Šī ir periodiska svārstība, kurā kustību raksturojošā koordināte, ātrums, paātrinājums mainās atbilstoši sinusa vai kosinusa likumam. Harmonisko svārstību vienādojums nosaka ķermeņa koordinātu atkarību no laika

Kosinusa grafikam ir maksimālā vērtība sākotnējā brīdī, un sinusa grafikam sākotnējā brīdī ir nulle. Ja mēs sākam pētīt svārstības no līdzsvara stāvokļa, tad svārstības atkārtos sinusoīdu. Ja mēs sākam apsvērt svārstības no maksimālās novirzes pozīcijas, tad svārstības aprakstīs kosinusu. Vai arī šādas svārstības var aprakstīt ar sinusa formulu ar sākuma fāzi.

Matemātiskais svārsts

svārstības matemātiskais svārsts.
Matemātiskais svārsts ir materiāls punkts, kas piekārts uz bezsvara nestiepjama pavediena (fizisks modelis).
Apskatīsim svārsta kustību ar nosacījumu, ka novirzes leņķis ir mazs, tad, ja leņķi mēra radiānos, apgalvojums ir patiess: .
Smaguma spēks un vītnes spriegums iedarbojas uz ķermeni. Šo spēku rezultantam ir divas sastāvdaļas: tangenciālais, kas maina paātrinājumu pēc lieluma, un normāls, kas maina paātrinājumu virzienā (centripetālais paātrinājums, ķermenis kustas lokā).
Jo leņķis ir mazs, tad tangenciālā komponente ir vienāda ar gravitācijas projekciju uz trajektorijas pieskares: . Leņķis radiānos ir vienāds ar attiecību loka garums līdz rādiusam (vītnes garums), un loka garums ir aptuveni vienāds ar nobīdi ( x ≈ s): .
Salīdziniet iegūto vienādojumu ar vienādojumu svārstību kustība. Tas ir skaidrs vai - ciklisks frekvence matemātiskā svārsta svārstību laikā.
Svārstību periods jeb (Galileo formula).	Galileo formula
Pats svarīgākais secinājums: matemātiskā svārsta svārstību periods nav atkarīgs no ķermeņa masas!
Līdzīgus aprēķinus var veikt, izmantojot enerģijas nezūdamības likumu. Mēs ņemam vērā, ka ķermeņa potenciālā enerģija gravitācijas laukā ir vienāda ar , un kopējā mehāniskā enerģija ir vienāda ar maksimālo potenciālo jeb kinētisko:
Pierakstīsim enerģijas nezūdamības likumu un ņemsim vienādojuma kreisās un labās daļas atvasinājumu: . Jo konstantas vērtības atvasinājums ir vienāds ar nulli, tad . Summas atvasinājums ir vienāds ar atvasinājumu summu: un.
Tāpēc: , kas nozīmē.

Ideāls gāzes stāvokļa vienādojums (Mendeļejeva-Klapeirona vienādojums).
Stāvokļa vienādojums ir vienādojums, kas saista fiziskās sistēmas parametrus un unikāli nosaka tās stāvokli. 1834. gadā franču fiziķis B. Klepeirons, kurš ilgu laiku strādāja Sanktpēterburgā, atvasināja stāvokļa vienādojumu ideālai gāzei nemainīgai gāzes masai. 1874. gadā D. I. Mendeļejevs atvasināja vienādojumu patvaļīgam skaitam molekulu.
MKT un ideālās gāzes termodinamikā makroskopiskie parametri ir: p, V, T, m. Mēs to zinām . Līdz ar to,. Atsaucoties uz , mēs iegūstam:.
Pastāvīgo vērtību reizinājums ir nemainīga vērtība, tāpēc: - universāla gāzes konstante (universāla, jo tā ir vienāda visām gāzēm).
Tādējādi mums ir: Stāvokļa vienādojums (Mendeļejeva-Klepeirona vienādojums).
Citi ideālās gāzes stāvokļa vienādojuma rakstīšanas veidi.
1. Vienādojums 1 molam vielas. Ja n \u003d 1 mol, tad, apzīmējot viena mola tilpumu V m, mēs iegūstam:. Priekš normāli apstākļi mēs iegūstam:
2. Uzrakstiet vienādojumu blīvuma izteiksmē: - Blīvums ir atkarīgs no temperatūras un spiediena!
3. Klepeirona vienādojums. Bieži vien ir nepieciešams izpētīt situāciju, kad gāzes stāvoklis mainās ar nemainīgu daudzumu (m=konst) un ja nav ķīmiskās reakcijas(M=konst.). Tas nozīmē, ka vielas daudzums n=konst. Pēc tam:
Šis ieraksts nozīmē, ka noteiktai noteiktas gāzes masai vienlīdzība ir patiesa:
Ideālas gāzes nemainīgai masai spiediena un tilpuma reizinājuma attiecība pret absolūtā temperatūrašajā stāvoklī ir nemainīga vērtība: .
gāzes likumi.
1. Avogadro likums. Vienādos daudzumos dažādu gāzu vienādos ārējos apstākļos ir vienāds skaits molekulu (atomu). Stāvoklis: V 1 =V 2 =…=V n ; p 1 \u003d p 2 \u003d ... \u003d p n; T 1 \u003d T 2 \u003d ... \u003d T n
Pierādījums: Tāpēc vienādos apstākļos (spiediens, tilpums, temperatūra) molekulu skaits nav atkarīgs no gāzes rakstura un ir vienāds.
2. Daltona likums. Gāzu maisījuma spiediens ir vienāds ar katras gāzes daļējo (privāto) spiedienu summu. Pierādīt: p=p 1 +p 2 +…+p n Pierādījums:
3. Paskāla likums. Šķidruma vai gāzes radītais spiediens tiek pārnests visos virzienos bez izmaiņām.

Ideālas gāzes stāvokļa vienādojums. gāzes likumi.

Brīvības pakāpju skaitļi: tas ir neatkarīgo mainīgo (koordinātu) skaits, kas pilnībā nosaka sistēmas pozīciju telpā. Dažās problēmās monatomiskā gāzes molekula (1. att., a) tiek uzskatīta par materiālu punktu, kuram ir dotas trīs translācijas kustības brīvības pakāpes. Tas neņem vērā rotācijas kustības enerģiju. Mehānikā divatomiskās gāzes molekula pirmajā tuvinājumā tiek uzskatīta par divu elementu kombināciju. materiālie punkti, kas ir stingri savienoti ar nedeformējamu saiti (1. att., b). Šai sistēmai papildus trim translācijas kustības brīvības pakāpēm ir vēl divas rotācijas kustības brīvības pakāpes. Rotācija ap trešo asi, kas iet caur abiem atomiem, ir bezjēdzīga. Tas nozīmē, ka divatomu gāzei ir piecas brīvības pakāpes ( i= 5). Triatomiskajai (1. att., c) un poliatomiskajai nelineārajai molekulai ir sešas brīvības pakāpes: trīs translācijas un trīs rotācijas. Ir dabiski pieņemt, ka starp atomiem nav stingras saites. Tāpēc reālām molekulām ir jāņem vērā arī vibrācijas kustības brīvības pakāpes.

Jebkuram noteiktas molekulas brīvības pakāpju skaitam trīs brīvības pakāpes vienmēr ir translācijas. Nevienai no translācijas brīvības pakāpēm nav priekšrocību salīdzinājumā ar citām, kas nozīmē, ka katrai no tām ir vidēji tāda pati enerģija, kas vienāda ar 1/3 vērtības<ε 0 >(molekulu translācijas kustības enerģija): Statistiskajā fizikā Bolcmaņa likums par vienmērīgu enerģijas sadalījumu pa molekulu brīvības pakāpēm: statistikas sistēmai, kas atrodas termodinamiskā līdzsvara stāvoklī, katrai translācijas un rotācijas brīvības pakāpei ir vidējā kinētiskā enerģija, kas vienāda ar kT / 2, un katras vibrācijas brīvības pakāpes vidējā enerģija ir vienāda ar kT. Vibrāciju pakāpei ir divreiz vairāk enerģijas, jo tas veido gan kinētisko enerģiju (tāpat kā translācijas un rotācijas kustību gadījumā), gan potenciālo enerģiju, un potenciālās un kinētiskās enerģijas vidējās vērtības ir vienādas. Tātad molekulas vidējā enerģija Kur i- translācijas skaita, rotācijas skaita summa divkāršā molekulas vibrācijas brīvības pakāpju skaitā: i=i izlikt + i rotācija +2 i vibrācijas Klasiskajā teorijā tiek aplūkotas molekulas ar stingru saiti starp atomiem; viņiem i sakrīt ar molekulas brīvības pakāpju skaitu. Tā kā ideālā gāzē molekulu savstarpējā mijiedarbības potenciālā enerģija ir vienāda ar nulli (molekulas viena ar otru mijiedarbojas), tad viena gāzes mola iekšējā enerģija būs vienāda ar molekulu kinētisko enerģiju N A summu: (1) Iekšējā enerģija patvaļīgai gāzes masai m. kur M- molārā masa, ν - vielas daudzums.

Maksimālā ātruma un paātrinājuma vērtības

Analizējot atkarības vienādojumus v(t) un a(t), var uzminēt, ka maksimālās ātruma un paātrinājuma vērtības tiek ņemtas, ja trigonometriskais faktors ir vienāds ar 1 vai -1. Nosaka pēc formulas

Kā iegūt atkarības v(t) un a(t)

7. Brīvās vibrācijas. Svārstību kustības ātrums, paātrinājums un enerģija. Vibrāciju pievienošana

Brīvas vibrācijas(vai dabiskās vibrācijas) ir svārstību sistēmas vibrācijas, ko veic tikai sākotnēji ziņotās enerģijas (potenciālās vai kinētiskās) dēļ, ja nav ārējas ietekmes.

Potenciālo vai kinētisko enerģiju var paziņot, piemēram, mehāniskās sistēmās, izmantojot sākotnējo pārvietojumu vai sākotnējo ātrumu.

Brīvi svārstošie ķermeņi vienmēr mijiedarbojas ar citiem ķermeņiem un kopā ar tiem veido ķermeņu sistēmu, ko sauc oscilācijas sistēma.

Piemēram, atspere, bumba un vertikālais stabs, pie kura ir piestiprināts atsperes augšējais gals (skat. attēlu zemāk), ir iekļauti svārstību sistēmā. Šeit bumba brīvi slīd pa auklu (berzes spēki ir niecīgi). Ja jūs paņemat bumbu pa labi un atstājat to sev, tā brīvi svārstīsies ap līdzsvara stāvokli (punkts PAR) atsperes elastīgā spēka darbības rezultātā, kas vērsta uz līdzsvara stāvokli.

Vēl viens klasisks mehāniskās svārstību sistēmas piemērs ir matemātiskais svārsts (skat. attēlu zemāk). Šajā gadījumā bumba veic brīvas svārstības divu spēku iedarbībā: gravitācijas un vītnes elastīgā spēka (arī Zeme iekļūst svārstību sistēmā). To rezultāts tiek novirzīts uz līdzsvara stāvokli.

Tiek saukti spēki, kas darbojas starp svārstību sistēmas ķermeņiem iekšējie spēki. Ārējie spēki sauc spēkus, kas iedarbojas uz sistēmu no ķermeņiem, kas tajā neietilpst. No šī viedokļa brīvās svārstības var definēt kā svārstības sistēmā, iedarbojoties iekšējiem spēkiem pēc tam, kad sistēma ir izņemta no līdzsvara.

Brīvo svārstību rašanās nosacījumi ir:

1) tāda spēka rašanās tajos, kas sistēmu atgriež stabilā līdzsvara stāvoklī pēc tam, kad tā ir izņemta no šī stāvokļa;

2) sistēmā nav berzes.

Brīvo svārstību dinamika.

Ķermeņa vibrācijas elastīgo spēku ietekmē. Ķermeņa svārstību kustības vienādojums elastīga spēka iedarbībā F(skat. att.) var iegūt, ņemot vērā Ņūtona otro likumu ( F = ma) un Huka likums ( F kontrole= -kx), Kur m ir lodes masa un ir paātrinājums, ko lode iegūst elastīgā spēka iedarbībā, k- atsperes stingrības koeficients, X- ķermeņa nobīde no līdzsvara stāvokļa (abi vienādojumi ir uzrakstīti projekcijā uz horizontālo asi Ak). Pielīdzinot šo vienādojumu labās puses un ņemot vērā to, ka paātrinājums A ir koordinātas otrais atvasinājums X(kompensācijas), mēs iegūstam:

.

Šis diferenciālvienādojumsķermeņa kustība, kas svārstās elastīga spēka iedarbībā: koordinātes otrais atvasinājums attiecībā pret laiku (ķermeņa paātrinājums) ir tieši proporcionāls tā koordinātei, kas ņemta ar pretēju zīmi.

Matemātiskā svārsta svārstības. Lai iegūtu matemātiskā svārsta svārstību vienādojumu (attēls), ir jāpaplašina gravitācijas spēks F T= mg uz normālu F n(virzīts gar vītni) un tangenciāls F τ(lodes trajektorijas pieskare - aplis) komponenti. Normāla gravitācijas sastāvdaļa F n un vītnes elastības spēks Fynp kopumā tie dod svārstam centripetālu paātrinājumu, kas neietekmē ātruma lielumu, bet tikai maina tā virzienu, un tangenciālo komponentu F τ ir spēks, kas atgriež bumbu līdzsvara stāvoklī un izraisa tās svārstības. Izmantojot, tāpat kā iepriekšējā gadījumā, Ņūtona likumu tangenciālajam paātrinājumam ma τ = F τ un ņemot vērā to F τ= -mg sinα, mēs iegūstam:

a τ= -g sinα,

Mīnusa zīme parādījās tāpēc, ka spēks un novirzes leņķis no līdzsvara stāvokļa α ir pretējas pazīmes. Maziem novirzes leņķiem sinα ≈ α. Savukārt, α = s/l, Kur s- loka OA, es- vītnes garums. Atsaucoties uz un τ= s", mēs beidzot saņemam:

Vienādojuma forma ir līdzīga vienādojumam . Tikai šeit sistēmas parametri ir vītnes garums un brīvā kritiena paātrinājums, nevis atsperes stingums un lodes masa; koordinātas lomu spēlē loka garums (t.i., nobrauktais ceļš, kā pirmajā gadījumā).

Tādējādi brīvās vibrācijas apraksta ar viena veida vienādojumiem (uz tiem pašiem likumiem) neatkarīgi no fiziskā daba spēki, kas izraisa šīs vibrācijas.

Vienādojumu risināšana un ir formas funkcija:

x = xmcos ω 0t(vai x = xmgrēks ω 0t).

Tas ir, ķermeņa, kas veic brīvas svārstības, koordinātas laika gaitā mainās atbilstoši kosinusa vai sinusa likumam, un tāpēc šīs svārstības ir harmoniskas:

Vienādojumā x = xmcos ω 0t(vai x = xmgrēks ω 0t), x m- svārstību amplitūda, ω 0 - sava cikliskā (apļveida) svārstību frekvence.

Ciklisko frekvenci un brīvo harmonisko svārstību periodu nosaka sistēmas īpašības. Tātad uz atsperes piestiprināta ķermeņa vibrācijām ir patiesas šādas attiecības:

.

Jo lielāka ir dabiskā frekvence, jo lielāka ir atsperes stingrība vai mazāka slodzes masa, ko pilnībā apstiprina pieredze.

Matemātiskajam svārstam ir spēkā šādas vienādības:

.

Pirmo reizi šo formulu ieguva un pārbaudīja holandieši zinātnieks Huigenss(Ņūtona laikabiedrs).

Svārstību periods palielinās līdz ar svārsta garumu un nav atkarīgs no tā masas.

Īpaši jāatzīmē, ka harmoniskās svārstības ir stingri periodiskas (jo tās pakļaujas sinusa vai kosinusa likumam) un pat matemātiskajam svārstam, kas ir reāla (fiziskā) svārsta idealizācija, tās iespējamas tikai pie maziem svārstību leņķiem. Ja novirzes leņķi ir lieli, slodzes nobīde nebūs proporcionāla novirzes leņķim (leņķa sinusam) un paātrinājums nebūs proporcionāls pārvietojumam.

Ķermeņa ātrums un paātrinājums, kas veic brīvas svārstības, veiks arī harmoniskas svārstības. Ņemot funkcijas laika atvasinājumu ( x = xmcos ω 0t(vai x = xmgrēks ω 0t)), mēs iegūstam ātruma izteiksmi:

v = -v mgrēks ω 0t = -v mx mcos (ω 0t + π/2),

Kur v m= ω 0 x m- ātruma amplitūda.

Tāpat arī paātrinājuma izteiksme A mēs iegūstam, diferencējot ( v = -v mgrēks ω 0t = -v mx mcos (ω 0t + π/2)):

a = -a mcos ω 0t,

Kur a m= ω 2 0x m- paātrinājuma amplitūda. Tādējādi harmonisko svārstību ātruma amplitūda ir proporcionāla frekvencei, un paātrinājuma amplitūda ir proporcionāla svārstību frekvences kvadrātam.

HARMONISKĀS SVĀRSTĪBAS
Svārstības, kurās notiek fizikālo lielumu izmaiņas saskaņā ar kosinusu jeb sinusa likumu (harmonisko likumu), sauktas. harmoniskas vibrācijas. Piemēram, mehānisko harmonisko vibrāciju gadījumā: Šajās formulās ω ir svārstību frekvence, x m ir svārstību amplitūda, φ 0 un φ 0 ’ ir svārstību sākotnējās fāzes. Iepriekš minētās formulas atšķiras sākotnējās fāzes definīcijā un pie φ 0 ’ = φ 0 + π/2 pilnībā sakrīt.
Šī ir vienkāršākā periodisko svārstību forma. Funkcijas īpašā forma (sinuss vai kosinuss) ir atkarīga no tā, kā sistēma tiek izvadīta no līdzsvara. Ja izņemšana notiek ar grūdienu (tiek ziņots, ka kinētiskā enerģija), tad pie t \u003d 0, pārvietojums x \u003d 0, tāpēc to ir ērtāk izmantot grēka funkcija, iestatījums φ 0 ’=0; novirzoties no līdzsvara stāvokļa (tiek ziņots par potenciālo enerģiju) pie t \u003d 0, pārvietojums x \u003d x m, tāpēc to ir ērtāk izmantot cos funkcija un φ 0 =0.
Izteiciens zem zīmes cos vai sin, ko sauc. svārstību fāze:. Svārstību fāzi mēra radiānos un nosaka nobīdes vērtību (svārstību) noteiktā laikā.
Svārstību amplitūda ir atkarīga tikai no sākotnējās novirzes (sākotnējās enerģijas, kas tiek nodota svārstību sistēmai).
Ātrums un paātrinājums plkst harmoniskas vibrācijas.
Saskaņā ar ātruma definīciju ātrums ir koordinātas atvasinājums attiecībā pret laiku
Tādējādi redzams, ka ātrums harmoniskās svārstību kustības laikā arī mainās atbilstoši harmonikas likumam, bet ātruma svārstības apsteidz nobīdes svārstības fāzē par π/2.
Vērtība ir maksimālais svārstību kustības ātrums (ātruma svārstību amplitūda).
Tāpēc ātrumam harmonisko svārstību laikā mums ir: , un nulles sākuma fāzes gadījumā (sk. grafiku).
Saskaņā ar paātrinājuma definīciju paātrinājums ir ātruma atvasinājums attiecībā pret laiku: ir koordinātas otrais atvasinājums attiecībā pret laiku. Tad:. Paātrinājums harmoniskās svārstību kustības laikā arī mainās saskaņā ar harmonikas likumu, bet paātrinājuma svārstības apsteidz ātruma svārstības par π/2 un nobīdes svārstības par π (saka, ka notiek svārstības ārpus fāzes).
Vērtība - maksimālais paātrinājums (paātrinājuma svārstību amplitūda). Tāpēc paātrinājumam mums ir: , un nulles sākuma fāzes gadījumā: (skat. grafiku).
No svārstību kustības procesa analīzes, grafiki un atbilstošie matemātiskās izteiksmes var redzēt, ka tad, kad svārstīgais ķermenis šķērso līdzsvara stāvokli (nobīde ir nulle), paātrinājums ir nulle, un ķermeņa ātrums ir maksimālais (ķermenis šķērso līdzsvara stāvokli ar inerci), un kad amplitūdas vērtība tiek sasniegts pārvietojums, ātrums ir nulle, un paātrinājums ir maksimālais absolūtā vērtībā (ķermenis maina kustības virzienu).
Salīdzināsim harmonisko svārstību pārvietojuma un paātrinājuma izteiksmes: un .
Jūs varat rakstīt: - t.i. otrs pārvietojuma atvasinājums ir tieši proporcionāls (ar pretēju zīmi) pārvietojumam. Tādu vienādojumu sauc harmonisko svārstību vienādojums. Šī atkarība ir apmierināta jebkurai harmoniskai svārstībai neatkarīgi no to rakstura. Tā kā mēs nekur neesam izmantojuši konkrētas svārstību sistēmas parametrus, no tiem var būt atkarīga tikai cikliskā frekvence.
Bieži vien ir ērti uzrakstīt svārstību vienādojumus šādā formā: , kur T ir svārstību periods. Tad, ja laiks ir izteikts perioda daļās, aprēķini tiks vienkāršoti. Piemēram, ja jums ir jāatrod nobīde pēc 1/8 perioda, mēs iegūstam: . Līdzīgi arī ātrumam un paātrinājumam.

Nav nekas neparasts, ka sistēma vienlaikus piedalās divās vai vairākās neatkarīgās svārstībās. Šajos gadījumos veidojas sarežģīta svārstību kustība, kas tiek radīta, viena otrai uzklājot (pievienojot) vibrācijas. Acīmredzot svārstību summēšanas gadījumi var būt ļoti dažādi. Tās ir atkarīgas ne tikai no pievienoto svārstību skaita, bet arī no svārstību parametriem, no to frekvencēm, fāzēm, amplitūdām, virzieniem. Nav iespējams pārskatīt visu iespējamo svārstību summēšanas gadījumu daudzveidību, tāpēc aprobežosimies ar atsevišķu piemēru aplūkošanu.
1. Vibrāciju pievienošana vienā virzienā. Saskaitīsim divas vienādas frekvences svārstības, bet dažādas fāzes un amplitūdas.

(4.40)
Kad svārstības ir uzliktas viena otrai


Mēs ieviešam jaunus parametrus A un j saskaņā ar vienādojumiem:

(4.42)
Vienādojumu sistēma (4.42) ir viegli atrisināma.

(4.43)

(4.44)
Tādējādi attiecībā uz x mēs beidzot iegūstam vienādojumu

(4.45)
Tātad, saskaitot vienādas frekvences vienvirziena svārstības, iegūstam harmonisku (sinusoidālu) svārstību, kuras amplitūdu un fāzi nosaka ar formulām (4.43) un (4.44).
Apskatīsim īpašus gadījumus, kad attiecības starp divu summēto svārstību fāzēm ir atšķirīgas:


(4.46)
Tagad pievienosim vienādas amplitūdas, vienādas fāzes, bet dažādas frekvences vienvirziena svārstības.


(4.47)
Apskatīsim gadījumu, kad frekvences ir tuvu viena otrai, t.i., w1~w2=w
Tad mēs aptuveni pieņemsim, ka (w1+w2)/2= w un (w2-w1)/2 ir mazs. Iegūtais svārstību vienādojums izskatīsies šādi:

(4.48)
Tās grafiks ir parādīts attēlā. 4.5. Šo svārstību sauc par sitienu. To veic ar frekvenci w, bet tā amplitūda svārstās ar lielu periodu.

2. Divu savstarpēji perpendikulāru svārstību saskaitīšana. Pieņemsim, ka viena svārstība tiek veikta pa x asi, otra - pa y asi. Iegūtā kustība acīmredzami atrodas xy plaknē.
1. Pieņemsim, ka svārstību frekvences un fāzes ir vienādas, bet amplitūdas ir atšķirīgas.

(4.49)
Lai atrastu radušās kustības trajektoriju, no vienādojumiem (4.49) jāizslēdz laiks. Lai to izdarītu, pietiek ar terminu sadalīt vienu vienādojumu ar citu, kā rezultātā mēs iegūstam

(4.50)
Vienādojums (4.50) parāda, ka šajā gadījumā svārstību saskaitīšana noved pie svārstībām pa taisnu līniju, kuras slīpuma leņķa tangensu nosaka amplitūdu attiecība.
2. Ļaujiet pievienoto svārstību fāzēm atšķirties viena no otras par /2 un vienādojumiem ir šāda forma:

(4.51)
Lai atrastu radušās kustības trajektoriju, neskaitot laiku, vienādojumus (4.51) jāliek kvadrātā, vispirms sadalot tos attiecīgi ar A1 un A2 un pēc tam saskaitot. Trajektorijas vienādojums būs šāds:

(4.52)
Šis ir elipses vienādojums. Var pierādīt, ka jebkurām divu vienādas frekvences savstarpēji perpendikulāru svārstību sākuma fāzēm un jebkurām amplitūdām rezultējošās svārstības tiks veiktas pa elipsi. Tās orientācija būs atkarīga no pievienoto svārstību fāzēm un amplitūdām.
Ja pievienotajām svārstībām ir dažādas frekvences, tad radušos kustību trajektorijas ir ļoti dažādas. Tikai tad, ja svārstību frekvences x un y ir viena otras reizinātas, tiek iegūtas slēgtas trajektorijas. Šādas kustības var attiecināt uz periodisko kustību skaitu. Šajā gadījumā kustību trajektorijas sauc par Lissajous figūrām. Apskatīsim vienu no Lissajous figūrām, kas iegūta, saskaitot svārstības ar frekvenču attiecībām 1:2, ar vienādām amplitūdām un fāzēm kustības sākumā.

(4.53)
Gar y asi svārstības notiek divreiz biežāk nekā pa x asi. Šādu svārstību pievienošana novedīs pie kustības trajektorijas astotnieka formā (4.7. att.).

8. Slāpētās svārstības un to parametri: samazinājums un svārstību koeficients, relaksācijas laiks

)Slāpēto svārstību periods:

T = (58)

Plkst δ << ω o vibrācijas neatšķiras no harmoniskajām: T = 2π/ o.

2) Slāpēto svārstību amplitūda tiek izteikts ar formulu (119).

3) amortizācijas samazināšanās, vienāds ar divu secīgu svārstību amplitūdu attiecību A(t) Un A(t+T), raksturo amplitūdas samazināšanās ātrumu laika posmā:

= e d T (59)

4) Logaritmiskās slāpēšanas samazināšanās- divu secīgu svārstību amplitūdu attiecības naturālais logaritms, kas atbilst laika punktiem, kas atšķiras par periodu

q \u003d ln \u003d ln e d T \u003d dT(60)

Logaritmiskā slāpēšanas samazināšanās ir nemainīga vērtība noteiktai svārstību sistēmai.

5) Relaksācijas laiks sauc par laika periodu ( t), kura laikā slāpēto svārstību amplitūda samazinās par koeficientu e:

e d τ = e, δτ = 1,

t = 1/d, (61)

Salīdzinot izteiksmes (60) un (61), iegūstam:

q= = , (62)

Kur N e - relaksācijas laikā veikto svārstību skaits.

Ja laikā t sistēma veido Ν tad svārstības t = Ν . Τ un slāpēto svārstību vienādojumu var attēlot šādi:

S \u003d A 0 e -d N T cos(w t+j)\u003d A 0 e -q N cos(w t+j).

6)Svārstību sistēmas kvalitātes faktors(J) lielumu, kas raksturo enerģijas zudumus sistēmā svārstību periodā, pieņemts saukt:

Q= 2lpp , (63)

Kur W ir sistēmas kopējā enerģija, ∆W ir laika posmā izkliedētā enerģija. Jo mazāk tiek izkliedēta enerģija, jo lielāks ir sistēmas kvalitātes faktors. To rāda aprēķini

Q = = pNe = = . (64)

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, kvalitātes koeficients ir apgriezti proporcionāls logaritmiskās slāpēšanas samazinājumam. No formulas (64) izriet, ka kvalitātes koeficients ir proporcionāls svārstību skaitam N e veic sistēma relaksācijas laikā.

7) Potenciālā enerģija sistēmu laikā t var izteikt ar potenciālo enerģiju W 0 pie lielākās novirzes:

W = = kA o 2 e -2 qN = W 0 e -2 qN . (65)

Parasti nosacīti tiek uzskatīts, ka svārstības praktiski ir beigušās, ja to enerģija ir samazinājusies 100 reizes (amplitūda ir samazinājusies 10 reizes). Šeit jūs varat iegūt izteiksmi sistēmas radīto svārstību skaita aprēķināšanai:

= e 2qN= 100, ln100 = 2 qN;

N = = . (66)

9. Piespiedu vibrācijas. Rezonanse. periodiskas svārstības. Pašsvārstības.

Lai sistēma veiktu neslāpētas svārstības, ir nepieciešams papildināt svārstību enerģijas zudumus berzes dēļ no ārpuses. Lai nodrošinātu, ka sistēmas svārstību enerģija nesamazinās, parasti tiek ieviests spēks, kas periodiski iedarbojas uz sistēmu (tādu mēs sauksim neatvairāms, un piespiedu svārstības).

DEFINĪCIJA: piespiedu kārtā sauc tādas vibrācijas, kas rodas svārstību sistēmā ārēja periodiski mainīga spēka iedarbībā.

Šim spēkam, kā likums, ir divējāda loma:

pirmkārt, tas satricina sistēmu un piešķir tai noteiktu enerģijas daudzumu;

otrkārt, tas periodiski papildina enerģijas zudumus (enerģijas patēriņu), lai pārvarētu pretestības un berzes spēkus.

Ļaujiet virzītājspēkam mainīties ar laiku saskaņā ar likumu:

.

Sastādīsim kustības vienādojumu sistēmai, kas svārstās šāda spēka ietekmē. Mēs pieņemam, ka sistēmu ietekmē arī vides kvazielastīgais spēks un pretestības spēks (kas ir spēkā, pieņemot nelielas svārstības). Tad sistēmas kustības vienādojums izskatīsies šādi:

Or .

Aizvietojot , , – sistēmas svārstību naturālo frekvenci, iegūstam nehomogēnu lineāru diferenciālvienādojumu 2 th pasūtīt:

No diferenciālvienādojumu teorijas ir zināms, ka nehomogēna vienādojuma vispārējais atrisinājums ir vienāds ar viendabīga vienādojuma vispārējā atrisinājuma un nehomogēna vienādojuma konkrētā atrisinājuma summu.

Ir zināms homogēnā vienādojuma vispārējais risinājums:

,

Kur ; a 0 un a– patvaļīga konst.

.

Izmantojot vektoru diagrammu, varat pārliecināties, vai šāds pieņēmums ir patiess, kā arī noteikt vērtības " a" Un " j”.

Svārstību amplitūdu nosaka ar šādu izteiksmi:

.

Nozīme " j”, kas ir piespiedu svārstību fāzes aizkaves lielums no dzinējspēka, kas to izraisīja, tiek noteikts arī no vektoru diagrammas un ir:

.

Visbeidzot, konkrēts nehomogēnā vienādojuma risinājums būs šāds:

(8.18)

Šī funkcija kopā ar

(8.19)

sniedz vispārīgu risinājumu nehomogēnam diferenciālvienādojumam, kas apraksta sistēmas uzvedību piespiedu vibrāciju ietekmē. Terminam (8.19) ir nozīmīga loma procesa sākumposmā, tā sauktās svārstību izveidošanas laikā (8.10. att.). Laika gaitā eksponenciālā faktora ietekmē otrā termina (8.19) loma arvien vairāk samazinās, un pēc pietiekama laika to var atstāt novārtā, risinājumā paturot tikai terminu (8.18).

Tādējādi funkcija (8.18) apraksta vienmērīgas piespiedu svārstības. Tās ir harmoniskas svārstības, kuru frekvence ir vienāda ar virzošā spēka frekvenci. Piespiedu svārstību amplitūda ir proporcionāla virzošā spēka amplitūdai. Noteiktai svārstību sistēmai (definēta ar w 0 un b) amplitūda ir atkarīga no virzošā spēka frekvences. Piespiedu svārstības fāzē atpaliek no virzošā spēka, un nobīdes "j" apjoms ir atkarīgs arī no virzošā spēka frekvences.

Piespiedu svārstību amplitūdas atkarība no virzošā spēka frekvences noved pie tā, ka pie noteiktas frekvences, kas noteikta konkrētai sistēmai, svārstību amplitūda sasniedz savu maksimālo vērtību. Svārstību sistēma īpaši reaģē uz virzošā spēka darbību šajā frekvencē. Šo fenomenu sauc rezonanse, un atbilstošā frekvence ir rezonanses frekvence.

DEFINĪCIJA: parādību, kurā tiek novērota krasa piespiedu svārstību amplitūdas palielināšanās, sauc rezonanse.

Rezonanses frekvenci nosaka no maksimālā piespiedu svārstību amplitūdas nosacījuma:

. (8.20)

Pēc tam, aizstājot šo vērtību amplitūdas izteiksmē, mēs iegūstam:

. (8.21)

Ja nebūtu vidējas pretestības, svārstību amplitūda pie rezonanses pārvērstos līdz bezgalībai; rezonanses frekvence tādos pašos apstākļos (b=0) sakrīt ar naturālo svārstību frekvenci.

Piespiedu svārstību amplitūdas atkarību no virzošā spēka frekvences (vai, kas tas ir, no svārstību frekvences) var attēlot grafiski (8.11. att.). Atsevišķas līknes atbilst dažādām “b” vērtībām. Jo mazāks “b”, jo augstāk un pa labi atrodas šīs līknes maksimums (sk. w res. izteiksmi). Pie ļoti lielas slāpēšanas rezonanse netiek novērota - pieaugot frekvencei, piespiedu svārstību amplitūda monotoni samazinās (8.11. att. apakšējā līkne).

Tiek izsaukta parādīto grafiku kopa, kas atbilst dažādām b vērtībām rezonanses līknes.

Piezīmes par rezonanses līknēm:

kā tendence w®0, visas līknes iegūst to pašu vērtību, kas nav nulles vienāda ar . Šī vērtība atspoguļo nobīdi no līdzsvara stāvokļa, ko sistēma saņem nemainīga spēka iedarbībā F 0 .

kā w®¥ visas līknes asimptotiski tiecas uz nulli, jo augstā frekvencē spēks maina virzienu tik ātri, ka sistēmai nav laika manāmi pāriet no līdzsvara stāvokļa.

jo mazāks b, jo spēcīgāka amplitūda rezonanses tuvumā mainās ar frekvenci, jo "asāks" maksimums.

Rezonanses fenomens bieži vien ir noderīgs, īpaši akustikā un radiotehnikā.

Pašsvārstības- neslāpētas svārstības izkliedējošā dinamiskā sistēmā ar nelineāru atgriezenisko saiti, ko atbalsta konstantes enerģija, tas ir neperiodisksārējā ietekme.

Pašsvārstības atšķiras no piespiedu vibrācijas jo pēdējie ir izraisīti periodiskais izdevumsārējā ietekme un notiek ar šīs ietekmes biežumu, savukārt pašsvārstību rašanos un to biežumu nosaka pašas pašsvārstību sistēmas iekšējās īpašības.

Jēdziens pašsvārstības krievu terminoloģijā ieviesa A. A. Andronovs 1928. gadā.

Piemēri[

Pašsvārstību piemēri ir:

· neslāpētas pulksteņa svārsta svārstības pulksteņa mehānisma svara gravitācijas pastāvīgas iedarbības dēļ;

vijoles stīgas vibrācijas vienmērīgi kustīga lociņa ietekmē

maiņstrāvas rašanās multivibratoru ķēdēs un citos elektroniskajos ģeneratoros pie pastāvīga barošanas sprieguma;

gaisa kolonnas svārstības ērģeļu caurulē ar vienmērīgu gaisa padevi tajā. (sk. arī Stāvvilnis)

misiņa pulksteņa zobrata rotācijas svārstības ar tērauda asi, kas piekārta no magnēta un savīta (Gamazkova eksperiments) (riteņa kinētiskā enerģija, tāpat kā vienpolārā ģeneratorā, tiek pārvērsta elektriskā lauka potenciālajā enerģijā, potenciālā enerģija elektriskais lauks, tāpat kā vienpolārā dzinējā, tiek pārvērsts riteņa kinētiskajā enerģijā utt.)

Maklakova āmurs

Āmurs, kas sitas maiņstrāvas enerģijas dēļ ar frekvenci, kas daudzkārt zemāka par strāvas frekvenci elektriskajā ķēdē.

Svārstību ķēdes spole L ir novietota virs galda (vai cita objekta, kuram jāsit). No apakšas tajā iekļūst dzelzs caurule, kuras apakšējais gals ir āmura trieciena daļa. Caurulei ir vertikāls slots, lai samazinātu Fuko strāvas. Svārstību ķēdes parametri ir tādi, ka tās svārstību dabiskā frekvence sakrīt ar strāvas frekvenci ķēdē (piemēram, pilsētas maiņstrāva, 50 herci).

Pēc strāvas ieslēgšanas un svārstību noteikšanas tiek novērota ķēdes un ārējās ķēdes strāvu rezonanse, un dzelzs caurule tiek ievilkta spolē. Spoles induktivitāte palielinās, svārstību ķēde iziet no rezonanses, un strāvas svārstību amplitūda spolē samazinās. Tāpēc caurule gravitācijas ietekmē atgriežas sākotnējā stāvoklī - ārpus spoles. Tad strāvas svārstības ķēdē sāk pieaugt, un atkal iestājas rezonanse: caurule atkal tiek ievilkta spolē.

caurule apņemas pašsvārstības, tas ir, periodiskas kustības uz augšu un uz leju, un tajā pašā laikā tas skaļi klauvē pie galda, piemēram, āmurs. Šo mehānisko pašsvārstību periods ir desmitiem reižu lielāks nekā tās atbalstošās maiņstrāvas periods.

Āmurs ir nosaukts Maskavas Fizikas un tehnoloģijas institūta lektora asistenta M. I. Maklakova vārdā, kurš ierosināja un veica šādu eksperimentu pašsvārstību demonstrēšanai.

Pašsvārstību mehānisms

1. att. Pašsvārstību mehānisms

Pašsvārstībām var būt dažāds raksturs: mehāniska, termiska, elektromagnētiska, ķīmiska. Pašsvārstību rašanās un uzturēšanas mehānisms dažādās sistēmās var būt balstīts uz dažādiem fizikas vai ķīmijas likumiem. Lai precīzi kvantitatīvi aprakstītu dažādu sistēmu pašsvārstības, var būt nepieciešams atšķirīgs matemātiskais aparāts. Neskatoties uz to, ir iespējams iedomāties shēmu, kas ir kopīga visām pašoscilējošām sistēmām un kvalitatīvi apraksta šo mehānismu (1. att.).

Diagrammā: S- pastāvīgas (neperiodiskas) ietekmes avots; R- nelineārs kontrolieris, kas konstantu efektu pārvērš mainīgā (piemēram, intermitējošā laikā), kas “svārstās” oscilators V- sistēmas oscilējošais elements (elementi) un oscilatora svārstības caur atgriezenisko saiti B kontrolēt regulatora darbību R, iestatījums fāze Un biežums viņa darbības. Izkliedi (enerģijas izkliedi) pašsvārstību sistēmā kompensē no pastāvīgas ietekmes avota tajā ienākošā enerģija, kuras dēļ pašsvārstības nesadalās.

Rīsi. 2 Svārsta pulksteņa sprūdrata mehānisma shēma

Ja oscilējošs sistēmas elements spēj pats slāpētās svārstības(tā sauktais. harmoniku izkliedējošais oscilators), pašsvārstības (ar vienādu izkliedi un enerģijas ievadi sistēmā periodā) tiek noteiktas frekvencē, kas ir tuvu rezonansesšim oscilatoram to forma kļūst tuvu harmoniskai, un amplitūda noteiktā vērtību diapazonā, jo lielāka, jo lielāka ir pastāvīgas ārējās ietekmes apjoms.

Šādas sistēmas piemērs ir svārsta pulksteņa sprūdrata mehānisms, kura diagramma ir parādīta attēlā. 2. Uz sprūdrata riteņa ass A(kas šajā sistēmā pilda nelineāra kontroliera funkciju) pastāv nemainīgs spēka moments M pārraida caur zobratu no galvenās atsperes vai no svara. Kad ritenis griežas A tā zobi piešķir svārstam īslaicīgus spēka impulsus P(oscilators), pateicoties kuriem tā svārstības neizbalē. Mehānisma kinemātika spēlē atgriezeniskās saites lomu sistēmā, sinhronizējot riteņa griešanos ar svārsta svārstībām tā, ka visā svārstību periodā ritenis griežas leņķī, kas atbilst vienam zobam.

Tiek sauktas pašoscilējošas sistēmas, kas nesatur harmoniskos oscilatorus relaksācija. Svārstības tajās var ļoti atšķirties no harmoniskajām, un tām ir taisnstūra, trīsstūrveida vai trapecveida forma. Relaksācijas pašsvārstību amplitūdu un periodu nosaka pastāvīgās darbības lieluma un sistēmas inerces un izkliedes raksturlielumu attiecība.

Rīsi. 3 Elektriskais zvans

Vienkāršākais relaksācijas pašsvārstību piemērs ir elektriskā zvana darbība, kas parādīta attēlā. 3. Pastāvīgas (neperiodiskas) iedarbības avots šeit ir elektriskā akumulators U; nelineārā kontroliera lomu pilda smalcinātājs T, aizverot un atverot elektrisko ķēdi, kā rezultātā tajā rodas intermitējoša strāva; oscilējošie elementi ir magnētiskais lauks, kas periodiski inducēts elektromagnēta kodolā E, un enkurs A kas pārvietojas mainīga magnētiskā lauka ietekmē. Armatūras svārstības iedarbina smalcinātāju, kas veido atgriezenisko saiti.

Šīs sistēmas inerci nosaka divi dažādi fizikālie lielumi: armatūras inerces moments A un elektromagnēta tinuma induktivitāte E. Palielinot kādu no šiem parametriem, palielinās pašsvārstību periods.

Ja sistēmā ir vairāki elementi, kas svārstās neatkarīgi viens no otra un vienlaikus iedarbojas uz nelineāru kontrolieri vai kontrolieriem (kuru var būt arī vairāki), pašsvārstības var iegūt sarežģītāku raksturu, piemēram, periodiski, vai dinamisks haoss.

Dabā un tehnoloģijās

Pašsvārstības ir daudzu dabas parādību pamatā:

augu lapu svārstības vienmērīgas gaisa plūsmas ietekmē;

· nemierīgu plūsmu veidošanās upju straumēs un krācēs;

Parasto geizeru darbība utt.

Daudzu dažādu tehnisko ierīču un ierīču darbības princips ir balstīts uz pašsvārstībām, tostarp:

visu veidu pulksteņu, gan mehānisko, gan elektrisko;

· visu pūšamo un stīgu mūzikas instrumentu apskaņošana;

©2015-2019 vietne
Visas tiesības pieder to autoriem. Šī vietne nepretendē uz autorību, bet nodrošina bezmaksas izmantošanu.
Lapas izveides datums: 2017-04-04

Harmoniskās svārstības ir kāda lieluma periodiskas maiņas parādība, kurā atkarībai no argumenta ir sinusa vai kosinusa funkcijas raksturs. Piemēram, daudzums, kas laika gaitā mainās, harmoniski svārstās:

kur x ir mainīgā lieluma vērtība, t ir laiks, pārējie parametri ir nemainīgi: A ir svārstību amplitūda, ω ir svārstību cikliskā frekvence, ir svārstību pilnā fāze, ir sākuma fāze svārstības.

Ģeneralizētas harmoniskas svārstības diferenciālā formā

(Jebkurš šī diferenciālvienādojuma netriviāls risinājums ir harmoniskas svārstības ar ciklisku frekvenci)

Vibrāciju veidi

Brīvās svārstības tiek veiktas sistēmas iekšējo spēku iedarbībā pēc tam, kad sistēma ir izņemta no līdzsvara. Lai brīvās svārstības būtu harmoniskas, ir nepieciešams, lai svārstību sistēma būtu lineāra (ko apraksta lineāri kustības vienādojumi), un tajā nedrīkst būt enerģijas izkliedes (pēdējā izraisītu slāpēšanu).

Piespiedu svārstības tiek veiktas ārēja periodiska spēka ietekmē. Lai tie būtu harmoniski, pietiek ar to, ka svārstību sistēma ir lineāra (ko apraksta lineāri kustības vienādojumi), un pats ārējais spēks laika gaitā mainās kā harmoniskas svārstības (tas ir, ka šī spēka laika atkarība ir sinusoidāla) .

Harmonisko vibrāciju vienādojums

1. vienādojums

dod mainīgās vērtības S atkarību no laika t; šis ir brīvo harmonisko svārstību vienādojums izteiktā formā. Tomēr svārstību vienādojumu parasti saprot kā atšķirīgu šī vienādojuma ierakstu diferenciālā formā. Noteiktības labad mēs ņemam vienādojumu (1) formā

Divreiz nošķiriet to atkarībā no laika:

Var redzēt, ka pastāv šāda sakarība:

ko sauc par brīvo harmonisko svārstību vienādojumu (diferenciālā formā). (1) vienādojums ir diferenciālvienādojuma (2) risinājums. Tā kā (2) vienādojums ir otrās kārtas diferenciālvienādojums, ir nepieciešami divi sākuma nosacījumi, lai iegūtu pilnīgu risinājumu (tas ir, lai noteiktu (1) vienādojumā iekļautās konstantes A un  ; piemēram, svārstību sistēmas pozīcija un ātrums pie t = 0.

Matemātiskais svārsts ir oscilators, kas ir mehāniska sistēma, kas sastāv no materiāla punkta, kas atrodas uz bezsvara nestiepjama vītnes vai uz bezsvara stieņa vienmērīgā gravitācijas spēku laukā. Matemātiskā svārsta, kura garums ir l, mazo īpašoscilāciju periods, kas nekustīgi piekārts vienmērīgā gravitācijas laukā ar brīvā kritiena paātrinājumu g, ir vienāds ar

un nav atkarīgs no svārsta amplitūdas un masas.

Fizikālais svārsts ir oscilators, kas ir stingrs ķermenis, kas svārstās jebkuru spēku laukā ap punktu, kas nav šī ķermeņa masas centrs, vai fiksētu asi, kas ir perpendikulāra spēku virzienam un neiziet cauri šī ķermeņa masas centrs.

Svārstības, kas rodas ārēju, periodiski mainīgu spēku ietekmē (ar periodisku enerģijas padevi no ārpuses uz svārstību sistēmu)

Enerģijas transformācija

Pavasara svārsts

Cikliskā frekvence un svārstību periods ir attiecīgi:

Materiāls punkts, kas piestiprināts pie perfekti elastīgas atsperes

Ø atsperes svārsta potenciālās un kinētiskās enerģijas grafiks uz x-koordinātas.

Ø kinētiskās un potenciālās enerģijas laika atkarību kvalitatīvie grafiki.

Ø Piespiedu kārtā

Ø Piespiedu svārstību biežums ir vienāds ar ārējā spēka izmaiņu biežumu

Ø Ja Fbc mainās atbilstoši sinusa vai kosinusa likumam, tad piespiedu svārstības būs harmoniskas

Ø Ar pašsvārstībām ir nepieciešama periodiska enerģijas piegāde no paša avota svārstību sistēmā

Harmoniskās svārstības ir svārstības, kurās svārstību vērtība laika gaitā mainās saskaņā ar sinusa vai kosinusa likumu

harmonisko svārstību vienādojumiem (punktu kustības likumiem) ir forma

Harmoniskās vibrācijas sauc tādas svārstības, kurās svārstību vērtība mainās atkarībā no likumasinusa vaikosinuss .
Harmonisko vibrāciju vienādojums izskatās kā:

,
kur - svārstību amplitūda (sistēmas lielākās novirzes no līdzsvara stāvokļa vērtība); -apļveida (cikliskā) frekvence. Periodiski mainīgs kosinusa arguments - sauc svārstību fāze . Svārstību fāze nosaka svārstību lieluma nobīdi no līdzsvara stāvokļa noteiktā laikā t. Konstante φ ir fāzes vērtība brīdī t = 0 un tiek izsaukta svārstību sākuma fāze . Sākotnējās fāzes vērtību nosaka atskaites punkta izvēle. X vērtībai var būt vērtības no -A līdz +A.
Laika intervāls T, pēc kura atkārtojas noteikti svārstību sistēmas stāvokļi, sauc par svārstību periodu . Kosinuss ir periodiska funkcija ar periodu 2π, tāpēc laika periodā T, pēc kura svārstību fāze saņems pieaugumu, kas vienāds ar 2π, atkārtosies sistēmas stāvoklis, kas veic harmoniskās svārstības. Šo laika periodu T sauc par harmonisko svārstību periodu.
Harmonisko svārstību periods ir : T = 2π/.
Svārstību skaitu laika vienībā sauc svārstību frekvence ν.
Harmonisko vibrāciju frekvence ir vienāds ar: ν = 1/T. Frekvences mērvienība hercu(Hz) - viena svārstība sekundē.
Apļveida frekvence = 2π/T = 2πν parāda svārstību skaitu 2π sekundēs.

Ģeneralizētas harmoniskas svārstības diferenciālā formā

Grafiski harmoniskās svārstības var attēlot kā x atkarību no t (1.1.A att.), un rotācijas amplitūdas metode (vektordiagrammas metode)(1.1. B att.) .

Rotējošās amplitūdas metode ļauj vizualizēt visus harmonisko svārstību vienādojumā iekļautos parametrus. Patiešām, ja amplitūdas vektors A atrodas leņķī φ pret x asi (skat. 1.1. B attēlu), tad tā projekcija uz x asi būs vienāda ar: x = Acos(φ). Leņķis φ ir sākuma fāze. Ja vektors A ieliek rotācijā ar leņķisko ātrumu, kas vienāds ar svārstību apļveida frekvenci, tad vektora gala projekcija pārvietosies pa x asi un ņems vērtības no -A līdz +A un šīs projekcijas koordinātas. laika gaitā mainīsies saskaņā ar likumu:
.
Tādējādi vektora garums ir vienāds ar harmoniskās svārstības amplitūdu, vektora virziens sākotnējā brīdī veido leņķi ar x asi, kas vienāds ar svārstību sākuma fāzi φ, un virziena maiņa leņķis ar laiku ir vienāds ar harmonisko svārstību fāzi. Laiks, kurā amplitūdas vektors veic vienu pilnu apgriezienu, ir vienāds ar harmonisko svārstību periodu T. Vektora apgriezienu skaits sekundē ir vienāds ar svārstību frekvenci ν.

>> Harmoniskās vibrācijas

§ 22 HARMONISKĀS SĀRVĪBAS

Zinot, kā ir saistīts oscilējoša ķermeņa paātrinājums un koordinātas, uz matemātiskās analīzes pamata ir iespējams atrast koordinātas atkarību no laika.

Paātrinājums ir otrais koordinātas atvasinājums attiecībā pret laiku. Tūlītējs ātrums punkts, kā jūs zināt no matemātikas kursa, ir punkta koordinātas atvasinājums attiecībā pret laiku. Punkta paātrinājums ir tā ātruma atvasinājums attiecībā pret laiku vai koordinātas otrais atvasinājums attiecībā pret laiku. Tāpēc vienādojumu (3.4) var uzrakstīt šādi:

kur x " ir koordinātas otrais atvasinājums attiecībā pret laiku. Saskaņā ar (3.11) vienādojumu brīvo svārstību laikā x koordināte mainās ar laiku tā, ka koordinātas otrais atvasinājums attiecībā pret laiku ir tieši proporcionāls pašai koordinātei un ir tai pretēja zīmē.

No matemātikas kursa ir zināms, ka sinusa un kosinusa otrie atvasinājumi attiecībā uz to argumentu ir proporcionāli pašām funkcijām, kas ņemtas ar pretēju zīmi. IN matemātiskā analīze ir pierādīts, ka nevienai citai funkcijai nav šīs īpašības. Tas viss ļauj pamatoti apgalvot, ka ķermeņa, kas veic brīvas svārstības, koordinātas laika gaitā mainās saskaņā ar sinusa vai pasine likumu. 3.6. attēlā parādītas punkta koordinātas izmaiņas laika gaitā saskaņā ar kosinusa likumu.

Periodiskas izmaiņas fiziskais daudzums atkarībā no laika, kas notiek saskaņā ar sinusa vai kosinusa likumu, sauc par harmoniskām svārstībām.

Svārstību amplitūda. Harmonisko svārstību amplitūda ir ķermeņa lielākās nobīdes no līdzsvara stāvokļa modulis.

Amplitūda var būt dažādas nozīmes atkarībā no tā, cik ļoti mēs izspiežam ķermeni no līdzsvara stāvokļa sākotnējā laika momentā vai no tā, kāds ātrums tiek ziņots ķermenim. Amplitūdu nosaka sākotnējie apstākļi vai drīzāk ķermenim piešķirtā enerģija. Bet sinusa moduļa un kosinusa moduļa maksimālās vērtības ir vienādas ar vienu. Tāpēc (3.11) vienādojuma atrisinājumu nevar izteikt vienkārši ar sinusu vai kosinusu. Tam jābūt tāda veida kā svārstību amplitūdas x m reizinājums ar sinusu vai kosinusu.

Brīvās svārstības aprakstoša vienādojuma atrisinājums. Mēs rakstām vienādojuma (3.11) atrisinājumu šādā formā:

un otrais atvasinājums būs:

Esam ieguvuši vienādojumu (3.11). Tāpēc funkcija (3.12) ir sākotnējā vienādojuma (3.11) risinājums. Šī vienādojuma risinājums būs arī funkcija

Saskaņā ar (3.14.) ķermeņa koordinātas atkarības no laika grafiks ir kosinusa vilnis (sk. 3.6. att.).

Harmonisko svārstību periods un frekvence. Vibrāciju laikā ķermeņa kustības periodiski atkārtojas. Laika periodu T, kurā sistēma pabeidz vienu pilnu svārstību ciklu, sauc par svārstību periodu.

Zinot periodu, jūs varat noteikt svārstību biežumu, tas ir, svārstību skaitu laika vienībā, piemēram, sekundē. Ja laikā T notiek viena svārstība, tad svārstību skaits sekundē

Starptautiskajā vienību sistēmā (SI) svārstību biežums ir vienāds ar vienu, ja notiek viena svārstība sekundē. Frekvences mērvienību sauc par hercu (saīsināti: Hz) par godu vācu fiziķim G. Hercam.

Svārstību skaits 2 sekundēs ir:

Vērtība - cikliska vai cirkulāra svārstību frekvence. Ja vienādojumā (3.14) laiks t ir vienāds ar vienu periodu, tad T \u003d 2. Tādējādi, ja laikā t \u003d 0 x \u003d x m, tad laikā t \u003d T x \u003d x m, tas ir, caur laika periods, kas vienāds ar vienu periodu, svārstības atkārtojas.

Brīvo svārstību frekvenci nosaka pēc svārstību sistēmas 1. dabiskās frekvences.

Brīvo svārstību biežuma un perioda atkarība no sistēmas īpašībām. Atsperei piestiprināta ķermeņa vibrāciju dabiskā frekvence saskaņā ar (3.13) vienādojumu ir vienāda ar:

Tas ir lielāks, jo lielāks ir atsperes k stingums, un jo mazāks, jo lielāka ir ķermeņa masa m. To ir viegli saprast: stingra atspere dod ķermenim lielāku paātrinājumu, ātrāk maina ķermeņa ātrumu. Un jo masīvāks ir ķermenis, jo lēnāk tas spēka ietekmē maina ātrumu. Svārstību periods ir:

Ja ir dažādas stingrības atsperu kopa un dažādas masas korpusi, no pieredzes ir viegli pārliecināties, ka formulas (3.13) un (3.18) pareizi apraksta u T atkarības raksturu no k un m.

Zīmīgi, ka ķermeņa svārstību periods uz atsperes un svārsta svārstību periods pie maziem novirzes leņķiem nav atkarīgs no svārstību amplitūdas.

Proporcionalitātes koeficienta modulis starp paātrinājumu t un nobīdi x vienādojumā (3.10.), kas raksturo svārsta svārstības, tāpat kā (3.11.) vienādojumā ir cikliskās frekvences kvadrāts. Līdz ar to matemātiskā svārsta svārstību dabiskā frekvence pie maziem vītnes novirzes leņķiem no vertikāles ir atkarīga no svārsta garuma un brīvā kritiena paātrinājuma:

Šo formulu pirmais ieguva un pārbaudīja holandiešu zinātnieks G. Huigenss, I. Ņūtona laikabiedrs. Tas ir derīgs tikai maziem vītnes novirzes leņķiem.

1 Bieži vien turpmāk tekstā īsuma labad mēs ciklisko frekvenci dēvēsim vienkārši par frekvenci. Ciklisko frekvenci no parastās frekvences var atšķirt pēc apzīmējuma.

Svārstību periods palielinās līdz ar svārsta garumu. Tas nav atkarīgs no svārsta masas. To var viegli pārbaudīt, eksperimentējot ar dažādiem svārstiem. Var atrast arī svārstību perioda atkarību no brīvā kritiena paātrinājuma. Jo mazāks g, jo ilgāks ir svārsta svārstību periods un līdz ar to arī pulkstenis ar svārstu darbojas lēnāk. Tādējādi pulkstenis ar svārstu svara formā uz stieņa atpaliks dienā gandrīz par 3 s, ja tas tiks pacelts no pagraba uz Maskavas universitātes augšējo stāvu (augstums 200 m). Un tas ir saistīts tikai ar brīvā kritiena paātrinājuma samazināšanos ar augstumu.

Praksē tiek izmantota svārsta svārstību perioda atkarība no g vērtības. Izmērot svārstību periodu, g var noteikt ļoti precīzi. Paātrinājums gravitācijas dēļ mainās atkarībā no ģeogrāfiskā platuma. Bet pat noteiktā platuma grādos tas nav visur vienāds. Galu galā, blīvums zemes garoza nav visur vienādi. Vietās, kur sastopami blīvi ieži, paātrinājums g ir nedaudz lielāks. Tas tiek ņemts vērā, meklējot derīgos izrakteņus.

Tādējādi dzelzsrūdai ir palielināts blīvums salīdzinājumā ar parastajiem iežiem. Smaguma paātrinājuma mērījumi pie Kurskas, kas veikti akadēmiķa A. A. Mihailova vadībā, ļāva noskaidrot dzelzsrūdas atrašanās vietu. Tie vispirms tika atklāti, izmantojot magnētiskos mērījumus.

Mehānisko vibrāciju īpašības tiek izmantotas vairuma elektronisko svaru ierīcēs. Sveramo ķermeni novieto uz platformas, zem kuras ir uzstādīta stingra atspere. Tā rezultātā ir mehāniskās vibrācijas, kuras frekvenci mēra ar atbilstošo sensoru. Šim sensoram pievienotais mikroprocesors pārvērš svārstību frekvenci svērtā ķermeņa masā, jo šī frekvence ir atkarīga no masas.

Iegūtās formulas (3.18) un (3.20) svārstību periodam norāda, ka harmonisko svārstību periods ir atkarīgs no sistēmas parametriem (atsperes stingrības, vītnes garuma u.c.)

Myakishev G. Ya., fizika. 11. klase: mācību grāmata. vispārējai izglītībai institūcijas: pamata un profils. līmeņi / G. Ya. Myakishev, B. V. Bukhovtsev, V. M. Charugin; ed. V. I. Nikolajevs, N. A. Parfenteva. - 17. izdevums, pārskatīts. un papildu - M.: Izglītība, 2008. - 399 lpp.: ill.

Pilns tēmu saraksts pa klasēm, kalendāra plāns saskaņā ar skolas mācību programmu fizikā tiešsaistē, lejupielādējiet video materiālu fizikā 11. klasei

Nodarbības saturs nodarbības kopsavilkums atbalsta rāmis nodarbības prezentācijas akseleratīvas metodes interaktīvās tehnoloģijas Prakse uzdevumi un vingrinājumi pašpārbaudes darbnīcas, apmācības, gadījumi, uzdevumi mājasdarbi diskusijas jautājumi retoriski jautājumi no studentiem Ilustrācijas audio, video klipi un multivide fotogrāfijas, attēli, grafika, tabulas, shēmas, humors, anekdotes, joki, komiksi līdzības, teicieni, krustvārdu mīklas, citāti Papildinājumi tēzes raksti mikroshēmas zinātkāriem apkrāptu lapas mācību grāmatas pamata un papildu terminu glosārijs cits Mācību grāmatu un stundu pilnveidošanakļūdu labošana mācību grāmatā Inovācijas elementu fragmenta atjaunināšana mācību grāmatā mācību stundā novecojušo zināšanu aizstāšana ar jaunām Tikai skolotājiem ideālas nodarbības kalendārais plāns gadam vadlīnijas diskusiju programmas Integrētās nodarbības