Ոչ բոլոր երևույթներն են չափվում քանակական մասշտաբով, ինչպիսին է 1, 2, 3... 100500... Միշտ չէ, որ մի երևույթ կարող է ընդունել անսահման կամ մեծ թվով տարբեր վիճակներ: Օրինակ, մարդու սեռը կարող է լինել կամ M կամ F: Կրակողը կա՛մ հարվածում է թիրախին, կա՛մ վրիպում: Դուք կարող եք քվեարկել կամ «կողմ», «դեմ» և այլն: եւ այլն։ Այլ կերպ ասած, նման տվյալներն արտացոլում են այլընտրանքային հատկանիշի վիճակը՝ կամ «այո» (իրադարձությունը տեղի է ունեցել) կամ «ոչ» (իրադարձությունը տեղի չի ունեցել): Առաջիկա իրադարձությունը (դրական ելքը) կոչվում է նաև «հաջողություն»:

Նման տվյալների հետ փորձերը կոչվում են Բեռնուլիի սխեման, ի պատիվ շվեյցարացի հայտնի մաթեմատիկոսի, ով պարզել է, որ մեծ թվով փորձարկումների դեպքում դրական արդյունքների հարաբերակցությունը փորձությունների ընդհանուր թվին հակված է այս իրադարձության տեղի ունենալու հավանականությանը:

Այլընտրանքային հատկանիշի փոփոխական

Մաթեմատիկական ապարատը վերլուծության մեջ օգտագործելու համար նման դիտարկումների արդյունքները պետք է գրվեն թվային տեսքով: Դրա համար դրական արդյունքին վերագրվում է թիվ 1, բացասականինը՝ 0։ Այսինքն՝ գործ ունենք փոփոխականի հետ, որը կարող է ընդունել միայն երկու արժեք՝ 0 կամ 1։

Ի՞նչ օգուտ կարելի է ստանալ դրանից: Իրականում ոչ պակաս, քան սովորական տվյալներից։ Այսպիսով, հեշտ է հաշվել դրական արդյունքների քանակը, բավական է ամփոփել բոլոր արժեքները, այսինքն. բոլորը 1 (հաջողություն): Դուք կարող եք ավելի հեռուն գնալ, բայց դրա համար անհրաժեշտ է ներկայացնել մի քանի նշում:

Առաջին բանը, որ պետք է նշել, այն է, որ դրական արդյունքները (որոնք հավասար են 1-ի) ունեն որոշակի հավանականություն: Օրինակ, մետաղադրամը նետելու գլուխներ ստանալը ½ կամ 0,5 է: Այս հավանականությունը ավանդաբար նշվում է լատինատառով էջ. Հետևաբար, այլընտրանքային իրադարձության հավանականությունը մեծ է 1-p, որը նույնպես նշվում է ք, այն է q = 1 – p. Այս նշանակումները կարող են տեսողականորեն համակարգվել փոփոխական բաշխման ափսեի տեսքով X.

Մենք ստացանք հնարավոր արժեքների և դրանց հավանականությունների ցանկը: կարելի է հաշվարկել ակնկալվող արժեքը Եվ ցրվածություն. Ակնկալիքը բոլոր հնարավոր արժեքների և դրանց համապատասխան հավանականությունների արտադրանքի հանրագումարն է.

Եկեք հաշվարկենք ակնկալվող արժեքը՝ օգտագործելով վերը նշված աղյուսակների նշումները:

Ստացվում է, որ այլընտրանքային նշանի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է այս իրադարձության հավանականությանը. էջ.

Հիմա եկեք սահմանենք, թե որն է այլընտրանքային հատկանիշի տարբերությունը: Դիսպերսիան մաթեմատիկական ակնկալիքից շեղումների միջին քառակուսին է: Ընդհանուր բանաձևը (դիսկրետ տվյալների համար) հետևյալն է.

Այսպիսով, այլընտրանքային հատկանիշի տարբերությունը.

Հեշտ է տեսնել, որ այս դիսպերսիան ունի առավելագույնը 0,25 (at p=0.5).

Ստանդարտ շեղում - շեղման արմատ.

Առավելագույն արժեքը չի գերազանցում 0,5-ը:

Ինչպես տեսնում եք, այլընտրանքային նշանի և՛ մաթեմատիկական ակնկալիքը, և՛ շեղումը շատ կոմպակտ ձև ունեն։

Պատահական փոփոխականի երկանդամ բաշխում

Եկեք իրավիճակին նայենք այլ տեսանկյունից։ Իսկապես, ու՞մ է հետաքրքրում, որ մեկ նետումով գլուխների միջին կորուստը 0,5 է: Նույնիսկ անհնար է պատկերացնել։ Ավելի հետաքրքիր է բարձրացնել տվյալ քանակի նետումների դեպքում գլխի քանակի հարցը:

Այլ կերպ ասած, հետազոտողին հաճախ հետաքրքրում է որոշակի թվով հաջող իրադարձությունների տեղի ունենալու հավանականությունը: Սա կարող է լինել փորձարկված լոտի թերի արտադրանքի քանակը (1 - թերի, 0 - լավ) կամ վերականգնումների թիվը (1 - առողջ, 0 - հիվանդ) և այլն: Նման «հաջողությունների» թիվը հավասար կլինի փոփոխականի բոլոր արժեքների գումարին X, այսինքն. առանձին արդյունքների քանակը.

Պատահական արժեք Բկոչվում է երկանդամ և ընդունում է արժեքներ 0-ից մինչև n(ժամը Բ= 0 - բոլոր մասերը լավն են, հետ Բ = n- բոլոր մասերը թերի են): Ենթադրվում է, որ բոլոր արժեքները xմիմյանցից անկախ: Դիտարկենք երկանդամ փոփոխականի հիմնական բնութագրերը, այսինքն՝ մենք կհաստատենք նրա մաթեմատիկական ակնկալիքը, շեղումը և բաշխումը։

Երկանդամ փոփոխականի ակնկալիքը շատ հեշտ է ձեռք բերել: Արժեքների գումարի մաթեմատիկական ակնկալիքը յուրաքանչյուր ավելացված արժեքի մաթեմատիկական ակնկալիքների գումարն է, և այն նույնն է բոլորի համար, հետևաբար.

Օրինակ, 100 նետումի վրա գլխիկների քանակի ակնկալիքը 100 × 0,5 = 50 է:

Այժմ մենք բխում ենք երկանդամ փոփոխականի շեղման բանաձևը: Անկախ պատահական փոփոխականների գումարի շեղումը շեղումների գումարն է։ Այստեղից

Ստանդարտ շեղում, համապատասխանաբար

100 մետաղադրամ պտտելու համար ստանդարտ շեղումարծիվների թիվն է

Եվ վերջապես, դիտարկենք երկանդամ մեծության բաշխումը, այսինքն. հավանականությունը, որ պատահական արժեք Բկվերցնի տարբեր իմաստներ կ, Որտեղ 0≤k≤n. Մետաղադրամի համար այս խնդիրը կարող է հնչել այսպես. ո՞րն է 100 նետումով 40 գլուխ ստանալու հավանականությունը:

Հաշվարկի մեթոդը հասկանալու համար եկեք պատկերացնենք, որ մետաղադրամը նետվում է ընդամենը 4 անգամ։ Կողմերից յուրաքանչյուրը կարող է ամեն անգամ դուրս ընկնել: Մենք ինքներս մեզ հարցնում ենք՝ 4 նետումից 2 գլուխ ստանալու հավանականությունը ո՞րն է։ Յուրաքանչյուր նետում անկախ է միմյանցից: Սա նշանակում է, որ ցանկացած համակցություն ստանալու հավանականությունը հավասար կլինի յուրաքանչյուր առանձին նետման համար տվյալ արդյունքի հավանականությունների արտադրյալին: Թող O-ն լինի գլուխ, իսկ P-ն՝ պոչ: Այնուհետև, օրինակ, մեզ հարմար համակցություններից մեկը կարող է նմանվել OOPP-ին, այսինքն.

Նման համակցության հավանականությունը հավասար է երկու գլուխ բարձրանալու հավանականության և ևս երկու գլուխ չբարձրանալու հավանականության արտադրյալին (հակադարձ իրադարձությունը հաշվարկվում է որպես 1-p), այսինքն. 0,5×0,5×(1-0,5)×(1-0,5)=0,0625։ Սա մեզ հարմար կոմբինացիաներից մեկի հավանականությունն է։ Բայց հարցը վերաբերում էր արծիվների ընդհանուր թվին, և ոչ թե որևէ կոնկրետ պատվերի։ Այնուհետև պետք է ավելացնել բոլոր համակցությունների հավանականությունները, որոնցում կա ուղիղ 2 արծիվ: Հասկանալի է, որ դրանք բոլորը նույնն են (գործոնների տեղերը փոխելուց ապրանքը չի փոխվում)։ Հետեւաբար, դուք պետք է հաշվարկեք դրանց թիվը, ապա բազմապատկեք ցանկացած նման համակցության հավանականությամբ: Եկեք հաշվենք 2 արծիվների 4 նետումների բոլոր համակցությունները՝ ՌՐՈՈ, ՌՈՐՈ, ՌՈՈՐ, ՕՐՐՈ, ՕՐՈՐ, ՕՐՐ։ Ընդամենը 6 տարբերակ.

Ուստի 4 նետումից հետո 2 գլուխ ստանալու ցանկալի հավանականությունը 6×0,0625=0,375 է։

Այնուամենայնիվ, այս կերպ հաշվելը հոգնեցուցիչ է։ Արդեն 10 մետաղադրամի համար շատ դժվար կլինի կոպիտ ուժով ստանալ տարբերակների ընդհանուր թիվը: Ահա թե ինչու խելացի մարդիկվաղուց հորինել է մի բանաձև, որը հաշվարկում է տարբեր համակցությունների քանակը nտարրեր ըստ կ, Որտեղ nտարրերի ընդհանուր քանակն է, կայն տարրերի քանակն է, որոնց դասավորության տարբերակները հաշվարկված են: -ի համակցման բանաձևը nտարրեր ըստ կէ:

Նմանատիպ բաներ տեղի են ունենում կոմբինատորիկայի բաժնում։ Բոլորին, ովքեր ցանկանում են բարելավել իրենց գիտելիքները, ուղարկում եմ այնտեղ։ Այստեղից, ի դեպ, երկանդամ բաշխման անվանումը (վերևի բանաձևը Նյուտոնի երկանդամի ընդլայնման գործակիցն է):

Հավանականության որոշման բանաձեւը հեշտությամբ կարելի է ընդհանրացնել ցանկացած թվի nԵվ կ. Արդյունքում երկանդամ բաշխման բանաձևը ունի հետևյալ ձևը.

Համապատասխան համակցությունների թիվը բազմապատկեք դրանցից մեկի հավանականությամբ:

Գործնական օգտագործման համար բավական է պարզապես իմանալ երկանդամ բաշխման բանաձեւը։ Եվ դուք կարող եք նույնիսկ չգիտեք. ստորև ներկայացված է, թե ինչպես կարելի է որոշել Excel-ի օգտագործման հավանականությունը: Բայց ավելի լավ է իմանալ.

Եկեք այս բանաձևով հաշվարկենք 100 նետում 40 գլուխ ստանալու հավանականությունը.

Կամ ընդամենը 1,08%: Համեմատության համար նշենք, որ այս փորձի մաթեմատիկական ակնկալիքի հավանականությունը, այսինքն՝ 50 գլուխ, 7,96% է։ Երկանդամ արժեքի առավելագույն հավանականությունը պատկանում է մաթեմատիկական ակնկալիքին համապատասխանող արժեքին։

Excel-ում երկանդամ բաշխման հավանականությունների հաշվարկ

Եթե ​​դուք օգտագործում եք միայն թուղթ և հաշվիչ, ապա երկանդամ բաշխման բանաձևով հաշվարկները, չնայած ինտեգրալների բացակայությանը, բավականին դժվար են։ Օրինակ, արժեքը 100! - ունի ավելի քան 150 նիշ: Նախկինում, և նույնիսկ հիմա, մոտավոր բանաձևեր էին օգտագործվում նման քանակությունները հաշվարկելու համար։ Այս պահին նպատակահարմար է օգտագործել հատուկ ծրագրեր, օրինակ՝ MS Excel: Այսպիսով, ցանկացած օգտատեր (նույնիսկ կրթությամբ հումանիստ) կարող է հեշտությամբ հաշվարկել երկանդամորեն բաշխված պատահական փոփոխականի արժեքի հավանականությունը։

Նյութը համախմբելու համար մենք առայժմ կօգտագործենք Excel-ը որպես սովորական հաշվիչ, այսինքն. Կատարենք քայլ առ քայլ հաշվարկ՝ օգտագործելով երկանդամ բաշխման բանաձևը։ Հաշվենք, օրինակ, 50 գլուխ ստանալու հավանականությունը։ Ստորև ներկայացված է նկար՝ հաշվարկի քայլերով և վերջնական արդյունքով։

Ինչպես տեսնում եք, միջանկյալ արդյունքներն այնպիսի մասշտաբի են, որ չեն տեղավորվում բջջի մեջ, թեև դրանք օգտագործվում են ամենուր. պարզ գործառույթներտեսակները` FACTOR (հաշվարկող գործոն), POWER (թիվը հասցնելով հզորության), ինչպես նաև բազմապատկման և բաժանման օպերատորներ: Ավելին, այս հաշվարկը բավականին ծանրաբեռնված է, ամեն դեպքում կոմպակտ չէ, քանի որ ներգրավված բազմաթիվ բջիջներ: Եվ այո, դժվար է դա պարզել:

Ընդհանուր առմամբ, Excel-ը տրամադրում է պատրաստի ֆունկցիա երկանդամ բաշխման հավանականությունների հաշվարկման համար։ Ֆունկցիան կոչվում է BINOM.DIST.

Հաջողությունների թիվը հաջող փորձարկումների թիվն է: Մենք ունենք դրանցից 50-ը:

Փորձարկումների քանակը - նետումների քանակը՝ 100 անգամ:

Հաջողության հավանականություն – մեկ նետումով գլուխներ ստանալու հավանականությունը 0,5 է:

Անբաժանելի - նշվում է կա՛մ 1, կա՛մ 0, եթե 0 է, ապա հաշվարկվում է հավանականությունը P(B=k); եթե 1, ապա հաշվարկվում է երկանդամ բաշխման ֆունկցիան, այսինքն. բոլոր հավանականությունների գումարը B=0նախքան B=kներառական։

Սեղմում ենք OK և ստանում ենք նույն արդյունքը, ինչ վերևում, միայն ամեն ինչ հաշվարկվել է մեկ գործառույթով։

Շատ հարմարավետ։ Փորձի համար վերջին 0 պարամետրի փոխարեն դնում ենք 1։ Ստանում ենք 0,5398։ Սա նշանակում է, որ 100 մետաղադրամ նետելու դեպքում 0-ից 50-ի միջև գլուխներ ստանալու հավանականությունը գրեթե 54% է: Եվ սկզբում թվում էր, որ այն պետք է լինի 50%: Ընդհանուր առմամբ, հաշվարկները կատարվում են հեշտությամբ և արագ։

Իսկական վերլուծաբանը պետք է հասկանա, թե ինչպես է իրեն պահում ֆունկցիան (ինչն է դրա բաշխումը), ուստի եկեք հաշվարկենք բոլոր արժեքների հավանականությունները 0-ից մինչև 100: Այսինքն՝ եկեք ինքներս մեզ հարցնենք. որ 1 արծիվ կընկնի՝ 2, 3, 50, 90 կամ 100։ Հաշվարկը ներկայացված է հետևյալ նկարում։ Կապույտ գիծը ինքնին երկանդամ բաշխումն է, կարմիր կետը՝ որոշակի թվով հաջողությունների հավանականություն k.

Կարելի է հարցնել՝ երկանդամ բաշխումը նման չէ՞... Այո, շատ նման է: Նույնիսկ Դե Մոիվրը (1733 թ.) ասաց, որ մեծ նմուշների դեպքում երկանդամ բաշխումը մոտենում է (չգիտեմ, թե ինչպես էր այն կոչվում), բայց ոչ ոք նրան չլսեց։ Միայն Գաուսը, իսկ հետո Լապլասը, 60-70 տարի անց, նորից հայտնաբերեցին և ուշադիր ուսումնասիրեցին նորմալ օրենքբաշխում. Վերևի գրաֆիկը հստակ ցույց է տալիս, որ առավելագույն հավանականությունը ընկնում է մաթեմատիկական ակնկալիքի վրա, և քանի որ այն շեղվում է դրանից, այն կտրուկ նվազում է։ Ինչպես սովորական օրենքը.

Երկանդամ բաշխումը մեծ գործնական նշանակություն ունի, այն բավականին հաճախ է հանդիպում։ Excel-ի միջոցով հաշվարկներն իրականացվում են հեշտությամբ և արագ։

Երկանդամ բաշխումը հավանականության ամենակարևոր բաշխումներից մեկն է դիսկրետ փոփոխվող պատահական փոփոխականի համար: Երկանդամ բաշխումը թվի հավանականության բաշխումն է միրադարձություն ԱՎ nփոխադարձ անկախ դիտարկումներ. Հաճախ իրադարձություն Ակոչվում է դիտարկման «հաջողություն», իսկ հակառակ իրադարձությունը՝ «ձախողում», սակայն այս նշանակումը խիստ պայմանական է։

Երկանդամ բաշխման պայմանները:

• իրականացվել է ընդհանուր առմամբ nդատավարությունները, որոնցում տեղի է ունեցել իրադարձություն Ակարող է առաջանալ կամ չլինել;
• իրադարձություն Ափորձարկումներից յուրաքանչյուրում կարող է տեղի ունենալ նույն հավանականությամբ էջ;
• թեստերը փոխադարձ անկախ են:

Հավանականությունը, որ ներս nթեստային միջոցառում Աճիշտ մանգամ, կարելի է հաշվարկել Բեռնուլիի բանաձևով.

Որտեղ էջ- իրադարձության առաջացման հավանականությունը Ա;

ք = 1 - էջհակառակ իրադարձության հավանականությունն է։

Եկեք պարզենք այն ինչու է երկանդամ բաշխումը կապված Բեռնուլիի բանաձևի հետ վերը նկարագրված ձևով . Իրադարձություն - հաջողությունների թիվը nթեստերը բաժանված են մի շարք տարբերակների, որոնցից յուրաքանչյուրում հաջողություն է ձեռք բերվում մփորձություններ, և ձախողումներ՝ ներս n - մթեստեր. Դիտարկենք այս տարբերակներից մեկը. Բ1 . Համաձայն հավանականությունների գումարման կանոնի՝ մենք բազմապատկում ենք հակառակ իրադարձությունների հավանականությունները.

,

իսկ եթե նշենք ք = 1 - էջ, Դա

.

Նույն հավանականությունը կունենա ցանկացած այլ տարբերակ, որում մհաջողություն և n - մձախողումներ. Նման տարբերակների թիվը հավասար է այն ուղիների քանակին, որոնցից դա հնարավոր է nթեստ ստանալ մհաջողություն.

Բոլորի հավանականությունների գումարը մմիջոցառման համարը Ա(թվերը 0-ից մինչև n) հավասար է մեկի.

որտեղ յուրաքանչյուր անդամ Նյուտոնի երկանդամի անդամ է: Հետևաբար, դիտարկվող բաշխումը կոչվում է երկանդամ բաշխում։

Գործնականում հաճախ անհրաժեշտ է լինում հավանականությունները հաշվարկել «առավելագույնը մհաջողություններ nթեստեր» կամ «առնվազն մհաջողություններ nթեստեր»: Դրա համար օգտագործվում են հետևյալ բանաձևերը.

Ինտեգրալ ֆունկցիան, այսինքն հավանականությունը Ֆ(մ) որ մեջ nդիտորդական միջոցառում Աայլևս չի գա մմեկ անգամ, կարելի է հաշվարկել բանաձևով.

Իր հերթին հավանականությունը Ֆ(≥մ) որ մեջ nդիտորդական միջոցառում Աարի գոնե մմեկ անգամ, հաշվարկվում է բանաձևով.

Երբեմն ավելի հարմար է հաշվարկել հավանականությունը, որ ին nդիտորդական միջոցառում Աայլևս չի գա մանգամ՝ հակառակ իրադարձության հավանականության միջոցով.

.

Բանաձևերից որն օգտագործել կախված է նրանից, թե դրանցից որն է ավելի քիչ տերմիններ պարունակում:

Երկանդամ բաշխման բնութագրերը հաշվարկվում են հետևյալ բանաձևերով .

Ակնկալվող արժեքը:

ցրվածություն:

Ստանդարտ շեղում.

Binomial բաշխում և հաշվարկներ MS Excel-ում

Binomial բաշխման հավանականություն Պ n ( մ) և ինտեգրալ ֆունկցիայի արժեքը Ֆ(մ) կարելի է հաշվարկել՝ օգտագործելով MS Excel BINOM.DIST ֆունկցիան: Համապատասխան հաշվարկի պատուհանը ներկայացված է ստորև (սեղմեք մկնիկի ձախ կոճակը՝ մեծացնելու համար):

MS Excel-ը պահանջում է մուտքագրել հետևյալ տվյալները.

• հաջողությունների քանակը;
• թեստերի քանակը;
• հաջողության հավանականությունը;
• ինտեգրալ - տրամաբանական արժեք՝ 0 - եթե Ձեզ անհրաժեշտ է հաշվարկել հավանականությունը Պ n ( մ) և 1 - եթե հավանականությունը Ֆ(մ).

Օրինակ 1Ընկերության մենեջերն ամփոփել է վերջին 100 օրվա ընթացքում վաճառված տեսախցիկների քանակի մասին տեղեկատվությունը։ Աղյուսակում ամփոփված է տեղեկատվությունը և հաշվարկվել է օրական որոշակի քանակությամբ տեսախցիկների վաճառքի հավանականությունը։

Օրն ավարտվում է շահույթով, եթե վաճառվի 13 կամ ավելի տեսախցիկ։ Հավանականությունը, որ օրը կմշակվի շահույթով.

Հավանականությունը, որ օրը կաշխատի առանց շահույթի.

Թող հավանականությունը, որ օրը մշակված է շահույթով, հաստատուն լինի և հավասար լինի 0,61-ի, իսկ օրական վաճառվող տեսախցիկների քանակը կախված չէ օրվանից։ Ապա դուք կարող եք օգտագործել երկանդամ բաշխումը, որտեղ իրադարձությունը Ա- օրը շահույթով կմշակվի, - առանց շահույթի.

Հավանականությունը, որ 6 օրվա ընթացքում բոլորը կմշակվեն շահույթով.

.

Մենք ստանում ենք նույն արդյունքը, օգտագործելով MS Excel գործառույթը BINOM.DIST (ինտեգրալ արժեքի արժեքը 0 է).

Պ 6 (6 ) = BINOM.DIST(6; 6; 0.61; 0) = 0.052:

Հավանականությունը, որ 6 օրից 4 և ավելի օրերը շահույթով կաշխատեն.

Որտեղ ,

,

Օգտագործելով MS Excel BINOM.DIST ֆունկցիան, մենք հաշվարկում ենք հավանականությունը, որ 6 օրից ոչ ավելի, քան 3 օրը կավարտվի շահույթով (ինտեգրալ արժեքի արժեքը 1 է).

Պ 6 (≤3 ) = BINOM.DIST(3, 6, 0.61, 1) = 0.435:

Հավանականությունը, որ 6 օրվա ընթացքում բոլորը կմշակվեն կորուստներով.

,

Մենք հաշվարկում ենք նույն ցուցանիշը, օգտագործելով MS Excel գործառույթը BINOM.DIST:

Պ 6 (0 ) = BINOM.DIST(0; 6; 0.61; 0) = 0.0035:

Ինքներդ լուծեք խնդիրը և հետո տեսեք լուծումը

Օրինակ 2Սուրը պարունակում է 2 սպիտակ և 3 սև գնդակ: Կաթսայից գնդիկ են հանում, գույնը դնում և հետ են դնում։ Փորձը կրկնվում է 5 անգամ։ Սպիտակ գնդիկների հայտնվելու թիվը դիսկրետ պատահական փոփոխական է X, բաշխված ըստ երկանդամ օրենքի։ Կազմե՛ք պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը: Որոշեք ռեժիմը, մաթեմատիկական ակնկալիքը և շեղումը:

Մենք շարունակում ենք միասին լուծել խնդիրները

Օրինակ 3Սուրհանդակային ծառայությունից գնացել են օբյեկտներ n= 5 առաքիչ: Յուրաքանչյուր առաքիչ՝ հավանականությամբ էջ= 0.3-ը ուշանում է օբյեկտի համար՝ անկախ մյուսներից: Դիսկրետ պատահական փոփոխական X- ուշ առաքիչների թիվը. Կառուցեք այս պատահական փոփոխականի բաշխման շարքը: Գտեք դրա մաթեմատիկական ակնկալիքը, շեղումը, ստանդարտ շեղումը: Գտեք հավանականությունը, որ առնվազն երկու առաքիչ ուշանա օբյեկտներից:

Հավանականության տեսությունն անտեսանելիորեն առկա է մեր կյանքում: Մենք դրան ուշադրություն չենք դարձնում, բայց մեր կյանքի յուրաքանչյուր իրադարձություն այս կամ այն ​​հավանականությունն ունի։ Հաշվի առնելով հնարավոր սցենարների հսկայական քանակը, մեզ համար անհրաժեշտ է դառնում որոշել դրանցից ամենահավանականն ու քիչ հավանականը։ Առավել հարմար է նման հավանականական տվյալները գրաֆիկորեն վերլուծել։ Բաշխումը կարող է մեզ օգնել այս հարցում: Binomial-ը ամենահեշտ և ճշգրիտներից մեկն է:

Նախքան ուղղակիորեն մաթեմատիկային և հավանականությունների տեսությանը անցնելը, եկեք պարզենք, թե ով է առաջինը եկել այս տեսակի բաշխման և ինչպիսի՞ն է այս հայեցակարգի համար մաթեմատիկական ապարատի զարգացման պատմությունը:

Պատմություն

Հավանականություն հասկացությունը հայտնի է եղել հին ժամանակներից։ Սակայն հին մաթեմատիկոսները դրան մեծ նշանակություն չէին տալիս եւ կարողացան միայն հիմքեր դնել մի տեսության, որը հետագայում դարձավ հավանականության տեսություն։ Նրանք ստեղծեցին մի քանի կոմբինատոր մեթոդներ, որոնք մեծապես օգնեցին նրանց, ովքեր հետագայում ստեղծեցին և զարգացրին հենց տեսությունը:

XVII դարի երկրորդ կեսին սկսվեց հավանականությունների տեսության հիմնական հասկացությունների և մեթոդների ձևավորումը։ Ներկայացվել են պատահական փոփոխականների սահմանումներ, պարզ և որոշ բարդ անկախ և կախյալ իրադարձությունների հավանականության հաշվարկման մեթոդներ։ Պատահական փոփոխականների և հավանականությունների նկատմամբ նման հետաքրքրությունը թելադրված էր մոլախաղով. յուրաքանչյուր մարդ ցանկանում էր իմանալ, թե որքա՞ն են շահելու իր հնարավորությունները:

Հաջորդ քայլը հավանականությունների տեսության մեջ մաթեմատիկական վերլուծության մեթոդների կիրառումն էր։ Նշանավոր մաթեմատիկոսներ, ինչպիսիք են Լապլասը, Գաուսը, Պուասսոնը և Բեռնուլին, զբաղվեցին այս գործով: Հենց նրանք էլ մաթեմատիկայի այս ոլորտը բարձրացրին նոր մակարդակի: Ջեյմս Բերնուլին էր, ով հայտնաբերեց երկանդամ բաշխման օրենքը: Ի դեպ, ինչպես հետագայում կիմանանք, այս հայտնագործության հիման վրա արվել են ևս մի քանիսը, որոնք հնարավորություն են տվել ստեղծել նորմալ բաշխման օրենքը և շատ ուրիշներ։

Այժմ, մինչ կսկսենք նկարագրել երկանդամ բաշխումը, մենք մի փոքր կթարմացնենք հավանականության տեսության հասկացությունները, որոնք հավանաբար արդեն մոռացվել են դպրոցի նստարանից:

Հավանականությունների տեսության հիմունքներ

Մենք կդիտարկենք այնպիսի համակարգեր, որոնց արդյունքում հնարավոր է միայն երկու արդյունք՝ «հաջողություն» և «ձախողում»։ Սա հեշտ է հասկանալ օրինակով. մենք մետաղադրամ ենք նետում՝ գուշակելով, որ պոչերը կընկնեն: Հնարավոր իրադարձություններից յուրաքանչյուրի հավանականությունը (պոչի անկում՝ «հաջողություն», գլուխների անկում՝ «ոչ հաջողություն») հավասար է 50 տոկոսի, եթե մետաղադրամը կատարյալ հավասարակշռված է, և չկան այլ գործոններ, որոնք կարող են ազդել փորձի վրա։

Դա ամենապարզ իրադարձությունն էր։ Բայց կան նաև բարդ համակարգեր, որոնցում կատարվում են հաջորդական գործողություններ, և այդ գործողությունների արդյունքների հավանականությունը կտարբերվի։ Օրինակ, հաշվի առեք հետևյալ համակարգը. վանդակում, որի պարունակությունը մենք չենք կարող տեսնել, կան վեց բացարձակապես նույնական գնդակներ, երեք զույգ կապույտ, կարմիր և սպիտակ գույներ: Մենք պետք է պատահականորեն մի քանի գնդակ ստանանք: Ըստ այդմ՝ նախ հանելով սպիտակ գնդերից մեկը՝ մի քանի անգամ կնվազեցնենք հավանականությունը, որ հաջորդը նույնպես սպիտակ գնդիկ կստանանք։ Դա տեղի է ունենում, քանի որ համակարգում օբյեկտների թիվը փոխվում է:

Հաջորդ բաժնում մենք կանդրադառնանք ավելի բարդ մաթեմատիկական հասկացություններին, որոնք մեզ մոտեցնում են, թե ինչ են նշանակում «նորմալ բաշխում», «երկանդամ բաշխում» և նման բառերը:

Մաթեմատիկական վիճակագրության տարրեր

Վիճակագրության մեջ, որը հավանականությունների տեսության կիրառման ոլորտներից է, կան բազմաթիվ օրինակներ, որտեղ վերլուծության համար տվյալները հստակ չեն տրվում։ Այսինքն՝ ոչ թե թվերով, այլ ըստ հատկանիշների բաժանման, օրինակ՝ ըստ սեռի։ Նման տվյալների վրա մաթեմատիկական ապարատ կիրառելու և ստացված արդյունքներից որոշ եզրակացություններ անելու համար անհրաժեշտ է նախնական տվյալները վերածել թվային ձևաչափի։ Որպես կանոն, դա իրականացնելու համար դրական արդյունքին տրվում է 1 արժեք, իսկ բացասականին տրվում է 0: Այսպիսով, մենք ստանում ենք վիճակագրական տվյալներ, որոնք կարող են վերլուծվել մաթեմատիկական մեթոդներով:

Հաջորդ քայլը հասկանալու համար, թե որն է պատահական փոփոխականի երկանդամ բաշխումը պատահական փոփոխականի շեղումը և մաթեմատիկական ակնկալիքը որոշելն է: Այս մասին կխոսենք հաջորդ բաժնում:

Ակնկալվող արժեքը

Իրականում հասկանալ, թե ինչ է մաթեմատիկական ակնկալիքը, դժվար չէ։ Դիտարկենք մի համակարգ, որտեղ կան բազմաթիվ տարբեր իրադարձություններ՝ իրենց տարբեր հավանականություններով: Մաթեմատիկական ակնկալիքը կկոչվի արժեք, որը հավասար է այս իրադարձությունների արժեքների արտադրյալների գումարին (մաթեմատիկական ձևով, որի մասին մենք խոսեցինք վերջին բաժնում) և դրանց առաջացման հավանականությանը:

Երկանդամ բաշխման մաթեմատիկական ակնկալիքը հաշվարկվում է նույն սխեմայով. վերցնում ենք պատահական փոփոխականի արժեքը, այն բազմապատկում ենք դրական արդյունքի հավանականությամբ, այնուհետև ամփոփում ենք ստացված տվյալները բոլոր փոփոխականների համար։ Շատ հարմար է այս տվյալները գրաֆիկորեն ներկայացնելը. այս կերպ ավելի լավ է ընկալվում տարբեր արժեքների մաթեմատիկական ակնկալիքների տարբերությունը:

Հաջորդ բաժնում մենք ձեզ մի փոքր կպատմենք մեկ այլ հայեցակարգի մասին՝ պատահական փոփոխականի շեղում: Այն նաև սերտորեն կապված է այնպիսի հայեցակարգի հետ, ինչպիսին է երկանդամ հավանականության բաշխումը, և հանդիսանում է դրա բնութագիրը:

Երկանդամ բաշխման շեղում

Այս արժեքը սերտորեն կապված է նախորդի հետ և բնութագրում է նաև վիճակագրական տվյալների բաշխումը: Այն ներկայացնում է արժեքների շեղումների միջին քառակուսին իրենց մաթեմատիկական ակնկալիքներից: Այսինքն՝ պատահական փոփոխականի շեղումը պատահական փոփոխականի արժեքի և նրա մաթեմատիկական ակնկալիքների քառակուսի տարբերությունների գումարն է՝ բազմապատկված այս իրադարձության հավանականությամբ։

Ընդհանուր առմամբ, սա այն ամենն է, ինչ մենք պետք է իմանանք շեղումների մասին, որպեսզի հասկանանք, թե որն է հավանականության երկանդամ բաշխումը: Հիմա անցնենք մեր բուն թեմային։ Մասնավորապես, թե ինչ է թաքնված «երկանդամ բաշխման օրենք» թվացող բավականին բարդ արտահայտության հետևում։

Երկանդամ բաշխում

Եկեք նախ հասկանանք, թե ինչու է այս բաշխումը երկանդամ: Այն գալիս է «բինոմ» բառից։ Դուք կարող եք լսել Նյուտոնի երկանդամության մասին. բանաձև, որը կարող է օգտագործվել ցանկացած երկու a և b թվերի գումարն ընդլայնելու համար մինչև n-ի ոչ բացասական ուժի:

Ինչպես հավանաբար արդեն կռահեցիք, Նյուտոնի երկանդամ բանաձևը և երկանդամ բաշխման բանաձևը գրեթե նույն բանաձևերն են: Միակ բացառությամբ, որ երկրորդն ունի կիրառական արժեք կոնկրետ մեծությունների համար, իսկ առաջինը միայն ընդհանուր մաթեմատիկական գործիք է, որի կիրառությունները գործնականում կարող են տարբեր լինել։

Բաշխման բանաձևեր

Երկանդամ բաշխման ֆունկցիան կարելի է գրել հետևյալ տերմինների գումարով.

(n՛/(n-k)՛k՛)*p k *q n-k

Այստեղ n-ը անկախ պատահական փորձերի թիվն է, p-ը հաջող ելքերի թիվն է, q-ն անհաջող արդյունքների թիվն է, k-ը փորձի թիվը (այն կարող է արժեքներ ընդունել 0-ից մինչև n): - գործակիցի նշանակում, թվի այնպիսի ֆունկցիա, որի արժեքը հավասար է դրան բարձրացող բոլոր թվերի արտադրյալին (օրինակ՝ 4 թվի համար՝ 4!=1*2*3*4= 24):

Բացի այդ, երկանդամ բաշխման ֆունկցիան կարող է գրվել որպես թերի բետա ֆունկցիա։ Սակայն սա արդեն ավելի բարդ սահմանում է, որն օգտագործվում է միայն բարդ վիճակագրական խնդիրներ լուծելիս։

Երկանդամ բաշխումը, որի օրինակները մենք ուսումնասիրեցինք վերևում, հավանականությունների տեսության մեջ բաշխումների ամենապարզ տեսակներից մեկն է։ Կա նաև նորմալ բաշխում, որը երկանդամ բաշխման տեսակ է։ Այն ամենից հաճախ օգտագործվողն է և ամենահեշտը հաշվարկելը: Կա նաև Բեռնուլիի բաշխում, Պուասոնի բաշխում, պայմանական բաշխում։ Դրանք բոլորը գրաֆիկորեն բնութագրում են որոշակի գործընթացի հավանականության տարածքները տարբեր պայմաններում:

Հաջորդ բաժնում մենք կքննարկենք այս մաթեմատիկական ապարատի կիրառման հետ կապված ասպեկտները իրական կյանք. Առաջին հայացքից, իհարկե, թվում է, թե սա ևս մեկ մաթեմատիկական բան է, որը, ինչպես միշտ, կիրառություն չի գտնում իրական կյանքում և ընդհանրապես ոչ մեկին պետք չէ, բացի հենց մաթեմատիկոսներից։ Սակայն դա այդպես չէ։ Ի վերջո, բոլոր տեսակի բաշխումները և դրանց գրաֆիկական ներկայացումները ստեղծվել են բացառապես դրա համար գործնական նպատակներ, և ոչ որպես գիտնականների քմահաճույք։

Դիմում

Բաշխման ամենակարևոր կիրառումը գտնվում է վիճակագրության մեջ, քանի որ դա պահանջում է համալիր վերլուծությունշատ տվյալներ. Ինչպես ցույց է տալիս պրակտիկան, շատ տվյալների զանգվածներ ունեն արժեքների մոտավորապես նույն բաշխումը. շատ ցածր և շատ բարձր արժեքների կրիտիկական շրջանները, որպես կանոն, պարունակում են ավելի քիչ տարրեր, քան միջին արժեքները:

Տվյալների մեծ զանգվածների վերլուծությունը պահանջվում է ոչ միայն վիճակագրության մեջ: Դա անփոխարինելի է, օրինակ, ֆիզիկական քիմիայում։ Այս գիտության մեջ այն օգտագործվում է բազմաթիվ մեծություններ որոշելու համար, որոնք կապված են ատոմների և մոլեկուլների պատահական թրթռումների և շարժումների հետ։

Հաջորդ բաժնում մենք կքննարկենք, թե որքան կարևոր է այդպիսին օգտագործելը վիճակագրական հասկացություններ, որպես երկանդամ պատահական փոփոխականի բաշխում Առօրյա կյանքքո և ինձ համար:

Ինչո՞ւ է դա ինձ պետք:

Շատերն իրենց այս հարցն են տալիս, երբ խոսքը մաթեմատիկայի մասին է: Եվ, ի դեպ, մաթեմատիկան իզուր չէ, որ կոչվում է գիտությունների թագուհի։ Դա ֆիզիկայի, քիմիայի, կենսաբանության, տնտեսագիտության հիմքն է, և այս գիտություններից յուրաքանչյուրում կիրառվում է նաև ինչ-որ բաշխում՝ դիսկրետ երկանդամ բաշխում, թե նորմալ, նշանակություն չունի։ Եվ եթե ուշադիր նայենք մեզ շրջապատող աշխարհին, ապա կտեսնենք, որ մաթեմատիկան օգտագործվում է ամենուր՝ առօրյա կյանքում, աշխատանքում, և նույնիսկ մարդկային հարաբերությունները կարելի է ներկայացնել վիճակագրական տվյալների տեսքով և վերլուծել (սա, ի դեպ. , կատարվում է նրանց կողմից, ովքեր աշխատում են տեղեկատվության հավաքագրմամբ զբաղվող հատուկ կազմակերպություններում):

Հիմա եկեք մի փոքր խոսենք այն մասին, թե ինչ անել, եթե ձեզ հարկավոր է շատ ավելին իմանալ այս թեմայի վերաբերյալ, քան այն, ինչ մենք նախանշել ենք այս հոդվածում:

Տեղեկությունը, որը մենք տվել ենք այս հոդվածում, հեռու է ամբողջական լինելուց: Կան բազմաթիվ նրբերանգներ, թե ինչ ձև կարող է ունենալ բաշխումը: Երկանդամ բաշխումը, ինչպես արդեն պարզել ենք, այն հիմնական տեսակներից է, որի վրա ամբողջ մաթեմատիկական վիճակագրությունև հավանականությունների տեսությունը։

Եթե ​​դուք հետաքրքրվեք, կամ ձեր աշխատանքի հետ կապված, պետք է շատ ավելին իմանաք այս թեմայով, պետք է ուսումնասիրեք մասնագիտացված գրականություն։ Սկսեք համալսարանական դասընթացից մաթեմատիկական վերլուծությունև այնտեղ հասնել հավանականությունների տեսության բաժին: Նաև սերիաների ոլորտում գիտելիքները օգտակար կլինեն, քանի որ երկանդամ հավանականության բաշխումը ոչ այլ ինչ է, քան հաջորդական տերմինների շարք:

Եզրակացություն

Հոդվածն ավարտելուց առաջ կցանկանայինք պատմել ևս մեկ հետաքրքիր բան. Դա ուղղակիորեն վերաբերում է մեր հոդվածի թեմային և ընդհանրապես բոլոր մաթեմատիկային։

Շատերն ասում են, որ մաթեմատիկան անօգուտ գիտություն է, և դպրոցում սովորած ոչինչ իրենց օգտակար չի եղել։ Բայց գիտելիքը երբեք ավելորդ չէ, և եթե կյանքում ինչ-որ բան ձեզ օգտակար չէ, նշանակում է, որ դուք պարզապես չեք հիշում այն։ Եթե ​​ունես գիտելիք, նրանք կարող են օգնել քեզ, իսկ եթե չունես, ապա նրանցից օգնություն ակնկալել չես կարող։

Այսպիսով, մենք ուսումնասիրեցինք երկանդամ բաշխման հայեցակարգը և դրա հետ կապված բոլոր սահմանումները և խոսեցինք այն մասին, թե ինչպես է այն կիրառվում մեր կյանքում:

Անշուշտ, կուտակային բաշխման ֆունկցիան հաշվարկելիս պետք է օգտագործել նշված կապը երկանդամ և բետա բաշխումների միջև։ Այս մեթոդը, իհարկե, ավելի լավ է, քան ուղղակի գումարումը, երբ n > 10:

Վիճակագրության դասական դասագրքերում, երկանդամ բաշխման արժեքները ստանալու համար, հաճախ խորհուրդ է տրվում օգտագործել սահմանային թեորեմների վրա հիմնված բանաձևեր (օրինակ՝ Moivre-Laplace բանաձևը): Հարկ է նշել, որ զուտ հաշվողական տեսանկյունիցԱյս թեորեմների արժեքը մոտ է զրոյին, հատկապես հիմա, երբ գրեթե յուրաքանչյուր սեղանի վրա կա հզոր համակարգիչ։ Վերոնշյալ մոտարկումների հիմնական թերությունը նրանց լիովին անբավարար ճշգրտությունն է շատ ծրագրերի համար բնորոշ n արժեքների համար: Ոչ պակաս թերությունը այս կամ այն ​​մոտարկման կիրառելիության վերաբերյալ որևէ հստակ առաջարկությունների բացակայությունն է (ստանդարտ տեքստերում տրված են միայն ասիմպտոտիկ ձևակերպումներ, դրանք չեն ուղեկցվում ճշգրտության գնահատականներով և, հետևաբար, քիչ օգուտ են բերում): Ես կասեի, որ երկու բանաձեւերն էլ վավեր են միայն n-ի համար< 200 и для совсем грубых, ориентировочных расчетов, причем делаемых “вручную” с помощью статистических таблиц. А вот связь между биномиальным распределением и бета-распределением позволяет вычислять биномиальное распределение достаточно экономно.

Ես այստեղ քանակներ գտնելու խնդիրը չեմ համարում. դիսկրետ բաշխումների համար դա տրիվիալ է, իսկ այն խնդիրներում, որտեղ նման բաշխումներ են առաջանում, դա, որպես կանոն, տեղին չէ։ Եթե ​​դեռևս քվանտիլներ են անհրաժեշտ, խորհուրդ եմ տալիս վերակազմավորել խնդիրը այնպես, որ աշխատի p-արժեքների հետ (դիտված նշանակություններ): Ահա մի օրինակ. որոշ թվարկման ալգորիթմներ իրականացնելիս յուրաքանչյուր քայլում պահանջվում է ստուգել վիճակագրական վարկածը երկանդամ պատահական փոփոխականի վերաբերյալ։ Դասական մոտեցման համաձայն՝ յուրաքանչյուր քայլում անհրաժեշտ է հաշվարկել չափանիշի վիճակագրությունը և համեմատել դրա արժեքը կրիտիկական բազմության սահմանի հետ։ Այնուամենայնիվ, քանի որ ալգորիթմը թվային է, անհրաժեշտ է ամեն անգամ նորովի որոշել կրիտիկական հավաքածուի սահմանը (ի վերջո, ընտրանքի չափը փոխվում է քայլ առ քայլ), ինչը անարդյունավետորեն մեծացնում է ժամանակի ծախսերը: Ժամանակակից մոտեցումը խորհուրդ է տալիս հաշվարկել դիտարկվող նշանակությունը և համեմատել այն վստահության հավանականության հետ՝ խնայելով քվանտիլների որոնումը։

Հետևաբար, հետևյալ կոդերը չեն հաշվարկում հակադարձ ֆունկցիան, փոխարենը տրված է rev_binomialDF ֆունկցիան, որը հաշվարկում է հաջողության p հավանականությունը մեկ փորձության ժամանակ՝ հաշվի առնելով n փորձարկումները, դրանցում հաջողությունների m թիվը և y արժեքը: այս մ հաջողությունների հասնելու հավանականության մասին: Սա օգտագործում է վերոհիշյալ հարաբերությունները երկանդամ և բետա բաշխումների միջև:

Փաստորեն, այս ֆունկցիան թույլ է տալիս ստանալ վստահության միջակայքերի սահմանները: Իսկապես, ենթադրենք, որ մենք ստանում ենք m հաջողություններ n երկանդամ փորձարկումներում: Ինչպես գիտեք, ձախ եզրագիծը երկկողմանի վստահության միջակայքըվստահության մակարդակ ունեցող p պարամետրի համար 0 է, եթե m = 0, իսկ համարը հավասարման լուծումն է. . Նմանապես, աջ սահմանը 1 է, եթե m = n, և for-ը հավասարման լուծում է . Սա ենթադրում է, որ ձախ սահմանը գտնելու համար մենք պետք է լուծենք հավասարումը , իսկ ճիշտը փնտրելու համար՝ հավասարումը . Դրանք լուծվում են binom_leftCI և binom_rightCI ֆունկցիաներում, որոնք վերադարձնում են համապատասխանաբար երկկողմանի վստահության միջակայքի վերին և ստորին սահմանները։

Ուզում եմ նշել, որ եթե բացարձակապես անհավանական ճշգրտություն պետք չէ, ապա բավականաչափ մեծ n-ի համար կարող եք օգտագործել հետևյալ մոտարկումը [B.L. վան դեր Վաերդեն, Մաթեմատիկական վիճակագրություն. Մ՝ ԻԼ, 1960, Չ. 2, վրկ. 7]: , որտեղ g-ը նորմալ բաշխման քվենտիլն է։ Այս մոտարկման արժեքն այն է, որ կան շատ պարզ մոտարկումներ, որոնք թույլ են տալիս հաշվարկել նորմալ բաշխման քվանտիլները (տե՛ս նորմալ բաշխման հաշվարկման տեքստը և այս հղումի համապատասխան բաժինը): Իմ պրակտիկայում (հիմնականում n > 100-ի համար) այս մոտարկումը տալիս էր մոտ 3-4 նիշ, որը, որպես կանոն, միանգամայն բավարար է։

Հետևյալ կոդերով հաշվարկները պահանջում են betaDF.h , betaDF.cpp ֆայլերը (տես բետա բաշխման բաժինը), ինչպես նաև logGamma.h , logGamma.cpp (տես Հավելված Ա): Կարող եք նաև տեսնել գործառույթների օգտագործման օրինակ:

binomialDF.h ֆայլ

#ifndef __BINOMIAL_H__ #include "betaDF.h" double binomialDF (կրկնակի փորձարկումներ, կրկնակի հաջողություններ, կրկնակի p); /* * Թող լինեն անկախ դիտարկումների «փորձություններ» * յուրաքանչյուրում հաջողության «p» հավանականությամբ։ * Հաշվեք հավանականությունը B(հաջողություններ|փորձարկումներ,p), որ * հաջողությունների թիվը գտնվում է 0-ի և «հաջողությունների» միջև (ներառյալ): */ double rev_binomialDF (կրկնակի փորձարկումներ, կրկնակի հաջողություններ, կրկնակի y); /* * Թող առնվազն m հաջողության * y հավանականությունը հայտնի լինի Բեռնուլիի սխեմայի փորձարկումներում: Ֆունկցիան գտնում է p * հաջողության հավանականությունը մեկ փորձարկման ժամանակ: * * Հաշվարկներում օգտագործվում է հետևյալ կապը * * 1 - p = rev_Beta(փորձարկումներ-հաջողություններ| հաջողություններ+1, y): */ double binom_leftCI (կրկնակի փորձարկումներ, կրկնակի հաջողություններ, կրկնակի մակարդակ); /* Թող լինեն անկախ դիտարկումների «փորձություններ» * յուրաքանչյուր *ում հաջողության «p» հավանականությամբ, իսկ հաջողությունների թիվը «հաջողություններ» է։ * Երկկողմանի վստահության միջակայքի ձախ սահմանը * հաշվարկվում է նշանակության մակարդակի մակարդակով: */ double binom_rightCI (կրկնակի n, կրկնակի հաջողություններ, կրկնակի մակարդակ); /* Թող լինեն անկախ դիտարկումների «փորձություններ» * յուրաքանչյուր *ում հաջողության «p» հավանականությամբ, իսկ հաջողությունների թիվը «հաջողություններ» է։ * Երկկողմանի վստահության միջակայքի * աջ սահմանը հաշվարկվում է նշանակության մակարդակի մակարդակով: */ #endif /* Ավարտվում է #ifndef __BINOMIAL_H__ */

binomialDF.cpp ֆայլ

/************************************************ **** **********/ /* Երկանդամ բաշխում */ /**************************** **** ****************************/ #ներառել #ներառում #include "betaDF.h" ENTRY double binomialDF(double n, double m, double p) /* * Թող լինեն «n» անկախ դիտարկումներ * յուրաքանչյուրում հաջողության «p» հավանականությամբ։ * Հաշվե՛ք B(m|n,p) հավանականությունը, որ հաջողությունների թիվը * է 0-ի և «m»-ի միջև (ներառյալ), այսինքն. * 0-ից մինչև մ երկանդամ հավանականությունների գումարը՝ * * m * -- (n) j n-j * > () p (1-p) * -- (j) * j=0 * * Հաշվարկները չեն ենթադրում համր գումարում. * օգտագործվում է կենտրոնական բետա բաշխման հետ հետևյալ կապը. * * B(m|n,p) = Beta(1-p|n-m,m+1): * * Փաստարկները պետք է լինեն դրական՝ 0-ով<= p <= 1. */ { assert((n >0) && (p >= 0) && (էջ<= 1)); if (m < 0) return 0; else if (m == 0) return pow(1-p, n); else if (m >= n) վերադարձ 1; else return BetaDF(n-m, m+1).value(1-p); )/* binomialDF */ ENTRY double rev_binomialDF(double n, double m, double y) /* * Թող առնվազն m հաջողությունների y հավանականությունը * հայտնի լինի Բեռնուլիի սխեմայի n փորձարկումներում։ Ֆունկցիան գտնում է p * հաջողության հավանականությունը մեկ փորձարկման ժամանակ: * * Հաշվարկներում օգտագործվում է հետևյալ կապը * * 1 - p = rev_Beta(y|n-m,m+1). */ ( պնդում ((n > 0) && (m >= 0) && (m<= n) && (y >= 0) && (y<= 1)); return 1-BetaDF(n-m, m+1).inv(y); }/*rev_binomialDF*/ ENTRY double binom_leftCI(double n, double m, double y) /* Пусть имеется "n" независимых наблюдений * с вероятностью "p" успеха в каждом * и количество успехов равно "m". * Вычисляется левая граница двухстороннего доверительного интервала * с уровнем значимости y. */ { assert((n >0) && (m >= 0) && (մ<= n) && (y >= 0.5) && (y< 1)); return BetaDF(m, n-m+1).inv((1-y)/2); }/*binom_leftCI*/ ENTRY double binom_rightCI(double n, double m, double y) /* Пусть имеется "n" независимых наблюдений * с вероятностью "p" успеха в каждом * и количество успехов равно "m". * Вычисляется правая граница доверительного интервала * с уровнем значимости y. */ { assert((n >0) && (m >= 0) && (մ<= n) && (y >= 0.5) && (y< 1)); return BetaDF(m+1, n-m).inv((1+y)/2); }/*binom_rightCI*/

Բարեւ Ձեզ! Մենք արդեն գիտենք, թե ինչ է հավանականության բաշխումը: Այն կարող է լինել դիսկրետ կամ շարունակական, և մենք իմացանք, որ այն կոչվում է հավանականության խտության բաշխում: Այժմ եկեք ուսումնասիրենք մի քանի ավելի տարածված բաշխումներ: Ենթադրենք, ես ունեմ մետաղադրամ և ճիշտ մետաղադրամ, և ես պատրաստվում եմ այն ​​շրջել 5 անգամ: Կսահմանեմ նաև X պատահական փոփոխական, կնշեմ X մեծատառով, այն հավասար կլինի «արծիվների» թվին 5 նետումով։ Երևի 5 մետաղադրամ ունեմ, բոլորը միանգամից կնետեմ ու հաշվեմ, թե քանի գլուխ եմ ստացել։ Կամ ես կարող էի ունենալ մեկ մետաղադրամ, կարող էի պտտել այն 5 անգամ և հաշվել, թե քանի անգամ եմ գլուխներ ստացել: Դա իրականում նշանակություն չունի: Բայց ասենք, ես ունեմ մեկ մետաղադրամ և պտտում եմ այն ​​5 անգամ: Այդ դեպքում մենք անորոշություն չենք ունենա։ Այսպիսով, ահա իմ պատահական փոփոխականի սահմանումը: Ինչպես գիտենք, պատահական փոփոխականը մի փոքր տարբերվում է սովորական փոփոխականից, այն ավելի շատ ֆունկցիայի է նման։ Այն որոշակի արժեք է տալիս փորձին: Եվ այս պատահական փոփոխականը բավականին պարզ է: Մենք պարզապես հաշվում ենք, թե քանի անգամ է «արծիվը» ընկել 5 նետումից հետո, սա մեր պատահական X փոփոխականն է: Եկեք մտածենք, թե ինչպիսի՞ն կարող են լինել տարբեր արժեքների հավանականությունը մեր դեպքում: Այսպիսով, որքա՞ն է հավանականությունը, որ X-ը (խոշոր X) 0 է: Նրանք. Որքա՞ն է հավանականությունը, որ 5 նետումից հետո այն երբեք գլխիվայր չի գա: Դե, սա, ըստ էության, նույնն է, ինչ ինչ-որ «պոչեր» ստանալու հավանականությունը (ճիշտ է, հավանականությունների տեսության փոքրիկ ակնարկ): Դուք պետք է ստանաք որոշ «պոչեր»: Որքա՞ն է այս «պոչից» յուրաքանչյուրի հավանականությունը։ Սա 1/2 է: Նրանք. այն պետք է լինի 1/2 անգամ 1/2, 1/2, 1/2 և կրկին 1/2: Նրանք. (1/2)5. 15=1, բաժանել 25-ի, այսինքն. ժամը 32. Միանգամայն տրամաբանական. Ուրեմն... մի քիչ էլ կրկնեմ, թե ինչի միջով անցանք հավանականության տեսության վրա։ Սա կարևոր է, որպեսզի հասկանանք, թե ուր ենք մենք այժմ շարժվում և իրականում ինչպես ենք դիսկրետ բաշխում հավանականությունները։ Այսպիսով, ո՞րն է հավանականությունը, որ մենք հենց մեկ անգամ գլուխներ ենք ստանում: Դե, հնարավոր է, որ գլուխները բարձրանան առաջին նետումից: Նրանք. դա կարող է լինել այսպես՝ «արծիվ», «պոչ», «պոչ», «պոչ», «պոչ»։ Կամ գլուխները կարող են բարձրանալ երկրորդ նետման ժամանակ: Նրանք. կարող է լինել այդպիսի համադրություն՝ «պոչեր», «գլուխներ», «պոչեր», «պոչեր», «պոչեր» և այլն։ Մեկ «արծիվ» կարող էր դուրս ընկնել 5 նետումներից ցանկացածից հետո: Ո՞րն է այս իրավիճակներից յուրաքանչյուրի հավանականությունը: Գլուխներ ստանալու հավանականությունը 1/2 է։ Այնուհետեւ «պոչեր» ստանալու հավանականությունը, որը հավասար է 1/2-ի, բազմապատկվում է 1/2-ով, 1/2-ով, 1/2-ով։ Նրանք. Այս իրավիճակներից յուրաքանչյուրի հավանականությունը 1/32 է: Ինչպես նաև այնպիսի իրավիճակի հավանականությունը, որտեղ X=0: Փաստորեն, գլխի և պոչերի որևէ հատուկ կարգի հավանականությունը կլինի 1/32: Այսպիսով, դրա հավանականությունը 1/32 է: Իսկ սրա հավանականությունը 1/32 է։ Եվ նման իրավիճակներ տեղի են ունենում, քանի որ «արծիվը» կարող է ընկնել 5 նետումներից որևէ մեկի վրա: Հետևաբար, հավանականությունը, որ հենց մեկ «արծիվ» դուրս կգա, հավասար է 5 * 1/32-ի, այսինքն. 5/32. Միանգամայն տրամաբանական. Հիմա սկսվում է հետաքրքիրը. Ո՞րն է հավանականությունը… (օրինակներից յուրաքանչյուրը կգրեմ տարբեր գույներով)… Որքա՞ն է հավանականությունը, որ իմ պատահական փոփոխականը լինի 2: Նրանք. Մետաղադրամը 5 անգամ կնետեմ, և որքա՞ն է հավանականությունը, որ այն կնվազի ուղիղ 2 անգամ: Սա ավելի հետաքրքիր է, չէ՞: Ինչ համակցություններ են հնարավոր: Դա կարող է լինել գլուխներ, գլուխներ, պոչեր, պոչեր, պոչեր: Դա կարող է լինել նաև գլուխներ, պոչեր, գլուխներ, պոչեր, պոչեր: Իսկ եթե կարծում եք, որ այս երկու «արծիվները» կարող են կանգնել համակցության տարբեր տեղերում, ապա կարող եք մի փոքր շփոթվել։ Դուք այլևս չեք կարող մտածել տեղաբաշխումների մասին այնպես, ինչպես մենք արեցինք այստեղ վերևում: Չնայած ... կարող եք, դուք միայն վտանգում եք շփոթվել: Դուք պետք է հասկանաք մի բան. Այս համակցություններից յուրաքանչյուրի համար հավանականությունը 1/32 է: ½*½*½*½*½. Նրանք. Այս համակցություններից յուրաքանչյուրի հավանականությունը 1/32 է: Եվ պետք է մտածել, թե քանի՞ նման համակցություններ կան, որոնք բավարարում են մեր պայմանը (2 «արծիվ»)։ Նրանք. իրականում պետք է պատկերացնել, որ կա 5 մետաղադրամի նետում, և պետք է ընտրել դրանցից 2-ը, որոնցում «արծիվն» ընկնում է: Եկեք ձևացնենք, որ մեր 5 նետերը շրջանագծի մեջ են, նաև պատկերացրեք, որ մենք ունենք ընդամենը երկու աթոռ: Եվ մենք ասում ենք. «Լավ, ձեզնից ո՞վ է նստելու Արծիվների համար այս աթոռներին: Նրանք. ձեզնից ո՞ր մեկն է լինելու «արծիվը»: Իսկ թե ինչ հերթականությամբ են նստում, մեզ չի հետաքրքրում։ Նման օրինակ եմ բերում՝ հուսալով, որ ձեզ համար ավելի պարզ կլինի։ Եվ դուք կարող եք դիտել այս թեմայի վերաբերյալ հավանականության տեսության որոշ ձեռնարկներ, երբ ես խոսում եմ Նյուտոնի երկանդամության մասին: Որովհետև այնտեղ ավելի մանրամասն կխորանամ այս ամենի մեջ։ Բայց եթե այսպես տրամաբանեք, կհասկանաք, թե ինչ է երկանդամ գործակիցը։ Որովհետև եթե դուք այսպես մտածեք. Լավ, ես ունեմ 5 նետում, ո՞ր նետը կհասցնի առաջին գլուխները: Դե, ահա 5 հնարավորություն, որոնց շրջադարձը կհանգեցնի առաջին գլուխներին: Իսկ քանի՞ հնարավորություն երկրորդ «արծվի» համար։ Դե, առաջին նետումը, որը մենք արդեն օգտագործել ենք, խլեց գլխի մեկ հնարավորությունը: Նրանք. Գլխի մեկ դիրքը կոմբոյում արդեն զբաղեցնում է նետերից մեկը: Այժմ մնացել է 4 նետում, ինչը նշանակում է, որ երկրորդ «արծիվը» կարող է ընկնել 4 նետումներից մեկի վրա։ Եվ դուք տեսաք դա հենց այստեղ: Ես ընտրեցի գլուխներ ունենալ 1-ին նետումի վրա և ենթադրեցի, որ մնացած 4 նետումներից 1-ում գլուխները նույնպես պետք է բարձրանան: Այսպիսով, այստեղ կա ընդամենը 4 հնարավորություն: Ես միայն ասում եմ, որ առաջին գլխի համար դուք ունեք 5 տարբեր դիրքեր, որոնց վրա կարող է վայրէջք կատարել: Իսկ երկրորդի համար մնացել է ընդամենը 4 դիրք։ Մտածիր այդ մասին. Երբ մենք այսպես հաշվում ենք, կարգը հաշվի է առնվում։ Բայց մեզ համար հիմա նշանակություն չունի, թե ինչ հերթականությամբ են ընկնում «գլուխներն» ու «պոչերը»։ Մենք չենք ասում, որ դա «արծիվ 1» է կամ «արծիվ 2»: Երկու դեպքում էլ պարզապես «արծիվ» է։ Կարելի է ենթադրել, որ սա գլուխ 1 է և սա գլուխ 2: Կամ կարող է լինել հակառակը՝ դա կարող է լինել երկրորդ «արծիվը», իսկ սա «առաջինն է»։ Եվ ես սա ասում եմ, քանի որ կարևոր է հասկանալ, թե որտեղ օգտագործել տեղաբաշխումները և որտեղ օգտագործել համակցությունները: Մեզ չի հետաքրքրում հաջորդականությունը։ Այսպիսով, իրականում մեր իրադարձության ծագման 2 եղանակ կա. Այսպիսով, եկեք բաժանենք 2-ի: Եվ ինչպես կտեսնեք ավելի ուշ, դա 2 է: մեր իրադարձության ծագման ուղիները. Եթե ​​լիներ 3 գլուխ, ապա կլիներ 3, և ես ձեզ ցույց կտամ, թե ինչու: Այսպիսով, դա կլինի... 5*4=20-ը բաժանված է 2-ի, 10 է: Այսպիսով, կան 10 տարբեր համակցություններ 32-ից, որտեղ դուք անպայման կունենաք 2 գլուխ: Այսպիսով, 10*(1/32) հավասար է 10/32-ի, ինչի՞ն է դա հավասար: 5/16. Կգրեմ երկանդամ գործակցի միջոցով. Սա արժեքն է հենց այստեղ՝ վերևում: Եթե ​​մտածեք դրա մասին, սա նույնն է, ինչ 5՜-ը բաժանված է ... Ի՞նչ է նշանակում այս 5 * 4-ը: 5! 5*4*3*2*1 է։ Նրանք. եթե ինձ այստեղ անհրաժեշտ է միայն 5 * 4, ապա դրա համար ես կարող եմ բաժանել 5: 3-ի համար Սա հավասար է 5*4*3*2*1 բաժանված 3*2*1-ի: Եվ մնում է միայն 5 * 4: Այսպիսով, դա նույնն է, ինչ այս համարիչը: Եվ հետո, քանի որ Մեզ չի հետաքրքրում հաջորդականությունը, մեզ այստեղ անհրաժեշտ է 2։ Փաստորեն՝ 2։ Բազմապատկել 1/32-ով: Սա կլիներ այն հավանականությունը, որ մենք կխփեինք ուղիղ 2 գլուխ։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ մենք ուղիղ 3 անգամ գլուխներ կստանանք։ Նրանք. հավանականությունը, որ x=3. Այսպիսով, նույն տրամաբանությամբ, գլուխների առաջին հայտնվելը կարող է տեղի ունենալ 5 շրջադարձից 1-ում: Գլխի երկրորդ առաջացումը կարող է տեղի ունենալ մնացած 4 նետումներից 1-ում: Եվ գլխի երրորդ դեպքը կարող է տեղի ունենալ մնացած 3 նետումներից 1-ում: Քանի՞ տարբեր եղանակներ կան 3 նետում կազմակերպելու համար: Ընդհանուր առմամբ, քանի՞ տարբերակ կա 3 օբյեկտ իրենց տեղերում դասավորելու համար: 3-ն է։ Եվ դուք կարող եք դա պարզել, կամ գուցե ցանկանաք կրկին այցելել ձեռնարկները, որտեղ ես ավելի մանրամասն բացատրեցի այն: Բայց եթե վերցնեք A, B և C տառերը, օրինակ, ապա կան 6 եղանակներ, որոնցով կարող եք դասավորել դրանք: Դուք կարող եք դրանք պատկերացնել որպես վերնագրեր: Այստեղ կարող է լինել ACB, CAB: Կարող է լինել BAC, BCA և... Ո՞րն է վերջին տարբերակը, որը ես չեմ նշել: ԿԲ. 3 տարբեր իրեր դասավորելու 6 եղանակ կա։ Մենք բաժանում ենք 6-ի, քանի որ չենք ուզում վերահաշվել այդ 6-ը տարբեր ճանապարհներքանի որ մենք նրանց վերաբերվում ենք որպես համարժեք: Այստեղ մեզ չի հետաքրքրում, թե ինչ քանակի գցումներ կհանգեցնեն գլուխների։ 5*4*3… Սա կարելի է վերաշարադրել որպես 5՛/2՛: Եվ բաժանեք այն ևս 3-ի: Ահա թե ինչ է նա։ 3! հավասար է 3*2*1: Եռյակը փոքրանում է։ Սա դառնում է 2. Սա դառնում է 1. Կրկին, 5*2, i.e. 10 է: Յուրաքանչյուր իրավիճակ ունի 1/32 հավանականություն, ուստի սա կրկին 5/16 է: Եվ դա հետաքրքիր է: 3 գլուխ ստանալու հավանականությունը նույնն է, ինչ 2 գլուխ ստանալու հավանականությունը: Իսկ դրա պատճառը... Դե, պատճառները շատ են, թե ինչու է դա եղել։ Բայց եթե մտածեք դրա մասին, ապա 3 գլուխ ստանալու հավանականությունը նույնն է, ինչ 2 պոչ ստանալու հավանականությունը։ Իսկ 3 պոչ ստանալու հավանականությունը պետք է լինի նույնը, ինչ 2 գլուխ ստանալու հավանականությունը։ Եվ լավ է, որ արժեքներն այսպես են գործում։ Լավ: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ X=4: Մենք կարող ենք օգտագործել նույն բանաձևը, որը նախկինում օգտագործում էինք։ Այն կարող է լինել 5*4*3*2: Այսպիսով, այստեղ մենք գրում ենք 5 * 4 * 3 * 2 ... Քանի՞ տարբեր եղանակներ կան 4 առարկա դասավորելու համար: 4-ն է։ 4! - Սա, փաստորեն, այս հատվածն է, հենց այստեղ: Սա 4*3*2*1 է։ Այսպիսով, սա չեղարկվում է, թողնելով 5: Այնուհետև յուրաքանչյուր համակցություն ունի 1/32 հավանականություն: Նրանք. սա հավասար է 5/32-ի: Կրկին նշեք, որ 4 անգամ գլուխներ ստանալու հավանականությունը հավասար է 1 անգամ բարձրանալու հավանականությանը: Եվ սա իմաստ ունի, քանի որ. 4 գլուխը նույնն է, ինչ 1 պոչը։ Կասեք՝ լավ, իսկ էս մի «պոչը» ի՞նչ գցելու ժամանակ է թափվելու։ Այո, դրա համար կան 5 տարբեր համակցություններ: Իսկ դրանցից յուրաքանչյուրի հավանականությունը 1/32 է։ Եվ վերջապես, որքա՞ն է հավանականությունը, որ X=5. Նրանք. ղեկավարում է 5 անգամ անընդմեջ: Այն պետք է լինի այսպես՝ «արծիվ», «արծիվ», «արծիվ», «արծիվ», «արծիվ»։ Գլուխներից յուրաքանչյուրն ունի 1/2 հավանականություն։ Դուք բազմապատկում եք դրանք և ստանում 1/32: Դուք կարող եք գնալ այլ ճանապարհով: Եթե ​​կան 32 եղանակներ, որոնցով դուք կարող եք գլուխներ և պոչեր ձեռք բերել այս փորձերում, ապա սա դրանցից մեկն է միայն: Այստեղ 32-ից 5-ն է եղել, այստեղ՝ 32-ից 10-ը։ Այնուամենայնիվ, մենք կատարել ենք հաշվարկները, և այժմ պատրաստ ենք գծել հավանականության բաշխումը։ Բայց իմ ժամանակն ավարտվել է: Շարունակեմ հաջորդ դասին։ Իսկ եթե տրամադրություն ունեք, միգուցե նախքան դիտելը նկարեք հաջորդ դաս? Կհանդիպենք շուտով: