Trijstūra laukums - problēmas risināšanas formulas un piemēri

Zemāk ir formulas patvaļīga trīsstūra laukuma atrašanai kas ir piemēroti jebkura trīsstūra laukuma atrašanai neatkarīgi no tā īpašībām, leņķiem vai izmēriem. Formulas ir attēlotas attēla veidā, šeit ir paskaidrojumi par pielietojumu vai to pareizības pamatojums. Tāpat atsevišķā attēlā parādīta burtu simbolu atbilstība formulās un grafisko simbolu zīmējumā.

Piezīme . Ja trijstūrim ir īpašas īpašības(vienādsānu, taisnstūrveida, vienādmalu), varat izmantot tālāk norādītās formulas, kā arī papildus īpašas formulas, kas ir derīgas tikai trijstūriem ar šādām īpašībām:

• "Formulas vienādmalu trīsstūra laukumam"

Trijstūra laukuma formulas

Formulu skaidrojumi:
a, b, c- trijstūra malu garumi, kuru laukumu vēlamies atrast
r- trijstūrī ierakstītā apļa rādiuss
R- ierobežotā apļa rādiuss ap trīsstūri
h- trīsstūra augstums, nolaists uz sāniem
lpp- trijstūra pusperimetrs, 1/2 no tā malu summas (perimetrs)
α - leņķis, kas atrodas trijstūra pretējā pusē a
β - leņķis pret trijstūra malu b
γ - leņķis pret trijstūra malu c
h a, h b , h c- trijstūra augstums, nolaists uz sāniem a, b, c

Lūdzu, ņemiet vērā, ka dotais apzīmējums atbilst iepriekš redzamajam attēlam, lai, risinot reālu ģeometrijas problēmu, jums būtu vizuāli vieglāk aizstāt pareizās vērtības pareizajās formulas vietās.

• Trijstūra laukums ir puse no trijstūra augstuma un tās malas garuma reizinājuma, uz kuras šis augstums ir nolaists(Formula 1). Šīs formulas pareizību var saprast loģiski. Augstums, kas pazemināts līdz pamatnei, sadalīs patvaļīgu trīsstūri divos taisnstūrveida veidos. Ja mēs katru no tiem pabeigsim līdz taisnstūrim ar izmēriem b un h, tad acīmredzot šo trīsstūru laukums būs vienāds ar tieši pusi no taisnstūra laukuma (Spr = bh)
• Trijstūra laukums ir puse no tā abu malu un leņķa sinusa reizinājuma starp tām(Formula 2) (skatiet tālāk piemēru problēmas risināšanai, izmantojot šo formulu). Neskatoties uz to, ka tas šķiet atšķirīgs no iepriekšējā, to var viegli pārveidot par to. Ja pazemina augstumu no leņķa B uz malu b, izrādās, ka malas a un leņķa γ sinusa reizinājums saskaņā ar sinusa īpašībām taisnleņķa trijstūrī ir vienāds ar trijstūra augstumu, ko uzzīmē mums, kas dos mums iepriekšējo formulu
• Var atrast patvaļīga trīsstūra laukumu cauri strādāt puse no apļa rādiusa, kas tajā ierakstīts ar visu tā malu garumu summu(Formula 3), citiem vārdiem sakot, jums jāreizina trijstūra pusperimetrs ar ierakstītā apļa rādiusu (šādā veidā ir vieglāk atcerēties)
• Patvaļīga trīsstūra laukumu var atrast, dalot visu tā malu reizinājumu ar 4 apļa rādiusiem (4. formula)
• Formula 5 nosaka trijstūra laukumu tā malu garuma un pusperimetra izteiksmē (puse no visu tā malu summas)
• Gārņa formula(6) ir vienas un tās pašas formulas attēlojums, neizmantojot pusperimetra jēdzienu, tikai caur malu garumiem
• Patvaļīga trīsstūra laukums ir vienāds ar trijstūra malas kvadrāta un šai malai blakus esošo leņķu sinusu reizinājumu, kas dalīts ar šai malai pretējā leņķa dubulto sinusu (7.
• Patvaļīga trīsstūra laukumu var atrast kā divu ap to apvilkta apļa kvadrātu un katra tā leņķa sinusa reizinājumu. (Formula 8)
• Ja ir zināms vienas malas garums un divu tai blakus esošo leņķu lielums, tad trijstūra laukumu var atrast kā šīs malas kvadrātu, dalītu ar šo malu kotangenšu dubulto summu. leņķi (Formula 9)
• Ja ir zināms tikai katra trijstūra augstuma garums (Formula 10), tad šāda trijstūra laukums ir apgriezti proporcionāls šo augstumu garumiem, kā tas ir saskaņā ar Herona formulu.
• 11. formula ļauj aprēķināt trijstūra laukums atbilstoši tā virsotņu koordinātām, kas katrai virsotnei ir dotas kā (x;y) vērtības. Lūdzu, ņemiet vērā, ka iegūtā vērtība ir jāņem modulo, jo atsevišķu (vai pat visu) virsotņu koordinātas var atrasties negatīvo vērtību apgabalā.

Piezīme. Tālāk ir sniegti ģeometrijas problēmu risināšanas piemēri, lai atrastu trīsstūra laukumu. Ja jums ir jāatrisina ģeometrijas problēma, kurai līdzīga šeit nav - rakstiet par to forumā. Risinājumos simbola "" vietā Kvadrātsakne" var izmantot funkciju sqrt(), kurā sqrt ir kvadrātsaknes simbols, bet radikālā izteiksme ir norādīta iekavās.Dažreiz simbolu var izmantot vienkāršām radikālām izteiksmēm √

Uzdevums. Atrodiet laukumu, kurā norādītas divas malas, un leņķi starp tām

Trijstūra malas ir 5 un 6 cm. Leņķis starp tām ir 60 grādi. Atrodiet trīsstūra laukumu.

Risinājums.

Lai atrisinātu šo problēmu, mēs izmantojam formulu numur divi no nodarbības teorētiskās daļas.
Trijstūra laukumu var atrast caur divu malu garumiem un leņķa sinusu starp tām, un tas būs vienāds ar
S=1/2 ab sin γ

Tā kā mums ir visi risinājumam nepieciešamie dati (saskaņā ar formulu), mēs varam tikai aizstāt problēmas no formulējuma vērtības formulā:
S=1/2*5*6*sin60

Vērtību tabulā trigonometriskās funkcijas atrast un aizstāt izteiksmē sinusa vērtību 60 grādi. Tas būs vienāds ar trīs ar divi sakni.
S = 15 √3/2

Atbilde: 7,5 √3 (atkarībā no skolotāja prasībām, iespējams, var atstāt 15 √3/2)

Uzdevums. Atrodiet vienādmalu trīsstūra laukumu

Atrodiet vienādmalu trīsstūra laukumu, kura mala ir 3 cm.

Risinājums.

Trijstūra laukumu var atrast, izmantojot Herona formulu:

S = 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))

Tā kā a \u003d b \u003d c, vienādmalu trīsstūra laukuma formulai būs šāda forma:

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 3 2

Atbilde: 9 √3 / 4.

Uzdevums. Laukuma maiņa, mainot sānu garumu

Cik reizes palielināsies trijstūra laukums, ja malas ir četrkāršotas?

Risinājums.

Tā kā trijstūra malu izmēri mums nav zināmi, lai atrisinātu uzdevumu, pieņemsim, ka malu garumi ir attiecīgi vienādi ar patvaļīgiem skaitļiem a, b, c. Tad, lai atbildētu uz problēmas jautājumu, mēs atrodam šī trijstūra laukumu, un pēc tam atrodam trijstūra laukumu, kura malas ir četras reizes lielākas. Šo trīsstūru laukumu attiecība sniegs mums atbildi uz problēmu.

Tālāk mēs sniedzam problēmas risinājuma teksta skaidrojumu pa soļiem. Taču pašās beigās tas pats risinājums tiek pasniegts uztverei ērtākā grafiskā formā. Tie, kas vēlas, var nekavējoties nomest risinājumu.

Lai atrisinātu, izmantojam Herona formulu (skat. iepriekš nodarbības teorētiskajā daļā). Tas izskatās šādi:

S = 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
(skatiet zemāk esošā attēla pirmo rindiņu)

Patvaļīga trijstūra malu garumus nosaka ar mainīgajiem a, b, c.
Ja malas tiek palielinātas 4 reizes, tad jaunā trīsstūra c laukums būs:

S 2 = 1/4 sqrt ((4a + 4b + 4c) (4b + 4c - 4a) (4a + 4c - 4b) (4a + 4b - 4c))
(skatiet zemāk redzamā attēla otro rindiņu)

Kā redzat, 4 ir kopīgs faktors, ko var iekavās no visām četrām izteiksmēm saskaņā ar vispārējiem matemātikas noteikumiem.
Tad

S 2 = 1/4 kvadrāts (4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b - c)) - attēla trešajā rindā
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - ceturtā rinda

No skaitļa 256 kvadrātsakne ir lieliski izvilkta, tāpēc mēs to izņemsim no saknes apakšas
S 2 = 16 * 1/4 kvadrātveida ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b - c))
S 2 = 4 kvadrātmetri ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b - c))
(skatiet zemāk esošā attēla piekto rindiņu)

Lai atbildētu uz uzdevumā uzdoto jautājumu, mums pietiek ar iegūtā trīsstūra laukumu dalīt ar sākotnējā trīsstūra laukumu.
Mēs nosakām laukumu attiecības, sadalot izteiksmes savā starpā un samazinot iegūto daļu.

Instrukcija

ballītes un stūri tiek uzskatīti par pamatelementiem A. Trīsstūri pilnībā nosaka kāds no tā pamatelementiem: vai nu trīs malas, vai viena mala un divi leņķi, vai divas malas un leņķis starp tām. Par eksistenci trīsstūris ko definē trīs malas a, b, c, ir nepieciešams un pietiekami, lai nevienādības, ko sauc par nevienādībām trīsstūris:
a+b > c
a+c > b
b+c > a.

Celtniecībai trīsstūris uz trim malām a, b, c, no nogriežņa CB=a punkta C nepieciešams, kā ar kompasu uzzīmēt apli ar rādiusu b. Pēc tam līdzīgā veidā no punkta B uzvelciet apli ar rādiusu vienāds ar sānu c. To krustošanās punkts A ir vēlamā trešā virsotne trīsstūris ABC, kur AB=c, CB=a, CA=b - malas trīsstūris. Problēma ir , ja malas a, b, c apmierina nevienādības trīsstūris norādīts 1. darbībā.

S laukums ir izveidots šādā veidā trīsstūris ABC ar zināmās partijas a, b, c aprēķina pēc Herona formulas:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
kur a, b, c ir malas trīsstūris, p ir pusperimetrs.
p = (a+b+c)/2

Ja trīsstūris ir vienādmalu, tas ir, visas tā malas ir vienādas (a=b=c). Laukums trīsstūris aprēķina pēc formulas:
S=(a^2 v3)/4

Ja trīsstūris ir taisnleņķa, tas ir, viens no tā leņķiem ir 90 °, un malas, kas to veido, ir kājas, trešā mala ir hipotenūza. Šajā gadījumā kvadrāts ir vienāds ar kāju reizinājumu, kas dalīts ar divi.
S=ab/2

Atrast kvadrāts trīsstūris, varat izmantot vienu no daudzajām formulām. Izvēlieties formulu atkarībā no tā, kādi dati jau ir zināmi.

Jums būs nepieciešams

• zināšanas par formulām trijstūra laukuma atrašanai

Instrukcija

Ja zināt vienas malas vērtību un augstuma vērtību, kas nolaista uz šo pusi no pretējā stūra, tad laukumu var atrast, izmantojot sekojošo: S = a*h/2, kur S ir laukums no ​​trijstūris, a ir viena no trijstūra malām, un h - augstums uz a malu.

Ir zināms veids, kā noteikt trīsstūra laukumu, ja ir zināmas trīs tā malas. Viņa ir Herona formula. Lai vienkāršotu tā ierakstīšanu, tiek ieviesta starpvērtība - pusperimetrs: p \u003d (a + b + c) / 2, kur a, b, c - . Tad Herona formula ir šāda: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^1, ^ eksponenci.

Pieņemsim, ka zināt vienu no trijstūra malām un trīs leņķus. Tad ir viegli atrast trīsstūra laukumu: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), kur β ir leņķis, kas atrodas pretējā pusē a, un α un γ ir leņķi, kas atrodas blakus malai.

Saistītie video

Piezīme

Vispārīgākā formula, kas ir piemērota visiem gadījumiem, ir Herona formula.

Avoti:

3. padoms: kā atrast trīsstūra laukumu, ņemot vērā trīs malas

Trijstūra laukuma atrašana ir viens no visizplatītākajiem skolas planimetrijas uzdevumiem. Zinot trīsstūra trīs malas, pietiek, lai noteiktu jebkura trijstūra laukumu. Īpašos gadījumos un vienādmalu trīsstūros pietiek zināt attiecīgi divu un vienas malas garumus.

Jums būs nepieciešams

• trijstūra malu garumi, Herona formula, kosinusa teorēma

Instrukcija

Herona formula trijstūra laukumam ir šāda: S = sqrt (p (p-a) (p-b) (p-c)). Ja krāsojat pusperimetru p, tad iegūstat: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c) /2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Trijstūra laukuma formulu var iegūt arī no apsvērumiem, piemēram, izmantojot kosinusa teorēmu.

Pēc kosinusu likuma AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Izmantojot ieviesto apzīmējumu, tie var būt arī šādā formā: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Tādējādi cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Trijstūra laukumu nosaka arī pēc formulas S = a*c*sin(ABC)/2 caur divām malām un leņķi starp tām. Leņķa ABC sinusu var izteikt tā izteiksmē, izmantojot pamata trigonometriskā identitāte: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2) Aizvietojot sinusu laukuma formulā un krāsojot to, mēs varam nonākt pie trijstūra ABC laukuma formulas.

Saistītie video

Remontam var būt nepieciešams izmērīt kvadrāts sienas. Vienkāršāk ir aprēķināt nepieciešamo krāsas vai tapešu daudzumu. Mērījumu veikšanai vislabāk ir izmantot mērlenti vai centimetru lenti. Mērījumi jāveic pēc sienas ir saskaņoti.

Jums būs nepieciešams

• -rulete;
• - kāpnes.

Instrukcija

Saskaitīt kvadrāts sienas, jāzina precīzs griestu augstums, kā arī jāmēra garums gar grīdu. Tas tiek darīts šādi: paņemiet centimetru, uzlieciet to virs cokola. Parasti visam garumam nepietiek ar centimetru, tāpēc piestipriniet to stūrī, pēc tam atritiniet līdz maksimālajam garumam. Šajā brīdī atzīmējiet ar zīmuli, pierakstiet rezultātu un veiciet turpmāko mērījumu tādā pašā veidā, sākot no pēdējā mērījuma punkta.

Standarta griesti tipiski - 2 metri 80 centimetri, 3 metri un 3 metri 20 centimetri, atkarībā no mājas. Ja māja celta pirms 50. gadiem, tad visticamāk faktiskais augstums ir nedaudz zemāks par norādīto. Ja jūs rēķināties kvadrāts remontdarbiem, tad neliela rezerve nekaitēs - apsveriet, pamatojoties uz standartu. Ja jums joprojām ir jāzina īstais augums - veiciet mērījumus. Princips ir līdzīgs garuma mērīšanai, taču jums būs nepieciešamas kāpnes.

Reiziniet iegūtos skaitļus - tas ir kvadrāts jūsu sienas. Tiesa, krāsošanas darbiem vai tam ir jāatņem kvadrāts durvju un logu ailas. Lai to izdarītu, nolieciet centimetru gar atveri. Ja mēs runājam par durvīm, kuras plānojat mainīt vēlāk, tad veiciet ar noņemtu durvju rāmi, ņemot vērā tikai kvadrāts pati atvēršana. Loga laukums tiek aprēķināts pa tā rāmja perimetru. Pēc kvadrāts Aprēķināts logs un durvju aile, iegūto rezultātu atņem no kopējās iegūtās telpas platības.

Lūdzu, ņemiet vērā, ka telpas garuma un platuma mērījumi tiek veikti kopā, ir vieglāk salabot centimetru vai mērlenti un attiecīgi iegūt precīzāku rezultātu. Veiciet vienu un to pašu mērījumu vairākas reizes, lai pārliecinātos, ka iegūtie skaitļi ir precīzi.

Saistītie video

Trijstūra tilpuma atrašana patiešām nav triviāls uzdevums. Fakts ir tāds, ka trīsstūris ir divdimensiju figūra, t.i. tas pilnībā atrodas vienā plaknē, kas nozīmē, ka tam vienkārši nav tilpuma. Protams, jūs nevarat atrast kaut ko tādu, kas neeksistē. Bet nepadosimies! Mēs varam izdarīt šādu pieņēmumu - divdimensiju figūras tilpums, tas ir tā laukums. Mēs meklējam trīsstūra laukumu.

Jums būs nepieciešams

• papīra lapa, zīmulis, lineāls, kalkulators

Instrukcija

Zīmējiet uz papīra lapas ar lineālu un zīmuli. Rūpīgi izpētot trīsstūri, jūs varat pārliecināties, ka tā tiešām nav, jo tas ir uzzīmēts plaknē. Apzīmējiet trīsstūra malas: vienai malai jābūt pusei "a", otrai malai "b" un trešā malai "c". Apzīmējiet trīsstūra virsotnes ar burtiem "A", "B" un "C".

Izmēriet jebkuru trijstūra malu ar lineālu un pierakstiet rezultātu. Pēc tam no pretējās virsotnes atjauno perpendikulu uz izmērīto malu, šāds perpendikuls būs trijstūra augstums. Attēlā parādītajā gadījumā perpendikulārs "h" tiek atjaunots uz malu "c" no virsotnes "A". Izmēriet iegūto augstumu ar lineālu un pierakstiet mērījuma rezultātu.

Var gadīties, ka jums būs grūti atjaunot precīzu perpendikulu. Šajā gadījumā jums vajadzētu izmantot citu formulu. Izmēriet visas trīsstūra malas ar lineālu. Pēc tam aprēķiniet trijstūra "p" pusperimetru, saskaitot iegūtos malu garumus un dalot to summu uz pusēm. Ja jūsu rīcībā ir pusperimetra vērtība, varat izmantot Herona formulu. Lai to izdarītu, jums ir jāņem kvadrātsakne no sekojošā: p(p-a)(p-b)(p-c).

Jūs esat ieguvis vēlamo trīsstūra laukumu. Trijstūra tilpuma atrašanas problēma nav atrisināta, taču, kā minēts iepriekš, apjoms nav . Jūs varat atrast skaļumu, kas būtībā ir trīsstūris 3D pasaulē. Ja iedomājamies, ka mūsu sākotnējais trīsstūris ir kļuvis par trīsdimensiju piramīdu, tad šādas piramīdas tilpums būs tās pamatnes garuma un iegūtā trīsstūra laukuma reizinājums.

Piezīme

Aprēķini būs precīzāki, jo rūpīgāk veiksiet mērījumus.

Avoti:

• Viss pret visiem kalkulators — uzziņu portāls
• trīsstūra apjoms 2019. gadā

Trīs punkti, kas unikāli definē trīsstūri Dekarta koordinātu sistēmā, ir tā virsotnes. Zinot to atrašanās vietu attiecībā pret katru koordinātu asi, varat aprēķināt jebkurus tā parametrus plakana figūra, ieskaitot un ierobežots ar tā perimetru kvadrāts. To var izdarīt vairākos veidos.

Instrukcija

Lai aprēķinātu laukumu, izmantojiet Herona formulu trīsstūris. Tas ietver figūras trīs malu izmērus, tāpēc sāciet aprēķinus ar. Katras malas garumam jābūt vienādam ar tās projekciju garumu kvadrātu summas sakni uz koordinātu asīm. Ja apzīmē koordinātas A(X1,Y1,Z₁), B(X2,Y2,Z2) un C(X3,Y3,Z3), to malu garumus var izteikt šādi: AB = √((X₁- X₂)² + (Y1 -Y2)² + (Z1-Z2)²), BC = √((X2-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²), AC = √(( X₁-X3)² + (Y1-Y3)² + (Z1-Z3)²).

Lai vienkāršotu aprēķinus, ievadiet papildu mainīgo - pusperimetru (P). No tā šī ir puse no visu malu garumu summas: P \u003d ½ * (AB + BC + AC) \u003d ½ * (√ ((X₁-X₂)² + (Y1-Y₂)² + (Z₁- Z2)²) + √ ((X2-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²) + √((X1-X3)² + (Y1-Y3)² + (Z1-Z3) ²).

Lai atrastu trīsstūra laukumu, varat izmantot dažādas formulas. No visām metodēm vienkāršākā un visbiežāk izmantotā ir augstuma reizināšana ar pamatnes garumu un pēc tam rezultātu dalīšana ar diviem. Tomēr šī metode nebūt nav vienīgā. Zemāk varat lasīt, kā atrast trīsstūra laukumu, izmantojot dažādas formulas.

Atsevišķi mēs apsvērsim metodes, kā aprēķināt noteiktu veidu trīsstūrus - taisnstūrveida, vienādsānu un vienādmalu. Katrai formulai pievienojam īsu skaidrojumu, kas palīdzēs izprast tās būtību.

Universāli veidi, kā atrast trīsstūra laukumu

Tālāk sniegtajās formulās tiek izmantots īpašs apzīmējums. Mēs atšifrēsim katru no tiem:

• a, b, c ir aplūkojamās figūras trīs malu garumi;
• r ir apļa rādiuss, ko var ierakstīt mūsu trīsstūrī;
• R ir apļa rādiuss, ko var aprakstīt ap to;
• α - leņķa vērtība, ko veido malas b un c;
• β ir leņķis starp a un c;
• γ - leņķa vērtība, ko veido malas a un b;
• h ir mūsu trīsstūra augstums, nolaists no leņķa α uz malu a;
• p ir puse no malu a, b un c summas.

Ir loģiski skaidrs, kāpēc šādā veidā var atrast trīsstūra laukumu. Trijstūri var viegli pabeigt līdz paralelogramam, kurā viena trijstūra mala darbosies kā diagonāle. Paralelograma laukumu nosaka, reizinot vienas malas garumu ar tai novilktā augstuma vērtību. Diagonāle sadala šo nosacīto paralelogramu 2 identiskos trīsstūros. Tāpēc ir pilnīgi skaidrs, ka mūsu sākotnējā trīsstūra laukumam jābūt vienādam ar pusi no šī papildu paralelograma laukuma.

S=½ a b sin γ

Saskaņā ar šo formulu trijstūra laukumu nosaka, reizinot tā divu malu garumus, tas ir, a un b, ar to izveidotā leņķa sinusu. Šī formula ir loģiski atvasināta no iepriekšējās. Ja pazemina augstumu no leņķa β uz malu b, tad, atbilstoši taisnleņķa trijstūra īpašībām, reizinot malas a garumu ar leņķa γ sinusu, iegūstam trijstūra augstumu, tas ir, h.

Aplūkojamās figūras laukums tiek noteikts, reizinot pusi no apļa rādiusa, ko tajā var ierakstīt, ar tā perimetru. Citiem vārdiem sakot, mēs atrodam minētā apļa pusperimetra un rādiusa reizinājumu.

S= a b c/4R

Saskaņā ar šo formulu mums vajadzīgo vērtību var atrast, dalot figūras malu reizinājumu ar 4 ap to apzīmētā apļa rādiusiem.

Šīs formulas ir universālas, jo tās ļauj noteikt jebkura trijstūra laukumu (mēroga, vienādsānu, vienādmalu, taisnleņķa). To var izdarīt, izmantojot sarežģītākus aprēķinus, pie kuriem mēs sīkāk nepakavēsimies.

Trīsstūru laukumi ar specifiskām īpašībām

Kā atrast taisnleņķa trīsstūra laukumu? Šīs figūras iezīme ir tā, ka tās abas puses vienlaikus ir tās augstums. Ja a un b ir kājas un c kļūst par hipotenūzu, tad laukums tiek atrasts šādi:

Kā atrast vienādsānu trīsstūra laukumu? Tam ir divas malas ar garumu a un viena mala ar garumu b. Tāpēc tā laukumu var noteikt, dalot ar 2 malas a kvadrāta reizinājumu ar leņķa γ sinusu.

Kā atrast vienādmalu trīsstūra laukumu? Tajā visu malu garums ir a, un visu leņķu vērtība ir α. Tā augstums ir puse no malas garuma reizinājuma ar kvadrātsakni no 3. Lai atrastu regulāra trīsstūra laukumu, ir nepieciešams malas a kvadrāts, kas reizināts ar kvadrātsakni no 3 un dalīts ar 4.

Trijstūris ir labi pazīstama figūra. Un tas, neskatoties uz bagātīgo formu daudzveidību. Taisnstūrveida, vienādmalu, akūts, vienādsānu, strups. Katrs no tiem ir nedaudz atšķirīgs. Bet jebkuram ir jāzina trīsstūra laukums.

Kopīgas formulas visiem trijstūriem, kas izmanto malu garumus vai augstumus

Tajos pieņemtie apzīmējumi: malas - a, b, c; augstumi attiecīgajās malās uz a, n in, n s.

1. Trijstūra laukumu aprēķina kā ½, malas un uz tā nolaistā augstuma reizinājumu. S = ½ * a * n a. Līdzīgi jāraksta formulas pārējām divām pusēm.

2. Gārņa formula, kurā parādās pusperimetrs (pierasts to apzīmēt ar mazu burtu p, atšķirībā no pilna perimetra). Pusperimetrs jāaprēķina šādi: saskaitiet visas malas un sadaliet tās ar 2. Pusperimetra formula: p \u003d (a + b + c) / 2. Tad vienādība laukumam \ u200b\u200bcipars izskatās šādi: S \u003d √ (p * (p - a) * ( p - c) * (p - c)).

3. Ja nevēlaties izmantot pusperimetru, tad noderēs šāda formula, kurā ir tikai malu garumi: S \u003d ¼ * √ ((a + b + c) * ( b + c - a) * (a + c - c) * (a + b - c)). Tas ir nedaudz garāks nekā iepriekšējais, taču tas palīdzēs, ja esat aizmirsis, kā atrast pusperimetru.

Vispārīgas formulas, kurās parādās trijstūra leņķi

Apzīmējums, kas nepieciešams formulu nolasīšanai: α, β, γ - leņķi. Tie atrodas attiecīgi pretējās pusēs a, b, c.

1. Saskaņā ar to puse no divu malu reizinājuma un leņķa sinusa starp tām ir vienāda ar trīsstūra laukumu. Tas ir: S = ½ a * b * sin γ. Pārējo divu gadījumu formulas jāraksta līdzīgi.

2. Trijstūra laukumu var aprēķināt no vienas malas un trim zināmiem leņķiem. S \u003d (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Ir arī formula ar vienu zināmu malu un diviem leņķiem blakus tai. Tas izskatās šādi: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Pēdējās divas formulas nav no vienkāršākajām. Ir diezgan grūti tos atcerēties.

Vispārīgas formulas situācijai, kad ir zināmi ierakstīto vai ierobežoto apļu rādiusi

Papildus apzīmējumi: r, R — rādiusi. Pirmais tiek izmantots ierakstītā apļa rādiusam. Otrais ir paredzēts aprakstītajam.

1. Pirmā formula, pēc kuras aprēķina trijstūra laukumu, ir saistīta ar pusperimetru. S = r * r. Citā veidā to var uzrakstīt šādi: S \u003d ½ r * (a + b + c).

2. Otrajā gadījumā jums būs jāreizina visas trijstūra malas un jāsadala ar ierobežotā apļa četrkāršo rādiusu. Burtiskā izteiksmē tas izskatās šādi: S \u003d (a * b * c) / (4R).

3. Trešā situācija ļauj iztikt, nezinot malas, bet ir vajadzīgas visu trīs leņķu vērtības. S \u003d 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

Īpašs gadījums: taisnleņķa trīsstūris

Šī ir vienkāršākā situācija, jo ir nepieciešams tikai abu kāju garums. Tos apzīmē ar latīņu burtiem a un b. Taisnstūra trīsstūra laukums ir vienāds ar pusi no tam pievienotā taisnstūra laukuma.

Matemātiski tas izskatās šādi: S = ½ a * b. Viņu ir visvieglāk atcerēties. Tā kā tas izskatās pēc taisnstūra laukuma formulas, parādās tikai daļa, kas apzīmē pusi.

Īpašs gadījums: vienādsānu trīsstūris

Tā kā tā abas malas ir vienādas, dažas tā apgabala formulas izskatās nedaudz vienkāršotas. Piemēram, Herona formulai, kas aprēķina vienādsānu trīsstūra laukumu, ir šāda forma:

S = ½ collas √((a + ½ collas)*(a - ½ collas)).

Ja to pārveidosit, tas kļūs īsāks. Šajā gadījumā Herona formulu vienādsānu trīsstūrim raksta šādi:

S = ¼ in √(4 * a 2 - b 2).

Laukuma formula izskatās nedaudz vienkāršāka nekā patvaļīgam trīsstūrim, ja ir zināmas malas un leņķis starp tām. S \u003d ½ a 2 * sin β.

Īpašs gadījums: vienādmalu trīsstūris

Parasti problēmās par viņu pusi zina vai var kaut kā atpazīt. Tad formula šāda trīsstūra laukuma atrašanai ir šāda:

S = (a 2 √3) / 4.

Uzdevumi laukuma atrašanai, ja trīsstūris ir attēlots uz rūtainā papīra

Visvienkāršākā situācija ir tad, kad taisnleņķa trijstūri uzzīmē tā, lai tā kājas sakrīt ar papīra līnijām. Tad jums vienkārši jāsaskaita šūnu skaits, kas iekļaujas kājās. Pēc tam reiziniet tos un sadaliet ar diviem.

Ja trīsstūris ir akūts vai neass, tas jāvelk līdz taisnstūrim. Tad iegūtajā attēlā būs 3 trīsstūri. Viens ir uzdevumā dotais. Un pārējās divas ir palīgierīces un taisnstūrveida. Pēdējo divu laukumi jānosaka ar iepriekš aprakstīto metodi. Pēc tam aprēķiniet taisnstūra laukumu un atņemiet no tā tos, kas aprēķināti palīgierīcēm. Tiek noteikts trīsstūra laukums.

Daudz grūtāka ir situācija, kad neviena no trijstūra malām nesakrīt ar papīra līnijām. Pēc tam tas jāieraksta taisnstūrī, lai sākotnējās figūras virsotnes atrastos tā sānos. Šajā gadījumā būs trīs papildu taisnleņķa trīsstūri.

Herona formulas problēmas piemērs

Stāvoklis. Dažam trīsstūrim ir malas. Tie ir vienādi ar 3, 5 un 6 cm.Jums jānoskaidro tā platība.

Tagad jūs varat aprēķināt trīsstūra laukumu, izmantojot iepriekš minēto formulu. Zem kvadrātsaknes ir četru skaitļu reizinājums: 7, 4, 2 un 1. Tas ir, laukums ir √ (4 * 14) = 2 √ (14).

Ja jums nav nepieciešama lielāka precizitāte, varat ņemt kvadrātsakni no 14. Tas ir 3,74. Tad laukums būs vienāds ar 7,48.

Atbilde. S \u003d 2 √14 cm 2 vai 7,48 cm 2.

Problēmas piemērs ar taisnleņķa trīsstūri

Stāvoklis. Taisnleņķa trijstūra viena kāja ir par 31 cm garāka nekā otrā. Nepieciešams noskaidrot to garumus, ja trijstūra laukums ir 180 cm 2.
Risinājums. Jums ir jāatrisina divu vienādojumu sistēma. Pirmais ir saistīts ar platību. Otrais ir ar kāju attiecību, kas norādīta problēmā.
180 \u003d ½ a * b;

a \u003d b + 31.
Pirmkārt, "a" vērtība ir jāaizvieto pirmajā vienādojumā. Izrādās: 180 \u003d ½ (in + 31) * collas. Tam ir tikai viens nezināms daudzums, tāpēc to ir viegli atrisināt. Pēc iekavu atvēršanas mēs iegūstam kvadrātvienādojums: in 2 + 31 in - 360 = 0. Tas dod divas vērtības "in": 9 un - 40. Otrais skaitlis nav piemērots kā atbilde, jo trijstūra malas garums nevar būt negatīvs vērtību.

Atliek aprēķināt otro posmu: iegūtajam skaitlim pievieno 31. Izrādās 40. Tie ir uzdevumā meklētie daudzumi.

Atbilde. Trijstūra kājas ir 9 un 40 cm.

Uzdevums atrast malu caur trijstūra laukumu, malu un leņķi

Stāvoklis. Kāda trīsstūra laukums ir 60 cm2. Ir jāaprēķina viena no tās malām, ja otrā mala ir 15 cm un leņķis starp tām ir 30º.

Risinājums. Pamatojoties uz pieņemtajiem apzīmējumiem, vēlamā puse "a", zināmā "b", iepriekš noteikts leņķis"γ". Tad laukuma formulu var pārrakstīt šādi:

60 \u003d ½ a * 15 * sin 30º. Šeit 30 grādu sinuss ir 0,5.

Pēc transformācijām "a" izrādās vienāds ar 60 / (0,5 * 0,5 * 15). Tas ir 16.

Atbilde. Vēlamā mala ir 16 cm.

Taisnleņķa trīsstūrī ierakstīta kvadrāta uzdevums

Stāvoklis. Kvadrāta virsotne ar malu 24 cm sakrīt ar trijstūra taisno leņķi. Pārējie divi guļ uz kājām. Trešais pieder pie hipotenūzas. Vienas kājas garums ir 42 cm. Kāds ir taisnleņķa trijstūra laukums?

Risinājums. Apsveriet divus taisnleņķa trīsstūris. Pirmais ir norādīts uzdevumā. Otrais ir balstīts uz zināmo sākotnējā trīsstūra kāju. Tie ir līdzīgi, jo tiem ir kopīgs leņķis un tos veido paralēlas līnijas.

Tad viņu kāju attiecības ir vienādas. Mazākā trijstūra kājas ir 24 cm (laukuma mala) un 18 cm (dota kāja 42 cm mīnus kvadrāta mala 24 cm). Lielā trīsstūra atbilstošās kājas ir 42 cm un x cm. Tieši šis "x" ir nepieciešams, lai aprēķinātu trīsstūra laukumu.

18/42 \u003d 24 / x, tas ir, x \u003d 24 * 42 / 18 \u003d 56 (cm).

Tad laukums ir vienāds ar 56 un 42 reizinājumu, dalīts ar divi, tas ir, 1176 cm 2.

Atbilde. Vēlamais laukums ir 1176 cm2.

Teritorijas jēdziens

Jebkuras ģeometriskas figūras, jo īpaši trīsstūra, laukuma jēdziens tiks saistīts ar tādu figūru kā kvadrāts. Jebkuras ģeometriskas figūras laukuma vienībai mēs ņemsim kvadrāta laukumu, kura mala ir vienāda ar vienu. Pilnības labad mēs atgādinām divas ģeometrisko formu apgabalu jēdziena pamatīpašības.

1. īpašums: Ja ģeometriskas figūras ir vienādas, arī to platības ir vienādas.

2. īpašums: Jebkuru figūru var iedalīt vairākās figūrās. Turklāt sākotnējās figūras laukums ir vienāds ar visu to figūru laukumu vērtību summu, kas to veido.

Apsveriet piemēru.

1. piemērs

Ir skaidrs, ka viena no trijstūra malām ir taisnstūra diagonāle, kuras vienas malas garums ir $5$ (kopš $5$ šūnām) un otras malas garums ir $6$ (kopš $6$ šūnām). Tāpēc šī trīsstūra laukums būs vienāds ar pusi no šāda taisnstūra. Taisnstūra laukums ir

Tad trīsstūra laukums ir

Atbilde: 15 ASV dolāri.

Tālāk apsveriet vairākas metodes trijstūra laukumu atrašanai, proti, izmantojot augstumu un pamatni, izmantojot Herona formulu un vienādmalu trīsstūra laukumu.

Kā atrast trīsstūra laukumu, izmantojot augstumu un pamatni

1. teorēma

Trijstūra laukumu var atrast kā pusi no malas garuma reizinājuma ar augstumu, kas novilkta uz šo pusi.

Matemātiski tas izskatās šādi

$S=\frac(1)(2)αh$

kur $a$ ir malas garums, $h$ ir tai pievilktais augstums.

Pierādījums.

Apsveriet trīsstūri $ABC$, kur $AC=α$. Augstums $BH$ ir novilkts uz šo pusi un ir vienāds ar $h$. Izveidosim to līdz kvadrātam $AXYC$, kā parādīts 2. attēlā.

Taisnstūra $AXBH$ laukums ir $h\cdot AH$, bet taisnstūra $HBYC$ laukums ir $h\cdot HC$. Tad

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Tāpēc vēlamais trīsstūra laukums saskaņā ar īpašību 2 ir vienāds ar

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Teorēma ir pierādīta.

2. piemērs

Atrodiet trijstūra laukumu zemāk esošajā attēlā, ja šūnas laukums ir vienāds ar vienu

Šī trijstūra pamatne ir $9$ (jo $9$ ir $9$ šūnas). Augstums arī ir 9 USD. Tad ar 1. teorēmu iegūstam

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Atbilde: $ 40,5 $.

Gārņa formula

2. teorēma

Ja mums ir dotas trīs trijstūra malas $α$, $β$ un $γ$, tad tā laukumu var atrast šādi

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

šeit $ρ$ nozīmē šī trīsstūra pusperimetru.

Pierādījums.

Apsveriet šādu attēlu:

Ar Pitagora teorēmu iegūstam no trijstūra $ABH$

No trijstūra $CBH$ saskaņā ar Pitagora teorēmu mums ir

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

No šīm divām attiecībām mēs iegūstam vienlīdzību

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Tā kā $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, tad $α+β+γ=2ρ$, tātad

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Ar 1. teorēmu mēs iegūstam

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$