Svārstības - process, kurā mainās sistēmas stāvokļi ap līdzsvara punktu, kas vienā vai otrā pakāpē atkārtojas laikā.

Harmoniskā svārstība - svārstības, kurās fiziskais (vai jebkurš cits) lielums laika gaitā mainās saskaņā ar sinusoidālu vai kosinusu likumu. Harmonisko svārstību kinemātiskajam vienādojumam ir forma

kur x ir svārstību punkta nobīde (novirze) no līdzsvara stāvokļa laikā t; A - svārstību amplitūda, šī ir vērtība, kas nosaka svārstību punkta maksimālo novirzi no līdzsvara stāvokļa; ω - cikliskā frekvence, vērtība, kas parāda pilnīgu svārstību skaitu, kas notiek 2π sekunžu laikā - pilnā svārstību fāze, 0 - svārstību sākuma fāze.

Amplitūda - maksimālā nobīdes vai izmaiņu vērtība mainīgs no vidējās vērtības svārstību vai viļņu kustības laikā.

Svārstību amplitūdu un sākuma fāzi nosaka kustības sākuma apstākļi, t.i. materiāla punkta novietojums un ātrums momentā t=0.

Ģeneralizētas harmoniskas svārstības diferenciālā formā

Skaņas viļņu un audio signālu amplitūda parasti attiecas uz gaisa spiediena amplitūdu vilnī, bet dažreiz tiek aprakstīta kā amplitūda nobīdei no līdzsvara (gaisa vai skaļruņa diafragmas)

Biežums - fiziskais daudzums, raksturīga periodiskam procesam, vienāds ar skaitli pilni procesa cikli, kas pabeigti laika vienībā. Svārstību frekvenci skaņas viļņos nosaka avota svārstību frekvence. Augstas frekvences vibrācijas samazinās ātrāk nekā zemas frekvences vibrācijas.

Svārstību frekvences apgriezto vērtību sauc par periodu T.

Svārstību periods ir viena pilna svārstību cikla ilgums.

Koordinātu sistēmā no punkta 0 ievelkam vektoru А̅, kura projekcija uz OX asi ir vienāda ar Аcosϕ. Ja vektors А̅ vienmērīgi griežas ar leņķisko ātrumu ω˳ pretēji pulksteņrādītāja virzienam, tad ϕ=ω˳t + ϕ˳, kur ϕ˳ ir ϕ (oscilācijas fāzes) sākuma vērtība, tad svārstību amplitūda ir vienmērīgi rotējošā vektora modulis. А̅, svārstību fāze (ϕ ) ir leņķis starp vektoru А̅ un ОХ asi, sākuma fāze (ϕ˳) ir šī leņķa sākotnējā vērtība, svārstību leņķiskā frekvence (ω) ir griešanās leņķiskais ātrums. vektors А̅..

2. Viļņu procesu raksturojums: viļņu fronte, stars, viļņa ātrums, viļņa garums. Garenvirziena un šķērsviļņi; piemēri.

Virsmu, kas noteiktā laika momentā atdala svārstību jau pārklāto un vēl nenoklāto vidi, sauc par viļņu fronti. Visos šādas virsmas punktos pēc viļņu frontes aiziešanas tiek noteiktas svārstības, kas ir identiskas fāzē.

Sija ir perpendikulāra viļņu frontei. Akustiskie stari, tāpat kā gaismas stari, ir taisni viendabīgā vidē. Atspoguļots un lauzts divu datu nesēju saskarnē.

Viļņa garums - attālums starp diviem punktiem, kas atrodas vistuvāk viens otram, svārstās vienās un tajās pašās fāzēs, parasti viļņa garumu norāda ar grieķu burtu. Pēc analoģijas ar viļņiem, kas ūdenī rodas no izmesta akmens, viļņa garums ir attālums starp divām blakus esošām viļņu virsotnēm. Viena no galvenajām vibrāciju īpašībām. Mērīts attāluma vienībās (metros, centimetros utt.)

• gareniski viļņi (kompresijas viļņi, P-viļņi) - vides daļiņas svārstās paralēli(gar) viļņu izplatīšanās virzienu (kā, piemēram, skaņas izplatīšanās gadījumā);
• šķērsvirziena viļņi (bīdes viļņi, S-viļņi) - vides daļiņas svārstās perpendikulāri viļņu izplatīšanās virzienu (elektromagnētiskie viļņi, viļņi uz nesēju atdalīšanas virsmām);

Svārstību leņķiskā frekvence (ω) ir vektora А̅(V) griešanās leņķiskais ātrums, oscilējošā punkta nobīde x ir vektora А̅ projekcija uz OX asi.

V=dx/dt=-Aω˳sin(ω˳t+ϕ˳)=-Vmsin(ω˳t+ϕ˳), kur Vm=Аω˳ ir maksimālais ātrums (ātruma amplitūda)

3. Brīvās un piespiedu vibrācijas. Sistēmas svārstību dabiskā frekvence. Rezonanses fenomens. Piemēri .

Brīvās (dabiskās) vibrācijas sauc tos, kas ir apņēmušies bez ārējām ietekmēm sākotnēji saņemtās siltumenerģijas dēļ. Tipiski modeļi tādiem mehāniskās vibrācijas ir materiāls punkts uz atsperes (atsperes svārsts) un materiāls punkts uz nestiepjamas vītnes (matemātiskais svārsts).

Šajos piemēros svārstības rodas vai nu sākotnējās enerģijas dēļ (materiālā punkta novirze no līdzsvara stāvokļa un kustība bez sākuma ātruma), vai kinētiskās enerģijas dēļ (ķermenim tiek dots ātrums sākotnējā līdzsvara stāvoklī), vai abām šīm enerģijām (ātrums tiek paziņots ķermenim, kas novirzīts no līdzsvara stāvokļa).

Apsveriet atsperu svārstu. Līdzsvara stāvoklī elastīgais spēks F1

līdzsvaro gravitācijas spēku mg. Ja atsperi novelk attālumā x, tad uz materiāla punktu iedarbosies liels elastīgs spēks. Elastīgā spēka (F) vērtības izmaiņas saskaņā ar Huka likumu ir proporcionālas atsperes garuma izmaiņām vai punkta nobīdei x: F= - rx

Vēl viens piemērs. Matemātiskais novirzes svārsts no līdzsvara stāvokļa ir tik mazs leņķis α, ka materiāla punkta kustības trajektoriju var uzskatīt par taisni, kas sakrīt ar asi OX. Šajā gadījumā ir izpildīta aptuvenā vienādība: α ≈sin α≈ tgα ≈x/L

Neslāpētas vibrācijas. Apsveriet modeli, kurā vilkšanas spēks nav ņemts vērā.
Svārstību amplitūdu un sākuma fāzi nosaka kustības sākuma apstākļi, t.i. materiāla punkta momenta pozīcija un ātrums t=0.
Starp dažāda veida oscilation harmoniskā svārstība ir vienkāršākā forma.

Tādējādi materiāla punkts, kas piekārts uz atsperes vai vītnes, veic harmoniskas svārstības, ja neņem vērā pretestības spēkus.

Svārstību periodu var atrast pēc formulas: T=1/v=2P/ω0

slāpētas vibrācijas. Reālā gadījumā uz svārstīgo ķermeni iedarbojas pretestības (berzes) spēki, mainās kustības raksturs, un svārstības tiek slāpētas.

Attiecībā uz vienas dimensijas kustību pēdējai formulai mēs piešķiram šādu formu: Fс= - r * dx/dt

Svārstību amplitūdas samazināšanās ātrumu nosaka slāpēšanas koeficients: jo spēcīgāka ir barotnes bremzējošā iedarbība, jo lielāks ß un jo ātrāk samazinās amplitūda. Tomēr praksē slāpēšanas pakāpi bieži raksturo logaritmisks slāpēšanas samazinājums, kas nozīmē, ka šī vērtība ir vienāda ar divu secīgu amplitūdu attiecības naturālo logaritmu, kas atdalītas ar laika intervālu, kas vienāds ar svārstību periodu, tāpēc slāpēšanas koeficients. un logaritmiskās slāpēšanas samazinājums ir saistīts ar diezgan vienkāršu attiecību: λ=ßT

Ar spēcīgu slāpēšanu no formulas var redzēt, ka svārstību periods ir iedomāts lielums. Kustība šajā gadījumā vairs nebūs periodiska un tiek saukta par periodisku.

Piespiedu vibrācijas. Piespiedu svārstības sauc par svārstībām, kas rodas sistēmā, piedaloties ārējam spēkam, kas mainās saskaņā ar periodisku likumu.

Pieņemsim, ka uz materiāla punktu F=F0 cos ωt papildus elastības spēkam un berzes spēkam iedarbojas arī ārējs virzošais spēks.

Piespiedu svārstību amplitūda ir tieši proporcionāla virzošā spēka amplitūdai, un tai ir sarežģīta atkarība no vides vājināšanās koeficienta un dabisko un piespiedu svārstību apļveida frekvencēm. Ja sistēmai ir doti ω0 un ß, tad piespiedu svārstību amplitūdai ir maksimālā vērtība pie noteiktas specifiskas dzinējspēka frekvences, t.s. rezonanses Pati parādība - piespiedu svārstību maksimālās amplitūdas sasniegšana dotajiem ω0 un ß - tiek saukta rezonanse.

Rezonanses cirkulāro frekvenci var atrast no minimālā saucēja nosacījuma: ωres=√ωₒ- 2ß

Mehāniskā rezonanse var būt gan labvēlīga, gan kaitīga. Kaitīgā ietekme galvenokārt ir saistīta ar iznīcināšanu, ko tā var izraisīt. Tātad tehnoloģijā, ņemot vērā dažādas vibrācijas, ir jāparedz iespējama rezonanses apstākļu rašanās, pretējā gadījumā var notikt iznīcināšana un katastrofas. Ķermeņiem parasti ir vairākas dabiskās vibrācijas frekvences un attiecīgi vairākas rezonanses frekvences.

Iekšējos orgānos notiek rezonanses parādības ārējo mehānisko vibrāciju ietekmē. Acīmredzot tas ir viens no iemesliem infraskaņas svārstību un vibrāciju negatīvajai ietekmei uz cilvēka ķermeni.

6. Skaņas izpētes metodes medicīnā: perkusijas, auskultācija. Fonokardiogrāfija.

Skaņa var būt informācijas avots par cilvēka iekšējo orgānu stāvokli, tāpēc medicīnā plaši tiek izplatītas tādas pacienta stāvokļa izpētes metodes kā auskultācija, perkusijas un fonokardiogrāfija.

Auskultācija

Auskulācijai tiek izmantots stetoskops vai fonendoskops. Fonendoskops sastāv no dobas kapsulas ar skaņu raidošu membrānu, kas uzklāta uz pacienta ķermeņa, gumijas caurulītes no tās iet uz ārsta ausi. Kapsulā notiek gaisa kolonnas rezonanse, kā rezultātā tiek pastiprināta skaņa un uzlabojas auskultācija. Plaušu auskultācijas laikā dzirdamas elpas skaņas, dažādas slimībām raksturīgas sēkšanas. Varat arī klausīties sirdi, zarnas un kuņģi.

Perkusijas

Izmantojot šo metodi, tiek uzklausīta atsevišķu ķermeņa daļu skaņa, kad tām pieskaras. Iedomājieties slēgtu dobumu kāda ķermeņa iekšpusē, piepildītu ar gaisu. Ja aicināts šajā ķermenī skaņas vibrācijas, tad pie noteiktas skaņas frekvences gaiss dobumā sāks rezonēt, izceļot un pastiprinot dobuma izmēram un novietojumam atbilstošu toni. Cilvēka ķermeni var attēlot kā ar gāzi pildītu (plaušas), šķidruma (iekšējie orgāni) un cieto (kauli) tilpumu kombināciju. Triecoties pret ķermeņa virsmu, rodas svārstības, kuru frekvencēm ir plašs diapazons. No šī diapazona dažas svārstības diezgan ātri izmirs, bet citas, sakrītot ar tukšumu dabiskajām svārstībām, pastiprināsies un rezonanses ietekmē būs dzirdamas.

Fonokardiogrāfija

To izmanto, lai diagnosticētu sirdsdarbības stāvokli. Metode sastāv no sirds skaņu un trokšņu grafiskā ieraksta un to diagnostiskās interpretācijas. Fonokardiogrāfs sastāv no mikrofona, pastiprinātāja, frekvenču filtru sistēmas un ierakstīšanas ierīces.

9. Ultraskaņas pētījumu metodes (ultraskaņa) medicīniskajā diagnostikā.

1) Diagnostikas un izpētes metodes

Tie ietver atrašanās vietas noteikšanas metodes, izmantojot galvenokārt impulsīvu starojumu. Šī ir ehoencefalogrāfija - audzēju un smadzeņu pietūkuma definīcija. Ultraskaņas kardiogrāfija - sirds izmēra mērīšana dinamikā; oftalmoloģijā - ultraskaņas atrašanās vieta acs mediju izmēra noteikšanai.

2) Ietekmes metodes

Ultraskaņas fizioterapija - mehāniskā un termiskā iedarbība uz audiem.

11. Trieciena vilnis. Šoka viļņu ražošana un izmantošana medicīnā.
šoka vilnis – pārrāvuma virsma, kas pārvietojas attiecībā pret gāzi un kuras krustpunktā notiek spiediena, blīvuma, temperatūras un ātruma lēciens.
Ar lieliem traucējumiem (sprādziens, ķermeņu virsskaņas kustība, spēcīga elektriskā izlāde utt.) vides svārstīgo daļiņu ātrums var kļūt salīdzināms ar skaņas ātrumu , rodas triecienvilnis.

Šoka vilnim var būt ievērojama enerģija, tātad kodolsprādzienā veidojas triecienvilnis vidi tiek iztērēti aptuveni 50% no sprādziena enerģijas. Tāpēc triecienvilnis, sasniedzot bioloģiskos un tehniskos objektus, var izraisīt nāvi, ievainojumus un iznīcināšanu.

IN medicīnas tehnoloģija tiek izmantoti triecienviļņi, kas ir ārkārtīgi īss, spēcīgs spiediena impulss ar augstu spiediena amplitūdu un nelielu stiepes komponentu. Tie tiek ģenerēti ārpus pacienta ķermeņa un tiek pārnesti dziļi ķermenī, radot terapeitisku efektu, ko nodrošina aprīkojuma modeļa specializācija: urīna akmeņu smalcināšana, sāpju zonu un muskuļu un skeleta sistēmas traumu seku ārstēšana, sirds muskuļa atveseļošanās stimulēšana pēc miokarda infarkta, celulīta veidojumu izlīdzināšana u.c.

Harmonisko viļņu vienādojums

Harmonisko svārstību vienādojums nosaka ķermeņa koordinātu atkarību no laika

Kosinusa grafikam ir maksimālā vērtība sākotnējā brīdī, un sinusa grafikam sākotnējā brīdī ir nulle. Ja mēs sākam pētīt svārstības no līdzsvara stāvokļa, tad svārstības atkārtos sinusoīdu. Ja mēs sākam apsvērt svārstības no maksimālās novirzes pozīcijas, tad svārstības aprakstīs kosinusu. Vai arī šādas svārstības var aprakstīt ar sinusa formulu ar sākuma fāzi.

Ātruma un paātrinājuma izmaiņas harmonisko svārstību laikā

Laika gaitā mainās ne tikai ķermeņa koordinātas saskaņā ar sinusa vai kosinusa likumu. Taču līdzīgi mainās arī tādi lielumi kā spēks, ātrums un paātrinājums. Spēks un paātrinājums ir maksimāli, kad atrodas svārstīgais ķermenis galējās pozīcijas, kur pārvietojums ir maksimālais un ir vienāds ar nulli, kad ķermenis iziet cauri līdzsvara stāvoklim. Ātrums, gluži pretēji, galējās pozīcijās ir vienāds ar nulli, un, kad ķermenis iziet līdzsvara stāvokli, tas sasniedz maksimālo vērtību.

Ja svārstības apraksta pēc kosinusa likuma

Ja svārstības aprakstītas pēc sinusa likuma

Maksimālā ātruma un paātrinājuma vērtības

Analizējot atkarības vienādojumus v(t) un a(t), var uzminēt, ka maksimālās ātruma un paātrinājuma vērtības tiek ņemtas, ja trigonometriskais faktors ir vienāds ar 1 vai -1. Nosaka pēc formulas

Svārstību kustība ir jebkura periodiski atkārtota kustība. Tāpēc ķermeņa koordinātu un ātruma atkarības no laika svārstību laikā apraksta ar laika periodiskām funkcijām. IN skolas kurss fiziķi uzskata tādas svārstības, kurās ķermeņa atkarības un ātrumi ir trigonometriskas funkcijas , vai to kombinācija, kur ir kāds skaitlis. Šādas svārstības sauc par harmoniskām (funkcijām Un bieži sauktas par harmoniskām funkcijām). Risināt problēmas programmā iekļautajām vibrācijām valsts eksāmens fizikā ir jāzina svārstību kustības galveno raksturlielumu definīcijas: amplitūda, periods, frekvence, apļveida (vai cikliskā) frekvence un svārstību fāze. Sniegsim šīs definīcijas un sasaistīsim uzskaitītos lielumus ar ķermeņa koordinātes atkarības no laika parametriem, ko harmonisko svārstību gadījumā vienmēr var attēlot kā

kur , un ir daži skaitļi.

Svārstību amplitūda ir svārstīga ķermeņa maksimālā novirze no līdzsvara stāvokļa. Tā kā (11.1) kosinusa maksimālā un minimālā vērtība ir vienāda ar ±1, tad ķermeņa, kas svārstās (11.1), svārstību amplitūda ir vienāda ar . Svārstību periods ir minimālais laiks, pēc kura atkārtojas ķermeņa kustība. Atkarībai (11.1.) periodu var noteikt, pamatojoties uz šādiem apsvērumiem. Kosinuss ir periodiska funkcija ar punktu. Tāpēc kustība tiek pilnībā atkārtota caur tādu vērtību, ka . No šejienes mēs iegūstam

Apļveida (vai cikliskā) svārstību frekvence ir svārstību skaits laika vienībā. No formulas (11.3) mēs secinām, ka apļveida frekvence ir vērtība no formulas (11.1).

Svārstību fāze ir trigonometriskās funkcijas arguments, kas apraksta koordinātas atkarību no laika. No formulas (11.1) redzam, ka ķermeņa svārstību fāze, kuras kustību raksturo atkarība (11.1), ir vienāda ar . Svārstību fāzes vērtību brīdī = 0 sauc par sākuma fāzi. Atkarībai (11.1) sākotnējā svārstību fāze ir vienāda ar vērtību . Acīmredzot svārstību sākuma fāze ir atkarīga no laika atskaites punkta izvēles (moments = 0), kas vienmēr ir nosacīts. Mainot laika atskaites izcelsmi, svārstību sākuma fāzi vienmēr var "padarīt" vienādu ar nulli, un sinusu formulā (11.1) "pārvērš" par kosinusu vai otrādi.

Vienotā valsts eksāmena programmā ir arī zināšanas par atsperes svārstību frekvences formulām un matemātisko svārstu. Par atsperes svārstu pieņemts saukt ķermeni, kas var svārstīties uz gludas horizontālas virsmas atsperes iedarbībā, kuras otrais gals ir fiksēts (attēls pa kreisi). Matemātiskais svārsts ir masīvs ķermenis, kura izmērus var neievērot, svārstās uz gara, bezsvara un nepaplašināma pavediena (labais attēls). Šīs sistēmas nosaukums - "matemātiskais svārsts" ir saistīts ar to, ka tas ir abstrakts matemātiskāīsts modelis ( fiziskais) no svārsta. Jāatceras atsperes un matemātisko svārstu svārstību perioda (vai frekvences) formulas. Pavasara svārstam

kur ir vītnes garums, ir brīvā kritiena paātrinājums. Apsveriet šo definīciju un likumu piemērošanu problēmu risināšanas piemērā.

Lai atrastu slodzes ciklisko frekvenci uzdevums 11.1.1 vispirms atradīsim svārstību periodu un pēc tam izmantosim formulu (11.2). Tā kā 10 m 28 s ir 628 s, un šajā laikā slodze veic 100 svārstības, tad slodzes svārstību periods ir 6,28 s. Tāpēc ciklisko svārstību frekvence ir 1 s -1 (atbilde 2 ). IN uzdevums 11.1.2 slodze 600 s laikā radīja 60 svārstības, tātad svārstību frekvence ir 0,1 s -1 (atbilde 1 ).

Lai saprastu, uz kuru ceļu krava dosies 2,5 periodos ( uzdevums 11.1.3), sekojiet tā kustībai. Pēc kāda laika slodze atgriezīsies atpakaļ maksimālās novirzes punktā, radot pilnīgu svārstību. Tāpēc šajā laikā slodze veiks attālumu, kas vienāds ar četrām amplitūdām: līdz līdzsvara stāvoklim - viena amplitūda, no līdzsvara stāvokļa līdz maksimālās novirzes punktam otrā virzienā - otrā, atpakaļ līdzsvara stāvoklī - trešais, no līdzsvara stāvokļa līdz sākuma punktam - ceturtais. Otrajā periodā slodze atkal pārsniegs četras amplitūdas, bet atlikušajā perioda pusē - divas amplitūdas. Tāpēc nobrauktais attālums ir vienāds ar desmit amplitūdām (atbilde 4 ).

Ķermeņa kustības apjoms ir attālums no sākuma punkta līdz beigu punktam. Uz 2,5 periodiem in uzdevums 11.1.4ķermenim būs laiks veikt divas pilnas un puspilnas svārstības, t.i. būs pie maksimālās novirzes, bet līdzsvara stāvokļa otrā pusē. Tāpēc nobīdes lielums ir vienāds ar divām amplitūdām (atbilde 3 ).

Pēc definīcijas svārstību fāze ir trigonometriskās funkcijas arguments, kas raksturo svārstīga ķermeņa koordinātas atkarību no laika. Tāpēc pareizā atbilde ir uzdevums 11.1.5 - 3 .

Periods ir pilnīgas svārstības laiks. Tas nozīmē, ka ķermeņa atgriešanās tajā pašā punktā, no kuras ķermenis sāka kustēties, nenozīmē, ka periods ir pagājis: ķermenim jāatgriežas tajā pašā punktā ar tādu pašu ātrumu. Piemēram, ķermenim, sācis svārstības no līdzsvara stāvokļa, laika posmā būs laiks novirzīties par maksimālo vērtību vienā virzienā, atgriezties, novirzīties uz maksimumu otrā virzienā un atgriezties vēlreiz. Tāpēc šajā periodā ķermenim būs laiks divas reizes novirzīties no līdzsvara stāvokļa par maksimālo vērtību un atgriezties atpakaļ. Tāpēc pāreja no līdzsvara stāvokļa līdz maksimālās novirzes punktam ( uzdevums 11.1.6) ķermenis pavada ceturto perioda daļu (atbilde 3 ).

Šādas svārstības sauc par harmoniskām, kurās oscilējošā ķermeņa koordinātes atkarību no laika apraksta ar laika trigonometrisko (sinusu vai kosinusu) funkciju. IN uzdevums 11.1.7šīs ir funkcijas un , neskatoties uz to, ka tajās iekļautie parametri ir apzīmēti kā 2 un 2 . Funkcija ir laika kvadrāta trigonometriskā funkcija. Tāpēc tikai daudzumu un svārstības ir harmoniskas (atbilde 4 ).

Ar harmoniskām svārstībām ķermeņa ātrums mainās atbilstoši likumam , kur ir ātruma svārstību amplitūda (laika atskaite ir izvēlēta tā, lai svārstību sākuma fāze būtu vienāda ar nulli). No šejienes mēs atrodam ķermeņa kinētiskās enerģijas atkarību no laika
(uzdevums 11.1.8). Izmantojot labi zināmo trigonometriskā formula, saņemam

No šīs formulas izriet, ka ķermeņa kinētiskā enerģija harmonisko svārstību laikā mainās arī saskaņā ar harmonikas likumu, bet ar dubultu frekvenci (atbilde ir 2 ).

Aiz attiecības starp slodzes kinētisko enerģiju un atsperes potenciālo enerģiju ( uzdevums 11.1.9) var viegli izsekot no tālāk norādītajiem apsvērumiem. Kad ķermenis ir maksimāli novirzīts no līdzsvara stāvokļa, ķermeņa ātrums ir nulle, un tāpēc atsperes potenciālā enerģija ir lielāka par slodzes kinētisko enerģiju. Turpretim, ķermenim izejot no līdzsvara stāvokļa, atsperes potenciālā enerģija ir nulle, un tāpēc kinētiskā enerģija ir lielāka par potenciālo enerģiju. Tāpēc starp līdzsvara stāvokļa pāreju un maksimālo novirzi kinētiskā un potenciālā enerģija tiek salīdzināta vienu reizi. Un tā kā periodā ķermenis četras reizes pāriet no līdzsvara stāvokļa uz maksimālo novirzi vai otrādi, tad šajā periodā slodzes kinētiskā enerģija un atsperes potenciālā enerģija tiek salīdzinātas viena ar otru četras reizes (atbilde ir 2 ).

Ātruma svārstību amplitūda ( uzdevums 11.1.10) ir visvieglāk atrodams pēc enerģijas nezūdamības likuma. Maksimālās novirzes punktā svārstību sistēmas enerģija ir vienāda ar atsperes potenciālo enerģiju , kur ir atsperes stinguma koeficients, ir svārstību amplitūda. Izejot cauri līdzsvara stāvoklim, ķermeņa enerģija ir vienāda ar kinētisko enerģiju , kur ir ķermeņa masa, ir ķermeņa ātrums, izejot cauri līdzsvara stāvoklim, kas ir ķermeņa maksimālais ātrums svārstību procesā un tāpēc attēlo ātruma svārstību amplitūdu. Pielīdzinot šīs enerģijas, mēs atklājam

(atbilde 4 ).

No formulas (11.5) secinām ( uzdevums 11.2.2), kas ir no masas matemātiskais svārsts tā periods nav atkarīgs, un, palielinoties garumam 4 reizes, svārstību periods palielinās 2 reizes (atbilde ir 1 ).

Pulkstenis ir svārstīgs process, ko izmanto laika intervālu mērīšanai ( uzdevums 11.2.3). Vārdi pulkstenis "steigums" nozīmē, ka šī procesa periods ir mazāks nekā tam vajadzētu būt. Tāpēc, lai noskaidrotu šo pulksteņu gaitu, ir nepieciešams palielināt procesa periodu. Saskaņā ar formulu (11.5), lai palielinātu matemātiskā svārsta svārstību periodu, ir jāpalielina tā garums (atbilde ir 3 ).

Lai atrastu svārstību amplitūdu iekšā uzdevums 11.2.4, nepieciešams attēlot ķermeņa koordinātas atkarību no laika vienas trigonometriskas funkcijas veidā. Noteikumā norādītajai funkcijai to var izdarīt, ieviešot papildu leņķi. Reizinot un dalot šo funkciju ar un izmantojot pievienošanas formulu trigonometriskās funkcijas, saņemam

kur ir tāds leņķis, ka . No šīs formulas izriet, ka ķermeņa svārstību amplitūda ir (atbilde 4 ).

§ 6. MEHĀNISKĀS SVARĪBASPamatformulas

Harmonisko vibrāciju vienādojums

Kur X - svārstību punkta nobīde no līdzsvara stāvokļa; t- laiks; A,ω, φ- attiecīgi amplitūda, leņķiskā frekvence, svārstību sākuma fāze; - svārstību fāze šobrīd t.

Leņķisko svārstību frekvence

kur ν un T ir svārstību frekvence un periods.

Punkta ātrums, kas rada harmoniskas svārstības,

Harmoniskais paātrinājums

Amplitūda A iegūtās svārstības, kas iegūtas, saskaitot divas svārstības ar vienādām frekvencēm, kas notiek pa vienu taisni, nosaka pēc formulas

Kur a 1 Un A 2 - svārstību komponentu amplitūdas; φ 1 un φ 2 - to sākotnējās fāzes.

Iegūtās svārstības sākuma fāzi φ var atrast no formulas

sitienu biežums, kas rodas, saskaitot divas svārstības, kas notiek pa vienu un to pašu taisni ar atšķirīgām, bet tuvām vērtībām, frekvencēm ν 1 un ν 2,

Trajektorijas vienādojums punktam, kas piedalās divās savstarpēji perpendikulārās svārstībās ar amplitūdu A 1 un A 2 un sākuma fāzēm φ 1 un φ 2,

Ja svārstību komponentu sākotnējās fāzes φ 1 un φ 2 ir vienādas, tad trajektorijas vienādojums iegūst formu

i., punkts pārvietojas pa taisnu līniju.

Gadījumā, ja fāzu starpība , vienādojums iegūst formu

i., punkts pārvietojas pa elipsi.

Materiāla punkta harmonisko vibrāciju diferenciālvienādojums

, vai , kur m ir punkta masa; k- kvazielastīgā spēka koeficients ( k=Tω 2).

Materiāla punkta kopējā enerģija, kas rada harmoniskas svārstības,

Uz atsperes (atsperes svārsta) piekārta ķermeņa svārstību periods,

Kur m- ķermeņa masa; k- atsperes stīvums. Formula ir derīga elastīgām vibrācijām robežās, kurās ir izpildīts Huka likums (ar nelielu atsperes masu salīdzinājumā ar ķermeņa masu).

Matemātiskā svārsta svārstību periods

Kur l- svārsta garums; g- gravitācijas paātrinājums. Fizikālā svārsta svārstību periods

Kur Dž- oscilējošā ķermeņa inerces moments ap asi

svārstības; A- svārsta masas centra attālums no svārstību ass;

Samazināts fiziskā svārsta garums.

Iepriekš minētās formulas ir precīzas bezgalīgi mazu amplitūdu gadījumā. Ierobežotām amplitūdām šīs formulas dod tikai aptuvenus rezultātus. Pie amplitūdām, kas nav lielākas par perioda vērtības kļūdu, nepārsniedz 1%.

Uz elastīga pavediena piekārta ķermeņa vērpes vibrāciju periods,

Kur Dž- ķermeņa inerces moments ap asi, kas sakrīt ar elastīgo pavedienu; k- elastīgās vītnes stingrība, vienāds ar attiecību elastības moments, kas rodas, vītni pagriežot līdz leņķim, par kādu vītne ir savīta.

Slāpēto svārstību diferenciālvienādojums , vai ,

Kur r- pretestības koeficients; δ - slāpēšanas koeficients: ;ω 0 - vibrāciju dabiskā leņķiskā frekvence *

Slāpēto svārstību vienādojums

Kur A(t)- slāpēto svārstību amplitūda šobrīd t;ω ir to leņķiskā frekvence.

Slāpēto svārstību leņķiskā frekvence

О Slāpēto svārstību amplitūdas atkarība no laika

es

Kur A 0 - svārstību amplitūda šobrīd t=0.

Logaritmisko svārstību samazinājums

Kur A(t) Un A(t+T)- divu secīgu svārstību amplitūdas, kuras laikā viena no otras ir atdalītas ar periodu.

Piespiedu vibrāciju diferenciālvienādojums

kur ir ārējs periodisks spēks, kas iedarbojas uz svārstīgo materiāla punktu un izraisa piespiedu svārstības; F 0 - tā amplitūdas vērtība;

Piespiedu vibrāciju amplitūda

Rezonanses frekvence un rezonanses amplitūda Un

Problēmu risināšanas piemēri

1. piemērs Punkts svārstās saskaņā ar likumu x(t)=, Kur A=2 sk. Nosakiet sākuma fāzi φ, ja

x(0)=cm un X , (0)<0. Построить векторную диаграмму для мо-­ мента t=0.

Risinājums. Mēs izmantojam kustības vienādojumu un izsakām pārvietojumu šobrīd t=0 līdz sākuma fāzei:

Šeit mēs atrodam sākuma fāzi:

* Iepriekš dotajās harmonisko svārstību formulās tā pati vērtība tika vienkārši apzīmēta ar ω (bez indeksa 0).

Aizstājiet dotās vērtības šajā izteiksmē x(0) un A:φ= = . Argumenta vērtību apmierina divas leņķa vērtības:

Lai izlemtu, kura no šīm leņķa φ vērtībām arī atbilst nosacījumam , mēs vispirms atrodam:

Šajā izteiksmē aizstājot vērtību t=0 un pārmaiņus sākuma fāžu vērtības un mēs atrodam

T labi kā vienmēr A>0 un ω>0, tad tikai sākuma fāzes pirmā vērtība apmierina nosacījumu. Tādējādi vēlamā sākuma fāze

Pamatojoties uz atrasto φ vērtību, konstruēsim vektoru diagrammu (6.1. att.). 2. piemērs Materiāls punkts ar masu T\u003d 5 g veic harmoniskas svārstības ar frekvenci ν =0,5 Hz. Svārstību amplitūda A=3 cm Noteikt: 1) ātrumu υ punktus brīdī, kad nobīde x== 1,5 cm; 2) maksimālais spēks F max, kas iedarbojas uz punktu; 3) att. 6.1 kopējā enerģija E svārstību punkts.

un mēs iegūstam ātruma formulu, ņemot pirmo nobīdes atvasinājumu:

Lai izteiktu ātrumu ar pārvietojumu, laiks ir jāizslēdz no (1) un (2) formulām. Lai to izdarītu, mēs abus vienādojumus kvadrātā, dalām pirmo ar A 2 , otro uz A 2 ω 2 un pievienojiet:

, vai

Pēdējā υ vienādojuma atrisināšana , atrast

Veicot aprēķinus pēc šīs formulas, mēs iegūstam

Plusa zīme atbilst gadījumam, kad ātruma virziens sakrīt ar ass pozitīvo virzienu X, mīnusa zīme - kad ātruma virziens sakrīt ar ass negatīvo virzienu X.

Nobīdi harmonisko svārstību laikā papildus (1) vienādojumam var noteikt arī ar vienādojumu

Atkārtojot to pašu risinājumu ar šo vienādojumu, mēs iegūstam to pašu atbildi.

2. Spēku, kas iedarbojas uz punktu, mēs atrodam saskaņā ar otro Ņūtona likumu:

Kur A - punkta paātrinājums, ko iegūstam, ņemot ātruma laika atvasinājumu:

Aizvietojot paātrinājuma izteiksmi formulā (3), iegūstam

Tādējādi maksimālā spēka vērtība

Aizvietojot šajā vienādojumā vērtības π, ν, T Un A, atrast

3. Svārstību punkta kopējā enerģija ir kinētiskās un potenciālās enerģijas summa, kas aprēķināta jebkuram laika momentam.

Vienkāršākais veids, kā aprēķināt kopējo enerģiju, ir brīdī, kad kinētiskā enerģija sasniedz maksimālo vērtību. Šajā brīdī potenciālā enerģija ir nulle. Tātad kopējā enerģija E oscilācijas punkts ir vienāds ar maksimālo kinētisko enerģiju

Mēs nosakām maksimālo ātrumu no formulas (2), iestatījuma: . Aizvietojot ātruma izteiksmi formulā (4), mēs atrodam

Aizvietojot lielumu vērtības šajā formulā un veicot aprēķinus, mēs iegūstam

vai McJ.

3. piemērs Tieva stieņa galos l= 1 m un svars m 3 =400 g mazās bumbiņas tiek pastiprinātas ar masām m 1=200 g Un m 2 = 300 g. Stienis svārstās ap horizontālo asi, perpendikulāri tai

dicular stieņa un iet cauri tā vidum (punkts O 6.2. attēlā). Definējiet periodu T stieņa radītās vibrācijas.

Risinājums. Fiziskā svārsta, kas ir stienis ar bumbiņām, svārstību periodu nosaka attiecība

Kur Dž- T - tā svars; l AR - attālums no svārsta masas centra līdz asij.

Šī svārsta inerces moments ir vienāds ar lodīšu inerces momentu summu Dž 1 un Dž 2 un stienis Dž 3:

Bumbu ņemšana par materiālie punkti, mēs izsakām to inerces momentus:

Tā kā ass iet caur stieņa vidu, tad tās inerces moments ap šo asi Dž 3 = =. Iegūto izteiksmju aizstāšana Dž 1 , Dž 2 Un Dž 3 formulā (2), mēs atrodam fiziskā svārsta kopējo inerces momentu:

Veicot aprēķinus, izmantojot šo formulu, mēs atrodam

Rīsi. 6.2. Svārsta masu veido lodīšu masa un stieņa masa:

Attālums l AR mēs atrodam svārsta masas centru no svārstību ass, pamatojoties uz šādiem apsvērumiem. Ja ass X virziet gar stieni un izlīdziniet izcelsmi ar punktu PAR, tad vēlamais attālums l ir vienāds ar svārsta masas centra koordinātu, t.i.

Daudzumu vērtību aizstāšana m 1 , m 2 , m, l un veicot aprēķinus, mēs atrodam

Veicot aprēķinus pēc formulas (1), iegūstam fiziskā svārsta svārstību periodu:

4. piemērs Fiziskais svārsts ir stienis ar garumu l= 1 m un svars 3 T 1 Ar piestiprināts pie viena no tā galiem ar stīpu ar diametru un masu T 1 . Horizontālā ass Oz

svārsts iet caur stieņa vidu perpendikulāri tam (6.3. att.). Definējiet periodu Tšāda svārsta svārstības.

Risinājums. Fizikālā svārsta svārstību periodu nosaka pēc formulas

(1)

Kur Dž- svārsta inerces moments ap svārstību asi; T - tā svars; l C - attālums no svārsta masas centra līdz svārstību asij.

Svārsta inerces moments ir vienāds ar stieņa inerces momentu summu Dž 1 un stīpa Dž 2:

(2).

Stieņa inerces momentu attiecībā pret asi, kas ir perpendikulāra stienim un iet caur tā masas centru, nosaka pēc formulas . Šajā gadījumā t= 3T 1 un

Mēs atrodam stīpas inerces momentu, izmantojot Šteinera teorēmu , Kur Dž- inerces moments ap patvaļīgu asi; Dž 0 - inerces moments ap asi, kas iet caur masas centru paralēli dotajai asij; A - attālums starp norādītajām asīm. Piemērojot šo formulu uz stīpas, mēs iegūstam

Izteicienu aizstāšana Dž 1 un Dž 2 formulā (2) atrodam svārsta inerces momentu ap griešanās asi:

Attālums l AR no svārsta ass līdz tā masas centram ir

Formulā (1) aizstājot izteiksmes Dž, l c un svārsta masu, mēs atrodam tā svārstību periodu:

Aprēķinot pēc šīs formulas, mēs iegūstam T\u003d 2,17 s.

5. piemērs Tiek pievienotas divas viena un tā paša virziena svārstības, kas izteiktas ar vienādojumiem ; X 2 = =, kur A 1 = 1 cm, A 2 \u003d 2 cm, s, s, ω \u003d \u003d. 1. Nosakiet svārstību komponentu sākotnējās fāzes φ 1 un φ 2

bani. 2. Atrodiet amplitūdu A un iegūtās svārstības sākuma fāze φ. Uzrakstiet iegūto svārstību vienādojumu.

Risinājums. 1. Harmonisko svārstību vienādojumam ir forma

Pārveidosim uzdevuma nosacījumā dotos vienādojumus tādā pašā formā:

Salīdzinot izteiksmes (2) ar vienādību (1), mēs atrodam pirmās un otrās svārstību sākuma fāzes:

Prieks un priecīgs.

2. Lai noteiktu amplitūdu A no iegūtajām svārstībām, ir ērti izmantot vektoru diagrammu, kas parādīta rīsi. 6.4. Saskaņā ar kosinusa teorēmu mēs iegūstam

kur ir svārstību komponentu fāžu starpība.. Tā kā , tad, aizstājot atrastās vērtības φ 2 un φ 1, mēs iegūstam rad.

Aizstājiet vērtības A 1 , A 2 un formulā (3) un veiciet aprēķinus:

A= 2,65 cm.

Iegūto svārstību sākotnējās fāzes φ tangensu var noteikt tieši no Fig. 6.4: , no kurienes sākuma fāze

svārstības sauc par kustībām vai procesiem, kam raksturīgs noteikts atkārtojums laikā. Dabā un tehnoloģijā ir plaši izplatīti svārstību procesi, piemēram, pulksteņa svārsta šūpošanās, mainīgs elektrība utt Kad svārstību kustība svārsts mainās tā masas centra koordinātas, maiņstrāvas gadījumā ķēdē svārstās spriegums un strāva. fiziskā daba svārstības var būt dažādas, tāpēc izšķir mehāniskās, elektromagnētiskās u.c.svārstības.Tomēr dažādus svārstību procesus apraksta ar vienādiem raksturlielumiem un vienādojumiem. No tā izriet iespējamība vienota pieeja vibrāciju izpētei atšķirīga fiziskā daba.

Svārstības tiek sauktas bezmaksas, ja tie ir izgatavoti tikai iekšējo spēku ietekmē, kas darbojas starp sistēmas elementiem, pēc sistēmas izņemšanas no līdzsvara stāvokļa ārējie spēki un atstāja sev. Vienmēr brīvas vibrācijas slāpētās svārstības jo reālās sistēmās enerģijas zudumi ir neizbēgami. Idealizētā sistēmas bez enerģijas zudumiem gadījumā tiek sauktas brīvās svārstības (turpinās tik ilgi, cik vēlas) pašu.

Vienkāršākais brīvo neslāpēto svārstību veids ir harmoniskās svārstības - svārstības, kurās mainīgā vērtība laika gaitā mainās atbilstoši sinusa (kosinusa) likumam. Dabā un tehnoloģijā sastopamajām svārstībām bieži ir harmonisks raksturs.

Harmoniskās vibrācijas apraksta ar vienādojumu, ko sauc par harmonisko vibrāciju vienādojumu:

Kur A- svārstību amplitūda, svārstīgās vērtības maksimālā vērtība X; - cirkulārā (cikliskā) dabisko svārstību frekvence; - svārstību sākuma fāze noteiktā laika momentā t= 0; - svārstību fāze laika momentā t. Svārstību fāze nosaka svārstību lieluma vērtību noteiktā laikā. Tā kā kosinuss svārstās no +1 līdz -1, tad X var ņemt vērtības no + A pirms - A.

Laiks T, kurai sistēma pabeidz vienu pilnīgu svārstību, tiek izsaukts svārstību periods. Laikā T svārstību fāze tiek palielināta par 2 π , t.i.

Kur. (14.2)

Svārstību perioda reciproks

i., pilno svārstību skaitu laika vienībā sauc par svārstību frekvenci. Salīdzinot (14.2) un (14.3), iegūstam

Frekvences mērvienība ir herci (Hz): 1 Hz ir frekvence, kurā notiek viena pilnīga svārstība 1 sekundē.

Tiek sauktas sistēmas, kurās var rasties brīvas vibrācijas oscilatori . Kādām īpašībām jāpiemīt sistēmai, lai tajā notiktu brīvas svārstības? Mehāniskajai sistēmai jābūt stabila līdzsvara pozīcija, izejot, kas parādās atjaunot spēku līdzsvaram. Šī pozīcija, kā zināms, atbilst sistēmas potenciālās enerģijas minimumam. Apskatīsim vairākas svārstību sistēmas, kas atbilst uzskaitītajām īpašībām.