyik karral kezdje. És a végén éhen halt.

Miért nem döntötte el a szamár, hogy melyik marék szénával kezdje?

Mit tud mondani ezekről a karónyi szénáról?

(A széna karjai pontosan egyformák, azonos távolságra voltak a padtól, vagyis szimmetrikusak).

2. Végezzünk egy kis kutatást.

Vegyünk egy lapot (minden gyereknek van egy színes papírlapja az asztalán), hajtsa félbe. Szúrja át egy iránytű lábával. Kiterjed.

Mit kaptál? (2 szimmetrikus pont).

Hogyan lehet meggyőződni arról, hogy valóban szimmetrikusak? (hajtsd össze a lapot, a pontok egyeznek)

3. Az asztalon:

Szerinted ezek a pontok szimmetrikusak? (Nem). Miért? Hogyan lehetünk biztosak ebben?

3. ábra:

Ezek az A és B pontok szimmetrikusak?

Hogyan tudjuk bizonyítani?

(Mérje meg a távolságot az egyenestől a pontig)

Visszatérünk színes papírdarabjainkhoz.

Mérje meg a távolságot a hajtásvonaltól (szimmetriatengelytől) először egy, majd egy másik pontig (de először kösse össze őket egy szegmenssel).

Mit lehet mondani ezekről a távolságokról?

(Ugyanaz)

Keresse meg a szakasz felezőpontját.

Hol van ő?

(Ez az AB szakasz és a szimmetriatengely metszéspontja)

4. Ügyeljen a sarkokra, az AB szakasz szimmetriatengellyel való metszéspontja eredményeként keletkezett. (Egy négyzet segítségével megtudjuk, minden gyerek a munkahelyén dolgozik, egy tanul a táblán).

Következtetés a gyerekekről: az AB szakasz merőleges a szimmetriatengelyre.

Anélkül, hogy tudnánk, most felfedeztünk egy matematikai szabályt:

Ha az A és B pont szimmetrikus egy egyenesre vagy szimmetriatengelyre, akkor az ezeket a pontokat összekötő szakasz erre az egyenesre merőleges vagy derékszögű. (Az állványon külön fel van írva a „merőleges” szó). A „merőleges” szót hangosan, egyhangúan ejtik ki.

5. Figyeljünk arra, hogy a tankönyvünkben hogyan van megírva ez a szabály!

Tankönyvi munka.

Keressen szimmetrikus pontokat egy egyenesen. Az A és B pont szimmetrikus lesz erre az egyenesre?

6. Új anyagon dolgozik.

Tanuljuk meg, hogyan építsünk olyan pontokat, amelyek szimmetrikusak egy egyenesre vonatkozó adatokra.

A tanár okoskodni tanít.

Az A pontra szimmetrikus pont megalkotásához ezt a pontot az egyenesről azonos távolságra jobbra kell mozgatnia.

7. Megtanuljuk az adatokra szimmetrikus szegmensek felépítését egy egyeneshez képest. Tankönyvi munka.

A tanulók a táblánál beszélgetnek.

8. Szóbeli beszámoló.

Ezzel fejezzük be tartózkodásunkat a „Geometria” Királyságban, és egy kis matematikai bemelegítést végzünk, miután meglátogattuk az „Aritmetikai” birodalmat.

Amíg mindenki szóban dolgozik, két diák egyéni táblákon dolgozik.

A) Végezzen osztást ellenőrzéssel:

B) A szükséges számok beszúrása után oldja meg a példát, és ellenőrizze:

Verbális számolás.

1. A nyír várható élettartama 250 év, a tölgyé négyszer hosszabb. Hány évig él egy tölgyfa?
2. Egy papagáj átlagosan 150 évig él, az elefánt pedig háromszor kevesebb. Hány évig él egy elefánt?
3. A medve vendégeket hívott magához: sündisznót, rókát és mókust. Ajándékba pedig egy mustáros edényt, egy villát és egy kanalat adtak neki. Mit adott a sündisznó a medvének?

Erre a kérdésre akkor tudunk választ adni, ha végrehajtjuk ezeket a programokat.

• Mustár - 7
• Villa - 8
• kanál - 6

(Sün adott egy kanalat)

4) Számítsa ki. Keress másik példát.

• 810: 90
• 360: 60
• 420: 7
• 560: 80

5) Keressen egy mintát, és segítsen leírni a megfelelő számot:

3	9	81
2		16

5	10	20
6		24

9. És most pihenjünk egy kicsit.

Hallgassa meg Beethoven Holdfény-szonátáját. Egy pillanat a klasszikus zenéből. A diákok az asztalra hajtják a fejüket, becsukják a szemüket, zenét hallgatnak.

10. Utazás az algebra birodalmába.

Találja meg az egyenlet gyökereit, és ellenőrizze:

A tanulók a táblán és a füzetekben döntenek. Magyarázd el, hogyan találtad ki.

11. "Blitz verseny" .

a) Asya 5 bagelt vett egy rubelért és 2 cipót b rubelért. Mennyibe kerül a teljes vásárlás?

Ellenőrizzük. Megosztjuk a véleményeket.

12. Összegzés.

Tehát befejeztük utazásunkat a matematika birodalmába.

Mi volt számodra a legfontosabb az órán?

Kinek tetszett a leckénk?

Élveztem veled dolgozni

Köszönöm a leckét.

Célok:

• nevelési:
  • képet adjon a szimmetriáról;
  • mutassa be a szimmetria főbb típusait a síkban és a térben;
  • erős készségek kialakítása a szimmetrikus figurák felépítésében;
  • bővítse a híres figurákkal kapcsolatos elképzeléseket azáltal, hogy bevezeti őket a szimmetriához kapcsolódó tulajdonságokba;
  • mutassák be a szimmetria felhasználási lehetőségeit különböző problémák megoldásában;
  • megszilárdítani a megszerzett ismereteket;
• Általános oktatás:
  • tanuld meg felkészíteni magad a munkára;
  • tanítsa meg uralkodni önmagán és a szomszédon az íróasztalon;
  • megtanítani, hogyan értékelje magát és a szomszédot az asztalán;
• fejlesztés:
  • önálló tevékenység aktiválása;
  • kognitív tevékenység fejlesztése;
  • megtanulják összefoglalni és rendszerezni a kapott információkat;
• nevelési:
  • nevelje a tanulókat „vállérzésre”;
  • ápolja a kommunikációt;
  • meghonosítja a kommunikáció kultúráját.

AZ ÓRÁK ALATT

Mindegyik előtt olló és egy papírlap.

1. Feladat(3 perc).

- Vegyünk egy papírlapot, hajtsuk félbe, és vágjunk ki egy figurát. Most hajtsa ki a lapot, és nézze meg a hajtási vonalat.

Kérdés: Mi ennek a vonalnak a funkciója?

Javasolt válasz: Ez a vonal kettéosztja az ábrát.

Kérdés: Hogyan helyezkedik el az ábra összes pontja a kapott két felén?

Javasolt válasz: A felek minden pontja egyenlő távolságra van a hajtásvonaltól és azonos szinten.

- Tehát a hajtási vonal kettéosztja az ábrát úgy, hogy 1 fele 2 fél másolata, azaz. ez az egyenes nem egyszerű, van egy figyelemreméltó tulajdonsága (a hozzá képest minden pont azonos távolságra van), ez az egyenes a szimmetriatengely.

2. feladat (2 perc).

- Vágj ki egy hópelyhet, keresd meg a szimmetriatengelyt, jellemezd!

3. feladat (5 perc).

- Rajzolj egy kört a füzetedbe.

Kérdés: Határozza meg, hogyan halad át a szimmetriatengely?

Javasolt válasz: Eltérően.

Kérdés: Tehát hány szimmetriatengelye van egy körnek?

Javasolt válasz: Sok.

- Így van, a körnek sok szimmetriatengelye van. Ugyanez a csodálatos figura a labda (térfigura)

Kérdés: Milyen más figuráknak van egynél több szimmetriatengelye?

Javasolt válasz: Négyzet, téglalap, egyenlő szárú és egyenlő oldalú háromszögek.

– Tekintsünk háromdimenziós alakzatokat: kocka, piramis, kúp, henger stb. Ezeknek az ábráknak is van szimmetriatengelye Határozza meg, hány szimmetriatengelye van egy négyzetnek, téglalapnak, egyenlő oldalú háromszögnek és a javasolt háromdimenziós alakzatoknak?

A gyurmafigurák felét kiosztom a tanulóknak.

4. feladat (3 perc).

- A kapott információk felhasználásával fejezze be az ábra hiányzó részét!

Jegyzet: a figura lehet lapos és háromdimenziós is. Fontos, hogy a tanulók határozzák meg, hogyan haladjon a szimmetriatengely, és töltsék ki a hiányzó elemet. A teljesítmény helyességét az íróasztalon ülő szomszéd határozza meg, értékeli, hogy milyen jól sikerült a munka.

Az asztalon egy azonos színű csipkéből vonal kerül kirakásra (zárt, nyitott, önkeresztezéssel, önkeresztezés nélkül).

5. feladat (csoportos munka 5 perc).

- Vizuálisan határozza meg a szimmetriatengelyt, és ehhez képest egészítse ki a második részt egy másik színű csipkéből.

Az elvégzett munka helyességét a tanulók maguk határozzák meg.

A tanulókat rajzelemekkel mutatják be

6. feladat (2 perc).

Keresse meg ezeknek a rajzoknak a szimmetrikus részeit!

A tárgyalt anyag összevonására a következő, 15 perces feladatokat javaslom:

Nevezze meg a KOR és KOM háromszög minden egyenlő elemét! Milyen típusúak ezek a háromszögek?

2. Rajzolj egy füzetbe több egyenlő szárú háromszöget azzal közös alap egyenlő 6 cm-rel.

3. Rajzolj egy AB szakaszt. Szerkesszünk egy egyenest, amely merőleges az AB szakaszra és átmegy a felezőpontján. Jelölje be rajta a C és D pontot úgy, hogy az ACBD négyszög szimmetrikus legyen az AB egyenesre.

- Kezdeti elképzeléseink a formáról az ókori kőkorszak egy nagyon távoli korszakához, a paleolitikumhoz tartoznak. Ebből az időszakból több százezer éven át az emberek barlangokban éltek, olyan körülmények között, amelyek alig különböztek az állatok életétől. Az emberek vadászatra és horgászatra eszközöket készítettek, nyelvet alakítottak ki az egymással való kommunikációra, a késő paleolit ​​korszakban pedig művészeti alkotásokkal, figurákkal, rajzokkal díszítették létezésüket, amelyek csodálatos formaérzékről árulkodnak.
Amikor megtörtént az átmenet az egyszerű élelmiszergyűjtésről az aktív termelésre, a vadászatról és halászatról a mezőgazdaságra, az emberiség egy új kőkorszakba, a neolitikumba lép.
A neolitikus embernek éles érzéke volt a geometriai formák iránt. Az agyagedények égetése, színezése, a nádszőnyegek, kosarak, szövetek gyártása, majd a fémfeldolgozás a sík- és téralakokról alkotott elképzeléseket. A neolitikus díszítések kellemesek voltak a szemnek, egyenlőségről és szimmetriáról árulkodtak.
Hol található a szimmetria a természetben?

Javasolt válasz: lepkék szárnyai, bogarak, falevelek…

„A szimmetria az építészetben is meglátszik. Az épületek építésekor az építők egyértelműen ragaszkodnak a szimmetriához.

Ezért olyan szépek az épületek. Szintén a szimmetria példája az ember, az állatok.

Házi feladat:

1. Találja ki a saját díszét, ábrázolja A4-es lapra (szőnyeg formájában is lerajzolhatja).
2. Rajzolj pillangókat, jelöld meg, hol vannak szimmetriaelemek!

szimmetria építészeti homlokzati épület

A szimmetria olyan fogalom, amely a természetben létező rendet, a természet bármely rendszerének vagy tárgyának elemei közötti arányosságot és arányosságot, a rendszer rendezettségét, egyensúlyát, stabilitását, i.e. a harmónia valamilyen eleme.

Évezredek teltek el, mire az emberiség társadalmi termelési tevékenysége során ráébredt arra, hogy az általa elsősorban a természetben kialakított két tendenciát bizonyos fogalmakban kifejezni kell: a szigorú rendezettség, arányosság, egyensúly meglétét és ezek megsértését. Az emberek régóta figyelnek a kristályok alakjának helyességére, a lépek szerkezetének geometriai szigorára, az ágak és levelek sorrendjére és ismétlődésére a fákon, szirmokon, virágokon, növények magjain, és ezt a rendezettséget megmutatták az övék gyakorlati tevékenységek, gondolkodás és művészet.

A szimmetriát az élő természet tárgyai és jelenségei birtokolják. Nemcsak a szemet gyönyörködteti és inspirálja minden idők és népek költőit, hanem lehetővé teszi az élő szervezetek számára, hogy jobban alkalmazkodjanak környezetükhöz, és egyszerűen túléljenek.

Az élő természetben az élő szervezetek túlnyomó többsége kiállít különböző fajták szimmetriák (alak, hasonlóság, relatív helyzet). Ezenkívül a különböző anatómiai felépítésű organizmusok azonos típusú külső szimmetriával rendelkezhetnek.

A szimmetria elve - kimondja, hogy ha a tér homogén, akkor a rendszer egészének térben való átvitele nem változtatja meg a rendszer tulajdonságait. Ha a térben minden irány egyenértékű, akkor a szimmetria elve lehetővé teszi a rendszer egészének térbeli forgását. A szimmetria elve érvényesül, ha megváltoztatja az idő eredetét. Az elvnek megfelelően lehetőség van egy másik referenciarendszerre, amely ehhez a kerethez képest állandó sebességgel mozog. Az élettelen világ nagyon szimmetrikus. Gyakran szimmetriatörés a kvantumfizikában elemi részecskék még mélyebb szimmetria megnyilvánulása. Az aszimmetria az élet szerkezetalkotó és alkotó elve. Az élő sejtekben a funkcionálisan jelentős biomolekulák aszimmetrikusak: a fehérjék balkezes aminosavakból állnak (L-forma), ill. nukleinsavakösszetételükben a heterociklusos bázisokon kívül jobbra forgató szénhidrátokat - cukrokat (D-forma), ezen kívül magát a DNS-t is tartalmazzák - az öröklődés alapja a jobb oldali kettős hélix.

A szimmetria alapelvei a relativitáselmélet alapját képezik, kvantummechanika, fizika szilárd test, atom- és magfizika, elemi részecskefizika. Ezek az elvek a legvilágosabban a természeti törvények változatlanságának tulajdonságaiban fejeződnek ki. Ez nem csak arról szól fizikai törvények, hanem mások is, például biológiaiak. A biológiai megmaradás törvényére példa az öröklődés törvénye. A biológiai tulajdonságok változatlanságán alapul az egyik generációból a másikba való átmenet tekintetében. Teljesen nyilvánvaló, hogy a természetvédelem (fizikai, biológiai és egyebek) törvényei nélkül világunk egyszerűen nem létezhetne.

Így a szimmetria valaminek a megőrzését fejezi ki bizonyos változtatásokkal vagy valaminek a változás ellenére való megőrzését. A szimmetria nemcsak magának az objektumnak, hanem annak bármely tulajdonságának megváltoztathatatlanságát is magában foglalja az objektumon végrehajtott transzformációkhoz képest. Egyes objektumok megváltoztathatatlansága megfigyelhető különféle műveletek kapcsán - forgatások, fordítások, alkatrészek kölcsönös cseréje, tükröződés stb.

Tekintsük a szimmetria típusait a matematikában:

• * központi (a ponthoz képest)
• * axiális (viszonylag egyenes)
• * tükör (a síkhoz képest)
• 1. Központi szimmetria (1. függelék)

Egy ábrát az O ponthoz képest szimmetrikusnak nevezünk, ha az ábra minden pontjára az O pontra vonatkozó szimmetrikus pont is ehhez az alakhoz tartozik. Az O pontot az ábra szimmetriaközéppontjának nevezzük.

A szimmetriaközpont fogalmával először a 16. században találkoztak. Az egyik Clavius-tételben, amely azt mondja: "ha egy dobozt a középponton áthaladó sík elvág, akkor félbe van osztva, és fordítva, ha a dobozt kettévágják, akkor a sík áthalad a közepén. központ." Legendre, aki először vezette be a szimmetriaelmélet elemeit az elemi geometriába, ezt mutatja jobb oldali paralelepipedon az élekre merőleges 3 szimmetriasík van, és a kockának 9 szimmetriasíkja van, ebből 3 merőleges az élekre, a másik 6 pedig a lapok átlóin halad át.

A központi szimmetriájú ábrákra példa a kör és a paralelogramma.

Az algebrában a páros és páratlan függvények tanulmányozása során ezek grafikonjait veszik figyelembe. A páros függvény grafikonja ábrázolva szimmetrikus az y tengelyre, a páratlan függvény grafikonja pedig az origóra, azaz. pont O. Tehát nem páros funkció központi szimmetriája van, a páros függvénynek pedig tengelyszimmetriája van.

2. Tengelyszimmetria (2. függelék)

Egy ábrát szimmetrikusnak nevezünk egy a egyenesre, ha az ábra minden pontjára az a egyenesre nézve szimmetrikus pont is ehhez az alakhoz tartozik. Az a egyenest az ábra szimmetriatengelyének nevezzük. A figurának állítólag tengelyszimmetriája is van.

Többben szűk értelemben a szimmetriatengelyt másodrendű szimmetriatengelynek nevezik és "tengelyszimmetriáról" beszélnek, ami a következőképpen definiálható: egy alaknak (vagy testnek) van tengelyszimmetriája valamilyen tengely körül, ha minden E pontja megfelel egy ugyanahhoz az alakhoz tartozó F ponthoz, amelyre az EF szakasz merőleges a tengelyre, metszi azt és a metszéspontban kettéosztjuk.

Példákat adok tengelyszimmetriájú ábrákra. A kibontott szögnek egy szimmetriatengelye van - egy egyenes vonal, amelyen a szög felezője található. Egy egyenlő szárú (de nem egyenlő oldalú) háromszögnek is van egy szimmetriatengelye, és egy egyenlő oldalú háromszögnek három szimmetriatengelye van. Egy téglalapnak és egy rombusznak, amelyek nem négyzetek, két szimmetriatengelye van, a négyzetnek pedig négy szimmetriatengelye van. Egy körben végtelen sok van - a középpontján áthaladó bármely egyenes szimmetriatengely.

Vannak olyan ábrák, amelyeknek nincs szimmetriatengelye. Az ilyen ábrák közé tartozik a téglalaptól eltérő paralelogramma, a léptékű háromszög.

3. Tükörszimmetria (3. függelék)

A tükörszimmetria (síkhoz viszonyított szimmetria) a térnek olyan önmagára való leképezését jelenti, amelyben bármely M pont átmegy a vele e síkra szimmetrikus M1 pontba.

A tükörszimmetriát minden ember jól ismeri a mindennapi megfigyelésből. Ahogy a név is mutatja, a tükörszimmetria bármilyen tárgyat és annak tükröződését egy lapos tükörben összekapcsolja. Egy alakot (vagy testet) tükörszimmetrikusnak mondunk a másikkal, ha együtt tükörszimmetrikus alakot (vagy testet) alkotnak.

A biliárdjátékosok régóta ismerik a tükröződést. "Tükrük" a játéktér oldalai, a labdák röppályái pedig egy fénysugár szerepét töltik be. A sarok közelében lévő deszkát eltalálva a labda a derékszögben elhelyezkedő oldalra gurul, és onnan visszaverődően az első ütközés irányával párhuzamosan visszamozdul.

Megjegyzendő, hogy két szimmetrikus alakzat vagy egy figura két szimmetrikus része minden hasonlóságukkal, térfogat- és felületegyenlőségükkel általános esetben nem egyenlő, i.e. nem kombinálhatók egymással. Különböző figurák ezek, nem cserélhetők egymással, pl a megfelelő kesztyű, csizma stb. nem alkalmas bal kézre, lábra. Az elemeknek lehet egy, kettő, három stb. szimmetriasíkok. Például egy egyenes gúla, amelynek alapja egyenlő szárú háromszög, szimmetrikus egy P síkra. Az azonos alappal rendelkező prizmának két szimmetriasíkja van. Egy szabályos hatszögletű prizmában hét van belőle. A forgástestek: golyó, tórusz, henger, kúp stb. végtelen számú szimmetriasíkjuk van.

Az ókori görögök azt hitték, hogy az univerzum szimmetrikus egyszerűen azért, mert a szimmetria gyönyörű. Szimmetria-megfontolások alapján számos sejtést tettek. Tehát Pythagoras (Kr. e. 5. század) a gömböt a legszimmetrikusabb és legtökéletesebb formának tekintve arra a következtetésre jutott, hogy a Föld gömb alakú, és a gömb körül mozog. Ugyanakkor úgy vélte, hogy a Föld egy bizonyos „központi tűz” gömbje mentén mozog. Ugyanazon "tűz" körül, Pythagoras szerint, az akkor ismert hat bolygónak, valamint a Holdnak, a Napnak és a csillagoknak kellett volna keringenie.

Az ókor óta az embernek eszméi vannak a szépségről. A természet minden alkotása gyönyörű. Az emberek szépek a maguk módján, az állatok és a növények elragadóak. A drágakő vagy a sókristály látványa gyönyörködteti a szemet, nehéz nem gyönyörködni egy hópehelyben vagy egy pillangóban. De miért történik ez? Számunkra úgy tűnik, hogy a tárgyak megjelenése helyes és teljes, amelyek jobb és bal fele ugyanúgy néz ki, mint a tükörképen.

Úgy tűnik, a művészet emberei gondoltak először a szépség lényegére. Ősi szobrászok, akik tanulmányozták a szerkezetet emberi test, még a Kr.e. V. században. elkezdte használni a "szimmetria" fogalmát. Ez a szó görög eredetű, és harmóniát, arányosságot és hasonlóságot jelent az alkotórészek elrendezésében. Platón azt állította, hogy csak az lehet szép, ami szimmetrikus és arányos.

A geometriában és a matematikában a szimmetria három típusát veszik figyelembe: axiális szimmetria(egyeneshez viszonyítva), központi (ponthoz viszonyítva) és tükörhöz (síkhoz képest).

Ha egy objektum minden pontjának megvan a maga pontos leképezése a benne lévő középponthoz képest, akkor van egy központi szimmetria. Példák az olyan geometriai testek, mint a henger, egy golyó, jobb prizma stb.

A pontok egy egyeneshez viszonyított tengelyirányú szimmetriája azt írja elő, hogy ez az egyenes metszi a pontokat összekötő szakasz felezőpontját, és merőleges rá. Példák egyenlő szárú háromszög nem kiterjesztett szögének felezőjére, bármely kör középpontján áthúzott egyenesre stb. Ha a tengelyirányú szimmetria a jellemző, akkor a tükörpontok meghatározása egyszerűen a tengely mentén történő hajlítással és egyenlő felek „szemtől szembe” hajtásával megjeleníthető. A kívánt pontok érintik egymást.

Tükörszimmetria esetén az objektum pontjai egyenlően helyezkednek el a középpontján átmenő síkhoz képest.

A természet bölcs és racionális, ezért szinte minden alkotása harmonikus szerkezetű. Ez az élőlényekre és az élettelen tárgyakra egyaránt vonatkozik. A legtöbb életforma szerkezetét a szimmetria három típusának egyike jellemzi: kétoldali, sugárirányú vagy gömb alakú.

Leggyakrabban az axiális a talajfelszínre merőlegesen fejlődő növényeknél figyelhető meg. Ebben az esetben a szimmetria az azonos elemek középen elhelyezkedő közös tengely körüli elforgatásának eredménye. Elhelyezkedésük szöge és gyakorisága eltérő lehet. Példa erre a fák: lucfenyő, juhar és mások. Egyes állatoknál axiális szimmetria is előfordul, de ez kevésbé gyakori. Természetesen a matematikai pontosság ritkán rejlik a természetben, de egy organizmus elemeinek hasonlósága még mindig szembeötlő.

A biológusok gyakran nem axiális szimmetriát, hanem bilaterális (bilaterális) szempontot vesznek figyelembe. Példák a pillangó vagy szitakötő szárnyai, növényi levelek, virágszirmok stb. Minden esetben az élő tárgy jobb és bal oldala egyenlő, és egymás tükörképei.

A gömbszimmetria számos növény, egyes halak, puhatestűek és vírusok termésére jellemző. A sugárszimmetriára példák a férgek, tüskésbőrűek bizonyos típusai.

Az ember szemében az aszimmetria leggyakrabban szabálytalansággal vagy kisebbrendűséggel jár. Ezért az emberi kéz alkotásainak többségében nyomon követhető a szimmetria és a harmónia.