Ebben a leckében megtanuljuk, hogyan bonthatjuk fel a négyzetes trinomiálisokat lineáris tényezőkre. Ehhez fel kell idézni Vieta tételét és annak inverzét. Ez a készség segít gyorsan és kényelmesen felbontani a négyzetes trinomiálisokat lineáris tényezőkre, és leegyszerűsíti a kifejezésekből álló törtek redukcióját is.

Tehát vissza a másodfokú egyenlethez , ahol .

Amit a bal oldalon találunk, azt négyzetháromságnak nevezzük.

A tétel igaz: Ha egy négyzetes trinom gyökerei, akkor az azonosság igaz

Hol van a vezető együttható, ott vannak az egyenlet gyökerei.

Szóval van másodfokú egyenlet- négyzetes trinom, ahol a másodfokú egyenlet gyökeit négyzetháromság gyökének is nevezik. Ezért, ha megvannak a négyzetes trinom gyökei, akkor ezt a hármast lineáris tényezőkre bontjuk.

Bizonyíték:

Bizonyíték ezt a tényt Az előző leckékben megvizsgált Vieta-tétel segítségével hajtjuk végre.

Emlékezzünk, mit mond Vieta tétele:

Ha egy négyzetes trinom gyökei, amelyekre , akkor .

Ez a tétel magában foglalja a következő állítást, hogy .

Látjuk, hogy a Vieta-tétel szerint, azaz ezeket az értékeket a fenti képletbe behelyettesítve a következő kifejezést kapjuk

Q.E.D.

Emlékezzünk vissza, hogy bebizonyítottuk azt a tételt, hogy ha egy négyzetháromtag gyökei vannak, akkor a felbontás érvényes.

Most idézzünk fel egy példát egy másodfokú egyenletre, amelyhez a gyököket Vieta tételével választottuk ki. Ebből a tényből a következő egyenlőséget kaphatjuk a bizonyított tételnek köszönhetően:

Most pedig ellenőrizzük ennek a ténynek a helyességét a zárójelek egyszerű kibontásával:

Látjuk, hogy helyesen faktoráltunk, és bármely trinomiális, ha van gyöke, e tétel szerint lineáris tényezőkké faktorálható a képlet szerint.

Ellenőrizzük azonban, hogy lehetséges-e ilyen faktorizálás bármely egyenlet esetében:

Vegyük például az egyenletet. Először is ellenőrizzük a diszkrimináns jelét

És ne felejtsük el, hogy a tanult tétel teljesítéséhez D-nek nagyobbnak kell lennie 0-nál, ezért ebben az esetben a vizsgált tétel szerinti faktorálás lehetetlen.

Ezért egy új tételt fogalmazunk meg: ha egy négyzetes trinomnak nincs gyöke, akkor nem bontható fel lineáris tényezőkre.

Tehát megvizsgáltuk a Vieta-tételt, egy négyzetes trinom lineáris tényezőkre bontásának lehetőségét, és most több problémát is megoldunk.

1. feladat

Ebben a csoportban a problémát a feltetthöz képest fordítottan fogjuk megoldani. Volt egy egyenletünk, és megtaláltuk a gyökereit, amelyek faktorokra bomlanak. Itt az ellenkezőjét fogjuk tenni. Tegyük fel, hogy megvannak a másodfokú egyenlet gyökerei

Az inverz probléma a következő: írjunk fel egy másodfokú egyenletet úgy, hogy ez legyen a gyöke.

A probléma megoldásának két módja van.

Mivel tehát az egyenlet gyökerei egy másodfokú egyenlet, melynek gyökei: adott számokat. Most nyissuk meg a zárójeleket, és ellenőrizzük:

Ez volt az első módja annak, hogy adott gyökökkel másodfokú egyenletet hozzunk létre, amelynek nincs más gyöke, mivel minden másodfokú egyenletnek legfeljebb két gyöke van.

Ez a módszer az inverz Vieta-tételt foglalja magában.

Ha az egyenlet gyökei, akkor teljesítik azt a feltételt, hogy .

A redukált másodfokú egyenlethez , , azaz jelen esetben , és .

Így létrehoztunk egy másodfokú egyenletet, amelynek a gyökei vannak.

2. feladat

Csökkentenie kell a törtet.

Van egy trinom a számlálóban és egy trinom a nevezőben, és a trinomiálisok lehetnek faktorosak vagy nem. Ha a számlálót és a nevezőt is faktorizáljuk, akkor közöttük lehetnek egyenlő faktorok, amelyek csökkenthetők.

Mindenekelőtt a számlálót tizedelni kell.

Először is ellenőriznie kell, hogy ez az egyenlet faktorálható-e, és meg kell keresnie a diszkriminánst. Mivel , akkor az előjel a szorzattól függ (0-nál kisebbnek kell lennie), ebben a példában pl. adott egyenlet gyökerei vannak.

A megoldáshoz a Vieta-tételt használjuk:

Ebben az esetben, mivel gyökerekkel van dolgunk, meglehetősen nehéz lesz egyszerűen felszedni a gyökereket. De látjuk, hogy az együtthatók kiegyenlítettek, vagyis ha feltételezzük, hogy , és ezt az értéket behelyettesítjük az egyenletbe, akkor a következő rendszert kapjuk: azaz 5-5=0. Így ennek a másodfokú egyenletnek az egyik gyökerét választottuk.

A második gyöket úgy fogjuk keresni, hogy a már ismertet behelyettesítjük az egyenletrendszerbe, például, , azaz. .

Így megtaláltuk a másodfokú egyenlet mindkét gyökerét, és ezek értékét behelyettesíthetjük az eredeti egyenletbe, hogy faktorozzuk:

Emlékezzünk vissza az eredeti problémára, csökkentenünk kellett a törtet.

Próbáljuk meg megoldani a problémát a számláló helyett behelyettesítéssel.

Nem szabad elfelejteni, hogy ebben az esetben a nevező nem lehet egyenlő 0-val, azaz.

Ha ezek a feltételek teljesülnek, akkor az eredeti törtet a formára redukáltuk.

3. feladat (paraméteres feladat)

A paraméter mely értékeinél van a másodfokú egyenlet gyökeinek összege

Ha ennek az egyenletnek a gyökerei léteznek, akkor , a kérdés az, hogy mikor.

Terv - lecke összefoglalása (MBOU "Csernomorskaya Gimnázium№2"

A tanár neve

Ponomarenko Vladislav Vadimovich

Tétel

Algebra

Az óra időpontja

19.09.2018

№ lecke

Osztály

9B

Óra témája

(KTP szerint)

"Egy négyzetes trinom felbontása tényezőkre"

célmeghatározás

- oktatási: tanítsa meg a diákokat egy négyzetes trinomiális faktorizálására, tanítsa meg a faktorizációs algoritmus alkalmazását négyzetes trinomikus a példák megoldása során vegyük figyelembe a GIA adatbázis feladatait, amelyek a négyzetes hármast faktorokká alakító algoritmust használják

- fejlesztés: fejleszteni az iskolásokban a problémák megfogalmazásának képességét, javaslatokat tenni a megoldásukra, elősegíteni az iskolások azon képességeinek fejlődését, hogy egy kognitív tárgyban kiemeljék a lényeget.

- oktatási: segítse a tanulókat a közös tevékenységek értékének felismerésében, elősegítse a gyermekek önellenőrzési, önértékelési és önkorrekciós képességeinek fejlődését.

Az óra típusa

tanulás és az új ismeretek elsődleges megszilárdítása.

Felszerelés:

multimédiás projektor, képernyő, számítógép, didaktikai anyag, tankönyvek, füzetek, bemutatóa leckére

Az órák alatt

1. Szervezési idő: a tanár köszönti a tanulókat, ellenőrzi a tanórára való felkészültséget.

Motiválja a tanulókat:

Ma a közös tevékenység leckében megerősítjük Poya szavait (1. dia).

Üzenet Poyáról (2. dia)

Szeretném kihívni a kíváncsiságodat. Tekintsük a GIA feladatát. Ábrázolja a függvényt .

Tudjuk-e élvezni a győzelem örömét és teljesíteni ezt a feladatot? (problémás helyzet).

Hogyan lehet megoldani ezt a problémát?

- Készítsen cselekvési tervet a probléma megoldására.

Óratervet javít, észrevételeket tesz az önálló munka elvét illetően.

Önálló munkavégzés(önálló munka szövegét tartalmazó szórólapokat oszd ki az osztálynak) (1. sz. melléklet)

Önálló munkavégzés

Szorzás:

x 2 – 3x;

x 2 – 9;

x 2 – 8x + 16;

2a 2 – 2b 2 –a + b;

2x 2 – 7x – 4.

Csökkentett töredék:

CsúszikAz önvizsgálathoz szükséges válaszokkal.

Kérdés az osztályhoz:

Milyen módszereket használt a polinomok faktorálására?

Sikerült az összes polinomot faktorozni?

Minden tört csökkenthető?

Probléma 2:Csúszik

Polinom faktorizálása

2 x 2 – 7 x – 4?

Hogyan lehet töredéket csökkenteni?

Frontális felmérés:

Mik azok a polinomok

2 x 2 – 7 x– 4 ésx 2 – 5 x +6?

Határozzon meg egy négyzetes trinomit.

Mit tudunk a négyzetháromtagról?

Hogyan lehet megtalálni a gyökereit?

Mi határozza meg a gyökerek számát?

Hasonlítsa össze ezeket az ismereteket azzal, amit tudnunk kell, és fogalmazza meg az óra témáját. (Ezt követően a lecke témája megjelenik a képernyőn)Csúszik

Állítsa be a lecke céljátCsúszik

Lássuk a végeredménytCsúszik

Kérdés az osztályhoz:Hogyan lehet megoldani ezt a problémát?

Az osztály csoportokban dolgozik.

Feladat csoportoknak:

keresse meg a tartalomjegyzékben a kívánt oldalt, ceruzával a kezében olvassa el a 4. pontot, emelje ki a fő gondolatot, készítsen egy algoritmust, amellyel bármely négyzetháromtag faktorizálható.

Annak ellenőrzése, hogy az osztály teljesítette-e a feladatot ( front munka):

Mi a az alapvető ötlet 4. pont?Csúszik(a képernyőn a négyzetes trinomiális faktorokba való faktorálásának képlete).

algoritmus a képernyőn.Csúszik

1. Tegye egyenlővé a négyzetháromtagot nullával.

2. Keresse meg a diszkriminánst.

3. Keresse meg a négyzetes trinom gyökereit!

4. Helyettesítsd be a talált gyököket a képletbe!

5. Ha szükséges, adja meg a vezető együtthatót zárójelben.

Másikkis probléma : ha D=0, lehetséges-e egy négyzetes hármast faktorizálni, és ha igen, hogyan?

(Kutatás csoportokban).

Csúszik(a képernyőn:

Ha D = 0, akkor
.

Ha a négyzetháromtagnak nincs gyöke,

akkor nem lehet figyelembe venni.)

Önálló munkában térjünk vissza a feladathoz. Tényezőzhetjük-e a négyzetháromtagokat2 x 2 – 7 x– 4 ésx 2 – 5 x +6?

Az osztály önállóan dolgozik, szaporodik, gyenge tanulókkal egyénileg dolgozom.

Csúszik(oldattal)Kölcsönös ellenőrzés

Csökkenthetjük a törtet?

Csökkentse a törtet, erős tanulót hívok a táblához.

Térjünk vissza a feladathoza GIA-tól. Most ábrázolhatjuk a függvényt?

Mi ennek a függvénynek a grafikonja?

Rajzolja fel a függvény grafikonját a füzetébe!

Teszt (Val velönálló munkavégzés)2. függelék

Önvizsgálat és önértékelésA tanulók szórólapokat kaptak (3. melléklet), amelyekbe le kell írniuk válaszaikat. Értékelési szempontokat adnak meg.

Értékelési szempontok:

3 feladat - értékelés "4"

4 feladat - "5" osztályzat

Visszaverődés:(csúszik)

1. Ma a leckén, amit megtanultam...

2. Ma a leckében megismételtem...

3. Javítottam…

4. tetszett...

5. A leckében végzett tevékenységért osztályzatot adtam magamnak ...

6. Milyen munkatípusok okoztak nehézségeket és igényeltek ismétlést...

7. Elértük a kívánt eredményt?

Dia: Köszönöm a leckét!

1. számú melléklet

Önálló munkavégzés

Szorzás:

x 2 – 3x;

x 2 – 9;

x 2 – 8x + 16;

x 2 + x - 2;

2a 2 – 2b 2 –a + b;

2 x 2 – 7 x – 4.

Csökkentett töredék:

2. függelék

Teszt

1 lehetőség

tényezőkre bont?

x 2 – 8x+ 7;

x 2 – 8x+ 16 ;

x 2 – 8x+ 9;

x 2 – 8x+ 1 7.

2 x 2 – 9 x – 5 = 2( x – 5)(…)?

Válasz:_________ .

Csökkentse a törtet:

x – 3;

x + 3;

x – 4;

másik válasz.

Teszt

2. lehetőség

Melyik négyzetháromtag nem lehet ptényezőkre bont?

5 x 2 + x+ 1;

⅓ x 2 -8x+ 2;

0,1 x 2 + 3 x - 5;

x 2 + 4 x+ 5.

Melyik polinomot kell helyettesíteni az ellipszissel, hogy egyenlő legyen:2 x 2 + 5 x – 3 = 2( x + 3)(…)?

Válasz:_________ .

Csökkentse a törtet:

3 x 2 – 6 x – 15;

0,25(3 x - 1);

0,25( x - 1);

másik válasz.

3. melléklet

Írd le a válaszokat.

Értékelési szempontok:

Helyesen teljesítve: 2. feladat - "3" osztályzat

3 feladat - értékelés "4"

4 feladat - "5" osztályzat

1. számú feladat

2. számú feladat

3. számú feladat

1 lehetőség

2. lehetőség

Ebben a leckében megtanuljuk, hogyan bonthatjuk fel a négyzetes trinomiálisokat lineáris tényezőkre. Ehhez fel kell idézni Vieta tételét és annak inverzét. Ez a készség segít gyorsan és kényelmesen felbontani a négyzetes trinomiálisokat lineáris tényezőkre, és leegyszerűsíti a kifejezésekből álló törtek redukcióját is.

Tehát vissza a másodfokú egyenlethez , ahol .

Amit a bal oldalon találunk, azt négyzetháromságnak nevezzük.

A tétel igaz: Ha egy négyzetes trinom gyökerei, akkor az azonosság igaz

Hol van a vezető együttható, ott vannak az egyenlet gyökerei.

Tehát van egy másodfokú egyenletünk - egy négyzetes trinom, ahol a másodfokú egyenlet gyökereit a másodfokú trinom gyökeinek is nevezik. Ezért, ha megvannak a négyzetes trinom gyökei, akkor ezt a hármast lineáris tényezőkre bontjuk.

Bizonyíték:

Ennek a ténynek a bizonyítása a Vieta-tétel segítségével történik, amelyet az előző leckékben megvizsgáltunk.

Emlékezzünk, mit mond Vieta tétele:

Ha egy négyzetes trinom gyökei, amelyekre , akkor .

Ez a tétel magában foglalja a következő állítást, hogy .

Látjuk, hogy a Vieta-tétel szerint, azaz ezeket az értékeket a fenti képletbe behelyettesítve a következő kifejezést kapjuk

Q.E.D.

Emlékezzünk vissza, hogy bebizonyítottuk azt a tételt, hogy ha egy négyzetháromtag gyökei vannak, akkor a felbontás érvényes.

Most idézzünk fel egy példát egy másodfokú egyenletre, amelyhez a gyököket Vieta tételével választottuk ki. Ebből a tényből a következő egyenlőséget kaphatjuk a bizonyított tételnek köszönhetően:

Most pedig ellenőrizzük ennek a ténynek a helyességét a zárójelek egyszerű kibontásával:

Látjuk, hogy helyesen faktoráltunk, és bármely trinomiális, ha van gyöke, e tétel szerint lineáris tényezőkké faktorálható a képlet szerint.

Ellenőrizzük azonban, hogy lehetséges-e ilyen faktorizálás bármely egyenlet esetében:

Vegyük például az egyenletet. Először is ellenőrizzük a diszkrimináns jelét

És ne felejtsük el, hogy a tanult tétel teljesítéséhez D-nek nagyobbnak kell lennie 0-nál, ezért ebben az esetben a vizsgált tétel szerinti faktorálás lehetetlen.

Ezért egy új tételt fogalmazunk meg: ha egy négyzetes trinomnak nincs gyöke, akkor nem bontható fel lineáris tényezőkre.

Tehát megvizsgáltuk a Vieta-tételt, egy négyzetes trinom lineáris tényezőkre bontásának lehetőségét, és most több problémát is megoldunk.

1. feladat

Ebben a csoportban a problémát a feltetthöz képest fordítottan fogjuk megoldani. Volt egy egyenletünk, és megtaláltuk a gyökereit, amelyek faktorokra bomlanak. Itt az ellenkezőjét fogjuk tenni. Tegyük fel, hogy megvannak a másodfokú egyenlet gyökerei

Az inverz probléma a következő: írjunk fel egy másodfokú egyenletet úgy, hogy ez legyen a gyöke.

A probléma megoldásának két módja van.

Mivel tehát az egyenlet gyökerei egy másodfokú egyenlet, amelynek gyökei adott számok. Most nyissuk meg a zárójeleket, és ellenőrizzük:

Ez volt az első módja annak, hogy adott gyökökkel másodfokú egyenletet hozzunk létre, amelynek nincs más gyöke, mivel minden másodfokú egyenletnek legfeljebb két gyöke van.

Ez a módszer az inverz Vieta-tételt foglalja magában.

Ha az egyenlet gyökei, akkor teljesítik azt a feltételt, hogy .

A redukált másodfokú egyenlethez , , azaz jelen esetben , és .

Így létrehoztunk egy másodfokú egyenletet, amelynek a gyökei vannak.

2. feladat

Csökkentenie kell a törtet.

Van egy trinom a számlálóban és egy trinom a nevezőben, és a trinomiálisok lehetnek faktorosak vagy nem. Ha a számlálót és a nevezőt is faktorizáljuk, akkor közöttük lehetnek egyenlő faktorok, amelyek csökkenthetők.

Mindenekelőtt a számlálót tizedelni kell.

Először is ellenőriznie kell, hogy ez az egyenlet faktorálható-e, és meg kell keresnie a diszkriminánst. Mivel , akkor az előjel a szorzattól függ (0-nál kisebbnek kell lennie), ebben a példában , azaz az adott egyenletnek gyökei vannak.

A megoldáshoz a Vieta-tételt használjuk:

Ebben az esetben, mivel gyökerekkel van dolgunk, meglehetősen nehéz lesz egyszerűen felszedni a gyökereket. De látjuk, hogy az együtthatók kiegyenlítettek, vagyis ha feltételezzük, hogy , és ezt az értéket behelyettesítjük az egyenletbe, akkor a következő rendszert kapjuk: azaz 5-5=0. Így ennek a másodfokú egyenletnek az egyik gyökerét választottuk.

A második gyöket úgy fogjuk keresni, hogy a már ismertet behelyettesítjük az egyenletrendszerbe, például, , azaz. .

Így megtaláltuk a másodfokú egyenlet mindkét gyökerét, és ezek értékét behelyettesíthetjük az eredeti egyenletbe, hogy faktorozzuk:

Emlékezzünk vissza az eredeti problémára, csökkentenünk kellett a törtet.

Próbáljuk meg megoldani a problémát a számláló helyett behelyettesítéssel.

Nem szabad elfelejteni, hogy ebben az esetben a nevező nem lehet egyenlő 0-val, azaz.

Ha ezek a feltételek teljesülnek, akkor az eredeti törtet a formára redukáltuk.

3. feladat (paraméteres feladat)

A paraméter mely értékeinél van a másodfokú egyenlet gyökeinek összege

Ha ennek az egyenletnek a gyökerei léteznek, akkor , a kérdés az, hogy mikor.

Ez az online számológép egy függvény faktorizálására szolgál.

Például szorozd: x 2 /3-3x+12 . Írjuk fel úgy, hogy x^2/3-3*x+12 . Használhatja ezt a szolgáltatást is, ahol minden számítás Word formátumban kerül mentésre.

Például bontja kifejezésekre. Írjuk úgy, hogy (1-x^2)/(x^3+x) . A megoldás előrehaladásának megtekintéséhez kattintson a Lépések megjelenítése elemre. Ha az eredményt Word formátumban szeretné megkapni, használja ezt a szolgáltatást.

jegyzet: a "pi" (π) szám pi -ként van írva; négyzetgyök mint sqrt , például sqrt(3) , a tg tangensét tanként írjuk. A válaszért lásd az Alternatív szakaszt.

1. Ha egy egyszerű kifejezést adunk meg, például 8*d+12*c*d , akkor a kifejezés faktorálása a kifejezés faktorálását jelenti. Ehhez meg kell találni a közös tényezőket. Ezt a kifejezést így írjuk: 4*d*(2+3*c) .
2. Fejezd ki a szorzatot két binomiálisan: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy . Itt már több közös tényezőt kell találnunk: x(x + 7z) + 3y(x + 7z). Kivesszük (x+7z) és megkapjuk: (x+7z)(x + 3y) .

lásd még Polinomok sarokkal való osztása (az oszloppal való osztás összes lépése látható)

Hasznosak a faktorizáció szabályainak elsajátításában rövidített szorzóképletek, amellyel világos lesz, hogyan lehet négyzettel megnyitni a zárójeleket:

1. (a+b) 2 = (a+b) (a+b) = a 2 +2ab+b 2
2. (a-b) 2 = (a-b) (a-b) = a 2 -2ab+b 2
3. (a+b)(a-b) = a 2 - b 2
4. a 3 +b 3 = (a+b) (a 2 -ab+b 2)
5. a 3 -b 3 = (a-b) (a 2 +ab+b 2)
6. (a+b) 3 = (a+b) (a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
7. (a-b) 3 = (a-b) (a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

Faktoring módszerek

Miután megtanult néhány trükköt faktorizáció A megoldások az alábbiak szerint csoportosíthatók:

1. Rövidített szorzóképletek használata.
2. Keressen egy közös tényezőt.

8 példát mutatunk be a polinomok faktorizálására. Példákat tartalmaznak másodfokú és kétnegyedes egyenletek megoldására, példákat rekurzív polinomokra, valamint példákat a harmadik és negyedik fokú polinomok egész gyökeinek megtalálására.

Tartalom

Lásd még: Polinomok faktorálási módszerei
Másodfokú egyenlet gyökerei
Köbös egyenletek megoldása

1. Példák másodfokú egyenlet megoldására

Példa 1.1

x 4 + x 3 - 6 x 2.

Vegye ki x-et 2 zárójelekhez:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Egyenletgyökök:
, .

.

Példa 1.2

Harmadfokú polinom faktorálása:
x 3 + 6 x 2 + 9 x.

A zárójelből kivesszük az x-et:
.
Megoldjuk az x másodfokú egyenletet 2 + 6 x + 9 = 0:
A diszkriminátora az.
Mivel a diszkrimináns egyenlő nullával, az egyenlet gyökei többszörösek: ;
.

Innen megkapjuk a polinom faktorokra bontását:
.

1.3. példa

Egy ötödfokú polinom faktorálása:
x 5 - 2 x 4 + 10 x 3.

Vegye ki x-et 3 zárójelekhez:
.
Megoldjuk az x másodfokú egyenletet 2-2 x + 10 = 0.
A diszkriminátora az.
Mivel a diszkrimináns kisebb, mint nulla, az egyenlet gyökei összetettek: ;
, .

A polinom faktorizálása a következőképpen alakul:
.

Ha érdekel minket a valós együtthatókkal való faktorálás, akkor:
.

Példák faktorálási polinomokra képletekkel

Példák kétnegyedes polinomokra

2.1. példa

Tényezősítse a biquadratikus polinomot:
x 4 + x 2 - 20.

Alkalmazza a képleteket:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b) (a + b).

;
.

2.2. példa

Bikvadratikussá redukáló polinom faktorálása:
x 8 + x 4 + 1.

Alkalmazza a képleteket:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b) (a + b):

;

;
.

2.3 példa rekurzív polinommal

A rekurzív polinom faktorálása:
.

A rekurzív polinomnak páratlan foka van. Ezért van egy gyöke x = - 1 . A polinomot elosztjuk x-szel - (-1) = x + 1. Ennek eredményeként a következőket kapjuk:
.
Cseréljük:
, ;
;


;
.

Példák egész számgyökerű polinomok faktorálására

Példa 3.1

Polinom faktorálása:
.

Tegyük fel az egyenletet

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
(-6) 3 - 6 (-6) 2 + 11 (-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6 (-3) 2 + 11 (-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6 (-2) 2 + 11 (-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6 (-1) 2 + 11 (-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.

Tehát három gyökeret találtunk:
x 1 = 1 , x 2 = 2 , x 3 = 3 .
Mivel az eredeti polinom harmadfokú, ezért legfeljebb három gyöke van. Mivel három gyökeret találtunk, ezek egyszerűek. Akkor
.

Példa 3.2

Polinom faktorálása:
.

Tegyük fel az egyenletet

legalább egy egész gyöke van. Ekkor ez a szám osztója 2 (x nélküli tag). Vagyis a teljes gyök a számok egyike lehet:
-2, -1, 1, 2 .
Cserélje be ezeket az értékeket egyesével:
(-2) 4 + 2 (-2) 3 + 3 (-2) 3 + 4 (-2) + 2 = 6 ;
(-1) 4 + 2 (-1) 3 + 3 (-1) 3 + 4 (-1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54.

Tehát találtunk egy gyökeret:
x 1 = -1 .
A polinomot elosztjuk x - x-szel 1 = x - (-1) = x + 1:


Akkor,
.

Most meg kell oldanunk a harmadik fokú egyenletet:
.
Ha feltételezzük, hogy ennek az egyenletnek egész gyöke van, akkor ez a szám osztója 2 (x nélküli tag). Vagyis a teljes gyök a számok egyike lehet:
1, 2, -1, -2 .
Helyettesítsd x = -1 :
.

Tehát találtunk egy másik x gyökeret 2 = -1 . Az előző esethez hasonlóan lehetséges lenne a polinom elosztása -vel, de a tagokat csoportosítjuk:
.