» Ուորվիքի համալսարանի մաթեմատիկայի վաստակավոր պրոֆեսոր, գիտության հայտնի հանրահռչակող Յան Ստյուարտը, որը նվիրված է թվերի դերին մարդկության պատմության մեջ և դրանց ուսումնասիրության արդիականությանը մեր ժամանակներում:

Պյութագորասի հիպոթենուզա

Պյութագորասի եռանկյուններն ունեն ուղիղ անկյուն և ամբողջ թվեր: Դրանցից ամենապարզում ամենաերկար կողմն ունի 5 երկարություն, մնացածները՝ 3 և 4։ Ընդհանուր առմամբ կան 5 կանոնավոր բազմանիստ։ Հինգերորդ աստիճանի հավասարումը չի կարող լուծվել հինգերորդ աստիճանի արմատներով կամ որևէ այլ արմատով: Վանդակները հարթության և եռաչափ տարածության մեջ չունեն հնգբլթակ պտտվող համաչափություն, հետևաբար նման համաչափություններ բացակայում են նաև բյուրեղներում։ Այնուամենայնիվ, դրանք կարող են լինել քառաչափ տարածության վանդակների մեջ և հետաքրքիր կառուցվածքներում, որոնք հայտնի են որպես քվազիկրիստալներ:

Պյութագորասի ամենափոքր եռյակի հիպոթենուզը

Պյութագորասի թեորեմն ասում է, որ ուղղանկյուն եռանկյան ամենաերկար կողմը (հռչակավոր հիպոթենուսը) փոխկապակցված է այս եռանկյան մյուս երկու կողմերի հետ շատ պարզ և գեղեցիկ ձևով. հիպոթենուսի քառակուսին հավասար է մյուսի քառակուսիների գումարին։ երկու կողմ.

Ավանդաբար, մենք այս թեորեմն անվանում ենք Պյութագորասի անունով, բայց իրականում դրա պատմությունը բավականին անորոշ է: Կավե տախտակները հուշում են, որ հին բաբելոնացիները գիտեին Պյութագորասի թեորեմը հենց Պյութագորասից շատ առաջ; Հայտնաբերողի փառքը նրան բերեց Պյութագորասի մաթեմատիկական պաշտամունքը, որի կողմնակիցները կարծում էին, որ տիեզերքը հիմնված է թվային օրինաչափությունների վրա: Հին հեղինակները Պյութագորասին, և հետևաբար Պյութագորասին վերագրում էին մի շարք մաթեմատիկական թեորեմներ, բայց իրականում մենք պատկերացում չունենք, թե ինքը Պյութագորասը ինչպիսի մաթեմատիկայով էր զբաղվում: Մենք նույնիսկ չգիտենք, թե արդյոք պյութագորացիները կարող էին ապացուցել Պյութագորասի թեորեմը, թե՞ նրանք պարզապես հավատում էին, որ դա ճիշտ է: Կամ, ավելի հավանական է, ունեին համոզիչ տվյալներ դրա իսկության մասին, որոնք, այնուամենայնիվ, բավարար չէին լինի այն, ինչ մենք այսօր ապացույց ենք համարում։

Պյութագորասի վկայությունը

Պյութագորասի թեորեմի առաջին հայտնի ապացույցը գտնվում է Էվկլիդեսի տարրերում։ Սա բավականին բարդ ապացույց է՝ օգտագործելով գծանկարը, որը վիկտորիանական դպրոցականները անմիջապես կճանաչեն որպես «Պյութագորասյան շալվար». գծանկարն իսկապես հիշեցնում է պարանի վրա չորացող անդրավարտիքի: Բառացիորեն հայտնի են հարյուրավոր այլ ապացույցներ, որոնցից շատերն ավելի ակնհայտ են դարձնում պնդումը։

// Բրինձ. 33. Պյութագորասյան շալվար

Ամենապարզ ապացույցներից մեկը մի տեսակ մաթեմատիկական գլուխկոտրուկ է։ Վերցրեք ցանկացած ուղղանկյուն եռանկյուն, պատրաստեք դրա չորս օրինակ և հավաքեք դրանք քառակուսու ներսում: Մեկ դրվածքով մենք տեսնում ենք քառակուսի հիպոթենուսի վրա. մյուսի հետ - քառակուսիներ եռանկյունու մյուս երկու կողմերում: Հասկանալի է, որ երկու դեպքում էլ տարածքները հավասար են։

// Բրինձ. 34. Ձախ՝ քառակուսի հիպոթենուսի վրա (գումարած չորս եռանկյունի): Աջ՝ մյուս երկու կողմերի քառակուսիների գումարը (գումարած նույն չորս եռանկյունները): Այժմ վերացրեք եռանկյունները

Պերիգալի մասնահատումը ևս մեկ հանելուկ ապացույց է:

// Բրինձ. 35. Պերիգալի մասնահատում

Կա նաև թեորեմի ապացույց՝ օգտագործելով հարթության վրա քառակուսիները: Թերևս այսպես են պյութագորացիները կամ նրանց անհայտ նախորդները բացահայտել այս թեորեմը։ Եթե ​​նայեք, թե թեք քառակուսին ինչպես է համընկնում մյուս երկու քառակուսիների հետ, կարող եք տեսնել, թե ինչպես կարելի է մեծ քառակուսին կտրել մասերի, այնուհետև դրանք միասին դնել երկու փոքր քառակուսիների մեջ: Նաև կարելի է տեսնել ուղղանկյուն եռանկյուններ, որի կողմերը տալիս են երեք ներգրավված քառակուսիների չափերը:

// Բրինձ. 36. Ապացուցում սալահատակով

Հետաքրքիր ապացույցներ կան՝ օգտագործելով նմանատիպ եռանկյունները եռանկյունաչափության մեջ: Հայտնի են առնվազն հիսուն տարբեր ապացույցներ։

Պյութագորասյան եռյակներ

Թվերի տեսության մեջ Պյութագորասի թեորեմը դարձավ բեղմնավոր գաղափարի աղբյուր՝ գտնել հանրահաշվական հավասարումների ամբողջ թվային լուծումներ։ Պյութագորասյան եռյակը a, b և c այնպիսի ամբողջ թվերի բազմություն է, որ

Երկրաչափորեն նման եռյակը սահմանում է ամբողջ թվով կողմերով ուղղանկյուն եռանկյուն:

Պյութագորասյան եռյակի ամենափոքր հիպոթենուսը 5-ն է:

Այս եռանկյան մյուս երկու կողմերը 3 և 4 են։ Ահա

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

Հաջորդ ամենամեծ հիպոթենուսը 10-ն է, քանի որ

62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.

Այնուամենայնիվ, սա, ըստ էության, նույն եռանկյունն է՝ կրկնապատկված կողմերով: Հաջորդ ամենամեծ և իսկապես տարբեր հիպոթենուսը 13-ն է, որի համար

52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.

Էվկլիդեսը գիտեր, որ կան Պյութագորասի եռյակների անսահման թվով տարբեր տատանումներ, և նա տվեց այն, ինչը կարելի է անվանել բոլորը գտնելու բանաձև։ Ավելի ուշ Դիոֆանտ Ալեքսանդրացին առաջարկեց մի պարզ բաղադրատոմս, որը հիմնականում նույնն է, ինչ Էվկլիդեսը:

Վերցրեք ցանկացած երկու բնական թիվ և հաշվարկեք.

նրանց կրկնակի արտադրանքը;

նրանց քառակուսիների տարբերությունը;

դրանց քառակուսիների գումարը:

Ստացված երեք թվերը կլինեն Պյութագորասի եռանկյունու կողմերը:

Վերցրեք, օրինակ, 2 և 1 թվերը: Հաշվեք.

կրկնակի արտադրանք `2 × 2 × 1 = 4;

քառակուսիների տարբերությունը `22 - 12 = 3;

քառակուսիների գումարը՝ 22 + 12 = 5,

և ստացանք հայտնի 3-4-5 եռանկյունին: Եթե ​​փոխարենը վերցնենք 3 և 2 թվերը, ապա կստանանք.

կրկնակի արտադրանք `2 × 3 × 2 = 12;

քառակուսիների տարբերությունը `32 - 22 = 5;

քառակուսիների գումարը՝ 32 + 22 = 13,

և մենք ստանում ենք հաջորդ հայտնի եռանկյունը 5 - 12 - 13: Փորձենք վերցնել 42 և 23 թվերը և ստանալ.

կրկնակի արտադրանքը `2 × 42 × 23 = 1932;

քառակուսիների տարբերությունը՝ 422 - 232 = 1235;

քառակուսիների գումարը՝ 422 + 232 = 2293,

ոչ ոք երբեք չի լսել 1235-1932-2293 եռանկյունու մասին:

Բայց այս թվերը նույնպես աշխատում են.

12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.

Դիոֆանտինի կանոնում կա ևս մեկ հատկանիշ, որի մասին արդեն ակնարկվել է՝ ստանալով երեք թիվ՝ մենք կարող ենք մեկ այլ կամայական թիվ վերցնել և բոլորը բազմապատկել դրանով։ Այսպիսով, 3-4-5 եռանկյունին կարելի է վերածել 6-8-10 եռանկյունու՝ բոլոր կողմերը 2-ով բազմապատկելով, կամ 15-20-25 եռանկյունի՝ ամեն ինչ 5-ով բազմապատկելով։

Եթե ​​անցնենք հանրահաշվի լեզվին, ապա կանոնը ստանում է հետևյալ ձևը՝ թող u, v և k լինեն բնական թվեր։ Այնուհետև ուղղանկյուն եռանկյուն՝ կողքերով

2kuv և k (u2 - v2) ունի հիպոթենուզ

Հիմնական գաղափարը ներկայացնելու այլ եղանակներ կան, բայց դրանք բոլորը հանգում են վերը նկարագրվածին: Այս մեթոդը թույլ է տալիս ստանալ Պյութագորասի բոլոր եռյակները:

Կանոնավոր պոլիեդրաներ

Կան ուղիղ հինգ կանոնավոր պոլիեդրաներ։ Կանոնավոր պոլիէդրոնը (կամ բազմանիստը) հարթ երեսների վերջավոր թվով եռաչափ պատկեր է։ Երեսները միմյանց հետ համընկնում են եզրեր կոչվող գծերի վրա. եզրերը հանդիպում են գագաթներ կոչվող կետերում:

Էվկլիդեսյան «Սկիզբների» գագաթնակետը ապացույցն է այն բանի, որ կարող են լինել միայն հինգ կանոնավոր պոլիէդրաներ, այսինքն՝ բազմանիստ, որոնցում յուրաքանչյուր դեմք գտնվում է. կանոնավոր բազմանկյուն (հավասար կողմեր, հավասար անկյուններ), բոլոր դեմքերը նույնական են և բոլոր գագաթները շրջապատված են հավասար թվովհավասարապես բաժանված եզրեր: Ահա հինգ կանոնավոր պոլիեդրաներ.

չորս եռանկյուն երեսներով, չորս գագաթներով և վեց եզրերով քառասյուն;

խորանարդ կամ վեցանկյուն, 6 քառակուսի երեսներով, 8 գագաթներով և 12 եզրերով;

ութանիստ 8 եռանկյուն դեմքով, 6 գագաթներով և 12 եզրերով;

12 հնգանկյուն երեսներով, 20 գագաթներով և 30 եզրերով տասներկուանիստ;

իկոսաեդրոն՝ 20 եռանկյուն երեսներով, 12 գագաթներով և 30 եզրերով։

// Բրինձ. 37. Հինգ կանոնավոր բազմանիստ

Բնության մեջ կարելի է գտնել նաև կանոնավոր պոլիեդրաներ։ 1904 թվականին Էռնստ Հեկելը հրապարակեց փոքրիկ օրգանիզմների նկարներ, որոնք հայտնի են որպես ռադիոլարերներ. նրանցից շատերը ունեն նույն հինգ կանոնավոր պոլիեդրների ձևը: Միգուցե, այնուամենայնիվ, նա մի փոքր ուղղեց բնությունը, և գծագրերը լիովին չեն արտացոլում կոնկրետ կենդանի էակների ձևը: Առաջին երեք կառուցվածքները նույնպես դիտվում են բյուրեղներում։ Բյուրեղների մեջ դու չես գտնի դոդեկաեդրոն և իկոսաեդրոն, թեև այնտեղ երբեմն հանդիպում են անկանոն տասներկուերորդներ և իկոսաեդրոններ։ Իսկական տասներկուանիստները կարող են հանդես գալ որպես քվազիկրիստալներ, որոնք բոլոր առումներով նման են բյուրեղների, բացառությամբ, որ դրանց ատոմները պարբերական ցանց չեն կազմում։

// Բրինձ. 38. Հեյկելի գծագրեր. ռադիոլարերներ կանոնավոր պոլիեդրների տեսքով

// Բրինձ. 39. Կանոնավոր պոլիեդրայի զարգացումները

Կարող է հետաքրքիր լինել թղթից սովորական պոլիեդրների մոդելներ պատրաստելը՝ նախ կտրելով փոխկապակցված դեմքերի մի շարք. սկանը ծալվում է եզրերի երկայնքով, իսկ համապատասխան եզրերը սոսնձված են իրար: Օգտակար է յուրաքանչյուր նման զույգի եզրերից մեկին սոսինձի համար լրացուցիչ տարածք ավելացնել, ինչպես ցույց է տրված Նկ. 39. Եթե նման հարթակ չկա, կարող եք օգտագործել կպչուն ժապավեն:

Հինգերորդ աստիճանի հավասարում

5-րդ աստիճանի հավասարումների լուծման հանրահաշվական բանաձև չկա։

IN ընդհանուր տեսարան 5-րդ հավասարումն ունի հետևյալ տեսքը.

ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0:

Խնդիրը նման հավասարման լուծման բանաձև գտնելն է (այն կարող է ունենալ մինչև հինգ լուծում): Քառակուսի և խորանարդ հավասարումների, ինչպես նաև չորրորդ աստիճանի հավասարումների հետ կապված փորձը հուշում է, որ նման բանաձև պետք է լինի նաև հինգերորդ աստիճանի հավասարումների համար, և տեսականորեն հինգերորդ, երրորդ և երկրորդ աստիճանի արմատները պետք է հայտնվեն. այն. Կրկին կարելի է հանգիստ ենթադրել, որ նման բանաձևը, եթե այն լինի, շատ ու շատ բարդ կստացվի։

Այս ենթադրությունը, ի վերջո, սխալ դուրս եկավ։ Իրոք, նման բանաձև գոյություն չունի. համենայնդեպս, չկա բանաձև, որը բաղկացած է a, b, c, d, e և f գործակիցներից, որոնք կազմված են գումարում, հանում, բազմապատկում և բաժանում, ինչպես նաև արմատներ վերցնում: Այսպիսով, 5 թվի մեջ շատ յուրահատուկ բան կա: Հինգի այս անսովոր վարքի պատճառները շատ խորն են, և դրանք պարզելու համար շատ ժամանակ պահանջվեց:

Խնդիրի առաջին նշանն այն էր, որ որքան էլ մաթեմատիկոսները փորձեին գտնել նման բանաձև, որքան էլ խելացի լինեին, նրանք միշտ ձախողվում էին: Որոշ ժամանակ բոլորը հավատում էին, որ պատճառները բանաձևի անհավանական բարդության մեջ են։ Համարվում էր, որ ոչ ոք պարզապես չի կարող ճիշտ հասկանալ այս հանրահաշիվը: Սակայն ժամանակի ընթացքում որոշ մաթեմատիկոսներ սկսեցին կասկածել, որ նման բանաձև նույնիսկ գոյություն ունի, և 1823 թվականին Նիլս Հենդրիկ Աբելը կարողացավ ապացուցել հակառակը։ Նման բանաձև չկա. Դրանից կարճ ժամանակ անց Էվարիստ Գալուան գտավ մի միջոց՝ որոշելու, թե արդյոք այս կամ այն ​​աստիճանի հավասարումը` 5-րդ, 6-րդ, 7-րդ, ընդհանուր առմամբ ցանկացած, լուծելի է այս բանաձևի միջոցով:

Այս ամենից եզրակացությունը պարզ է՝ 5 թիվը առանձնահատուկ է։ Դուք կարող եք որոշել հանրահաշվական հավասարումներ(օգտագործելով արմատներ n-րդ աստիճանՀամար տարբեր իմաստներժդ) 1-ին, 2-րդ, 3-րդ և 4-րդ աստիճանների համար, բայց ոչ 5-րդ աստիճանի համար: Այստեղ ավարտվում է ակնհայտ օրինաչափությունը:

Ոչ ոք չի զարմանում, որ 5-ից ավելի հզորությունների հավասարումները ավելի վատ են վարվում. Մասնավորապես, դրանց հետ կապված է նույն դժվարությունը՝ դրանց լուծման ընդհանուր բանաձեւեր չկան։ Սա չի նշանակում, որ հավասարումները լուծումներ չունեն. դա չի նշանակում նաև, որ անհնար է գտնել այս լուծումների շատ ճշգրիտ թվային արժեքներ: Ամեն ինչ վերաբերում է ավանդական հանրահաշվի գործիքների սահմանափակումներին: Սա հիշեցնում է քանոնով և կողմնացույցով անկյունը եռահատելու անհնարինությունը: Պատասխան կա, բայց թվարկված մեթոդները բավարար չեն և թույլ չեն տալիս որոշել, թե դա ինչ է։

Բյուրեղագրական սահմանափակում

Երկու և եռաչափ բյուրեղները չունեն 5 ճառագայթով պտտվող համաչափություն:

Բյուրեղի ատոմները կազմում են վանդակ, այսինքն՝ կառուցվածք, որը պարբերաբար կրկնվում է մի քանի անկախ ուղղություններով։ Օրինակ, պաստառի նախշը կրկնվում է գլանափաթեթի երկարությամբ; բացի այդ, այն սովորաբար կրկնվում է հորիզոնական ուղղությամբ՝ երբեմն պաստառի մի կտորից մյուսը տեղափոխելով: Ըստ էության, պաստառը երկչափ բյուրեղ է:

Ինքնաթիռում առկա են պաստառների նախշերի 17 տեսակ (տե՛ս գլուխ 17): Նրանք տարբերվում են սիմետրիայի տեսակներից, այսինքն՝ նախշը կոշտորեն փոխելու եղանակներով, որպեսզի այն իր սկզբնական դիրքում հենց իր վրա ընկնի։ Սիմետրիայի տեսակները ներառում են, մասնավորապես, պտտվող սիմետրիայի տարբեր տարբերակներ, որտեղ նախշը պետք է պտտվի որոշակի անկյան տակ որոշակի կետի շուրջը` սիմետրիայի կենտրոնը:

Պտտման համաչափության կարգն այն է, թե քանի անգամ կարող եք մարմինը պտտել ամբողջական շրջանով, որպեսզի նկարի բոլոր մանրամասները վերադառնան իրենց սկզբնական դիրքերին: Օրինակ, 90° ռոտացիան 4-րդ կարգի պտտման համաչափություն է*։ Բյուրեղային ցանցում պտտվող սիմետրիայի հնարավոր տեսակների ցանկը կրկին մատնանշում է 5 թվի անսովորությունը. այն չկա: Գոյություն ունեն 2-րդ, 3-րդ, 4-րդ և 6-րդ կարգերի պտտվող սիմետրիկությամբ տարբերակներ, սակայն ոչ մի պաստառի նախշ չունի 5-րդ կարգի պտտվող համաչափություն: Չկա նաև բյուրեղներում 6-ից մեծ կարգի պտտվող սիմետրիա, բայց հաջորդականության առաջին խախտումը դեռ տեղի է ունենում 5 թվի մոտ։

Նույնը տեղի է ունենում եռաչափ տարածության բյուրեղագրական համակարգերի դեպքում։ Այստեղ վանդակաճաղը կրկնվում է երեք անկախ ուղղություններով. Կա 219 տարբեր տեսակի համաչափություն, կամ 230, եթե օրինաչափության հայելային արտացոլումը դիտարկենք որպես դրա առանձին տարբերակ, ավելին, այս դեպքում հայելային համաչափություն չկա։ Կրկին նկատվում են 2, 3, 4 և 6 կարգերի պտտվող համաչափություններ, բայց ոչ 5: Այս փաստը կոչվում է բյուրեղագրական սահմանափակում:

Քառաչափ տարածության մեջ կան 5-րդ կարգի համաչափությամբ վանդակավորներ. Ընդհանրապես, բավականաչափ բարձր հարթության վանդակների համար հնարավոր է պտտման համաչափության ցանկացած կանխորոշված ​​կարգ:

// Բրինձ. 40. Սեղանի աղի բյուրեղյա վանդակ: Մուգ գնդիկները ներկայացնում են նատրիումի ատոմները, բաց գնդիկները՝ քլորի ատոմները:

Քվազիկրիստալներ

Թեև 5-րդ կարգի պտտման համաչափությունը հնարավոր չէ 2D և 3D ցանցերում, այն կարող է գոյություն ունենալ մի փոքր ավելի քիչ կանոնավոր կառույցներում, որոնք հայտնի են որպես քվազիկրիստալներ: Օգտագործելով Kepler-ի էսքիզները՝ Ռոջեր Պենրոուզը հայտնաբերել է հարթ համակարգեր՝ ավելի ընդհանուր տիպի հնգապատիկ համաչափությամբ։ Դրանք կոչվում են քվազիկրիստալներ։

Քվազիկրիստալները գոյություն ունեն բնության մեջ: 1984 թվականին Դանիել Շեխտմանը հայտնաբերեց, որ ալյումինի և մանգանի համաձուլվածքը կարող է ձևավորել քվազի-բյուրեղներ. սկզբում բյուրեղագետները նրա ուղերձը դիմավորեցին որոշակի թերահավատությամբ, սակայն հետագայում հայտնագործությունը հաստատվեց, և 2011 թվականին Շեխթմանը պարգևատրվեց. Նոբելյան մրցանակքիմիայի մեջ։ 2009 թվականին Լուկա Բինդիի գլխավորած գիտնականների խումբը ռուսական Կորյակ լեռնաշխարհից մի հանքանյութում հայտնաբերել է քվազիբյուրեղներ՝ ալյումինի, պղնձի և երկաթի միացություն: Այսօր այս հանքանյութը կոչվում է icosahedrite: Զանգվածային սպեկտրոմետրով հանքանյութում թթվածնի տարբեր իզոտոպների պարունակությունը չափելով՝ գիտնականները ցույց տվեցին, որ այս միներալը Երկրի վրա չի առաջացել։ Այն ձևավորվել է մոտ 4,5 միլիարդ տարի առաջ, այն ժամանակ, երբ Արեգակնային համակարգեղել է իր մանկության մեջ, և իր ժամանակի մեծ մասն անցկացրել է աստերոիդների գոտում՝ պտտվելով Արեգակի շուրջը, մինչև ինչ-որ խանգարումը փոխեց նրա ուղեծիրը և ի վերջո բերեց այն Երկիր:

// Բրինձ. 41. Ձախ՝ ճշգրիտ հնգապատիկ սիմետրիկությամբ երկու քվազիբյուրեղային վանդակներից մեկը: Աջ՝ իկոսաեդրային ալյումին-պալադիում-մանգան քվազիկյուրիստալի ատոմային մոդել

Դիոֆանտինյան հավասարման կարևոր օրինակ է տրված Պյութագորասի թեորեմը, որը կապում է ուղղանկյուն եռանկյան ոտքերի x և y երկարությունները նրա հիպոթենուսի z երկարության հետ.

Իհարկե, դուք հանդիպել եք բնական թվերի այս հավասարման հրաշալի լուծումներից մեկին, այն է՝ Պյութագորասյան թվերի եռապատիկը։ x=3, y=4, z=5.Կա՞ն այլ եռյակներ:

Պարզվում է, որ կան անսահման շատ Պյութագորասյան եռյակներ, և բոլորը հայտնաբերվել են շատ վաղուց։ Դրանք կարելի է ձեռք բերել հայտնի բանաձևերով, որոնց մասին կիմանաք այս պարբերությունից։

Եթե ​​առաջին և երկրորդ աստիճանի դիոֆանտին հավասարումները արդեն լուծված են, ապա հավասարումների լուծման հարցն ավելի շատ է. բարձր աստիճաններդեռ բաց է մնում՝ չնայած մեծագույն մաթեմատիկոսների ջանքերին։ Ներկայումս, օրինակ, Ֆերմայի հայտնի ենթադրությունը, որ ցանկացած ամբողջ արժեքի համար n2հավասարումը

չունի լուծումներ ամբողջ թվերով:

Դիոֆանտինյան հավասարումների որոշ տեսակների լուծման համար, այսպես կոչված բարդ թվեր.Ինչ է դա? Թող i տառը նշանակի պայմանին բավարարող ինչ-որ առարկա i 2 \u003d -1(պարզ է, որ ոչ մի իրական թիվ չի բավարարում այս պայմանին): Դիտարկենք ձևի արտահայտությունները α+iβ,որտեղ α և β իրական թվեր են: Նման արտահայտությունները կոչվելու են բարդ թվեր՝ սահմանելով դրանց վրա գումարման և բազմապատկման գործողությունները, ինչպես նաև երկանդամների վրա, բայց միայն այն տարբերությամբ, որ արտահայտությունը. ես 2ամենուր մենք կփոխարինենք -1 թիվը.

7.1. Երեքից շատերը

Ապացուցեք, որ եթե x0, y0, z0- Պյութագորաս եռակի, հետո եռակի y 0, x 0, z 0Եվ x 0 k, y 0 k, z 0 k k բնական պարամետրի ցանկացած արժեքի համար նույնպես պյութագորաս են:

7.2. Մասնավոր բանաձևեր

Ստուգեք դա ցանկացած բնական արժեքների համար m>nձևի եռամիասնություն

պյութագորաս է։ Արդյո՞ք դա որևէ Պյութագորասյան եռյակ է x, y, zկարելի է ներկայացնել այս ձևով, եթե թույլ տաք x և y թվերը վերադասավորել եռակի մեջ:

7.3. Անկրճատվող եռյակներ

Պյութագորասյան եռյակը, որը 1-ից մեծ ընդհանուր բաժանարար չունի, կկոչվի անկրճատելի։ Ապացուցեք, որ Պյութագորասի եռյակն անկրճատելի է միայն այն դեպքում, եթե եռակի թվերից որևէ երկուսը համապարփակ են:

7.4. Անկրճատելի եռապատիկների հատկություն

Ապացուցեք, որ ցանկացած անկրճատելի պյութագորասյան եռյակում x, y, z z թիվը և x կամ y թվերից ճիշտ մեկը կենտ են:

7.5. Բոլոր անկրճատելի եռապատիկները

Ապացուցեք, որ x, y, z թվերի եռապատիկը անկրճատելի պյութագորասյան եռապատիկ է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե այն համընկնում է մինչև առաջին երկու թվերի կարգի եռակի հետ։ 2mn, m 2 - n 2, m 2 + n 2,Որտեղ m>n- տարբեր պարիտետների համապարփակ բնական թվեր:

7.6. Ընդհանուր բանաձևեր

Ապացուցեք, որ հավասարման բոլոր լուծումները

բնական թվերում բանաձևերով տրվում են x և y անհայտի կարգով

որտեղ m>n և k-ը բնական պարամետրեր են (որևէ եռյակի կրկնօրինակումից խուսափելու համար բավական է ընտրել coprime տիպի և, ընդ որում, տարբեր պարիտետի թվեր)։

7.7. Առաջին 10 եռյակ

Գտեք բոլոր Պյութագորասյան եռյակները x, y, zպայմանը բավարարելը x

7.8. Պյութագորասյան եռյակների հատկությունները

Ապացուցեք դա Պյութագորասի ցանկացած եռյակի համար x, y, zպնդումները ճշմարիտ են.

ա) x կամ y թվերից առնվազն մեկը 3-ի բազմապատիկ է.

բ) x կամ y թվերից առնվազն մեկը 4-ի բազմապատիկ է.

գ) x, y կամ z թվերից առնվազն մեկը 5-ի բազմապատիկ է:

7.9. Դիմում բարդ թվեր

Կոմպլեքս թվի մոդուլը α + iβկոչվում է ոչ բացասական թիվ

Ստուգեք դա ցանկացած բարդ թվերի համար α + iβԵվ γ + iδգույքը կատարվում է

Օգտագործելով կոմպլեքս թվերի հատկությունները և դրանց մոդուլները, ապացուցեք, որ ցանկացած երկու ամբողջ թվեր m և n բավարարում են հավասարությունը.

այսինքն՝ նրանք լուծում են տալիս հավասարմանը

ամբողջ թվեր (համեմատեք 7.5 խնդրի հետ):

7.10. Ոչ պյութագորասյան եռյակներ

Օգտագործելով բարդ թվերի հատկությունները և դրանց մոդուլները (տես Խնդիր 7.9), գտե՛ք հավասարման ցանկացած ամբողջ թվային լուծումների բանաձևեր.

ա) x 2 + y 2 \u003d z 3; բ) x 2 + y 2 \u003d z 4.

Լուծումներ

7.1. Եթե x 0 2 + y 0 2 = z 0 2,Դա y 0 2 + x 0 2 = z 0 2,իսկ k-ի ցանկացած բնական արժեքի համար ունենք

Ք.Ե.Դ.

7.2. Հավասարություններից

մենք եզրակացնում ենք, որ խնդրի մեջ նշված եռապատիկը բավարարում է հավասարումը x 2 + y 2 = z 2բնական թվերով։ Այնուամենայնիվ, ոչ ամեն Պյութագորասի եռյակը x, y, zկարող է ներկայացվել այս ձևով. Օրինակ, եռակի 9, 12, 15-ը պյութագորասյան է, բայց 15 թիվը չի կարող ներկայացվել որպես ցանկացած երկու բնական թվերի m և n քառակուսիների գումար։

7.3. Եթե ​​Պյութագորասի եռյակից որևէ երկու թիվ x, y, zունեն ընդհանուր բաժանարարդ, ապա դա կլինի երրորդ թվի բաժանարարը (այսպես՝ դեպքում x = x 1 դ, y = y 1 դմենք ունենք z 2 \u003d x 2 + y 2 \u003d (x 1 2 + y 1 2) d 2,որտեղից z 2-ը բաժանվում է d-ի 2-ի, իսկ z-ը բաժանվում է d-ի): Հետևաբար, որպեսզի Պյութագորասի եռյակը անկրճատելի լինի, անհրաժեշտ է, որ եռակի թվերից ցանկացած երկուսը լինեն համապարփակ,

7.4. Նկատի ունեցեք, որ x կամ y թվերից մեկը, ասենք x, Պյութագորասի անկրճատելի եռյակի x, y, zկենտ է, քանի որ հակառակ դեպքում x և y թվերը չեն լինի համապարփակ (տե՛ս խնդիրը 7.3): Եթե ​​մյուս y թիվը նույնպես կենտ է, ապա երկու թվերն էլ

4-ի բաժանելիս տվեք 1-ի մնացորդը և թիվը z 2 \u003d x 2 + y 2 4-ի բաժանելիս տալիս է 2-ի մնացորդ, այսինքն՝ այն բաժանվում է 2-ի, բայց չի բաժանվում 4-ի, որը չի կարող լինել։ Այսպիսով, y թիվը պետք է լինի զույգ, իսկ z թիվը պետք է լինի կենտ։

7.5. Թող Պյութագորասը եռապատկվի x, y, zանկրճատելի է, և որոշակիության համար x թիվը զույգ է, իսկ y, z թվերը կենտ են (տե՛ս խնդիրը 7.4): Հետո

որտեղ են թվերը ամբողջական են. Ապացուցենք, որ a և b թվերը համապարփակ են։ Իսկապես, եթե նրանք ունենային 1-ից մեծ ընդհանուր բաժանարար, ապա թվերը կունենային նույն բաժանարարը. z = a + b, y = a - b,այսինքն՝ եռյակը անկրճատելի չէր լինի (տես Խնդիր 7.3): Այժմ, a և b թվերը ընդլայնելով պարզ գործակիցների արտադրյալների մեջ, մենք նկատում ենք, որ ցանկացած պարզ գործոն պետք է ներառվի արտադրյալի մեջ: 4ab = x2միայն մեջ նույնիսկ աստիճան, իսկ եթե այն ներառված է a թվի ընդլայնման մեջ, ապա չի մտնում b թվի ընդլայնման մեջ և հակառակը։ Հետևաբար, ցանկացած պարզ գործոն ներառված է a կամ b թվի ընդլայնման մեջ առանձին միայն զույգ աստիճանով, ինչը նշանակում է, որ այդ թվերն իրենք ամբողջ թվերի քառակուսիներ են։ դնենք ապա մենք ստանում ենք հավասարությունները

ընդ որում, m>n բնական պարամետրերը միաժամանակ պարզ են (a և b թվերի համատեղ պարզության պատճառով) և ունեն տարբեր հավասարություն (կենտ թվի պատճառով): z \u003d m 2 + n 2).

Թող հիմա տարբեր հավասարության m>n բնական թվերը լինեն համապարփակ: Հետո եռյակը x \u003d 2mn, y \u003d m 2 - n 2, z \u003d m 2 + n 2, ըստ խնդրի 7.2-ի՝ պյութագորասյան է։ Եկեք ապացուցենք, որ այն անկրճատելի է։ Դա անելու համար բավական է ստուգել, ​​որ y և z թվերը չունեն ընդհանուր բաժանարարներ (տե՛ս խնդիրը 7.3): Փաստորեն, այս երկու թվերն էլ կենտ են, քանի որ տիպի թվերն ունեն տարբեր պարիտետներ։ Եթե ​​y և z թվերն ունեն ինչ-որ պարզ ընդհանուր բաժանարար (ապա այն պետք է լինի կենտ), ապա թվերից յուրաքանչյուրը և և նրանց հետ m և n թվերն ունեն նույն բաժանարարը, ինչը հակասում է նրանց փոխադարձ պարզությանը։

7.6. 7.1 և 7.2 խնդիրներում ձևակերպված պնդումների ուժով այս բանաձևերը սահմանում են միայն պյութագորասյան եռյակներ։ Մյուս կողմից, ցանկացած Պյութագորասի եռյակ x, y, zամենամեծ ընդհանուր բաժանարարով k-ով կրճատելուց հետո x և y թվերի զույգը դառնում է անկրճատելի (տե՛ս խնդիրը 7.3) և, հետևաբար, կարող է ներկայացվել մինչև x և y թվերի կարգը 7.5-ում նկարագրված տեսքով: Հետևաբար, Պյութագորասի ցանկացած եռյակ տրվում է պարամետրերի որոշ արժեքների համար նշված բանաձևերով:

7.7. Անհավասարությունից z և 7.6 խնդրի բանաձևերը ստանում ենք գնահատականը մ 2, այսինքն. մ≤5. Ենթադրելով m = 2, n = 1Եվ k = 1, 2, 3, 4, 5,մենք ստանում ենք եռյակ 3, 4, 5; 6, 8, 10; 9, 12, 15; 12,16,20; 15, 20, 25. Ենթադրելով m=3, n=2Եվ k = 1, 2,մենք ստանում ենք եռյակ 5, 12, 13; 10, 24, 26. Ենթադրելով m = 4, n = 1, 3Եվ k = 1,մենք ստանում ենք եռյակ 8, 15, 17; 7, 24, 25. Վերջապես, ենթադրելով m=5, n=2Եվ k = 1,մենք ստանում ենք երեք 20, 21, 29.

Հարմար և շատ ճշգրիտ մեթոդը, որն օգտագործվում է հողաչափերի կողմից գետնի վրա ուղղահայաց գծեր գծելու համար, հետևյալն է. Թող պահանջվի A կետով ուղղահայաց գծել MN ուղղին (նկ. 13): Պահեք A-ից AM-ի ուղղությամբ երեք անգամ որոշ հեռավորության վրա a. Այնուհետեւ լարի վրա երեք հանգույց են կապում, որոնց միջեւ հեռավորությունները 4ա եւ 5ա են։ Ծայրահեղ հանգույցները A և B կետերին ամրացնելով, լարը քաշեք միջին հանգույցի վրայով: Լարը կգտնվի եռանկյունու մեջ, որում A անկյունն ուղղանկյուն է։

Այս հնագույն մեթոդը, ըստ երեւույթին, օգտագործվել է հազարավոր տարիներ առաջ շինարարների կողմից Եգիպտական ​​բուրգեր, հիմնված է այն փաստի վրա, որ յուրաքանչյուր եռանկյուն, որի կողմերը կապված են 3:4:5, ըստ հայտնի Պյութագորասի թեորեմի, ուղղանկյուն է, քանի որ.

3 2 + 4 2 = 5 2 .

Բացի 3, 4, 5 թվերից, կա, ինչպես հայտնի է, a, b, c դրական ամբողջ թվերի անհաշվելի բազմություն, որը բավարարում է հարաբերությունը.

A 2 + b 2 \u003d c 2.

Դրանք կոչվում են պյութագորասյան թվեր։ Պյութագորասի թեորեմի համաձայն՝ նման թվերը կարող են ծառայել որպես ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի երկարություններ. հետևաբար, a-ն և b-ն կոչվում են «ոտքեր», իսկ c-ն կոչվում է «հիպոթենուս»:

Հասկանալի է, որ եթե a, b, c-ն պյութագորասյան թվերի եռապատիկ է, ապա pa, pb, pc, որտեղ p-ն ամբողջ գործակից է, պյութագորասյան թվեր են։ Ընդհակառակը, եթե Պյութագորասի թվերն ունեն ընդհանուր գործակից, ապա այս ընդհանուր գործակցով դուք կարող եք կրճատել դրանք բոլորը, և կրկին կստանաք Պյութագորասի թվերի եռապատիկ: Ուստի նախ կուսումնասիրենք պյութագորասյան համապարփակ թվերի միայն եռյակները (մնացածները ստացվում են դրանցից՝ բազմապատկելով p ամբողջ գործակցով)։

Ցույց տանք, որ նման եռյակներից յուրաքանչյուրում a, b, c «ոտքերից» մեկը պետք է լինի զույգ, իսկ մյուսը՝ կենտ։ Եկեք վիճենք «հակառակը». Եթե ​​երկու «ոտքերը» և «a»-ն զույգ են, ապա a 2 + b 2 թիվը կլինի զույգ, և հետևաբար «հիպոթենուզը»: Սա, սակայն, հակասում է այն փաստին, որ a, b, c թվերը չունեն ընդհանուր գործակից, քանի որ երեք զույգ թվերի ընդհանուր գործակիցը 2 է: Այսպիսով, a, b «ոտքերից» առնվազն մեկը կենտ է:

Մնում է ևս մեկ հնարավորություն՝ երկու «ոտքերը» էլ կենտ են, իսկ «հիպոթենուզը»՝ զույգ։ Հեշտ է ապացուցել, որ դա չի կարող լինել։ Իսկապես, եթե «ոտքերը» ունեն ձևը

2x + 1 և 2y + 1,

ապա նրանց քառակուսիների գումարն է

4x 2 + 4x + 1 + 4y 2 + 4y + 1 \u003d 4 (x 2 + x + y 2 + y) + 2,

այսինքն՝ դա մի թիվ է, որը 4-ի բաժանելիս ստանում է 2-ի մնացորդ։ Մինչդեռ ցանկացած զույգ թվի քառակուսին առանց մնացորդի պետք է բաժանվի 4-ի։ Այսպիսով, երկու կենտ թվերի քառակուսիների գումարը չի կարող լինել զույգ թվի քառակուսի. այլ կերպ ասած՝ մեր երեք թվերը պյութագորասյան չեն։

Այսպիսով, a, b «ոտքերից» մեկը զույգ է, մյուսը՝ կենտ։ Հետևաբար, a 2 + b 2 թիվը կենտ է, ինչը նշանակում է, որ c «հիպոթենուսը» նույնպես կենտ է։

Ենթադրենք, որոշակիության համար, այդ կենտը «ոտք» է a, և զույգ b: Հավասարությունից

a 2 + b 2 = c 2

մենք հեշտությամբ ստանում ենք.

A 2 \u003d c 2 - b 2 \u003d (c + b) (c - b):

C + b և c - b գործակիցները աջ կողմում համապարփակ են: Իսկապես, եթե այս թվերը մեկից բացի ընդհանուր պարզ գործոն ունենային, ապա գումարը նույնպես կբաժանվի այս գործակցի վրա։

(c + b) + (c - b) = 2c,

և տարբերություն

(c + b) - (c - b) = 2b,

և աշխատել

(c + b) (c - b) \u003d a 2,

այսինքն 2c, 2b և a թվերը կունենան ընդհանուր գործակից: Քանի որ a-ն կենտ է, այս գործակիցը տարբերվում է երկուսից, հետևաբար a, b, c թվերն ունեն նույն ընդհանուր գործակիցը, որը, սակայն, չի կարող լինել։ Ստացված հակասությունը ցույց է տալիս, որ c + b և c - b թվերը համատեղ պարզ են:

Բայց եթե համապարփակ թվերի արտադրյալը ճշգրիտ քառակուսի է, ապա նրանցից յուրաքանչյուրը քառակուսի է, այսինքն.

Այս համակարգը լուծելով՝ մենք գտնում ենք.

C \u003d (m 2 + n 2) / 2, b \u003d (m 2 - n 2) / 2, և 2 \u003d (c + b) (c - b) \u003d m 2 n 2, a \u003d մն.

Այսպիսով, դիտարկվող պյութագորասյան թվերն ունեն ձևը

A \u003d mn, b \u003d (m 2 - n 2) / 2, c \u003d (m 2 + n 2) / 2:

որտեղ m-ը և n-ը որոշ համապարփակ կենտ թվեր են: Ընթերցողը կարող է հեշտությամբ ստուգել հակառակը. ցանկացած կենտ տիպի համար գրված բանաձևերը տալիս են երեք պյութագորասական a, b, c թվեր:

Ահա Պյութագորասի թվերի մի քանի եռյակներ, որոնք ստացվել են տարբեր տեսակներով.

m = 3, n = 1 3 2 + 4 2 = 5 2 համար m = 5, n = 1 5 2 + 12 2 = 13 2 համար m = 7, n = 1 7 2 + 24 2 = 25 2 համար m = 7. = 9, n = 1 9 2 + 40 2 = 41 2 մ = 11, n = 1 11 2 + 60 2 = 61 2 մ = 13, n = 1 13 2 + 84 2 = 85 2 մ = 5-ում: , n = 3 15 2 + 8 2 = 17 2 m = 7-ի համար, n = 3 21 2 + 20 2 = 29 2 m = 11-ի համար, n = 3 33 2 + 56 2 = 65 2 m = 13, n-ի համար: = 3 39 2 + 80 2 = 89 2 մ = 7, n = 5 35 2 + 12 2 = 37 2 մ = 9, n = 5 45 2 + 28 2 = 53 2 մ = 11, n = 5 55 2 + 48 2 = 73 2 մ = 13, n = 5 65 2 + 72 2 = 97 2 մ = 9, n = 7 63 2 + 16 2 = 65 2 մ = 11, n = 7 77 2 + 36 2 = 85 2

(Պյութագորասի թվերի մնացած բոլոր եռյակները կամ ունեն ընդհանուր գործակիցներ կամ պարունակում են հարյուրից մեծ թվեր):

«Կրթության տարածաշրջանային կենտրոն»

Մեթոդական մշակում

Օգտագործելով Պյութագորասի եռյակները լուծելիս

երկրաչափական խնդիրներ և եռանկյունաչափական առաջադրանքներ ՕԳՏԱԳՈՐԾԵԼ

Կալուգա, 2016 թ

I. Ներածություն

Պյութագորասի թեորեմը երկրաչափության հիմնական և, նույնիսկ կարելի է ասել, ամենակարևոր թեորեմներից մեկն է։ Դրա նշանակությունը կայանում է նրանում, որ երկրաչափության թեորեմների մեծ մասը կարելի է դուրս բերել դրանից կամ նրա օգնությամբ։ Պյութագորասի թեորեմը ուշագրավ է նաև նրանով, որ ինքնին բոլորովին ակնհայտ չէ։ Օրինակ, հավասարաչափ եռանկյունու հատկությունները կարելի է տեսնել անմիջապես գծագրում: Բայց անկախ նրանից, թե ինչպես եք նայում ուղղանկյուն եռանկյունին, դուք երբեք չեք տեսնի, որ նրա կողմերի միջև կա այդպիսի պարզ հարաբերակցություն. a2+b2=գ2. Այնուամենայնիվ, Պյութագորասը չէր, ով հայտնաբերեց իր անունը կրող թեորեմը։ Դա հայտնի էր նույնիսկ ավելի վաղ, բայց գուցե միայն որպես չափումներից բխող փաստ։ Ենթադրաբար, Պյութագորասը գիտեր դա, բայց գտավ ապացույցներ:

Անսահման թվով բնական թվեր կան ա, բ, գ, բավարարելով հարաբերությունները a2+b2=գ2.. Դրանք կոչվում են պյութագորասյան թվեր: Պյութագորասի թեորեմի համաձայն՝ նման թվերը կարող են ծառայել որպես ուղղանկյուն եռանկյունի կողմերի երկարություններ. մենք դրանք կանվանենք Պյութագորասի եռանկյունիներ։

Աշխատանքի նպատակը.ուսումնասիրել Պյութագորասի եռյակների օգտագործման հնարավորությունն ու արդյունավետությունը խնդիրների լուծման համար դպրոցական դասընթացմաթեմատիկա, USE առաջադրանքներ.

Ելնելով աշխատանքի նպատակից՝ հետևյալը առաջադրանքներ:

Ուսումնասիրել Պյութագորասի եռյակների պատմությունը և դասակարգումը: Վերլուծեք առաջադրանքները՝ օգտագործելով Պյութագորասի եռյակները, որոնք առկա են դպրոցական դասագրքերում և հայտնաբերված քննության հսկիչ և չափիչ նյութերում: Գնահատեք Պյութագորասի եռյակների և դրանց հատկությունների օգտագործման արդյունավետությունը խնդիրների լուծման համար:

Ուսումնասիրության օբյեկտՊյութագորասյան թվերի եռյակներ:

Ուսումնասիրության առարկաեռանկյունաչափության և երկրաչափության դպրոցական դասընթացի առաջադրանքներ, որոնցում օգտագործվում են պյութագորասյան եռյակներ։

Հետազոտության արդիականությունը. Պյութագորասյան եռյակներհաճախ օգտագործվում են երկրաչափության և եռանկյունաչափության մեջ, դրանց իմացությունը կվերացնի հաշվարկների սխալները և կխնայի ժամանակը:

II. Հիմնական մասը. Խնդիրների լուծում՝ օգտագործելով Պյութագորաս եռյակները:

2.1. Պյութագորասի թվերի եռակի աղյուսակ (ըստ Պերելմանի)

Պյութագորասյան թվերն ունեն ձև ա= m n, , որտեղ m-ը և n-ը որոշ համապարփակ կենտ թվեր են:

Պյութագորասյան թվերն ունեն մի շարք հետաքրքիր առանձնահատկություններ.

«Ոտքերից» մեկը պետք է լինի երեքի բազմապատիկ։

«Ոտքերից» մեկը պետք է լինի չորսի բազմապատիկ։

Պյութագորասյան թվերից մեկը պետք է լինի հինգի բազմապատիկ։

«Զվարճալի հանրահաշիվ» գիրքը պարունակում է մինչև հարյուր թվեր պարունակող պյութագորասյան եռյակների աղյուսակ, որոնք չունեն ընդհանուր գործակիցներ։

		32+42=52
		52+122=132
		72+242=252
		92+402=412
		112+602=612
		132+842=852
		152+82=172
		212 +202=292
		332+562=652
		392+802=892
		352+122=372
		452+282=532
		552+482=732
		652+722=972
		632+162=652
		772+362=852

2.2. Պյութագորասյան եռյակների Շուստրովի դասակարգումը.

Շուստրովը հայտնաբերել է հետևյալ օրինաչափությունը. եթե Պյութագորասի բոլոր եռանկյունները բաժանված են խմբերի, ապա հետևյալ բանաձևերը վավեր են x, զույգ y և z հիպոթենուսի համար.

x \u003d (2N-1) (2n + 2N-1); y = 2n (n+2N-1); z = 2n (n+2N-1)+(2N-1) 2, որտեղ N-ը ընտանիքի թիվն է, իսկ n-ը՝ ընտանիքի եռանկյունու հերթական թիվը:

Բանաձևում փոխարինելով N և n ցանկացած դրական ամբողջ թվեր, սկսած մեկից, կարող եք ստանալ բոլոր հիմնական Պյութագորասի եռյակները, ինչպես նաև որոշակի տեսակի բազմապատիկները: Դուք կարող եք պատրաստել Պյութագորասի բոլոր եռյակների սեղան յուրաքանչյուր ընտանիքի համար:

2.3. Պլանաչափության առաջադրանքներ

Դիտարկենք երկրաչափության տարբեր դասագրքերի խնդիրները և պարզենք, թե որքան հաճախ են պյութագորասյան եռյակները հանդիպում այս առաջադրանքներում: Պյութագորասյան եռյակների աղյուսակում երրորդ տարրը գտնելու աննշան խնդիրները չեն դիտարկվի, թեև դրանք հանդիպում են նաև դասագրքերում: Եկեք ցույց տանք, թե ինչպես կարելի է նվազեցնել խնդրի լուծումը, որի տվյալները արտահայտված չեն բնական թվեր, Պյութագորասյան եռյակներին։

Դիտարկենք առաջադրանքներ երկրաչափության դասագրքից 7-9-րդ դասարանների համար:

№ 000. Գտե՛ք ուղղանկյուն եռանկյան հիպոթենուսը Ա=, բ=.

Լուծում. Ոտքերի երկարությունները բազմապատկենք 7-ով, պյութագորասյան եռյակից ստանում ենք երկու տարր՝ 3 և 4։ Բացակայող տարրը 5-ն է, որը բաժանում ենք 7-ի։Պատասխանել։

№ 000. ABCD ուղղանկյունում գտե՛ք BC, եթե CD=1.5, AC=2.5:

https://pandia.ru/text/80/406/images/image007_0.gif" width="240" height="139 src=">

Լուծում. Եկեք լուծենք ACD ուղղանկյուն եռանկյունը: Երկարությունները բազմապատկում ենք 2-ով, պյութագորասյան եռյակից ստանում ենք երկու տարր՝ 3 և 5, բացակայող տարրը 4-ն է, որը բաժանում ենք 2-ի։Պատասխան՝ 2։

Հաջորդ թիվը լուծելիս ստուգեք հարաբերակցությունը a2+b2=գ2դա լիովին ընտրովի է, բավական է օգտագործել պյութագորասյան թվերը և դրանց հատկությունները:

№ 000. Պարզեք, թե արդյոք եռանկյունը ուղղանկյուն է, եթե նրա կողմերը արտահայտված են թվերով.

ա) 6,8,10 (Պյութագորաս եռակի 3,4.5) - այո;

Ուղղանկյուն եռանկյան անկյուններից մեկը պետք է բաժանվի 4-ի: Պատասխան՝ ոչ:

գ) 9,12,15 (Պյութագորաս եռակի 3,4.5) - այո;

դ) 10,24,26 (Պյութագորաս եռակի 5,12.13) - այո;

Պյութագորասյան թվերից մեկը պետք է լինի հինգի բազմապատիկ։ Պատասխան՝ ոչ։

է) 15, 20, 25 (Պյութագորասի եռակի 3,4.5) - այո:

Այս բաժնի երեսունինը առաջադրանքներից (Պյութագորասի թեորեմ) քսաներկուսը լուծվում են բանավոր՝ օգտագործելով պյութագորասյան թվերը և դրանց հատկությունների իմացությունը։

Դիտարկենք #000 խնդիրը («Լրացուցիչ առաջադրանքներ» բաժնից).

Գտե՛ք ABCD քառանկյան մակերեսը, որտեղ AB=5 սմ, BC=13 սմ, CD=9 սմ, DA=15 սմ, AC=12 սմ:

Խնդիրը հարաբերակցությունը ստուգելն է a2+b2=գ2և ապացուցել, որ տրված քառանկյունը բաղկացած է երկու ուղղանկյուն եռանկյունից (հակադարձ թեորեմ): Իսկ Պյութագորասի եռյակների՝ 3, 4, 5 և 5, 12, 13 իմացությունը վերացնում է հաշվարկների անհրաժեշտությունը։

Տանք 7-9-րդ դասարանների երկրաչափության դասագրքից մի քանի խնդիրների լուծումներ։

Խնդիր 156 (ը). Ուղղանկյուն եռանկյան ոտքերը 9 և 40 են: Գտե՛ք հիպոթենուսին գծված միջինը:

Լուծում . Հիպոթենուսի վրա գծված միջինը հավասար է դրա կեսին: Պյութագորասի եռյակը 9,40 և 41 է: Հետևաբար, միջինը 20,5 է:

Խնդիր 156 (i). Եռանկյան կողմերն են. Ա= 13 սմ, b= 20 սմ և բարձրություն hս = 12 սմ Գտեք հիմքը Հետ.

Առաջադրանք ( KIMS միասնական պետական ​​քննություն) Գտե՛ք ABC սուր եռանկյան մեջ ներգծված շրջանագծի շառավիղը, եթե BH բարձրությունը 12 է և հայտնի է, որ մեղք Ա=,մեղք C \u003d թողել «\u003e

Լուծում.Լուծում ենք ուղղանկյուն ∆ ASC՝ sin A=, BH=12, հետևաբար՝ AB=13,AK=5 (Պյութագորասյան եռապատիկ 5,12,13): Լուծե՛ք ուղղանկյուն ∆ BCH՝ BH =12, մեղք C===https://pandia.ru/text/80/406/images/image015_0.gif" width="12" height="13">3=9 (Պյութագորաս. եռակի 3,4,5).Շառավիղը գտնում ենք r === 4 բանաձեւով. Պատասխան.4.

2.4. Պյութագորասի եռապատկերը եռանկյունաչափության մեջ

Հիմնական եռանկյունաչափական ինքնություն– Պյութագորասի թեորեմի հատուկ դեպք՝ sin2a + cos2a = 1; (ա/գ) 2 + (բ/գ)2 =1. Հետևաբար, որոշ եռանկյունաչափական առաջադրանքներ հեշտությամբ լուծվում են բանավոր՝ օգտագործելով Պյութագորասի եռյակները:

Առաջադրանքներ, որոնցում պահանջվում է գտնել մնացածի արժեքները ֆունկցիայի տվյալ արժեքով եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ, կարելի է լուծել առանց քառակուսու և հանելու քառակուսի արմատ. Հանրահաշվի (10-11) Մորդկովիչի (թիվ 000-թիվ 000) դպրոցական դասագրքի այս տիպի բոլոր առաջադրանքները կարող են լուծվել բանավոր՝ իմանալով միայն մի քանի Պյութագորաս եռյակներ. 3,4,5 ; 5,12,13 ; 8,15,17 ; 7,24,25 . Դիտարկենք երկու խնդիրների լուծումները.

թիվ 000 ա). sin t = 4/5, π/2< t < π.

Լուծում. Պյութագորասի եռակի՝ 3, 4, 5. Հետևաբար, cos t = -3/5; tg t = -4/3,

Թիվ 000 բ). tg t = 2.4, π< t < 3π/2.

Լուծում. tg t \u003d 2.4 \u003d 24/10 \u003d 12/5: Պյութագորաս եռակի 5,12,13. Հաշվի առնելով նշանները, մենք ստանում ենք sin t = -12/13, cos t = -5/13, ctg t = 5/12:

3. Քննության հսկիչ-չափիչ նյութեր

ա) cos (arcsin 3/5)=4/5 (3, 4, 5)

բ) մեղք (arccos 5/13)=12/13 (5, 12, 13)

գ) tg (arcsin 0.6)=0.75 (6, 8, 10)

դ) ctg (arccos 9/41) = 9/40 (9, 40, 41)

ե) 4/3 tg (π–arcsin (–3/5))= 4/3 tg (π+arcsin 3/5)= 4/3 tg arcsin 3/5=4/3 3/4=1.

ե) ստուգել հավասարության վավերականությունը.

arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = π/2:

Լուծում. arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = π/2

arcsin 4/5 + arcsin 5/13 = π/2 - arcsin 16/65

մեղք (arcsin 4/5 + arcsin 5/13) = մեղք (arccos 16/65)

sin (arcsin 4/5) cos (arcsin 5/13) + cos (arcsin 4/5) sin (arcsin 5/13) = 63/65

4/5 12/13 + 3/5 5/13 = 63/65

III. Եզրակացություն

Երկրաչափական խնդիրներում հաճախ պետք է ուղղանկյուն եռանկյուններ լուծել, երբեմն՝ մի քանի անգամ։ Դպրոցական դասագրքերի առաջադրանքները վերլուծելուց հետո և ՕԳՏԱԳՈՐԾԵԼ նյութեր, կարող ենք եզրակացնել, որ հիմնականում օգտագործվում են եռյակներ՝ 3, 4, 5; 5, 12, 13; 7, 24, 25; 9, 40, 41; 8,15,17; որոնք հեշտ է հիշել: Որոշ եռանկյունաչափական առաջադրանքներ լուծելիս դասական լուծումը օգտագործելով եռանկյունաչափական բանաձևերԵվ մեծ գումարհաշվարկները ժամանակ են պահանջում, իսկ Պյութագորասի եռյակների իմացությունը կվերացնի հաշվարկների սխալները և կխնայի ժամանակ քննության ավելի բարդ խնդիրներ լուծելու համար:

Մատենագիտական ​​ցանկ

1. Հանրահաշիվը և վերլուծության սկիզբը. 10-11 դասարաններ. 2 ժամվա ընթացքում Մաս 2. Առաջադրանքների գիրք ուսումնական հաստատությունների համար / [և այլոց]; խմբ. . - 8-րդ հրատ., Սր. - M.: Mnemosyne, 2007. - 315 p. : հիվանդ.

2. Պերելմանի հանրահաշիվ. - D.: VAP, 1994. - 200 p.

3. Ռոգանովսկի. Պրոց. 7-9 բջիջների համար: մի խոր մաթեմատիկայի հանրակրթության ուսումնասիրություն։ դպրոց ռուսերենից լեզու սովորում, - 3-րդ հրտ. - Մն.; Նար. Ասվետա, 2000. - 574 էջ: հիվանդ.

4. Մաթեմատիկա. Պատմության, մեթոդաբանության, դիդակտիկայի ընթերցող: / Կոմպ. . - Մ.: URAO-ի հրատարակչություն, 2001. - 384 էջ.

5. Հանդես «Մաթեմատիկան դպրոցում» թիվ 1, 1965 թ.

6. Քննության հսկիչ-չափիչ նյութեր.

7. Երկրաչափություն, 7-9՝ Պրոց. ուսումնական հաստատությունների համար / և այլն - 13-րդ հրատ. - Մ .: Կրթություն, 2003 թ. – 384 էջ. : հիվանդ.

8. Երկրաչափություն՝ պրոկ. 10-11 բջիջների համար: միջին դպրոց / և այլն - 2-րդ հրտ. - Մ .: Կրթություն, 1993, - 207 էջ: հիվանդ.

Պերելմանի հանրահաշիվ. - D.: VAP, 1994. - 200 p.

Հանդես «Մաթեմատիկան դպրոցում» թիվ 1, 1965 թ.

Երկրաչափություն, 7-9: Պրոց. ուսումնական հաստատությունների համար / և այլն - 13-րդ հրատ. - Մ .: Կրթություն, 2003 թ. – 384 էջ. : հիվանդ.

Ռոգանովսկի. Պրոց. 7-9 բջիջների համար: մի խոր մաթեմատիկայի հանրակրթության ուսումնասիրություն։ դպրոց ռուսերենից լեզու սովորում, - 3-րդ հրտ. - Մն.; Նար. Ասվետա, 2000. - 574 էջ: հիվանդ.

Հանրահաշիվը և վերլուծության սկիզբը. 10-11 դասարաններ. 2 ժամվա ընթացքում Մաս 2. Առաջադրանքների գիրք ուսումնական հաստատությունների համար / [և այլոց]; խմբ. . - 8-րդ հրատ., Սր. - M.: Mnemosyne, 2007. - 315 p. ՝ հիվանդ, էջ 18։

Բելոտելով Վ.Ա. Պյութագորասյան եռյակները և դրանց թիվը // Նեստերովների հանրագիտարան

Այս հոդվածը պատասխանն է մեկ պրոֆեսորին. Տեսեք, պրոֆեսոր, մեր գյուղում ոնց են անում։

Նիժնի Նովգորոդի մարզ, Զավոլժիե.

Պահանջվում է դիոֆանտին հավասարումների (ADDE) լուծման ալգորիթմի և բազմանդամ պրոգրեսիաների իմացություն։

ԵԹԵ-ը պարզ թիվ է:

MF-ը կոմպոզիտային թիվ է:

Թող լինի կենտ թիվ N. Մեկից բացի ցանկացած կենտ թվի համար կարող եք գրել հավասարում:

p 2 + N \u003d q 2,

որտեղ р + q = N, q – р = 1:

Օրինակ, 21 և 23 թվերի համար հավասարումները կլինեն.

10 2 + 21 = 11 2 , 11 2 + 23 = 12 2 .

Եթե ​​N-ն պարզ է, ապա այս հավասարումը եզակի է: Եթե ​​N թիվը բաղադրյալ է, ապա հնարավոր է նմանատիպ հավասարումներ կազմել այս թիվը ներկայացնող զույգ գործոնների քանակի համար, ներառյալ 1 x N:

Վերցնենք N = 45 թիվը, -

1 x 45 = 45, 3 x 15 = 45, 5 x 9 = 45:

Ես երազում էի, բայց հնարավո՞ր է, կառչելով IF-ի և MF-ի այս տարբերության վրա, գտնել դրանց նույնականացման մեթոդ:

Ներկայացնենք նշումը.

Փոխենք ստորին հավասարումը, -

N \u003d 2 - a 2 \u003d (b - a) (b + a):

Եկեք խմբավորենք N-ի արժեքները ըստ - a չափանիշի, այսինքն. եկեք սեղան պատրաստենք.

N թվերն ամփոփվել են մատրիցով, -

Հենց այս առաջադրանքի համար ես ստիպված էի զբաղվել բազմանդամների և դրանց մատրիցների առաջընթացներով: Ամեն ինչ ապարդյուն ստացվեց. ՊՇ-ի պաշտպանությունը հզոր է պահվում: Եկեք աղյուսակ 1-ում մուտքագրենք սյունակ, որտեղ - a \u003d 1 (q - p \u003d 1):

Եվս մեկ անգամ։ Աղյուսակ 2-ը ստացվել է IF-ի և MF-ի նույնականացման խնդիրը լուծելու փորձի արդյունքում: Աղյուսակից հետևում է, որ ցանկացած N թվի համար կա նույնքան հավասարումներ a 2 + N \u003d ձևի 2-ում, քանի զույգ գործոնի կարելի է բաժանել N թիվը, ներառյալ 1 x N գործակիցը: Բացի այդ. N \u003d ℓ 2 համարներին, որտեղ

ℓ - FC. N = ℓ 2-ի համար, որտեղ ℓ-ը IF է, կա եզակի հավասարում p 2 + N = q 2: Ի՞նչ լրացուցիչ ապացույցի մասին կարող ենք խոսել, եթե աղյուսակում թվարկված են ավելի փոքր գործոններ N ձևավորող զույգ գործակիցներից՝ մեկից մինչև ∞: Աղյուսակ 2-ը մենք կտեղադրենք կրծքավանդակի մեջ, իսկ կրծքավանդակը կթաքցնենք պահարանում:

Վերադառնանք հոդվածի վերնագրում նշված թեմային.

Այս հոդվածը պատասխանն է մեկ պրոֆեսորին.

Ես օգնություն խնդրեցի. ինձ անհրաժեշտ էին մի շարք համարներ, որոնք չկարողացա գտնել ինտերնետում: «Ինչի՞ համար», «Բայց մեթոդը ցույց տուր»։ Մասնավորապես, հարց կար, թե արդյոք Պյութագորասի եռյակների շարքն անվերջ է, «ինչպե՞ս ապացուցել դա»։ Նա ինձ չօգնեց։ Տեսեք, պրոֆեսոր, մեր գյուղում ոնց են անում։

Վերցնենք Պյութագորասի եռյակների բանաձևը.

x 2 \u003d y 2 + z 2. (1)

Անցնենք ԱՐԴՈՒ-ով։

Հնարավոր է երեք իրավիճակ.

I. x-ը կենտ թիվ է,

y-ն զույգ թիվ է

z-ն զույգ թիվ է:

Եվ կա x > y > z պայման:

II. x-ը կենտ թիվ է

y-ն զույգ թիվ է

z-ն կենտ թիվ է:

x > z > y.

III.x - զույգ թիվ,

y-ը կենտ թիվ է

z-ն կենտ թիվ է:

x > y > z.

Սկսենք ես-ից։

Ներկայացնենք նոր փոփոխականներ

Փոխարինեք (1) հավասարման մեջ:

Եկեք չեղարկենք 2γ փոքր փոփոխականով:

(2α - 2γ + 2k + 1) 2 = (2β - 2γ + 2k) 2 + (2k + 1) 2:

Եկեք փոքրացնենք 2β – 2γ փոփոխականը ավելի փոքրով՝ միաժամանակ նոր պարամետրի ներմուծմամբ ƒ, -

(2α - 2β + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 (2)

Այնուհետեւ, 2α - 2β = x - y - 1:

Հավասարումը (2) կունենա ձև, –

(x - y + 2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2

Եկեք հրապարակենք այն -

(x - y) 2 + 2 (2ƒ + 2k) (x - y) + (2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2,

(x - y) 2 + 2 (2ƒ + 2k) (x - y) - (2k + 1) 2 = 0. (3)

ARDU-ն պարամետրերի միջոցով տալիս է հավասարման ավագ անդամների միջև կապը, ուստի ստացանք (3) հավասարումը:

Լուծումների ընտրությամբ զբաղվելը կոշտ չէ։ Բայց, նախ՝ գնալու տեղ չկա, երկրորդ՝ այս լուծումներից մի քանիսն են պետք, և մենք կարող ենք վերականգնել անսահման թվով լուծումներ։

ƒ = 1, k = 1-ի համար մենք ունենք x – y = 1:

ƒ = 12, k = 16-ի դեպքում մենք ունենք x - y = 9:

ƒ = 4, k = 32-ի դեպքում մենք ունենք x - y = 25:

Դուք կարող եք երկար ժամանակ վերցնել այն, բայց ի վերջո շարքը կստանա այն ձևը.

x - y \u003d 1, 9, 25, 49, 81, ....

Դիտարկենք տարբերակը II.

Եկեք ներմուծենք նոր փոփոխականներ (1) հավասարման մեջ.

(2α + 2k + 1) 2 = (2β + 2k) 2 + (2γ + 2k + 1) 2:

Մենք նվազեցնում ենք ավելի փոքր փոփոխականով 2 β, -

(2α - 2β + 2k + 1) 2 = (2α - 2β + 2k+1) 2 + (2k) 2:

Կրճատենք ավելի փոքր փոփոխականով 2α – 2β, –

(2α - 2γ + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2: (4)

2α - 2γ = x - z և փոխարինել (4) հավասարման մեջ:

(x - z + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2

(x - z) 2 + 2 (2ƒ + 2k + 1) (x - z) + (2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 (x - z) 2 + 2(2ƒ + 2k + 1) (x - z) - (2k) 2 = 0

ƒ = 3, k = 4-ի դեպքում մենք ունենք x - z = 2:

ƒ = 8, k = 14-ի դեպքում մենք ունենք x - z = 8:

ƒ = 3, k = 24-ի դեպքում մենք ունենք x - z = 18:

x - z \u003d 2, 8, 18, 32, 50, ....

Եկեք նկարենք trapezoid -

Եկեք բանաձև գրենք.

որտեղ n=1, 2,...∞.

III դեպքը չի նկարագրվի, այնտեղ լուծումներ չկան։

II պայմանի համար եռյակների հավաքածուն կլինի հետևյալը.

Հավասարումը (1) ներկայացված է x 2 = z 2 + y 2 պարզության համար:

I պայմանի համար եռյակների հավաքածուն կլինի հետևյալը.

Ընդհանուր առմամբ, ներկված են եռյակների 9 սյուներ՝ յուրաքանչյուրում հինգ եռակի։ Իսկ ներկայացված սյունակներից յուրաքանչյուրը կարելի է գրել մինչև ∞։

Որպես օրինակ, դիտարկեք վերջին սյունակի եռապատիկները, որտեղ x - y \u003d 81:

x-ի արժեքների համար մենք գրում ենք trapezoid, -

Գրենք բանաձևը

Արժեքների համար մենք գրում ենք trapezoid, -

Գրենք բանաձևը

z-ի արժեքների համար մենք գրում ենք trapezoid, -

Գրենք բանաձևը

Որտեղ n = 1 ÷ ∞:

Ինչպես խոստացվել էր, x - y = 81 ունեցող եռյակների շարքը թռչում է դեպի ∞:

I և II դեպքերի համար փորձ է արվել կառուցել մատրիցներ x, y, z-ի համար:

Վերևի տողերից դուրս գրեք x-ի վերջին հինգ սյունակները և կառուցեք տրապիզոիդ:

Դա չաշխատեց, և օրինաչափությունը պետք է լինի քառակուսի: Ամեն ինչ բաց ձևով պատրաստելու համար պարզվեց, որ անհրաժեշտ էր միավորել I և II սյունակները:

II դեպքում y, z մեծությունները կրկին փոխանակվում են։

Մեզ հաջողվեց միաձուլվել մեկ պատճառով՝ քարտերը լավ տեղավորվեցին այս առաջադրանքում. մեր բախտը բերեց:

Այժմ դուք կարող եք գրել մատրիցներ x, y, z-ի համար:

Վերևի տողերից վերցնում ենք x արժեքի վերջին հինգ սյունակից և կառուցում ենք trapezoid:

Ամեն ինչ լավ է, դուք կարող եք կառուցել մատրիցներ, և եկեք սկսենք z-ի մատրիցով:

Վազում եմ պահարան՝ սնդուկի համար։

Ընդամենը: Բացի մեկից, թվային առանցքի յուրաքանչյուր կենտ թիվը մասնակցում է Պյութագորասի եռյակների ձևավորմանը այս N թիվը ձևավորող հավասար թվով զույգ գործոններով, ներառյալ 1 x N գործակիցը:

N \u003d ℓ 2 թիվը, որտեղ ℓ - IF, կազմում է մեկ Պյութագորասի եռյակ, եթե ℓ-ը MF է, ապա ℓхℓ գործոնների վրա եռակի չկա:

Կառուցենք մատրիցներ x, y-ի համար։

Սկսենք x-ի մատրիցով: Դա անելու համար մենք կքաշենք դրա վրա կոորդինատային ցանց IF-ի և MF-ի նույնականացման առաջադրանքից:

Ուղղահայաց տողերի համարակալումը նորմալացվում է արտահայտությամբ

Հեռացնենք առաջին սյունակը, քանի որ

Մատրիցը կունենա ձև.

Եկեք նկարագրենք ուղղահայաց շարքերը, -

Եկեք նկարագրենք գործակիցները «a»-ում, -

Եկեք նկարագրենք ազատ անդամներին, -

Եկեք ընդհանուր բանաձև կազմենք «x»-ի համար.

Եթե ​​մենք նման աշխատանք կատարենք «y»-ի համար, ապա կստանանք.

Դուք կարող եք այս արդյունքին մոտենալ մյուս կողմից:

Վերցնենք հավասարումը,

և 2 + N = 2-ում:

Եկեք մի քիչ փոխենք...

N \u003d 2 - a 2-ում:

Եկեք հրապարակենք այն -

N 2 \u003d 4 - 2v 2 a 2 + a 4-ում:

Հավասարման ձախ և աջ կողմերում ավելացրեք 4v 2 a 2 մեծությունը, -

N 2 + 4v 2 a 2 \u003d 4 + 2v 2 a 2 + a 4-ում:

Եւ, վերջապես -

(2 + a 2-ում) 2 \u003d (2va) 2 + N 2:

Պյութագորասյան եռյակները կազմված են հետևյալ կերպ.

Դիտարկենք N = 117 թվով օրինակ:

1 x 117 = 117, 3 x 39 = 117, 9 x 13 = 117:

Աղյուսակ 2-ի ուղղահայաց սյունակները համարակալված են -a արժեքներով, իսկ 3-րդ աղյուսակի ուղղահայաց սյունակները համարակալված են x-y արժեքներով:

x - y \u003d (c - a) 2,

x \u003d y + (c - a) 2.

Կազմենք երեք հավասարումներ.

(y + 1 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,

(y + 3 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,

(y + 9 2) 2 \u003d y 2 + 117 2:

x 1 = 6845, y 1 = 6844, z 1 = 117:

x 2 = 765, y 2 = 756, z 2 = 117 (x 2 = 85, y 2 = 84, z 2 = 13):

x 3 = 125, y 3 = 44, z 3 = 117:

3-րդ և 39-րդ գործոնները համեմատաբար պարզ թվեր չեն, ուստի մեկ եռյակը ստացվել է 9 գործակցով:

Եկեք պատկերենք վերը նշվածը գրված ընդհանուր նշաններով, -

Այս աշխատանքում ամեն ինչ, ներառյալ օրինակ՝ թվով Պյութագորասի եռապատկերը հաշվարկելու համար

N = 117, կապված է ավելի փոքր գործակցի հետ - ա. Բացահայտ խտրականություն՝ կապված + ա գործոնի հետ: Եկեք շտկենք այս անարդարությունը. մենք կկազմենք երեք հավասարումներ՝ + a գործակցով:

Վերադառնանք IF-ի և MF-ի նույնականացման հարցին:

Այս ուղղությամբ շատ բան է արվել, և այսօր ձեռքի տակ է ընկել հետևյալ միտքը՝ չկա նույնականացման հավասարում, և չկա այնպիսի բան, որ որոշի գործոնները։

Ենթադրենք, մենք գտել ենք F = a, b (N) հարաբերությունը:

Կա մի բանաձեւ

Դուք կարող եք ազատվել բանաձևում F-ից ներսից և ստանում եք միատարր հավասարում n - րդ աստիճանը հարաբերական ա, այսինքն. F = a (N):

Այս հավասարման ցանկացած n աստիճանի համար կա N թիվ m զույգ գործակիցներով, m > n-ի համար:

Եվ որպես հետևանք, n աստիճանի միատարր հավասարումը պետք է ունենա m արմատներ:

Այո, սա չի կարող լինել:

Այս հոդվածում N թվերը դիտարկվել են x 2 = y 2 + z 2 հավասարման համար, երբ դրանք գտնվում են z տեղում գտնվող հավասարման մեջ: Երբ N-ը x-ի փոխարեն է, սա այլ խնդիր է:

Հարգանքներով՝ Բելոտելով Վ.Ա.