Ķermeņa leņķiskais impulss attiecībā pret fiksēto rotācijas asi

Definīcija

leņķiskais impulss- vektora fiziskais lielums, kas raksturo impulsu, skaitliski vienāds ar vektora reizinājumu
Leņķiskais moments par punktu ir pseidovektors, un leņķiskais impulss ap asi ir pseidoskalārs.

Slēgtas sistēmas leņķiskais impulss tiek saglabāts.
Šo lielumu sauc par leņķisko impulsu ap asi.

Leņķiskā impulsa saglabāšanas likums(leņķiskā impulsa saglabāšanas likums) ir viens no saglabāšanas pamatlikumiem. Matemātiski izteikts kā visu leņķisko momentu vektora summa ap izvēlētu asi slēgtai ķermeņu sistēmai un paliek nemainīga, līdz sistēma tiek ietekmēta ārējie spēki. Saskaņā ar to slēgtas sistēmas leņķiskais impulss jebkurā koordinātu sistēmā laika gaitā nemainās. Vienkāršoti: ja sistēma ir līdzsvarā.

Vispirms definēsim izotropija lai turpinātu pētījumu.

Izotropija ir viena no galvenajām telpas īpašībām klasiskā mehānika. Telpu sauc par izotropu, ja atskaites sistēmas pagriešana par patvaļīgu leņķi neizraisa mērījumu rezultātu izmaiņas.

Leņķiskā impulsa saglabāšanas likums ir telpas izotropijas izpausme attiecībā uz rotāciju.
Leņķiskā impulsa saglabāšanas likums ir dabas pamatlikums. Šī likuma spēkā esamību nosaka telpas simetrijas īpašība – tās izotropija, t.i. ar nemainīgumu fiziskie likumi par atskaites sistēmas koordinātu asu virziena izvēli.

Piemērs

Leņķiskā impulsa saglabāšanas likuma spēkā esamību attiecībā pret fiksētu griešanās asi var pierādīt eksperimentā ar Žukovska stendu. Žukovska sols ir horizontāla platforma, kas brīvi griežas bez berzes ap fiksētu vertikālo asi. Cilvēks, kas stāv vai sēž uz sola, tur vingrošanas hanteles izstieptās rokās un tiek griezts kopā ar solu ap asi ar leņķisko ātrumu ω1. Pietuvinot hanteles sev, cilvēks samazina sistēmas inerces momentu, un, tā kā ārējo spēku moments ir nulle, tiek saglabāts sistēmas leņķiskais impulss un tās griešanās leņķiskais ātrums. ω2 palielinās.

Līdzīgi spēka momentam tiek noteikts materiāla punkta impulsa moments (impulsa moments).

Līdzīgi spēka momentam tiek noteikts materiāla punkta impulsa moments (impulsa moments). Leņķiskais impulss attiecībā pret punktu O ir vienāds ar

Leņķiskais impulss ap z asi ir sastāvdaļa Lz pa šo leņķiskā impulsa L asi attiecībā pret punktu O, kas atrodas uz ass (97. att.):

kur R ir rādiusa vektora r sastāvdaļa, kas ir perpendikulāra z asij, un p τ ir vektora p sastāvdaļa, kas ir perpendikulāra plaknei, kas iet caur z asi un punktu m.

Noskaidrosim, kas nosaka leņķiskā impulsa izmaiņas laika gaitā. Lai to izdarītu, mēs diferencējam (37.1) attiecībā uz laiku t, izmantojot produktu diferenciācijas noteikumu:

(3 7.5 )

Pirmais termins ir vienāds ar nulli, jo tas ir viena un tā paša virziena vektoru reizinājums. Patiešām, vektors vienāds ar vektoruātrums v un līdz ar to sakrīt virzienā ar vektoru p=mv. Saskaņā ar otro Ņūtona likumu vektors ir vienāds ar spēku f, kas iedarbojas uz ķermeni [sk. (22.3)]. Tāpēc izteiksmi (37.5) var uzrakstīt šādi:

(3 7.6 )

kur M ir materiālajam punktam pielikto spēku moments attiecībā pret to pašu punktu O, attiecībā pret kuru tiek ņemts leņķiskais impulss L.

No sakarības (37.6) izriet, ka, ja iegūtais spēku moments, kas iedarbojas uz materiālu punktu attiecībā pret jebkuru punktu O, ir vienāds ar nulli, tad materiālā punkta leņķiskais impulss, kas ņemts attiecībā pret to pašu punktu O, paliks nemainīgs.

Ņemot komponentus pa z asi no vektoriem, kas iekļauti formulā (37.6), iegūstam izteiksmi:

(3 7.7 )

Formula (37.6) ir līdzīga formulai (22.3). No šo formulu salīdzināšanas izriet, ka, tāpat kā impulsa laika atvasinājums ir vienāds ar spēku, kas iedarbojas uz materiālu, impulsa momenta laika atvasinājums ir vienāds ar spēka momentu.

Apskatīsim dažus piemērus.

1. piemērs. Ļaujiet materiālam punktam m pārvietoties pa punktētu līniju 96. attēlā. Tā kā kustība ir taisna, materiālā punkta impulss mainās tikai absolūtā vērtībā, un

kur f ir spēka modulis [šajā gadījumā f ir tāds pats virziens kā p (skat. 96. att.), tā ka].

Roka t paliek nemainīga. Tāpēc

kas atbilst formulai (37.6) (šajā gadījumā L mainās tikai absolūtā vērtībā, un tā palielinās, tāpēc ).

Piemērs 2. Materiāls punkts ar masu m pārvietojas pa apli ar rādiusu R (98. att.).

Materiāla punkta leņķiskais impulss attiecībā pret apļa O centru ir vienāds absolūtā vērtībā:

L=mυR

(3 7.8 )

Vektors L ir perpendikulārs riņķa plaknei, un punkta kustības virziens un vektors L veido labās puses sistēmu.

Tā kā roka, kas vienāda ar R, paliek nemainīga, leņķisko impulsu var mainīt, tikai mainot ātruma moduli. Materiāla punkta vienmērīgi kustoties pa apli, leņķiskais impulss paliek nemainīgs gan lielumā, gan virzienā. Ir viegli redzēt, ka šajā gadījumā spēka moments, kas iedarbojas uz materiālo punktu, ir vienāds ar nulli.

3. piemērs. Apsveriet materiāla punkta kustību centrālajā spēku laukā (skat. 26. §). Saskaņā ar (37.6.) materiāla punkta leņķiskajam impulsam attiecībā pret spēku centru jāpaliek nemainīgam lieluma un virziena ziņā (centrālā spēka moments attiecībā pret centru ir nulle). Rādiusa vektors r, kas novilkts no spēku centra uz punktu m, un vektors L ir perpendikulāri viens otram. Tāpēc vektors r visu laiku paliek vienā plaknē, perpendikulāri virzienam L. Līdz ar to materiāla punkta kustība centrālajā spēku laukā notiks pa līkni, kas atrodas plaknē, kas iet caur spēku centru.

Atkarībā no centrālo spēku zīmes (tas ir, vai tie ir pievilcīgi vai atgrūdoši spēki), kā arī no sākotnējiem apstākļiem, trajektorija ir hiperbola, parabola vai elipse (jo īpaši aplis). Piemēram, Zeme pārvietojas pa eliptisku orbītu, kuras vienā no fokusiem atrodas Saule.

Leņķiskā impulsa saglabāšanas likums. Apsveriet N materiālo punktu sistēmu. Tāpat kā tas tika darīts §23, mēs sadalām spēkus, kas iedarbojas uz punktiem, iekšējos un ārējos. Rezultātā iedarbojas iekšējo spēku moments i-tais materiāls punktu, mēs apzīmējam ar simbolu , ārējo spēku radīto momentu, kas iedarbojas uz to pašu punktu, ar simbolu M i . Tad vienādojums (37.6) for i-tais materiāls punkti izskatīsies šādi:

(i=1, 2,…, N)

Šī izteiksme ir N vienādojumu kopa, kas atšķiras viens no otra ar indeksa i vērtībām. Saskaitot šos vienādojumus, iegūstam:

sauc par materiālo punktu sistēmas leņķisko impulsu.

Iekšējo spēku momentu summa [pirmā no summām formulas (37.9) labajā pusē], kā parādīts §36 beigās, ir vienāda ar nulli. Tāpēc, apzīmējot ārējo spēku kopējo momentu ar simbolu M, mēs varam rakstīt to

(3 7.11 )

[simboliem L un M šajā formulā ir atšķirīga nozīme nekā tiem pašiem simboliem formulā (37.6)].

Slēgtai materiālu punktu sistēmai M=0, kā rezultātā kopējais leņķiskais impulss L nav atkarīgs no laika. Tādējādi mēs esam nonākuši pie leņķiskā impulsa saglabāšanas likuma: slēgtas materiālo punktu sistēmas leņķiskais impulss paliek nemainīgs.

Ņemiet vērā, ka ārējai ietekmei pakļautai sistēmai leņķiskais impulss paliek nemainīgs, ja kopējais ārējo spēku moments, kas iedarbojas uz sistēmas ķermeņiem, ir vienāds ar nulli.

Ņemot no vektoriem vienādojuma (37.11) kreisajā un labajā pusē, to komponentus gar z asi, mēs nonākam pie attiecības:

(3 7.12 )

Var gadīties, ka iegūtais ārējo spēku moments attiecībā pret punktu O atšķiras no nulles (M≠0), bet vektora M komponente M z kādā virzienā z ir vienāda ar nulli. Tad saskaņā ar (37.12.) tiks saglabāta sistēmas leņķiskā impulsa komponente L z pa z asi.

Saskaņā ar formulu (2.1 1)

kur ir vektora projekcija uz z asi un L z ir vektora L projekcija uz z asi . Reiziniet abas vienādības puses ar ort e z z ass un, ņemot vērā to e z nav atkarīgs no t, mēs to ievadām labajā pusē zem atvasinājuma zīmes. Rezultātā mēs iegūstam:

Bet reizinājums e z reizināts ar vektora projekciju uz z ass dod šī vektora z komponentu (skat. zemsvītras piezīmi 132. lpp.). Tāpēc

kur ir komponents gar asi z vektors .

Leņķiskais moments attiecas uz dabas pamatlikumiem. Tas ir tieši saistīts ar fiziskās pasaules telpas simetrijas īpašībām, kurā mēs visi dzīvojam. Pateicoties tā saglabāšanas likumam, leņķiskais impulss nosaka mums zināmos fiziskos likumus materiālo ķermeņu kustībai telpā. Šī vērtība raksturo translācijas vai rotācijas kustība.

Leņķiskais impulss, ko sauc arī par "kinētisko", "leņķisko" un "orbitālo", ir svarīgs raksturlielums, kas ir atkarīgs no materiāla ķermeņa masas, tā sadalījuma pazīmēm attiecībā pret iedomāto cirkulācijas asi un kustības ātruma. Šeit jāprecizē, ka mehānikā rotācijai ir plašāka interpretācija. Pat garām kādam punktam, kas patvaļīgi atrodas telpā, var uzskatīt par rotāciju, ņemot to par iedomātu asi.

Leņķisko impulsu un tā saglabāšanas likumus formulēja Renē Dekarts saistībā ar progresīvi kustīgu sistēmu, tiesa, par tipa saglabāšanu viņš nepieminēja. Tikai gadsimtu vēlāk Leonhards Eilers un pēc tam vēl viens Šveices zinātnieks, fiziķis un matemātiķis, pētot materiālās sistēmas griešanos ap fiksētu centrālo asi, secināja, ka šis likums attiecas arī uz šāda veida kustību telpā.

Turpmākie pētījumi pilnībā apstiprināja, ka, ja nav ārējā ietekme visu punktu masas reizinājuma ar sistēmas kopējo ātrumu un attālumu līdz rotācijas centram summa paliek nemainīga. Nedaudz vēlāk franču zinātnieks Patriks Darsijs izteica šos terminus kā rādiusa vektoru noslaucītās platības tajā pašā laika periodā. Tas ļāva savienot materiāla punkta leņķisko impulsu ar dažiem labi zināmiem debess mehānikas postulātiem un jo īpaši ar vissvarīgāko stāvokli planētu kustībā.

leņķiskais impulss ciets ķermenis- trešais dinamiskais mainīgais, kuram piemērojami saglabāšanas pamatlikuma noteikumi. Tajā teikts, ka neatkarīgi no rakstura un bez ārējas ietekmes noteiktā vērtība izolētā materiālajā sistēmā vienmēr paliks nemainīga. Šis fiziskais rādītājs var mainīties tikai tad, ja ir spēkā esošo spēku moments, kas nav nulle.

No šī likuma arī izriet, ka, ja M = 0, jebkuras izmaiņas attālumā starp ķermeni (materiālo punktu sistēmu) un centrālo rotācijas asi noteikti izraisīs tā cirkulācijas ātruma palielināšanos vai samazināšanos ap centru. Piemēram, vingrotāja, kas veic kūleņus, lai veiktu vairākus pagriezienus gaisā, sākotnēji ripina ķermeni bumbiņā. Un balerīnas vai daiļslidotāji, griežoties piruetē, izpleš rokas uz sāniem, ja vēlas palēnināt kustību, un, gluži pretēji, piespiež tās pie ķermeņa, kad mēģina griezties ar lielāku ātrumu. Tādējādi sportā un mākslā tiek izmantoti dabas pamatlikumi.

Leņķiskais moments attiecībā pret fiksēto asi z sauc par skalāru Lz, vienāds ar leņķiskā momenta vektora projekciju uz šo asi, kas noteikta attiecībā pret šīs ass patvaļīgu punktu 0. Leņķiskā impulsa vērtība Lz nav atkarīgs no punkta 0 stāvokļa uz ass z.
Kad absolūti stingrs ķermenis griežas ap fiksētu asi, katrs atsevišķais ķermeņa punkts pārvietojas pa nemainīga rādiusa apli r i kaut kādā ātrumā v i. Ātrums v i un impulsu m i v i ir perpendikulāri šim rādiusam, t.i. rādiuss ir vektora plecs m i v i. Tāpēc var rakstīt, ka atsevišķa punkta leņķiskais impulss ap asi z vienāds

Stingra ķermeņa impulsa moments ap asi ir tā atsevišķo punktu impulsa momentu summa:

Ņemot vērā saistību starp lineāro un leņķisko ātrumu ( v i = ωr i), mēs iegūstam šādu ķermeņa leņķiskā impulsa izteiksmi attiecībā pret fiksēto asi:

Tie. stingra ķermeņa leņķiskais impulss ap asi ir vienāds ar ķermeņa inerces momenta ap to pašu asi un leņķiskā ātruma reizinājumu.
Diferencējot izteiksmi (4.12) attiecībā pret laiku, iegūstam:

(4.13)

Šī ir vēl viena stingra ķermeņa rotācijas kustības dinamikas vienādojuma forma attiecībā pret fiksētu asi: ķermeņa leņķiskā impulsa izmaiņu ātrums attiecībā pret fiksēto rotācijas asi ir vienāds ar iegūto momentu attiecībā pret fiksēto asi. šī visu ārējo spēku ass, kas iedarbojas uz ķermeni.
Leņķiskā impulsa saglabāšanas likums izriet no fiksētā punktā fiksēta ķermeņa rotācijas kustības dinamikas pamatvienādojuma (4.8. vienādojums) un ir šāds:
ja ārējo spēku radītais moments attiecībā pret fiksētu punktu ir identiski vienāds ar nulli, tad ķermeņa leņķiskais impulss attiecībā pret šo punktu laika gaitā nemainās.
Patiešām, ja M= 0, tad dL / dt= 0 , no kurienes

(4.14)

Citiem vārdiem sakot, slēgtas sistēmas leņķiskais impulss laika gaitā nemainās.
No ķermeņa, kas griežas ap fiksētu asi, dinamikas pamatlikuma z(4.13. vienādojums). ķermeņa leņķiskā impulsa ap asi saglabāšanās likums:
ja ārējo spēku moments attiecībā pret ķermeņa fiksēto griešanās asi ir identiski vienāds ar nulli, tad ķermeņa leņķiskais impulss attiecībā pret šo asi kustības procesā nemainās, t.i. Ja Mz= 0, tad dLz / dt= 0, no kurienes

Leņķiskā impulsa saglabāšanas likums ir dabas pamatlikums. Šī likuma spēkā esamību nosaka telpas simetrijas īpašība – tās izotropija, t.i. ar fizikālo likumu nemainīgumu attiecībā uz atskaites sistēmas koordinātu asu virziena izvēli.
Leņķiskā impulsa saglabāšanas likuma spēkā esamību attiecībā pret fiksētu griešanās asi var pierādīt eksperimentā ar Žukovska stendu. Žukovska sols ir horizontāla platforma, kas brīvi griežas bez berzes ap fiksētu vertikālo asi OO 1. Cilvēks, kurš stāv vai sēž uz sola, izstieptās rokās tur vingrošanas hanteles un tiek griezts kopā ar solu ap asi OO 1 ar leņķisko ātrumu ω 1. Pietuvinot hanteles sev, cilvēks samazina sistēmas inerces momentu, un, tā kā ārējo spēku moments ir nulle, tiek saglabāts sistēmas leņķiskais impulss un tās griešanās leņķiskais ātrums. ω 2 palielinās. Tad saskaņā ar leņķiskā momenta saglabāšanas likumu attiecībā pret asi OO 1 mēs varam rakstīt:

Kur J0- personas un sola inerces moments; 2 kungs 12 un 2 kungs 22- hanteles inerces momenti pirmajā un otrajā pozīcijā; m- vienas hanteles svars; r1, r2- attālums no hanteles līdz OO asij 1.
Sistēmas inerces momenta izmaiņas ir saistītas ar tās kinētiskās enerģijas izmaiņām:

Izmantojot izteiksmi par ω 2 iegūts no (4.16)

pēc transformācijām mēs iegūstam:

Šīs sistēmas kinētiskās enerģijas izmaiņas skaitliski ir vienādas ar cilvēka veikto darbu, kustinot hanteles.
Tabulā. 4.2 kartēts galvenais fizikālie lielumi un vienādojumi, kas nosaka ķermeņa griešanos ap fiksētu asi un tā translācijas kustību.

4.2. tabula

1. uzdevums.Bumbiņa ar rādiusu 10 cm un masu 5 kg saskaņā ar likumu griežas ap simetrijas asi φ = A + Bt 2 + Ct 3, Kur IN\u003d 2 rad/s 2, AR\u003d -0,5 rad/s 3. Noteikt spēku momentu ap griešanās asi laika momentam t= 3 s.
Ņemot vērā: R= 0,1 m; m= 5 kg; φ = A + Bt 2 + Ct 3 priecīgs; IN\u003d 2 rad/s 2; AR\u003d -0,5 rad / s 3; t= 3 s.
Atrast: Mz.
Risinājums
Saskaņā ar stingra ķermeņa rotācijas kustības dinamikas vienādojumu attiecībā pret fiksētu asi

Atbilde: Mz= -0,1H*m.

2. uzdevums. Uz viendabīgas cietas cilindriskas vārpstas ar rādiusu 20 cm, kuras inerces moments ir 0,15 kg * m 2, tiek uztīts viegls pavediens, kura galā ir piestiprināta slodze 0,5 kg. Pirms cilindrs sāka griezties, kravas augstums virs grīdas bija 2,3 m (4.7. att.). Noteikt: a) kravas nolaišanas uz grīdas laiku; b) vītnes spriegojuma spēks; c) slodzes kinētisko enerģiju trieciena brīdī pret grīdu.
Ņemot vērā: R= 0,2 m; Jz\u003d 0,15 kg * m 2; m= 0,5 kg; h= 2,3 m.
Atrast: t, T, E k.

Risinājums
Saskaņā ar enerģijas nezūdamības likumu

Atbilde: t= 2 s; T= 4,31 N; E k= 1,32 J.

Uzdevumi patstāvīgam risinājumam

1. Bumba un ciets cilindrs, kas izgatavoti no viena materiāla, vienādas masas, rullē, neslīdot ar tādu pašu ātrumu. Nosakiet, cik reizes lodītes kinētiskā enerģija ir mazāka par cieta cilindra kinētisko enerģiju.
2. Dobs plānsienu cilindrs ar masu 0,5 kg, ripojot neslīdot, atsitas pret sienu un ripo no tās prom. Cilindra ātrums pirms trieciena pret sienu ir 1,4 m/s, pēc trieciena 1 m/s. Nosakiet trieciena laikā izdalītā siltuma daudzumu.
3. Uz ass uzmontēta viendabīga cieta diska, kura masa ir 10 kg, malai tiek pielikts konstants tangenciālais spēks 30 N. Nosaka kinētisko enerģiju 4 s pēc spēka iestāšanās.
4. Ventilators griežas pie 600 apgr./min. Pēc tā izslēgšanas tas sāka vienmērīgi griezties un, veicot 50 apgriezienus, apstājās. Bremzēšanas spēku darbs ir 31,4 J. Noteikt: a) bremzēšanas spēku momentu; b) ventilatora inerces moments.
5. Viendabīga cieta diska malai ar rādiusu 0,5 m tiek pielikts pastāvīgs tangenciālais spēks 100 N. Diskam griežoties, uz to iedarbojas berzes moments 2 N * m. Nosakiet diska masu, ja zināms, ka tā leņķiskais paātrinājums ir nemainīgs un vienāds ar 16 rad/s 2 .
6. Bumba ripo lejup no slīpas plaknes, veidojot 30° leņķi ar horizontāli. Neņemot vērā berzi, nosakiet laiku, kas nepieciešams, lai bumbiņa virzītos lejup pa slīpu plakni, ja ir zināms, ka tās masas centrs ir samazinājies par 30 cm, tai ripojot uz leju.
7. Uz viendabīgas cietas cilindriskas vārpstas ar rādiusu 50 cm uztīts viegls pavediens, kura galā piestiprināts 6,4 kg smagums. Slodze, attinot vītni, nokrīt ar paātrinājumu 2 m / s 2. Noteikt: a) vārpstas inerces momentu; b) vārpstas masa.
8. Horizontāla platforma ar masu 25 kg un rādiusu 0,8 m griežas ar frekvenci 18 apgr./min. Vīrietis stāv centrā un izstieptās rokās tur svarus. Uzskatot platformu par disku, nosakiet platformas griešanās biežumu, ja cilvēks, nolaižot rokas, samazina savu inerces momentu no 3,5 kg * m 2 līdz 1 kg * m 2.
9. Cilvēks, kas sver 60 kg, stāv uz 120 kg smagas horizontālas platformas malas, ar inerci griežas ap fiksētu vertikālo asi ar frekvenci 10 apgr./min., pārvietojas uz tās centru. Uzskatot platformu par apaļu viendabīgu disku un cilvēku par punktu masu, nosakiet, ar kādu frekvenci platforma pēc tam griezīsies.
10. Platforma, kurai ir cieta viendabīga diska forma, var griezties ar inerci ap fiksētu vertikālo asi. Uz platformas malas stāv cilvēks, kura masa ir 3 reizes mazāka par platformas masu. Nosakiet, kā un cik reizes mainīsies platformas griešanās leņķiskais ātrums, ja persona virzīsies tuvāk centram attālumā, kas vienāds ar pusi no platformas rādiusa.

Leņķiskais moments klasiskajā mehānikā

Attiecības starp momentu un momentu

Definīcija

Daļiņas leņķisko impulsu attiecībā pret kādu izcelsmi nosaka tās rādiusa vektora un impulsa vektora reizinājums:

kur ir daļiņas rādiuss-vektors attiecībā pret izvēlēto atskaites punktu, kas ir nekustīgs dotajā atskaites sistēmā, ir daļiņas impulss.

Vairākām daļiņām leņķiskais impulss ir definēts kā šādu terminu (vektora) summa:

kur ir katras sistēmas daļiņas, kuras leņķiskais impulss ir noteikts, rādiusa vektors un impulss.

(Ierobežojumā daļiņu skaits var būt bezgalīgs, piemēram, cieta ķermeņa gadījumā ar nepārtraukti sadalītu masu vai sadalītu sistēmu kopumā to var rakstīt kā kur atrodas bezgalīgi maza punktveida elementa impulss no sistēmas).

No leņķiskā impulsa definīcijas izriet tā aditivitāte: gan īpaši daļiņu sistēmai, gan sistēmai, kas sastāv no vairākām apakšsistēmām, ir taisnība:

• Piezīme: principā leņķisko impulsu var aprēķināt attiecībā pret jebkuru atskaites punktu (iegūtās dažādās vērtības ir acīmredzamā veidā saistītas); tomēr visbiežāk (ērtības un noteiktības labad) to aprēķina attiecībā pret masas centru vai stingra ķermeņa fiksētu rotācijas punktu utt.).

Griezes momenta aprēķins

Tā kā leņķisko impulsu nosaka šķērsreizinājums, tas ir pseidovektors, kas ir perpendikulārs abiem vektoriem un. Taču gadījumos, kad notiek rotācija ap konstantu asi, par pseidovektoru ir ērti uzskatīt nevis leņķisko impulsu, bet gan tā projekciju uz rotācijas asi par skalāru, kura zīme ir atkarīga no griešanās virziena. Ja tiek izvēlēta šāda ass, kas iet caur izcelsmi, lai aprēķinātu leņķiskā momenta projekciju uz tās, varat norādīt vairākas receptes saskaņā ar vispārējiem atrašanas noteikumiem. vektora produkts divi vektori.

kur ir leņķis starp un , noteikts tā, lai griešanās no līdz ir pretēji pulksteņrādītāja virzienam no novērotāja, kas atrodas uz rotācijas ass pozitīvās daļas, skata punkta. Aprēķinos svarīgs ir rotācijas virziens, jo tas nosaka vajadzīgās projekcijas zīmi.

Mēs rakstām formā , kur ir rādiusa vektora komponents, paralēli impulsa vektoram un - līdzīgi, perpendikulāri tam. patiesībā ir attālums no rotācijas ass līdz vektoram, ko parasti sauc par "plecu". Līdzīgi impulsa vektoru var sadalīt divās daļās: paralēli rādiusa vektoram un perpendikulāri tam. Tagad, izmantojot vektora reizinājuma linearitāti, kā arī īpašību, ka paralēlo vektoru reizinājums ir nulle, mēs varam iegūt vēl divas izteiksmes par .

Leņķiskā impulsa saglabāšana

Simetrija fizikā
transformācija	Attiecīgi nemainīgums	Atbilstoši likumu saglabāšanu
↕ Raidīšanas laiks	…enerģija
⊠ , , un -simetrijas	... paritāte
↔ Apraides telpa	Vienveidība telpa	…impulss
↺ Telpas rotācija	Izotropija telpa	… brīdis impulss
⇆ Lorenca grupa	Relativitāte Lorenca invariance	…4 impulsi
~ Mērmēru transformācija	Mērinstrumentu invariance	... maksas

Tādējādi sistēmas slēgšanas prasību var vājināt līdz prasībai, ka ārējo spēku galvenais (kopējais) moments ir vienāds ar nulli:

kur ir moments, kad kāds no spēkiem pieliek daļiņu sistēmu. (Bet, protams, ja vispār nav ārējo spēku, arī šī prasība ir izpildīta).

Matemātiski leņķiskā impulsa saglabāšanas likums izriet no telpas izotropijas, tas ir, no telpas nemainīguma attiecībā uz rotāciju pa patvaļīgu leņķi. Rotējot pa patvaļīgu bezgalīgi mazu leņķi, daļiņas rādiusa vektors ar skaitli mainīsies par , bet ātrumi - . Šādas rotācijas laikā sistēmas Lagranža funkcija telpas izotropijas dēļ nemainīsies. Tāpēc

Ņemot vērā , kur ir -tās daļiņas vispārinātais impulss, katru terminu summā no pēdējās izteiksmes var pārrakstīt kā

Tagad, izmantojot jauktā produkta īpašību, mēs veicam vektoru ciklisku permutāciju, kā rezultātā iegūstam, izņemot kopējo faktoru:

kur ir sistēmas leņķiskais impulss. Ņemot vērā patvaļu , no vienlīdzības izriet , ka .

Orbītās leņķiskais impulss tiek sadalīts starp planētas pašas rotāciju un tās orbītas kustības leņķisko impulsu:

Leņķiskais moments elektrodinamikā

Aprakstot lādētas daļiņas kustību elektromagnētiskajā laukā, kanoniskais impulss nav nemainīgs. Tā rezultātā arī kanoniskais leņķiskais impulss nav nemainīgs. Tad mēs uzņemam reālo impulsu, ko sauc arī par "kinētisko impulsu":

kur ir elektriskais lādiņš, ir gaismas ātrums, ir vektora potenciāls. Tādējādi uzlādētas masas daļiņas (invariantais) Hamiltona skaitlis elektromagnētiskajā laukā ir:

kur ir skalārais potenciāls. No šī potenciāla izriet Lorenca likums. Nemainīgo leņķisko impulsu jeb "kinētisko leņķisko impulsu" nosaka:

Leņķiskais impulss kvantu mehānikā

Momenta operators

Leņķiskā momenta aprēķins nerelativistiskajā mehānikā

Ja ir materiāls punkts ar masu, kas pārvietojas ar ātrumu un atrodas punktā, ko raksturo rādiusa vektors, tad leņķisko momentu aprēķina pēc formulas:

kur ir vektora reizinājuma zīme.

Lai aprēķinātu ķermeņa leņķisko impulsu, tas jāsadala bezgalīgi mazos gabalos un vektors summējiet to momentus kā materiālo punktu impulsa momentus, tas ir, ņemiet integrāli:

Mēs to varam pārrakstīt blīvuma izteiksmē: