Kad tiek uzlikta d'Alemberta zīme. Skaitļu rindas: definīcijas, īpašības, konverģences kritēriji, piemēri, risinājumi. Pamatdefinīcijas un jēdzieni

d'Alemberta konverģences kritērijs Košī radikālas konverģences kritērijs Košī integrālās konverģences kritērijs

Viena no izplatītākajām salīdzināšanas zīmēm, kas sastopama praktiskos piemēros, ir d'Alembert zīme. Košī pazīmes ir retāk sastopamas, bet arī ļoti populāras. Materiālu kā vienmēr centīšos pasniegt vienkārši, pieejamā un saprotamā veidā. Tēma nav visgrūtākā, un visi uzdevumi zināmā mērā ir stereotipi.

Žans Lerons d'Alemberts ir slavens 18. gadsimta franču matemātiķis. Kopumā d'Alemberts specializējās diferenciālvienādojumi un, pamatojoties uz saviem pētījumiem, viņš pētīja ballistiku, lai Viņa Majestātes lielgabala lodes lidotu labāk. Tajā pašā laikā es neaizmirsu par skaitlisko sēriju, ne velti Napoleona karaspēka rindas tik skaidri saplūda un atšķīrās.

Pirms pašas zīmes formulēšanas apsvērsim svarīgu jautājumu:
Kad būtu jāizmanto d'Alemberta konverģences kritērijs?

Vispirms sāksim ar atkārtošanu. Atgādiniet gadījumus, kad jums ir jāizmanto populārākais marginālais salīdzināšanas kritērijs. Ierobežojumu salīdzināšanas kritērijs tiek piemērots, ja sērijas kopīgajā sastāvā:
1) Saucējs satur polinomu.
2) Polinomi ir gan skaitītājā, gan saucējā.
3) Viens vai abi polinomi var atrasties zem saknes.

Galvenie priekšnoteikumi d'Alembert zīmes lietošanai ir šādi:

1) Kopējais sērijas loceklis (rindas “pildījums”) ietver kādu pakāpē skaitli, piemēram, , utt. Turklāt pilnīgi vienalga, kur šī lieta atrodas, skaitītājā vai saucējā - svarīgi, lai tā tur būtu.

2) Sērijas kopējais termins ietver faktoriālu. Ar faktoriāliem nodarbībā krustojām zobenus Skaitļu secība un tās ierobežojums. Taču nenāk par ļaunu atkal uzklāt pašmontējamo galdautu:

…

…

! Izmantojot d'Alemberta testu, mums vienkārši ir sīki jānokrāso faktoriāls. Tāpat kā iepriekšējā rindkopā, faktoriāls var atrasties frakcijas augšdaļā vai apakšā.

3) Ja sērijas kopējā terminā ir “faktoru ķēde”, piemēram, . Šis gadījums ir rets, bet! Pētot šādu sēriju, bieži tiek pieļauta kļūda - skatiet 6. piemēru.

Kopā ar pakāpēm un (un) faktoriāliem sērijas aizpildījumā bieži tiek atrasti polinomi, tas neko nemaina - jums ir jāizmanto d'Alembert tests.

Turklāt sērijas vispārīgajā termiņā gan grāds, gan faktoriāls var notikt vienlaikus; var būt divi faktoriāli, divi grādi, svarīgi, lai tādi būtu vismaz daži no apsvērti punkti - un tas ir tikai priekšnoteikums d'Alembert zīmes lietošanai.

d'Alemberta zīme: Apsveriet pozitīvu skaitļu sērijas. Ja pastāv nākamā un iepriekšējā termiņa attiecības ierobežojums: , tad:
a) Pēc kārtas saplūst. Jo īpaši sērijas saplūst .
b) pēc kārtas atšķiras. Jo īpaši sērija atšķiras pie .
c) Kad zīme nereaģē. Jums jāizmanto cita zīme. Visbiežāk vienība tiek iegūta, mēģinot piemērot d'Alemberta testu, kur nepieciešams izmantot robežu salīdzināšanas testu.

Ja jums joprojām ir problēmas ar ierobežojumiem vai pārpratums par ierobežojumiem, lūdzu, skatiet nodarbību Ierobežojumi. Risinājumu piemēri. Bez izpratnes par robežu un spējas atklāt nenoteiktību tālāk, diemžēl nevar virzīties uz priekšu.

Un tagad ilgi gaidītie piemēri.

1. piemērs

Mēs redzam, ka sērijas kopējā terminā mums ir , un tas ir pareizais priekšnoteikums, ka mums ir jāizmanto d'Alemberta tests. Pirmkārt, pilnīgs risinājums un dizaina paraugs, komentāri zemāk.

Mēs izmantojam d'Alembert testu:

saplūst.

(1) Sastādiet rindas nākamā dalībnieka attiecību pret iepriekšējo: . No nosacījuma mēs redzam, ka sērijas kopīgais termins . Lai iegūtu nākamo sērijas dalībnieku, tas ir nepieciešams tā vietā aizstājiet: .
(2) Atbrīvojieties no četrstāvu daļas. Ar zināmu pieredzi šīs darbības risināšanā varat to izlaist.
(3) Atveriet iekavas skaitītājā. Saucējā mēs izņemam četrus no pakāpes.
(4) Samazināt par . Mēs izņemam konstanti aiz robežas zīmes. Skaitītājā iekavās tiek norādīti līdzīgi termini.
(5) Nenoteiktība tiek novērsta standarta veidā - dalot skaitītāju un saucēju ar "en" līdz augstākajai pakāpei.
(6) Sadaliet skaitītājus ar saucējiem pēc vārda un norādiet vārdus, kuriem ir tendence uz nulli.
(7) Mēs vienkāršojam atbildi un atzīmējam, ka ar secinājumu, ka saskaņā ar d'Alemberta kritēriju pētāmās rindas saplūst.

Aplūkotajā piemērā sērijas vispārīgajā terminā mēs sastapāmies ar 2. pakāpes polinomu. Ko darīt, ja ir 3., 4. vai augstākas pakāpes polinoms? Fakts ir tāds, ka, ja tiek dots augstākas pakāpes polinoms, radīsies grūtības ar iekavas atvēršanu. Šajā gadījumā varat izmantot "turbo" risinājuma metodi.

2. piemērs

Paņemiet līdzīgu sēriju un pārbaudiet to konverģenci

Vispirms pilns risinājums, tad komentāri:

Mēs izmantojam d'Alembert testu:

Tādējādi pētāmā sērija saplūst.

(1) Sastādiet attiecību .
(2) Atbrīvojieties no četrstāvu daļas.
(3) Apsveriet izteiksmi skaitītājā un izteiksmi saucējā. Mēs redzam, ka skaitītājā jums ir jāatver iekavas un jāpalielina līdz ceturtajai pakāpei: , ko jūs nemaz nevēlaties darīt. Turklāt tiem, kas nav pazīstami ar Ņūtona binomiālu, dots uzdevums var nebūt iespējams. Analizēsim augstākās pakāpes: ja atveram iekavas augšpusē, mēs iegūstam augstāko pakāpi. Zemāk mums ir tāds pats vecākais grāds: . Pēc analoģijas ar iepriekšējo piemēru ir acīmredzams, ka, dalot skaitītāju un saucēju pa termiņam ar vienu, limitā iegūsim vienu. Vai, kā saka matemātiķi, polinomi un - viena izaugsmes kārtība. Tādējādi ir pilnīgi iespējams ar vienkāršu zīmuli apvilkt attiecību un nekavējoties norādīt, ka šī lieta tiecas uz vienotību. Līdzīgi mēs nodarbojamies ar otro polinomu pāri: un , viņi arī viena izaugsmes kārtība, un to attiecībai ir tendence uz vienotību.

Patiesībā šādu “uzlaušanu” varēja izdarīt piemērā Nr.1, bet 2.pakāpes polinomam šāds risinājums tomēr izskatās kaut kā necienīgs. Personīgi es daru tā: ja ir pirmās vai otrās pakāpes polinoms (vai polinomi), es izmantoju "garo" metodi 1. piemēra risināšanai. Ja parādās 3. vai vairāk polinoms. augstas pakāpes, es izmantoju "turbo" metodi, kas ir līdzīga 2. piemēram.

3. piemērs

Pārbaudiet sēriju konverģenci

Pilnīgs risinājums un dizaina paraugs skaitļu secību nodarbības beigās.
(4) Samaziniet visu, ko var samazināt.
(5) Pārvietojam konstanti aiz robežas zīmes. Skaitītājā atveriet iekavas.
(6) Nenoteiktība tiek novērsta standarta veidā - dalot skaitītāju un saucēju ar "en" līdz augstākajai pakāpei.

5. piemērs

Pārbaudiet sēriju konverģenci

Pilns risinājums un dizaina paraugs nodarbības beigās

6. piemērs

Pārbaudiet sēriju konverģenci

Dažreiz ir rindas, kuru aizpildījumā ir reizinātāju “ķēde”, mēs vēl neesam apsvēruši šāda veida rindu. Kā izpētīt sēriju ar faktoru "ķēdi"? Izmantojiet d'Alembert zīmi. Bet vispirms, lai saprastu, kas notiek, mēs detalizēti uzrakstīsim sēriju:

No dekompozīcijas redzam, ka katram nākamajam rindas loceklim saucējā tiek pievienots papildu faktors, tādēļ, ja sērijas kopīgais loceklis ir , tad nākamais sērijas loceklis:
. Šeit viņi bieži kļūdās automātiski, formāli pierakstot pēc algoritma, kas

Risinājuma piemērs varētu izskatīties šādi:

Mēs izmantojam d'Alembert testu:

Tādējādi pētāmā sērija saplūst.

Pirms darba uzsākšanas ar šo tēmu iesaku apskatīt sadaļu ar terminoloģiju skaitļu sērijām. Īpaši vērts pievērst uzmanību sērijas kopīga termina jēdzienam. Ja jums ir šaubas par pareizu konverģences zīmes izvēli, iesaku apskatīt tēmu "Ciparu rindu konverģences zīmes izvēle".

D'Alemberta tests (jeb d'Alembert tests) tiek izmantots, lai pētītu tādu rindu konverģenci, kuru kopējais termiņš ir stingri lielāks par nulli, t.i., $u_n > 0 $. Šādas rindas sauc par stingri pozitīvs. Standarta piemēros zīme D "Alembert tiek izmantota ierobežojošā formā.

D zīme "Alamber (ierobežojošā formā)

Ja sērija $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ ir stingri pozitīva un $$ \lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=L , $ $ pēc tam par $ L<1$ ряд сходится, а при $L>1$ (un $L=\infty$) sērijas atšķiras.

Formulējums ir diezgan vienkāršs, bet paliek atvērts Nākamais jautājums: kas notiek, ja $L=1$? D zīme "Alemberts nevar atbildēt uz šo jautājumu. Ja $ L \u003d 1 $, tad sērijas var gan saplūst, gan atšķirties.

Visbiežāk standarta piemēros tiek izmantota D zīme "Alemberts, ja sērijas kopējā vārda izteiksmē ir polinoms $n$ (polinoms var būt arī zem saknes) un formas $a pakāpe. ^n$ vai $n!$. Piemēram, $u_n= \frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$ (skatiet 1. piemēru) vai $u_n=\frac( \sqrt(4n+5))((3n-2)$ (см. пример №2). Вообще, для стандартного примера наличие $n!$ - это своеобразная "!} vizīt karte"D" Alambera zīme.

Ko apzīmē izteiciens “n!”? parādīt/slēpt

Ieraksts "n!" (lasīt "en faktoriāls") apzīmē visu produktu naturālie skaitļi no 1 līdz n, t.i.

$$ n!=1\cdot2\cdot 3\cdot \ldots\cdot n $$

Pēc definīcijas tiek pieņemts, ka $0!=1!=1$. Piemēram, atradīsim 5!:

5 $!=1\cpunkts 2\cpunkts 3\cpunkts 4\cpunkts 5=120. $$

Turklāt D "Alemberta testu bieži izmanto, lai noteiktu virknes konverģenci, kuru kopējais termins satur šādas struktūras reizinājumu: $u_n=\frac(3\cdot 5\cdot 7\cdot\ldots\cdot(2n) +1))(2\ cdot 5\cdot 8\cdot\ldots\cdot(3n-1))$.

1. piemērs

Pārbaudiet sēriju $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$, lai noteiktu konverģenci.

Tā kā apakšējā summēšanas robeža ir 1, sērijas kopējais termins tiek rakstīts zem summas zīmes: $u_n=\frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$. Tā kā par $n≥ 1$ mums ir $3n+7 > 0$, $5^n>0$ un $2n^3-1 > 0$, tad $u_n > 0$. Tāpēc mūsu sērija ir stingri pozitīva.

$5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac((3n+10)\left(2n^3-1\right))(\left(2(n+1)^3-1\right )(3n+7))=\left|\frac(\infty)(\infty)\right|= 5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\frac((3n+10)\left (2n^3-1\labais))(n^4))(\frac(\left(2(n+1)^3-1\right)(3n+7))(n^4))= 5 \cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(3n+10)(n)\cdot\frac(2n^3-1)(n^3))(\frac(\left(2() n+1)^3-1\labais))(n^3)\cdot\frac(3n+7)(n))=\\ =5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\ pa kreisi(\frac(3n)(n)+\frac(10)(n)\right)\cdot\left(\frac(2n^3)(n^3)-\frac(1)(n^3) \right))(\left(2\left(\frac(n)(n)+\frac(1)(n)\right)^3-\frac(1)(n^3)\right)\cdot \left(\frac(3n)(n)+\frac(7)(n)\right))=5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\left(3+\frac(10)) (n)\right)\cdot\left(2-\frac(1)(n^3)\right))(\left(2\left(1+\frac(1)(n)\right)^3 -\frac(1)(n^3)\right)\cdot\left(3+\frac(7)(n)\right))=5\cdot\frac(3\cdot 2)(2\cdot 3) )=5. $$

Tā kā $\lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=5>1$, tad atkarībā no dotās sērijas atšķiras.

Godīgi sakot, D zīme "Alemberts šajā situācijā nav vienīgā iespēja. Varat izmantot, piemēram, radikālo Košī zīmi. Taču, lai izmantotu radikālo Košī zīmi, būs nepieciešamas zināšanas (vai pierādījumi) papildu formulas. Tāpēc šajā situācijā ir ērtāk izmantot zīmi D "Alemberts.

Atbilde: sērija atšķiras.

2. piemērs

Izpētiet sēriju $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)$ на сходимость.!}

Tā kā apakšējā summēšanas robeža ir 1, sērijas kopējais termins tiek rakstīts zem summas zīmes: $u_n=\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)$. Заданный ряд является строго положительным, т.е. $u_n>0$.!}

Sērijas kopējais termins zem saknes satur polinomu, t.i. $\sqrt(4n+5)$ un faktoriāls $(3n-2)!$. Faktoriāla klātbūtne standarta piemērā ir gandrīz simtprocentīga garantija D "Alemberta zīmes lietošanai.

Lai lietotu šo līdzekli, mums jāatrod relācijas $\frac(u_(n+1))(u_n)$ ierobežojums. Lai rakstītu $u_(n+1)$, jāizmanto formula $u_n=\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)$ вместо $n$ подставить $n+1$:!}

$$ u_(n+1)=\frac(\sqrt(4(n+1)+5))((3(n+1)-2)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n+1)!}. $$ !}

Tā kā $(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$, $u_(n+1)$ formulu var uzrakstīt citādi :

$$ u_(n+1)=\frac(\sqrt(4n+9))((3n+1)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}. $$ !}

Šis ieraksts ir ērts turpmākam risinājumam, kad mums ir jāsamazina daļa zem limita. Ja vienlīdzība ar faktoriāliem prasa paskaidrojumus, lūdzu, paplašiniet piezīmi tālāk.

Kā mēs ieguvām $(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$? parādīt/slēpt

Apzīmējums $(3n+1)!$ nozīmē visu naturālo skaitļu reizinājumu no 1 līdz $3n+1$. Tie. šo izteiksmi var uzrakstīt šādi:

$$ (3n+1)!=1\cdot 2\cdot\ldots\cdot(3n+1). $$

Uzreiz pirms skaitļa $3n+1$ ir par vienu mazāks skaitlis, t.i. numurs $3n+1-1=3n$. Un tieši pirms skaitļa $3n$ ir skaitlis $3n-1$. Tieši pirms skaitļa $3n-1$ mums ir skaitlis $3n-1-1=3n-2$. Pārrakstīsim formulu $(3n+1)!$:

$$ (3n+1)!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot(3n-2)\cdot(3n-1)\cdot 3n\cdot (3n+1) $$

Kāds ir $1\cdot2\cdot\ldots\cdot(3n-2)$ reizinājums? Šis produkts ir vienāds ar $(3n-2)!$. Tāpēc izteiksmi $(3n+1)!$ var pārrakstīt šādā formā:

$$(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$$

Šis ieraksts ir ērts turpmākam risinājumam, kad mums ir jāsamazina daļa zem limita.

Aprēķiniet $\lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)$ vērtību:

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(\sqrt(4n+9))(( 3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)))(\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)}= \lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\frac{(3n-2)!}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}\right)=\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}= \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4+\frac{9}{n}}}{\sqrt{4+\frac{5}{n}}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}=1\cdot 0=0. $$ !}

Kopš $\lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=0<1$, то согласно

Pirms pašas zīmes formulēšanas apsvērsim svarīgu jautājumu:
Kad būtu jāizmanto d'Alemberta konverģences kritērijs?

Galvenie priekšnoteikumi d'Alemberta testa piemērošanai ir šādi:

1) Kopējais sērijas loceklis (rindas “pildījums”) ietver kādu pakāpē skaitli, piemēram, , utt. Turklāt nav svarīgi, kur šīs funkcijas atrodas, skaitītājā vai saucējā - ir svarīgi, lai tās tur būtu.

2) Sērijas kopējais termins ietver faktoriālu. Kas ir faktoriāls?

…

…

! Izmantojot d'Alemberta testu, mums vienkārši ir sīki jānokrāso faktoriāls. Tāpat kā iepriekšējā rindkopā, faktoriāls var atrasties frakcijas augšdaļā vai apakšā.

3) Ja sērijas kopējā terminā ir "faktoru ķēde", piemēram, . Šis gadījums ir rets.

Kopā ar pakāpēm un (un) faktoriāliem sērijas aizpildījumā bieži tiek atrasti polinomi, tas neko nemaina - jums ir jāizmanto d'Alembert tests.

Turklāt sērijas vispārīgajā termiņā gan grāds, gan faktoriāls var notikt vienlaikus; var būt divi faktoriāli, divi grādi, svarīgi, lai tādi būtu vismaz kaut ko no apskatītajiem punktiem - un tas ir tikai priekšnoteikums d'Alembert zīmes lietošanai.

d'Alemberta zīme: Apsveriet pozitīvu skaitļu sērijas. Ja pastāv nākamā un iepriekšējā termiņa attiecības ierobežojums: , tad:
a) Pēc kārtas saplūst
b) pēc kārtas atšķiras
c) Kad zīme nereaģē. Jums jāizmanto cita zīme. Visbiežāk vienība tiek iegūta, mēģinot piemērot d'Alemberta testu, kur nepieciešams izmantot robežu salīdzināšanas testu.

Bez izpratnes par robežu un spējas atklāt nenoteiktību tālāk, diemžēl nevar virzīties uz priekšu.

Piemērs:
Risinājums: Mēs redzam, ka sērijas kopējā terminā mums ir , un tas ir pareizais priekšnoteikums, ka mums ir jāizmanto d'Alemberta tests.

Mēs izmantojam d'Alembert testu:

saplūst.

Košī radikālā zīme.

Košī konverģences tests pozitīvām skaitliskām rindām ir nedaudz līdzīgs tikko aplūkotajam d'Alemberta testam.

! Interesanti atzīmēt, ka, ja Košī tests mums nesniedz atbildi uz jautājumu par rindu konverģenci, tad arī d'Alemberta tests mums nedos atbildi. Bet, ja d'Alemberta zīme nesniedz atbildi, tad Košī zīme var labi "darboties". Tas ir, Košī zīme šajā ziņā ir spēcīgāka zīme.

!!! Kad jums vajadzētu izmantot Cauchy radikāļu zīmi? Radikālo Košī testu parasti izmanto gadījumos, kad sērijas kopīgs termins PILNĪGI ir pakāpē atkarīgs no "en". Vai arī tad, kad no sērijas kopīgā dalībnieka tiek iegūta sakne "labs". Joprojām ir eksotiski gadījumi, bet ar tiem galvu nedursim.

Piemērs: Pārbaudiet sēriju konverģenci

Risinājums: Mēs redzam, ka sērijas kopējais termins ir pilnībā zem pakāpes atkarībā no , kas nozīmē, ka mums ir jāizmanto radikālais Košī kritērijs:

Tādējādi pētāmā sērija atšķiras.

Integrālais Košī tests.

Lai piemērotu integrāļa Košī kritēriju, vairāk vai mazāk pārliecinoši jāspēj atrast atvasinājumus, integrāļus, kā arī jāprot aprēķināt nepareizs integrālis pirmais veids.

Es formulēšu saviem vārdiem (lai būtu vieglāk saprast).

Integrālā Košī zīme: Apsveriet pozitīvu skaitļu sērijas. Šī sērija saplūst vai atšķiras kopā ar atbilstošo nepareizo integrāli.

! !! Galvenais priekšnoteikums integrētā Košī testa izmantošanai ir fakts, ka sērijas kopīgais loceklis satur kādu funkciju un tās atvasinājumu.

Piemērs: Pārbaudiet sēriju konverģenci

Risinājums: No tēmas Atvasinājums jūs droši vien atceraties visvienkāršāko tabulas lietu: , un mums ir tieši šāds kanonisks gadījums.

Kā lietot integrālo zīmi? Pirmkārt, mēs ņemam neatņemamo ikonu un pārrakstām augšējo un apakšējo robežu no rindas “skaitītāja”: . Pēc tam zem integrāļa mēs pārrakstām sērijas “pildījumu” ar burtu “x”:.

Tagad mums jāaprēķina nepareizais integrālis. Šajā gadījumā ir iespējami divi gadījumi:

1) Ja izrādīsies, ka integrālis saplūst, tad arī mūsu rindas saplūst.

2) Ja izrādīsies, ka integrālis atšķiras, tad arī mūsu sērijas atšķirsies.

Mēs izmantojam neatņemamu funkciju:

Integrand nepārtraukti ieslēgts

Tādējādi pētāmā sērija atšķiras kopā ar atbilstošo nepareizo integrāli.

Piemērs: Izpētiet virknes konverģenci

Risinājums: Pirmkārt, mēs pārbaudām nepieciešams kritērijs rindu konverģencei. Tā nav formalitāte, bet lieliska iespēja tikt galā ar "mazās asinsizliešanas" piemēru.

Ciparu secība augstāks augšanas kārtība nekā , tāpēc , tas ir, nepieciešamais konverģences kritērijs ir izpildīts, un rindas var gan konverģēt, gan atšķirties.

Tādējādi ir jāizmanto kāda zīme. Bet kas? Salīdzinājuma robežzīme nepārprotami neatbilst, jo logaritms ir ievietots sērijas kopējā terminā, d'Alemberta un Košī pazīmes arī nenoved pie rezultātiem. Ja būtu, tad vismaz būtu iespējams izgrozīties cauri neatņemama īpašība.

"Ainas apskate" liecina par atšķirīgu sēriju (vispārinātas harmonikas sērijas gadījums), bet atkal rodas jautājums, kā ņemt vērā logaritmu skaitītājā?

Paliek pati pirmā salīdzināšanas zīme, kuras pamatā ir nevienlīdzība, kas bieži vien netiek ņemta vērā un krāj putekļus tālākajā plauktā. Rakstīsim sēriju sīkāk:

Atgādinu, ka - neierobežota audzēšana skaitliskā secība:

Un, sākot no skaitļa, tiks izpildīta nevienlīdzība:

proti, seriāla dalībnieki būs pat vairāk attiecīgie locekļi atšķiras rinda .

Rezultātā seriālam nekas cits neatliek, kā arī atšķirties.

Skaitliskās rindas konverģence vai diverģence ir atkarīga no tās "bezgalīgās astes" (atlikuma). Mūsu gadījumā mēs varam ignorēt faktu, ka nevienlīdzība nav patiesa pirmajiem diviem skaitļiem - tas neietekmē secinājumu.

Piemēra tīrajam dizainam vajadzētu izskatīties apmēram šādi:

Salīdziniet šo sēriju ar atšķirīgo sēriju.
Visiem skaitļiem, sākot no , ir izpildīta nevienlīdzība, tāpēc, salīdzinot, pētāmā rinda atšķiras.

Mainīgas rindas. Leibnica zīme. Risinājumu piemēri.

Kas ir mainīga sērija? Tas ir skaidrs vai gandrīz skaidrs jau no paša nosaukuma. Tikai vienkāršākais piemērs.

Apsveriet sēriju un uzrakstiet to sīkāk:

Alternatīva nodrošina reizinātāju: ja pāra, tad būs plus zīme, ja nepāra, mīnus zīme

Praktiskajos piemēros sērijas dalībnieku maiņa var nodrošināt ne tikai faktoru , bet arī tā brāļus un māsas: , , , …. Piemēram:

Slazds ir "triki":, utt. ir šādi reizinātāji neparedzēt zīmes maiņu. Ir pilnīgi skaidrs, ka jebkurai dabiskai : , , .

Kā pārbaudīt mainīgu sēriju konverģencei? Izmantojiet Leibnica zīmi.

Leibnica zīme: Ja mainīgajā rindā ir izpildīti divi nosacījumi: 1) sērijas nosacījumi monotoni samazinās absolūtajā vērtībā. 2) kopējā termina robeža ir vienāda ar nulli absolūtā vērtībā, tad rinda saplūst, un šīs rindas summas modulis nepārsniedz pirmā vārda moduli.

Īsa informācija par moduli:

Ko nozīmē “modulo”? Modulis, kā atceramies no skolas laikiem, "noēd" mīnusa zīmi. Atgriezīsimies pie sērijas . Garīgi izdzēsiet visas zīmes ar dzēšgumiju un paskaties uz skaitļiem. To mēs redzēsim katru nākamo rindas biedrs mazāk nekā iepriekšējā.

Tagad nedaudz par vienmuļību.

Rindas dalībnieki stingri monotoni samazināt modulo, ja KATRS NĀKAMAIS sērijas dalībnieks modulo MAZĀK nekā iepriekš: . Par numuru tiek izpildīta stingra samazināšanās monotonitāte, to var detalizēti aprakstīt:

Un mēs varam teikt īsi: katrs nākamais sērijas dalībnieks modulo mazāk nekā iepriekšējā: .

Rindas dalībnieki nav stingri monotons moduļa samazināšanās, ja KATRS NĀKAMAIS sērijas modulo termins NAV LIELĀKS PAR iepriekšējo: . Apsveriet sēriju ar faktoriālu: Šeit notiek nestingra monotonitāte, jo pirmie divi sērijas vārdi ir identiski absolūtā vērtībā. Tas ir, katrs nākamais sērijas dalībnieks modulo ne vairāk kā iepriekšējā: .

Leibnica teorēmas apstākļos ir jāapmierina samazinājuma monotonitāte (nav svarīgi, vai tā ir stingra vai nestingra). Šajā gadījumā seriāla dalībnieki var kādu laiku pat palielināt modulo, bet sērijas "astei" obligāti jābūt monotoni samazinās.

Piemērs: Pārbaudiet sēriju konverģenci

Risinājums: Kopējais sērijas termins ietver koeficientu , kas nozīmē, ka jums ir jāizmanto Leibnica tests

1) Sērijas pārbaude monotoniskajam samazinājumam.

1<2<3<…, т.е. n+1>n pirmais nosacījums nav izpildīts

2) – nav izpildīts arī otrs nosacījums.

Secinājums: sērija atšķiras.

Definīcija: Ja rinda saplūst saskaņā ar Leibnica kritēriju un virkne, kas sastāv no moduļiem, arī saplūst, tad mēs sakām, ka rinda saplūst absolūti.

Ja rindas saplūst saskaņā ar Leibnica kritēriju un sērija, kas sastāv no moduļiem, atšķiras, tad tiek uzskatīts, ka sērija ir saplūst nosacīti.

Ja virkne, kas sastāv no moduļiem, saplūst, tad arī šī sērija saplūst.

Tāpēc ir jāpārbauda mainīga konverģenta rinda, lai noteiktu absolūtu vai nosacītu konverģenci.

Piemērs:

Risinājums: Mēs izmantojam Leibnica zīmi:

1) Katram nākamajam sērijas loceklim modulis ir mazāks nekā iepriekšējam: – ir izpildīts pirmais nosacījums.

2) – ir izpildīts arī otrs nosacījums.

Secinājums: sērijas saplūst.

Pārbaudiet nosacīto vai absolūto konverģenci.

Izveidosim virkni moduļu - atkal mēs vienkārši noņemam reizinātāju, kas nodrošina maiņu:
- novirzās (harmoniskās sērijas).

Tādējādi mūsu sērija nav absolūti konverģenta.
Pētījumu sērija saplūst nosacīti.

Piemērs: Pārbaudiet virkni, lai noteiktu nosacīto vai absolūto konverģenci

Risinājums: Mēs izmantojam Leibnica zīmi:
1) Mēģināsim pierakstīt dažus sērijas pirmos terminus:

…?!

Fakts ir tāds, ka šādu ierobežojumu atrisināšanai nav standarta ikdienas triku. Kur iet šī robeža? Uz nulli, līdz bezgalībai? Šeit ir svarīgi, lai KAS aug ātrāk bezgalībā- skaitītājs vai saucējs.

Ja skaitītājs pie aug ātrāk nekā faktoriāls, tad . Ja bezgalībā faktoriāls aug ātrāk nekā skaitītājs, tad, gluži pretēji, tas “novelk” robežu līdz nullei: . Vai varbūt šī robeža ir vienāda ar kādu skaitli, kas nav nulle? vai . Tā vietā jūs varat aizstāt kādu tūkstošdaļas polinomu, tas atkal nemainīs situāciju - agrāk vai vēlāk faktoriāls joprojām “apsteigs” tik briesmīgu polinomu. Faktoriāls augstāka augšanas kārtība.

– Faktoriāls aug ātrāk nekā jebkura daudzuma produkts eksponenciālās un jaudas secības(mūsu gadījums).

– Jebkurš eksponenciālā secība aug ātrāk nekā jebkura pakāpju secība, piemēram: , . eksponenciālā secība augstāka augšanas kārtība nekā jebkura jaudas secība. Līdzīgi faktoriālam, eksponenciālā secība "velk" jebkura skaita pakāpju secību vai polinomu reizinājumu: .

– Vai ir kaut kas “spēcīgāks” par faktoriālu? Ēd! Eksponenciālā secība ("en" pakāpē "en") aug ātrāk nekā faktoriāls. Praksē tas notiek reti, taču informācija nebūs lieka.

Palīdzības beigas

Tādējādi pētījuma otro punktu var uzrakstīt šādi:
2) , jo augstāka pieauguma secība nekā .
Sērijas nosacījumi samazinās modulo, sākot no kāda skaitļa, tajā pašā laikā katrs nākamais rindas loceklis absolūtajā vērtībā ir mazāks par iepriekšējo, līdz ar to samazinājums ir monotons.

Secinājums: sērija saplūst.

Šeit ir tikai dīvains gadījums, kad sērijas nosacījumi vispirms pieaug absolūtā vērtībā, tāpēc mums ir kļūdains sākotnējais viedoklis par limitu. Bet, sākot no kāda skaitļa "en", faktoriāls apsteidz skaitītāju, un sērijas "aste" kļūst monotoni dilstoša, kas ir būtiski svarīgi Leibnica teorēmas nosacījuma izpildei. Kas īsti ir šis "lv", ir diezgan grūti noskaidrot.

Mēs pārbaudām sēriju absolūtai vai nosacītai konverģencei:

Un šeit jau darbojas d'Alemberta zīme:

Mēs izmantojam d'Alembert testu:

Tādējādi sērijas saplūst.

Pētījumu sērija saplūst absolūti.

Analizēto piemēru var atrisināt citā veidā (mēs izmantojam pietiekamu kritēriju mainīgas rindas konverģencei).

Pietiekams kritērijs mainīgu rindu konverģencei ir: Ja rinda, kas sastāv no dotās rindas locekļu absolūtajām vērtībām, saplūst, tad arī dotā rinda saplūst.

Otrais veids:

Pārbaudiet virkni, lai noteiktu nosacīto vai absolūto konverģenci

Risinājums : Mēs pārbaudām absolūtās konverģences sērijas:

Mēs izmantojam d'Alembert testu:

Tādējādi sērijas saplūst.
Pamatojoties uz pietiekamu mainīgas rindas konverģences kritēriju, pati rinda saplūst.

Secinājums: Pētījumu sērija saplūst absolūti.

Lai aprēķinātu virknes summu ar noteiktu precizitāti mēs izmantosim šādu teorēmu:

Ļaujiet mainīgām sērijām atbilst Leibnica testa nosacījumiem un ļaujiet - tā n- daļēja summa. Tad rinda saplūst un kļūda tās summas aptuvenajā aprēķinā S absolūtā vērtībā nepārsniedz pirmā izmestā termina moduli:

funkcionālās rindas. Jaudas sērija.
Sērijas konverģences reģions.

Lai veiksmīgi apgūtu tēmu, jums ir labi jāpārzina parastās skaitliskās sērijas.

Šajā rakstā ir apkopota un strukturēta informācija, kas nepieciešama, lai atrisinātu gandrīz jebkuru piemēru par skaitļu sēriju tēmu, sākot no sērijas summas atrašanas līdz tās konverģences pārbaudei.

Raksta apskats.

Sāksim ar pozitīvās zīmes, mainīgo zīmju sērijas definīcijām un konverģences jēdzienu. Tālāk apsveriet standarta sērijas, piemēram, harmoniku virkni, vispārinātu harmoniku virkni, atcerieties formulu bezgalīgi dilstošās summas atrašanai. ģeometriskā progresija. Pēc tam pievēršamies konverģentu rindu īpašībām, pakavējoties pie rindu konverģencei nepieciešamā nosacījuma un izvirzām pietiekamus nosacījumus rindu konverģencei. Mēs atšķaidīsim teoriju, risinot tipiskus piemērus ar detalizētiem paskaidrojumiem.

Lapas navigācija.

Pamatdefinīcijas un jēdzieni.

Ļaujiet mums iegūt ciparu secību , kur .

Šeit ir skaitliskās secības piemērs: .

Skaitļu sērija ir formas skaitliskās secības locekļu summa .

Kā skaitļu sērijas piemēru varam dot bezgalīgi dilstošās ģeometriskās progresijas summu ar saucēju q = -0,5: .

tiek saukti kopīgs skaitļu sērijas dalībnieks vai sērijas k-tais dalībnieks.

Iepriekšējā piemērā skaitļu sērijas kopīgais termins ir .

Skaitļu sērijas daļēja summa ir formas summa, kur n ir kāds naturāls skaitlis. saukta arī par skaitļu sērijas n-to daļējo summu.

Piemēram, sērijas ceturtā daļējā summa Tur ir .

Daļējas summas veido skaitliskās sērijas daļēju summu bezgalīgu secību.

Mūsu sērijai n-tā daļējā summa tiek atrasta pēc formulas ģeometriskās progresijas pirmo n vārdu summai , tas ir, mums būs šāda daļēju summu secība: .

Tiek izsaukta skaitļu līnija saplūst, ja daļēju summu secībai ir ierobežots limits. Ja skaitliskās rindas daļējo summu secības robeža nepastāv vai ir bezgalīga, tad sēriju sauc atšķiras.

Konverģentas skaitļu rindas summa sauc par tā daļējo summu secības robežu, tas ir, .

Tāpēc mūsu piemērā sērija saplūst, un tā summa ir vienāda ar sešpadsmit trešdaļām: .

Atšķirīgas sērijas piemērs ir ģeometriskās progresijas summa, kuras saucējs ir lielāks par vienu: . N-to daļējo summu dod , un daļējo summu ierobežojums ir bezgalīgs: .

Vēl viens atšķirīgu skaitļu sērijas piemērs ir formas summa . Šajā gadījumā n-to daļējo summu var aprēķināt kā . Daļējo summu ierobežojums ir bezgalīgs .

Summa skats sauca harmonisko skaitļu sērijas.

Summa skats , kur s ir kāds reāls skaitlis, tiek izsaukts vispārinātas harmonisko skaitļu sērijas.

Iepriekš minētās definīcijas ir pietiekamas, lai pamatotu šādus ļoti bieži lietotus apgalvojumus, iesakām tos atcerēties.

SĒRIJA HARMONIC IR Divergent.

Pierādīsim harmoniku virknes diverģenci.

Pieņemsim, ka sērijas saplūst. Tad tā daļējām summām ir ierobežots ierobežojums. Šajā gadījumā mēs varam rakstīt un , kas mūs noved pie vienlīdzības .

Citā pusē,

Šādas nevienlīdzības nav apšaubāmas. Tādējādi,. Iegūtā nevienlīdzība mums norāda, ka vienlīdzība nevar sasniegt, kas ir pretrunā mūsu pieņēmumam par harmonisko virkņu konverģenci.

Secinājums: harmoniku sērija atšķiras.

TIPA ĢEOMETRISKĀS PROGRESIJAS SUMMAŠINĀJUMS AR SAŅĒTĀJU q IR KONVERĢENTA SKAITĻU SĒRIJA JA , UN ATŠĶIRĪGA SĒRIJA AT .

Pierādīsim to.

Mēs zinām, ka ģeometriskās progresijas pirmo n vārdu summa tiek atrasta pēc formulas .

Kad godīgi

kas norāda uz skaitlisko rindu konverģenci.

Ja q = 1, mums ir skaitļu sērija . Tās daļējās summas ir atrodamas kā , un daļējo summu robeža ir bezgalīga , kas šajā gadījumā norāda uz sērijas atšķirību.

Ja q \u003d -1, tad skaitļu sērijai būs forma . Daļējas summas iegūst nepāra n vērtību un pāra n vērtību. No tā var secināt, ka daļējo summu limits nepastāv un rindas atšķiras.

Kad godīgi

kas norāda uz skaitlisko rindu novirzi.

VISPĀRĪGĀS HARMONIKAS SĒRIJAS KONVERGĒ s > 1 UN DIVERS UZ .

Pierādījums.

Ja s = 1, mēs iegūstam harmoniku sēriju, un iepriekš mēs esam noteikuši tās novirzi.

Plkst s nevienlīdzība attiecas uz visiem dabiskajiem k . Harmonisko virkņu diverģences dēļ var apgalvot, ka tās daļējo summu secība ir neierobežota (jo nav galīgas robežas). Tad skaitlisko rindu daļējo summu secība ir vēl jo vairāk neierobežota (katrs šīs rindas loceklis ir lielāks par atbilstošo harmonikas rindas locekli), tāpēc vispārinātā harmoniku rinda atšķiras pie s.

Atliek pierādīt rindu konverģenci s > 1 .

Uzrakstīsim atšķirību:

Skaidrs, ka tad

Uzrakstīsim iegūto nevienādību n = 2, 4, 8, 16, …

Izmantojot šos rezultātus, ar sākotnējo skaitlisko sēriju var veikt šādas darbības:

Izteiksme ir ģeometriskās progresijas summa, kuras saucējs ir . Tā kā mēs apsveram gadījumu s > 1, tad . Tāpēc
. Tādējādi vispārināto harmoniku rindu daļējo summu secība pie s > 1 pieaug un vienlaikus no augšas robežojas ar vērtību , tāpēc tai ir robeža, kas norāda uz rindas konverģenci. Pierādījums ir pabeigts.

Tiek izsaukta skaitļu līnija zīme-pozitīvs ja visi tā nosacījumi ir pozitīvi, tas ir, .

Tiek izsaukta skaitļu līnija pārmaiņus ja tās blakus terminu zīmes ir atšķirīgas. Mainīgu skaitļu sēriju var uzrakstīt kā vai , Kur .

Tiek izsaukta skaitļu līnija pārmaiņus ja tajā ir bezgalīgs skaits gan pozitīvu, gan negatīvu vārdu.

Mainīga skaitļu sērija ir īpašs mainīgas sērijas gadījums.

ierindojas

ir attiecīgi zīmju pozitīvas, zīmju maiņas un zīmju maiņas.

Mainīgai rindai ir absolūtās un nosacītās konverģences jēdziens.

absolūti konverģents, ja tās locekļu absolūto vērtību virkne saplūst, tas ir, pozitīvās zīmes skaitliskā rinda saplūst.

Piemēram, skaitļu līnijas Un absolūti saplūst, jo sērijas saplūst , kas ir bezgalīgi dilstošās ģeometriskās progresijas summa.

Mainīgo sēriju sauc nosacīti konverģents ja sērijas atšķiras un sērijas saplūst.

Nosacīti konverģentas skaitļu sērijas piemērs ir rinda . Skaitļu sērija , kas sastāv no sākotnējās sērijas dalībnieku absolūtajām vērtībām, atšķiras, jo tā ir harmoniska. Tajā pašā laikā sākotnējā sērija ir konverģenta, ko viegli izveidot, izmantojot . Tādējādi ciparu zīmju-miņu sērija nosacīti konverģents.

Konverģentu skaitlisko rindu īpašības.

Piemērs.

Pierādiet skaitlisko rindu konverģenci.

Risinājums.

Rakstīsim sēriju citā formā . Skaitļu rindas saplūst, jo vispārinātā harmoniku rinda ir konverģenta, ja s > 1, un konverģences skaitļu rindas otrās īpašības dēļ konverģēs arī rindas ar skaitlisko koeficientu.

Piemērs.

Vai skaitļu rindas saplūst?

Risinājums.

Pārveidosim oriģinālo sēriju: . Tādējādi mēs esam ieguvuši divu skaitlisko rindu summu un , un katra no tām saplūst (skat. iepriekšējo piemēru). Tāpēc konverģentu skaitlisko rindu trešās īpašības dēļ arī sākotnējās rindas saplūst.

Piemērs.

Pierādiet skaitļu rindas konverģenci un aprēķiniet tā summu.

Risinājums.

Šo skaitļu sēriju var attēlot kā divu sēriju atšķirību:

Katra no šīm sērijām ir bezgalīgi dilstošās ģeometriskās progresijas summa, tāpēc tā ir konverģenta. Trešā konverģento rindu īpašība ļauj mums apgalvot, ka sākotnējās skaitliskās rindas konverģē. Aprēķināsim tā summu.

Sērijas pirmais loceklis ir viens, un atbilstošās ģeometriskās progresijas saucējs ir 0,5, tāpēc .

Sērijas pirmais loceklis ir 3, un atbilstošās bezgalīgi dilstošās ģeometriskās progresijas saucējs ir 1/3, tātad .

Izmantosim iegūtos rezultātus, lai atrastu sākotnējās skaitļu sērijas summu:

Nepieciešams nosacījums sērijas konverģencei.

Ja skaitļu rinda saplūst, tad tās k-tā vārda robeža ir vienāda ar nulli: .

Pētot jebkuru konverģences skaitlisku rindu, pirmkārt, ir jāpārbauda konverģences nepieciešamā nosacījuma izpilde. Šī nosacījuma neievērošana norāda uz skaitliskās rindas novirzi, tas ir, ja , tad sērija atšķiras.

No otras puses, jāsaprot, ka šis nosacījums nav pietiekams. Tas ir, vienādības izpilde neliecina par skaitlisko rindu konverģenci. Piemēram, harmoniskām sērijām ir izpildīts nepieciešamais konverģences nosacījums, un rinda atšķiras.

Piemērs.

Pārbaudiet skaitļu rindas, lai noteiktu konverģenci.

Risinājums.

Pārbaudīsim skaitlisko rindu konverģencei nepieciešamo nosacījumu:

Ierobežot n-tais skaitliskās rindas loceklis nav vienāds ar nulli, tāpēc rinda atšķiras.

Pietiekami nosacījumi pozitīvas zīmju rindas konverģencei.

Izmantojot pietiekami daudz līdzekļu, lai izpētītu skaitliskās rindas konverģences nolūkos, jums pastāvīgi jātiek galā ar , tāpēc grūtību gadījumā iesakām skatīt šo sadaļu.

Nepieciešams un pietiekams nosacījums pozitīvas zīmes skaitļu rindas konverģencei.

Zīmes pozitīvas skaitļu sērijas konverģencei ir nepieciešams un pietiekami, lai tā daļējo summu secība būtu ierobežota.

Sāksim ar sēriju salīdzināšanas funkcijām. To būtība ir salīdzināt pētītās skaitliskās rindas ar virknēm, kuru konverģence vai novirze ir zināma.

Pirmā, otrā un trešā salīdzināšanas zīme.

Pirmā rindu salīdzināšanas pazīme.

Ļaut un ir divas pozitīvas zīmes skaitliskās rindas, un nevienlīdzība attiecas uz visām k = 1, 2, 3, ... Tad rindas konverģence nozīmē konverģenci , un rindas novirze nozīmē diverģenci .

Pirmais salīdzināšanas kritērijs tiek izmantots ļoti bieži, un tas ir ļoti spēcīgs instruments skaitlisko rindu izpētei konverģences nolūkos. Galvenā problēma ir piemērotas sērijas izvēle salīdzināšanai. Salīdzināšanas rinda parasti (bet ne vienmēr) tiek izvēlēta tā, lai tās k-tā locekļa eksponents būtu vienāds ar pētāmās skaitļu sērijas k-tā dalībnieka skaitītāja un saucēja eksponentu starpību. Piemēram, pieņemsim , starpība starp skaitītāja un saucēja eksponentiem ir 2 - 3 = -1, tāpēc salīdzinājumam izvēlamies virkni ar k-to locekli, tas ir, harmoniku. Apskatīsim dažus piemērus.

Piemērs.

Iestatiet sērijas konverģenci vai novirzi.

Risinājums.

Tā kā rindas kopējā termiņa robeža ir vienāda ar nulli, tad ir izpildīts nepieciešamais rindas konverģences nosacījums.

Ir viegli redzēt, ka nevienlīdzība ir patiesa visiem dabiskajiem k . Mēs zinām, ka harmoniku sērijas atšķiras, tāpēc saskaņā ar pirmo salīdzināšanas zīmi arī sākotnējā virkne ir atšķirīga.

Piemērs.

Pārbaudiet skaitļu rindas, lai noteiktu konverģenci.

Risinājums.

Nepieciešams nosacījums skaitļu rindas konverģence ir apmierināta, jo . Ir skaidrs, ka nevienlīdzība jebkurai k dabiskajai vērtībai. Sērijas konverģē, jo vispārinātās harmoniku rindas saplūst, ja s > 1. Tādējādi sēriju salīdzināšanas pirmā zīme ļauj noteikt sākotnējo skaitlisko sēriju konverģenci.

Piemērs.

Nosakiet skaitļu rindas konverģenci vai diverģenci.

Risinājums.

, tāpēc skaitlisko rindu konverģencei nepieciešamais nosacījums ir izpildīts. Kuru rindu izvēlēties salīdzināšanai? Skaitliskā sērija piedāvā sevi, un, lai noteiktu s, mēs rūpīgi pārbaudām skaitlisko secību. Skaitliskās secības termini palielinās līdz bezgalībai. Tādējādi, sākot no kāda skaitļa N (proti, no N = 1619 ), šīs secības vārdi būs lielāki par 2 . Sākot no šī skaitļa N , ir spēkā nevienādība . Skaitļu rindas konverģē, pateicoties konverģento rindu pirmajai īpašībai, jo to iegūst no konverģentas rindas, atmetot pirmos N - 1 vārdus. Tādējādi saskaņā ar pirmo salīdzināšanas zīmi rinda ir konverģenta, un, pateicoties konverģentu skaitlisko rindu pirmajai īpašībai, rindas arī saplūst.

Otrā salīdzināšanas zīme.

Ļaut un būt zīmi pozitīvas skaitliskās rindas. Ja , tad rindas konverģence nozīmē konverģenci . Ja , tad skaitlisko sēriju novirze nozīmē novirzi no .

Sekas.

Ja un , tad vienas rindas konverģence nozīmē otras sērijas konverģenci, un novirze nozīmē diverģenci.

Mēs pārbaudām sēriju konverģenci, izmantojot otro salīdzināšanas kritēriju. Pieņemsim konverģentu sēriju kā sēriju. Atradīsim skaitliskās rindas k-to locekļu attiecības robežu:

Tādējādi saskaņā ar otro salīdzināšanas kritēriju skaitlisko rindu konverģence nozīmē sākotnējās rindas konverģenci.

Piemērs.

Izpētiet skaitļu rindas konverģenci.

Risinājums.

Pārbaudīsim nepieciešamo nosacījumu rindas konverģencei . Nosacījums ir izpildīts. Lai izmantotu otro salīdzinājuma zīmi, ņemsim harmoniku sēriju. Atradīsim k-to dalībnieku attiecības robežu:

Līdz ar to sākotnējās sērijas novirze izriet no harmoniku virknes diverģences saskaņā ar otro salīdzināšanas kritēriju.

Informācijai mēs piedāvājam trešo sēriju salīdzināšanas kritēriju.

Trešā salīdzināšanas zīme.

Ļaut un būt zīmi pozitīvas skaitliskās rindas. Ja nosacījums ir izpildīts no noteikta skaitļa N, tad rindas konverģence nozīmē konverģenci, un rindas novirze nozīmē diverģenci.

D'Alemberta zīme.

komentēt.

d'Alemberta zīme ir derīga, ja robeža ir bezgalīga, tas ir, ja , tad sērijas saplūst, ja , tad sērija atšķiras.

Ja , tad d'Alemberta tests nesniedz informāciju par rindas konverģenci vai diverģenci, un ir nepieciešami papildu pētījumi.

Piemērs.

Pārbaudiet konverģences skaitļu rindas, pamatojoties uz d'Alembertu.

Risinājums.

Pārbaudīsim skaitlisko rindu konverģencei nepieciešamā nosacījuma izpildi, robežu aprēķinām šādi:

Nosacījums ir izpildīts.

Izmantosim d'Alemberta zīmi:

Tādējādi sērijas saplūst.

Košī radikālā zīme.

Ļaut būt pozitīvas zīmes numuru sērijai. Ja , tad sērijas saplūst, ja , tad sērijas atšķiras.

komentēt.

Košī radikālais tests ir derīgs, ja robeža ir bezgalīga, tas ir, ja , tad sērijas saplūst, ja , tad sērija atšķiras.

Ja , tad Košī radikālais tests nesniedz informāciju par rindas konverģenci vai diverģenci un ir nepieciešami papildu pētījumi.

Parasti ir pietiekami viegli redzēt gadījumus, kad vislabāk ir izmantot radikālo Košī testu. Raksturīgs gadījums ir tad, kad skaitļu sērijas kopīgais termins ir eksponenciāli spēka izpausme. Apskatīsim dažus piemērus.

Piemērs.

Izpētiet pozitīvās zīmes skaitļu sēriju konverģences noteikšanai, izmantojot radikālo Košī testu.

Risinājums.

. Ar radikālo Košī testu mēs iegūstam .

Tāpēc sērijas saplūst.

Piemērs.

Vai skaitļu rindas saplūst? .

Risinājums.

Izmantosim radikālo Košī testu , tāpēc skaitļu rindas saplūst.

Integrālais Košī tests.

Ļaut būt pozitīvas zīmes numuru sērijai. Sastādīsim nepārtraukta argumenta y = f(x) funkciju, kas ir līdzīga funkcijai . Lai funkcija y = f(x) ir pozitīva, nepārtraukta un dilstoša uz intervāla , kur ). Tad konverģences gadījumā nepareizs integrālis konverģē pētītās skaitļu rindas. Ja nepareizais integrālis atšķiras, atšķiras arī sākotnējā sērija.

Pārbaudot funkcijas y = f(x) samazināšanos intervālā, sadaļā sniegtā teorija var būt noderīga.

Piemērs.

Pārbaudiet skaitļu rindas ar pozitīviem konverģences nosacījumiem.

Risinājums.

Nepieciešamais rindu konverģences nosacījums ir izpildīts, jo . Apskatīsim funkciju. Tas ir pozitīvs, nepārtraukts un ar intervālu samazinās. Šīs funkcijas nepārtrauktība un pozitivitāte nav apšaubāma, taču pakavēsimies pie samazinājuma nedaudz sīkāk. Atradīsim atvasinājumu:
. Tas ir negatīvs intervālā , tāpēc funkcija šajā intervālā samazinās.

Žans Lerons d'Alemberts ir slavens 18. gadsimta franču matemātiķis. Kopumā d'Alemberts specializējās diferenciālvienādojumos un, pamatojoties uz saviem pētījumiem, nodarbojās ar ballistiku, lai Viņa Majestātes lielgabala lodes lidotu labāk. Tajā pašā laikā es neaizmirsu par skaitlisko sēriju, ne velti Napoleona karaspēka rindas tik skaidri saplūda un atšķīrās.

Pirms pašas zīmes formulēšanas apsvērsim svarīgu jautājumu:
Kad būtu jāizmanto d'Alemberta konverģences kritērijs?

Galvenie priekšnoteikumi d'Alembert zīmes lietošanai ir šādi:

2) Sērijas kopējais termins ietver faktoriālu. Kas ir faktoriāls? Nekas sarežģīts, faktoriāls ir tikai salocīts produkta ieraksts:

…

…

! Izmantojot d'Alemberta testu, mums vienkārši ir sīki jānokrāso faktoriāls. Tāpat kā iepriekšējā rindkopā, faktoriāls var atrasties frakcijas augšdaļā vai apakšā.

3) Ja sērijas kopējā terminā ir “faktoru ķēde”, piemēram, . Šis gadījums ir rets, bet! Pētot šādu sēriju, bieži tiek pieļauta kļūda - skatiet 6. piemēru.

Kopā ar pakāpēm un (un) faktoriāliem sērijas aizpildījumā bieži tiek atrasti polinomi, tas neko nemaina - jums ir jāizmanto d'Alembert tests.

Tiem, kuriem joprojām ir problēmas ar ierobežojumiem vai pārpratumi par ierobežojumiem, lūdzu, skatiet tēmu Ierobežojumi. Risinājumu piemēri. Bez izpratnes par robežu un spējas atklāt nenoteiktību tālāk, diemžēl nevar virzīties uz priekšu. Un tagad ilgi gaidītie piemēri.

1. piemērs
Mēs redzam, ka sērijas kopējā terminā mums ir , un tas ir pareizais priekšnoteikums, ka mums ir jāizmanto d'Alemberta tests. Pirmkārt, pilnīgs risinājums un dizaina paraugs, komentāri zemāk.

Mēs izmantojam d'Alembert testu:

saplūst.

2. piemērs Paņemiet līdzīgu sēriju un pārbaudiet to konverģenci
Vispirms pilns risinājums, tad komentāri:

Mēs izmantojam d'Alembert testu:

Tādējādi pētāmā sērija saplūst.

(1) Sastādiet attiecību .
(2) Atbrīvojieties no četrstāvu daļas.
(3) Apsveriet izteiksmi skaitītājā un izteiksmi saucējā. Mēs redzam, ka skaitītājā jums ir jāatver iekavas un jāpalielina līdz ceturtajai pakāpei: , ko jūs nemaz nevēlaties darīt. Turklāt tiem, kas nav pazīstami ar Ņūtona binomiālu, šis uzdevums var nebūt izpildāms. Analizēsim augstākās pakāpes: ja atveram iekavas augšpusē, mēs iegūstam augstāko pakāpi. Zemāk mums ir tāds pats vecākais grāds: . Pēc analoģijas ar iepriekšējo piemēru ir acīmredzams, ka, dalot skaitītāju un saucēju pa termiņam ar vienu, limitā iegūsim vienu. Vai, kā saka matemātiķi, polinomi un - viena izaugsmes kārtība. Tādējādi ir pilnīgi iespējams ar vienkāršu zīmuli apvilkt attiecību un nekavējoties norādīt, ka šī lieta tiecas uz vienotību. Līdzīgi mēs nodarbojamies ar otro polinomu pāri: un , viņi arī viena izaugsmes kārtība, un to attiecībai ir tendence uz vienotību.

Patiesībā šādu “uzlaušanu” varēja izdarīt piemērā Nr.1, bet 2.pakāpes polinomam šāds risinājums tomēr izskatās kaut kā necienīgs. Personīgi es daru tā: ja ir pirmās vai otrās pakāpes polinoms (vai polinomi), es izmantoju "garo" 1. piemēra risināšanas metodi. Ja parādās 3. vai augstākas pakāpes polinoms, es izmantoju "turbo". " metode, kas ir līdzīga 2. piemēram.

3. piemērs .

Apsveriet tipiskus faktorus:

4. piemērs Pārbaudiet sēriju konverģenci

Kopējais sērijas termins ietver gan grādu, gan faktoriālu. Skaidrs kā dienas gaisma, ka šeit jāizmanto d'Alemberta zīme. Mēs izlemjam.

Tādējādi pētāmā sērija atšķiras.

(1) Sastādiet attiecību . Mēs atkārtojam vēlreiz. Pēc nosacījuma sērijas parastais termins: . Lai iegūtu nākamo sērijas dalībnieku, tā vietā jāaizstāj, Tādējādi: .
(2) Atbrīvojieties no četrstāvu daļas.
(3) Mēs nospiežam septiņus no pakāpes. Faktoriāli ir sīki aprakstīti. Kā to izdarīt - skatiet nodarbības sākumu.
(4) Samaziniet visu, ko var samazināt.
(5) Pārvietojam konstanti aiz robežas zīmes. Skaitītājā atveriet iekavas.
(6) Nenoteiktība tiek novērsta standarta veidā - dalot skaitītāju un saucēju ar "en" līdz augstākajai pakāpei.

5. piemērs Pārbaudīt sēriju konverģenci Pilns risinājums ir sniegts zemāk.

6. piemērs Pārbaudiet sēriju konverģenci

Risinājuma piemērs varētu izskatīties šādi: Izmantojot d'Alemberta testu:
Tādējādi pētāmā sērija saplūst.
RADIKĀLĀ KAŠIJA ZĪME

Augustin Louis Cauchy ir vēl slavenāks franču matemātiķis. Jebkurš tehniskās specialitātes students var jums pastāstīt Košī biogrāfiju. Skaistākajās krāsās. Nav nejaušība, ka šis uzvārds ir izgrebts Eifeļa torņa pirmajā stāvā.

Košī konverģences tests pozitīvām skaitliskām rindām ir nedaudz līdzīgs tikko aplūkotajam d'Alemberta testam.

Košī radikālā zīme: Apsveriet pozitīvu skaitļu sērijas. Ja ir ierobežojums: , tad:
a) Pēc kārtas saplūst. Jo īpaši sērijas saplūst .
b) pēc kārtas atšķiras. Jo īpaši sērija atšķiras pie .
c) Kad zīme nereaģē. Jums jāizmanto cita zīme. Interesanti atzīmēt, ka, ja Košī tests mums nesniedz atbildi uz jautājumu par rindu konverģenci, tad arī d'Alemberta tests mums nedos atbildi. Bet, ja d'Alemberta zīme nesniedz atbildi, tad Košī zīme var labi "darboties". Tas ir, Košī zīme šajā ziņā ir spēcīgāka zīme.

Kad jums vajadzētu izmantot Cauchy radikāļu zīmi? Radikālo Košī testu parasti izmanto gadījumos, kad sērijas kopīgs termins PILNĪGI ir pakāpē atkarīgs no "en". Vai arī tad, kad no sērijas kopīgā dalībnieka tiek iegūta sakne "labs". Joprojām ir eksotiski gadījumi, bet ar tiem galvu nedursim.

7. piemērs Pārbaudiet sēriju konverģenci

Mēs redzam, ka sērijas kopējais termins ir pilnībā zem pakāpes atkarībā no , kas nozīmē, ka mums ir jāizmanto radikālais Košī kritērijs:

Tādējādi pētāmā sērija atšķiras.

(1) Mēs izveidojam sērijas kopējo terminu zem saknes.
(2) Mēs pārrakstām to pašu, tikai bez saknes, izmantojot grādu īpašību.
(3) Eksponentā mēs dalām skaitītāju ar saucēja vārdu ar vārdu, norādot, ka
(4) Rezultātā mums ir nenoteiktība . Šeit jūs varētu iet garu ceļu: kubs, kubs, pēc tam daliet skaitītāju un saucēju ar "en" augstākajā pakāpē. Bet šajā gadījumā ir efektīvāks risinājums: jūs varat sadalīt skaitītāju un saucēju pa vienam tieši zem pakāpes konstantes. Lai novērstu nenoteiktību, mēs dalām skaitītāju un saucēju ar (lielāko jaudu).
(5) Mēs faktiski veicam dalīšanu pēc termina un norādām vārdus, kuriem ir tendence uz nulli.
(6) Mēs atceramies atbildi, atzīmējam to un secinām, ka sērijas atšķiras.

Un šeit ir vienkāršāks piemērs neatkarīgs lēmums:

8. piemērs Pārbaudiet sēriju konverģenci

Un vēl pāris tipiski piemēri.

Pilns risinājums un dizaina paraugs ir norādīts zemāk.

9. piemērs Pārbaudiet sēriju konverģenci
Mēs izmantojam radikālo Košī testu:

Tādējādi pētāmā sērija saplūst.

(1) Novietojiet sērijas kopējo terminu zem saknes.
(2) Pārrakstām to pašu, bet bez saknes, atverot iekavas, izmantojot saīsināto reizināšanas formulu: .
(3) Eksponentā mēs dalām skaitītāju ar saucēja terminu un norādām, ka .
(4) Tiek iegūta formas nenoteiktība. Šeit jūs varat dalīt skaitītāju ar saucēju ar "en" līdz augstākajai pakāpei tieši iekavās. Ar ko līdzīgu mēs saskārāmies mācoties otrā ievērojamā robeža. Bet šeit situācija ir atšķirīga. Ja koeficienti pie lielākām pilnvarām būtu tas pats, piemēram: , tad triks ar dalījumu pa terminiem nebūtu izturējis, un būtu jāizmanto otrais brīnišķīga robeža. Bet mums ir šie koeficienti savādāk(5 un 6), tāpēc ir iespējams (un nepieciešams) dalīt terminu ar terminu (starp citu, tieši otrādi - otrā brīnišķīgā robeža savādāk koeficienti pie lielākām pakāpēm vairs nedarbojas).
(5) Mēs faktiski veicam iedalījumu pa terminiem un norādām, kuri termini mūsu gadījumā mēdz būt nulle.
(6) Nenoteiktība tiek novērsta, paliek vienkāršākā robeža: Kāpēc iekšā bezgala liels grāds mēdz uz nulli? Jo pakāpes bāze apmierina nevienlīdzību . Ja kādam ir šaubas par limita taisnīgumu, tad nebūšu slinks, paņemšu kalkulatoru:
Ja tad
Ja tad
Ja tad
Ja tad
Ja tad
… utt. līdz bezgalībai - tas ir, robežās:
(7) Mēs to norādām un secinām, ka rindas konverģē.

10. piemērs Pārbaudiet sēriju konverģenci

Šis ir “dari pats” piemērs.

Dažreiz risinājumam tiek piedāvāts provokatīvs piemērs, piemēram:. Šeit eksponentā nē "en", tikai konstante. Šeit jums ir jāliek kvadrātā skaitītājs un saucējs (izrādīsies polinomi) un pēc tam izpildiet rakstā norādīto algoritmu Rindas tējkannām. Šādā piemērā jādarbojas vai nu nepieciešamajam rindu konverģences kritērijam, vai salīdzināšanas limita kritērijam.
INTEGRĀLĀ KAUCHIJAS TESTS

Pievilšu tos, kuri slikti apguva pirmā kursa materiālu. Lai piemērotu integrāļa Košī kritēriju, vairāk vai mazāk pārliecinoši jāspēj atrast atvasinājumus, integrāļus, kā arī jāprot aprēķināt nepareizs integrālis pirmais veids. Mācību grāmatās par matemātiskā analīze Košī integrāļa kritērijs dots matemātiski strikti, formulēsim kritēriju visai primitīvi, bet saprotami. Un uzreiz piemēri precizēšanai.

Integrālā Košī zīme: Apsveriet pozitīvu skaitļu sērijas. Šī sērija saplūst vai atšķiras

11. piemērs Pārbaudiet sēriju konverģenci

Gandrīz klasika. Dabiskais logaritms un kaut kādas muļķības.

Galvenais priekšnoteikums integrētā Košī testa izmantošanai ir fakts, ka sērijas kopīgais loceklis satur kādu funkciju un tās atvasinājumu. No tēmas Atvasinājums jūs droši vien atceraties visvienkāršāko tabulas lietu: , un mums ir tieši šāds kanonisks gadījums.

Kā lietot integrālo zīmi? Pirmkārt, mēs ņemam neatņemamo ikonu un pārrakstām augšējo un apakšējo robežu no rindas “skaitītāja”: . Pēc tam zem integrāļa mēs pārrakstām rindas “pildījumu” ar burtu “he”:. Kaut kā pietrūkst..., ak, jā, skaitītājā jāielīmē arī diferenciāļa ikona: .

Tagad mums jāaprēķina nepareizais integrālis. Šajā gadījumā ir iespējami divi gadījumi:

1) Ja izrādīsies, ka integrālis saplūst, tad arī mūsu rindas saplūst.

2) Ja izrādīsies, ka integrālis atšķiras, tad arī mūsu sērijas atšķirsies.

Es atkārtoju, ja materiāls darbojas, rindkopas lasīšana būs sarežģīta un neskaidra, jo funkcijas izmantošana būtībā ir aprēķins nepareizs integrālis pirmais veids.

Pilnīgajam piemēra risinājumam un dizainam vajadzētu izskatīties apmēram šādi:

Mēs izmantojam neatņemamu funkciju:

Tādējādi pētāmā sērija atšķiras kopā ar atbilstošo nepareizo integrāli.

12. piemērs Pārbaudiet sēriju konverģenci

Risinājums un dizaina paraugs nodarbības beigās

Aplūkotajos piemēros logaritms varētu būt arī zem saknes, tas nemainītu risinājuma metodi.

Un vēl divi piemēri uzkodām

13. piemērs Pārbaudiet sēriju konverģenci

Saskaņā ar kopējiem "parametriem" sērijas kopīgais termins šķiet piemērots robežu salīdzināšanas kritērija izmantošanai. Jums vienkārši jāatver iekavas un nekavējoties jānodod kandidātam, lai pēc iespējas vairāk salīdzinātu šo sēriju ar konverģentajām sērijām. Tomēr biju nedaudz viltīgs, kronšteinus var neatvērt, bet tomēr risinājums caur limitu salīdzināšanas kritēriju izskatīsies diezgan pretenciozs.

Tāpēc mēs izmantojam neatņemamo Košī testu:

Integrands ir nepārtraukti ieslēgts

saplūst kopā ar atbilstošo nepareizo integrāli.

! Piezīme:saņemts numurs -nav sērijas summa!

14. piemērs Pārbaudiet sēriju konverģenci

Risinājuma un dizaina veidne sadaļas beigās, kas tuvojas beigām.

Lai galīgi un neatgriezeniski asimilētu skaitļu sēriju tēmu, apmeklējiet tēmas.

Risinājumi un atbildes:

3. piemērs:Mēs izmantojam d'Alembert testu:

Tādējādi pētāmā sērija atšķiras.
Piezīme. Varat arī izmantot "turbo" risinājuma metodi: nekavējoties apvelciet attiecību ar zīmuli, norādiet, ka tai ir tendence uz vienotību, un atzīmējiet: "vienāda augšanas secība".

5. piemērs: d'Alemberta testa izmantošana: Tādējādi pētāmā sērija saplūst.

8. piemērs:

Tādējādi pētāmā sērija saplūst.

10. piemērs:
Mēs izmantojam radikālo Košī kritēriju.

Tādējādi pētāmā sērija atšķiras.
Piezīme: šeit ir grāda bāze, tātad

12. piemērs: Mēs izmantojam integrālo zīmi.

Tiek iegūts ierobežots skaitlis, kas nozīmē, ka pētāmā sērija saplūst

14. piemērs: Mēs izmantojam integrālo zīmi
Integrands ir nepārtraukts .

Tādējādi pētāmā sērija atšķiras kopā ar atbilstošo nepareizo integrāli.
Piezīme. Sēriju var izpētīt arī, izmantojotIerobežojumu salīdzināšanas kritērijs . Lai to izdarītu, jums ir jāatver iekavas zem saknes un jāsalīdzina pētāmās sērijas ar atšķirīgām sērijām.

Mainīgas rindas. Leibnica zīme. Risinājumu piemēri

Lai saprastu šīs nodarbības piemērus, ir labi jāpārzina pozitīvas skaitliskās rindas: jāsaprot, kas ir rinda, jāzina vajadzīgās rindas konverģences zīme, jāprot pielietot salīdzināšanas zīmes, d' Alemberta zīme, Košī zīmes. Tēmu var pacelt gandrīz no nulles, secīgi pētot rakstus Rindas tējkannām Un d'Alemberta zīme. Košī pazīmes. Loģiski, ka šī nodarbība ir jau trešā pēc kārtas, un tā ļaus ne tikai saprast mainīgās rindas, bet arī konsolidēt jau apskatīto materiālu! Būs maz jaunumu, un nebūs grūti apgūt mainīgas rindas. Viss ir vienkārši un par pieņemamu cenu.

Kas ir mainīga sērija? Tas ir skaidrs vai gandrīz skaidrs jau no paša nosaukuma. Uzreiz vienkāršākais piemērs. Apsveriet sēriju un uzrakstiet to sīkāk:

Tagad par slepkavas komentāru. Mainīgas sērijas dalībnieki maina zīmes: pluss, mīnuss, pluss, mīnuss, pluss, mīnuss utt. līdz bezgalībai.
Interleaving nodrošina reizinātāju: ja pāra, tad būs plusa zīme, ja nepāra, mīnusa zīme. Matemātiskā žargonā šo izdomājumu sauc par mirgotāju. Tādējādi mainīgā sērija tiek "identificēta" ar mīnus viens līdz pakāpei "en".

Praktiskajos piemēros sērijas dalībnieku maiņa var nodrošināt ne tikai faktoru , bet arī tā brāļus un māsas: , , , …. Piemēram:

Slazds ir "triki":, utt. ir šādi reizinātāji neparedzēt zīmes maiņu. Ir pilnīgi skaidrs, ka jebkurai dabiskai : , , . Rindas ar trikiem tiek noslīdētas ne tikai īpaši apdāvinātiem skolēniem, tās ik pa laikam parādās “pašas” risināšanas gaitā funkcionālās rindas.

Kā pārbaudīt mainīgu sēriju konverģencei? Izmantojiet Leibnica zīmi. Es nevēlos runāt par vācu domu gigantu Gotfrīdu Vilhelmu Leibnicu, jo līdztekus matemātiskiem darbiem viņš aizrāva vairākus sējumus par filozofiju. Bīstams smadzenēm.

Leibnica zīme: Ja mainīgās sērijas dalībnieki monotoni samaziniet modulo, tad sērijas saplūst. Vai divās rindkopās:

2) Sērijas noteikumi samazinās modulo: . Turklāt tie monotoni samazinās.

Ja izpildīts gan apstākļos, tad sērijas saplūst.

Īsa informācija par moduli ir sniegta rokasgrāmatāKarstas formulas skolas kurss matemātika , bet atkal ērtības labad:

Ko nozīmē “modulo”? Modulis, kā atceramies no skolas laikiem, "noēd" mīnusa zīmi. Atgriezīsimies pie sērijas. Garīgi izdzēsiet visas zīmes ar dzēšgumiju un paskaties uz skaitļiem. To mēs redzēsim katru nākamo rindas biedrs mazāk nekā iepriekšējā. Tādējādi šādas frāzes nozīmē vienu un to pašu:

– sērijas dalībnieki bez zīmes samazināt.
– Seriāla dalībnieku skaits samazinās modulo.
– Seriāla dalībnieku skaits samazinās absolūtā vērtībā.
– Modulis sērijas kopīgajam terminam ir tendence uz nulli: Palīdzības beigas

Tagad parunāsim nedaudz par vienmuļību. Monotonija ir garlaicīga pastāvība.

Rindas dalībnieki stingri monotoni samazināt modulo, ja KATRS NĀKAMAIS sērijas dalībnieks modulo MAZĀK nekā iepriekš: . Sērijai tiek veikta stingra samazināšanās monotonitāte, to var uzrakstīt detalizēti:

Un mēs varam teikt īsi: katrs nākamais sērijas dalībnieks modulo mazāk nekā iepriekšējā: .

Rindas dalībnieki nav stingri monotons moduļa samazināšanās, ja KATRS NĀKAMAIS sērijas modulo termins NAV LIELĀKS PAR iepriekšējo: . Apskatīsim virkni ar faktoriālu: Šeit notiek ne stingra monotonitāte, jo pirmajiem diviem sērijas locekļiem ir vienāds modulis. Tas ir, katrs nākamais sērijas dalībnieks modulo ne vairāk kā iepriekšējā: .

1. piemērs Pārbaudiet sēriju konverģenci

Kopējais sērijas termins ietver koeficientu , kas nozīmē, ka jums ir jāizmanto Leibnica tests

1) Pārbauda rindu pārmaiņus. Parasti šajā lēmuma punktā sērija tiek detalizēti aprakstīta un tiek pieņemts spriedums "Sērija ir pārmaiņus zīmē".

2) Vai sērijas nosacījumi samazinās modulo? Ir jāatrisina robeža, kas visbiežāk ir ļoti vienkārša.

– sērijas nosacījumi modulo nesamazinās. Starp citu, par samazinājuma monotonitāti nav nepieciešams argumentēt. Secinājums: sērija atšķiras.

Kā noskaidrot, kas ir vienāds? Ļoti vienkārši. Kā zināms, modulis iznīcina mīnusus, tāpēc, lai kompensētu, jums vienkārši jānoņem no jumta mirgojošā bāka. Šajā gadījumā sērijas kopīgais termins ir . Stulbi noņemiet "zibspuldzi":.

2. piemērs Pārbaudiet sēriju konverģenci

Mēs izmantojam Leibnica zīmi:

1) Sērija ir zīmju maiņa.

2) - rindas nosacījumi samazinās absolūtajā vērtībā. Katram nākamajam sērijas loceklim modulis ir mazāks nekā iepriekšējam: tādējādi samazinājums ir monotons.

Secinājums: sērijas saplūst.

Viss būtu ļoti vienkārši – bet ar to risinājums nebeidzas!

Ja sērijas saplūst saskaņā ar Leibnica testu, tad tiek teikts, ka arī sērija ir saplūst nosacīti.

Ja arī sērija, kas sastāv no moduļiem, saplūst: , tad mēs sakām, ka sērija saplūst absolūti.

Tāpēc darba kārtībā ir tipiska uzdevuma risināšanas otrais posms - mainīgas rindas izpēte absolūtai konverģencei.

Es neesmu vainīgs - tāda skaitļu rindu teorija =)

Mēs pārbaudām mūsu sēriju absolūtai konverģencei.
Sastādīsim moduļu sēriju - atkal vienkārši noņemam faktoru, kas nodrošina zīmju maiņu: - diverģē (harmoniskā virkne).

Tādējādi mūsu sērija nav absolūti konverģenta.
Pētījumu sērija saplūst tikai nosacīti.

Ņemiet vērā, ka piemērā Nr. 1 nav nepieciešams veikt neabsolūtās konverģences pētījumu, jo pirmajā solī tika secināts, ka rindas atšķiras.

Savācam kausus, lāpstas, mašīnas un atstājam smilšu kasti, lai no mana ekskavatora kabīnes ieplestām acīm skatītos uz pasauli:

3. piemērs Izpētiet konverģences rindu Mēs izmantojam Leibnica testu:

1)
Šī sērija ir zīmju maiņa.

2) - rindas nosacījumi samazinās absolūtajā vērtībā. Katram nākamajam rindas loceklim modulis ir mazāks nekā iepriekšējam: , kas nozīmē, ka samazinājums ir monotons. Secinājums: sērijas saplūst.

Analizējot sērijas aizpildījumu, mēs nonākam pie secinājuma, ka šeit ir jāizmanto salīdzināšanas robežzīme. Ērtāk ir atvērt iekavas saucējā:

Salīdziniet šo sēriju ar konverģento sēriju. Mēs izmantojam salīdzināšanas robežpārbaudi.

Tiek iegūts ierobežots skaitlis, kas nav nulle, kas nozīmē, ka rinda saplūst kopā ar sēriju . Pētījumu sērija saplūst absolūti.

4. piemērs Pārbaudiet sēriju konverģenci

5. piemērs Pārbaudiet sēriju konverģenci

Šie ir pašpalīdzības piemēri. Pilns risinājums un dizaina paraugs sadaļas beigās.

Kā redzat, rindu maiņa ir vienkārša un garlaicīga! Bet nesteidzieties aizvērt lapu, tikai dažos ekrānos mēs apsvērsim gadījumu, kas daudzus mulsina. Tikmēr pāris piemēri apmācībai un atkārtošanai.

6. piemērs Pārbaudiet sēriju konverģenci

Mēs izmantojam Leibnica testu.
1) Sērija ir zīmju maiņa.
2)
Sērijas noteikumi samazinās modulo. Katram nākamajam sērijas loceklim modulis ir mazāks nekā iepriekšējam, kas nozīmē, ka samazinājums ir monotons. Secinājums: sērijas saplūst.

Lūdzu, ņemiet vērā, ka es detalizēti neaprakstīju sērijas dalībniekus. Uzgleznot tos ir vēlams vienmēr, bet no nepārvarama slinkuma "smagos" gadījumos var aprobežoties ar frāzi "Sērija mainās zīmē". Starp citu, jums šis punkts nav jāuztver formāli, vienmēr pārbaudiet(vismaz mentāli), ka seriāli tiešām mainās. Paviršs skatiens neizdodas, un tiek pieļauta kļūda “mašīnā”. Atcerieties par "trikiem" , , , ja tādi pastāv, tad no tiem jātiek vaļā, iegūstot "normālu" sēriju ar pozitīviem terminiem.

Otrs smalkums attiecas uz frāzi par vienmuļību, kuru es arī pēc iespējas samazināju. Jūs varat to izdarīt, un gandrīz vienmēr jūsu uzdevums tiks ieskaitīts. Teikšu ļoti sliktu - personīgi es bieži klusēju par vienmuļību, un tāds cipars pāriet. Bet esiet gatavs krāsot visu detalizēti, līdz pat detalizētām nevienlīdzību ķēdēm (skatiet piemēru nodarbības sākumā). Turklāt dažreiz vienmuļība nav stingra, un tas arī ir jāuzrauga, lai vārdu “mazāk” aizstātu ar vārdu “ne vairāk”.

Mēs pārbaudām absolūtās konverģences sērijas:

Acīmredzot jums ir jāizmanto radikālais Košī tests:

Tādējādi sērijas saplūst. Pētījumu sērija saplūst absolūti.

7. piemērs Pārbaudiet sēriju konverģenci

Šis ir neatkarīga risinājuma piemērs.Bieži vien ir mainīgas sērijas, kas rada grūtības.

8. piemērs Pārbaudiet sēriju konverģenci

Mēs izmantojam Leibnica zīmi:
1) Sērija ir zīmju maiņa.

PIEZĪME: funkcijas pieauguma secības jēdziens ir detalizēti apskatīts rakstāIerobežojuma risināšanas metodes . Mums ir secības ierobežojumi, bet tas nemaina būtību.

Ja skaitītājs pie aug ātrāk nekā faktoriāls, tad . Ja bezgalībā faktoriāls aug ātrāk par skaitītāju, tad, gluži pretēji, tas “novelk” robežu līdz nullei: . Vai varbūt šī robeža ir vienāda ar kādu skaitli, kas nav nulle?

Mēģināsim pierakstīt dažus sērijas pirmos terminus:
jūs varat aizstāt kādu tūkstošdaļas polinomu, tas atkal nemainīs situāciju - agrāk vai vēlāk faktoriāls joprojām “apsteigs” tik briesmīgu polinomu. Faktoriāls augstāka augšanas kārtība nekā jebkura jaudas secība.

– Faktoriāls aug ātrāk nekā jebkura daudzuma produkts eksponenciālās un jaudas secības (mūsu gadījums).

– Jebkurš eksponenciālā secība aug ātrāk nekā jebkura pakāpju secība, piemēram: , . eksponenciālā secība augstāka augšanas kārtība nekā jebkura jaudas secība. Līdzīgi kā faktoriāls, eksponenciālā secība "velk" jebkura skaita pakāpju secību vai polinomu reizinājumu: .

– Vai ir kaut kas “vēsāks” par faktoriālu? Ēd! Eksponenciālā secība ("en" pakāpē "en") aug ātrāk nekā faktoriāls. Praksē tas notiek reti, taču informācija nebūs lieka. Palīdzības beigas

Tādējādi pētījuma otro punktu (vai jūs to vēl atceraties? =)) var uzrakstīt šādi:
2) , jo augstāka pieauguma secība nekā .
Sērijas nosacījumi samazinās modulo, sākot no kāda skaitļa, tajā pašā laikā katrs nākamais rindas loceklis absolūtajā vērtībā ir mazāks par iepriekšējo, līdz ar to samazinājums ir monotons.

Secinājums: sērijas saplūst.

Šeit ir tikai dīvains gadījums, kad sērijas nosacījumi vispirms pieaug absolūtā vērtībā, tāpēc mums ir kļūdains sākotnējais viedoklis par limitu. Bet, sākot no kāda skaitļa "en", faktoriālu apsteidz skaitītājs, un sērijas “aste” kļūst monotoni dilstoša, kas ir būtiski svarīgi Leibnica teorēmas nosacījumu izpildei. Ir diezgan grūti noskaidrot, ar ko tieši šis “en” ir vienāds.

Saskaņā ar atbilstošo teorēmu rindu absolūtā konverģence nozīmē rindas nosacīto konverģenci. Secinājums: Pētījumu sērija saplūst absolūti.

Un visbeidzot, pāris piemēri neatkarīgam lēmumam. Viena no tās pašas operas (pārlasi palīdzību), bet vienkāršāka. Vēl viens gardēžiem ir salabot neatņemamo konverģences zīmi.

9. piemērs Pārbaudiet sēriju konverģenci

10. piemērs Pārbaudiet sēriju konverģenci

Pēc skaitliski pozitīvu un mainīgu sēriju kvalitatīvas izpētes ar tīru sirdsapziņu varat doties uz funkcionālās rindas, kas ir ne mazāk vienmuļi un vienveidīgi, ir interesanti.

Risinājumi un atbildes:

4. piemērs: Mēs izmantojam Leibnica zīmi:

1) Šī sērija ir mainīga.
2)
Sērijas nosacījumi modulo nesamazinās. Secinājums: sērija atšķiras.. , tajā pašā laikā katrs nākamais rindas loceklis absolūtajā vērtībā ir mazāks par iepriekšējo, līdz ar to samazinājums ir monotons.

Tādējādi sērija atšķiras kopā ar atbilstošo nepareizo integrāli. Pētījumu sērija saplūst tikai nosacīti.

Pamatdefinīcijas un jēdzieni.

Konverģentu skaitlisko rindu īpašības.

Nepieciešams nosacījums sērijas konverģencei.

Pietiekami nosacījumi pozitīvas zīmju rindas konverģencei.

Nepieciešams un pietiekams nosacījums pozitīvas zīmes skaitļu rindas konverģencei.

Pirmā, otrā un trešā salīdzināšanas zīme.

D'Alemberta zīme.

Košī radikālā zīme.

Integrālais Košī tests.

Jūs varētu interesēt