Risinot dažāda veida problēmas, gan tīri matemātiskas, gan lietišķas (īpaši būvniecībā), bieži vien ir jānosaka noteiktas ģeometriskas figūras augstuma vērtība. Kā aprēķināt doto vērtību (augstumu) trijstūrī?

Ja mēs apvienosim 3 punktus pa pāriem, kas neatrodas uz vienas taisnas līnijas, tad iegūtais skaitlis būs trīsstūris. Augstums - līnijas daļa no jebkuras figūras virsotnes, kas, krustojot ar pretējā puse veido 90° leņķi.

Atrodiet augstumu skalēnas trīsstūrī

Noteiksim trijstūra augstuma vērtību gadījumā, ja figūrai ir patvaļīgi leņķi un malas.

Gārņa formula

h(a)=(2√(p(p-a)*(p-b)*(p-c)))/a, kur

p - puse no figūras perimetra, h(a) - segments uz malu a, kas novilkts taisnā leņķī pret to,

p=(a+b+c)/2 – pusperimetra aprēķins.

Ja ir figūras laukums, lai noteiktu tā augstumu, var izmantot attiecību h(a)=2S/a.

Trigonometriskās funkcijas

Lai noteiktu segmenta garumu, kas veido taisnu leņķi krustpunktā ar malu a, var izmantot šādas attiecības: ja ir zināma mala b un leņķis γ vai mala c un leņķis β, tad h(a)=b*sinγ vai h(a)=c *sinβ.
Kur:
γ ir leņķis starp malu b un a,
β ir leņķis starp malu c un a.

Saistība ar rādiusu

Ja sākotnējais trīsstūris ir ierakstīts aplī, varat izmantot šāda apļa rādiusu, lai noteiktu augstumu. Tās centrs atrodas vietā, kur krustojas visi 3 augstumi (no katras virsotnes) - ortocentrs, un attālums no tā līdz virsotnei (jebkurai) ir rādiuss.

Tad h(a)=bc/2R, kur:
b, c - 2 pārējās trīsstūra malas,
R ir apļa rādiuss, kas apraksta trīsstūri.

Atrodiet augstumu taisnleņķa trijstūrī

Šajā ģeometriskās figūras formā 2 malas krustojumā veido taisnu leņķi - 90 °. Tāpēc, ja tajā ir jānosaka augstuma vērtība, tad ir jāaprēķina vai nu vienas kājas izmērs, vai segmenta vērtība, kas veido 90 ° ar hipotenūzu. Nosakot:
a, b - kājas,
c ir hipotenūza,
h(c) ir perpendikuls hipotenūzai.
Ražot nepieciešamie aprēķini var izdarīt, izmantojot šādas attiecības:

• Pitagora teorēma:

a \u003d √ (c 2 -b 2),
b \u003d √ (c 2 -a 2),
h(c)=2S/c S=ab/2, tad h(c)=ab/c .

• Trigonometriskās funkcijas:

a=c*sinβ,
b=c* cosβ,
h(c)=ab/c=с* sinβ* cosβ.

Atrodiet augstumu vienādsānu trīsstūrī

Šī ģeometriskā figūra izceļas ar divu vienāda izmēra malu klātbūtni un trešo - pamatni. Lai noteiktu augstumu, kas novilkts uz trešo, atšķirīgo pusi, palīgā nāk Pitagora teorēma. Ar apzīmējumiem
a - puse,
c - bāze,
h(c) ir nogrieznis līdz c 90° leņķī, tad h(c)=1/2 √(4a 2 -c 2).

Trijstūra augstums ir perpendikuls, kas nomests no jebkuras trijstūra virsotnes uz pretējo malu vai tā pagarinājumu (malu, uz kuras perpendikuls krīt, šajā gadījumā sauc par trijstūra pamatni).

Strupā trijstūrī divi augstumi atrodas uz malu pagarinājuma un atrodas ārpus trijstūra. Trešais atrodas trīsstūra iekšpusē.

Akūtā trijstūrī visi trīs augstumi atrodas trijstūra iekšpusē.

Taisnstūrī kājas kalpo kā augstumi.

Kā atrast augstumu no bāzes un laukuma

Atgādiniet formulu trijstūra laukuma aprēķināšanai. Trijstūra laukumu aprēķina pēc formulas: A=1/2bh.

• A ir trīsstūra laukums
• b ir trijstūra mala, uz kuras augstums ir pazemināts.
• h ir trijstūra augstums

Apskatiet trīsstūri un padomājiet par to, kādus daudzumus jūs jau zināt. Ja jums ir piešķirts laukums, marķējiet to ar burtu "A" vai "S". Jums arī jānorāda sānu vērtība, apzīmējiet to ar burtu "b". Ja jums nav piešķirta zona un jums nav dota puse, izmantojiet citu metodi.

Ņemiet vērā, ka trijstūra pamatne var būt jebkura trijstūra mala, kurā tiek samazināts augstums (neatkarīgi no tā, kā trijstūris ir novietots). Lai to labāk saprastu, iedomājieties, ka varat pagriezt šo trīsstūri. Pagrieziet to tā, lai jums zināmā puse būtu vērsta uz leju.

Piemēram, trijstūra laukums ir 20 un viena no tā malām ir 4. Šajā gadījumā “A = 20″, “b = 4′”.

Aizstājiet vērtības, kas jums dotas laukuma aprēķināšanas formulā (A \u003d 1 / 2bh) un atrodiet augstumu. Vispirms reiziniet malu (b) ar 1/2 un pēc tam sadaliet laukumu (A) ar iegūto vērtību. Tādā veidā jūs atradīsiet trīsstūra augstumu.

Mūsu piemērā: 20 = 1/2(4)h

20 = 2h
10 = h

Atgādiniet vienādmalu trīsstūra īpašības. Vienādmalu trīsstūrī visas malas un visi leņķi ir vienādi (katrs leņķis ir 60˚). Ja jūs uzzīmējat augstumu šādā trīsstūrī, jūs iegūstat divus vienādus taisnstūrus.
Piemēram, apsveriet vienādmalu trīsstūri ar 8. malu.

Atcerieties Pitagora teorēmu. Pitagora teorēma nosaka, ka jebkurā taisnleņķa trijstūrī ar kājām "a" un "b" hipotenūza "c" ir: a2 + b2 \u003d c2. Ar šo teorēmu var atrast vienādmalu trijstūra augstumu!

Sadaliet vienādmalu trīsstūri divos taisnleņķa trīsstūros (lai to izdarītu, uzzīmējiet augstumu). Pēc tam atzīmējiet viena no taisnleņķa trīsstūriem malas. Vienādmalu trīsstūra sānu mala ir hipotenūza "c" taisnleņķa trīsstūris. Kāja "a" ir vienāda ar 1/2 no vienādmalu trijstūra malas, un kājiņa "b" ir nepieciešamais vienādmalu trijstūra augstums.

Tātad, mūsu piemērā ar vienādmalu trīsstūri ar zināma puse vienāds ar 8: c = 8 un a = 4.

Aizstājiet šīs vērtības ar Pitagora teorēmu un aprēķiniet b2. Pirmkārt, kvadrātā "c" un "a" (reiziniet katru vērtību ar sevi). Pēc tam no c2 atņemiet a2.

42 + b2 = 82
16 + b2 = 64
b2 = 48

Ekstrakts Kvadrātsakne no b2, lai atrastu trijstūra augstumu. Lai to izdarītu, izmantojiet kalkulatoru. Iegūtā vērtība būs jūsu vienādmalu trīsstūra augstums!

b = √48 = 6,93

Kā atrast augstumu, izmantojot leņķus un malas

Padomājiet par to, kādas vērtības jūs zināt. Jūs varat atrast trīsstūra augstumu, ja zināt malas un leņķus. Piemēram, ja ir zināms leņķis starp pamatni un sāniem. Vai arī, ja ir zināmas visu trīs pušu vērtības. Tātad, apzīmēsim trīsstūra malas: "a", "b", "c", trijstūra leņķus: "A", "B", "C", bet laukumu - burtu "S".

Ja jūs zināt visas trīs malas, jums būs nepieciešams trīsstūra laukums un Herona formula.

Ja zināt divas malas un leņķi starp tām, varat izmantot šādu formulu, lai atrastu laukumu: S=1/2ab(sinC).

Ja jums ir dotas visu trīs malu vērtības, izmantojiet Herona formulu. Šai formulai būs jāveic vairākas darbības. Vispirms jāatrod mainīgais "s" (ar šo burtu apzīmēsim pusi no trīsstūra perimetra). Lai to izdarītu, aizstājiet zināmās vērtības ar šo formulu: s = (a+b+c)/2.

Trijstūrim ar malām a = 4, b = 3, c = 5, s = (4+3+5)/2. Rezultāts ir: s=12/2, kur s=6.

Pēc tam ar otro darbību mēs atrodam apgabalu (Gērona formulas otrā daļa). Platība = √(s(s-a)(s-b)(s-c)). Vārda "apgabals" vietā ievietojiet līdzvērtīgu formulu apgabala atrašanai: 1/2bh (vai 1/2ah, vai 1/2ch).

Tagad atrodiet līdzvērtīgu augstuma (h) izteiksmi. Mūsu trīsstūrim būs derīgs šāds vienādojums: 1/2(3)h = (6(6-4)(6-3)(6-5)). Kur 3/2h=√(6(2(3(1))). Izrādās, ka 3/2h = √(36). Izmantojot kalkulatoru, aprēķiniet kvadrātsakni. Mūsu piemērā: 3/2h = 6. Izrādās, ka augstums (h) ir 4, puse b ir pamatne.

Ja pēc problēmas stāvokļa ir zināmas divas malas un leņķis, varat izmantot citu formulu. Aizstāt apgabalu formulā ar ekvivalentu izteiksmi: 1/2bh. Tādējādi jūs iegūsit šādu formulu: 1/2bh = 1/2ab(sinC). To var vienkāršot līdz šādai formai: h = a(sin C), lai noņemtu vienu nezināmu mainīgo.

Tagad atliek atrisināt iegūto vienādojumu. Piemēram, pieņemsim, ka "a" = 3, "C" = 40 grādi. Tad vienādojums izskatīsies šādi: "h" = 3 (sin 40). Izmantojot kalkulatoru un sinusa tabulu, aprēķiniet "h" vērtību. Mūsu piemērā h = 1,928.

Kā atrast trijstūra lielāko vai mazāko augstumu? Jo mazāks ir trijstūra augstums, jo lielāks ir tam pievilkts augstums. Tas ir, lielākais no trijstūra augstumiem ir tas, kas ir novilkts uz tā mazāko malu. - tā, kas novilkta uz lielāko no trijstūra malām.

Lai atrastu trijstūra maksimālo augstumu , jūs varat dalīt trīsstūra laukumu ar tās malas garumu, kurai šis augstums ir novilkts (tas ir, ar trijstūra mazākās malas garumu).

Attiecīgi d Lai atrastu trijstūra mazāko augstumu Sadaliet trīsstūra laukumu ar tā garākās malas garumu.

1. uzdevums.

Atrodiet mazāko augstumu trīsstūrim, kura malas ir 7 cm, 8 cm un 9 cm.

Ņemot vērā:

AC=7cm, AB=8cm, BC=9cm.

Atrodiet: trijstūra mazāko augstumu.

Risinājums:

Mazākais no trijstūra augstumiem ir tas, kas novilkts uz tā garāko malu. Tātad, jums jāatrod augstums AF, kas novilkts uz malu BC.

Apzīmējuma ērtībai mēs ieviešam apzīmējumu

BC=a, AC=b, AB=c, AF=ha.

Trijstūra augstums ir vienāds ar divkāršu trijstūra laukuma daļu, kas dalīta ar malu, kurai šis augstums ir novilkts. var atrast, izmantojot Herona formulu. Tāpēc

Mēs aprēķinām:

Atbilde:

2. uzdevums.

Atrodiet trijstūra garāko malu ar malām 1 cm, 25 cm un 30 cm.

Ņemot vērā:

AC=25 cm, AB=11 cm, BC=30 cm.

Atrast:

trijstūra ABC lielākais augstums.

Risinājums:

Trijstūra lielākais augstums ir novilkts uz tā mazāko malu.

Tātad, mums jāatrod augstuma CD, kas novilkts uz pusi AB.

Ērtības labad mēs apzīmējam

Lai atrisinātu daudzas ģeometriskas problēmas, jums jāatrod augstums dotais skaitlis. Šiem uzdevumiem ir praktiska nozīme. Veicot būvdarbus, augstuma noteikšana palīdz aprēķināt nepieciešamo materiālu daudzumu, kā arī noteikt, cik precīzi tiek veidotas nogāzes un atveres. Bieži vien, lai izveidotu modeļus, jums ir jābūt priekšstatam par īpašībām

Daudzi cilvēki, neskatoties uz labām atzīmēm skolā, veidojot parasto ģeometriskās formas rodas jautājums, kā atrast trijstūra vai paralelograma augstumu. Un tas ir visgrūtākais. Tas ir tāpēc, ka trīsstūris var būt akūts, strups, vienādsānu vai taisnstūris. Katram no tiem ir savi būvniecības un aprēķina noteikumi.

Kā grafiski atrast trijstūra augstumu, kurā visi leņķi ir asi

Ja visi trijstūra leņķi ir asi (katrs leņķis trijstūrī ir mazāks par 90 grādiem), tad, lai atrastu augstumu, rīkojieties šādi.

1. Pēc dotajiem parametriem konstruējam trīsstūri.
2. Ieviesīsim notāciju. A, B un C būs figūras virsotnes. Katrai virsotnei atbilstošie leņķi ir α, β, γ. Šiem stūriem pretējās malas ir a, b, c.
3. Augstums ir perpendikuls no leņķa virsotnes līdz trijstūra pretējai malai. Lai atrastu trijstūra augstumus, konstruējam perpendikulu: no leņķa α virsotnes uz malu a, no leņķa β virsotnes uz malu b utt.
4. Augstuma un malas a krustošanās punkts tiks apzīmēts ar H1, un pats augstums būs h1. Augstuma un malas b krustošanās punkts būs H2, augstums attiecīgi h2. C malai augstums būs h3 un krustošanās punkts H3.

Augstums trīsstūrī ar neasu leņķi

Tagad apsveriet, kā atrast trīsstūra augstumu, ja tāds ir (lielāks par 90 grādiem). Šajā gadījumā augstums, kas novilkts no strupa leņķa, būs trijstūra iekšpusē. Atlikušie divi augstumi būs ārpus trīsstūra.

Lai leņķi α un β mūsu trijstūrī ir asi, un leņķis γ ir neass. Tad, lai konstruētu augstumus, kas iznāk no leņķiem α un β, ir jāturpina tiem pretējās trijstūra malas, lai uzzīmētu perpendikulu.

Kā atrast vienādsānu trīsstūra augstumu

Šim skaitlim ir divi vienādas puses un pamatni, savukārt leņķi pie pamatnes arī ir vienādi viens ar otru. Šī malu un leņķu vienādība atvieglo augstumu konstruēšanu un to aprēķināšanu.

Vispirms uzzīmēsim pašu trīsstūri. Lai malas b un c, kā arī leņķi β, γ ir attiecīgi vienādi.

Tagad zīmēsim augstumu no leņķa α virsotnes, apzīmēsim to ar h1. Šim augstumam būs gan bisektrise, gan mediāna.

Pamatam var izgatavot tikai vienu konstrukciju. Piemēram, uzzīmējiet mediānu - segmentu, kas savieno vienādsānu trijstūra virsotni un pretējo malu, pamatni, lai atrastu augstumu un bisektrisi. Un, lai aprēķinātu augstuma garumu pārējām divām pusēm, varat izveidot tikai vienu augstumu. Tādējādi, lai grafiski noteiktu, kā aprēķināt vienādsānu trīsstūra augstumu, pietiek atrast divus augstumus no trim.

Kā atrast taisnleņķa trijstūra augstumu

Ir daudz vieglāk noteikt taisnleņķa trīsstūra augstumus nekā citiem. Tas ir tāpēc, ka pašas kājas veido taisnu leņķi, kas nozīmē, ka tās ir augstumā.

Lai izveidotu trešo augstumu, kā parasti, tiek novilkts perpendikuls, kas savieno virsotni pareizā leņķī un pretējā pusē. Rezultātā, lai šajā gadījumā izveidotu trīsstūri, ir nepieciešama tikai viena konstrukcija.