Apgriezienu ķermeņa apjoms ap x asi ir parametrisks. Tādas figūras laukuma aprēķins, kuru ierobežo parametriski noteikta līkne. Tā ķermeņa tilpuma aprēķins, ko veido plakanas figūras rotācija ap asi

Sadaļas: Matemātika

Nodarbības veids: kombinēts.

Nodarbības mērķis: iemācīties aprēķināt apgriezienu ķermeņu tilpumus, izmantojot integrāļus.

Uzdevumi:

nostiprināt prasmi izvēlēties līknes trapeces no vairākām ģeometriskām formām un attīstīt prasmi aprēķināt līknes trapeces laukumus;
iepazīties ar trīsdimensiju figūras jēdzienu;
iemācīties aprēķināt apgriezienu ķermeņu tilpumus;
veicināt attīstību loģiskā domāšana, kompetenta matemātiskā runa, precizitāte rasējumu konstruēšanā;
audzināt interesi par mācību priekšmetu, operēt ar matemātiskiem jēdzieniem un tēliem, audzināt gribu, patstāvību, neatlaidību gala rezultāta sasniegšanā.

Nodarbību laikā

I. Organizatoriskais moments.

Grupas sveiciens. Paziņojums skolēniem par stundas mērķiem.

Atspulgs. Mierīga melodija.

Šodienas stundu es vēlētos sākt ar līdzību. “Bija kāds gudrs cilvēks, kurš visu zināja. Viens cilvēks gribēja pierādīt, ka gudrais nezina visu. Satvēris tauriņu rokās, viņš jautāja: "Saki man, gudrais, kurš tauriņš ir manās rokās: miris vai dzīvs?" Un viņš pats domā: "Ja dzīvais saka: es viņu nogalināšu, ja mirušais saka, es viņu izlaidīšu." Gudrais, domādams, atbildēja: "Viss jūsu rokās". (Prezentācija.Slidkalniņš)

– Tāpēc šodien strādāsim auglīgi, apgūsim jaunu zināšanu krātuvi, un iegūtās prasmes un iemaņas pielietosim turpmākajā dzīvē un praktiskajā darbībā. "Viss jūsu rokās".

II. Iepriekš apgūtā materiāla atkārtošana.

Apskatīsim iepriekš pētītā materiāla galvenos punktus. Lai to izdarītu, izpildīsim uzdevumu "Noņemiet lieko vārdu."(Slidkalniņš.)

(Skolēns dodas uz ID ar dzēšgumijas palīdzību noņem lieko vārdu.)

- Pa labi "Diferenciālis". Mēģiniet nosaukt atlikušos vārdus vienā parastajā vārdā. (Integrālais aprēķins.)

- Atcerēsimies galvenos posmus un jēdzienus, kas saistīti ar integrālrēķinu.

"Matemātikas ķekars".

Vingrinājums. Atjaunot caurlaides. (Skolēns iznāk un ar pildspalvu uzraksta vajadzīgos vārdus.)

- Vēlāk dzirdēsim ziņojumu par integrāļu pielietošanu.

Darbs piezīmju grāmatiņās.

– Ņūtona-Leibnica formulu izstrādāja angļu fiziķis Īzaks Ņūtons (1643–1727) un vācu filozofs Gotfrīds Leibnics (1646–1716). Un tas nav pārsteidzoši, jo matemātika ir valoda, kurā runā pati daba.

– Apsveriet, kā šī formula tiek izmantota praktisku uzdevumu risināšanā.

1. piemērs: Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas

Risinājums: turpināt koordinātu plakne funkciju grafiki . Atlasiet meklējamo figūras apgabalu.

III. Jauna materiāla apgūšana.

- Pievērsiet uzmanību ekrānam. Kas ir parādīts pirmajā attēlā? (Slidkalniņš) (Attēls parāda plakanu figūru.)

Kas ir redzams otrajā attēlā? Vai šī figūra ir plakana? (Slidkalniņš) (Attēls parāda trīsdimensiju figūru.)

kosmosā, uz zemes un iekšā Ikdiena mēs sastopamies ne tikai ar plakanām figūrām, bet arī ar trīsdimensiju figūrām, bet kā aprēķināt šādu ķermeņu tilpumu? Piemēram, planētas tilpums, komēta, meteorīts utt.

– Padomājiet par apjomu un māju celtniecību, kā arī ūdens liešanu no viena trauka otrā. Vajadzēja rasties noteikumiem un metodēm apjomu aprēķināšanai, cita lieta, cik tie bija precīzi un pamatoti.

Studentu ziņa. (Tyurina Vera.)

1612. gads bija ļoti auglīgs Austrijas pilsētas Lincas iedzīvotājiem, kur dzīvoja tolaik slavenais astronoms Johanness Keplers, īpaši vīnogām. Cilvēki gatavoja vīna mucas un gribēja uzzināt, kā praktiski noteikt to tilpumus. (2. slaids)

- Tādējādi Keplera aplūkotie darbi iezīmēja sākumu veselai pētījumu straumei, kuras kulminācija bija 17. gadsimta pēdējā ceturksnī. dizains I. Ņūtona un G.V. darbos. Leibnica diferenciāļa un integrāļa aprēķins. Kopš tā laika lieluma mainīgo matemātika ir ieņēmusi vadošo vietu matemātikas zināšanu sistēmā.

- Tātad šodien mēs nodarbosimies ar šādām praktiskām aktivitātēm, tāpēc

Mūsu nodarbības tēma: "Revolūcijas ķermeņu tilpumu aprēķināšana, izmantojot noteiktu integrāli." (Slidkalniņš)

- Jūs uzzināsit revolūcijas ķermeņa definīciju, izpildot šādu uzdevumu.

"Labirints".

Labirints (grieķu vārds) nozīmē pāreju uz cietumu. Labirints ir sarežģīts ceļu, eju, telpu tīkls, kas sazinās savā starpā.

Bet definīcija “avarēja”, bija mājieni bultu veidā.

Vingrinājums. Atrodiet izeju no mulsinošās situācijas un pierakstiet definīciju.

Slidkalniņš. “Instrukciju karte” Apjomu aprēķins.

Izmantojot noteiktu integrāli, jūs varat aprēķināt ķermeņa tilpumu, jo īpaši apgriezienu ķermeņa tilpumu.

Apgriezienu ķermenis ir ķermenis, kas iegūts, pagriežot ap tā pamatni izliektu trapecveida formu (1., 2. att.)

Apgriezienu ķermeņa tilpumu aprēķina pēc vienas no formulām:

1. ap x asi.

2. , ja līknes trapeces rotācija ap y asi.

Katrs skolēns saņem mācību karti. Skolotājs izceļ galvenos punktus.

Skolotājs uz tāfeles izskaidro piemēru risinājumu.

Apsveriet fragmentu no slavenās A. S. Puškina pasakas “Pasaka par caru Saltānu, viņa krāšņo un vareno dēlu princi Gvidonu Saltanoviču un skaisto princesi Lebedu” (4. slaids):

…..
Un atveda piedzērušos ziņnesi
Tajā pašā dienā pasūtījums ir:
“Cars pavēl saviem bojāriem,
Netērējot laiku,
Un karaliene un pēcnācēji
Slepus iemests ūdeņu bezdibenī.
Nav ko darīt: bojāri,
Sērojot par suverēnu
Un jaunā karaliene
Viņas guļamistabā ieradās pūlis.
Pasludināja karalisko testamentu -
Viņai un viņas dēlam ir ļauns liktenis,
Izlasiet dekrētu skaļi
Un karaliene tajā pašā laikā
Viņi mani ielika mucā ar manu dēlu,
Lūdzās, ripināja
Un viņi mani ielaida okianā -
Tā pavēlēja de cars Saltans.

Kādam jābūt mucas tilpumam, lai tajā ietilptu karaliene un viņas dēls?

– Apsveriet šādus uzdevumus

1. Atrodiet ķermeņa tilpumu, kas iegūts, pagriežot ap y asi līknes trapecveida formā, kuru ierobežo līnijas: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Atbilde: 1163 cm 3 .

Atrodiet ķermeņa tilpumu, kas iegūts, pagriežot parabolisko trapeci ap abscisu y = , x = 4, y = 0.

IV. Jauna materiāla nostiprināšana

Piemērs 2. Aprēķiniet ķermeņa tilpumu, ko veido ziedlapas rotācija ap x asi y \u003d x 2, y 2 \u003d x.

Uzzīmēsim funkcijas grafikus. y=x2, y2=x. Grafiks y 2 = x pārveidot formā y= .

Mums ir V \u003d V 1 - V 2 Aprēķināsim katras funkcijas apjomu

- Tagad paskatīsimies uz torni radiostacijai Maskavā uz Šabolovkas, kas celta pēc brīnišķīga krievu inženiera, goda akadēmiķa V. G. Šuhova projekta. Tas sastāv no daļām - revolūcijas hiperboloīdiem. Turklāt katrs no tiem ir izgatavots no taisnvirziena metāla stieņiem, kas savieno blakus esošos apļus (8., 9. att.).

- Apsveriet problēmu.

Atrodiet ķermeņa tilpumu, kas iegūts, pagriežot hiperbolas lokus ap savu iedomāto asi, kā parādīts attēlā. 8, kur

kubs vienības

Grupu uzdevumi. Skolēni izlozē ar uzdevumiem, tiek veidoti zīmējumi uz whatman papīra, darbu aizstāv viens no grupas pārstāvjiem.

1. grupa.

Sist! Sist! Kārtējais sitiens!
Vārtos ielido bumba - Bumba!
Un šī ir arbūzu bumba
Zaļa, apaļa, garšīga.
Izskaties labāk – kāda bumba!
To veido apļi.
Arbūzu sagriež aprindās
Un garšo tos.

Atrodiet ķermeņa tilpumu, kas iegūts, rotējot ap OX asi funkcijai, kuru ierobežo

Kļūda! Grāmatzīme nav definēta.

- Pastāsti man, lūdzu, kur mēs tiekamies ar šo figūru?

Māja. uzdevums 1. grupai. CILINDS (slidkalniņš) .

"Cilindrs - kas tas ir?" Es jautāju tētim.
Tēvs smējās: cilindrs ir cepure.
Piederēt attēlojums ir pareizs,
Cilindrs, teiksim, ir skārda kārba.
Tvaikoņa caurule ir cilindrs,
Arī caurule uz mūsu jumta,

Visas caurules ir līdzīgas cilindram.
Un es sniedzu šādu piemēru -
Mans mīļais kaleidoskops
Jūs nevarat atraut no viņa acis.
Tas arī izskatās pēc cilindra.

- Vingrojiet. Mājasdarbs uzzīmējiet funkciju un aprēķiniet tilpumu.

2. grupa. KONUSS (slidkalniņš).

Mamma teica: Un tagad
Par čiekuru būs mans stāsts.
Stargazer augstā vāciņā
Skaita zvaigznes visu gadu.
KONUSS - zvaigžņu vērotāja cepure.
Tāds viņš ir. Sapratu? Tieši tā.
Mamma bija pie galda
Viņa ielēja eļļu pudelēs.
- Kur ir piltuve? Piltuves nav.
Skaties. Nestāvi malā.
- Mammu, es nepārvietošos no vietas,
Pastāstiet man vairāk par konusu.
- Piltuve ir lejkannas konusa formā.
Nāc, atrodi mani ātri.
Es nevarēju atrast piltuvi
Bet mamma uztaisīja somu,
Aptiniet kartonu ap pirkstu
Un veikli piesprādzēts ar saspraudi.
Eļļa lej, mamma priecājas
Konuss iznāca tieši pareizi.

Vingrinājums. Aprēķiniet ķermeņa tilpumu, kas iegūts, griežot ap x asi

Māja. uzdevums 2. grupai. PIRAMĪDA(slidkalniņš).

es redzēju attēlu. Šajā attēlā
Smilšainajā tuksnesī ir PIRAMĪDA.
Piramīdā viss ir neparasts,
Tajā ir kāds noslēpums un noslēpums.
Spasskaya tornis Sarkanajā laukumā
Gan bērni, gan pieaugušie ir labi zināmi.
Paskaties uz torni - pēc izskata parasts,
Kas viņai ir virsū? Piramīda!

Vingrinājums. Mājasdarbā uzzīmējiet funkciju un aprēķiniet piramīdas tilpumu

- Mēs aprēķinājām dažādu ķermeņu tilpumus, pamatojoties uz ķermeņu tilpumu pamatformulu, izmantojot integrāli.

Tas ir vēl viens apstiprinājums tam, ka noteiktais integrālis ir zināms pamats matemātikas studijām.

"Tagad mazliet atpūtīsimies."

Atrodi pāri.

Skan matemātiskā domino melodija.

"Ceļš, kuru viņš pats meklēja, nekad netiks aizmirsts ..."

Pētnieciskais darbs. Integrāļa pielietojums ekonomikā un tehnoloģijā.

Pārbaudījumi spēcīgiem studentiem un matemātikas futbols.

Matemātikas simulators.

2. Tiek izsaukta dotās funkcijas visu antiatvasinājumu kopa

A) nenoteikts integrālis

B) funkcija,

B) diferenciācija.

7. Atrodiet ķermeņa tilpumu, kas iegūts, pagriežot ap līknes trapeces abscisu asi, kuru ierobežo līnijas:

D/Z. Aprēķināt apgriezienu ķermeņu tilpumus.

Atspulgs.

Pārdomu pieņemšana formā cinquain(piecas rindiņas).

1. rinda - tēmas nosaukums (viens lietvārds).

2. rindiņa - tēmas apraksts īsumā, divi īpašības vārdi.

3. rindiņa - darbības apraksts šīs tēmas ietvaros trīs vārdos.

4. rinda - četru vārdu frāze, parāda attieksmi pret tēmu (vesels teikums).

5. rinda ir sinonīms, kas atkārto tēmas būtību.

Apjoms.
Noteikta integrāla, integrējama funkcija.
Mēs būvējam, rotējam, aprēķinām.
Ķermenis, kas iegūts, pagriežot izliektu trapecveida formu (ap tā pamatni).
Revolūcijas ķermenis (3D ģeometriskais ķermenis).

Secinājums (slidkalniņš).

Noteikts integrālis ir sava veida pamats matemātikas studijām, kas sniedz neaizstājamu ieguldījumu praktiska satura problēmu risināšanā.
Tēma "Integrāls" uzskatāmi demonstrē matemātikas un fizikas, bioloģijas, ekonomikas un tehnoloģiju saistību.
Attīstība mūsdienu zinātne nav iedomājams bez integrāļa lietošanas. Šajā sakarā ir jāsāk to apgūt vidējās speciālās izglītības ietvaros!

Novērtēšana. (Ar komentāriem.)

Lielais Omars Khayyam ir matemātiķis, dzejnieks un filozofs. Viņš aicina būt sava likteņa saimniekiem. Klausieties fragmentu no viņa darba:

Jūs sakāt, ka šī dzīve ir tikai mirklis.
Novērtē to, smelies no tā iedvesmu.
Kā iztērēsi, tā arī pāries.
Neaizmirstiet: viņa ir jūsu radījums.

Ļaujiet mums atrast ķermeņa tilpumu, ko rada cikloīda arkas rotācija ap tā pamatni. Robervals to atrada, sadalot iegūto olveidīgo ķermeni (5.1. att.) bezgala plānās kārtās, ierakstot šajos slāņos cilindrus un saskaitot to tilpumus. Pierādījums ir garš, nogurdinošs un ne visai stingrs. Tāpēc, lai to aprēķinātu, mēs pievēršamies augstākajai matemātikai. Iestatīsim cikloīda vienādojumu parametriski.

Integrālajā aprēķinā, pētot apjomus, viņš izmanto šādu piezīmi:

Ja līkne, kas ierobežo līknes trapeci, ir dota ar parametriskiem vienādojumiem un funkcijas šajos vienādojumos apmierina teorēmas nosacījumus par mainīgā lieluma maiņu noteiktā integrālī, tad trapeces rotācijas ķermeņa tilpums ap Ox asi būs aprēķina pēc formulas:

Izmantosim šo formulu, lai atrastu vajadzīgo apjomu.

Tādā pašā veidā mēs aprēķinām šī ķermeņa virsmu.

L=((x,y): x=a(t — sin t), y=a(1 — izmaksas), 0 ? t ? 2р)

Integrālajā aprēķinos ir šāda formula, lai atrastu apgriezienu ķermeņa virsmas laukumu ap līknes x asi, kas norādīta segmentā parametriski (t 0 ?t ?t 1):

Piemērojot šo formulu mūsu cikloīda vienādojumam, mēs iegūstam:

Apsveriet arī citu virsmu, ko rada cikloīda loka rotācija. Lai to izdarītu, izveidosim cikloīda arkas spoguļatspīdumu attiecībā pret tās pamatni, un ap KT asi pagriezīsim cikloīda veidoto ovālo figūru un tā atspulgu (5.2. att.)

Vispirms atradīsim ķermeņa tilpumu, ko veido cikloīda arkas rotācija ap KT asi. Tās tilpums tiks aprēķināts pēc formulas (*):

Tādējādi mēs aprēķinājām šī rāceņa korpusa pusi tilpumu. Tad kopējais apjoms būs

Apsveriet iegūtās formulas pielietošanas piemērus, kas ļauj aprēķināt figūru laukumus, ko ierobežo parametriski noteiktās līnijas.

Piemērs.

Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnija, kuras parametru vienādojumi izskatās šādi.

Risinājums.

Mūsu piemērā parametriski definētā līnija ir elipse ar 2 un 3 vienību pusasīm. Uzbūvēsim to.

Atrodiet elipses ceturtdaļas laukumu, kas atrodas pirmajā kvadrantā. Šī zona atrodas intervālā . Mēs aprēķinām visas figūras laukumu, reizinot iegūto vērtību ar četriem.

Kas mums ir:

Priekš k = 0 iegūstam intervālu . Šajā intervālā funkcija monotoni samazinās (skat. sadaļu). Mēs izmantojam formulu, lai aprēķinātu laukumu un atrastu noteiktu integrāli, izmantojot Ņūtona-Leibnica formulu:

Tātad sākotnējās figūras laukums ir .

komentēt.

Rodas loģisks jautājums: kāpēc mēs paņēmām ceturtdaļu elipses, nevis pusi? Varēja ņemt vērā figūras augšējo (vai apakšējo) pusi. Viņa ir diapazonā . Šajā gadījumā mēs to darītu

Tas ir, ja k = 0, mēs iegūstam intervālu . Šajā intervālā funkcija monotoni samazinās.

Tad pusi elipses laukums tiek dots ar

Bet elipses labo vai kreiso pusi nevar ņemt.

Elipses parametriskajam attēlojumam, kura centrs ir sākuma punkts un pusass a un b, ir forma . Ja mēs rīkojamies tāpat kā parsētajā piemērā, mēs iegūstam formula elipses laukuma aprēķināšanai .

Aplis ar centru rādiusa R koordinātu sākumpunktā caur parametru t tiek dots ar vienādojumu sistēmu. Ja mēs izmantojam iegūto formulu elipses laukumam, mēs varam uzreiz rakstīt formula apļa laukuma atrašanai rādiuss R:.

Atrisināsim vēl vienu piemēru.

Piemērs.

Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo parametriski dota līkne.

Risinājums.

Paskatoties nedaudz uz priekšu, līkne ir "iegarena" astroīds. (Astroīdam ir šāds parametru attēlojums).

Sīkāk pakavēsimies pie figūru ierobežojošas līknes uzbūves. Mēs to veidosim punktu pa punktam. Parasti šāda konstrukcija ir pietiekama, lai atrisinātu lielāko daļu problēmu. Vairāk sarežģīti gadījumi, bez šaubām, detalizēts parametru pētījums dotā funkcija izmantojot diferenciālrēķinu.

Mūsu piemērā.

Šīs funkcijas ir definētas visām parametra t reālajām vērtībām, un no sinusa un kosinusa īpašībām mēs zinām, ka tās ir periodiskas ar divu pi periodu. Tādējādi, aprēķinot funkciju vērtības dažiem (Piemēram ), mēs iegūstam punktu kopu .

Ērtības labad tabulā ievadīsim vērtības:

Mēs atzīmējam punktus plaknē un SECĪGI savienojam tos ar līniju.

Aprēķināsim apgabala laukumu, kas atrodas pirmajā koordinātu ceturksnī. Šai zonai .

Plkst k=0 iegūstam intervālu , uz kura funkcija monotoni samazinās. Mēs izmantojam formulu, lai atrastu apgabalu:

Saņemts noteikti integrāļi mēs aprēķinām, izmantojot Ņūtona-Leibnica formulu, un atrodam Ņūtona-Leibnica formulas antiatvasinājumus, izmantojot formas rekursīvo formulu , Kur .

Tāpēc ceturtdaļas skaitļa laukums ir , tad visas figūras laukums ir vienāds ar .

Līdzīgi to var parādīt astroid apgabals atrodas kā , un figūras laukumu, ko ierobežo līnija, aprēķina pēc formulas .

Sveicināti, dārgie Argemonijas universitātes studenti!

Vēl nedaudz - un kurss tiks pabeigts, un tagad mēs to darīsim.

Džouli nedaudz pamāja ar roku – un gaisā parādījās figūra. Pareizāk sakot, tā bija taisnstūrveida trapece. Tas vienkārši karājās gaisā, ko radīja maģiskā enerģija, kas plūda gar tā sāniem, kā arī virpuļoja pašā trapecveida formā, kas lika tai mirdzēt un mirgot.
Tad skolotāja nedaudz pamanāmi veica apļveida kustību ar pirkstiem - un trapece sāka griezties ap neredzamu asi. Sākumā lēnām, tad arvien ātrāk un ātrāk - tā, ka gaisā sāka skaidri parādīties tilpuma figūra. Bija sajūta, ka caur viņu plūst maģiska enerģija.

Tad notika sekojošais: figūras un tās iekšpuses dzirkstošās kontūras sāka pildīties ar kādu vielu, mirdzums kļuva arvien mazāk pamanāms, bet pati figūra arvien vairāk izskatījās pēc kaut kā taustāma. Materiāla graudi bija vienmērīgi sadalīti pa figūru. Un tagad viss ir beidzies: gan rotācija, gan spīdums. Gaisā karājās priekšmets, kas atgādina piltuvi. Džouli maigi pārvietoja to uz galda.

Lūk. Kaut kas līdzīgs var materializēt daudzus objektus – pagriežot dažas plakanas figūras ap iedomātām līnijām. Protams, materializācijai ir nepieciešams noteikts daudzums vielas, kas ar maģiskās enerģijas palīdzību aizpildīs visu izveidoto un uz laiku noturēto tilpumu. Bet, lai precīzi aprēķinātu, cik daudz vielas ir nepieciešams, jums jāzina arī iegūtā ķermeņa tilpums. Pretējā gadījumā, ja viela ir maza, tā neaizpildīs visu tilpumu, un ķermenis var izrādīties trausls, ar trūkumiem. Un, lai materializētu un joprojām saglabātu lielu matērijas pārpalikumu, tas ir nevajadzīgs maģiskās enerģijas patēriņš.
Bet ko darīt, ja mums ir ierobežots vielas daudzums? Tad, zinot, kā aprēķināt ķermeņu tilpumus, mēs varam novērtēt, kāda izmēra ķermeni mēs varam izgatavot, netērējot daudz burvju enerģijas.
Runājot par piesaistītā materiāla pārpalikumu, ir cita doma. Kur paliek liekā viela? Vai tie drūp, kad netiek izmantoti? Vai tomēr pieķerties pie ķermeņa?
Vispār vēl ir par ko padomāt. Ja jums ir kādas domas, es labprāt tās uzklausītu. Tikmēr pāriesim pie šādā veidā iegūto ķermeņu tilpumu aprēķināšanas.
Šeit aplūkoti vairāki gadījumi.

1. gadījums

Apgabals, kuru mēs pagriezīsim, ir visklasiskākā līknes trapecveida forma.

Protams, mēs varam to pagriezt tikai ap OX asi. Ja šo trapecveida formu pabīda pa labi horizontāli, lai tā nešķērsotu OY asi, tad to var pagriezt ap šo asi. Burvju formulas abos gadījumos ir šādas:

Mēs ar jums jau esam diezgan labi apguvuši pamata maģiskos efektus uz funkcijām, tāpēc, manuprāt, jums nebūs grūti nepieciešamības gadījumā pārvietot figūru tā, lai tā būtu ērti darbam ar to. .

2. gadījums

Jūs varat pagriezt ne tikai klasisko izliekto trapecveida formu, bet arī šādu figūru:

Rotējot, mēs iegūstam sava veida gredzenu. Un, pārvietojot figūru uz pozitīvo apgabalu, mēs varam to arī pagriezt ap OY asi. Mēs arī saņemsim gredzenu vai ne. Tas viss ir atkarīgs no tā, kā figūra atradīsies: ja tā kreisā robeža iet tieši pa OY asi, tad gredzens nedarbosies. Šādu apgriezienu ķermeņu apjomus var aprēķināt, izmantojot šādas burvestības:

3. gadījums

Atgādiniet, ka mums ir brīnišķīgas līknes, taču tās nav iestatītas parastajā veidā, bet gan parametriskā formā. Šādas līknes bieži ir slēgtas. Parametrs t jāmaina tā, lai, šķērsojot to pa līkni (robežu), slēgtā figūra paliktu pa kreisi.

Tad, lai aprēķinātu rotācijas ķermeņu apjomus attiecībā pret OX vai OY asi, jāizmanto šādas burvestības:

Tās pašas formulas var izmantot arī nenoslēgtu līkņu gadījumā: kad abi gali atrodas uz OX ass vai uz OY ass. Figūra kaut kā izrādās aizvērta: galus aizver ass segments.

4. gadījums

Dažas no mūsu brīnišķīgajām līknēm ir norādītas ar polārām koordinātām (r=r(fi)). Un tad figūru var pagriezt ap polāro asi. Šajā gadījumā Dekarta koordinātu sistēma tiek apvienota ar polāro un tiek pieņemta
x=r(fi)*cos(fi)
y=r(fi)*sin(fi)
Tādējādi nonākam pie parametriskās līknes formas, kur parametram fi ir jāmainās tā, lai, šķērsojot līkni, laukums paliktu pa kreisi.
Un mēs izmantojam burvju formulas no 3. gadījuma.

Tomēr polāro koordinātu gadījumā ir arī pareizrakstības formula:

Protams, plaknes figūras var pagriezt arī ap jebkurām citām līnijām, ne tikai par OX un OY asīm, taču šīs manipulācijas jau ir sarežģītākas, tāpēc aprobežosimies ar gadījumiem, kas tika apskatīti lekcijā.

Un tagad mājasdarbs . Es jums nesniegšu konkrētus skaitļus. Mēs jau esam iemācījušies daudzas funkcijas, un es vēlētos, lai jūs pats uzbūvētu kaut ko, kas jums var būt nepieciešams maģiskajā praksē. Domāju, ka pietiks ar četriem piemēriem visiem lekcijā minētajiem gadījumiem.

Pirms pāriet pie apgriezienu virsmas laukuma formulām, mēs sniedzam īsu pašas apgriezienu virsmas formulējumu. Apgriezienu virsma vai, kas ir tas pats, apgriezienu ķermeņa virsma ir telpiska figūra, ko veido segmenta rotācija AB līkne ap asi Vērsis(attēls zemāk).

Iedomāsimies līknes trapecveida formu, ko no augšas ierobežo minētais līknes segments. Ķermenis, kas izveidots, griežot šo trapecveida formu ap vienu un to pašu asi Vērsis, un ir revolūcijas ķermenis. Un rotācijas virsmas laukums vai rotācijas ķermeņa virsma ir tā ārējais apvalks, neskaitot apļus, ko veido rotācija ap līniju asi x = a Un x = b .

Ņemiet vērā, ka apgriezienu korpusu un attiecīgi tā virsmu var veidot arī, pagriežot figūru nevis ap asi Vērsis, un ap asi Oy.

Apgriezienu virsmas laukuma aprēķināšana taisnstūra koordinātēs

Ielaist taisnstūra koordinātas plaknē pēc vienādojuma y = f(x) ir dota līkne, kuras griešanās ap koordinātu asi veido apgriezienu ķermeni.

Revolūcijas virsmas laukuma aprēķināšanas formula ir šāda:

(1).

1. piemērs Atrodiet paraboloīda virsmas laukumu, ko veido rotācija ap asi Vērsis izmaiņām atbilstošā parabolas loka x no x= 0 līdz x = a .

Risinājums. Mēs skaidri izsakām funkciju, kas nosaka parabolas loku:

Atradīsim šīs funkcijas atvasinājumu:

Pirms formulas izmantošanas apgriezienu virsmas laukuma atrašanai, uzrakstīsim tās integranda daļu, kas ir sakne, un aizstāsim tur tikko atrasto atvasinājumu:

Atbilde: Līknes loka garums ir

2. piemērs Atrodiet virsmas laukumu, ko veido rotācija ap asi Vērsis astroīdi.

Risinājums. Pietiek aprēķināt virsmas laukumu, kas rodas no viena astroīda atzara rotācijas, kas atrodas pirmajā ceturksnī, un reizināt to ar 2. No astroīda vienādojuma mēs skaidri izsakām funkciju, kas mums būs jāaizstāj formulā. lai atrastu rotācijas virsmas laukumu:

Veicam integrāciju no 0 līdz a:

Apgriezienu virsmas laukuma aprēķins parametriski

Aplūkosim gadījumu, kad līkne, kas veido apgriezienu virsmu, ir dota ar parametru vienādojumiem

Pēc tam apgriezienu virsmas laukumu aprēķina pēc formulas

(2).

3. piemērs Atrodiet apgriezienu virsmas laukumu, ko veido rotācija ap asi Oy figūra, ko ierobežo cikloīds un taisna līnija y = a. Cikloīdu nosaka parametru vienādojumi