Trigonometriskās identitātes ir vienādības, kas nosaka attiecības starp viena leņķa sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu, kas ļauj atrast jebkuru no šīm funkcijām, ja ir zināma jebkura cita.
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1
Šī identitāte saka, ka viena leņķa sinusa kvadrāta un viena leņķa kosinusa kvadrāta summa ir vienāda ar vienu, kas praksē ļauj aprēķināt viena leņķa sinusu, ja ir zināms tā kosinuss un otrādi. .
Konvertējot trigonometriskās izteiksmesļoti bieži tiek izmantota šī identitāte, kas ļauj viena leņķa kosinusa un sinusa kvadrātu summu aizstāt ar vienību un arī veikt aizstāšanas darbību apgrieztā secībā.
Pieskares un kotangences atrašana caur sinusu un kosinusu
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace
Šīs identitātes veidojas no sinusa, kosinusa, pieskares un kotangensa definīcijām. Galu galā, ja paskatās, tad pēc definīcijas y ordināta ir sinusa, un x abscisa ir kosinuss. Tad tangenss būs vienāds ar attiecību \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), un attiecība \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- būs kotangenss.
Mēs piebilstam, ka tikai tādiem leņķiem \alpha, kuriem ir jēga tajos iekļautajām trigonometriskajām funkcijām, notiks identitātes, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).
Piemēram: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) ir derīga \alpha leņķiem, kas atšķiras no \frac(\pi)(2)+\pi z, A ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- leņķim \alpha, kas nav \pi z , z ir vesels skaitlis.
Attiecības starp tangensu un kotangensu
tg \alpha \cdot ctg \alpha=1
Šī identitāte ir derīga tikai leņķiem \alpha, kas atšķiras no \frac(\pi)(2) z. Pretējā gadījumā kotangenss vai tangenss netiks noteikts.
Pamatojoties uz iepriekš minētajiem punktiem, mēs to iegūstam tg \alpha = \frac(y)(x), A ctg\alpha=\frac(x)(y). No tā izriet, ka tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Tādējādi viena leņķa tangenss un kotangenss, pie kura tiem ir jēga, ir savstarpēji abpusēji skaitļi.
Attiecības starp tangensu un kosinusu, kotangensu un sinusu
tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- leņķa \alpha un 1 pieskares kvadrāta summa ir vienāda ar šī leņķa kosinusa apgriezto kvadrātu. Šī identitāte ir derīga visiem \alpha, izņemot \frac(\pi)(2)+ \pi z.
1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- 1 un leņķa \alpha kotangensa kvadrāta summa ir vienāda ar dotā leņķa sinusa apgriezto kvadrātu. Šī identitāte ir derīga jebkuram \alpha, izņemot \pi z .
Piemēri ar problēmu risinājumiem, izmantojot trigonometriskās identitātes
1. piemērs
Atrodiet \sin \alpha un tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12 Un \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;
Rādīt risinājumu
Risinājums
Funkcijas \sin \alpha un \cos \alpha ir saistītas ar formulu \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Aizstāšana ar šo formulu \cos \alpha = -\frac12, mēs iegūstam:
\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1
Šim vienādojumam ir 2 risinājumi:
\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3) (2)
Pēc nosacījuma \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Otrajā ceturtdaļā sinuss ir pozitīvs, tātad \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).
Lai atrastu tg \alpha , mēs izmantojam formulu tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3
2. piemērs
Atrodiet \cos \alpha un ctg \alpha if un \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .
Rādīt risinājumu
Risinājums
Aizstāšana formulā \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 nosacīts numurs \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), saņemam \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Šim vienādojumam ir divi risinājumi \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.
Pēc nosacījuma \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Otrajā ceturksnī kosinuss ir negatīvs, tātad \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.
Lai atrastu ctg \alpha , mēs izmantojam formulu ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Mēs zinām atbilstošās vērtības.
ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).
Atsauces dati par tangensu (tg x) un kotangensu (ctg x). Ģeometriskā definīcija, īpašības, grafiki, formulas. Pieskares un kotangenšu tabula, atvasinājumi, integrāļi, sērijas paplašinājumi. Izteiksmes, izmantojot sarežģītus mainīgos. Savienojums ar hiperboliskām funkcijām.
Ģeometriskā definīcija
|BD| - apļa loka garums, kura centrs ir punktā A.
α ir radiānos izteikts leņķis.
Pieskares ( tgα) ir trigonometriska funkcija atkarībā no leņķa α starp hipotenūzu un kāju taisnleņķa trīsstūris, vienāds ar attiecību pretējās kājas garums |BC| līdz blakus esošās kājas garumam |AB| .
Kotangenss ( ctgα) ir trigonometriska funkcija, kas ir atkarīga no leņķa α starp hipotenūzu un taisnleņķa trijstūra kāju, kas vienāda ar blakus esošās kājas garuma attiecību |AB| uz pretējās kājas garumu |BC| .
Pieskares
Kur n- vesels.
Rietumu literatūrā tangensu apzīmē šādi:
.
;
;
.
Pieskares funkcijas grafiks, y = tg x
Kotangenss
Kur n- vesels.
Rietumu literatūrā kotangenss tiek apzīmēts šādi:
.
Ir pieņemts arī šāds apzīmējums:
;
;
.
Kotangences funkcijas grafiks, y = ctg x
Pieskares un kotangences īpašības
Periodiskums
Funkcijas y= tg x un y= ctg x ir periodiski ar periodu π.
Paritāte
Funkcijas tangenss un kotangenss ir nepāra.
Definīcijas un vērtību jomas, augošā, dilstošā
Funkcijas tangenss un kotangenss ir nepārtrauktas savā definīcijas jomā (skatiet nepārtrauktības pierādījumu). Galvenās tangensas un kotangensas īpašības ir parādītas tabulā ( n- vesels skaitlis).
| y= tg x | y= ctg x | |
| Darbības joma un nepārtrauktība | ||
| Vērtību diapazons | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Augošā | - | |
| Dilstoša | - | |
| Ekstrēmi | - | - |
| Nulles, y= 0 | ||
| Krustošanās punkti ar y asi, x = 0 | y= 0 | - |
Formulas
Izteiksmes sinusa un kosinusa izteiksmē
;
;
;
;
;
Formulas summas un starpības tangensam un kotangensam
Piemēram, pārējās formulas ir viegli iegūt
Pieskares reizinājums
Pieskares summas un starpības formula
Šajā tabulā ir parādītas pieskares un kotangenšu vērtības dažām argumenta vērtībām. 
Izteiksmes komplekso skaitļu izteiksmē
Izteiksmes hiperbolisko funkciju izteiksmē
;
;
Atvasinājumi
; .
.
N-tās kārtas atvasinājums attiecībā uz funkcijas mainīgo x:
.
Formulu atvasināšana tangensam > > > ; kotangensam >>>
Integrāļi
Sēriju paplašināšana
Lai iegūtu pieskares izvērsumu x pakāpēs, funkciju pakāpju virknē ir jāņem vairāki izplešanās termini. grēks x Un cos x un sadaliet šos polinomus savā starpā , . Tā rezultātā tiek iegūtas šādas formulas.
plkst.
plkst.
Kur B n- Bernulli skaitļi. Tos nosaka vai nu no atkārtošanās attiecības:
;
;
Kur.
Vai saskaņā ar Laplasa formulu: 
Apgrieztās funkcijas
Apgrieztās funkcijas pieskarei un kotangensam ir attiecīgi arktangenss un arkotangenss.
Arktangents, arktg
, Kur n- vesels.
Loka tangenss, arcctg
, Kur n- vesels.
Atsauces:
I.N. Bronšteins, K.A. Semendjajevs, Matemātikas rokasgrāmata inženieriem un augstskolu studentiem, Lan, 2009.
G. Korns, Matemātikas rokasgrāmata pētniekiem un inženieriem, 2012. gads.
Formulas sinusu un kosinusu summai un starpībai diviem leņķiem α un β ļauj no norādīto leņķu summas pāriet uz leņķu α + β 2 un α - β 2 reizinājumu. Tūlīt mēs atzīmējam, ka jums nevajadzētu jaukt sinusu un kosinusu summas un starpības formulas ar summas un starpības sinusu un kosinusu formulām. Zemāk mēs uzskaitām šīs formulas, sniedzam to atvasinājumus un parādām pielietojuma piemērus konkrētām problēmām.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Formulas sinusu un kosinusu summai un starpībai
Pierakstīsim, kā izskatās sinusu un kosinusu summas un starpības formulas
Sinusu summas un starpības formulas
sin α + grēks β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2
Summu un starpības formulas kosinusiem
cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2, cos α - cos β = 2 sin α + β - 2 α 2
Šīs formulas ir derīgas visiem leņķiem α un β. Leņķus α + β 2 un α - β 2 sauc attiecīgi par leņķu alfa un beta pussummu un pusstarpību. Katrai formulai mēs sniedzam formulējumu.
Sinusu un kosinusu summas un starpības formulu definīcijas
Divu leņķu sinusu summa ir vienāds ar šo leņķu pussummas sinusa un pusatšķirības kosinusa reizinājumu.
Divu leņķu sinusu atšķirība ir vienāds ar šo leņķu pusstarpības sinusa un pussummas kosinusa reizinājumu.
Divu leņķu kosinusu summa ir vienāds ar šo leņķu pussummas kosinusa un pussummas kosinusa reizinājumu.
Divu leņķu kosinusu atšķirība ir vienāds ar šo leņķu pussummas sinusa un pussummas sinusa reizinājumu, kas ņemts ar negatīvu zīmi.
Sinusu un kosinusu summas un starpības formulu atvasināšana
Lai iegūtu formulas divu leņķu sinusa un kosinusa summai un starpībai, tiek izmantotas saskaitīšanas formulas. Mēs tos piedāvājam zemāk
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β cos ( α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Mēs arī attēlojam pašus leņķus kā pussummu un pusstarpību summu.
α = α + β 2 + α - β 2 \u003d α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β \u003d α + β 2 - α - β 2 \u003d α + β 2 - α - β 2 \u003d
Mēs turpinām tieši pie sin un cos summas un starpības formulu atvasināšanas.
Sinusu summas formulas atvasināšana
Summā sin α + sin β mēs aizstājam α un β ar šo leņķu izteiksmēm, kas norādītas iepriekš. gūt
sin α + grēks β = grēks α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2
Tagad pirmajai izteiksmei piemērojam saskaitīšanas formulu, bet otrajai – leņķu atšķirību sinusa formulu (skatiet iepriekš minētās formulas)
sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2
sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α - β 2 = 2 sin α + 2 cos α - β 2
Darbības pārējo formulu atvasināšanai ir līdzīgas.
Sinusu starpības formulas atvasināšana
grēks α - grēks β = grēks α + β 2 + α - β 2 - grēks α + β 2 - α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 - grēks α + β 2 - α - β 2 = grēks α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin β 2 cos α + β 2
Kosinusu summas formulas atvasināšana
cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - cos β α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos β 2 cos α - β 2
Kosinusa starpības formulas atvasināšana
cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - cos β α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2
Praktisku problēmu risināšanas piemēri
Sākumā mēs pārbaudīsim vienu no formulām, aizstājot tajā noteiktas leņķa vērtības. Pieņemsim, ka α = π 2 , β = π 6 . Aprēķināsim šo leņķu sinusu summas vērtību. Pirmkārt, izmantosim pamatvērtību tabulu trigonometriskās funkcijas, un pēc tam pielietojiet sinusu summas formulu.
Piemērs 1. Formulas pārbaude divu leņķu sinusu summai
α \u003d π 2, β \u003d π 6 sin π 2 + sin π 6 \u003d 1 + 1 2 \u003d 3 2 sin π 2 + sin π 6 \u003d 2 sin π π 2 π 2 - 2 6 2 \u003d 2 sin π 3 cos π 6 \u003d 2 3 2 3 2 \u003d 3 2
Tagad aplūkosim gadījumu, kad leņķu vērtības atšķiras no tabulā norādītajām pamatvērtībām. Pieņemsim, ka α = 165°, β = 75°. Aprēķināsim šo leņķu sinusu starpības vērtību.
Piemērs 2. Sinusa starpības formulas pielietošana
α = 165 ° , β = 75 ° grēks α - grēks β = grēks 165 ° - grēks 75 ° grēks 165 - grēks 75 = 2 grēks 165 ° - grēks 75 ° 2 cos 165 ° + grēks 75 ° 2 = = 2 grēks 45 ° cos 120 ° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2
Izmantojot sinusu un kosinusu summas un starpības formulas, varat pāriet no summas vai starpības uz trigonometrisko funkciju reizinājumu. Bieži vien šīs formulas sauc par formulām pārejai no summas uz reizinājumu. Risināšanā plaši tiek izmantotas sinusu un kosinusu summas un starpības formulas trigonometriskie vienādojumi un pārveidojot trigonometriskās izteiksmes.
Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter
Es nepārliecināšu jūs nerakstīt krāpšanās lapas. Rakstiet! Ieskaitot apkrāptu lapas par trigonometriju. Vēlāk plānoju paskaidrot, kāpēc ir vajadzīgas krāpšanās lapas un kā tās ir noderīgas. Un šeit - informācija, kā nemācīt, bet atcerēties dažus trigonometriskās formulas. Tātad - trigonometrija bez krāpšanās lapas!Iegaumēšanai izmantojam asociācijas.
1. Papildināšanas formulas:
kosinuss vienmēr "iet pa pāriem": kosinuss-kosinuss, sine-sinuss.
Un vēl viena lieta: kosinusi ir “neadekvāti”. Viņi “viss ir nepareizi”, tāpēc viņi maina zīmes: “-” uz “+” un otrādi.
Sinusas - "maisījums": sinusa-kosinuss, kosinuss-sinuss.
2. Summu un starpības formulas:
kosinusi vienmēr "iet pa pāriem". Pievienojot divus kosinusus - "bulciņas", iegūstam kosinusu pāri - "koloboks". Un atņemot, mēs noteikti neiegūsim kolobokus. Mēs iegūstam pāris sinusus. Joprojām ar mīnusu priekšā.
Sinusas - "maisījums" :
3. Formulas reizinājuma pārvēršanai summā un starpībā.
Kad mēs iegūstam kosinusu pāri? Pievienojot kosinusus. Tāpēc
Kad mēs iegūstam sinusu pāri? Atņemot kosinusus. No šejienes:
"Sajaukšanu" iegūst gan saskaitot, gan atņemot sinusus. Kas ir jautrāk: pievienošana vai atņemšana? Tieši tā, salieciet. Un formulai pievienojiet:
Pirmajā un trešajā formulā iekavās - summa. No termiņu vietu pārkārtošanas summa nemainās. Secība ir svarīga tikai otrajai formulai. Bet, lai neapjuktu, lai būtu vieglāk atcerēties, visās trīs formulās pirmajās iekavās mēs ņemam atšķirību
un, otrkārt, summa
Gultiņas palagi kabatā sniedz sirdsmieru: ja aizmirstat formulu, varat to norakstīt. Un tie sniedz pārliecību: ja neizdodas izmantot apkrāptu lapu, formulas var viegli atcerēties.
Ir norādītas attiecības starp galvenajām trigonometriskajām funkcijām - sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu. trigonometriskās formulas. Un tā kā starp trigonometriskajām funkcijām ir diezgan daudz savienojumu, tas arī izskaidro trigonometrisko formulu pārpilnību. Dažas formulas savieno viena un tā paša leņķa trigonometriskās funkcijas, citas - vairāku leņķu funkcijas, citas - ļauj pazemināt pakāpi, ceturtās - visas funkcijas izteikt caur pusleņķa tangensu utt.
Šajā rakstā mēs secībā uzskaitām visas pamata trigonometriskās formulas, ar kurām pietiek, lai atrisinātu lielāko daļu trigonometrijas problēmu. Lai atvieglotu iegaumēšanu un lietošanu, mēs tos sagrupēsim atbilstoši to mērķim un ievadīsim tabulās.
Lapas navigācija.
Pamata trigonometriskās identitātes
Galvenā trigonometriskās identitātes iestatiet attiecības starp viena leņķa sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu. Tie izriet no sinusa, kosinusa, pieskares un kotangensa definīcijas, kā arī no vienības apļa jēdziena. Tie ļauj izteikt vienu trigonometrisko funkciju, izmantojot jebkuru citu.
Detalizētu šo trigonometrijas formulu aprakstu, to atvasināšanu un pielietojuma piemērus skatiet rakstā.
Lietās formulas
Lietās formulas izriet no sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta īpašībām, tas ir, tie atspoguļo trigonometrisko funkciju periodiskuma īpašību, simetrijas īpašību, kā arī nobīdes īpašību par noteiktu leņķi. Šīs trigonometriskās formulas ļauj pāriet no darba ar patvaļīgiem leņķiem uz darbu ar leņķiem no nulles līdz 90 grādiem.
Šo formulu pamatojums, mnemoniskais likums to iegaumēšanai un to pielietojuma piemērus var izpētīt rakstā.
Papildināšanas formulas
Trigonometriskās saskaitīšanas formulas parādīt, kā divu leņķu summas vai starpības trigonometriskās funkcijas tiek izteiktas šo leņķu trigonometriskajās funkcijām. Šīs formulas kalpo par pamatu šādu trigonometrisko formulu atvasināšanai.
Formulas dubultā, trīskāršā utt. leņķis
Formulas dubultā, trīskāršā utt. leņķis (tās sauc arī par vairāku leņķu formulām) parāda, kā trigonometriskās funkcijas darbojas dubultā, trīskāršā utt. leņķi () ir izteikti kā viena leņķa trigonometriskās funkcijas. To atvasināšana ir balstīta uz saskaitīšanas formulām.
Detalizētāka informācija ir apkopota rakstu formulās par dubulto, trīskāršo utt. leņķis.
Pusleņķa formulas
Pusleņķa formulas parādīt, kā pusleņķa trigonometriskās funkcijas tiek izteiktas ar vesela skaitļa leņķa kosinusu. Šīs trigonometriskās formulas izriet no dubultā leņķa formulām.
To secinājumi un pielietojuma piemēri ir atrodami rakstā.
Samazināšanas formulas
Trigonometriskās formulas pakāpēm ir izstrādāti, lai atvieglotu pāreju no trigonometrisko funkciju dabiskajiem pakāpēm uz sinusiem un kosinusiem pirmajā pakāpē, bet vairākos leņķos. Citiem vārdiem sakot, tie ļauj samazināt trigonometrisko funkciju pilnvaras uz pirmo.
Formulas trigonometrisko funkciju summai un starpībai
Galvenais mērķis trigonometrisko funkciju summas un starpības formulas sastāv no pārejas uz funkciju reizinājumu, kas ir ļoti noderīgi, vienkāršojot trigonometriskās izteiksmes. Šīs formulas tiek plaši izmantotas arī trigonometrisko vienādojumu risināšanā, jo tās ļauj faktorēt sinusu un kosinusu summu un starpību.
Formulas sinusu, kosinusu un sinusa pēc kosinusa reizinājuma
Pāreju no trigonometrisko funkciju reizinājuma uz summu vai starpību veic, izmantojot formulas sinusu, kosinusu un sinusa reizinājumam ar kosinusu.
Autortiesības pieder gudriem studentiem
Visas tiesības aizsargātas.
Aizsargā autortiesību likums. Nevienu www.vietnes daļu, ieskaitot iekšējos materiālus un ārējo dizainu, nedrīkst reproducēt vai izmantot bez iepriekšējas rakstiskas autortiesību īpašnieka atļaujas.
