a kémiában a molekulák geometriai konfigurációjában nyilvánul meg, ami befolyásolja a fizikai ill. kémiai tulajdonságok molekulák izolált állapotban, külső mezőben és más atomokkal és molekulákkal való kölcsönhatásban.

A legtöbb egyszerű molekulában vannak az egyensúlyi konfiguráció térbeli szimmetriájának elemei: szimmetriatengelyek, szimmetriasíkok stb. (lásd Szimmetria a matematikában). Tehát az NH 3 ammónia molekula egy szabályos háromszög alakú piramis szimmetriájával rendelkezik, a CH 4 metán molekula pedig egy tetraéder szimmetriájával rendelkezik. Az összetett molekulákban az egyensúlyi konfiguráció egészének szimmetriája általában hiányzik, azonban az egyes fragmentumok szimmetriája megközelítőleg megmarad (lokális szimmetria). A molekulák egyensúlyi és nem egyensúlyi konfigurációinak szimmetriájának legteljesebb leírását az ún. Dinamikus szimmetriacsoportok - olyan csoportok, amelyek nemcsak a magkonfiguráció térbeli szimmetriájának műveleteit tartalmazzák, hanem az azonos magok különböző konfigurációjú permutációinak műveleteit is. Például az NH 3 molekula dinamikus szimmetriacsoportja magában foglalja ennek a molekulának az inverzióját is: az N atom átmenetét a sík egyik oldaláról, atomok alkotják N, a másik oldalon.

Egy molekulában a magok egyensúlyi konfigurációjának szimmetriája magában foglalja a molekula különböző állapotainak hullámfüggvényeinek (lásd hullámfüggvény) bizonyos szimmetriáját, ami lehetővé teszi az állapotok szimmetriatípusok szerinti osztályozását. A fényelnyeléssel vagy -emisszióval kapcsolatos két állapot közötti átmenet, az állapotok szimmetriájának típusaitól függően, megjelenhet a molekulaspektrumban (lásd a molekulaspektrumokat), vagy tilos, így az ennek az átmenetnek megfelelő vonal vagy sáv hiányzik a spektrumból. Azok az állapotok szimmetriájának típusai, amelyek között átmenet lehetséges, befolyásolja a vonalak és sávok intenzitását, valamint polarizációjukat. Például homonukleáris kétatomos molekuláknál az azonos paritású elektronállapotok közötti átmenetek tilosak és nem jelennek meg a spektrumokban, amelyek elektronhullámfüggvényei ugyanúgy viselkednek az inverziós művelet során; benzolmolekulák és hasonló vegyületek esetében tilos az azonos típusú szimmetriájú, nem degenerált elektronállapotok közötti átmenet stb. A szimmetria szelekciós szabályai a különböző állapotok közötti átmenetekre kiegészülnek ezen állapotok Spinjére vonatkozó szelekciós szabályokkal.

A paramágneses centrumokkal rendelkező molekulák esetében ezeknek a központoknak a környezetének szimmetriája bizonyos típusú anizotrópiához vezet g-faktor (Lande-faktor), amely az elektron paramágneses rezonancia spektrumának szerkezetét befolyásolja (lásd Elektronparamágneses rezonancia), míg azoknál a molekuláknál, amelyek atommagjainak spinje nem nulla, az egyes lokális fragmentumok szimmetriája az állapotok bizonyos típusú energiahasadásához vezet. különböző vetületek magspin, ami befolyásolja a magmágneses rezonancia spektrum szerkezetét.

A kvantumkémia közelítő megközelítéseiben, amelyek a molekuláris pályák fogalmát használják, a szimmetriaosztályozás nemcsak a molekula egészének hullámfüggvényére, hanem az egyes pályákra is lehetséges. Ha egy molekula egyensúlyi konfigurációjának van egy szimmetriasíkja, amelyben az atommagok találhatók, akkor ennek a molekulának az összes pályája két osztályba sorolható: szimmetrikus (σ) és antiszimmetrikus (π) a reflexió ezen a síkon történő működése szempontjából. . Azok a molekulák, amelyeknek a felső (energiában) foglalt pályája π-pályák, a telítetlen és konjugált vegyületek sajátos osztályait alkotják jellemző tulajdonságaikkal. Az egyes molekulatöredékek lokális szimmetriájának ismerete és az ezeken a fragmentumokon lokalizált molekuláris pályák lehetővé teszi annak megítélését, hogy a kémiai átalakulások során, például fotokémiai reakciók során mely töredékek vannak könnyebben kitéve gerjesztésnek, és melyek azok, amelyek erősebben változnak.

A szimmetria fogalmának nagy jelentősége van a komplex vegyületek szerkezetének, tulajdonságainak és különféle reakciókban való viselkedésének elméleti elemzésében. A kristálytérelmélet és a ligandumtérelmélet meghatározza a foglalt és az üres pályák egymáshoz viszonyított helyzetét összetett vegyület szimmetriájára vonatkozó adatok alapján a ligandummező szimmetriájának változásával az energiaszintek felosztásának jellegét és mértékét. Egy komplexumnak csak a szimmetriájának ismerete nagyon gyakran lehetővé teszi tulajdonságainak minőségi megítélését.

P. Woodward és R. Hoffman 1965-ben terjesztette elő a kémiai reakciókban a pályaszimmetria megőrzésének elvét, amelyet később kiterjedt kísérleti anyagok is megerősítettek, és nagy hatással volt a preparatív fejlődésére. szerves kémia. Ez az elv (a Woodward-Hoffman szabály) kimondja, hogy az egyes elemi aktusok kémiai reakciókáthaladnak, miközben megtartják a molekuláris pályák szimmetriáját vagy az orbitális szimmetriát. Minél jobban megtörik a pályák szimmetriája egy elemi aktus során, annál nehezebb a reakció.

A molekulák szimmetriájának figyelembevétele fontos a kémiai lézerek és molekuláris egyenirányítók létrehozásához használt anyagok felkutatásában és kiválasztásában, szerves szupravezetők modelljeinek felépítésében, rákkeltő és farmakológiai hatások elemzésében. hatóanyagok stb.

Megvilágított.: Hochstrasser R., A szimmetria molekuláris vonatkozásai, ford. angolból, M., 1968; Bolotin A. B., Stepanov N. f. Csoportok elmélete és alkalmazásai a molekulák kvantummechanikájában, M., 1973; Woodward R., Hoffman R., Orbital symmetry conservation, ford. angolból, M., 1971.

N. F. Sztyepanov.

biológiában (bioszimmetria). Az élőtermészetben a S. jelenségére ben fordítottak figyelmet Ókori Görögország Pythagoreusok (Kr. e. V. század) a harmónia-tan kidolgozása kapcsán. A 19. században izolált munkák jelentek meg a növények S.-én (francia tudósok O. P. Decandol és O. Bravo), állatokon (németül - E. Haeckel), biogén molekulákon (francia - A. Vechan, L. Pasteur stb.). A 20. században a biológiai objektumokat abból a szempontból vizsgálták általános elmélet S. (szovjet tudósok Yu. V. Vulf, V. N. Beklemisev, B. K. Vainshtein, holland fizikokémikus F. M. Eger, angol krisztallográfusok J. Bernal vezetésével) és a jobb- és baloldaliság doktrínája (szovjet tudósok V. I. Vernadsky, V. V. F. Alpatov, G. Gause és mások, valamint a német tudós, W. Ludwig). Ezek a munkák vezettek 1961-ben a S. elmélet egy speciális irányának – a bioszimmetria – azonosításához.

A biológiai objektumok szerkezeti S.-ét vizsgálták a legintenzívebben. A biostruktúrák - molekuláris és szupramolekuláris - S. szerkezeti S. vizsgálata lehetővé teszi a számukra lehetséges S. típusok előzetes azonosítását, ezáltal a lehetséges módosítások számát és típusát, a külső hatások szigorú leírását. bármely térbeli biológiai objektum alakja és belső szerkezete. Ez a szerkezeti S. ábrázolások széles körű alkalmazásához vezetett a zoológiában, botanikában, molekuláris biológia. A szerkezeti S. elsősorban egyik-másik szabályos ismétlés formájában nyilvánul meg. BAN BEN klasszikus elmélet A német tudós, J. F. Gessel, E. S. Fedorov és mások által kidolgozott szerkezeti szimmetria alapján egy objektum szimmetriájának megjelenése a szerkezet elemeinek halmazával írható le, azaz olyan geometriai elemekkel (pontok, vonalak, síkok), amelyekhez képest az objektum ugyanazon részei rendezettek (lásd Szimmetria a matematikában). Például a S. phlox virág nézete ( rizs. 1 , c) - egy 5. rendű tengely, amely áthalad a virág közepén; működése során készült - 5 forgatás (72, 144, 216, 288 és 360 °-kal), amelyek mindegyikében a virág egybeesik önmagával. C. pillangó figura megtekintése ( rizs. 2 , b) - egy sík, amely két részre osztja - balra és jobbra; a sík segítségével végrehajtott művelet tükörtükrözés, a jobb bal bal felét, a bal jobb felét „készítve” és a pillangó figuráját önmagával kombinálva. Nézet C. radiolarian Lithocubus geometricus ( rizs. 3 , b), a forgástengelyen és a visszaverődési síkon kívül tartalmazza a C középpontot is. Bármilyen egyenes, amely egy ilyen egyetlen ponton keresztül húzódik a radiolária belsejében annak mindkét oldalán és egyenlő távolságra, ugyanazzal találkozik (megfelelő) az ábra pontjai. Az S. középpontja segítségével végzett műveletek egy pontban reflexiók, amelyek után a radiolariás alakja is kombinálódik önmagával.

Az élő természetben (és az élettelen természetben is) a különféle megszorítások miatt általában lényegesen kisebb számú S. faj található, mint az elméletileg lehetséges. Például az élő természet fejlődésének alsó szakaszaiban a pontszerű S. összes osztályának képviselői vannak - egészen a szabályos poliéderek és a gömbölyű S. által jellemzett élőlényekig (lásd. rizs. 3 ). Az evolúció magasabb szakaszaiban azonban a növények és állatok főleg az ún. axiális (típus n) és aktinomorf (típus n(m)VAL VEL. (mindkét esetben n 1 és ∞ közötti értékeket vehet fel). Bioobjektumok axiális S.-vel (lásd. rizs. 1 ) csak a rend C. tengelye jellemzi n. A sactinomorf S. bioobjektumai (lásd. rizs. 2 ) egy sorrendi tengely jellemzi nés e tengely mentén metsző síkok m. A vadon élő állatokban a S. fajok a leggyakoribbak. n = 1 és 1. m = m, nevezzük rendre aszimmetriának (Lásd Aszimmetria) és kétoldali, vagy kétoldali, S. Az aszimmetria a legtöbb növényfaj leveleire jellemző, a kétoldali S. - bizonyos mértékig az emberi test külső alakjára, a gerincesekre, ill. sok gerinctelen. A mozgó szervezetekben az ilyen mozgások nyilvánvalóan a fel és le, illetve előre és hátra mozgásukban mutatkozó különbségekkel járnak, míg jobbra és balra mozgásuk azonos. A kétoldalú S. megsértése elkerülhetetlenül az egyik fél mozgásának gátlásához és az előrefelé irányuló mozgás körkörössé való átalakulásához vezetne. Az 50-70-es években. 20. század intenzív tanulmányozást (elsősorban a Szovjetunióban) vetették alá az ún. aszimmetrikus bioobjektumok ( rizs. 4 ). Ez utóbbi legalább két módosításban létezhet - az eredeti és annak tükörképe (antipóda) formájában. Sőt, ezen formák egyikét (függetlenül attól, hogy melyik) jobbnak vagy D-nek (a latin dextro szóból), a másikat balnak vagy L-nek (a latin laevo szóból) hívják. A D- és L-biológiai objektumok alakjának és szerkezetének tanulmányozásakor kidolgozták a diszszimmetrizáló tényezők elméletét, amely bizonyítja bármely D- vagy L-objektum két vagy több (legfeljebb végtelen számú) módosításának lehetőségét (lásd még rizs. 5 ); ugyanakkor tartalmazta az utóbbiak számának és típusának meghatározására szolgáló képleteket is. Ez az elmélet vezetett az ún. biológiai izomerizmus (lásd. Izomerizmus) (különböző biológiai objektumok azonos összetételű; tovább rizs. 5 16 hárslevél izomer látható).

A biológiai objektumok előfordulásának vizsgálata során kiderült, hogy egyes esetekben a D-formák dominálnak, máshol az L-formák, máshol ugyanolyan gyakoriak. Bechamp és Pasteur (19. század 40-es évei), illetve a 30-as években. 20. század G. F. Gause és mások szovjet tudósok kimutatták, hogy az élőlények sejtjei csak vagy főleg L-aminosavakból, L-fehérjékből, D-dezoxiribonukleinsavakból, D-cukrokból, L-alkaloidokból, D- és L-terpénekből stb. épülnek fel. Olyan alapvető és jellegzetes A Pasteur által a protoplazma disszimmetriájának nevezett élő sejtek aktívabb anyagcserét biztosítanak a sejtnek, amint azt a XX. Baglyok. 1952-ben V. V. Alpatov tudós 204 edényes növényfajon megállapította, hogy a növényfajok 93,2%-a az L-, 1,5%-a - az erek falának spirális megvastagodása D-folyamatú, a fajok 5,3%-a. - racém típusba (a D-erek száma megközelítőleg megegyezik az L-erek számával).

A D- és L-biológiai objektumok tanulmányozása során azt találták, hogy az egyenlőség között D és L alakzatok esetenként fiziológiai, biokémiai és egyéb tulajdonságaik eltérése miatt zavar. Az élő természetnek ezt a sajátosságát az élet disszimmetriájának nevezték. Így az L-aminosavak serkentő hatása a növényi sejtekben a plazma mozgására tízszer és százszor nagyobb, mint a D-formáik azonos hatása. Sok D-aminosavakat tartalmazó antibiotikum (penicillin, gramicidin stb.) baktericidebb, mint az L-aminosavakat tartalmazó formáik. A gyakoribb spirál alakú L-kop répa 8-44%-kal (fajtától függően) nehezebb és 0,5-1%-kal több cukrot tartalmaz, mint a D-kop répa.

Ebben a leckében néhány ábra másik jellemzőjét tekintjük meg - a tengelyirányú és a központi szimmetriát. Axiális szimmetriával minden nap találkozunk, amikor tükörbe nézünk. A vadvilágban nagyon gyakori a központi szimmetria. A szimmetrikus ábráknak azonban van egész sor tulajdonságait. Ráadásul később megtudjuk, hogy az axiális ill központi szimmetria olyan mozgástípusok, amelyek segítségével problémák egész osztályát oldják meg.

Ez a lecke az axiális és a központi szimmetriáról szól.

Meghatározás

A két pontot és az úgynevezett szimmetrikus egyeneshez képest, ha:

ábrán Az 1. ábra példákat mutat be egy egyeneshez képest szimmetrikus pontokra és , és .

Rizs. 1

Megjegyezzük azt a tényt is, hogy egy egyenes bármely pontja szimmetrikus önmagára ehhez az egyeneshez képest.

Az ábrák szimmetrikusak is lehetnek egy egyeneshez képest.

Fogalmazzunk meg egy szigorú definíciót.

Meghatározás

Az alak az ún szimmetrikus egy egyenesre, ha az ábra minden pontjára az ehhez az egyeneshez képest szimmetrikus pont is az ábrához tartozik. Ebben az esetben a vonalat hívják szimmetriatengely. A figurának van axiális szimmetria.

Vegyünk néhány példát tengelyszimmetriájú ábrákra és szimmetriatengelyeikre.

1. példa

A szög tengelyirányban szimmetrikus. A szög szimmetriatengelye a felező. Valóban: ejtsük le a szögfelező merőlegest a szög tetszőleges pontjából, és nyújtsuk meg addig, amíg a szög másik oldalával nem metszi (lásd 2. ábra).

Rizs. 2

(mert - a közös oldal, (a felező tulajdonsága), a háromszögek pedig derékszögűek). Azt jelenti,. Ezért a és pontok szimmetrikusak a szögfelezőhöz képest.

Ebből következik, hogy az egyenlő szárú háromszögnek is van tengelyszimmetriája az alaphoz húzott felező (magasság, medián) tekintetében.

2. példa

Egy egyenlő oldalú háromszögnek három szimmetriatengelye van (mindhárom szög felezője / mediánja / magassága (lásd a 3. ábrát).

Rizs. 3

3. példa

A téglalapnak két szimmetriatengelye van, amelyek mindegyike átmegy két szemközti oldalának felezőpontján (lásd 4. ábra).

Rizs. 4

4. példa

A rombusznak két szimmetriatengelye is van: az átlóit tartalmazó egyenesek (lásd 5. ábra).

Rizs. 5

5. példa

Egy négyzetnek, amely egyben rombusz és téglalap is van, 4 szimmetriatengelye van (lásd a 6. ábrát).

Rizs. 6

6. példa

Egy kör esetében a szimmetriatengely bármely egyenes, amely átmegy a középpontján (vagyis amely tartalmazza a kör átmérőjét). Ezért a körnek végtelen sok szimmetriatengelye van (lásd a 7. ábrát).

Rizs. 7

Fontolja meg most a koncepciót központi szimmetria.

Meghatározás

A pontokat és hívják szimmetrikus ponthoz képest, ha: - a szakasz közepe .

Nézzünk néhány példát: az ábrán. A 8. ábrán az és pontok, valamint az és pontok láthatók, amelyek szimmetrikusak a ponthoz képest, míg a és pontok nem szimmetrikusak ehhez a ponthoz képest.

Rizs. 8

Egyes ábrák bizonyos pontokhoz képest szimmetrikusak. Fogalmazzunk meg egy szigorú definíciót.

Meghatározás

Az alak az ún szimmetrikus egy pontra, ha az ábra bármely pontjára, a vele szimmetrikus pont is ehhez az ábrához tartozik. A lényeg az ún szimmetria középpontja, és az ábra rendelkezik központi szimmetria.

Tekintsünk példákat központi szimmetriájú ábrákra.

7. példa

Egy kör esetében a szimmetria középpontja a kör középpontja (ez könnyen bebizonyítható, ha emlékezünk a kör átmérőjének és sugarának tulajdonságaira) (lásd 9. ábra).

Rizs. 9

8. példa

A paralelogramma esetében a szimmetria középpontja az átlók metszéspontja (lásd 10. ábra).

Rizs. 10

Oldjunk meg több tengely- és centrális szimmetriával kapcsolatos feladatot.

1. feladat.

Hány szimmetriatengelye van a szakasznak?

A szakasznak két szimmetriatengelye van. Ezek közül az első egy szakaszt tartalmazó egyenes (mivel az egyenes bármely pontja szimmetrikus önmagára ehhez az egyeneshez képest). Második - középső merőleges a szakaszra, azaz a szakaszra merőleges és annak felezőpontján átmenő egyenesre.

Válasz: 2 szimmetriatengely.

2. feladat.

Hány szimmetriatengelye van egy egyenesnek?

Egy egyenesnek végtelen sok szimmetriatengelye van. Ezek egyike maga az egyenes (mivel a vonal bármely pontja szimmetrikus önmagára ehhez az egyeneshez képest). És a szimmetriatengelyek egy adott egyenesre merőleges vonalak.

Válasz: végtelenül sok szimmetriatengely van.

3. feladat.

Hány szimmetriatengelye van egy sugárnak?

A sugárnak van egy szimmetriatengelye, amely egybeesik a sugarat tartalmazó egyenessel (mivel a vonal bármely pontja szimmetrikus önmagára ehhez az egyeneshez képest).

Válasz: egy szimmetriatengely.

4. feladat.

Bizonyítsuk be, hogy a rombusz átlóit tartalmazó egyenesek szimmetriatengelyei.

Bizonyíték:

Tekintsünk egy rombuszt. Bizonyítsuk be például, hogy az egyenes a szimmetriatengelye. Nyilvánvalóan a és pontok szimmetrikusak önmagukra, mivel ezen a vonalon fekszenek. Ezenkívül a és pontok szimmetrikusak ehhez az egyeneshez képest, mivel . Válasszunk most egy tetszőleges pontot, és bizonyítsuk be, hogy a vele szimmetrikus pont is a rombuszhoz tartozik (lásd 11. ábra).

Rizs. tizenegy

Rajzolj egy merőlegest a ponton átmenő egyenesre, és nyújtsd ki a metszéspontig. Tekintsük háromszögek és . Ezek a háromszögek téglalap alakúak (felépítésük szerint), ráadásul bennük: - közös láb, ill (mivel egy rombusz átlói a felezői). Tehát ezek a háromszögek egyenlőek: . Ez azt jelenti, hogy az összes megfelelő elemük is egyenlő, ezért: . E szakaszok egyenlőségéből az következik, hogy a és pontok szimmetrikusak az egyeneshez képest. Ez azt jelenti, hogy a rombusz szimmetriatengelye. Ez a tény a második átlónál is hasonlóan igazolható.

Igazolt.

5. feladat.

Bizonyítsuk be, hogy egy paralelogramma átlóinak metszéspontja a szimmetriaközéppontja.

Bizonyíték:

Tekintsünk egy paralelogrammát. Bizonyítsuk be, hogy a pont szimmetriaközéppontja. Nyilvánvaló, hogy a és a , és pontok páronként szimmetrikusak a ponthoz képest, mivel a paralelogramma átlóit a metszéspont kettéosztja. Válasszunk most egy tetszőleges pontot, és bizonyítsuk be, hogy a vele szimmetrikus pont is a paralelogrammához tartozik (lásd 12. ábra).

Célok:

• nevelési:
  • képet adjon a szimmetriáról;
  • mutassa be a szimmetria főbb típusait a síkban és a térben;
  • erős készségek kialakítása a szimmetrikus figurák felépítésében;
  • bővítse a híres figurákkal kapcsolatos elképzeléseket azáltal, hogy bevezeti őket a szimmetriához kapcsolódó tulajdonságokba;
  • mutassák be a szimmetria felhasználási lehetőségeit különböző problémák megoldásában;
  • megszilárdítani a megszerzett ismereteket;
• Általános oktatás:
  • tanuld meg felkészíteni magad a munkára;
  • tanítsa meg uralkodni önmagán és a szomszédon az íróasztalon;
  • megtanítani, hogyan értékelje magát és a szomszédot az asztalán;
• fejlesztés:
  • önálló tevékenység aktiválása;
  • kognitív tevékenység fejlesztése;
  • megtanulják összefoglalni és rendszerezni a kapott információkat;
• nevelési:
  • nevelje a tanulókat „vállérzésre”;
  • ápolja a kommunikációt;
  • meghonosítja a kommunikáció kultúráját.

AZ ÓRÁK ALATT

Mindegyik előtt olló és egy papírlap.

1. Feladat(3 perc).

- Vegyünk egy papírlapot, hajtsuk félbe, és vágjunk ki egy figurát. Most hajtsa ki a lapot, és nézze meg a hajtási vonalat.

Kérdés: Mi ennek a vonalnak a funkciója?

Javasolt válasz: Ez a vonal kettéosztja az ábrát.

Kérdés: Hogyan helyezkedik el az ábra összes pontja a kapott két felén?

Javasolt válasz: A felek minden pontja egyenlő távolságra van a hajtásvonaltól és azonos szinten.

- Tehát a hajtási vonal kettéosztja az ábrát úgy, hogy 1 fele 2 fél másolata, azaz. ez az egyenes nem egyszerű, van egy figyelemreméltó tulajdonsága (a hozzá képest minden pont azonos távolságra van), ez az egyenes a szimmetriatengely.

2. feladat (2 perc).

- Vágj ki egy hópelyhet, keresd meg a szimmetriatengelyt, jellemezd!

3. feladat (5 perc).

- Rajzolj egy kört a füzetedbe.

Kérdés: Határozza meg, hogyan halad át a szimmetriatengely?

Javasolt válasz: Eltérően.

Kérdés: Tehát hány szimmetriatengelye van egy körnek?

Javasolt válasz: Sok.

- Így van, a körnek sok szimmetriatengelye van. Ugyanez a csodálatos figura a labda (térfigura)

Kérdés: Milyen más figuráknak van egynél több szimmetriatengelye?

Javasolt válasz: Négyzet, téglalap, egyenlő szárú és egyenlő oldalú háromszögek.

– Tekintsünk háromdimenziós alakzatokat: kocka, piramis, kúp, henger stb. Ezeknek az ábráknak is van szimmetriatengelye Határozza meg, hány szimmetriatengelye van egy négyzetnek, téglalapnak, egyenlő oldalú háromszögnek és a javasolt háromdimenziós alakzatoknak?

A gyurmafigurák felét kiosztom a tanulóknak.

4. feladat (3 perc).

- A kapott információk felhasználásával fejezze be az ábra hiányzó részét!

Jegyzet: a figura lehet lapos és háromdimenziós is. Fontos, hogy a tanulók határozzák meg, hogyan haladjon a szimmetriatengely, és töltsék ki a hiányzó elemet. A végrehajtás helyességét az íróasztal szomszédja határozza meg, értékeli, hogy a munka milyen jól történt.

Az asztalon egy azonos színű csipkéből vonal kerül kirakásra (zárt, nyitott, önkeresztezéssel, önkeresztezés nélkül).

5. feladat (csoportos munka 5 perc).

- Vizuálisan határozza meg a szimmetriatengelyt, és ehhez képest egészítse ki a második részt egy másik színű csipkéből.

Az elvégzett munka helyességét a tanulók maguk határozzák meg.

A tanulókat rajzelemekkel mutatják be

6. feladat (2 perc).

Keresse meg ezeknek a rajzoknak a szimmetrikus részeit!

A tárgyalt anyag összevonására a következő, 15 perces feladatokat javaslom:

Nevezze meg a KOR és KOM háromszög minden egyenlő elemét! Milyen típusúak ezek a háromszögek?

2. Rajzolj egy füzetbe több egyenlő szárú háromszöget azzal közös alap egyenlő 6 cm-rel.

3. Rajzolj egy AB szakaszt. Szerkesszünk egy egyenest, amely merőleges az AB szakaszra és átmegy a felezőpontján. Jelölje be rajta a C és D pontot úgy, hogy az ACBD négyszög szimmetrikus legyen az AB egyenesre.

- Kezdeti elképzeléseink a formáról az ókori kőkorszak egy nagyon távoli korszakához, a paleolitikumhoz tartoznak. Ebből az időszakból több százezer éven át az emberek barlangokban éltek, olyan körülmények között, amelyek alig különböztek az állatok életétől. Az emberek vadászatra és horgászatra eszközöket készítettek, nyelvet alakítottak ki az egymással való kommunikációra, a késő paleolit ​​korszakban pedig művészeti alkotásokkal, figurákkal, rajzokkal díszítették létezésüket, amelyek csodálatos formaérzékről árulkodnak.
Amikor megtörtént az átmenet az egyszerű élelmiszergyűjtésről az aktív termelésre, a vadászatról és halászatról a mezőgazdaságra, az emberiség egy új kőkorszakba, a neolitikumba lép.
A neolitikus embernek éles érzéke volt a geometriai formák iránt. Az agyagedények égetése, színezése, a nádszőnyegek, kosarak, szövetek gyártása, majd a fémfeldolgozás a sík- és téralakokról alkotott elképzeléseket. A neolitikus díszítések kellemesek voltak a szemnek, egyenlőségről és szimmetriáról árulkodtak.
Hol található a szimmetria a természetben?

Javasolt válasz: lepkék szárnyai, bogarak, falevelek…

„A szimmetria az építészetben is meglátszik. Az épületek építésekor az építők egyértelműen ragaszkodnak a szimmetriához.

Ezért olyan szépek az épületek. Szintén a szimmetria példája az ember, az állatok.

Házi feladat:

1. Találja ki a saját díszét, ábrázolja A4-es lapra (szőnyeg formájában is lerajzolhatja).
2. Rajzolj pillangókat, jelöld meg, hol vannak szimmetriaelemek!

Legyen g rögzített egyenes (191. ábra). Vegyünk egy tetszőleges X pontot, és dobjuk a merőleges AX-et a g egyenesre. A merőlegesnek az A ponton túli folytatásán félretesszük az AX " szakaszt, amely egyenlő az AX szakasszal. Az X" pontot szimmetrikusnak nevezzük az X pontra a g egyenesre nézve.

Ha az X pont a g egyenesen fekszik, akkor a vele szimmetrikus pont maga az X pont. Nyilvánvalóan az X" pontra szimmetrikus pont az X pont.

Egy F ábra F alakzattá alakítását, amelyben minden X pontja átmegy egy X" pontba, amely szimmetrikus egy adott g egyenesre, szimmetriatranszformációnak nevezzük a g egyeneshez képest. Ebben az esetben az F és F" ábrákat szimmetrikusnak nevezzük a g egyeneshez képest (192. ábra).

Ha a g egyenesre vonatkozó szimmetriatranszformáció magába veszi az F ábrát, akkor ezt az ábrát a g egyenesre nézve szimmetrikusnak, a g egyenest pedig az ábra szimmetriatengelyének nevezzük.

Például egy téglalap oldalaival párhuzamos átlóinak metszéspontján átmenő egyenesek a téglalap szimmetriatengelyei (193. ábra). Azok az egyenesek, amelyeken a rombusz átlói fekszenek, szimmetriatengelyei (194. ábra).

9.3. Tétel. A szimmetria-transzformáció egy vonal körül mozgás.

Bizonyíték. Vegyük ezt az egyenest a derékszögű koordinátarendszer y tengelyének (195. ábra). Menjen az F ábra tetszőleges A (x; y) pontja az F ábra A "(x"; y") pontjába. Az egyenesre vonatkozó szimmetria definíciójából az következik, hogy az A és A pontnak "egyenlő ordinátája van, és az abszciszák csak előjelben különböznek egymástól:

x"= -x.
Vegyünk két tetszőleges A (x 1; y 1) és B (x 2; y 2) pontot – ezek az A "(- x 1, y 1) és B" (-x 2; y 2) pontba fognak menni.

AB 2 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2
A"B" 2 =(-x 2 + x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2 .

Ez azt mutatja, hogy AB=A"B". Ez pedig azt jelenti, hogy a szimmetria átalakulása egy egyeneshez képest mozgás. A tétel bizonyítást nyert.

Tudományos és gyakorlati konferencia

MOU „Átlagos általános iskola 23"

Vologda városa

szekció: természettudományos

tervezési és kutatómunka

A SZIMMETRIA TÍPUSAI

A munkát a 8. „a” osztályos tanuló végezte

Kreneva Margarita

Vezetője: felsőfokú matematika tanár

2014-es év

Projekt felépítése:

1. Bemutatkozás.

2. A projekt céljai és célkitűzései.

3. A szimmetria típusai:

3.1. Központi szimmetria;

3.2. Axiális szimmetria;

3.3. Tükörszimmetria (szimmetria a síkhoz képest);

3.4. Forgásszimmetria;

3.5. Hordozható szimmetria.

4. Konklúziók.

A szimmetria az a gondolat, amelyen keresztül az ember évszázadok óta próbálja megérteni és megteremteni a rendet, a szépséget és a tökéletességet.

G. Weil

Bevezetés.

Munkám témáját a "Geometria 8. osztály" kurzus "Axiális és központi szimmetria" szakaszának tanulmányozása után választottam ki. Nagyon érdekelt ez a téma. Azt szerettem volna megtudni: milyen szimmetriatípusok léteznek, miben különböznek egymástól, milyen elvek alapján kell szimmetrikus alakzatokat készíteni az egyes típusoknál.

A munka célja : Bevezetés a szimmetria különböző típusaiba.

Feladatok:

Tanulmányozza a témával kapcsolatos irodalmat.

Foglalja össze és rendszerezze a tanult anyagot.

Készítsen prezentációt.

Az ókorban a „SZIMMETRIA” szót „harmónia”, „szépség” jelentésében használták. Görögről fordítva ez a szó azt jelenti: „arányosság, arányosság, egyformaság valaminek a részeinek elrendezésében. ellentétes oldalak pontból, egyenesből vagy síkból.

A szimmetriáknak két csoportja van.

Az első csoportba tartozik a pozíciók, formák, struktúrák szimmetriája. Ez a szimmetria, amely közvetlenül látható. Nevezhetjük geometriai szimmetriának.

A második csoport a fizikai jelenségek szimmetriáját és a természeti törvényeket jellemzi. Ez a szimmetria a természettudományos világkép alapja: ezt nevezhetjük fizikai szimmetriának.

Megállok tanulnigeometriai szimmetria .

Ugyanakkor többféle geometriai szimmetria létezik: központi, axiális, tükör (a síkhoz viszonyított szimmetria), radiális (vagy forgó), hordozható és mások. Ma a szimmetria 5 típusát fogom megvizsgálni.

Központi szimmetria

Két A és A pont 1 szimmetrikusnak nevezzük az O ponthoz képest, ha egy m O-n átmenő egyenesen fekszenek, és annak ellentétes oldalán azonos távolságra vannak. Az O pontot szimmetriaközéppontnak nevezzük.

Az ábrát a ponthoz képest szimmetrikusnak nevezzükRÓL RŐL , ha az ábra minden pontjára a ponthoz képest szimmetrikus pontRÓL RŐL is ehhez az alakhoz tartozik. PontRÓL RŐL az ábra szimmetriaközéppontjának nevezett alakzatról azt mondják, hogy központi szimmetriája van.

A központi szimmetriájú ábrákra példa a kör és a paralelogramma.

A dián látható ábrák egy ponthoz képest szimmetrikusak

2. Axiális szimmetria

Két pontx És Y az egyeneshez képest szimmetrikusnak nevezzükt , ha ez az egyenes áthalad az XY szakasz felezőpontján és merőleges rá. Azt is meg kell mondani, hogy a vonal minden pontjat önmagára nézve szimmetrikusnak tekinthető.

Egyenest a szimmetriatengely.

Azt mondjuk, hogy az ábra szimmetrikus egy egyeneshez képest.t, ha az ábra minden pontjához egy egyeneshez képest szimmetrikus pont tartozikt is ehhez az alakhoz tartozik.

Egyenestaz ábra szimmetriatengelyének nevezzük, az ábra tengelyszimmetriájú.

A tengelyirányú szimmetriát egy kidolgozatlan szög, egyenlő szárú és egyenlő oldalú háromszögek, téglalap és rombusz birtokolják,levelek (lásd bemutató).

Tükör szimmetria (szimmetria egy sík körül)

Két P pont 1 És P-t szimmetrikusnak nevezzük az a síkhoz képest, ha az a síkra merőleges egyenesen fekszenek, és azonos távolságra vannak attól

Tükör szimmetria mindenki számára jól ismert. Bármilyen tárgyat és annak tükröződését összeköti egy lapos tükörben. Az egyik alakról azt mondják, hogy tükörszimmetrikus a másikhoz.

A síkon a végtelen számú szimmetriatengelyű ábra egy kör volt. A térben végtelen számú szimmetriasíknak van egy golyója.

De ha a kör az egyetlen a maga nemében, akkor a háromdimenziós világban számos olyan test létezik, amelyeknek végtelen számú szimmetriasíkja van: egy egyenes hengernek körrel az alján, egy kúpnak egy kör alakú. alap, labda.

Könnyen megállapítható, hogy tükör segítségével minden szimmetrikus síkfigura önmagával kombinálható. Meglepő, hogy az olyan összetett alakzatok is szimmetrikusak, mint az ötágú csillag vagy az egyenlő oldalú ötszög. A tengelyek számából következik, hogy pontosan a nagy szimmetriájukkal különböztetik meg őket. És fordítva: nem olyan könnyű megérteni, hogy egy ilyen szabályosnak tűnő ábra, akár egy ferde paralelogramma, miért nem szimmetrikus.

4. P forgásszimmetria (vagy radiális szimmetria)

Forgásszimmetria szimmetria, amely megőrzi egy tárgy alakjátha valamilyen tengely körül 360°-os szögben forog /n(vagy ennek többszöröse), aholn= 2, 3, 4, … A jelzett tengelyt forgótengelynek nevezzükn-edik sorrend.

Nál néln=2 az ábra összes pontja 180 -os szöggel el van forgatva 0 ( 360 0 /2 = 180 0 ) a tengely körül, miközben az ábra alakja megmarad, i.e. az ábra minden pontja ugyanannak az alaknak egy pontjába kerül (az ábra önmagává alakul át). A tengelyt másodrendű tengelynek nevezzük.

A 2. ábra a harmadik rend tengelyét mutatja, a 3. ábra - 4. rend, a 4. ábra - az 5. rend.

Egy objektumnak több forgástengelye is lehet: 1. ábra - 3 forgástengely, 2. ábra - 4 tengely, 3. ábra - 5 tengely, 3. ábra. 4 - csak 1 tengely

A jól ismert "I" és "F" betűk forgásszimmetriájúak. Ha az "I" betűt 180°-kal elforgatja egy tengely körül, amely merőleges a betű síkjára, és áthalad a középpontján, akkor a betű a betűhöz igazodik. maga. Más szavakkal, az "I" betű szimmetrikus a 180°-os elforgatáshoz, 180°= 360°: 2,n=2, tehát másodrendű szimmetriája van.

Vegye figyelembe, hogy az "F" betűnek is van másodrendű forgásszimmetriája.

Ezenkívül a és betűnek van egy szimmetriaközéppontja, és a Ф betűnek van egy szimmetriatengelye

Térjünk vissza az életből vett példákhoz: egy pohár, egy kúp alakú kiló fagylalt, egy darab drót, egy pipa.

Ha közelebbről megvizsgáljuk ezeket a testeket, észre fogjuk venni, hogy így vagy úgy mindegyik egy körből áll, végtelen számú szimmetriatengelyen keresztül, amelyen végtelen számú szimmetriasík halad át. A legtöbb ilyen testnek (ezeket forgástesteknek nevezzük) természetesen van egy szimmetriaközéppontja is (kör középpontja), amelyen legalább egy forgó szimmetriatengely áthalad.

Jól látható például a fagylalttölcsér tengelye. A kör közepétől (a fagylaltból kilógó!) a funky kúp éles végéig fut. Egy test szimmetriaelemeinek halmazát egyfajta szimmetria-mértékként fogjuk fel. A labda kétségtelenül a szimmetria szempontjából a tökéletesség felülmúlhatatlan megtestesülése, ideális. Az ókori görögök a legtökéletesebb testnek, a kört pedig természetesen a legtökéletesebb lapos alaknak tekintették.

Egy adott objektum szimmetriájának leírásához meg kell adni az összes forgástengelyt és azok sorrendjét, valamint az összes szimmetriasíkot.

Vegyünk például egy geometriai testet, amely két azonos szabályos négyszög alakú piramisból áll.

Egy 4. rendű forgótengelye (AB tengely), négy 2. rendű forgótengelye (CE tengely,D.F., MP, NQ), öt szimmetriasík (síkokCDEF, AFBD, ACBE, AMBP, ANBQ).

5 . Hordozható szimmetria

A szimmetria egy másik fajtája azhordozható Val vel szimmetria.

Ilyen szimmetriáról akkor beszélnek, ha egy alakzatot egyenes vonal mentén mozgatnak bizonyos „a” távolságra vagy olyan távolságra, amely ennek az értéknek a többszöröse, akkor önmagával kombinálódik. Az egyenes vonalat, amely mentén az átvitel történik, átviteli tengelynek, az "a" távolságot pedig elemi átvitelnek, periódusnak vagy szimmetrialépésnek nevezzük.

A

A hosszú szalag időszakosan ismétlődő mintáját szegélynek nevezzük. A gyakorlatban a szegélyek különféle formákban találhatók (falfestés, öntöttvas, gipszdombormű vagy kerámia). A szegélyeket festők és művészek használják a szoba díszítésekor. Ezeknek a díszeknek a kivitelezéséhez sablont készítenek. A sablont megfordítva vagy nem fordítva mozgatjuk, a mintát megismételve kontúrt rajzolunk, és díszt kapunk (vizuális bemutató).

A szegély könnyen megépíthető stencil segítségével (eredeti elem), eltolva vagy megfordítva, és megismételve a mintát. Az ábrán ötféle sablon látható:A ) aszimmetrikus;időszámításunk előtt ) amelynek egy szimmetriatengelye van: vízszintes vagy függőleges;G ) központilag szimmetrikus;d ), amelynek két szimmetriatengelye van: függőleges és vízszintes.

A következő átalakításokat használják a határok létrehozásához:

A ) párhuzamos átvitel;b ) szimmetria a függőleges tengely körül;V ) központi szimmetria;G ) szimmetria a vízszintes tengely körül.

Hasonlóképpen építhet aljzatokat. Ehhez a kört fel kell osztanin egyenlő szektorok, az egyikben mintamintát hajtanak végre, majd az utóbbit egymás után megismételjük a kör többi részében, minden alkalommal 360 ° -os szögben elfordítva a mintát.n .

jó példa a tengelyirányú és figuratív szimmetria alkalmazása a fényképen látható kerítésként szolgálhat.

Következtetés: Tehát vannak különböző fajták szimmetriák, a szimmetrikus pontok az ilyen típusú szimmetriák mindegyikében bizonyos törvények szerint épülnek fel. Az életben mindenhol találkozunk a szimmetria egyik vagy másik típusával, és gyakran a minket körülvevő tárgyakban egyszerre többféle szimmetria is megfigyelhető. Ez rendet, szépséget és tökéletességet teremt a körülöttünk lévő világban.

IRODALOM:

Az elemi matematika kézikönyve. M.Ya. Vigodszkij. - "Science" kiadó. - Moszkva 1971. – 416 pp.

Idegen szavak modern szótára. - M.: Orosz nyelv, 1993.

A matematika története az iskolábanIX - xosztályok. GI. Glaser. - "Enlightenment" kiadó. – Moszkva 1983 – 351 pp.

Vizuális geometria 5 - 6 osztály. HA. Sharygin, L.N. Erganzhiev. - "Drofa" kiadó, Moszkva, 2005. - 189 p.

Enciklopédia gyerekeknek. Biológia. S. Ismailova. – „Avanta+” kiadó. – Moszkva 1997 – 704 pp.

Urmancev Yu.A. A természet szimmetriája és a szimmetria természete - M.: Gondolatépítészet / arhkomp2. htm, , en.wikipedia.org/wiki/