Սովորաբար երկրորդ ուշագրավ սահմանը գրվում է հետևյալ ձևով.

\սկիզբ (հավասարում) \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(x)\right)^x=e\վերջ (հավասարում)

Հավասարության (1) աջ կողմում նշված $e$ թիվը իռացիոնալ է։ Այս թվի մոտավոր արժեքն է՝ $e\ approx(2(,)718281828459045)$։ Եթե ​​մենք կատարենք $t=\frac(1)(x)$ փոխարինումը, ապա բանաձևը (1) կարող է վերաշարադրվել հետևյալ ձևով.

\սկիզբ(հավասարում) \lim_(t\to(0))\biggl(1+t\biggr)^(\frac(1)(t))=e\վերջ (հավասարում)

Ինչ վերաբերում է առաջին ուշագրավ սահմանին, ապա կարևոր չէ, թե որ արտահայտությունն է օգտագործվելու $x$ փոփոխականի փոխարեն (1) բանաձևում կամ $t$ փոփոխականի փոխարեն (2): Հիմնական բանը երկու պայմանի կատարումն է.

1. Աստիճանի հիմքը (այսինքն՝ (1) և (2) բանաձևերի փակագծերում արտահայտությունը) պետք է ձգվի մեկին.
2. Ցուցանիշը (այսինքն՝ $x$ (1) բանաձևում կամ $\frac(1)(t)$ (2)) պետք է ձգվի դեպի անսահմանություն։

Ասում են, որ երկրորդ ուշագրավ սահմանը բացահայտում է $1^\infty$-ի անորոշությունը։ Նկատի ունեցեք, որ (1) բանաձեւում մենք չենք նշում, թե ինչ անսահմանության ($+\infty$ կամ $-\infty$) մասին է խոսքը։ Այս դեպքերից որևէ մեկում (1) բանաձևը ճշմարիտ է: Բանաձևում (2) $t$ փոփոխականը կարող է զրոյի ձգվել ինչպես ձախից, այնպես էլ աջից:

Նշում եմ, որ կան նաև երկրորդ ուշագրավ սահմանի մի քանի օգտակար հետևանքներ. Երկրորդ ուշագրավ սահմանաչափի օգտագործման օրինակները, ինչպես նաև դրա հետևանքները շատ տարածված են ստանդարտ ստանդարտ հաշվարկների և թեստերի կազմողների մոտ:

Օրինակ #1

Հաշվեք $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7)$ սահմանաչափը:

Մենք անմիջապես նշում ենք, որ աստիճանի հիմքը (այսինքն $\frac(3x+1)(3x-5)$) ձգտում է մեկին.

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(3x+1)(3x-5)=\left|\frac(\infty)(\infty)\աջ| =\lim_(x\to\infty)\frac(3+\frac(1)(x))(3-\frac(5)(x)) =\frac(3+0)(3-0) = 1. $$

Այս դեպքում ցուցիչը ($4x+7$ արտահայտություն) ձգտում է դեպի անսահմանություն, այսինքն. $\lim_(x\to\infty)(4x+7)=\infty$:

Աստիճանի հիմքը հակված է մեկին, ցուցիչը՝ դեպի անսահմանություն, այսինքն. մենք գործ ունենք $1^\infty$-ի անորոշության հետ։ Եկեք կիրառենք այս անորոշությունը բացահայտելու բանաձևը. $1+\frac(1)(x)$ արտահայտությունը գտնվում է բանաձևի աստիճանի հիմքում, իսկ մեր օրինակում աստիճանի հիմքը հետևյալն է՝ $\frac(3x+1)(3x-5): ) $. Հետևաբար, առաջին քայլը $\frac(3x+1)(3x-5)$ արտահայտությունը պաշտոնապես կարգավորելն է $1+\frac(1)(x)$-ի։ Սկսենք գումարելով և հանելով մեկը.

$$ \lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(3x+1)(3x-5)-1\աջ)^(4x+7) $$

Պետք է նշել, որ անհնար է պարզապես միավոր ավելացնել: Եթե ​​մեզ ստիպում են միավոր ավելացնել, ապա այն նույնպես պետք է հանել, որպեսզի չփոխվի ամբողջ արտահայտության արժեքը։ Լուծումը շարունակելու համար մենք հաշվի ենք առնում, որ

$$ \frac(3x+1)(3x-5)-1 =\frac(3x+1)(3x-5)-\frac(3x-5)(3x-5) =\frac(3x+1- 3x+5)(3x-5)=\frac(6)(3x-5): $$

Քանի որ $\frac(3x+1)(3x-5)-1=\frac(6)(3x-5)$, ապա.

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+ \frac(3x+1)(3x-5)-1\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\ ձախ (1+\frac(6)(3x-5)\աջ)^(4x+7) $$

Շարունակենք ճշգրտումը։ Բանաձևի $1+\frac(1)(x)$ արտահայտության մեջ կոտորակի համարիչը 1 է, իսկ մեր $1+\frac(6)(3x-5)$ համարիչը $6$ է։ Համարիչում $1$ ստանալու համար թողեք $6$ հայտարարի մեջ՝ օգտագործելով հետևյալ փոխակերպումը.

$$ 1+\frac(6)(3x-5) =1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6)) $$

Այսպիսով,

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(6)(3x-5)\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\left(1+ \frac(1)(\frac(3x-5)(6))\աջ)^(4x+7) $$

Այսպիսով, աստիճանի հիմքը, այսինքն. $1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))$, հարմարեցված բանաձևում պահանջվող $1+\frac(1)(x)$-ի համար: Հիմա եկեք սկսենք աշխատել ցուցիչի հետ: Նկատի ունեցեք, որ բանաձևում ցուցիչների և հայտարարի արտահայտությունները նույնն են.

Սա նշանակում է, որ մեր օրինակում արտահայտիչն ու հայտարարը պետք է բերվեն նույն ձևի։ Ցուցանիշում $\frac(3x-5)(6)$ արտահայտությունը ստանալու համար ուղղակի չափանիշը բազմապատկեք այս կոտորակի վրա: Բնականաբար, նման բազմապատկումը փոխհատուցելու համար դուք ստիպված կլինեք անմիջապես բազմապատկել փոխադարձով, այսինքն. մինչև $\frac(6)(3x-5)$: Այսպիսով, մենք ունենք.

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\աջ)^(4x+7) =\lim_(x\to\ infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(\frac(3x-5)(6)\cdot\frac(6)(3x-5) )\cdot(4x+7)) =\lim_(x\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\աջ)^(\ frac(3x-5)(6))\right)^(\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)) $$

Առանձին-առանձին դիտարկեք $\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)$ կոտորակի սահմանը, որը գտնվում է հզորության մեջ.

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5) =\left|\frac(\infty)(\infty)\աջ| =\lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot\left(4+\frac(7)(x)\աջ))(3-\frac(5)(x)) =6\cdot\ frac(4)(3)=8. $$

Պատասխանել$\lim_(x\to(0))\biggl(\cos(2x)\biggr)^(\frac(1)(\sin^2(3x)))=e^(-\frac(2) (9)) $.

Օրինակ #4

Գտեք $\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)$ սահմանաչափը:

Քանի որ $x>0$-ի համար մենք ունենք $\ln(x+1)-\ln(x)=\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)$, ապա.

$$ \lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left(x\cdot\ln\ ձախ (\frac(x+1)(x)\աջ)\աջ) $$

$\frac(x+1)(x)$ կոտորակն ընդարձակելով $\frac(x+1)(x)=1+\frac(1)(x)$ կոտորակների գումարի մեջ՝ ստանում ենք.

$$ \lim_(x\to+\infty)\left(x\cdot\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)\right) =\lim_(x\to+\infty)\ձախ (x\cdot\ln\left(1+\frac(1)(x)\right)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left(\ln\left(\frac(x+1) (x)\right)^x\right) =\ln(e) =1. $$

Պատասխանել$\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)=1$:

Օրինակ #5

Գտեք $\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))$ սահմանաչափը:

Քանի որ $\lim_(x\to(2))(3x-5)=6-5=1$ և $\lim_(x\to(2))\frac(2x)(x^2-4)= \ infty$, ապա գործ ունենք $1^\infty$ ձևի անորոշության հետ։ Մանրամասն բացատրությունները տրված են թիվ 2 օրինակում, սակայն այստեղ մենք սահմանափակվում ենք հակիրճ լուծումով։ Կատարելով $t=x-2$ փոխարինումը, ստանում ենք.

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\ձախ|\սկիզբ (հավասարեցված)&t=x-2 ;\;x=t+2\\&t\to(0)\end(հավասարեցված)\աջ| =\lim_(t\to(0))\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(2t+4)(t^2+4t))=\\ =\lim_(t\to(0) )\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t)\cdot 3t\cdot\frac(2t+4)(t^2+4t)) =\lim_(t\to(0) )\left(\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t))\աջ)^(\frac(6\cdot(t+2))(t+4)) =e^ 3. $$

Այս օրինակը կարող եք լուծել այլ կերպ՝ օգտագործելով փոխարինումը. $t=\frac(1)(x-2)$: Իհարկե, պատասխանը կլինի նույնը.

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\ձախ|\սկիզբ (հավասարեցված)&t=\frac( 1)(x-2);\;x=\frac(2t+1)(t)\\&t\to\infty\end(հավասարեցված)\աջ| =\lim_(t\to\infty)\left(1+\frac(3)(t)\right)^(t\cdot\frac(4t+2)(4t+1))=\\ =\lim_ (t\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(t)(3))\right)^(\frac(t)(3)\cdot\frac(3)(t) \cdot\frac(t\cdot(4t+2))(4t+1)) =\lim_(t\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(t)( 3))\աջ)^(\frac(t)(3))\right)^(\frac(6\cdot(2t+1))(4t+1)) =e^3. $$

Պատասխանել$\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))=e^3$:

Օրինակ #6

Գտեք $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) $ սահմանաչափը:

Եկեք պարզենք, թե ինչի է ձգտում $\frac(2x^2+3)(2x^2-4)$ արտահայտությունը $x\to\infty$ պայմանով:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(2x^2+3)(2x^2-4) =\left|\frac(\infty)(\infty)\աջ| =\lim_(x\to\infty)\frac(2+\frac(3)(x^2))(2-\frac(4)(x^2)) =\frac(2+0)(2 -0)=1. $$

Այսպիսով, տրված սահմանում մենք գործ ունենք $1^\infty$ ձևի անորոշության հետ, որը կբացահայտենք՝ օգտագործելով երկրորդ ուշագրավ սահմանը.

$$ \lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(2x^2+3)(2x^2-4)-1\աջ)^(3x)=\\ =\lim_(x\to \infty)\left(1+\frac(7)(2x^2-4)\right)^(3x) =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac (2x^2-4)(7))\աջ)^(3x)=\\ =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4) )(7))\աջ)^(\frac(2x^2-4)(7)\cdot\frac(7)(2x^2-4)\cdot 3x) =\lim_(x\to\infty) \left(\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4)(7))\right)^(\frac(2x^2-4)(7))\աջ)^( \frac(21x)(2x^2-4)) =e^0 =1. $$

Պատասխանել$\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\աջ)^(3x)=1$:

Նրանց համար, ովքեր ցանկանում են սովորել, թե ինչպես գտնել սահմանները այս հոդվածում, մենք կխոսենք դրա մասին: Մենք չենք խորանա տեսության մեջ, դա սովորաբար դասախոսություններ են տալիս ուսուցիչների կողմից։ Այսպիսով, «ձանձրալի տեսությունը» պետք է ուրվագծվի ձեր նոթատետրում: Եթե ​​ոչ, ապա կարող եք կարդալ գրադարանից վերցված դասագրքերը ուսումնական հաստատությունկամ այլ առցանց ռեսուրսներ:

Այսպիսով, սահման հասկացությունը բավականին կարևոր է բարձրագույն մաթեմատիկայի դասընթացի ուսումնասիրության մեջ, հատկապես, երբ հանդիպում ես ինտեգրալ հաշվարկին և հասկանում ես սահմանի և ինտեգրալի փոխհարաբերությունները: Ընթացիկ նյութում կդիտարկվեն պարզ օրինակներ, ինչպես նաև դրանց լուծման ուղիները։

Լուծման օրինակներ

Օրինակ 1

Հաշվեք a) $ \lim_(x \մինչև 0) \frac(1)(x) $; բ)$ \lim_(x \մինչև \infty) \frac(1)(x) $

Լուծում

ա) $$ \lim \limits_(x \մինչև 0) \frac(1)(x) = \infty $$ բ)$$ \lim_(x \մինչև \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Մենք հաճախ ստանում ենք այս սահմանափակումները մեզ ուղարկելու համար՝ խնդրելով օգնել լուծելու համար: Մենք որոշեցինք դրանք առանձնացնել որպես առանձին օրինակ և բացատրել, որ այդ սահմանները, որպես կանոն, պարզապես պետք է հիշել։ Եթե ​​դուք չեք կարող լուծել ձեր խնդիրը, ապա ուղարկեք այն մեզ: Մենք մանրամասն լուծում կտանք։ Դուք կկարողանաք ծանոթանալ հաշվարկի ընթացքին և տեղեկություններ հավաքել: Սա կօգնի ձեզ ժամանակին ուսուցչից վարկ ստանալ:

Պատասխանել

$$ \text(a)) \lim \limits_(x \մինչև \0) \frac(1)(x) = \infty \text(b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac (1 )(x) = 0 $$

Ինչ անել ձևի անորոշության հետ՝ $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Օրինակ 3

Լուծել $ \lim \limits_(x \մինչև -1) \frac(x^2-1)(x+1) $

Լուծում

Ինչպես միշտ, մենք սկսում ենք $ x $ արժեքը փոխարինելով սահմանային նշանի տակ դրված արտահայտությամբ: $$ \lim \limits_(x \մինչև -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0) (0) $$ Ի՞նչ է հաջորդը: Ինչ պետք է լինի արդյունքը: Քանի որ սա անորոշություն է, սա դեռ պատասխան չէ, և մենք շարունակում ենք հաշվարկը։ Քանի որ մենք ունենք բազմանդամ համարիչներում, այն բաժանում ենք գործակիցների՝ օգտագործելով $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$ ծանոթ բանաձևը։ Հիշե՞լ եք: Հիանալի Այժմ շարունակեք և կիրառեք այն երգի հետ :) Ստանում ենք, որ $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ համարիչը Մենք շարունակում ենք լուծել՝ հաշվի առնելով վերը նշված վերափոխումը. $$ \lim \limits_(x \մինչև -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \մինչև -1)\frac((x-1)(x+ 1 ))(x+1) = $$ $$ = \lim \սահմաններ_(x \մինչև -1)(x-1)=-1-1=-2 $$

Պատասխանել

$$ \lim \limits_(x \մինչև -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Վերցնենք վերջին երկու օրինակների սահմանը մինչև անսահմանություն և դիտարկենք անորոշությունը՝ $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Օրինակ 5

Հաշվարկել $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $

Լուծում

$ \lim \limits_(x \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Ինչ անել? Ինչպե՞ս լինել: Խուճապի մի մատնվեք, քանի որ անհնարինը հնարավոր է։ Պետք է հանել փակագծերը և՛ համարիչի, և՛ հայտարարի X-ի մեջ, ապա փոքրացնել։ Դրանից հետո փորձեք հաշվարկել սահմանը: Փորձում է... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Օգտագործելով օրինակ 2-ի սահմանումը և անսահմանությունը փոխարինելով x-ով, մենք ստանում ենք. $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$

Պատասխանել

$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Սահմանաչափերի հաշվարկման ալգորիթմ

Այսպիսով, եկեք համառոտ ամփոփենք վերլուծված օրինակները և կազմենք սահմանների լուծման ալգորիթմ.

1. Սահմանային նշանին հաջորդող արտահայտության մեջ փոխարինի՛ր x կետը: Եթե ​​ստացվում է որոշակի թիվ, կամ անսահմանություն, ապա սահմանն ամբողջությամբ լուծված է։ Հակառակ դեպքում մենք ունենք անորոշություն՝ «զրո բաժանված զրոյի» կամ «անսահմանությունը բաժանված անսահմանության վրա» և անցնել հրահանգի հաջորդ պարբերություններին։
2. «Զրո բաժանել զրոյի» անորոշությունը վերացնելու համար անհրաժեշտ է ֆակտորիզացնել համարիչն ու հայտարարը: Կրճատել նմանատիպը: Արտահայտության մեջ x կետը փոխարինի՛ր սահմանային նշանի տակ:
3. Եթե ​​անորոշությունը «անվերջությունը բաժանված է անվերջության վրա», ապա մենք հանում ենք և՛ համարիչում, և՛ մեծագույն աստիճանի x հայտարարում։ Մենք կրճատում ենք x-երը: Մենք x արժեքները սահմանի տակից փոխարինում ենք մնացած արտահայտության մեջ:

Այս հոդվածում դուք ծանոթացաք սահմանաչափերի լուծման հիմունքներին, որոնք հաճախ օգտագործվում են Calculus դասընթացում։ Իհարկե, սրանք բոլոր տեսակի խնդիրներ չեն, որոնք առաջարկվում են քննողների կողմից, այլ միայն ամենապարզ սահմանները: Առաջիկա հոդվածներում մենք կխոսենք այլ տեսակի առաջադրանքների մասին, բայց նախ դուք պետք է սովորեք այս դասը, որպեսզի առաջ շարժվեք: Մենք կքննարկենք, թե ինչ անել, եթե կան արմատներ, աստիճաններ, կուսումնասիրենք անսահման փոքր համարժեք ֆունկցիաներ, հրաշալի սահմաններ, L'Hopital-ի կանոնը։

Եթե ​​դուք չեք կարողանում ինքնուրույն պարզել սահմանները, խուճապի մի մատնվեք: Մենք միշտ ուրախ ենք օգնել:

Ինչ է սահմանը: Սահմանի հասկացությունը

Բոլորը, առանց բացառության, ինչ-որ տեղ իրենց հոգու խորքում հասկանում են, թե ինչ է սահմանը, բայց հենց որ լսում են «գործառույթի սահմանը» կամ «հաջորդականության սահմանը», ապա մի փոքր շփոթություն է առաջանում։

Մի վախեցեք, դա ուղղակի անտեղյակությունից է։ Հետևյալը 3 րոպե կարդալուց հետո դուք ավելի գրագետ կդառնաք.

Կարևոր է մեկընդմիշտ հասկանալ, թե ինչ նկատի ունեն, երբ խոսում են որոշ սահմանափակող դիրքերի, իմաստների, իրավիճակների մասին և ընդհանրապես, երբ դիմում են կյանքում սահման եզրույթին։

Մեծահասակները դա հասկանում են ինտուիտիվորեն, և մենք դա կվերլուծենք մի քանի օրինակներով:

Օրինակ մեկ

Հիշենք Չայֆ խմբի երգի տողերը.

Օրինակ երկու

Դուք, անշուշտ, լսել եք տիեզերքում օբյեկտի չափազանց կայուն դիրքի մասին արտահայտությունը։

Դուք ինքներդ կարող եք հեշտությամբ նմանակել նման իրավիճակը իմպրովիզացված բաներով:

Օրինակ, մի փոքր թեքեք պլաստիկ շիշը և բաց թողեք այն: Նա կվերադառնա հատակին:

Բայց կան այնպիսի սահմանափակող թեք դիրքեր, որոնցից այն պարզապես կընկնի։

Կրկին, սահմանափակող դիրքն այս դեպքում որոշակի բան է: Կարևոր է դա հասկանալ։

Սահման տերմինի կիրառման բազմաթիվ օրինակներ կարելի է բերել՝ մարդկային հնարավորությունների սահմանը, նյութի վերջնական ամրությունը և այլն։

Դե, ընդհանրապես, մենք ամեն օր բախվում ենք ապօրինությունների)))

Բայց հիմա մեզ հետաքրքրում է հաջորդականության սահմանը և ֆունկցիայի սահմանը մաթեմատիկայի մեջ։

Թվերի հաջորդականության սահմանը մաթեմատիկայի մեջ

Սահմանաչափ (թվային հաջորդականության) - հիմնական հասկացություններից մեկը մաթեմատիկական վերլուծություն. Հարյուրավոր և հարյուրավոր թեորեմներ, որոնք սահմանում են ժամանակակից գիտությունը, հիմնված են սահմանին անցնելու հայեցակարգի վրա:

Անմիջապես կոնկրետ օրինակպարզության համար:

Ենթադրենք կա թվերի անսահման հաջորդականություն, որոնցից յուրաքանչյուրը նախորդի կեսն է՝ սկսած մեկից՝ 1, ½, ¼, ...

Այսպիսով, թվային հաջորդականության սահմանը (եթե այն գոյություն ունի) որոշակի որոշակի արժեք է:

Կիսով բաժանելու գործընթացում հաջորդականության յուրաքանչյուր հաջորդ արժեք անորոշորեն մոտենում է որոշակի թվի։

Հեշտ է կռահել, որ այն կլինի զրո։

Կարևոր.

Երբ մենք խոսում ենք սահմանի (սահմանային արժեքի) գոյության մասին, դա չի նշանակում, որ հաջորդականության որոշ անդամ հավասար կլինի այս սահմանային արժեքին։ Նա կարող է միայն ձգտել դրան։

Մեր օրինակից սա ավելի քան պարզ է. Անկախ նրանից, թե քանի անգամ մեկ-երկու անգամ բաժանենք, մենք երբեք զրո չենք ստանա։ Կլինի միայն նախորդի կես թիվը, բայց ոչ զրո:

Ֆունկցիայի սահմանը մաթեմատիկայի մեջ

Մաթեմատիկական վերլուծության մեջ, իհարկե, ամենակարեւորը ֆունկցիայի սահմանի հասկացությունն է։

Չխորանալով տեսության մեջ՝ ասենք հետևյալը. ֆունկցիայի սահմանափակող արժեքը միշտ չէ, որ կարող է պատկանել բուն ֆունկցիայի արժեքների տիրույթին։

Երբ արգումենտը փոխվում է, ֆունկցիան կձգտի որոշակի արժեքի, բայց կարող է երբեք չընդունել այն:

Օրինակ՝ հիպերբոլիա 1/xոչ մի կետում չունի զրոյի արժեք, բայց այն անորոշ ժամանակով զրոյի է ձգտում, ինչպես որ ձգտում է դեպի xմինչեւ անվերջություն.

Սահմանաչափի հաշվիչ

Մեր նպատակը ձեզ տեսական գիտելիքներ տալը չէ, դրա համար շատ խելացի հաստ գրքեր կան։

Բայց մենք ձեզ հրավիրում ենք օգտագործել առցանց հաշվիչսահմանները, որոնց հետ կարող եք համեմատել ձեր լուծումը ճիշտ պատասխանի հետ:

Բացի այդ, հաշվիչը տալիս է սահմանների քայլ առ քայլ լուծում՝ հաճախ կիրառելով L'Hopital կանոնը՝ օգտագործելով մի կետում կամ որոշակի հատվածում շարունակական ֆունկցիայի համարիչի և հայտարարի տարբերակումը։

Ինչ է սահմանը: Սահմանի հասկացությունը

Բոլորը, առանց բացառության, ինչ-որ տեղ իրենց հոգու խորքում հասկանում են, թե ինչ է սահմանը, բայց հենց որ լսում են «գործառույթի սահմանը» կամ «հաջորդականության սահմանը», ապա մի փոքր շփոթություն է առաջանում։

Մի վախեցեք, դա ուղղակի անտեղյակությունից է։ Հետևյալը 3 րոպե կարդալուց հետո դուք ավելի գրագետ կդառնաք.

Կարևոր է մեկընդմիշտ հասկանալ, թե ինչ նկատի ունեն, երբ խոսում են որոշ սահմանափակող դիրքերի, իմաստների, իրավիճակների մասին և ընդհանրապես, երբ դիմում են կյանքում սահման եզրույթին։

Մեծահասակները դա հասկանում են ինտուիտիվորեն, և մենք դա կվերլուծենք մի քանի օրինակներով:

Օրինակ մեկ

Հիշենք Չայֆ խմբի երգի տողերը.

Օրինակ երկու

Դուք, անշուշտ, լսել եք տիեզերքում օբյեկտի չափազանց կայուն դիրքի մասին արտահայտությունը։

Դուք ինքներդ կարող եք հեշտությամբ նմանակել նման իրավիճակը իմպրովիզացված բաներով:

Օրինակ, մի փոքր թեքեք պլաստիկ շիշը և բաց թողեք այն: Նա կվերադառնա հատակին:

Բայց կան այնպիսի սահմանափակող թեք դիրքեր, որոնցից այն պարզապես կընկնի։

Կրկին, սահմանափակող դիրքն այս դեպքում որոշակի բան է: Կարևոր է դա հասկանալ։

Սահման տերմինի կիրառման բազմաթիվ օրինակներ կարելի է բերել՝ մարդկային հնարավորությունների սահմանը, նյութի վերջնական ամրությունը և այլն։

Դե, ընդհանրապես, մենք ամեն օր բախվում ենք ապօրինությունների)))

Բայց հիմա մեզ հետաքրքրում է հաջորդականության սահմանը և ֆունկցիայի սահմանը մաթեմատիկայի մեջ։

Թվերի հաջորդականության սահմանը մաթեմատիկայի մեջ

Սահմանը (թվային հաջորդականության) մաթեմատիկական վերլուծության հիմնական հասկացություններից է։ Հարյուրավոր և հարյուրավոր թեորեմներ, որոնք սահմանում են ժամանակակից գիտությունը, հիմնված են սահմանին անցնելու հայեցակարգի վրա:

Պարզության համար ընդամենը կոնկրետ օրինակ:

Ենթադրենք կա թվերի անսահման հաջորդականություն, որոնցից յուրաքանչյուրը նախորդի կեսն է՝ սկսած մեկից՝ 1, ½, ¼, ...

Այսպիսով, թվային հաջորդականության սահմանը (եթե այն գոյություն ունի) որոշակի որոշակի արժեք է:

Կիսով բաժանելու գործընթացում հաջորդականության յուրաքանչյուր հաջորդ արժեք անորոշորեն մոտենում է որոշակի թվի։

Հեշտ է կռահել, որ այն կլինի զրո։

Կարևոր.

Երբ մենք խոսում ենք սահմանի (սահմանային արժեքի) գոյության մասին, դա չի նշանակում, որ հաջորդականության որոշ անդամ հավասար կլինի այս սահմանային արժեքին։ Նա կարող է միայն ձգտել դրան։

Մեր օրինակից սա ավելի քան պարզ է. Անկախ նրանից, թե քանի անգամ մեկ-երկու անգամ բաժանենք, մենք երբեք զրո չենք ստանա։ Կլինի միայն նախորդի կես թիվը, բայց ոչ զրո:

Ֆունկցիայի սահմանը մաթեմատիկայի մեջ

Մաթեմատիկական վերլուծության մեջ, իհարկե, ամենակարեւորը ֆունկցիայի սահմանի հասկացությունն է։

Չխորանալով տեսության մեջ՝ ասենք հետևյալը. ֆունկցիայի սահմանափակող արժեքը միշտ չէ, որ կարող է պատկանել բուն ֆունկցիայի արժեքների տիրույթին։

Երբ արգումենտը փոխվում է, ֆունկցիան կձգտի որոշակի արժեքի, բայց կարող է երբեք չընդունել այն:

Օրինակ՝ հիպերբոլիա 1/xոչ մի կետում չունի զրոյի արժեք, բայց այն անորոշ ժամանակով զրոյի է ձգտում, ինչպես որ ձգտում է դեպի xմինչեւ անվերջություն.

Սահմանաչափի հաշվիչ

Մեր նպատակը ձեզ տեսական գիտելիքներ տալը չէ, դրա համար շատ խելացի հաստ գրքեր կան։

Բայց մենք առաջարկում ենք օգտագործել սահմանաչափի առցանց հաշվիչը, որով կարող եք համեմատել ձեր լուծումը ճիշտ պատասխանի հետ։

Բացի այդ, հաշվիչը տալիս է սահմանների քայլ առ քայլ լուծում՝ հաճախ կիրառելով L'Hopital կանոնը՝ օգտագործելով մի կետում կամ որոշակի հատվածում շարունակական ֆունկցիայի համարիչի և հայտարարի տարբերակումը։

Լուծում առցանց գործառույթների սահմանափակումներ. Գտե՛ք ֆունկցիայի կամ ֆունկցիոնալ հաջորդականության սահմանային արժեքը մի կետում, հաշվարկե՛ք սահմանափակողֆունկցիայի արժեքը անսահմանության վրա: որոշեք թվերի սերիայի համընկնումը և շատ ավելին կարելի է անել մեր առցանց ծառայության շնորհիվ. Մենք թույլ ենք տալիս արագ և ճշգրիտ գտնել գործառույթների սահմանաչափերը առցանց: Դուք ինքներդ մտնում եք ֆունկցիայի փոփոխականիսկ այն սահմանը, որին նա ձգտում է, մեր ծառայությունը բոլոր հաշվարկներն անում է ձեզ համար՝ տալով ճշգրիտ և պարզ պատասխան։ Եվ համար սահմանը գտնելով առցանցկարող եք մուտք գործել like թվերի շարք, և տառացի արտահայտությամբ հաստատուններ պարունակող վերլուծական ֆունկցիաներ։ Այս դեպքում հայտնաբերված ֆունկցիայի սահմանը կպարունակի այս հաստատունները որպես մշտական ​​արգումենտներ արտահայտության մեջ: Մեր ծառայությունը լուծում է ցանկացած դժվար առաջադրանքներըստ գտնվելու վայրի սահմանափակումներ առցանց, բավական է նշել ֆունկցիան և այն կետը, որտեղ անհրաժեշտ է հաշվարկել գործառույթի սահմանաչափ. Հաշվիչ սահմանափակումներ առցանց, դրանք լուծելու համար կարող եք օգտագործել տարբեր մեթոդներ և կանոններ՝ համեմատելով արդյունքը սահմանափակ լուծում առցանց www.site-ում, ինչը կհանգեցնի առաջադրանքի հաջող ավարտին` դուք կխուսափեք ձեր սեփական սխալներից և տառասխալներից: Կամ կարող եք լիովին վստահել մեզ և օգտագործել մեր արդյունքը ձեր աշխատանքում՝ առանց լրացուցիչ ջանք ու ժամանակ ծախսելու ֆունկցիայի սահմանաչափի անկախ հաշվարկների վրա: Մենք թույլ ենք տալիս սահմանային արժեքների մուտքագրում, ինչպիսին է անսահմանությունը: Դուք պետք է մուտքագրեք թվային հաջորդականության ընդհանուր տերմին և www.siteկհաշվարկի արժեքը սահմանափակում առցանցդեպի գումարած կամ մինուս անսահմանություն:

Մաթեմատիկական վերլուծության հիմնական հասկացություններից է գործառույթի սահմանաչափԵվ հաջորդականության սահմանըմի կետում և անսահմանության մեջ կարևոր է ճիշտ լուծել կարողանալը սահմանները. Մեր ծառայության հետ դժվար չի լինի։ Որոշում է կայացվում սահմանափակումներ առցանցվայրկյանների ընթացքում պատասխանը ճշգրիտ է և ամբողջական: Հաշվի ուսումնասիրությունը սկսվում է անցում դեպի սահման, սահմաններըօգտագործվում են բարձրագույն մաթեմատիկայի գրեթե բոլոր բաժիններում, ուստի օգտակար է ձեռքի տակ ունենալ սերվեր սահմանափակել լուծումները առցանց, որը matematikam.ru-ն է։