A trigonometrikus egyenletek nem a legkönnyebb téma. Fájdalmasan sokfélék.) Például ezek:

sin2x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Stb...

De ezeknek (és az összes többi) trigonometrikus szörnynek van két közös és kötelező jellemzője. Először is - el sem hiszed - trigonometrikus függvények vannak az egyenletekben.) Másodszor: minden x-szel rendelkező kifejezés ugyanezen funkciókon belül.És csak ott! Ha x megjelenik valahol kívül, Például, sin2x + 3x = 3, ez egy vegyes típusú egyenlet lesz. Az ilyen egyenletek egyéni megközelítést igényelnek. Itt nem vesszük figyelembe őket.

Ebben a leckében sem fogunk gonosz egyenleteket megoldani.) Itt azzal fogunk foglalkozni a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek. Miért? Igen, mert a döntés Bármi trigonometrikus egyenletek két szakaszból áll. Az első szakaszban a gonosz egyenletet különféle transzformációk segítségével egyszerűvé redukálják. A másodiknál ​​ez a legegyszerűbb egyenlet megoldódik. Nincs más mód.

Tehát, ha problémái vannak a második szakaszban, az első szakasznak nincs sok értelme.)

Hogyan néznek ki az elemi trigonometrikus egyenletek?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Itt A bármely számot jelöl. Bármi.

Egyébként a függvényen belül nem tiszta x lehet, hanem valamilyen kifejezés, mint pl.

cos(3x+π /3) = 1/2

stb. Ez bonyolítja az életet, de nem befolyásolja a trigonometrikus egyenlet megoldásának módszerét.

Hogyan lehet trigonometrikus egyenleteket megoldani?

A trigonometrikus egyenletek kétféleképpen oldhatók meg. Az első módszer: logika és trigonometrikus kör használata. Ezt az utat fogjuk itt felfedezni. A második módszert - memória és képletek használatával - a következő leckében tárgyaljuk.

Az első mód világos, megbízható és nehezen felejthető.) Jó trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek és mindenféle trükkös, nem szabványos példa megoldására. A logika erősebb, mint a memória!

Egyenleteket oldunk meg trigonometrikus kör segítségével.

Beleértjük az elemi logikát és a trigonometrikus kör használatának képességét. Nem tudsz!? Azonban... Nehéz lesz neked a trigonometriában...) De mindegy. Vessen egy pillantást a "Trigonometrikus kör ...... Mi ez?" és "Szögek számolása trigonometrikus körön". Ott minden egyszerű. A tankönyvekkel ellentétben...)

Ah, tudod!? És még elsajátította a "Gyakorlati munkát trigonometrikus körrel"!? Fogadd a gratulációkat. Ez a téma közel áll és érthető lesz számodra.) Ami különösen kellemes, trigonometrikus kör nem mindegy, hogy melyik egyenletet oldod meg. Szinusz, koszinusz, érintő, kotangens – nála minden ugyanaz. A megoldás elve ugyanaz.

Tehát bármilyen elemi trigonometrikus egyenletet felveszünk. Legalább ezt:

cosx = 0,5

Meg kell találnom X-et. Ha beszélni emberi nyelv, kell keressük meg azt a szöget (x), amelynek koszinusza 0,5.

Hogyan használtuk korábban a kört? Rajzoltunk rá egy sarkot. Fokban vagy radiánban. És azonnal látott ennek a szögnek a trigonometrikus függvényei. Most tegyük az ellenkezőjét. Rajzolj a körre egy 0,5-tel egyenlő koszinust és azonnal meglátjuk sarok. Már csak a választ le kell írni.) Igen, igen!

Rajzolunk egy kört, és jelöljük meg a koszinusz 0,5-tel. Természetesen a koszinusz tengelyen. Mint ez:

Most rajzoljuk meg azt a szöget, amelyet ez a koszinusz ad nekünk. Vigye az egeret a kép fölé (vagy érintse meg a képet táblagépen), és lát ugyanez a sarok X.

Melyik szög koszinusza 0,5?

x \u003d π / 3

kötözősaláta 60°= cos( π /3) = 0,5

Vannak, akik szkeptikusan morognak, igen... Azt mondják, megérte bekeríteni a kört, amikor úgyis minden világos... Lehet persze morogni...) De tény, hogy ez hibás válasz. Vagy inkább elégtelen. A kör ismerői megértik, hogy még mindig van egy csomó szög, amely szintén 0,5-ös koszinuszot ad.

Ha elfordítja a mozgatható oldalt OA egy teljes fordulatra, az A pont visszatér eredeti helyzetébe. Ugyanaz a koszinusz 0,5. Azok. a szög megváltozik 360° vagy 2π radián, és koszinusz nem. Az új 60° + 360° = 420° szög egyenletünk megoldása is lesz, mert

Végtelen sok ilyen teljes elforgatás van... És mindezek az új szögek a trigonometrikus egyenletünk megoldásai lesznek. És mindegyiket le kell írni valahogy. Minden. Ellenkező esetben a döntést nem veszik figyelembe, igen...)

A matematika ezt egyszerűen és elegánsan meg tudja csinálni. Egy rövid válaszban írja le végtelen halmaz megoldásokat. Így néz ki az egyenletünkhöz:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

megfejtem. Még írj értelmesen szebb, mint hülyén rejtélyes betűket rajzolni, igaz?)

π /3 ugyanaz a szög, mint mi fűrész a körön és eltökélt a koszinusztáblázat szerint.

2π egy teljes fordulat radiánban.

n - ennyi a teljes, i.e. egész forradalmak. Egyértelmű, hogy n lehet 0, ±1, ±2, ±3.... és így tovább. Amint azt a rövid bejegyzés is jelzi:

n ∈ Z

n tartozik ( ∈ ) egész számok halmazához ( Z ). Egyébként a levél helyett n betűk használhatók k, m, t stb.

Ez a jelölés azt jelenti, hogy bármilyen egész számot vehet n . Legalább -3, legalább 0, legalább +55. Mit akarsz. Ha beilleszti ezt a számot a válaszába, akkor egy meghatározott szöget kap, ami biztosan megoldása lesz a kemény egyenletünkre.)

Vagy más szóval, x \u003d π / 3 a végtelen halmaz egyetlen gyöke. Az összes többi gyökér megszerzéséhez elegendő tetszőleges számú teljes fordulatot hozzáadni π / 3-hoz ( n ) radiánban. Azok. 2πn radián.

Minden? Nem. Kifejezetten nyújtom az örömöt. Hogy jobban emlékezzünk.) Az egyenletünkre adott válaszoknak csak egy részét kaptuk meg. A megoldás első részét a következőképpen írom le:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - nem egy gyökér, ez egy egész sor gyökér, rövid formában írva.

De vannak más szögek is, amelyek 0,5-tel egyenlő koszinuszot adnak!

Térjünk vissza képünkhöz, mely szerint felírtuk a választ. Itt is van:

Vigye az egeret a kép fölé, és lát egy másik sarok az 0,5 koszinuszát is ad. Szerinted mivel egyenlő? A háromszögek ugyanazok... Igen! Ő egyenlő a szöggel x , csak negatív irányba ábrázolva. Ez itt a sarok -X. De már kiszámoltuk x-et. π /3 vagy 60°. Ezért nyugodtan írhatjuk:

x 2 \u003d - π / 3

És természetesen hozzáadjuk a teljes fordulatokkal elért összes szöget:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Most ennyi.) Egy trigonometrikus körben mi fűrész(aki érti, persze)) Minden szögek, amelyek 0,5-tel egyenlő koszinuszot adnak. És felírták ezeket a szögeket egy rövid matematikai formában. A válasz a gyökér két végtelen sorozata:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Ez a helyes válasz.

Remény, trigonometrikus egyenletek megoldásának általános elve kör segítségével érthető. Jelöljük a körön a koszinuszát (szinusz, érintő, kotangens). adott egyenlet, rajzold meg a hozzá tartozó sarkokat és írd le a választ. Persze ki kell találni, hogy milyen sarkok vagyunk fűrész a körön. Néha ez nem olyan nyilvánvaló. Nos, ahogy mondtam, itt logika kell.)

Például elemezzünk egy másik trigonometrikus egyenletet:

Kérjük, vegye figyelembe, hogy nem a 0,5 az egyetlen lehetséges szám az egyenletekben!) Egyszerűen kényelmesebb ezt leírnom, mint a gyököket és a törteket.

Az általános elv szerint dolgozunk. Rajzolunk egy kört, jelöljük meg (természetesen a szinuszos tengelyen!) 0,5. Egyszerre berajzoljuk az ennek a szinusznak megfelelő összes szöget. Ezt a képet kapjuk:

Először foglalkozzunk a szöggel. x az első negyedévben. Felidézzük a szinusztáblázatot, és meghatározzuk ennek a szögnek az értékét. A dolog egyszerű:

x \u003d π / 6

Felidézzük a teljes fordulatot, és tiszta lelkiismerettel írjuk le a válaszok első sorozatát:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

A munka fele kész. Most meg kell határoznunk második sarok... Ez trükkösebb, mint a koszinuszokban, igen... De a logika megment minket! Hogyan határozzuk meg a második szöget x-en keresztül? Igen Könnyű! A képen látható háromszögek ugyanazok, és a piros sarok x egyenlő a szöggel x . Csak azt számoljuk a π szögből negatív irányba. Ezért piros.) A válaszhoz pedig a pozitív féltengely OX-tól helyesen mért szögre van szükség, azaz. 0 fokos szögből.

Vigye a kurzort a kép fölé, és mindent láthat. Az első sarkot eltávolítottam, hogy ne bonyolítsam a képet. A számunkra érdekes szög (zöld színnel rajzolva) egyenlő lesz:

π - x

x tudjuk π /6 . Tehát a második szög a következő lesz:

π - π /6 = 5π /6

Ismét felidézzük a teljes fordulatok hozzáadását, és leírjuk a válaszok második sorozatát:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Ez minden. A teljes válasz két gyökérsorozatból áll:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Az érintővel és kotangenssel rendelkező egyenletek könnyen megoldhatók a trigonometrikus egyenletek megoldásának ugyanazon általános elvével. Kivéve persze, ha tudja, hogyan kell megrajzolni az érintőt és a kotangenst egy trigonometrikus körön.

A fenti példákban a szinusz és a koszinusz táblázatos értékét használtam: 0,5. Azok. azon jelentések egyike, amelyeket a tanuló ismer kell. Most bővítsük ki képességeinket minden más érték. Dönts, hát dönts!)

Tehát tegyük fel, hogy meg kell oldanunk a következő trigonometrikus egyenletet:

Ez a koszinusz érték összefoglaló táblázatok Nem. Hűvösen figyelmen kívül hagyjuk ezt a szörnyű tényt. Rajzolunk egy kört, a koszinusz tengelyen 2/3-ot jelölünk, és berajzoljuk a megfelelő szögeket. Ezt a képet kapjuk.

Kezdetnek megértjük az első negyed szögével. Hogy megtudják, mi x egyenlő, azonnal felírnák a választ! Nem tudjuk... Kudarc!? Nyugodt! A matematika nem hagyja bajban a magáét! Erre az esetre ő találta ki az ív koszinuszokat. Nem tudom? Hiába. Sokkal könnyebb, mint gondolnád. A link szerint egyetlen trükkös varázslat sincs az "inverz trigonometrikus függvényekről"... Ebben a témában ez felesleges.

Ha tisztában vagy vele, csak mondd magadnak: "X olyan szög, amelynek koszinusza 2/3." És azonnal, pusztán az arccosine definíciója alapján írhatjuk:

Emlékezzünk a további fordulatokra, és nyugodtan írjuk le trigonometrikus egyenletünk gyökeinek első sorozatát:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

A gyökök második sorozata is szinte automatikusan íródik, a második szöghez. Minden ugyanaz, csak x (arccos 2/3) lesz mínuszos:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

És minden! Ez a helyes válasz. Még egyszerűbb, mint táblázatos értékekkel. Nem kell semmire sem emlékezni.) Egyébként a legfigyelmesebbek észreveszik, hogy ez a kép a megoldással az ív koszinuszon keresztül lényegében nem különbözik a cosx = 0,5 egyenlet képétől.

Pontosan! Az általános elv erre és az általános! Konkrétan két majdnem egyforma képet rajzoltam. A kör a szöget mutatja x koszinuszával. Ez egy táblázatos koszinusz, vagy nem - a kör nem tudja. Hogy ez milyen szög, π / 3, vagy milyen ív koszinusz, azt mi döntjük el.

Egy szinuszos ugyanaz a dal. Például:

Ismét rajzolunk egy kört, jelöljük meg a szinust 1/3-dal, rajzoljuk meg a sarkokat. Kiderült ez a kép:

És megint csaknem ugyanaz a kép, mint az egyenletnél sinx = 0,5. Ismét a sarokból indulunk az első negyedben. Mi az x, ha a szinusza 1/3? Nincs mit!

Tehát az első csomag gyökér készen áll:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Vessünk egy pillantást a második szögre. A 0,5-ös táblázatértékkel rendelkező példában ez egyenlő volt:

π - x

Tehát itt is pontosan ugyanaz lesz! Csak x különbözik, arcsin 1/3. És akkor mi van!? Nyugodtan megírhatja a második gyökércsomagot:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Ez egy teljesen helyes válasz. Bár nem tűnik túl ismerősnek. De remélem érthető.)

Így oldják meg a trigonometrikus egyenleteket kör segítségével. Ez az út világos és érthető. Ő ment a trigonometrikus egyenletekben a gyökök kiválasztásával egy adott intervallumban, a trigonometrikus egyenlőtlenségekben - általában szinte mindig körben oldják meg. Röviden, minden olyan feladatban, amely egy kicsit bonyolultabb a szokásosnál.

A tudás gyakorlatba ültetése?

Oldja meg a trigonometrikus egyenleteket:

Eleinte egyszerűbb, közvetlenül ezen a leckén.

Most már nehezebb.

Tipp: itt a körre kell gondolni. Személyesen.)

És most külsőleg szerény ... Különleges eseteknek is nevezik őket.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Tipp: itt ki kell derítened egy körben, hogy hol van két válaszsorozat, és hol egy... És hogyan írj fel egyet a két válaszsorozat helyett. Igen, hogy végtelen számból egyetlen gyök se vesszen el!)

Hát, nagyon egyszerű):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Tipp: itt tudnod kell, mi az arcszinusz, arkoszinusz? Mi az arctangens, arctangens? A legegyszerűbb meghatározások. De nem kell emlékeznie táblázatos értékekre!)

A válaszok Természetesen zűrzavarosak:

x 1= arcsin0,3 + 2πn, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Nem minden sikerül? Megtörténik. Olvasd el újra a leckét. Csak elgondolkodva(van ilyen elavult szó...) És kövesd a linkeket. A fő linkek a körről szólnak. Enélkül a trigonometriában - hogyan kell átkelni az úton bekötött szemmel. Néha működik.)

Ha tetszik ez az oldal...

Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)

Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanulás – érdeklődéssel!)

függvényekkel, származékokkal ismerkedhet meg.

Sok megoldásánál matematikai feladatok , különösen azok, amelyek a 10. évfolyam előtt fordulnak elő, egyértelműen meghatározott a célhoz vezető cselekvések sorrendje. Ilyen feladatok közé tartozik például a lineáris ill másodfokú egyenletek, lineáris és négyzetes egyenlőtlenségek, törtegyenletek és másodfokú egyenletekre redukáló egyenletek. Az egyes említett feladatok sikeres megoldásának elve a következő: meg kell állapítani, hogy a megoldandó probléma milyen típushoz tartozik, emlékezni kell a szükséges műveletsorra, amely a kívánt eredményhez vezet, pl. válaszoljon, és kövesse ezeket a lépéseket.

Nyilvánvaló, hogy egy adott probléma megoldásának sikere vagy kudarca elsősorban attól függ, hogy a megoldandó egyenlet típusát mennyire helyesen határozzák meg, milyen helyesen reprodukálják a megoldás valamennyi szakaszának sorrendjét. Természetesen ebben az esetben azonos átalakítások és számítások elvégzéséhez szükséges készségekre van szükség.

Más helyzet fordul elő a trigonometrikus egyenletek. Nem nehéz megállapítani, hogy az egyenlet trigonometrikus. Nehézségek merülnek fel a helyes válaszhoz vezető műveletek sorrendjének meghatározásakor.

Által kinézet egyenletek néha nehéz meghatározni a típusát. Az egyenlet típusának ismerete nélkül pedig szinte lehetetlen kiválasztani a megfelelőt több tucat trigonometrikus képlet közül.

A trigonometrikus egyenlet megoldásához meg kell próbálnunk:

1. állítsa az egyenletben szereplő összes függvényt "ugyanolyan szögbe";
2. hozza az egyenletet "ugyanolyan függvényekre";
3. faktorizálja az egyenlet bal oldalát stb.

Fontolgat trigonometrikus egyenletek megoldásának alapvető módszerei.

I. Redukció a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletekre

Megoldási séma

1. lépés. Expressz trigonometrikus függvény ismert komponenseken keresztül.

2. lépés Keresse meg a függvény argumentumát képletekkel:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

3. lépés Keressen egy ismeretlen változót.

Példa.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Megoldás.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Válasz: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Változó helyettesítés

Megoldási séma

1. lépés. Hozd az egyenletet egy algebrai alakba az egyik trigonometrikus függvényhez képest.

2. lépés Jelölje a kapott függvényt a t változóval (ha szükséges, vezessen be korlátozásokat t-re).

3. lépésÍrja fel és oldja meg a kapott algebrai egyenletet!

4. lépés Végezzen fordított cserét.

5. lépés Oldja meg a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletet!

Példa.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Megoldás.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Legyen sin (x/2) = t, ahol |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 vagy e = -3/2 nem teljesíti a |t| feltételt ≤ 1.

4) sin (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Válasz: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Egyenletsorredukciós módszer

Megoldási séma

1. lépés. Cserélje le ezt az egyenletet egy lineárisra a teljesítménycsökkentési képletekkel:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

2. lépés Oldja meg a kapott egyenletet az I. és II. módszerrel!

Példa.

cos2x + cos2x = 5/4.

Megoldás.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Válasz: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogén egyenletek

Megoldási séma

1. lépés. Hozd ezt az egyenletet a formába

a) a sin x + b cos x = 0 (elsőfokú homogén egyenlet)

vagy a kilátáshoz

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (másodfokú homogén egyenlet).

2. lépés Oszd el az egyenlet mindkét oldalát

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

és kapjuk meg a tg x egyenletet:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

3. lépés Oldja meg az egyenletet ismert módszerekkel!

Példa.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Megoldás.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Legyen tg x = t, akkor

t2 + 3t-4 = 0;

t = 1 vagy t = -4, tehát

tg x = 1 vagy tg x = -4.

Az első egyenletből x = π/4 + πn, n Є Z; a második egyenletből x = -arctg 4 + πk, kЄ Z.

Válasz: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Egyenlet transzformációjának módszere trigonometrikus képletekkel

Megoldási séma

1. lépés. Mindenféle felhasználásával trigonometrikus képletek, hozza ezt az egyenletet az I., II., III., IV. módszerrel megoldott egyenlethez.

2. lépés Oldja meg a kapott egyenletet ismert módszerekkel!

Példa.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Megoldás.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 vagy 2cos x + 1 = 0;

Az első egyenletből 2x = π/2 + πn, n Є Z; a második egyenletből cos x = -1/2.

Van x = π/4 + πn/2, n Є Z; a második egyenletből x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Ennek eredményeként x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Válasz: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

A trigonometrikus egyenletek megoldásának képessége és készsége nagyon Fontos, hogy fejlesztésük jelentős erőfeszítést igényel mind a tanuló, mind a tanár részéről.

A trigonometrikus egyenletek megoldásához számos sztereometriai, fizika stb. probléma kapcsolódik, ezek megoldásának folyamata mintegy magában foglalja a trigonometria elemeinek tanulmányozása során elsajátított ismereteket és készségeket.

A trigonometrikus egyenletek fontos helyet foglalnak el a matematika és általában a személyiségfejlesztés folyamatában.

Van kérdésed? Nem tudja, hogyan kell megoldani a trigonometrikus egyenleteket?
Ha oktatói segítséget szeretne kérni - regisztráljon.
Az első óra ingyenes!

oldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.

Egyszer tanúja voltam egy beszélgetésnek két jelentkező között:

– Mikor kell hozzá 2πn, és mikor - πn? nem emlékszem!

- És nekem is ugyanez a problémám.

Azt akartam mondani nekik: „Nem memorizálni kell, hanem megérteni!”

Ez a cikk elsősorban a középiskolásoknak szól, és remélem, segít nekik "megértésben" a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldásában:

Számkör

A számegyenes fogalma mellett létezik a számkör fogalma is. Mint tudjuk, téglalap alakú rendszerben kör koordináták, s középpontját a pontban (0;0) és sugarát 1 egységnek nevezzük. Képzeljünk el egy számegyenest egy vékony fonallal, és tekerjük a kör köré: a referenciapont (0 pont), rögzítsük az egységkör „jobb” pontjához, tekerjük a pozitív féltengelyt az óramutató járásával ellentétes irányba, a negatív féltengelyt pedig a ( 1. ábra). Az ilyen egységkört számkörnek nevezzük.

Számkör tulajdonságai

• Minden valós szám egy ponton van a számkörön.
• A számkör minden pontján végtelen sok valós szám található. Mivel az egységkör hossza 2π, a kör egy pontjában lévő bármely két szám különbsége egyenlő a ±2π számok egyikével; ±4π; ±6π; …

Következzünk: Az A pont egyik számának ismeretében megtalálhatjuk az A pont összes számát.

Rajzoljuk meg az AC átmérőt (2. ábra). Mivel x_0 az A pont egyik száma, ezért az x_0±π számok; x_0±3π; x_0±5π; … és csak ezek lesznek a C pont számai. Válasszunk ezek közül egyet, mondjuk x_0+π, és írjuk fel vele a C pont összes számát: x_C=x_0+π+2πk ,k∈ Z. Vegyük észre, hogy az A és C pontban lévő számok összevonhatók egy képletbe: x_(A ; C)=x_0+πk ,k∈Z (ha k = 0; ±2; ±4; ... megkapjuk a az A pont, és ha k = ±1, ±3, ±5, … a C pont számai.

Következzünk: ismerve az AC átmérő valamelyik A vagy C pontján lévő számok egyikét, ezeken a pontokon megtalálhatjuk az összes számot.

• Két ellentétes szám található a kör azon pontjain, amelyek szimmetrikusak az abszcissza tengelyére.

Rajzoljunk egy AB függőleges húrt (2. ábra). Mivel az A és B pont szimmetrikus az Ox tengelyre, az -x_0 szám a B pontban található, és ezért a B pont összes számát a következő képlet adja meg: x_B=-x_0+2πk ,k∈Z. Az A és B pontban lévő számokat egy képlettel írjuk fel: x_(A ; B)=±x_0+2πk ,k∈Z. Következtetés: ismerve az AB függőleges húr egyik A vagy B pontjában lévő számok egyikét, ezeken a pontokon megtalálhatjuk az összes számot. Tekintsük az AD vízszintes húrt, és keressük meg a D pont számait (2. ábra). Mivel BD az átmérő és az -x_0 szám a B ponthoz tartozik, akkor -x_0 + π a D pont egyik száma, ezért ennek a pontnak az összes számát az x_D=-x_0+π+2πk képlet adja meg. ,k∈Z. Az A és D pontokban lévő számok egy képlettel írhatók fel: x_(A ; D)=(-1)^k∙x_0+πk ,k∈Z . (k= 0; ±2; ±4; ... esetén az A pont számait kapjuk, k esetén pedig = ±1; ±3; ±5; ... - a D pont számait).

Következzünk: ismerve az AD vízszintes húr egyik A vagy D pontjában található számok egyikét, ezeken a pontokon megtalálhatjuk az összes számot.

A számkör tizenhat fő pontja

A gyakorlatban a legtöbb legegyszerűbb trigonometrikus egyenlet megoldása a kör tizenhat pontjához kapcsolódik (3. ábra). Mik ezek a pontok? Piros, kék és zöld pontok osztják a kört 12-vel egyenlő részek. Mivel a félkör hossza π, az A1A2 ív hossza π/2, az A1B1 ívé π/6, az A1C1 ívé pedig π/3.

Most megadhatunk egy számot a pontokon:

π/3 a С1-en és

A narancssárga négyzet csúcsai az egyes negyedek íveinek felezőpontjai, így az A1D1 ív hossza π/4, így π/4 a D1 pont egyik száma. A számkör tulajdonságait felhasználva képletek segítségével felírhatjuk körünk összes megjelölt pontján az összes számot. Az ábrán ezen pontok koordinátái is láthatók (elszerzésük leírását elhagyjuk).

A fentiek elsajátítása után kellő felkészültséggel rendelkezünk speciális esetek megoldására (a szám kilenc értékére a) a legegyszerűbb egyenletek.

Egyenletek megoldása

1)sinx=1⁄(2).

- Mit követelnek tőlünk?

– Keresse meg azokat az x számokat, amelyek szinusza 1/2.

Emlékezzünk vissza a szinusz definíciójára: sinx - a számkör pontjának ordinátája, amelyen az x szám található. A körön van két pontunk, amelyek ordinátája egyenlő 1/2-vel. Ezek a B1B2 vízszintes húr végei. Ez azt jelenti, hogy a „oldja meg a sinx=1⁄2 egyenletet” követelmény egyenértékű a „minden szám megkeresése a B1 pontban és az összes szám a B2 pontban” követelménnyel.

2)sinx=-√3⁄2 .

Meg kell találnunk az összes számot a C4 és C3 pontokban.

3) sinx=1. A körön csak egy pontunk van 1 ordinátával - A2 pont, ezért csak ennek a pontnak az összes számát kell megtalálnunk.

Válasz: x=π/2+2πk , k∈Z .

4)sinx=-1 .

Csak az A_4 pontnak van -1 ordinátája. Ennek a pontnak az összes száma az egyenlet lovai lesz.

Válasz: x=-π/2+2πk , k∈Z .

5) sinx=0 .

A körön van két 0 ordinátájú pont - A1 és A3 pont. Az egyes pontokon külön-külön is megadhatja a számokat, de mivel ezek a pontok szöges ellentétesek, jobb, ha összevonjuk őket egy képlettel: x=πk ,k∈Z .

Válasz: x=πk ,k∈Z .

6)cosx=√2⁄2 .

Emlékezzünk vissza a koszinusz definíciójára: cosx - a numerikus kör azon pontjának abszcissza, amelyen az x szám található. A körön van két pontunk √2⁄2 abszcisszával - a D1D4 vízszintes húr végei. Ezeken a pontokon meg kell találnunk az összes számot. Egy képletbe egyesítve írjuk fel őket.

Válasz: x=±π/4+2πk , k∈Z .

7) cosx=-1⁄2 .

Meg kell találnunk a számokat a C_2 és C_3 pontokban.

Válasz: x=±2π/3+2πk , k∈Z .

10) cosx=0 .

Csak az A2 és A4 pontok abszcissza 0, ami azt jelenti, hogy ezekben a pontokban minden szám megoldása lesz az egyenletnek.
.

A rendszer egyenletének megoldásai a B_3 és B_4 pontokban lévő számok Cosx egyenlőtlenség<0 удовлетворяют только числа b_3
Válasz: x=-5π/6+2πk , k∈Z .

Vegye figyelembe, hogy x bármely megengedett értékénél a második tényező pozitív, ezért az egyenlet ekvivalens a rendszerrel

A rendszeregyenlet megoldásai a D_2 és D_3 pontok száma. A D_2 pont számai nem elégítik ki a sinx≤0,5 egyenlőtlenséget, a D_3 pont számai viszont igen.

blog.site, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.

A trigonometrikus egyenletek megoldásának fogalma.

• Egy trigonometrikus egyenlet megoldásához alakítsa át egy vagy több alapvető trigonometrikus egyenletté. A trigonometrikus egyenlet megoldása végül a négy alapvető trigonometrikus egyenlet megoldásához vezet.

Trigonometrikus alapegyenletek megoldása.

• Négyféle alapvető trigonometrikus egyenlet létezik:
• sin x = a; cos x = a
• tan x = a; ctg x = a
• Az alapvető trigonometrikus egyenletek megoldása magában foglalja az egységkör különböző x pozícióinak megtekintését, valamint egy konverziós táblázat (vagy számológép) használatát.
• 1. példa sin x = 0,866. Egy konverziós táblázat (vagy számológép) segítségével megkapja a választ: x = π/3. Az egységkör másik választ ad: 2π/3. Ne feledje: minden trigonometrikus függvény periodikus, azaz értékeik ismétlődnek. Például a sin x és cos x periodicitása 2πn, a tg x és ctg x periodicitása pedig πn. Tehát a válasz így van leírva:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• 2. példa cos x = -1/2. Egy konverziós táblázat (vagy számológép) segítségével megkapja a választ: x = 2π/3. Az egységkör másik választ ad: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• 3. példa tg (x - π/4) = 0.
• Válasz: x \u003d π / 4 + πn.
• 4. példa ctg 2x = 1,732.
• Válasz: x \u003d π / 12 + πn.

A trigonometrikus egyenletek megoldásában használt transzformációk.

• A trigonometrikus egyenletek átalakításához algebrai transzformációkat (faktorálás, homogén tagok redukciója stb.) és trigonometrikus azonosságokat használnak.
• 5. példa Trigonometrikus azonosságok felhasználásával a sin x + sin 2x + sin 3x = 0 egyenletet a 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0 egyenletté alakítjuk. Így a következő alapvető trigonometrikus egyenletek meg kell oldani: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Szögek keresése a függvények ismert értékeiből.

  • Mielőtt megtanulná a trigonometrikus egyenletek megoldását, meg kell tanulnia, hogyan találhat szögeket a függvények ismert értékeiből. Ez megtehető egy konverziós táblázat vagy számológép segítségével.
  • Példa: cos x = 0,732. A számológép azt a választ adja, hogy x = 42,95 fok. Az egységkör további szögeket ad, amelyek koszinusza szintén 0,732.

• Tegye félre az oldatot az egységkörön.

  • A trigonometrikus egyenlet megoldásait az egységkörre helyezheti. A trigonometrikus egyenlet megoldásai az egységkörön egy szabályos sokszög csúcsai.
  • Példa: Az egységkörön lévő x = π/3 + πn/2 megoldások a négyzet csúcsai.
  • Példa: Az egységkörön lévő x = π/4 + πn/3 megoldások egy szabályos hatszög csúcsai.

• Trigonometrikus egyenletek megoldási módszerei.

  • Ha az adott trigonometrikus egyenlet csak egy trigonometrikus függvényt tartalmaz, akkor ezt az egyenletet oldja meg trigonometrikus alapegyenletként. Ha egy adott egyenlet két vagy több trigonometrikus függvényt tartalmaz, akkor egy ilyen egyenlet megoldására 2 módszer létezik (az átalakítás lehetőségétől függően).
    • 1. módszer
  • Alakítsa át ezt az egyenletet a következő alakú egyenletté: f(x)*g(x)*h(x) = 0, ahol f(x), g(x), h(x) a trigonometrikus alapegyenletek.
  • 6. példa 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Megoldás. A sin 2x = 2*sin x*cos x kettősszög képlet használatával cserélje ki a sin 2x-et.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Most oldjunk meg két alapvető trigonometrikus egyenletet: cos x = 0 és (sin x + 1) = 0.
  • 7. példa cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Megoldás: Trigonometrikus azonosságok segítségével alakítsa át ezt az egyenletet a következő alakú egyenletté: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Most oldjon meg két alapvető trigonometrikus egyenletet: cos 2x = 0 és (2cos x + 1) = 0.
  • 8. példa sin x - sin 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
  • Megoldás: Trigonometrikus azonosságok segítségével alakítsuk át ezt az egyenletet a következő alakú egyenletté: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Most oldjunk meg két alapvető trigonometrikus egyenletet: cos 2x = 0 és (2sin x + 1) = 0.
    • 2. módszer
  • Alakítsa át a megadott trigonometrikus egyenletet olyan egyenletté, amely csak egy trigonometrikus függvényt tartalmaz. Ezután cserélje ki ezt a trigonometrikus függvényt valamilyen ismeretlenre, például t-re (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t stb.).
  • 9. példa 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Megoldás. Ebben az egyenletben a (cos^2 x) helyére (1 - sin^2 x) lép (az azonosságnak megfelelően). A transzformált egyenlet így néz ki:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Cserélje le a sin x-et t-re. Most az egyenlet így néz ki: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Ez egy másodfokú egyenlet, melynek két gyöke: t1 = -1 és t2 = 9/5. A második t2 gyök nem elégíti ki a függvény tartományát (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • 10. példa tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Megoldás. Cserélje ki tg x-et t-re. Írja át az eredeti egyenletet a következőképpen: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Most keresse meg t-t, majd keresse meg x-et, ha t = tg x.

A „Get an A” videótanfolyam tartalmazza az összes olyan témát, amely a sikeres matematika vizsga 60-65 ponttal történő letételéhez szükséges. Teljesen a Profil USE 1-13. feladatai matematikából. Alkalmas a Basic USE matematika letételére is. Ha 90-100 ponttal akarsz sikeres vizsgát tenni, akkor az 1. részt 30 perc alatt és hiba nélkül kell megoldanod!

Vizsgára felkészítő tanfolyam 10-11. osztályosoknak, valamint pedagógusoknak. Minden, ami a matematika vizsga 1. részének (az első 12 feladat) és a 13. feladatnak (trigonometria) megoldásához szükséges. Ez pedig több mint 70 pont az Egységes Államvizsgán, és ezek nélkül sem százpontos, sem humanista nem tud meglenni.

Minden szükséges elmélet. Gyors megoldások, csapdák és a vizsga titkai. A FIPI Bank feladatai közül az 1. rész összes releváns feladatát elemeztem. A tanfolyam teljes mértékben megfelel az USE-2018 követelményeinek.

A tanfolyam 5 nagy témát tartalmaz, egyenként 2,5 órás. Minden témát a semmiből adunk, egyszerűen és világosan.

Több száz vizsgafeladat. Szövegfeladatok és valószínűségszámítás. Egyszerű és könnyen megjegyezhető problémamegoldó algoritmusok. Geometria. Elmélet, referenciaanyag, minden típusú USE feladat elemzése. Sztereometria. Ravasz trükkök a megoldáshoz, hasznos csalólapok, térbeli képzelőerő fejlesztése. Trigonometria a semmiből - a 13. feladathoz. Megértés a zsúfoltság helyett. Összetett fogalmak vizuális magyarázata. Algebra. Gyökök, hatványok és logaritmusok, függvény és derivált. A 2. vizsgarész összetett feladatainak megoldásának alapja.