Հիմնական տեսության և բանաձևերի կրկնությունը, ներառյալ նրանք, որոնք թույլ են տալիս հաշվարկել մխոցի ծավալը, քննությանը նախապատրաստվելու հիմնական փուլերից մեկն է: Չնայած այն հանգամանքին, որ այս թեման բավական մանրամասն է դիտարկվում դպրոցում մաթեմատիկայի դասերին, շատ ուսանողներ բախվում են հիմնական նյութը հիշելու և խնդիրներ լուծելու հմտությունը «մղելու» անհրաժեշտության հետ: Հասկանալով, թե ինչպես կարելի է հաշվարկել մխոցի ծավալը և այլ անհայտ պարամետրերը, ավագ դպրոցի աշակերտները կկարողանան բավարար քանակությամբ բարձր արդյունքներպետական ​​միասնական քննություն հանձնելու արդյունքներով.

Հիշելու հիմնական կետերը

Կարևոր է հիշել, որ.

• Մխոցը մարմին է, որը սահմանափակված է գլանաձև մակերեսով և երկու շրջանով: Գլանաձեւ մակերեսը կողային է։ Իսկ շրջանակները ներկայացնում են գործչի հիմքերը:
• Մխոցի բարձրությունը նրա հիմքերի հարթությունների միջև եղած հեռավորությունն է։
• Նրա բոլոր գեներատորները զուգահեռ են և հավասար են միմյանց:
• Մխոցի շառավիղը նրա հիմքի շառավիղն է:
• Նկարը կոչվում է ուղիղ, եթե դրա գեներատորները ուղղահայաց են հիմքերին:

Ինչպե՞ս պատրաստվել քննությանը արդյունավետ և արդյունավետ:

Հավաստագրման թեստ հանձնելու նախօրեին սովորելով՝ շատ ուսանողներ բախվում են անհրաժեշտ տեղեկատվություն գտնելու խնդրին։ Միշտ չէ, որ դպրոցական դասագիրքը ձեռքի տակ է, երբ դա պահանջվում է: Իսկ բանաձևեր գտնելը, որոնք կօգնեն հաշվարկել բալոնի մակերեսը և այլ անհայտ պարամետրերը, հաճախ բավականին դժվար է նույնիսկ ինտերնետում առցանց ռեժիմում:

Սովորելով «Shkolkovo» մաթեմատիկական պորտալի հետ՝ շրջանավարտները կկարողանան խուսափել բնորոշ սխալներից և հաջողությամբ անցնել միասնական պետական ​​քննություն. Մենք առաջարկում ենք պատրաստման գործընթացը կառուցել նոր ձևով՝ պարզից անցնելով բարդի։ Սա թույլ կտա ուսանողներին բացահայտել իրենց համար անհասկանալի թեմաները և վերացնել գիտելիքների բացերը:

Շրջանավարտները կարող են գտնել բոլոր այն հիմնական նյութերը, որոնք կօգնեն լուծել «Գլան» թեմայով «Տեսական տեղեկանք» բաժնում: Շկոլկովոյի մասնագետներն ամեն ինչ ներկայացրել են մատչելի տեսքով անհրաժեշտ սահմանումներև բանաձևեր.

Իրենց գիտելիքները համախմբելու համար ուսանողները կարող են պարապել «Գլան» թեմայի և այլ թեմաների խնդիրների լուծմանը, օրինակ. Առաջադրանքների մեծ, անընդհատ թարմացվող ընտրությունը ներկայացված է Կատալոգ բաժնում:

Քննությանը նախապատրաստվելու ընթացքում «Գլան» թեմայի վերաբերյալ կոնկրետ խնդիր արագ գտնելու և դրա լուծման ալգորիթմը թարմացնելու համար շրջանավարտները կարող են նախ այն պահել «Ֆավորիտներ» բաժնում: Մեր կայքում սեփական հմտությունները կիրառելու հնարավորություն ունեն ոչ միայն մայրաքաղաքի դպրոցականները, այլ նաև Ռուսաստանի այլ քաղաքների ուսանողները:

Այս ծառայության միջոցով դուք կարող եք գտնել ֆունկցիայի ամենամեծ և փոքրագույն արժեքըմեկ փոփոխական f(x) Word-ում լուծման նախագծմամբ: Եթե ​​տրված է f(x,y) ֆունկցիան, ուրեմն անհրաժեշտ է գտնել երկու փոփոխականի ֆունկցիայի ծայրահեղությունը: Կարող եք գտնել նաև ֆունկցիայի ավելացման և նվազման միջակայքերը։

Ֆունկցիաների մուտքագրման կանոններ:

Մեկ փոփոխականի ֆունկցիայի ծայրահեղության անհրաժեշտ պայման

f" 0 (x *) = 0 հավասարումը անհրաժեշտ պայմանմեկ փոփոխականի ֆունկցիայի ծայրահեղություն, այսինքն. x * կետում ֆունկցիայի առաջին ածանցյալը պետք է անհետանա: Այն ընտրում է անշարժ կետեր x c, որոնցում ֆունկցիան չի աճում կամ նվազում:

Բավարար պայման մեկ փոփոխականի ֆունկցիայի ծայրահեղության համար

Թող f 0 (x) լինի երկու անգամ տարբերվող D բազմությանը պատկանող x-ի նկատմամբ: Եթե ​​x * կետում պայմանը բավարարված է.

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Այնուհետև x * կետը ֆունկցիայի տեղական (գլոբալ) նվազագույնի կետն է։

Եթե ​​x * կետում պայմանը բավարարված է.

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Այդ x * կետը տեղական (գլոբալ) առավելագույնն է:

Օրինակ #1. Գտե՛ք ամենամեծը և ամենափոքր արժեքըգործառույթները՝ հատվածի վրա։
Լուծում.

Կրիտիկական կետը մեկ x 1 = 2 է (f'(x)=0): Այս կետը պատկանում է հատվածին. (x=0 կետը կրիտիկական չէ, քանի որ 0∉):
Մենք հաշվարկում ենք ֆունկցիայի արժեքները հատվածի ծայրերում և կրիտիկական կետում:
f(1)=9, f(2)= 5 / 2, f(3)=3 8 / 81
Պատասխան՝ f min = 5 / 2 x=2-ի համար; f max =9 x=1-ում

Օրինակ #2. Օգտագործելով ավելի բարձր կարգի ածանցյալներ՝ գտե՛ք y=x-2sin(x) ֆունկցիայի ծայրահեղությունը:
Լուծում.
Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը՝ y’=1-2cos(x) . Գտնենք կրիտիկական կետերը՝ 1-cos(x)=2, cos(x)=1, x=± π / 3 +2πk, k∈Z: Մենք գտնում ենք y''=2sin(x), հաշվարկում ենք, ուստի x= π / 3 +2πk, k∈Z ֆունկցիայի նվազագույն կետերն են; , ուրեմն x=- π / 3 +2πk, k∈Z ֆունկցիայի առավելագույն կետերն են։

Օրինակ #3. Հետազոտել էքստրեմի ֆունկցիան x=0 կետի հարևանությամբ:
Լուծում. Այստեղ անհրաժեշտ է գտնել ֆունկցիայի ծայրահեղությունը։ Եթե ​​ծայրահեղությունը x=0 , ապա պարզե՛ք դրա տեսակը (նվազագույնը կամ առավելագույնը): Եթե ​​գտնված կետերի մեջ չկա x = 0, ապա հաշվարկեք f(x=0) ֆունկցիայի արժեքը։
Հարկ է նշել, որ երբ տվյալ կետի յուրաքանչյուր կողմի ածանցյալը չի ​​փոխում իր նշանը, հնարավոր իրավիճակները չեն սպառվում նույնիսկ տարբերակելի ֆունկցիաների համար. կարող է պատահել, որ կամայականորեն փոքր հարևանության համար կետի մի կողմում x 0 կամ. երկու կողմերում էլ ածանցյալը փոխում է նշանը: Այս կետերում պետք է այլ մեթոդներ կիրառել ծայրահեղությունների ֆունկցիաները ուսումնասիրելու համար:

Օրինակ #4. 49 թիվը բաժանեք երկու անդամի, որոնց արտադրյալը կլինի ամենամեծը։
Լուծում. Թող x լինի առաջին անդամը: Այնուհետև (49-x) երկրորդ անդամն է:
Արտադրանքը կլինի առավելագույնը՝ x (49-x) → մաքս

Աշխատանքի տեսակը՝ 8
Թեմա՝ գլան

Վիճակ

Գլանաձեւ տարայի մեջ հեղուկի մակարդակը հասնում է 20 սմ-ի, ի՞նչ բարձրության վրա կլինի հեղուկի մակարդակը, եթե այն լցնեն երկրորդ գլանաձեւ անոթի մեջ, որի տրամագիծը երկու անգամ գերազանցում է առաջինի տրամագիծը։ Ձեր պատասխանն արտահայտեք սանտիմետրերով:

Ցույց տալ լուծումը

Լուծում

Թող R լինի առաջին նավի հիմքի շառավիղը, ապա 2 R-ը երկրորդ նավի հիմքի շառավիղն է։ Ըստ պայմանի՝ հեղուկ V-ի ծավալը առաջին և երկրորդ անոթներում նույնն է։ Նշեք H-ով - այն մակարդակը, որով հեղուկը բարձրացել է երկրորդ անոթում: Հետո

V=\pi R^2 \cdot 20,Եվ V=\pi (2R)^2H = 4\պի Ռ^2Հ. Այստեղից \pi R^2 \cdot 20 = 4\pi R^2H, 20=4H H=5

Պատասխանել

Աշխատանքի տեսակը՝ 8
Թեմա՝ գլան

Վիճակ

2000 սմ 3 ջուր լցրել են գլանաձեւ տարայի մեջ։ Հեղուկի մակարդակը պարզվել է 15 սմ, հատվածն ամբողջությամբ ընկղմվել է ջրի մեջ։ Միաժամանակ անոթում հեղուկի մակարդակը բարձրացել է 9 սմ-ով, որքա՞ն է մասի ծավալը: Պատասխանդ արտահայտի՛ր սմ3-ով:

Ցույց տալ լուծումը

Լուծում

Թող R լինի գլանի հիմքի շառավիղը, իսկ h՝ անոթի մեջ լցված ջրի մակարդակը։ Այնուհետև լցված ջրի ծավալը հավասար է R բազայի շառավղով և h բարձրությամբ գլանի ծավալին։ V ջուր \u003d S մայր. · h = \pi R^2\cdot h. Ըստ պայմանի՝ 2000=\pi R^2\cdot15 հավասարությունը կատարվում է։ Այստեղից, \pi R^2=\frac(2000)(15)=\frac(400)(3):

Թող H-ն լինի անոթի ջրի մակարդակն այն բանից հետո, երբ իրը ընկղմվի դրա մեջ: Այնուհետև ջրի և մասի ընդհանուր ծավալը հավասար է R բազայի շառավղով և H բարձրությամբ գլանի ծավալին։ Ըստ պայմանի H=h+9=15+9=24. Այսպիսով, V ջուր + մանրամասներ = \pi R^2\cdot H=\frac(400)(3)\cdot24=3200:Հետեւաբար V մասեր = V ջուր + մասեր − V ջուր = 3200-2000=1200։

Պատասխանել

Աղբյուր՝ «Մաթեմատիկա. Քննության նախապատրաստում-2017թ. Անձնագրի մակարդակը«. Էդ. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Աշխատանքի տեսակը՝ 8
Թեմա՝ գլան

Վիճակ

Գտե՛ք մխոցի բարձրությունը, եթե նրա հիմքի շառավիղը 8 է, իսկ կողային մակերեսը՝ 96\pi։

Ցույց տալ լուծումը

Լուծում

S=2\pi rh,

96\pi=2\pi\cdot8h,

h=\frac(96\pi)(16\pi)=6:

Պատասխանել

Աղբյուր՝ «Մաթեմատիկա. Քննության նախապատրաստություն-2016թ. պրոֆիլի մակարդակը. Էդ. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Աշխատանքի տեսակը՝ 8
Թեմա՝ գլան

Վիճակ

500 խմ լցրել են գլանաձեւ տարայի մեջ։ տես ջուր. Որոշեք ջրի մեջ ամբողջությամբ ընկղմված մասի ծավալը, եթե ընկղմվելուց հետո հեղուկի մակարդակն ավելացել է 1,2 անգամ։ Ձեր պատասխանը արտահայտեք խորանարդով: սմ.

Ցույց տալ լուծումը

Լուծում

Թող V 1-ը նշանակի գլանում գտնվող հեղուկի սկզբնական ծավալը: Մասը ընկղմվելուց հետո հեղուկի ծավալն ավելացել է 1,2 անգամ, ինչը նշանակում է, որ հեղուկի վերջնական ծավալը V 2 = 1,2 V 1 է։ Մասի ծավալը հավասար է սուզվելուց առաջ և հետո ծավալների տարբերությանը, ինչը նշանակում է V = V_2-V_1=1.2\cdot 500-500=100խորանարդ սմ.

Պատասխանել

Երբ հեղուկը լցվում է, դրա սկզբնական ծավալը չի ​​փոխվում, այսինքն. V 1 \u003d V 2, ինչը նշանակում է, որ հավասարությունը ճիշտ է. \pi\left(\frac(d_1)(2)\right)^2h_1=\pi\left(\frac(3d_1)(2)\աջ)^2h_2

Փոխարինեք պայմանի արժեքները, պարզեցրեք արտահայտությունը և գտեք երկրորդ նավի հեղուկի ցանկալի բարձրությունը h 2:

\pi \enspace\frac(d_1^(2))(4)\enspace 63=\pi \enspace\frac(9d_1^(2))(4)\enspace h_2

\frac(63)(4)=\frac(9)(4)h_2

h_2=\frac(63)(9)=7