A derékszögű háromszög egyik lábának ismeretében trigonometrikus összefüggések segítségével megtalálhatja a második lábát és a hipotenuszt - egy ismert szög szinuszát és érintőjét. Mivel a szöggel ellentétes láb és a befogó rész aránya egyenlő ennek a szögnek a szinuszával, ezért a befogó megtalálásához a lábat el kell osztani a szög szinuszával. a/c=sin⁡α c=a/sin⁡α

A második láb az ismert szög érintőjéből, az ismert szár és az érintő arányaként kereshető. a/b=tan⁡α b=a/tan⁡α

Egy derékszögű háromszög ismeretlen szögének kiszámításához ki kell vonni az α szöget 90 fokból. β=90°-α

Kerület és terület derékszögű háromszög a lábon át és a vele ellentétes szögön keresztül kifejezhető úgy, hogy a képletbe behelyettesítjük a második lábra és a hipotenúzára korábban kapott kifejezéseket. P=a+b+c=a+a/tan⁡α +a/sin⁡α =a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α+a tan⁡α S=ab/2=a^2/( 2 tan⁡α)

A magasságot trigonometrikus relációkon keresztül is kiszámíthatja, de már az általa alkotott belső derékszögű a oldalú háromszögben. Ehhez szükség van az a oldalra, mint egy ilyen háromszög befogójára, megszorozva a β szög szinuszával vagy az α koszinuszával, mivel trigonometrikus azonosságok egyenértékűek. (79.2. ábra) h=a cos⁡α

A hypotenus mediánja egyenlő a hypotenus vagy az ismert láb felével osztva két szinusz α. A lábak mediánjainak megtalálásához a képleteket a megfelelő formába hozzuk ismert pártés sarkok. (79.3. ábra) m_с=c/2=a/(2 sin⁡α) m_b=√(2a^2+2c^2-b^2)/2=√(2a^2+2a^2+2b^ 2-b^2)/2=√(4a^2+b^2)/2=√(4a^2+a^2/tan^2⁡α)/2=(a√(4 tan^2⁡ α+1))/(2 tan⁡α) m_a=√(2c^2+2b^2-a^2)/2=√(2a^2+2b^2+2b^2-a^2)/ 2=√(4b^2+a^2)/2=√(4b^2+c^2-b^2)/2=√(3 a^2/tan^2⁡α +a^2/sin ^2⁡α)/2=√((3a^2 sin^2⁡α+a^2 tan^2⁡α)/(tan^2⁡α sin^2⁡α))/2=(a√( 3 sin^2⁡α+tan^2⁡α))/(2 tan⁡α sin⁡α)

Mivel a derékszög felezőpontja egy háromszögben két oldal és kettő gyökének szorzata, osztva ezen oldalak összegével, és az egyik szárat az ismert szár és az érintő arányával helyettesítjük, a következőt kapjuk kifejezés. Hasonlóképpen, ha az arányt behelyettesítjük a második és harmadik képletbe, kiszámíthatjuk az α és β szögek felezőit. (79.4. ábra) l_с=(a a/tan⁡α √2)/(a+a/tan⁡α)=(a^2 √2)/(a tan⁡α+a)=(a√2)/ (tan⁡α+1) l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a))/(b+c)=√(bc((b+c)^2-a^2))/ (b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2))/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+b^2))/(b +c)=√(bc(2b^2+2bc))/(b+c)=(b√(2c(b+c)))/(b+c)=(a/tan⁡α √(2c) (a/tan⁡α +c)))/(a/tan⁡α +c)=(a√(2c(a/tan⁡α +c)))/(a+c tan⁡α) l_b=√ (ac(a+b+c)(a+c-b))/(a+c)=(a√(2c(a+c)))/(a+c)=(a√(2c(a+a) /sin⁡α)))/(a+a/sin⁡α)=(a sin⁡α √(2c(a+a/sin⁡α)))/(a sin⁡α+a)

A középső vonal párhuzamosan fut a háromszög egyik oldalával, miközben egy másik hasonló derékszögű háromszöget képez, azonos szögekkel, amelyben minden oldal fele akkora, mint az eredeti. Ennek alapján a középső vonalak a következő képletek segítségével kereshetők, csak a lábszár és a vele ellentétes szög ismeretében. (79.7. ábra) M_a=a/2 M_b=b/2=a/(2 tan⁡α) M_c=c/2=a/(2 sin⁡α)

A beírt kör sugara megegyezik a lábak és a hipotenusz közötti különbséggel, osztva kettővel, és a körülírt kör sugarának meghatározásához el kell osztani a hipotenuszt kettővel. Helyettesítjük a második lábat és a hipotenuszt az a láb szinuszhoz, illetve érintőjéhez viszonyított arányaival. (79.5., 79.6. ábra) r=(a+b-c)/2=(a+a/tan⁡α -a/sin⁡α)/2=(a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α-a tan⁡α)/(2 tan⁡α sin⁡α) R=c/2=a/2sin⁡α

Számológép segítségével keresse meg a négyzetes befogó és az ismert láb közötti különbség négyzetgyökét, szintén négyzetesen. Egy lábat szomszédosnak neveznek derékszög derékszögű háromszög oldala. Ez a kifejezés a Pitagorasz-tételből származik, amely kimondja, hogy a háromszög befogójának négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével.

Mielőtt megvizsgálnánk a láb derékszögű háromszögben való megtalálásának különböző módjait, vegyünk néhány jelölést. Ellenőrizze, hogy a felsorolt ​​esetek közül melyik felel meg a probléma állapotának, és ennek függvényében kövesse a megfelelő bekezdést. Nézze meg, hogy a vizsgált háromszögben milyen mennyiségeket ismer. A láb kiszámításához használja a következő kifejezést: a=sqrt(c^2-b^2), ha ismeri a befogó és a másik láb értékeit.

Ennek a geometriai alakzatnak az oldalai és szögei közötti kapcsolatokat a trigonometria matematikai tudománya részletesen tárgyalja. Az egyenlet alkalmazásához ismernie kell a derékszögű háromszög bármely két oldalának hosszát.

Számítsa ki az egyik láb hosszát, ha ismert az alsó és a másik láb mérete! Ha a feladatban a hipotenusz és a vele szomszédos hegyesszögek egyike adott, használja a Bradys-táblázatokat.

A belső háromszög hasonló lesz a külsőhöz, mivel a középvonalak párhuzamosak a lábakkal és az alsó háromszöggel, és egyenlők azok felével. Mivel a hipotenusz ismeretlen, az M_c középvonal meghatározásához a Pitagorasz-tétel gyököt kell helyettesítenie.

A hipotenusz a derékszögű háromszög leghosszabb oldala. A derékszöggel szemben helyezkedik el. A hipotenusz hossza többféleképpen meghatározható. Ha mindkét láb hossza ismert, akkor a méretét a Pitagorasz-tétellel számítjuk ki: a két láb négyzetösszege megegyezik a befogó négyzetével. Tudva, hogy az összes szög összege 180 °, kivonjuk a derékszöget és a már ismert szöget.

A derékszögű háromszög paramétereinek kiszámításakor fontos figyelni az ismert értékekre, és a problémát a legegyszerűbb képlet segítségével megoldani. Először is emlékezzünk arra, hogy mi az a derékszögű háromszög. A derékszögű háromszög az geometriai alakzat három szegmensből áll, amelyek olyan pontokat kötnek össze, amelyek nem ugyanazon az egyenesen fekszenek, és ennek az ábrának az egyik szöge 90 fok. Számos módja van a láb hosszának meghatározására.

Képlet: c²=a²+b², ahol c a hipotenusz, a és b a lábak

Ha ismerjük a hipotenuszt és a lábszárat, akkor a Pitagorasz-tétel segítségével megtudhatjuk az ismeretlen láb hosszát. Így hangzik: "A hipotenusz négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével." Négy lehetőség van a láb megtalálására trigonometrikus függvények: szinusz, koszinusz, érintő, kotangens szerint. A szög szinusza (sin) a szemközti láb és a hipotenusz aránya. Képlet: sin \u003d a / c, ahol a az adott szöggel ellentétes láb, és c a hipotenúza.

A derékszögű háromszögek szokatlan tulajdonságait az ókori görög tudós, Pythagoras fedezte fel, aki felfedezte, hogy az ilyen háromszögekben a hipotenusz négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével.

A magasság a háromszög tetszőleges csúcsából merőleges ellenkező oldal(vagy annak folytatása, tompaszögű háromszög esetén). A háromszög magasságai egy pontban metszik egymást, ezt ortocentrumnak nevezzük. Ha ez egy tetszőleges derékszögű háromszög, akkor nincs elég adat.

Ezenkívül hasznos tudni a trigonometrikus függvények értékeit a legjellemzőbb 30, 45, 60, 90, 180 fokos szögeknél. Ha a feltételek meghatározzák a lábak méreteit, keresse meg a hipotenusz hosszát. Az életben gyakran kell megküzdenünk matematikai feladatok: az iskolában, az egyetemen, majd a gyerek segítése a házi feladatban.

Ezután átalakítjuk a képletet, és megkapjuk: a=sin*c

A problémák megoldásában az alábbi táblázat segít nekünk. Tekintsük ezeket a lehetőségeket. Érdekes speciális eset, amikor az egyik hegyesszög 30 fokkal egyenlő.

Bizonyos szakmák képviselői napi szinten találkoznak a matematikával.

Ismeretlen szárat is találhatunk, ha a derékszögű háromszög bármely másik oldala és hegyesszöge ismert. Keresse meg egy derékszögű háromszög oldalát a Pitagorasz-tétel segítségével! A derékszögű háromszög oldalai az ismert változók számától függően különféle képletekkel is megkereshetők.

Mielőtt megtalálná a háromszög hipotenuzáját, ki kell találnia, hogy milyen jellemzői vannak ennek az ábrának. Tekintsük a főbbeket:

1. Egy derékszögű háromszögben mindkét hegyesszög 90°-ot tesz ki.
2. A 30°-os szöggel szemben fekvő láb a hipotenusz felével egyenlő.
3. Ha a láb egyenlő a hipotenúza értékének ½-ével, akkor a második szögnek ugyanaz az értéke - 30º.

A derékszögű háromszögben többféleképpen lehet megtalálni a hipotenuszt. a legtöbben egyszerű megoldás a számítás a lábakon keresztül. Tegyük fel, hogy ismeri az A és B oldalak szárainak értékét. Ekkor a Pitagorasz-tétel jön a segítségünkre, amely azt mondja, hogy ha az egyes lábak értékeit négyzetre emeljük, és a kapott adatokat összegezzük, akkor megtudjuk, hogy mekkora a hipotenusz. van. Tehát csak az értéket kell kivonnunk négyzetgyök:

Például, ha az A láb = 3 cm és a B láb = 4 cm, akkor a számítás így néz ki:

Hogyan lehet megtalálni a hipotenuszt egy szögben?

Egy másik módja annak, hogy megtudja, mekkora a derékszögű háromszög befogója, ha egy adott szöget átszámítunk. Ehhez le kell vezetnünk az értéket a szinusz-képlettel. Tegyük fel, hogy ismerjük a láb értékét (A) és az ellentétes szög értékét (α). Ekkor az egész megoldás egy képletben van: С=А/sin(α).

Például, ha a láb hossza 40 cm, a szöge pedig 45°, akkor a hipotenúza hossza a következőképpen származtatható:

A kívánt értéket a koszinuszon keresztül is meghatározhatja adott szög. Tegyük fel, hogy ismerjük egy láb (B) és egy hegyes bezárt szög (α) értékét. Ekkor egy képlet szükséges a feladat megoldásához: С=В/ cos(α).

Például, ha a láb hossza 50 cm, a szög pedig 45°, akkor a hipotenúza a következőképpen számítható ki:

Így megvizsgáltuk a háromszögben lévő hipotenúza kiderítésének fő módjait. A feladat megoldása során fontos a rendelkezésre álló adatokra koncentrálni, akkor az ismeretlen érték megtalálása meglehetősen egyszerű lesz. Csak néhány képletet kell ismernie, és a problémamegoldás folyamata egyszerűvé és élvezetessé válik.

A különféle mennyiségek kiszámításához végzett számos számítás között megtalálható a háromszög befogójának megtalálása. Emlékezzünk vissza, hogy a háromszög háromszögű poliéder. Az alábbiakban bemutatunk néhány módszert a különböző háromszögek befogójának kiszámítására.

Először nézzük meg, hogyan találjuk meg a derékszögű háromszög befogóját. Azok számára, akik elfelejtették, a derékszögű háromszög olyan háromszög, amelynek szöge 90 fok. A háromszögnek azt az oldalát, amely a derékszög ellentétes oldalán van, hipotenusznak nevezzük. Ráadásul ez a háromszög leghosszabb oldala. Az ismert értékektől függően a hipotenúza hosszát a következőképpen számítjuk ki:

• A lábak hossza ismert. A hipotenuszt ebben az esetben a Pitagorasz-tétel segítségével számítjuk ki, ami a következő: a hipotenusz négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével. Ha egy BKF derékszögű háromszöget tekintünk, ahol BK és KF lábak, FB pedig a hipotenuzus, akkor FB2= BK2+ KF2. A fentiekből következik, hogy a hipotenusz hosszának kiszámításakor minden lábértéket négyzetre kell emelni. Ezután adja össze a számokat, és vegye ki az eredmény négyzetgyökét.

Tekintsünk egy példát: Adott egy derékszögű háromszög. Az egyik lába 3 cm, a másik 4 cm. Keresse meg a hipotenuszt. A megoldás így néz ki.

FB2= BK2+ KF2= (3cm)2+(4cm)2=9cm2+16cm2=25cm2. Kihúzzuk és FB=5 cm-t kapunk.

• Ismert láb (BK) és a vele szomszédos szög, amelyet a hypotenus és ez a láb alkot. Hogyan találjuk meg a háromszög hipotenuszát? Jelöljük az ismert szöget α-val. Annak a tulajdonságnak megfelelően, amely szerint a láb hosszának és a hipotenusz hosszának aránya megegyezik a láb és az alsó szög közötti szög koszinuszával. Egy háromszöget tekintve ez a következőképpen írható fel: FB= BK*cos(α).
• A láb (KF) és az azonos α szög ismert, csak most már ellentétes lesz. Hogyan találjuk meg ebben az esetben a hipotenuszt? Tekintsük át a derékszögű háromszög azonos tulajdonságait, és derítsük ki, hogy a láb hosszának és a befogó hosszának aránya megegyezik a szárral szemközti szög szinuszával. Vagyis FB= KF * sin (α).

Nézzünk egy példát. Adott ugyanaz a BKF derékszögű háromszög FB hipotenuszával. Legyen az F szög 30 fokkal, a második B szög 60 foknak felel meg. Ismert a BK láb is, melynek hossza 8 cm. A kívánt értéket a következőképpen számíthatja ki:

FB=BK/cos60=8 cm.
FB = BK / sin30 = 8 cm.

• Ismert az (R), egy derékszögű háromszög körül körülírva. Hogyan lehet megtalálni a hipotenuszt egy ilyen probléma mérlegelésekor? A derékszögű háromszög köré körülírt kör tulajdonságaiból ismert, hogy egy ilyen kör középpontja egybeesik a felezőponttal. Egyszerű szavakkal- a sugár a hipotenusz felének felel meg. Ezért a hipotenusz két sugárral egyenlő. FB=2*R. Ha azonban adunk egy hasonló feladatot, amelyben nem a sugár, hanem a medián ismert, akkor figyelni kell a derékszögű háromszög köré körülírt kör azon tulajdonságára, amely szerint a sugár egyenlő a hipotenuszhoz húzott medián. Mindezen tulajdonságok felhasználásával a probléma ugyanúgy megoldódik.

Ha az a kérdés, hogyan találjuk meg egy egyenlő szárú derékszögű háromszög hipotenuszát, akkor ugyanarra a Pitagorasz-tételre kell fordulni. De először is ne feledje, hogy az egyenlő szárú háromszög olyan háromszög, amelynek két azonos oldala van. Derékszögű háromszög esetén a lábak azonos oldalúak. Nálunk van FB2= BK2+ KF2, de mivel BK= KF, a következők vannak: FB2=2 BK2, FB= BK√2

Amint láthatja, a Pitagorasz-tétel és a derékszögű háromszög tulajdonságainak ismeretében nagyon egyszerű megoldani azokat a problémákat, amelyekben ki kell számítani a hipotenusz hosszát. Ha nehéz megjegyezni az összes tulajdonságot, tanuljon meg kész képleteket, helyettesítve az ismert értékeket, amelyekbe kiszámíthatja a hypotenus szükséges hosszát.

Utasítás

Az a és b szárral szemközti szögeket A-val, illetve B-vel jelöljük. éles sarkok). Jelöljük a befogó hosszát s-vel.

Szükséged lesz:
Számológép.

Használja a következő kifejezést a lábra: a=sqrt(c^2-b^2), ha ismeri az alsó és a másik láb értékeit. Ez a kifejezés a Pitagorasz-tételből származik, amely kimondja, hogy a háromszög befogójának négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével. Az sqrt operátor a négyzetgyök felvételét jelenti. A "^2" jel a második hatványra való emelést jelent.

Használja az a=c*sinA képletet, ha ismeri a hipotenúzust (c) és a kívánt szárral szemközti szöget (ezt a szöget A-val jelöltük).
Használja az a=c*cosB kifejezést a láb megkereséséhez, ha ismeri a hipotenúzust (c) és a kívánt szárral szomszédos szöget (ezt a szöget B-nek neveztük).
Számítsa ki a lábszárat az a = b * tgA képlettel abban az esetben, ha a b szár és a kívánt szárral ellentétes szög adott (megegyeztünk, hogy ezt a szöget A jelöljük).

Jegyzet:
Ha az Ön feladatában a lábat a leírt módszerek egyikével sem találja meg, valószínűleg az egyikre redukálható.

Hasznos tippeket:
Mindezek a kifejezések a trigonometrikus függvények jól ismert definícióiból származnak, így ha valamelyiket elfelejtetted is, egyszerű műveletekkel mindig gyorsan származtathatod. Ezenkívül hasznos tudni a trigonometrikus függvények értékeit a legjellemzőbb 30, 45, 60, 90, 180 fokos szögeknél.