Kompleksie integrāļi

Šis raksts pabeidz tēmu par nenoteiktajiem integrāļiem, un tajā ir iekļauti integrāļi, kurus es uzskatu par diezgan sarežģītiem. Nodarbība tika izveidota pēc vairākkārtēja apmeklētāju lūguma, kuri izteica vēlmi, lai vietnē tiktu analizēti sarežģītāki piemēri.

Tiek pieņemts, ka šī teksta lasītājs ir labi sagatavojies un zina, kā pielietot integrācijas pamatmetodes. Manekeniem un cilvēkiem, kuri nav ļoti pārliecināti par integrāļiem, vajadzētu atsaukties uz pašu pirmo nodarbību - Nenoteikts integrālis. Risinājumu piemēri kur var apgūt tēmu gandrīz no nulles. Pieredzējuši studenti var iepazīties ar integrācijas paņēmieniem un metodēm, kas manos rakstos vēl nav sastaptas.

Kādi integrāļi tiks ņemti vērā?

Pirmkārt, mēs aplūkojam integrāļus ar saknēm, kuru risināšanai mēs secīgi izmantojam mainīgā aizstāšana Un integrācija pa daļām. Tas ir, vienā piemērā divas metodes ir apvienotas vienlaikus. Un vēl vairāk.

Tad iepazīsimies ar interesantu un oriģinālu metode integrāļa reducēšanai uz sevi. Šādā veidā tiek atrisināts ne tik maz integrāļu.

Trešais programmas numurs būs komplekso daļskaitļu integrāļi, kas iepriekšējos rakstos lidoja garām kases aparātam.

Ceturtkārt, tiks analizēti papildu integrāļi no trigonometriskajām funkcijām. Jo īpaši ir metodes, kas ļauj izvairīties no laikietilpīgas universālas trigonometriskās aizstāšanas.

(2) Integrandā mēs dalām skaitītāju ar saucēja vārdu ar terminu.

(3) Mēs izmantojam nenoteiktā integrāļa linearitātes īpašību. Pēdējā integrālī nekavējoties novietojiet funkciju zem diferenciāļa zīmes.

(4) Mēs ņemam atlikušos integrāļus. Ņemiet vērā, ka logaritmā varat izmantot iekavas, nevis moduli, jo .

(5) Mēs veicam apgriezto aizstāšanu, izsakot no tiešās aizstāšanas "te":

Mazohistiski studenti var atšķirt atbildi un iegūt sākotnējo integrandu, kā es tikko darīju. Nē, nē, es pārbaudīju pareizajā nozīmē =)

Kā redzams, risinājuma gaitā bija jāizmanto pat vairāk nekā divas risinājuma metodes, tāpēc, lai tiktu galā ar šādiem integrāļiem, nepieciešamas pārliecinošas integrācijas prasmes un ne mazākā pieredze.

Praksē, protams, kvadrātsakne ir izplatītāka, šeit ir trīs piemēri neatkarīgs lēmums:

2. piemērs

Atrast nenoteikts integrālis

3. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

4. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Šie piemēri ir viena veida, tāpēc pilnais risinājums raksta beigās būs tikai 2. piemēram, 3.-4. piemēros - viena atbilde. Kādu aizstājēju izmantot lēmumu pieņemšanas sākumā, manuprāt, ir skaidrs. Kāpēc es izvēlējos tāda paša veida piemērus? Bieži sastopams viņu lomās. Biežāk, iespējams, tikai kaut kas līdzīgs .

Bet ne vienmēr, kad zem arktangensa, sinusa, kosinusa, eksponenta un citām funkcijām ir sakne lineārā funkcija, ir nepieciešams piemērot vairākas metodes vienlaikus. Vairākos gadījumos ir iespējams “nokāpt viegli”, tas ir, uzreiz pēc nomaiņas tiek iegūts vienkāršs integrālis, kas tiek ņemts elementāri. Vienkāršākais no iepriekš piedāvātajiem uzdevumiem ir 4. piemērs, kurā pēc aizstāšanas tiek iegūts salīdzinoši vienkāršs integrālis.

Integrāļa reducēšanas metode uz sevi

Gudra un skaista metode. Apskatīsim žanra klasiku:

5. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Zem saknes ir kvadrātveida binomiāls, un, mēģinot integrēt šo piemēru, tējkanna var ciest stundām ilgi. Šādu integrāli ņem pa daļām un reducē uz sevi. Principā tas nav grūti. Ja zini kā.

Apzīmēsim aplūkoto integrāli ar latīņu burtu un sāksim risinājumu:

Integrēšana pa daļām:

(1) Mēs sagatavojam integrandu dalīšanai pa terminiem.

(2) Mēs sadalām integrandu ar terminu. Varbūt ne visi saprot, es uzrakstīšu sīkāk:

(3) Mēs izmantojam nenoteiktā integrāļa linearitātes īpašību.

(4) Mēs ņemam pēdējo integrāli ("garo" logaritmu).

Tagad apskatīsim pašu risinājuma sākumu:

Un nobeigumam:

Kas notika? Mūsu manipulāciju rezultātā integrālis ir reducēts uz sevi!

Pielīdziniet sākumu un beigas:

Pārbraucam uz kreiso pusi ar zīmes maiņu:

Un mēs nojaucam divnieku uz labo pusi. Rezultātā:

Konstante, stingri ņemot, bija jāpievieno agrāk, bet es to pievienoju beigās. Es ļoti iesaku izlasīt šeit, kāda ir smaguma pakāpe:

Piezīme: Precīzāk, risinājuma pēdējais posms izskatās šādi:

Tādējādi:

Konstanti var pārdēvēt ar . Kāpēc jūs varat pārdēvēt? Jo tas joprojām prasa jebkura vērtības, un šajā ziņā nav atšķirības starp konstantēm un.
Rezultātā:

Līdzīgs triks ar pastāvīgu pārdēvēšanu tiek plaši izmantots diferenciālvienādojumi. Un tur es būšu stingrs. Un te šādas brīvības es pieļauju tikai tāpēc, lai nesajauktu jūs ar liekām lietām un pievērstos pašai integrācijas metodei.

6. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Vēl viens tipisks neatkarīga risinājuma integrāls. Pilnīgs risinājums un atbilde nodarbības beigās. Atšķirība ar iepriekšējā piemēra atbildi būs!

Ja zem kvadrātsakne atrodas kvadrātveida trinomāls, tad risinājums jebkurā gadījumā tiek samazināts līdz diviem analizētiem piemēriem.

Piemēram, apsveriet integrāli . Viss, kas jums jādara, ir iepriekš atlasiet pilnu kvadrātu:
.
Tālāk tiek veikta lineāra nomaiņa, kas izdodas "bez jebkādām sekām":
, kā rezultātā veidojas integrālis . Kaut kas pazīstams, vai ne?

Vai šis piemērs ar kvadrātveida binomiālu:
Pilna kvadrāta atlase:
Un pēc lineāras aizstāšanas iegūstam integrāli , ko arī atrisina jau aplūkotais algoritms.

Apsveriet vēl divus tipiskus piemērus, kā reducēt integrāli uz sevi:
ir eksponenta integrālis, kas reizināts ar sinusu;
ir eksponenta integrālis, kas reizināts ar kosinusu.

Norādītajos integrāļos pa daļām jums būs jāintegrē jau divas reizes:

7. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Integrands ir eksponents, kas reizināts ar sinusu.

Mēs integrējam pa daļām divreiz un samazinām integrāli uz sevi:

Dubultās integrācijas pa daļām rezultātā integrālis tiek reducēts uz sevi. Pielīdziniet risinājuma sākumu un beigas:

Mēs pārejam uz kreiso pusi ar zīmes maiņu un izsakām savu integrāli:

Gatavs. Pa ceļam vēlams izķemmēt labo pusi, t.i. izņemiet eksponentu no iekavām un ievietojiet sinusu un kosinusu iekavās “skaistajā” secībā.

Tagad atgriezīsimies pie piemēra sākuma vai drīzāk pie integrācijas pa daļām:

Jo mēs esam norādījuši izstādes dalībnieku. Rodas jautājums, tieši eksponents vienmēr ir jāapzīmē ar ? Nav nepieciešams. Faktiski aplūkotajā integrālī principiāli nav nozīmes, ko apzīmēt, varētu iet arī citādi:

Kāpēc tas ir iespējams? Tā kā eksponents pārvēršas par sevi (diferencējot un integrējot), sinuss un kosinuss savstarpēji pārvēršas viens otrā (atkal gan diferencējot, gan integrējot).

Tas nozīmē, ka var apzīmēt arī trigonometrisko funkciju. Bet aplūkotajā piemērā tas ir mazāk racionāli, jo parādīsies frakcijas. Ja vēlaties, varat mēģināt atrisināt šo piemēru otrā veidā, atbildēm jābūt vienādām.

8. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Šis ir “dari pats” piemērs. Pirms lēmuma pieņemšanas padomājiet par to, ko šajā gadījumā ir izdevīgāk apzīmēt eksponenciālai vai trigonometriskai funkcijai? Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Un, protams, neaizmirstiet, ka lielāko daļu atbilžu šajā nodarbībā ir diezgan viegli pārbaudīt, diferencējot!

Piemēri netika uzskatīti par grūtākajiem. Praksē biežāk sastopami integrāļi, kur konstante ir gan eksponentā, gan trigonometriskās funkcijas argumentā, piemēram: . Daudziem cilvēkiem nāksies apjukt šādā integrālī, un es pats bieži apjūku. Fakts ir tāds, ka risinājumā ir liela varbūtība, ka parādīsies frakcijas, un ir ļoti viegli kaut ko zaudēt neuzmanības dēļ. Turklāt zīmēs ir liela kļūdu iespējamība, ņemiet vērā, ka eksponentā ir mīnusa zīme, un tas rada papildu grūtības.

Pēdējā posmā bieži izrādās kaut kas līdzīgs šim:

Pat risinājuma beigās jums jābūt ārkārtīgi uzmanīgam un pareizi jārīkojas ar frakcijām:

Sarežģītu frakciju integrēšana

Mēs lēnām tuvojamies nodarbības ekvatoram un sākam apsvērt daļskaitļu integrāļus. Atkal, ne visi no tiem ir ļoti sarežģīti, tikai viena vai otra iemesla dēļ piemēri citos rakstos bija nedaudz “nepatīkami”.

Turpinot sakņu tēmu

9. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Saucējā zem saknes ir kvadrātveida trinomināls plus ārpus saknes "pielikums" "x" formā. Šīs formas integrālis tiek atrisināts, izmantojot standarta aizstāšanu.

Mēs nolemjam:

Aizvietošana šeit ir vienkārša:

Skatoties uz dzīvi pēc nomaiņas:

(1) Pēc aizstāšanas mēs reducējam terminus zem saknes līdz kopsaucējam.
(2) Mēs to izņemam no saknes.
(3) Mēs samazinām skaitītāju un saucēju par . Tajā pašā laikā zem saknes es pārkārtoju terminus ērtā secībā. Ar zināmu pieredzi, darbības (1), (2) var izlaist, veicot komentētās darbības mutiski.
(4) Iegūtais integrālis, kā jūs atceraties no nodarbības Dažu frakciju integrācija, ir atrisināts ekstrakcijas metode pilns kvadrāts . Atlasiet pilnu kvadrātu.
(5) Integrējot mēs iegūstam parastu "garu" logaritmu.
(6) Mēs veicam apgriezto nomaiņu. Ja sākotnēji , tad atpakaļ: .
(7) Pēdējā darbība ir vērsta uz rezultāta frizūru: zem saknes mēs atkal apvienojam terminus līdz kopsaucējam un izņemam tos no saknes.

10. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Šis ir “dari pats” piemērs. Šeit vienīgajam x tiek pievienota konstante, un aizstāšana ir gandrīz tāda pati:

Vienīgais, kas jādara papildus, ir izteikt "x" no aizstāšanas:

Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Dažreiz šādā integrālī zem saknes var būt kvadrātveida binomiāls, tas nemaina risinājuma veidu, tas būs pat vienkāršāk. Sajūti atšķirību:

11. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

12. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Īsi risinājumi un atbildes nodarbības beigās. Jāatzīmē, ka 11. piemērs ir tieši tāds binominālais integrālis, kuras risināšanas metode tika aplūkota nodarbībā Iracionālo funkciju integrāļi.

2. pakāpes nesadalāma polinoma integrālis līdz pakāpei

(polinoms saucējā)

Retāk, bet tomēr tikšanās praktiski piemēri integrāļa veids.

13. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Bet atpakaļ pie piemēra ar laimīgo skaitli 13 ( godīgi, neuzminēju). Šis integrālis ir arī no to kategorijas, ar kurām jūs varat ciest, ja nezināt, kā to atrisināt.

Risinājums sākas ar mākslīgu transformāciju:

Domāju, ka visi jau saprot, kā dalīt skaitītāju ar saucēja vārdu ar terminu.

Iegūtais integrālis tiek ņemts pa daļām:

Formas integrālim ( – dabiskais skaitlis) atvasināts atkārtojas pazemināšanas formula:
, Kur ir zemākas pakāpes integrālis.

Pārbaudīsim šīs formulas derīgumu atrisinātajam integrālim.
Šajā gadījumā: , , mēs izmantojam formulu:

Kā redzat, atbildes ir vienādas.

14. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Šis ir “dari pats” piemērs. Parauga šķīdumā iepriekšminētā formula tiek izmantota divas reizes pēc kārtas.

Ja zem grāda ir nesadalāms kvadrātveida trinomu, tad risinājums tiek reducēts līdz binomam, izvelkot pilnu kvadrātu, piemēram:

Ko darīt, ja skaitītājā ir papildu polinoms? Šajā gadījumā tiek izmantota nenoteikto koeficientu metode, un integrands tiek izvērsts daļskaitļu summā. Bet manā praksē šādu piemēru nekad nav satikušies, tāpēc es izlaidu šo gadījumu rakstā Daļskaitļa-racionālas funkcijas integrāļi, es to tagad izlaidīšu. Ja šāds integrālis joprojām parādās, skatiet mācību grāmatu - tur viss ir vienkārši. Neuzskatu par lietderīgu iekļaut materiālu (pat vienkāršu), ar kuru satikšanās varbūtība tiecas uz nulli.

Sarežģītu trigonometrisko funkciju integrācija

Īpašības vārds "grūti" lielākajā daļā piemēru atkal lielā mērā ir nosacīts. Sāksim ar tangensiem un kotangensiem augstas pakāpes. No pieskares atrisināšanai izmantoto metožu viedokļa un kotangenss ir gandrīz vienādas, tāpēc es vairāk runāšu par tangensu, proti, demonstrētā integrāļa risināšanas metode ir derīga arī kotangensam.

Iepriekš minētajā nodarbībā mēs apskatījām universāla trigonometriskā aizstāšana lai atrisinātu noteikta veida integrāļus no trigonometriskās funkcijas. Universālās trigonometriskās aizstāšanas trūkums ir tāds, ka tās izmantošana bieži rada apgrūtinošus integrāļus ar sarežģītiem aprēķiniem. Un dažos gadījumos var izvairīties no universālās trigonometriskās aizstāšanas!

Apsveriet vēl vienu kanonisku piemēru, vienotības integrāli, kas dalīts ar sinusu:

17. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Šeit jūs varat izmantot universālo trigonometrisko aizstāšanu un iegūt atbildi, taču ir arī racionālāks veids. Es sniegšu pilnīgu risinājumu ar komentāriem katram solim:

(1) Izmantošana trigonometriskā formula dubultā leņķa sinuss.
(2) Veicam mākslīgo pārveidošanu: saucējā dalām un reizinam ar .
(3) Saskaņā ar labi zināmo formulu saucējā mēs daļu pārvēršam par tangensu.
(4) Mēs novietojam funkciju zem diferenciāļa zīmes.
(5) Mēs ņemam integrāli.

Daži vienkārši piemēri, ko atrisināt patstāvīgi:

18. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Padoms: pats pirmais solis ir izmantot samazināšanas formulu un rūpīgi veiciet darbības, kas līdzīgas iepriekšējam piemēram.

19. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Nu, šis ir ļoti vienkāršs piemērs.

Pilnīgi risinājumi un atbildes nodarbības beigās.

Es domāju, ka tagad nevienam nebūs problēmu ar integrāļiem:
un tā tālāk.

Kāda ir metodes ideja? Ideja ir izmantot transformācijas, trigonometriskās formulas, lai sakārtotu tikai pieskares un pieskares atvasinājumu integrandā. Tas ir, mēs runājam par aizstāšanu: . 17.–19. piemēros mēs faktiski izmantojām šo aizstāšanu, taču integrāļi bija tik vienkārši, ka tas tika izdarīts ar līdzvērtīgu darbību - funkciju ievietojot zem diferenciālzīmes.

Līdzīgu argumentāciju, kā jau minēju, var veikt kotangensam.

Iepriekš minētās aizstāšanas piemērošanai ir arī formāls priekšnoteikums:

Kosinusa un sinusa pakāpju summa ir negatīvs vesels PĀR skaitlis, Piemēram:

integrālim, vesels skaitlis, negatīvs PĀR skaitlis.

! Piezīme : ja integrands satur TIKAI sinusu vai TIKAI kosinusu, tad integrālis tiek ņemts pat ar negatīvu nepāra pakāpi (vienkāršākie gadījumi ir piemēros Nr. 17, 18).

Apsveriet dažus nozīmīgākus šī noteikuma uzdevumus:

20. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Sinusa un kosinusa pakāpju summa: 2 - 6 \u003d -4 - negatīvs vesels skaitlis PĀRĀTS, kas nozīmē, ka integrāli var reducēt līdz tangensiem un tā atvasinājumam:

(1) Pārveidosim saucēju.
(2) Saskaņā ar labi zināmo formulu mēs iegūstam .
(3) Pārveidosim saucēju.
(4) Mēs izmantojam formulu .
(5) Mēs novietojam funkciju zem diferenciālzīmes.
(6) Mēs veicam nomaiņu. Pieredzējuši studenti var neveikt nomaiņu, bet tomēr labāk ir aizstāt tangensu ar vienu burtu - ir mazāks sajaukšanas risks.

21. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Šis ir “dari pats” piemērs.

Turies, sākas čempionāta kārtas =)

Bieži vien integrandā ir "savienojums":

22. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Šis integrālis sākotnēji satur tangensu, kas uzreiz liek domāt par jau pazīstamu domu:

Mākslīgo pārveidošanu atstāšu pašā sākumā un pārējos soļus bez komentāriem, jo ​​viss jau ir teikts iepriekš.

Pāris radošu piemēru neatkarīgam risinājumam:

23. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

24. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Jā, tajos, protams, var pazemināt sinusa, kosinusa pakāpes, izmantot universālo trigonometrisko aizstāšanu, taču risinājums būs daudz efektīvāks un īsāks, ja to zīmēs caur tangentēm. Pilns risinājums un atbildes nodarbības beigās

Logaritmu integrāļi

Integrācija pa daļām. Risinājumu piemēri

Risinājums.

Piem.

Aprēķināt integrāli:

Pielietojot integrāļa īpašības (linearitāti), ᴛ.ᴇ. , reducēt uz tabulas integrāli, mēs to iegūstam

Sveiks atkal. Šodien nodarbībā mācīsimies integrēt pa daļām. Integrācijas pa daļām metode ir ϶ᴛᴏ viens no integrāļa aprēķina stūrakmeņiem. Pārbaudē, eksāmenā studentam gandrīz vienmēr tiek piedāvāts atrisināt šādu veidu integrāļus: vienkāršākais integrālis (skat. rakstuNenoteikts integrālis. Risinājumu piemēri ) vai integrāli, lai mainītu mainīgo (skat. rakstuMainīgo izmaiņu metode nenoteiktā integrālā ) vai integrālis tikai ieslēgts integrācijas metode pa daļām.

Kā vienmēr, pie rokas jābūt: Integrāļu tabula Un Atvasinājumu tabula. Ja jums to joprojām nav, lūdzu, apmeklējiet manas vietnes pieliekamo: Matemātiskās formulas un tabulas. Man neapniks atkārtot - labāk visu izdrukāt. Es centīšos visu materiālu pasniegt konsekventi, vienkārši un pieejamā veidā, nav īpašu grūtību integrēt pa daļām.

Kādu problēmu atrisina integrācija pa daļām? Integrācijas pa daļām metode atrisina ļoti svarīgs uzdevums, tas ļauj integrēt dažas funkcijas, kas nav tabulā, strādāt funkcijas, un dažos gadījumos - un privātās. Kā mēs atceramies, nav ērtas formulas: . Bet ir šāda: - formula integrācijai pa daļām personīgi. Es zinu, es zinu, jūs esat vienīgais - ar viņu mēs strādāsim visu stundu (tas jau ir vieglāk).

Un uzreiz saraksts studijā. Detaļās tiek ņemti šādu veidu integrāļi:

1) , - logaritms, logaritms reizināts ar kādu polinomu.

2) , ir eksponenciāla funkcija, kas reizināta ar kādu polinomu. Tas ietver arī integrāļus, piemēram, eksponenciālu funkciju, kas reizināta ar polinomu, bet praksē tas ir 97 procenti, zem integrāļa mirdz skaists burts ʼʼеʼʼ. ... raksts izrādās kaut kas lirisks, ak jā ... pavasaris ir atnācis.

3) ir trigonometriskas funkcijas, kas reizinātas ar kādu polinomu.

4) , ir apgrieztas trigonometriskas funkcijas (ʼʼarchesʼʼ), ʼʼarchesʼʼ, kas reizinātas ar kādu polinomu.

Arī dažas frakcijas tiek ņemtas pa daļām, mēs arī detalizēti apsvērsim atbilstošos piemērus.

1. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli.

Klasika. Ik pa laikam šo integrāli var atrast tabulās, taču nav vēlams izmantot gatavu atbildi, jo skolotājam pavasarī ir beriberi un viņš daudz lamās. Tā kā aplūkojamais integrālis nekādā gadījumā nav tabulas veidā - tas tiek ņemts pa daļām. Mēs nolemjam:

Mēs pārtraucam risinājumu starpposma skaidrojumiem.

Mēs izmantojam formulu integrēšanai pa daļām:

Logaritmu integrāļi - jēdziens un veidi. Kategorijas "Logaritmu integrāļi" klasifikācija un pazīmes 2017, 2018.

Antiderivatīvu ("integrāļu") tabula. Integrāļu tabula. Tabulas nav noteikti integrāļi. (Vienkāršie integrāļi un integrāļi ar parametru). Formulas integrēšanai pa daļām. Ņūtona-Leibnica formula.

Antiderivatīvu ("integrāļu") tabula. Tabulas nenoteiktie integrāļi. (Vienkāršie integrāļi un integrāļi ar parametru).
Jaudas funkcijas neatņemama sastāvdaļa.	Jaudas funkcijas neatņemama sastāvdaļa.
Integrālis, kas reducējas par jaudas funkcijas integrāli, ja x tiek virzīts zem diferenciāļa zīmes.
	Eksponenciālais integrālis, kur a ir nemainīgs skaitlis.
Sarežģītas eksponenciālās funkcijas integrālis.	Eksponenciālās funkcijas integrālis.
Integrālis, kas vienāds ar naturālo logaritmu.	Integrālis: "Garais logaritms".
	Integrālis: "Garais logaritms".
Integrālis: "Augsts logaritms".	Rezultātā integrālis, kur x skaitītājā ir novietots zem diferenciāļa zīmes (konstante zem zīmes var būt gan saskaitāma, gan atņemta), ir līdzīgs integrālim, kas vienāds ar naturālo logaritmu.
Integrālis: "Augsts logaritms".
Kosinusa integrālis.	Sinusa integrālis.
Integrālis, kas vienāds ar tangensu.	Integrālis, kas vienāds ar kotangensu.
Integrālis, kas vienāds gan ar arcsinusu, gan arsinusu
Integrālis, kas vienāds gan ar apgriezto, gan ar apgriezto kosinusu.	Integrālis, kas vienāds gan ar loka tangensu, gan loka kotangensu.
Integrālis ir vienāds ar kosekantu.	Integrālis vienāds ar sekantu.
Integrālis, kas vienāds ar arkekantu.	Integrālis, kas vienāds ar loka kosekantu.
Integrālis, kas vienāds ar arkekantu.	Integrālis, kas vienāds ar arkekantu.
Integrālis, kas vienāds ar hiperbolisko sinusu.	Integrālis, kas vienāds ar hiperbolisko kosinusu.
Integrālis, kas vienāds ar hiperbolisko sinusu, kur sinhx ir hiperboliskais sinuss angļu valodā.	Integrālis, kas vienāds ar hiperbolisko kosinusu, kur sinhx ir hiperboliskais sinuss angļu valodas versijā.
Integrālis, kas vienāds ar hiperbolisko tangensu.	Integrālis, kas vienāds ar hiperbolisko kotangensu.
Integrālis, kas vienāds ar hiperbolisko sekantu.	Integrālis, kas vienāds ar hiperbolisko kosekantu.

Formulas integrēšanai pa daļām. Integrācijas noteikumi.

Formulas integrēšanai pa daļām. Ņūtona-Leibnica formula Integrācijas noteikumi.
Produkta (funkcijas) integrācija ar konstanti:
Funkciju summas integrācija:
nenoteiktie integrāļi:
Integrācija pēc detaļu formulas noteikti integrāļi:
Ņūtona-Leibnica formula noteikti integrāļi:	Kur F(a), F(b) ir antiatvasinājumu vērtības attiecīgi punktos b un a.

Atvasinājumu tabula. Tabulu atvasinājumi. Produkta atvasinājums. Privātā atvasinājums. Atvasinājums sarežģīta funkcija.

Ja x ir neatkarīgs mainīgais, tad:

Atvasinājumu tabula. Tabulu atvasinājumi. "tabulas atvasinājums" - jā, diemžēl, tie tiek meklēti internetā
	Jaudas funkcijas atvasinājums
	Eksponenta atvasinājums
Saliktas eksponenciālās funkcijas atvasinājums	Eksponenciālās funkcijas atvasinājums
Logaritmiskās funkcijas atvasinājums	Dabiskā logaritma atvasinājums
	Funkcijas naturālā logaritma atvasinājums
Sinusa atvasinājums	kosinusa atvasinājums
Kosekanta atvasinājums	Sekants atvasinājums
Arksīna atvasinājums	Loka kosinusa atvasinājums
Arksīna atvasinājums	Loka kosinusa atvasinājums
Pieskares atvasinājums	Kotangentes atvasinājums
Loka tangentes atvasinājums	Apgrieztās tangensas atvasinājums
Loka tangentes atvasinājums	Apgrieztās tangensas atvasinājums
Arcsekanta atvasinājums	Loka kosekanta atvasinājums
Arcsekanta atvasinājums	Loka kosekanta atvasinājums
Hiperboliskā sinusa atvasinājums Hiperboliskā sinusa atvasinājums angļu valodas versijā	Hiperboliskā kosinusa atvasinājums Hiperboliskā kosinusa atvasinājums angļu valodas versijā
Hiperboliskās tangensas atvasinājums	Hiperboliskā kotangenta atvasinājums
Hiperboliskā sekanta atvasinājums	Hiperboliskā kosekanta atvasinājums

Diferencēšanas noteikumi. Produkta atvasinājums. Privātā atvasinājums. Sarežģītas funkcijas atvasinājums.
Produkta (funkcijas) atvasinājums no konstantes:
Summas atvasinājums (funkcijas):
Produkta (funkciju) atvasinājums:
Koeficienta (funkciju) atvasinājums:
Sarežģītas funkcijas atvasinājums:

Logaritmu īpašības. Logaritmu pamatformulas. Decimālskaitļi (lg) un naturālie logaritmi (ln).

Pamatlogaritmiskā identitāte
Parādīsim, kā jebkuru formas a b funkciju var padarīt eksponenciālu. Tā kā funkciju ar formu e x sauc par eksponenciālu, tad
Jebkuru formas a b funkciju var attēlot kā desmit pakāpju

Naturālais logaritms ln (logaritma bāze e = 2,718281828459045…) ln(e)=1; log(1)=0

Teilora sērija. Funkcijas paplašināšana Teilora sērijā.

Izrādās, ka lielākā daļa praktiski notiek matemātiskās funkcijas var attēlot ar jebkuru precizitāti noteikta punkta tuvumā pakāpju rindas veidā, kas satur mainīgā pakāpes augošā secībā. Piemēram, punkta x=1 tuvumā:

Lietojot rindas sauc Teilora rindas, jauktas funkcijas, kas satur, piemēram, algebriskas, trigonometriskas un eksponenciālas funkcijas, var izteikt kā tīri algebriskas funkcijas. Ar sēriju palīdzību bieži vien var ātri veikt diferenciāciju un integrāciju.

Teilora sērijai punkta a tuvumā ir šādas formas:

1) , kur f(x) ir funkcija, kurai ir visu secību atvasinājumi pie x=a. R n — Teilora sērijas atlikušo terminu nosaka izteiksme

2)

rindas k-to koeficientu (pie x k) nosaka pēc formulas

3) Īpašs Teilora sērijas gadījums ir Maclaurin sērija (= McLaren) (sadalīšanās notiek ap punktu a=0)

ja a=0

sērijas dalībniekus nosaka pēc formulas

Teilora sērijas piemērošanas nosacījumi.

1. Lai funkcija f(x) tiktu izvērsta Teilora sērijā uz intervāla (-R;R), ir nepieciešams un pietiekami, ka Teilora formulas (Maklaurīns (=McLaren)) atlikušais termins. funkcijai ir tendence uz nulli pie k →∞ norādītajā intervālā (-R;R).

2. Nepieciešams, lai vietā, kuras tuvumā mēs veidosim Teilora sēriju, būtu šīs funkcijas atvasinājumi.

Teilora sērijas īpašības.

Ja f ir analītiska funkcija, tad tās Teilora sērija jebkurā f apgabala punktā a saplūst ar f kādā a apkārtnē.

Ir bezgalīgi diferencējamas funkcijas, kuru Teilora rinda saplūst, bet atšķiras no funkcijas jebkurā a apkārtnē. Piemēram:

Teilora sērijas tiek izmantotas aproksimācijā (tuvinājums - zinātniska metode, kas sastāv no dažu objektu aizstāšanas ar citiem, vienā vai otrā nozīmē tuvu oriģinālam, bet vienkāršākām) funkcijām ar polinomiem. Jo īpaši linearizācija ((no linearis - lineāra), viena no slēgtu nelineāro sistēmu aptuvenās attēlošanas metodēm, kurā nelineāras sistēmas izpēte tiek aizstāta ar lineāras sistēmas analīzi, kas savā ziņā ir līdzvērtīga oriģinālajai. .) vienādojumu izvēršana notiek, izvēršot Teilora sēriju un nogriežot visus terminus, kas minēti pirmajā secībā.

Tādējādi gandrīz jebkuru funkciju var attēlot kā polinomu ar noteiktu precizitāti.

Dažu izplatītu jaudas funkciju paplašinājumu piemēri Maclaurin sērijās (=McLaren,Taylor 0 punkta tuvumā) un Teilors 1. punkta tuvumā. Teilora un MacLaren sēriju galveno funkciju izvēršanas pirmie termini.

Dažu izplatītu jaudas funkciju paplašinājumu piemēri Maclaurin sērijā (= MacLaren, Taylor 0 punkta tuvumā)

Dažu izplatītu Teilora sērijas paplašinājumu piemēri ap 1. punktu

Integrācija pa daļām. Risinājumu piemēri

Sveiks atkal. Šodien nodarbībā mācīsimies integrēt pa daļām. Integrācijas pa daļām metode ir viens no integrālrēķina stūrakmeņiem. Ieskaitē, eksāmenā studentam gandrīz vienmēr tiek piedāvāts atrisināt šāda veida integrāļus: vienkāršākais integrālis (skat. rakstu) vai integrāli, lai mainītu mainīgo (skat. rakstu) vai integrālis tikai ieslēgts integrācijas metode pa daļām.

Kā vienmēr, pie rokas jābūt: Integrāļu tabula Un Atvasinājumu tabula. Ja jums to joprojām nav, lūdzu, apmeklējiet manas vietnes noliktavu: Matemātiskās formulas un tabulas. Man neapniks atkārtot - labāk visu izdrukāt. Es centīšos visu materiālu pasniegt konsekventi, vienkārši un pieejamā veidā, nav īpašu grūtību integrēt pa daļām.

Kādu problēmu atrisina integrācija pa daļām? Integrācijas metode pa daļām atrisina ļoti svarīgu problēmu, tā ļauj integrēt dažas funkcijas, kuras nav tabulā, strādāt funkcijas, un dažos gadījumos - un privātās. Kā mēs atceramies, nav ērtas formulas: . Bet ir šis: ir formula integrēšanai pa daļām personīgi. Es zinu, es zinu, jūs esat vienīgais - ar viņu mēs strādāsim visu stundu (tas jau ir vieglāk).

Un uzreiz saraksts studijā. Detaļās tiek ņemti šādu veidu integrāļi:

1) , , - logaritms, logaritms reizināts ar kādu polinomu.

2) ,ir eksponenciāla funkcija, kas reizināta ar kādu polinomu. Tas ietver arī tādus integrāļus kā - eksponenciāla funkcija, kas reizināta ar polinomu, bet praksē tas ir 97 procenti, zem integrāļa mirdz glīts burts “e”. ... raksts izrādās kaut kas lirisks, ak jā ... pavasaris ir atnācis.

3) , , ir trigonometriskas funkcijas, kas reizinātas ar kādu polinomu.

4) , - apgrieztas trigonometriskās funkcijas (“arkas”), “arkas”, reizinātas ar kādu polinomu.

Arī dažas frakcijas tiek ņemtas pa daļām, mēs arī detalizēti apsvērsim atbilstošos piemērus.

Logaritmu integrāļi

1. piemērs

Klasika. Ik pa laikam šo integrāli var atrast tabulās, taču nav vēlams izmantot gatavu atbildi, jo skolotājam pavasarī ir beriberi un viņš daudz lamās. Tā kā aplūkojamais integrālis nekādā gadījumā nav tabulas veidā - tas tiek ņemts pa daļām. Mēs nolemjam:

Mēs pārtraucam risinājumu starpposma skaidrojumiem.

Mēs izmantojam formulu integrēšanai pa daļām:

Formula tiek piemērota no kreisās puses uz labo

Mēs skatāmies uz kreiso pusi:. Acīmredzot mūsu piemērā (un visos citos, ko mēs apsvērsim) kaut kas ir jāapzīmē ar , bet kaut kas ir jāapzīmē ar .

Aplūkojamā tipa integrāļos mēs vienmēr apzīmējam logaritmu.

Tehniski risinājuma dizains tiek realizēts šādi, ailē rakstām:

Tas ir, jo mēs apzīmējām logaritmu, un - atlikušo daļu integrand.

Nākamais solis: atrodiet diferenciāli:

Diferenciālis ir gandrīz tāds pats kā atvasinājums, mēs jau apspriedām, kā to atrast iepriekšējās nodarbībās.

Tagad mēs atrodam funkciju. Lai atrastu funkciju, ir jāintegrē labā puse zemāka vienlīdzība:

Tagad atveram risinājumu un izveidojam formulas labo pusi: .
Starp citu, šeit ir gala risinājuma piemērs ar nelielām piezīmēm:

Vienīgais moments produktā, uzreiz pārkārtoju un, tā kā ir pieņemts reizinātāju rakstīt pirms logaritma.

Kā redzat, integrācijas pa daļām formulas piemērošana būtībā samazināja mūsu risinājumu līdz diviem vienkāršiem integrāļiem.

Lūdzu, ņemiet vērā, ka dažos gadījumos uzreiz pēc Izmantojot formulu, vienkāršošana obligāti tiek veikta zem atlikušā integrāļa - aplūkotajā piemērā integrandu samazinājām ar "x".

Veiksim pārbaudi. Lai to izdarītu, jums ir jāņem atbildes atvasinājums:

Tiek iegūts sākotnējais integrands, kas nozīmē, ka integrālis ir atrisināts pareizi.

Pārbaudes laikā mēs izmantojām produktu diferenciācijas noteikumu: . Un tā nav nejaušība.

Integrācija pēc detaļu formulas un formula Šie ir divi savstarpēji apgriezti noteikumi.

2. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli.

Integrands ir logaritma un polinoma reizinājums.
Mēs izlemjam.

Es vēlreiz sīki aprakstīšu noteikuma piemērošanas procedūru, turpmāk piemēri tiks izklāstīti īsāk, un, ja jums pašam rodas grūtības to atrisināt, jums jāatgriežas pie pirmajiem diviem nodarbības piemēriem. .

Kā jau minēts, ir nepieciešams norādīt logaritmu (tam, ka tas ir pakāpē, nav nozīmes). Mēs apzīmējam atlikušo daļu integrand.

Mēs rakstām kolonnā:

Vispirms atrodam diferenciāli:

Šeit mēs izmantojam sarežģītas funkcijas diferenciācijas likumu . Tā nav nejaušība, ka pašā pirmajā tēmas nodarbībā Nenoteikts integrālis. Risinājumu piemēri Es koncentrējos uz to, ka, lai apgūtu integrāļus, jums ir "jāpieņem roka" uz atvasinājumiem. Atvasinājumi būs jāsaskaras vairāk nekā vienu reizi.

Tagad mēs atrodam funkciju, lai to integrētu labā puse zemāka vienlīdzība:

Integrācijai mēs izmantojām vienkāršāko tabulas formulu

Tagad esat gatavs piemērot formulu . Mēs to atveram ar "zvaigznīti" un "izstrādājam" risinājumu saskaņā ar labo pusi:

Zem integrāļa mums atkal ir logaritma polinoms! Tāpēc risinājums atkal tiek pārtraukts un otrreiz tiek piemērots integrācijas pa daļām noteikums. Neaizmirstiet, ka līdzīgās situācijās vienmēr tiek apzīmēts logaritms.

Būtu jauki, ja šajā brīdī jūs varētu mutiski atrast vienkāršākos integrāļus un atvasinājumus.

(1) Neapmulsieties zīmēs! Ļoti bieži šeit tiek pazaudēts mīnuss, ņemiet vērā arī to, ka ir spēkā mīnuss visiem kronšteins , un šīs kronšteini ir pareizi jāatver.

(2) Izvērsiet kronšteinus. Mēs vienkāršojam pēdējo integrāli.

(3) Mēs ņemam pēdējo integrāli.

(4) Atbildes “ķemmēšana”.

Nepieciešamība divreiz (vai pat trīsreiz) piemērot integrācijas noteikumu pa daļām nav nekas neparasts.

Un tagad daži piemēri neatkarīgam risinājumam:

3. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli.

Šis piemērs ir atrisināts, mainot mainīgo metodi (vai summējot zem diferenciālzīmes)! Un kāpēc gan ne - var mēģināt ņemt pa daļām, sanāk smieklīga lieta.

4. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli.

Bet šis integrālis ir integrēts pa daļām (solītā daļa).

Tie ir piemēri pašrisināšanai, risinājumi un atbildes nodarbības beigās.

Šķiet, ka piemēros 3,4 integrāļi ir līdzīgi, bet risināšanas metodes atšķiras! Tieši tā ir galvenā integrāļu apgūšanas grūtība - ja integrāļa risināšanai izvēlaties nepareizu metodi, tad ar to varat knibināt stundām ilgi, tāpat kā ar īstu mīklu. Tāpēc, jo vairāk risināsi dažādus integrāļus, jo labāk, jo vieglāk būs ieskaite un eksāmens. Turklāt otrajā gadā būs diferenciālvienādojumi, un bez pieredzes integrāļu un atvasinājumu risināšanā tur nav ko darīt.

Pēc logaritmiem, iespējams, vairāk nekā pietiekami. Uzkodām varu atcerēties arī to, ka tehnoloģiju studenti sieviešu krūtis sauc par logaritmiem =). Starp citu, ir noderīgi zināt no galvas galvenā grafika elementāras funkcijas: sinuss, kosinuss, loka tangenss, eksponenciāls, trešās, ceturtās pakāpes polinomi utt. Nē, protams, prezervatīvs uz zemeslodes
Nevilkšu, bet tagad daudz ko atcerēsies no sadaļas Grafiki un funkcijas =).

Eksponenta integrāļi, kas reizināti ar polinomu

Vispārējs noteikums:

5. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli.

Izmantojot pazīstamo algoritmu, mēs integrējam pa daļām:

Ja jums ir kādas grūtības ar integrāli, jums vajadzētu atgriezties pie raksta Mainīgo izmaiņu metode nenoteiktā integrālā.

Vienīgais, kas jādara, ir "ķemmēt" atbildi:

Bet, ja jūsu aprēķinu tehnika nav ļoti laba, atstājiet izdevīgāko variantu kā atbildi. vai pat

Tas ir, piemērs tiek uzskatīts par atrisinātu, kad tiek ņemts pēdējais integrālis. Tā nebūs kļūda, cita lieta, ko skolotājs var lūgt, lai atbildi vienkāršotu.

6. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli.

Šis ir “dari pats” piemērs. Šis integrālis ir integrēts divreiz pa daļām. Īpaša uzmanība vajadzētu pievērst uzmanību zīmēm - tajās ir viegli apjukt, to arī atceramies - sarežģīta funkcija.

Par izstādes dalībnieku daudz vairāk nav ko teikt. Varu tikai piebilst, ka eksponenciālais un naturālais logaritms ir savstarpēji apgrieztas funkcijas, tas esmu es par augstākās matemātikas izklaidējošu grafiku tēmu =) Stop-stop, neuztraucies, pasniedzējs ir prātīgs.

Trigonometrisko funkciju integrāļi, kas reizināti ar polinomu

Vispārējs noteikums: vienmēr apzīmē polinomu

7. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli.

Integrēšana pa daļām:

Hmm... un nav ko komentēt.

8. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Šis ir “dari pats” risinājuma piemērs

9. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Vēl viens piemērs ar daļskaitli. Tāpat kā divos iepriekšējos piemēros, polinoms tiek apzīmēts ar.

Integrēšana pa daļām:

Ja ir kādas grūtības vai pārpratums ar integrāļa atrašanu, tad iesaku apmeklēt nodarbību Trigonometrisko funkciju integrāļi.

10. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Šis ir “dari pats” piemērs.

Padoms: pirms lietojat integrācijas pa daļām metodi, jums jāpiemēro kāda trigonometriskā formula, kas pārvērš divu trigonometrisko funkciju reizinājumu vienā funkcijā. Formulu var izmantot arī integrācijas metodes pielietošanas gaitā pa daļām, kam tas ir ērtāk.

Tas, iespējams, ir viss šajā punktā. Nez kāpēc atcerējos rindiņu no Fizikas un matemātikas katedras himnas “Un pa abscisu asi iet sinusa grafika vilnis pēc viļņa” ....

Apgriezto trigonometrisko funkciju integrāļi.
Apgriezto trigonometrisko funkciju integrāļi, kas reizināti ar polinomu

Vispārējs noteikums: vienmēr apzīmē apgriezto trigonometrisko funkciju.

Atgādinu, ka apgrieztās trigonometriskās funkcijas ietver arkosīnu, arkosīnu, arktangensu un arkotangensu. Īsuma labad es tās saukšu par "arkām"