Egy pontból kilépő ferde egyenesek tulajdonságai. 1. A merőleges mindig rövidebb, mint a ferde, ha ugyanabból a pontból húzzuk. 2. Ha a ferdék egyenlőek, akkor a vetületeik egyenlőek, és fordítva. 3. A nagyobb lejtő nagyobb vetületnek felel meg és fordítva.

10. dia az előadásból "A síkra merőlegesen és ferdén". Az archívum mérete a prezentációval együtt 327 KB.

Geometria 10. évfolyam

összefoglaló egyéb előadások

"Problémák a paralelogrammán" - Geometria. Pontok. A paralelogramma magassága. Négyzet. Bizonyíték. Egy kör érintője. A paralelogramma jellemzői. A paralelogramma kerülete. Kör. Rész. Középső vonal. Körközéppontok. Szögek. Paralelogramma. Keresse meg a paralelogramma területét. Két kör. A paralelogramma tulajdonságai. Éles sarok. A paralelogramma területe. Párhuzamos átlók. Átlós. Négyszög. Háromszögek.

"Módszerek a szakaszok felépítéséhez" - A szakaszok felépítéséhez szükséges készségek és képességek kialakítása. Tekintsünk négy esetet a paralelepipedon metszeteinek megszerkesztésére. Szerkessze meg a tetraéder szakaszait. A belső tervezés módja. Dolgozzon lemezekkel. A paralelepipedonnak hat lapja van. vágósík. Poliéder szakaszok építése. A nyomvonal a metszéssík és a poliéder bármely lapjának síkja metszésvonala. nyomkövetési módszer. Memo.

""Szabályos poliéder" 10. osztály" - Előre jelzett eredmény. A Mars pályájának gömbje közelében körülírt tetraéder. O középpont, a tengely és sík. Egy poliéder élei. Radiolaria. Tartalom. Szabályos poliéder. Reguláris poliéderek Platón filozófiai világképében. Feodariya. A természetben szabályos poliéderek találhatók. Az órák alatt. Egy pontot (egyeneset, síkot) középpontnak (tengelynek, síknak) nevezünk. Az alábbi geometriai testek közül melyik nem szabályos poliéder.

"Diéderszögek meghatározása" - A K pontot eltávolítjuk mindkét oldalról. Az M és K pontok különböző oldalakon helyezkednek el. Szög fokmértéke. háromszög tulajdonsága. Megjegyzések a problémamegoldáshoz. Az M pont a 30-as diéderszög egyik lapjában található. Lineáris szög felépítése. Rajzolj egy merőlegest. Adott síkban húzott egyenes. Kétszögű szögek piramisokban. Problémamegoldás. K pont. Ez a piramis. Az élen lévő pont tetszőleges lehet.

"Módszerek poliéderek metszeteinek felépítésére" - Bármely sík. Művészek. A geometria törvényei. Blitz szavazás. Egy sík és egy poliéder kölcsönös elrendezése. Szerkesszünk meg egy poliéder szakaszt. Sokszögek. axiomatikus módszer. Feladatok. Hajó. Feladat. Axiómák. Poliéder szakaszok építése. Metszetek különböző síkok szerint. Ősi kínai közmondás. Önálló munkavégzés. Átlós szakaszok. A megszerzett tudás megszilárdítása. vágósík.

"Egyenlő oldalú sokszögek" - Hexaéder (kocka) A kocka hat négyzetből áll. Oktaéder Az oktaéder nyolc egyenlő oldalú háromszögből áll. A tetraédernek 4 lapja, 4 csúcsa és 6 éle van. A szabályos poliédereknek 5 típusa van. Szabályos sokszögek. A dodekaédernek 12 lapja, 20 csúcsa és 30 éle van. Az ikozaédernek 20 lapja, 12 csúcsa és 30 éle van. Tehát egy kockának 6 lapja, 8 csúcsa és 12 éle van. Tetraéder A tetraéder négy egyenlő oldalú háromszögből áll.

Ha egy, a vonalon kívül eső ponton át merőleges vonalat húzunk, akkor az ettől a ponttól az egyenesig tartó szakaszt a rövidség kedvéért egy szónak nevezzük. merőleges.

A CO szakasz merőleges az AB egyenesre. Az O pontot hívják a merőleges alapja CO (rizs).

Ha egy egyenes át adott pont, metsz egy másik egyenest, de nem merőleges rá, akkor ettől a ponttól a másik egyenessel való metszéspontig tartó szakaszát ún. ferde erre a sorra.

A BC szakasz az AO egyenesre hajlik. A C pontot nevezzük alapján ferde (ábra).

Ha valamely szakasz végeiből merőlegeseket dobunk egy tetszőleges egyenesre, akkor a merőlegesek alapjai közé zárt szakaszt ún. szegmens vetítés erre a sorra.

Az AB szegmens az AB szegmens EU-ra vetülete. Az OM szakaszt az OM szegmens EU-ra való vetületének is nevezik.

A KR szakasz EU-ra merőleges vetülete a K pont lesz (ábra).

2. A merőleges és a ferde tulajdonságai.

1. tétel. Egy bizonyos pontból egyenesre húzott merőleges kisebb, mint bármely, ugyanabból a pontból az egyenesre húzott ferde.

Az AC szakasz (ábra) az OB egyenesre merőleges, az AM pedig az A pontból az OB egyenesre húzott ferde szakaszok egyike. Bizonyítani kell, hogy AM > AC.

A ΔMAC-ban az AM szegmens a hipotenúza, és az alsó rész nagyobb, mint ennek a háromszögnek minden egyes szára. Ezért AM > AC. Mivel a ferde AM-et tetszőlegesen vettük, azt állíthatjuk, hogy egy egyeneshez tartozó bármely ferde egyenes nagyobb, mint az erre az egyenesre merőleges (és a merőleges rövidebb bármely ferde egyenesnél), ha ugyanabból a pontból húzzuk rá.

A fordított állítás is igaz, nevezetesen: ha az AC szakasz (ábra) kisebb, mint bármely más szakasz, amely az AC pontot összeköti az OB egyenes bármely pontjával, akkor merőleges az OB egyenesre. Valóban, az AC szakasz nem dönthető OB felé, hiszen akkor nem ez lenne a legrövidebb az A pontot az OB egyenes pontjaival összekötő szakaszok közül. Ez azt jelenti, hogy csak merőleges lehet az OB-ra.

Egy adott pontból egyenesre ejtett merőleges hosszát tekintjük az adott pont és az egyenes közötti távolságnak.

2. tétel. Ha ugyanabból a pontból egy egyenesre húzott két ferde egyenes egyenlő, akkor a vetületük is egyenlő.

Legyenek BA és BC a B pontból az AC egyenesbe húzott ferde egyenesek (ábra), és AB = BC. Be kell bizonyítanunk, hogy az ő vetületeik is egyenlők.

Ennek bizonyítására ejtsük ki a B pontból az AC-re merőleges BO-t. Ekkor AO és OS a ferde AB és BC vetületei lesznek az AC egyenesre. Az ABC háromszög a tétel hipotézise szerint egyenlő szárú. VO ennek a háromszögnek a magassága. De egy egyenlő szárú háromszögben az alaphoz húzott magasság egyúttal ennek a háromszögnek a mediánja is.

Ezért AO = OS.

3. Tétel (fordított). Ha két, ugyanabból a pontból egyenesre húzott ferde egyenesnek egyenlő vetülete van, akkor egyenlők egymással.

Legyen AC és CB ferde az AB egyenesre (ábra). CO ⊥ AB és AO = OB.

Be kell bizonyítanunk, hogy AC = BC.

Az AOC és BOS derékszögű háromszögekben az AO és OB szárai egyenlőek. A CO ezeknek a háromszögeknek a közös szára. Ezért ΔAOC = ΔVOC. A háromszögek egyenlőségéből az következik, hogy AC = BC.

4. tétel. Ha ugyanabból a pontból két ferde vonalat húzunk egy egyenesbe, akkor a nagyobbik az, amelyik a legnagyobb vetülettel rendelkezik erre az egyenesre.

Legyen AB és BC ferde az AO egyenesre; VO ⊥ AO és AO>CO. Bizonyítani kell, hogy AB > BC.

1) A ferde a merőleges egyik oldalán található.

Az ACE szög külső a COB derékszögű háromszöghöz képest (ábra), ezért ∠ACB > ∠COB, azaz tompaszögű. Ebből következik, hogy AB > CB.

2) A ferde a merőleges mindkét oldalán található. Ennek bizonyítására tegyük félre az OK = OS szakaszt az AO-n az O pontból, és kössük össze a K pontot a B ponttal (ábra). Ekkor a 3. Tétel szerint van: VC = BC, de AB > VC, tehát AB > BC, azaz a tétel ebben az esetben is érvényes.

5. Tétel (fordított). Ha ugyanabból a pontból két ferde vonalat húzunk egy egyenesbe, akkor a nagy ferde vonalnak is nagy vetülete van erre az egyenesre.

Legyen KS és BC az egyenesre hajló CV (ábra), CO ⊥ CV és KS > BC. Bizonyítani kell, hogy KO > OB.

A KO és OB szegmensek között három arány közül csak egy lehet:

1) KO< ОВ,

2) KO \u003d OV,

3) KO > OV.

KO nem lehet kisebb, mint OB, hiszen akkor a 4. tétel szerint a ferde CS kisebb lenne, mint a BC ferde, és ez ellentmond a tétel feltételének.

Ugyanígy KO nem egyenlő OB-val, mivel ebben az esetben a 3. tétel szerint KS = BC, ami szintén ellentmond a tétel feltételének.

Ebből következően csak az utolsó összefüggés marad igaz, mégpedig az, hogy KO > OB.

Egy adott pontból egy adott síkra ejtett merőleges az adott pontot a sík egy pontjával összekötő szakasz, amely a síkra merőleges egyenesen fekszik. Ennek a szakasznak a síkban fekvő végét a merőleges alapjának nevezzük. Egy pont és egy sík távolsága az e pont által a síkra ejtett merőleges hossza.

Egy adott pontból egy adott síkra húzott ferde egyenes minden olyan szakasz, amely egy adott pontot a sík egy pontjával köt össze, és nem merőleges arra a síkra. A síkban fekvő szakasz végét a ferde egyenes alapjának nevezzük. A merőleges és a ferde alapját összekötő szakaszt, ugyanabból a pontból húzva, ferde vetületnek nevezzük.

A 136. ábrán az A pontból merőleges AB és AC ferde húzódik a síkra. A B pont a merőleges alapja, a C pont a ferde, a BC a ferde AC vetülete az a síkra.

Mivel az egyenes pontjaitól a vele párhuzamos síkig mért távolságok azonosak, az egyenes és a vele párhuzamos sík távolsága bármely pontja és a vele párhuzamos sík távolsága.

A vetületére merőleges ferde alapján átmenő síkon húzott egyenes egyben merőleges a leginkább ferde vonalra is. És fordítva: ha egy síkon egy egyenes merőleges egy ferde vonalra, akkor merőleges a ferde vetületére is (három merőleges tétele).

A 137. ábrán az a síkra egy merőleges AB és egy ferde AC van húzva. Az a síkban fekvő o egyenes merőleges a BC-re, a ferde AC vetülete az a síkra. A T. 2.12 szerint az a egyenes merőleges a ferde AC-re. Ha ismert lenne, hogy az a egyenes merőleges a ferde AC-re, akkor a T. 2.12 szerint merőleges lenne a BC vetületére.

Példa. Lábak derékszögű háromszög Az ABC-k 16 és a tetejétől derékszög Ennek a háromszögnek a CD = 35 m-re merőleges síkjára húzzuk C-t (138. ábra). Határozzuk meg a D pont és az AB hipotenusz távolságát.

Megoldás. Csináljuk. Feltétel szerint a DC a síkra merőleges, azaz DE ferde, CE a vetülete, ezért a három merőleges tétel szerint a feltételből következik, hogy

A CE magasság megtalálásához megtaláljuk

Másrészt hol

A Pitagorasz-tételből

46. ​​Síkok merőlegessége.

Két egymást metsző síkot merőlegesnek nevezünk, ha e síkok metszésvonalára merőleges sík merőleges vonalak mentén metszi őket.

A 139. ábra két olyan síkot mutat, amelyek egy egyenes mentén metszik egymást a. Az y sík merőleges az a egyenesre és metszi. Ebben az esetben az y sík az a síkot a c egyenes mentén, a síkot pedig a d egyenes mentén metszi, vagyis értelemszerűen

T. 2.13. Ha egy sík egy másik síkra merőleges egyenesen megy át, akkor ezek a síkok merőlegesek (a síkok merőlegességének jele).

A 140. ábrán a sík egy egyenesen halad át, azaz merőlegesek a síkra.

GEOMETRIA

II. SZTEREOMETRIA

§8. MÉRGŐS ÉS RÉSZLETES. DÖNTÉS KIVETÉSE SÍKRA.

2. A merőleges és a ferde tulajdonságai.

Tekintsük a merőleges és a ferde tulajdonságait.

1) Egy adott pontból egy síkra ejtett merőleges kisebb, mint bármely, ugyanabból a pontból a síkra húzott ferde.

411. ábra: AN AK.

2) Ha egy adott pontból egy síkra húzott két ferde egyenes egyenlő, akkor vetületük egyenlő.

K1 és merőleges AN és AK \u003d AK 1. Ekkor tulajdonság szerint: NK = NK 1 .

3) Ha egy adott pontból egy adott síkra húzott két ferde egyenesnek egyenlő vetülete van, akkor egyenlők egymással.

A 412. ábrán az A pontból az a síkba két ferde AK és A van megrajzolva K1 és merőleges AH, ráadásul KH = K 1 N. Ekkor tulajdonság szerint: AK = AK 1 .

4) Ha egy adott pontból két ferde síkot húzunk egy síkra, akkor egy nagy ferde síkot nagy a vetülete.

L és merőleges AN, A K > AL . Akkor ingatlan szerint: H K > HL .

5) Ha egy adott pontból két ferde egyenest húzunk egy síkra, akkor ezek közül a legnagyobb az, amelyiknek nagy a vetülete erre a síkra.

A 413. ábrán az A pontból az a síkba két ferde AK és A van megrajzolva L és merőleges AN, NK> H L . Akkor ingatlan szerint: AK> A L.

Példa 1. Egy pontból két ferde egyenest húzunk egy síkra, amelyek hossza 41 cm és 50 cm. Határozza meg a ferde vonalak vetületeit, ha 3:10 arányban állnak egymással, és a ponttól a távolságot a repülő.

Megoldások. 1) A L = 41 cm; AK = 50 cm (413. ábra). Tulajdon szerint rendelkezünk H L NK. Jelölje: H L = 3 x cm, HK = 10 x cm, AH = h lásd AN - távolság az A ponttól a síkhozα .

4) Kiegyenlítve 41 2 - 9x 2 = 50 2 - 100 x 2; x 2 = 9; x = 3 (adott x> 0). Tehát Н L = 3 ∙ 3 = 9 (cm), NK = 10 ∙ 3 = 30 (cm).

Példa 2. Egy adott ponttól a két-két ferde síkot rajzolunkcm-ben A ferdék közötti szög 60°, a vetületeik közötti szög pedig egyenes. Keresse meg egy pont és egy sík távolságát.

Geometria

Sztereometria

Merőleges és ferde

Merőleges, adott pontból egy adott síkra süllyesztve egy adott pontot a sík egy pontjával összekötő szakasz, amely a síkra merőleges egyenesen fekszik. Ennek a szakasznak a síkban fekvő végét ún a merőleges alapja. Távolság ponttól síkig az ebből a pontból a síkra ejtett merőleges hossza.
A képen AB- merőleges; AC- hajlamos; időszámításunk előtt- kivetítés.

Távolság az egyenes vonaltól vele párhuzamos síkhoz mért távolság ennek az egyenesnek bármely pontjától a síkhoz.
Párhuzamos síkok közötti távolság az egyik sík bármely pontjától a másik síkhoz mért távolság.
ferde, egy adott pontból egy adott síkra húzott bármely szakasz, amely egy adott pontot összeköt a sík egy pontjával, és nem merőleges a síkra. Egy síkban fekvő szakasz végét nevezzük a ferde alapja.
A merőleges és a ferde alapját összekötő szakaszt ugyanabból a pontból húzva ún. ferde vetület.

Egy pontból egy síkra húzott ferde egyenesek tulajdonságai

1. Az egyik pontból a síkra húzott ferde vonalak (a bal oldalon lenti rajz) akkor és csak akkor egyenlők, ha egyenlő vetületűek.
2. Ha egy pontból két ferde egyenest húzunk egy síkra, akkor a nagyobbik az, amelyiknek a legnagyobb a vetülete, és fordítva, a nagyobb ferde vonal a legnagyobb.
Megjegyzendő, hogy ezek a tulajdonságok megmaradnak a különböző pontokból a síkra húzott, de azonos merőleges hosszúságú ferdékeknél (jobb oldali ábra).