Divas taisnes l un m uz plaknes Dekarta koordinātu sistēmā ir dotas ar vispārīgajiem vienādojumiem: l: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, m: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

Normālu vektori uz šīm rindām: = (A 1 , B 1) - uz taisni l,

= (A 2 , B 2) līdz līnijai m.

Pieņemsim, ka j ir leņķis starp taisnēm l un m.

Tā kā leņķi ar savstarpēji perpendikulārām malām ir vienādi vai summējas līdz p, tad , t.i., cos j = .

Tātad, mēs esam pierādījuši šādu teorēmu.

Teorēma. Lai j ir leņķis starp divām taisnēm plaknē, un šīs taisnes ir norādītas Dekarta koordinātu sistēmā ar vispārīgajiem vienādojumiem A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 un A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Tad cos j = .

Vingrinājumi.

1) Izveidojiet formulu leņķa starp līnijām aprēķināšanai, ja:

(1) abas līnijas ir dotas parametriski; (2) abas līnijas ir dotas ar kanoniskiem vienādojumiem; (3) viena taisne norādīta parametriski, otra taisne – ar vispārīgo vienādojumu; (4) abas līnijas ir norādītas ar slīpuma vienādojumu.

2) Lai j ir leņķis starp divām taisnēm plaknē, un šīs taisnes tiek dotas Dekarta koordinātu sistēmai ar vienādojumiem y = k 1 x + b 1 un y =k 2 x + b 2 .

Tad iedegums j = .

3) Izpētiet divu līniju relatīvo pozīciju, kas noteikta ar vispārīgiem vienādojumiem Dekarta koordinātu sistēmā un aizpildiet tabulu:

Attālums no punkta līdz taisnei plaknē.

Ļaujiet taisnei l uz plaknes Dekarta koordinātu sistēmā dot vispārīgo vienādojumu Ax + By + C = 0. Atrodiet attālumu no punkta M(x 0 , y 0) līdz taisnei l.

Attālums no punkta M līdz taisnei l ir perpendikulāra HM garums (H н l, HM ^ l).

Vektors un normālais vektors taisnei l ir kolineāri, tā ka | | = | | | | un | | = .

Lai punkta H koordinātas ir (x,y).

Tā kā punkts H pieder taisnei l, tad Ax + By + C = 0 (*).

Vektoru koordinātas un: = (x 0 - x, y 0 - y), = (A, B).

| | = = =

(C = -Ax — pēc , skatiet (*))

Teorēma.Ļaujiet taisnei l Dekarta koordinātu sistēmā dot vispārīgo vienādojumu Ax + By + C = 0. Tad attālumu no punkta M(x 0 , y 0) līdz šai taisnei aprēķina pēc formulas: r (M; l) = .

Vingrinājumi.

1) Atvasināt formulu attāluma no punkta līdz taisnei aprēķināšanai, ja: (1) taisne ir dota parametriski; (2) līniju nosaka kanoniskie vienādojumi; (3) taisne tiek dota ar slīpuma vienādojumu.

2) Uzrakstiet vienādojumu riņķa līnijai pieskares līnijai 3x - y = 0, kuras centrs ir Q(-2,4).

3) Uzrakstiet vienādojumus taisnēm, kas sadala uz pusēm leņķus, ko veido taisnes 2x + y - 1 = 0 un x + y + 1 = 0.

§ 27. Plaknes analītiskā definīcija telpā

Definīcija. Plaknes normāls vektors mēs nosauksim nulles vektoru, kura jebkurš pārstāvis ir perpendikulārs dotajai plaknei.

komentēt. Ir skaidrs, ka, ja vismaz viens vektora pārstāvis ir perpendikulārs plaknei, tad visi pārējie vektora pārstāvji ir perpendikulāri šai plaknei.

Dota Dekarta koordinātu sistēma telpā.

Dota plakne a, = (A, B, C) – šīs plaknes normālvektors, punkts M (x 0 , y 0 , z 0) pieder plaknei a.

Jebkuram plaknes a punktam N(x, y, z) vektori un ir ortogonāli, tas ir, to skalārais reizinājums ir vienāds ar nulli: = 0. Uzrakstīsim pēdējo vienādību koordinātēs: A(x - x 0 ) + B(y - y 0) + C(z - z0) = 0.

Ļaujiet -Ax 0 - Ar 0 - Cz 0 = D, tad Ax + By + Cz + D = 0.

Paņemiet punktu K (x, y), lai Ax + By + Cz + D \u003d 0. Tā kā D \u003d -Ax 0 - Ar 0 - Cz 0, tad A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0. Tā kā virzītā segmenta koordinātas = (x - x 0, y - y 0, z - z 0), pēdējā vienādība nozīmē, ka ^ , un līdz ar to K н a.

Tātad, mēs esam pierādījuši šādu teorēmu:

Teorēma. Jebkuru plakni telpā Dekarta koordinātu sistēmā var definēt ar vienādojumu formā Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0), kur (A, B, C) ir šīs plaknes normālā vektora koordinātas.

Arī otrādi ir taisnība.

Teorēma. Jebkurš vienādojums formā Ax + By + Cz + D \u003d 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) Dekarta koordinātu sistēmā definē noteiktu plakni, savukārt (A, B, C) ir koordinātas. normāls vektors šai plaknei.

Pierādījums.

Paņemiet punktu M (x 0 , y 0 , z 0), lai Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0 un vektors = (A, B, C) (≠ q).

Plakne (un tikai viena) iet caur punktu M, kas ir perpendikulāra vektoram. Saskaņā ar iepriekšējo teorēmu šo plakni nosaka vienādojums Ax + By + Cz + D = 0.

Definīcija. Tiek saukts vienādojums ar formu Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0). plaknes vispārējais vienādojums.

Piemērs.

Uzrakstīsim vienādojumu plaknei, kas iet caur punktiem M (0,2,4), N (1,-1,0) un K (-1,0,5).

1. Atrodiet plaknes normālvektora koordinātas (MNK). Jo vektora produkts´ ir ortogonāls nekolineāriem vektoriem un , tad vektors ir kolineārs pret ´ .

= (1, -3, -4), = (-1, -2, 1);

´ = ,

´ = (-11, 3, -5).

Tātad, kā normālu vektoru, ņemiet vektoru = (-11, 3, -5).

2. Tagad izmantosim pirmās teorēmas rezultātus:

šīs plaknes vienādojums A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0, kur (A, B, C) ir normālā vektora koordinātas, (x 0) , y 0 , z 0) – plaknē esošā punkta (piemēram, punkta M) koordinātas.

11 (x - 0) + 3 (y - 2) - 5 (z - 4) = 0

11x + 3y - 5z + 14 = 0

Atbilde: -11x + 3y - 5z + 14 = 0.

Vingrinājumi.

1) Uzrakstiet plaknes vienādojumu, ja

(1) plakne iet caur punktu M (-2,3,0) paralēli plaknei 3x + y + z = 0;

(2) plakne satur (Ox) asi un ir perpendikulāra x + 2y – 5z + 7 = 0 plaknei.

2) Uzrakstiet vienādojumu plaknei, kas iet cauri trim dotiem punktiem.

28. §. Pustelpas* analītiskā specifikācija

komentēt*. Lai kādu plakni salabo. Zem pustelpa mēs sapratīsim punktu kopu, kas atrodas vienā pusē noteiktai plaknei, tas ir, divi punkti atrodas vienā pustelpā, ja tos savienojošais posms nešķērso doto plakni. Šo lidmašīnu sauc šīs pustelpas robeža. Tiks izsaukta dotās plaknes un pustelpas savienība slēgta pustelpa.

Lai telpā ir fiksēta Dekarta koordinātu sistēma.

Teorēma.Ļaujiet plakni a dot ar vispārīgo vienādojumu Ax + By + Cz + D = 0. Tad viena no divām pustelpām, kurās plakne a sadala telpu, ir norādīta ar nevienādību Ax + Ar + Cz + D > 0 , un otro pustelpu dod nevienādība Ax + By + Cz + D< 0.

Pierādījums.

Atzīmēsim normālvektoru = (A, B, С) uz plakni a no punkta M (x 0 , y 0 , z 0), kas atrodas uz šīs plaknes: = , M н a, MN ^ a. Plakne sadala telpu divās pustelpās: b 1 un b 2 . Ir skaidrs, ka punkts N pieder vienai no šīm pustelpām. Nezaudējot vispārīgumu, mēs pieņemam, ka N н b 1 .

Pierādīsim, ka pustelpa b 1 ir definēta ar nevienādību Ax + By + Cz + D > 0.

1) Ņem punktu K(x,y,z) pustelpā b 1 . Leņķis Ð NMK ir leņķis starp vektoriem un ir akūts, tāpēc šo vektoru skalārais reizinājums ir pozitīvs: > 0. Ierakstīsim šo nevienādību koordinātēs: A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0, t.i., Ax + By + Cy - Ax 0 - Ar 0 - C z 0 > 0.

Tā kā M н b 1, tad Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0, tātad -Ax 0 - By 0 - C z 0 = D. Tāpēc pēdējo nevienādību var uzrakstīt šādi: Ax + By + Cz + D > 0.

2) Ņemiet punktu L(x,y), lai Ax + By + Cz + D > 0.

Pārrakstīsim nevienādību, aizstājot D ar (-Ax 0 - By 0 - C z 0) (jo M н b 1, tad Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0): A(x - x 0) ) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0.

Vektors ar koordinātām (x - x 0 ,y - y 0, z - z 0) ir vektors , tāpēc izteiksme A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) var saprast kā vektoru skalāro reizinājumu un . Tā kā vektoru un skalārais reizinājums ir pozitīvs, leņķis starp tiem ir akūts un punktu L н b 1 .

Līdzīgi var pierādīt, ka pustelpa b 2 ir dota ar nevienādību Ax + By + Cz + D< 0.

Piezīmes.

1) Ir skaidrs, ka augstāk minētais pierādījums nav atkarīgs no punkta M izvēles plaknē a.

2) Ir skaidrs, ka vienu un to pašu pustelpu var definēt ar dažādām nevienādībām.

Arī otrādi ir taisnība.

Teorēma. Jebkura lineāra nevienādība formā Ax + By + Cz + D > 0 (vai Ax + By + Cz + D< 0) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) задает в пространстве в декартовой системе координат полупространство с границей Ax + By + Cz + D = 0.

Pierādījums.

Vienādojums Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) telpā definē kādu plakni a (sk. § ...). Kā tika pierādīts iepriekšējā teorēmā, viena no divām pustelpām, kurās plakne sadala telpu, ir dota ar nevienādību Ax Ax + By + Cz + D > 0.

Piezīmes.

1) Ir skaidrs, ka slēgtu pustelpu var definēt ar nestingru lineāru nevienādību, un jebkura nestingra lineāra nevienādība Dekarta koordinātu sistēmā definē slēgtu pustelpu.

2) Jebkuru izliektu daudzskaldni var definēt kā slēgtu pustelpu (kuru robežas ir plaknes, kas satur daudzskaldņa skaldnes) krustpunktu, tas ir, analītiski ar lineāru nevienādību sistēmu.

Vingrinājumi.

1) Pierādiet abas piedāvātās teorēmas par patvaļīgu afīna sistēma koordinātas.

2) Vai ir otrādi, ka jebkura sistēma, kas nav strikta lineārās nevienādības definē izliektu daudzstūri?

Vingrinājums.

1) Izpētiet divu plakņu relatīvo pozīciju, kas noteikta ar vispārīgiem vienādojumiem Dekarta koordinātu sistēmā un aizpildiet tabulu.

LEŅĶIS STARP PLAKNĒM

Apskatīsim divas plaknes α 1 un α 2, kas attiecīgi dotas vienādojumos:

Zem stūrī starp divām plaknēm mēs domājam vienu no divšķautņu leņķiem, ko veido šīs plaknes. Ir skaidrs, ka leņķis starp normālvektoriem un plaknēm α 1 un α 2 ir vienāds ar vienu no norādītajiem blakus esošajiem divskaldņu leņķiem vai . Tāpēc . Jo Un , Tas

.

Piemērs. Nosakiet leņķi starp plaknēm x+2y-3z+4=0 un 2 x+3y+z+8=0.

Divu plakņu paralēlisma nosacījums.

Divas plaknes α 1 un α 2 ir paralēlas tad un tikai tad, ja to normālie vektori un ir paralēli, un līdz ar to .

Tātad divas plaknes ir paralēlas viena otrai tad un tikai tad, ja koeficienti attiecīgajās koordinātēs ir proporcionāli:

vai

Plakņu perpendikulitātes nosacījums.

Ir skaidrs, ka divas plaknes ir perpendikulāras tad un tikai tad, ja to normālie vektori ir perpendikulāri, un tāpēc vai .

Tādējādi,.

Piemēri.

TIEŠI KOSMOSĀ.

VEKTORU VIENĀDOJUMS TIEŠAIS.

PARAMETRISKIE VIENĀDĀJUMI TIEŠI

Taisnes pozīciju telpā pilnībā nosaka, norādot jebkuru no tās fiksētajiem punktiem M 1 un šai taisnei paralēlu vektoru.

Tiek izsaukts vektors, kas ir paralēls taisnei vadotšīs līnijas vektors.

Tātad ļaujiet taisni l iet caur punktu M 1 (x 1 , y 1 , z 1) atrodas uz taisnas līnijas, kas ir paralēla vektoram .

Apsveriet patvaļīgu punktu M(x,y,z) uz taisnas līnijas. No attēla var redzēt, ka .

Vektori un ir kolineāri, tāpēc ir šāds skaitlis t, kas , kur ir reizinātājs t atkarībā no punkta atrašanās vietas var iegūt jebkuru skaitlisku vērtību M uz taisnas līnijas. Faktors t sauc par parametru. Apzīmē punktu rādiusa vektorus M 1 un M attiecīgi caur un , mēs iegūstam . Šo vienādojumu sauc vektors taisnās līnijas vienādojums. Tas parāda, ka katra parametra vērtība t atbilst kāda punkta rādiusa vektoram M guļ uz taisnas līnijas.

Mēs rakstām šo vienādojumu koordinātu formā. Ievērojiet, ka, un no šejienes

Iegūtos vienādojumus sauc parametrisks taisnu līniju vienādojumi.

Mainot parametru t mainās koordinātas x, y Un z un punkts M pārvietojas taisnā līnijā.

KANONISKIE VIENĀDĀJUMI TIEŠI

Ļaujiet M 1 (x 1 , y 1 , z 1) - punkts, kas atrodas uz taisnas līnijas l, Un ir tā virziena vektors. Atkal paņemiet patvaļīgu punktu uz taisnes M(x,y,z) un apsveriet vektoru .

Ir skaidrs, ka vektori un ir kolineāri, tāpēc to attiecīgajām koordinātām jābūt proporcionālām

– kanonisks taisnu līniju vienādojumi.

1. piezīme.Ņemiet vērā, ka līnijas kanoniskos vienādojumus var iegūt no parametru vienādojumiem, izslēdzot parametru t. Patiešām, no parametru vienādojumiem mēs iegūstam vai .

Piemērs. Uzrakstiet taisnas līnijas vienādojumu parametriskā veidā.

Apzīmē , tātad x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

2. piezīme. Lai līnija būtu perpendikulāra vienai no koordinātu asīm, piemēram, asij Vērsis. Tad taisnes virziena vektors ir perpendikulārs Vērsis, tātad, m=0. Līdz ar to taisnās līnijas parametriskie vienādojumi iegūst formu

Parametra izslēgšana no vienādojumiem t, iegūstam taisnās līnijas vienādojumus formā

Tomēr arī šajā gadījumā mēs piekrītam formāli rakstīt taisnās līnijas kanoniskos vienādojumus formā . Tādējādi, ja vienas daļas saucējs ir nulle, tas nozīmē, ka līnija ir perpendikulāra attiecīgajai koordinātu asij.

Līdzīgi arī kanoniskie vienādojumi atbilst taisnei, kas ir perpendikulāra asīm Vērsis Un Oy vai paralēlā ass Oz.

Piemēri.

VISPĀRĒJIE VIENĀDĀJUMI TIEŠA LĪNIJA KĀ DIVU PLAKMEŅU PĀRSTĒRŠANAS LĪNIJA

Caur katru taisnes līniju telpā iet bezgalīgs skaits plakņu. Jebkuri divi no tiem, kas krustojas, definē to telpā. Tāpēc jebkuru divu šādu plakņu vienādojumi, aplūkoti kopā, ir šīs līnijas vienādojumi.

Kopumā jebkuras divas neparalēlas plaknes, ko nosaka vispārīgie vienādojumi

noteikt to krustojuma līniju. Šos vienādojumus sauc vispārīgie vienādojumi taisni.

Piemēri.

Izveidojiet taisnu līniju, kas dota ar vienādojumiem

Lai izveidotu līniju, pietiek atrast jebkurus divus tās punktus. Vienkāršākais veids ir izvēlēties līnijas krustošanās punktus ar koordinātu plaknes. Piemēram, krustošanās punkts ar plakni xOy iegūstam no taisnes vienādojumiem, pieņemot z= 0:

Atrisinot šo sistēmu, mēs atrodam būtību M 1 (1;2;0).

Tāpat, pieņemot y= 0, iegūstam taisnes krustpunktu ar plakni xOz:

No taisnas līnijas vispārīgajiem vienādojumiem var pāriet uz tās kanoniskajiem vai parametriskajiem vienādojumiem. Lai to izdarītu, jums ir jāatrod kāds punkts M 1 uz līnijas un līnijas virziena vektors.

Punkta koordinātas M 1 mēs iegūstam no šīs vienādojumu sistēmas, piešķirot vienai no koordinātām patvaļīgu vērtību. Lai atrastu virziena vektoru, ņemiet vērā, ka šim vektoram jābūt perpendikulāram abiem normāliem vektoriem Un . Tāpēc taisnes virziena vektoram l jūs varat ņemt normālu vektoru krustojumu:

.

Piemērs. Norādiet taisnās līnijas vispārīgos vienādojumus uz kanonisko formu.

Atrodiet punktu uz taisnas līnijas. Lai to izdarītu, mēs patvaļīgi izvēlamies vienu no koordinātām, piemēram, y= 0 un atrisiniet vienādojumu sistēmu:

Taisni definējošo plakņu normāliem vektoriem ir koordinātas Tāpēc virziena vektors būs taisns

. Tāpēc l: .

LEŅĶIS STARP TIESĪBĀM

stūrī starp taisnēm telpā mēs sauksim jebkuru no blakus esošajiem leņķiem, ko veido divas taisnes, kas novilktas caur patvaļīgu punktu paralēli datiem.

Telpā tiks dotas divas taisnas līnijas:

Acīmredzot leņķi φ starp līnijām var uzskatīt par leņķi starp to virziena vektoriem un . Tā kā , Tad saskaņā ar formulu kosinusa leņķa starp vektoriem mēs iegūstam

Ikvienam skolēnam, kurš gatavojas eksāmenam matemātikā, noderēs atkārtot tēmu “Leņķa atrašana starp līnijām”. Kā liecina statistika, kārtojot atestācijas testu, uzdevumi šajā stereometrijas sadaļā sagādā grūtības lielai daļai skolēnu. Tajā pašā laikā uzdevumi, kuriem nepieciešams atrast leņķi starp taisnēm, ir atrodami USE gan pamata, gan profila līmenis. Tas nozīmē, ka ikvienam ir jāspēj tās atrisināt.

Pamata momenti

Ir 4 veidu līniju savstarpējais izvietojums telpā. Tie var sakrist, krustoties, būt paralēli vai krustoties. Leņķis starp tiem var būt akūts vai taisns.

Lai atrastu leņķi starp līnijām vienotajā valsts eksāmenā vai, piemēram, risinājumā, skolēni Maskavā un citās pilsētās var izmantot vairākas problēmas risināšanas metodes šajā stereometrijas sadaļā. Jūs varat izpildīt uzdevumu ar klasiskām konstrukcijām. Lai to izdarītu, ir vērts apgūt stereometrijas pamata aksiomas un teorēmas. Studentam jāprot loģiski veidot argumentāciju un izveidot rasējumus, lai uzdevumu novestu līdz planimetriskai problēmai.

Lietojot, varat izmantot arī vektora koordinātu metodi vienkāršas formulas, noteikumi un algoritmi. Galvenais šajā gadījumā ir pareizi veikt visus aprēķinus. Uzlabojiet savas problēmu risināšanas prasmes stereometrijā un citās tēmās skolas kurss tev palīdzēs izglītojošs projekts"Školkova".

Ļaujiet līnijas dot telpā l Un m. Caur kādu telpas punktu A mēs velkam taisnas līnijas l 1 || l Un m 1 || m(138. att.).

Ņemiet vērā, ka punktu A var izvēlēties patvaļīgi, jo īpaši tas var atrasties vienā no dotajām taisnēm. Ja taisni l Un m krustojas, tad A var uzskatīt par šo līniju krustpunktu ( l 1 = l Un m 1 = m).

Leņķis starp neparalēlām līnijām l Un m ir mazākā no blakus esošajiem leņķiem, ko veido krustojošās taisnes l 1 Un m 1 (l 1 || l, m 1 || m). Tiek pieņemts, ka leņķis starp paralēlām līnijām ir nulle.

Leņķis starp līnijām l Un m apzīmē ar \(\widehat((l;m)) \). No definīcijas izriet, ka, ja to mēra grādos, tad 0 ° < \(\widehat((l;m)) \) < 90°, un, ja radiānos, tad 0 < \(\widehat((l;m)) \) < π / 2 .

Uzdevums. Ir dots kubs ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (139. att.).

Atrodiet leņķi starp taisnēm AB un DC 1 .

Taisna AB un DC 1 krustojums. Tā kā taisne DC ir paralēla līnijai AB, leņķis starp līnijām AB un DC 1 saskaņā ar definīciju ir vienāds ar \(\widehat(C_(1)DC)\).

Tādējādi \(\widehat((AB;DC_1))\) = 45°.

Tieša l Un m sauca perpendikulāri, ja \(\widehat((l;m)) \) = π / 2. Piemēram, kubā

Leņķa aprēķins starp līnijām.

Leņķa aprēķināšanas problēma starp divām taisnām līnijām telpā tiek atrisināta tāpat kā plaknē. Ar φ apzīmē leņķi starp līnijām l 1 Un l 2 , un caur ψ - leņķis starp virziena vektoriem A Un b šīs taisnās līnijas.

Tad ja

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90° (206.6. att.), tad φ = 180° - ψ. Ir skaidrs, ka abos gadījumos vienādība cos φ = |cos ψ| ir patiesa. Saskaņā ar formulu (leņķa kosinuss starp nulles vektoriem a un b ir vienāds ar šo vektoru skalāro reizinājumu, kas dalīts ar to garumu reizinājumu)

$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$

tātad,

$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$

Ļaujiet līnijas dot ar to kanoniskajiem vienādojumiem

$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; Un \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$

Tad, izmantojot formulu, nosaka leņķi φ starp līnijām

$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$

Ja viena no līnijām (vai abām) ir dota ar nekanoniskiem vienādojumiem, tad, lai aprēķinātu leņķi, ir jāatrod šo līniju virziena vektoru koordinātas un pēc tam jāizmanto formula (1).

1. uzdevums. Aprēķiniet leņķi starp līnijām

$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;un\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$

Taisnu līniju virzienu vektoriem ir koordinātas:

a \u003d (-√2; √2; -2), b = (√3 ; √3 ; √6 ).

Pēc formulas (1) mēs atrodam

$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$

Tāpēc leņķis starp šīm līnijām ir 60°.

2. uzdevums. Aprēķiniet leņķi starp līnijām

$$ \begin(cases)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(cases) un \begin(cases)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\beigas(gadījumi) $$

Aiz virzošā vektora A pirmo taisni ņemam normālo vektoru vektorreizinājumu n 1 = (3; 0; -12) un n 2 = (1; 1; -3) plaknes, kas nosaka šo taisni. Ar formulu \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) mēs iegūstam

$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$

Līdzīgi mēs atrodam otrās taisnes virziena vektoru:

$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$

Bet formula (1) aprēķina vajadzīgā leņķa kosinusu:

$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2 ^2+4^2+4^2))=0 $$

Tāpēc leņķis starp šīm līnijām ir 90°.

3. uzdevums. Trīsstūrveida piramīdā MAVS malas MA, MB un MC ir savstarpēji perpendikulāras, (207. att.);

to garumi ir attiecīgi vienādi ar 4, 3, 6. Punkts D ir vidus [MA]. Atrodiet leņķi φ starp līnijām CA un DB.

Lai SA un DB ir taisnes SA un DB virziena vektori.

Par koordinātu sākumpunktu pieņemsim punktu M. Pēc uzdevuma nosacījuma mums ir A (4; 0; 0), B (0; 0; 3), C (0; 6; 0), D (2; 0; 0). Tāpēc \(\overrightarrow(CA)\) = (4; - 6;0), \(\overrightarrow(DB)\)= (-2; 0; 3). Mēs izmantojam formulu (1):

$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9 )) $$

Saskaņā ar kosinusu tabulu mēs atklājam, ka leņķis starp taisnēm CA un DB ir aptuveni 72 °.

Ar šī palīdzību tiešsaistes kalkulators atrodiet leņķi starp līnijām. Tiek sniegts detalizēts risinājums ar paskaidrojumiem. Lai aprēķinātu leņķi starp līnijām, iestatiet izmēru (2-ja taisne tiek aplūkota plaknē, 3- ja taisne tiek aplūkota telpā), ievadiet vienādojuma elementus šūnās un noklikšķiniet uz " Atrisināt" pogu. Skatīt teorētisko daļu zemāk.

×

Brīdinājums

Vai dzēst visas šūnas?

Aizvērt Notīrīt

Datu ievades instrukcija. Cipari tiek ievadīti kā veseli skaitļi (piemēri: 487, 5, -7623 utt.), decimālskaitļi (piemēram, 67., 102,54 utt.) vai daļskaitļi. Daļa jāievada formā a/b, kur a un b (b>0) ir veseli skaitļi vai decimālskaitļi. Piemēri 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 utt.

1. Leņķis starp plaknes līnijām

Līnijas ir dotas ar kanoniskajiem vienādojumiem

1.1. Leņķa noteikšana starp līnijām

Ļaujiet līnijām divdimensiju telpā L 1 un L

Tādējādi no formulas (1.4) var atrast leņķi starp līnijām L 1 un L 2. Kā redzams 1. attēlā, krustojošās līnijas veido blakus leņķus φ Un φ 1 . Ja atrastais leņķis ir lielāks par 90°, tad jūs varat atrast minimālo leņķi starp līnijām L 1 un L 2: φ 1 =180-φ .

No formulas (1.4) var secināt divu taisnu paralēlisma un perpendikulitātes nosacījumus.

Piemērs 1. Nosakiet leņķi starp līnijām

Vienkāršosim un atrisināsim:

1.2. Paralēlu līniju stāvoklis

Ļaujiet φ =0. Tad cosφ=1. Šajā gadījumā izteiksmei (1.4) būs šāda forma:

,

,

Piemērs 2. Nosakiet, vai taisnes ir paralēlas

Vienādība (1.9) ir izpildīta, līdz ar to taisnes (1.10) un (1.11) ir paralēlas.

Atbilde. Līnijas (1.10) un (1.11) ir paralēlas.

1.3. Līniju perpendikulitātes nosacījums

Ļaujiet φ =90°. Tad cosφ=0. Šajā gadījumā izteiksmei (1.4) būs šāda forma:

Piemērs 3. Nosakiet, vai līnijas ir perpendikulāras

Nosacījums (1.13) ir izpildīts, līdz ar to taisnes (1.14) un (1.15) ir perpendikulāras.

Atbilde. Līnijas (1.14) un (1.15) ir perpendikulāras.

Taisnās līnijas nosaka vispārīgie vienādojumi

1.4. Leņķa noteikšana starp līnijām

Ļaujiet divām rindām L 1 un L 2 ir doti ar vispārīgiem vienādojumiem

No divu vektoru skalārā reizinājuma definīcijas mēs iegūstam:

4. piemērs. Atrodiet leņķi starp līnijām

Vērtību aizstāšana A 1 , B 1 , A 2 , B 2 collas (1,23), mēs iegūstam:

Šis leņķis ir lielāks par 90°. Atrodiet minimālo leņķi starp līnijām. Lai to izdarītu, atņemiet šo leņķi no 180:

No otras puses, paralēlu līniju stāvoklis L 1 un L 2 ir ekvivalents kolineāro vektoru nosacījumam n 1 un n 2, un to var attēlot šādi:

Vienādība (1.24) ir izpildīta, līdz ar to taisnes (1.26) un (1.27) ir paralēlas.

Atbilde. Līnijas (1.26) un (1.27) ir paralēlas.

1.6. Līniju perpendikulitātes nosacījums

Līniju perpendikulitātes nosacījums L 1 un L 2 var iegūt no formulas (1.20), aizstājot cos(φ )=0. Tad skalārais reizinājums ( n 1 ,n 2)=0. Kur

Vienādība (1.28) ir izpildīta, līdz ar to taisnes (1.29) un (1.30) ir perpendikulāras.

Atbilde. Līnijas (1.29) un (1.30) ir perpendikulāras.

2. Leņķis starp līnijām telpā

2.1. Leņķa noteikšana starp līnijām

Ielaidiet līnijas telpā L 1 un L 2 ir doti ar kanoniskajiem vienādojumiem

kur | q 1 | un | q 2 | virziena vektoru moduļi q 1 un q 2 attiecīgi, φ -leņķis starp vektoriem q 1 un q 2 .

No izteiksmes (2.3) mēs iegūstam:

.

Vienkāršosim un atrisināsim:

.

Atradīsim stūri φ