Studējot algebru in vispārizglītojošā skola(9. klase) Viena no svarīgākajām tēmām ir skaitļu secību izpēte, kas ietver progresijas - ģeometrisko un aritmētisko. Šajā rakstā mēs aplūkosim aritmētisko progresiju un piemērus ar risinājumiem.

Kas ir aritmētiskā progresija?

Lai to saprastu, ir jādod aplūkojamās progresijas definīcija, kā arī jādod pamatformulas, kuras turpmāk tiks izmantotas problēmu risināšanā.

Aritmētiskā jeb ir tāda sakārtotu racionālu skaitļu kopa, kuras katrs dalībnieks no iepriekšējā atšķiras ar kādu nemainīgu vērtību. Šo vērtību sauc par starpību. Tas ir, zinot jebkuru sakārtotas skaitļu sērijas dalībnieku un atšķirību, jūs varat atjaunot visu aritmētisko progresiju.

Ņemsim piemēru. Nākamā skaitļu secība būs aritmētiskā progresija: 4, 8, 12, 16, ..., jo šajā gadījumā atšķirība ir 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Bet skaitļu kopu 3, 5, 8, 12, 17 vairs nevar attiecināt uz aplūkoto progresēšanas veidu, jo atšķirība tai nav nemainīga vērtība (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Svarīgas formulas

Tagad mēs sniedzam galvenās formulas, kas būs nepieciešamas, lai atrisinātu problēmas, izmantojot aritmētiskā progresija. Apzīmē ar simbolu a n n-tais termiņš sekvences, kur n ir vesels skaitlis. Atšķirību apzīmē ar latīņu burtu d. Tad šādi izteicieni ir patiesi:

1. Lai noteiktu n-tā vārda vērtību, ir piemērota formula: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. Lai noteiktu pirmo n vārdu summu: S n = (a n + a 1)*n/2.

Lai saprastu aritmētiskās progresijas piemērus ar risinājumu 9. klasē, pietiek atcerēties šīs divas formulas, jo jebkuras aplūkojamā veida problēmas ir balstītas uz to izmantošanu. Tāpat neaizmirstiet, ka progresijas starpību nosaka pēc formulas: d = a n - a n-1 .

1. piemērs: Nezināma dalībnieka atrašana

Mēs sniedzam vienkāršu aritmētiskās progresijas piemēru un formulas, kas jāizmanto, lai atrisinātu.

Lai ir dota secība 10, 8, 6, 4, ..., tajā jāatrod pieci termini.

Jau no uzdevuma nosacījumiem izriet, ka ir zināmi pirmie 4 termini. Piekto var definēt divos veidos:

1. Vispirms aprēķināsim starpību. Mums ir: d = 8 - 10 = -2. Līdzīgi varētu pieņemt jebkurus divus citus terminus, kas stāv blakus. Piemēram, d = 4 - 6 = -2. Tā kā ir zināms, ka d \u003d a n - a n-1, tad d \u003d a 5 - a 4, no kurienes mēs iegūstam: a 5 = a 4 + d. Mēs aizstājam zināmās vērtības: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Otrajai metodei ir nepieciešamas arī zināšanas par attiecīgās progresijas atšķirību, tāpēc vispirms tā ir jānosaka, kā parādīts iepriekš (d = -2). Zinot, ka pirmais vārds a 1 = 10, mēs izmantojam secības n skaitļa formulu. Mums ir: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Aizstājot n = 5 pēdējā izteiksmē, mēs iegūstam: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Kā redzat, abi risinājumi rada vienu un to pašu rezultātu. Ņemiet vērā, ka šajā piemērā progresijas starpība d ir negatīva. Šādas secības sauc par dilstošām, jo ​​katrs nākamais termiņš ir mazāks par iepriekšējo.

2. piemērs: progresēšanas atšķirība

Tagad nedaudz sarežģīsim uzdevumu, sniegsim piemēru, kā atrast aritmētiskās progresijas starpību.

Ir zināms, ka kādā algebriskā progresijā 1. termins ir vienāds ar 6, bet 7. loceklis ir vienāds ar 18. Ir jāatrod atšķirība un jāatjauno šī secība uz 7. terminu.

Nezināmā vārda noteikšanai izmantosim formulu: a n = (n - 1) * d + a 1 . Mēs tajā aizstājam zināmos datus no nosacījuma, tas ir, skaitļus a 1 un 7, mums ir: 18 \u003d 6 + 6 * d. No šīs izteiksmes jūs varat viegli aprēķināt atšķirību: d = (18 - 6) / 6 = 2. Tādējādi tika atbildēts uz problēmas pirmo daļu.

Lai atjaunotu secību uz 7. locekli, jums jāizmanto algebriskās progresijas definīcija, tas ir, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d utt. Rezultātā mēs atjaunojam visu secību: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 un 7 = 18.

3. piemērs: virzība uz priekšu

Ļaujiet mums vēl vairāk sarežģīt problēmas stāvokli. Tagad jums ir jāatbild uz jautājumu, kā atrast aritmētisko progresiju. Mēs varam sniegt šādu piemēru: ir doti divi skaitļi, piemēram, 4 un 5. Ir nepieciešams veikt algebrisko progresiju, lai starp tiem ietilptu vēl trīs skaitļi.

Pirms uzsākt šīs problēmas risināšanu, ir jāsaprot, kādu vietu dotie skaitļi ieņems turpmākajā progresijā. Tā kā starp tiem būs vēl trīs termini, tad 1 \u003d -4 un 5 \u003d 5. Kad tas ir konstatēts, mēs pārejam pie uzdevuma, kas ir līdzīgs iepriekšējam. Atkal, n-tajam terminam mēs izmantojam formulu, mēs iegūstam: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. No: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Šeit atšķirība nav vesela skaitļa vērtība, bet gan racionāls skaitlis, tāpēc algebriskās progresijas formulas paliek nemainīgas.

Tagad pievienosim atrasto starpību 1 un atjaunosim progresijas trūkstošos dalībniekus. Mēs iegūstam: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u003d kas sakrita ar problēmas stāvokli.

4. piemērs: pirmais progresijas dalībnieks

Mēs turpinām sniegt piemērus aritmētiskajai progresijai ar risinājumu. Visos iepriekšējos uzdevumos bija zināms pirmais algebriskās progresijas skaitlis. Tagad apsveriet cita veida uzdevumu: doti divi skaitļi, kur 15 = 50 un 43 = 37. Jāatrod, no kura skaitļa sākas šī secība.

Līdz šim izmantotās formulas pieņem zināšanas par 1 un d. Par šiem skaitļiem problēmas stāvoklī nekas nav zināms. Tomēr uzrakstīsim izteiksmes katram terminam, par kuru mums ir informācija: a 15 = a 1 + 14 * d un a 43 = a 1 + 42 * d. Mēs saņēmām divus vienādojumus, kuros ir 2 nezināmi lielumi (a 1 un d). Tas nozīmē, ka problēma tiek reducēta līdz lineāro vienādojumu sistēmas atrisināšanai.

Norādīto sistēmu ir visvieglāk atrisināt, ja katrā vienādojumā izsakāt 1 un pēc tam salīdzināt iegūtās izteiksmes. Pirmais vienādojums: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; otrais vienādojums: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Pielīdzinot šīs izteiksmes, mēs iegūstam: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, no kurienes atšķirība d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (tiek dotas tikai 3 zīmes aiz komata).

Zinot d, varat izmantot jebkuru no 2 iepriekš minētajām izteiksmēm 1. Piemēram, vispirms: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Ja ir šaubas par rezultātu, to var pārbaudīt, piemēram, noteikt 43. progresijas dalībnieku, kas norādīts nosacījumā. Mēs iegūstam: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Neliela kļūda ir saistīta ar to, ka aprēķinos tika izmantota noapaļošana līdz tūkstošdaļām.

5. piemērs: Summa

Tagad apskatīsim dažus piemērus ar risinājumiem aritmētiskās progresijas summai.

Dota šādas formas skaitliskā progresija: 1, 2, 3, 4, ...,. Kā aprēķināt šo skaitļu 100 summu?

Pateicoties attīstībai datortehnoloģijas jūs varat atrisināt šo problēmu, tas ir, secīgi saskaitīt visus skaitļus, ko dators darīs, tiklīdz persona nospiež taustiņu Enter. Taču problēmu var atrisināt garīgi, ja pievērš uzmanību tam, ka uzrādītā skaitļu virkne ir algebriska progresija, un tās starpība ir 1. Piemērojot summas formulu, iegūstam: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Interesanti atzīmēt, ka šo problēmu sauc par "Gausa", jo in XVIII sākums gadsimta slavenais vācietis, vēl būdams tikai 10 gadus vecs, spēja to savā prātā atrisināt dažu sekunžu laikā. Zēns nezināja algebriskās progresijas summas formulu, taču viņš pamanīja, ka, ja jūs pievienojat skaitļu pārus, kas atrodas secības malās, jūs vienmēr iegūstat to pašu rezultātu, tas ir, 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., un, tā kā šīs summas būs tieši 50 (100 / 2), tad, lai iegūtu pareizo atbildi, pietiek ar 50 reizināt ar 101.

6. piemērs: terminu summa no n līdz m

Vēl viens tipisks aritmētiskās progresijas summas piemērs ir šāds: ja dota skaitļu virkne: 3, 7, 11, 15, ..., jums jāatrod, kāda būs tās vārdu summa no 8 līdz 14.

Problēma tiek atrisināta divos veidos. Pirmais no tiem ietver nezināmu terminu atrašanu no 8 līdz 14 un pēc tam to secīgu apkopošanu. Tā kā terminu ir maz, šī metode nav pietiekami darbietilpīga. Tomēr tiek piedāvāts šo problēmu atrisināt ar otro metodi, kas ir universālāka.

Ideja ir iegūt formulu algebriskās progresijas summai starp terminiem m un n, kur n > m ir veseli skaitļi. Abos gadījumos mēs rakstām divas summas izteiksmes:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Tā kā n > m, ir skaidrs, ka 2 summa ietver pirmo. Pēdējais secinājums nozīmē, ka, ja mēs ņemam starpību starp šīm summām, un pievienojam tai terminu a m (starpības ņemšanas gadījumā to atņem no summas S n), tad mēs iegūstam nepieciešamo problēmas atbildi. Mums ir: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). Šajā izteiksmē ir jāaizstāj formulas n un m. Tad mēs iegūstam: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Rezultātā iegūtā formula ir nedaudz apgrūtinoša, tomēr summa S mn ir atkarīga tikai no n, m, a 1 un d. Mūsu gadījumā a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Aizstājot šos skaitļus, mēs iegūstam: S mn = 301.

Kā redzams no iepriekš minētajiem risinājumiem, visas problēmas ir balstītas uz n-tā termina izteiksmes un pirmo terminu kopas summas formulas zināšanām. Pirms sākat risināt kādu no šīm problēmām, ieteicams rūpīgi izlasīt nosacījumu, skaidri saprast, ko vēlaties atrast, un tikai tad turpināt risinājumu.

Vēl viens padoms ir tiekties pēc vienkāršības, tas ir, ja varat atbildēt uz jautājumu, neizmantojot sarežģītus matemātiskos aprēķinus, tad jums tas jādara, jo šajā gadījumā kļūdas iespējamība ir mazāka. Piemēram, aritmētiskās progresijas piemērā ar risinājumu Nr. 6 varētu apstāties pie formulas S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, un sadaliet vispārējo uzdevumu atsevišķos apakšuzdevumos (šajā gadījumā vispirms atrodiet terminus a n un a m).

Ja rodas šaubas par iegūto rezultātu, ieteicams to pārbaudīt, kā tas tika darīts dažos sniegtajos piemēros. Kā atrast aritmētisko progresiju, noskaidrots. Kad jūs to izdomājat, tas nav tik grūti.

Jā, jā: aritmētiskā progresija tev nav rotaļlieta :)

Nu, draugi, ja jūs lasāt šo tekstu, tad iekšējie vāciņu pierādījumi man saka, ka jūs joprojām nezināt, kas ir aritmētiskā progresija, bet jūs patiešām (nē, piemēram: TŪLĪGI!) vēlaties zināt. Tāpēc nemocīšu jūs ar gariem ievadiem un uzreiz ķeršos pie lietas.

Sākumā pāris piemēri. Apsveriet vairākas skaitļu kopas:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Kas kopīgs visiem šiem komplektiem? No pirmā acu uzmetiena nekas. Bet patiesībā ir kaut kas. Proti: katrs nākamais elements atšķiras no iepriekšējā ar tādu pašu numuru.

Spriediet paši. Pirmajā komplektā ir tikai secīgi skaitļi, katrs vairāk nekā iepriekšējā. Otrajā gadījumā starpība starp blakus esošajiem skaitļiem jau ir vienāda ar pieciem, taču šī atšķirība joprojām ir nemainīga. Trešajā gadījumā vispār ir saknes. Tomēr $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, savukārt $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, t.i. tādā gadījumā katrs nākamais elements vienkārši palielinās par $\sqrt(2)$ (un nebaidieties, ka šis skaitlis ir neracionāls).

Tātad: visas šādas secības sauc tikai par aritmētisko progresiju. Sniegsim stingru definīciju:

Definīcija. Skaitļu secību, kurā katrs nākamais atšķiras no iepriekšējā tieši ar tādu pašu summu, sauc par aritmētisko progresiju. Pati summa, par kādu skaitļi atšķiras, tiek saukta par progresijas starpību un visbiežāk tiek apzīmēta ar burtu $d$.

Apzīmējums: $\left(((a)_(n)) \right)$ ir pati progresija, $d$ ir tās atšķirība.

Un tikai dažas svarīgas piezīmes. Pirmkārt, tiek ņemta vērā tikai progresēšana sakārtots ciparu secība: tos ir atļauts lasīt stingri tādā secībā, kādā tie ir rakstīti - un nekas cits. Jūs nevarat pārkārtot vai apmainīt numurus.

Otrkārt, pati secība var būt gan ierobežota, gan bezgalīga. Piemēram, kopa (1; 2; 3) acīmredzami ir ierobežota aritmētiskā progresija. Bet, ja jūs uzrakstāt kaut ko līdzīgu (1; 2; 3; 4; ...) - tā jau ir bezgalīga progresija. Elipse aiz četrinieka it kā liecina, ka diezgan daudz skaitļu iet tālāk. Bezgala daudz, piemēram. :)

Es arī vēlos atzīmēt, ka progresēšana palielinās un samazinās. Mēs jau esam redzējuši pieaugošus - tas pats komplekts (1; 2; 3; 4; ...). Tālāk ir sniegti progresēšanas samazināšanās piemēri:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Labi, labi: pēdējais piemērs var šķist pārāk sarežģīts. Bet pārējo, manuprāt, jūs saprotat. Tāpēc mēs ieviešam jaunas definīcijas:

Definīcija. Aritmētisko progresiju sauc:

1. palielinās, ja katrs nākamais elements ir lielāks par iepriekšējo;
2. samazinās, ja, gluži pretēji, katrs nākamais elements ir mazāks par iepriekšējo.

Turklāt ir tā sauktās "stacionārās" sekvences - tās sastāv no viena un tā paša atkārtojoša skaitļa. Piemēram, (3; 3; 3; ...).

Atliek tikai viens jautājums: kā atšķirt pieaugošu progresu no samazinoša? Par laimi, šeit viss ir atkarīgs tikai no skaitļa $d$ zīmes, t.i. progresēšanas atšķirības:

1. Ja $d \gt 0$, tad progresija pieaug;
2. Ja $d \lt 0$, tad progresija acīmredzami samazinās;
3. Visbeidzot, ir gadījums $d=0$ — šajā gadījumā visa progresija tiek reducēta līdz stacionārai identisku skaitļu secībai: (1; 1; 1; 1; ...) utt.

Mēģināsim aprēķināt starpību $d$ trim iepriekš minētajām lejupejošām progresijām. Lai to izdarītu, pietiek paņemt jebkurus divus blakus elementus (piemēram, pirmo un otro) un atņemt no skaitļa labajā pusē un skaitļa kreisajā pusē. Tas izskatīsies šādi:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Kā redzat, visos trīs gadījumos atšķirība patiešām izrādījās negatīva. Un tagad, kad esam vairāk vai mazāk izdomājuši definīcijas, ir pienācis laiks izdomāt, kā tiek aprakstītas progresijas un kādas īpašības tām piemīt.

Progresijas un atkārtošanās formulas dalībnieki

Tā kā mūsu secību elementus nevar apmainīt, tos var numurēt:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \pa labi\)\]

Atsevišķus šīs kopas elementus sauc par progresijas dalībniekiem. Tie tiek norādīti šādā veidā ar skaitļa palīdzību: pirmais dalībnieks, otrais dalībnieks utt.

Turklāt, kā mēs jau zinām, blakus esošie progresijas locekļi ir saistīti ar formulu:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Labā bultiņa ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Īsāk sakot, lai atrastu progresijas $n$. daļu, jums jāzina $n-1$. termins un atšķirība $d$. Šādu formulu sauc par atkārtotu, jo ar tās palīdzību jūs varat atrast jebkuru skaitli, tikai zinot iepriekšējo (un faktiski visus iepriekšējos). Tas ir ļoti neērti, tāpēc ir sarežģītāka formula, kas samazina visus aprēķinus līdz pirmajam terminam un starpībai:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

Jūs, iespējams, jau esat saskāries ar šo formulu. Viņiem patīk to dot visādās uzziņu grāmatās un rešebņikos. Un jebkurā saprātīgā matemātikas mācību grāmatā tā ir viena no pirmajām.

Tomēr es iesaku jums nedaudz trenēties.

Uzdevums numurs 1. Pierakstiet pirmos trīs aritmētiskās progresijas vārdus $\left(((a)_(n)) \right)$, ja $((a)_(1))=8,d=-5$.

Risinājums. Tātad, mēs zinām pirmo terminu $((a)_(1))=8$ un progresijas starpību $d=-5$. Izmantosim tikko doto formulu un aizstāsim $n=1$, $n=2$ un $n=3$:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(līdzināt)\]

Atbilde: (8; 3; -2)

Tas ir viss! Ņemiet vērā, ka mūsu attīstība samazinās.

Protams, $n=1$ nevarēja aizstāt - mēs jau zinām pirmo terminu. Tomēr, nomainot vienību, mēs pārliecinājāmies, ka mūsu formula darbojas pat pirmajā termiņā. Citos gadījumos viss nonāca līdz banālai aritmētikai.

2. uzdevums. Uzrakstiet pirmos trīs aritmētiskās progresijas vārdus, ja tās septītais loceklis ir –40 un septiņpadsmitais ir –50.

Risinājums. Mēs rakstām problēmas stāvokli parastajos terminos:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(līdzināt) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(līdzināt) \pa labi.\]

\[\left\( \begin(līdzināt) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(līdzināt) \pa labi.\]

Es ieliku sistēmas zīmi, jo šīs prasības ir jāizpilda vienlaikus. Un tagad mēs atzīmējam, ka, ja mēs atņemam pirmo vienādojumu no otrā vienādojuma (mums ir tiesības to darīt, jo mums ir sistēma), mēs iegūstam šo:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(līdzināt)\]

Tieši tāpat mēs atklājām progresa atšķirību! Atliek aizstāt atrasto skaitli jebkurā no sistēmas vienādojumiem. Piemēram, pirmajā:

\[\begin(matrica) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matrica)\]

Tagad, zinot pirmo terminu un atšķirību, atliek atrast otro un trešo terminu:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(līdzināt)\]

Gatavs! Problēma atrisināta.

Atbilde: (-34; -35; -36)

Ievērojiet kādu dīvainu progresijas īpašību, ko mēs atklājām: ja ņemam $n$th un $m$th vārdus un atņemam tos vienu no otra, mēs iegūstam progresijas starpību, kas reizināta ar skaitli $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Vienkāršs, bet ļoti noderīgs īpašums, kas noteikti jāzina – ar tā palīdzību jūs varat ievērojami paātrināt daudzu progresēšanas problēmu risinājumu. Šeit ir lielisks piemērs tam:

Uzdevums numurs 3. Aritmētiskās progresijas piektais loceklis ir 8,4, bet desmitais ir 14,4. Atrodiet šīs progresijas piecpadsmito termiņu.

Risinājums. Tā kā $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$ un mums ir jāatrod $((a)_(15))$, mēs atzīmējam sekojošo:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(līdzināt)\]

Bet pēc nosacījuma $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, tātad $5d=6$, no kurienes mums ir:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(līdzināt)\]

Atbilde: 20.4

Tas ir viss! Mums nebija jāveido vienādojumu sistēmas un jāaprēķina pirmais termins un starpība - viss tika izšķirts tikai pāris rindās.

Tagad aplūkosim cita veida problēmu - negatīvo un pozitīvo progresijas dalībnieku meklēšanu. Nav noslēpums, ka, ja progresija palielinās, kamēr tās pirmais termiņš ir negatīvs, tad agri vai vēlu tajā parādīsies pozitīvi termini. Un otrādi: progresēšanas samazināšanās nosacījumi agrāk vai vēlāk kļūs negatīvi.

Tajā pašā laikā ne vienmēr ir iespējams atrast šo brīdi “uz pieres”, secīgi šķirojot elementus. Bieži problēmas tiek veidotas tā, ka, nezinot formulas, aprēķini aizņemtu vairākas lapas - mēs vienkārši aizmigtu, līdz atrastu atbildi. Tāpēc mēs centīsimies šīs problēmas atrisināt ātrāk.

Uzdevums numurs 4. Cik negatīvu vārdu aritmētiskajā progresijā -38,5; -35,8; …?

Risinājums. Tātad $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, no kā mēs uzreiz atrodam atšķirību:

Ņemiet vērā, ka atšķirība ir pozitīva, tāpēc progresēšana palielinās. Pirmais termins ir negatīvs, tāpēc patiešām kādā brīdī mēs paklupsim uz pozitīviem skaitļiem. Jautājums tikai, kad tas notiks.

Mēģināsim noskaidrot: cik ilgi (t.i., līdz kādam naturālajam skaitlim $n$) saglabājas terminu negatīvisms:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(n)) \lt 0\labā bultiņa ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \pa labi. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Labā bultiņa ((n)_(\max ))=15. \\ \end(līdzināt)\]

Pēdējā rindiņa ir jāprecizē. Tātad mēs zinām, ka $n \lt 15\frac(7)(27)$. No otras puses, mums der tikai veselas skaitļa vērtības (turklāt: $n\in \mathbb(N)$), tāpēc lielākais pieļaujamais skaitlis ir tieši $n=15$ un nekādā gadījumā 16.

Uzdevums numurs 5. Aritmētiskajā progresijā $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Atrodiet šīs progresijas pirmā pozitīvā termiņa skaitli.

Šī būtu tieši tāda pati problēma kā iepriekšējā, taču mēs nezinām $((a)_(1))$. Bet blakus termini ir zināmi: $((a)_(5))$ un $((a)_(6))$, tāpēc mēs varam viegli atrast progresijas atšķirību:

Turklāt mēģināsim izteikt piekto terminu pirmā un starpības izteiksmē, izmantojot standarta formulu:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(līdzināt)\]

Tagad mēs rīkojamies pēc analoģijas ar iepriekšējo problēmu. Mēs uzzinām, kurā mūsu secības punktā parādīsies pozitīvi skaitļi:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Labā bultiņa ((n)_(\min ))=56. \\ \end(līdzināt)\]

Šīs nevienādības minimālais veselais skaitļa risinājums ir skaitlis 56.

Lūdzu, ņemiet vērā, ka pēdējā uzdevumā viss tika samazināts līdz stingrai nevienlīdzībai, tāpēc opcija $n=55$ mums nederēs.

Tagad, kad esam iemācījušies atrisināt vienkāršas problēmas, pāriesim pie sarežģītākām. Bet vispirms apgūsim vēl vienu ļoti noderīgu aritmētiskās progresijas īpašību, kas nākotnē ietaupīs mums daudz laika un nevienlīdzīgas šūnas. :)

Vidējais aritmētiskais un vienādi atkāpes

Apsveriet vairākus secīgus pieaugošās aritmētiskās progresijas $\left(((a)_(n)) \right)$ vārdus. Mēģināsim tos atzīmēt skaitļu rindā:

Aritmētiskās progresijas locekļi uz skaitļu līnijas

Es īpaši atzīmēju patvaļīgos dalībniekus $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, nevis jebkurus $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ utt. Jo noteikums, ko es jums tagad pateikšu, darbojas vienādi jebkuriem "segmentiem".

Un noteikums ir ļoti vienkāršs. Atcerēsimies rekursīvo formulu un pierakstīsim to visiem atzīmētajiem dalībniekiem:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(līdzināt)\]

Tomēr šīs vienlīdzības var pārrakstīt atšķirīgi:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(līdzināt)\]

Nu un ko? Taču fakts, ka termini $((a)_(n-1))$ un $((a)_(n+1))$ atrodas vienādā attālumā no $((a)_(n)) $ . Un šis attālums ir vienāds ar $d$. To pašu var teikt par jēdzieniem $((a)_(n-2))$ un $((a)_(n+2))$ - tie arī tiek noņemti no $((a)_(n) )$ ar tādu pašu attālumu, kas vienāds ar $2d$. Var turpināt bezgalīgi, bet attēls labi ilustrē nozīmi

Progresijas dalībnieki atrodas vienādā attālumā no centra

Ko tas mums nozīmē? Tas nozīmē, ka jūs varat atrast $((a)_(n))$, ja ir zināmi blakus esošie skaitļi:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Mēs esam secinājuši lielisku apgalvojumu: katrs aritmētiskās progresijas loceklis ir vienāds ar blakus esošo locekļu vidējo aritmētisko! Turklāt mēs varam novirzīties no mūsu $((a)_(n))$ pa kreisi un pa labi nevis par vienu soli, bet par $k$ soļiem — un tomēr formula būs pareiza:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Tie. mēs varam viegli atrast $((a)_(150))$, ja zinām $((a)_(100))$ un $((a)_(200))$, jo $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. No pirmā acu uzmetiena var šķist, ka šis fakts mums neko noderīgu nedod. Taču praksē daudzi uzdevumi ir īpaši "uzasināti" vidējā aritmētiskā lietojumam. Paskaties:

Uzdevums numurs 6. Atrodiet visas $x$ vērtības tā, lai skaitļi $-6((x)^(2))$, $x+1$ un $14+4((x)^(2))$ būtu secīgi dalībnieki aritmētiskā progresija (norādītā secībā).

Risinājums. Tā kā šie skaitļi ir progresijas locekļi, tiem ir izpildīts vidējais aritmētiskais nosacījums: centrālo elementu $x+1$ var izteikt ar blakus elementiem:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(līdzināt)\]

Tas izrādījās klasisks kvadrātvienādojums. Tās saknes: $x=2$ un $x=-3$ ir atbildes.

Atbilde: -3; 2.

Uzdevums numurs 7. Atrodiet $$ vērtības tā, lai skaitļi $-1;4-3;(()^(2))+1$ veidotu aritmētisko progresiju (šajā secībā).

Risinājums. Atkal mēs izsakām vidējo terminu blakus esošo terminu vidējā aritmētiskā izteiksmē:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(līdzināt)\]

Vēl viens kvadrātvienādojums. Un atkal divas saknes: $x=6$ un $x=1$.

Atbilde: 1; 6.

Ja problēmas risināšanas procesā jūs saņemat dažus brutālus skaitļus vai neesat pilnībā pārliecināts par atrasto atbilžu pareizību, tad ir brīnišķīgs triks, kas ļauj pārbaudīt: vai mēs pareizi atrisinājām problēmu?

Teiksim, 6. uzdevumā mēs saņēmām atbildes -3 un 2. Kā mēs varam pārbaudīt, vai šīs atbildes ir pareizas? Vienkārši pievienosim tos sākotnējā stāvoklī un redzēsim, kas notiks. Atgādināšu, ka mums ir trīs skaitļi ($-6(()^(2))$, $+1$ un $14+4(()^(2))$), kuriem jāveido aritmētiskā progresija. Aizstāt $x=-3$:

\[\begin(līdzināt) & x=-3\labā bultiņa \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(līdzināt)\]

Saņēmām skaitļus -54; −2; 50, kas atšķiras ar 52, neapšaubāmi ir aritmētiska progresija. Tas pats notiek ar $x=2$:

\[\begin(līdzināt) & x=2\labā bultiņa \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(līdzināt)\]

Atkal progresija, bet ar starpību 27. Tādējādi problēma ir atrisināta pareizi. Otro uzdevumu tie, kas vēlas, var pārbaudīt paši, bet es teikšu uzreiz: arī tur viss ir pareizi.

Vispār, risinot pēdējos uzdevumus, uzdūrāmies citam interesants fakts, kas arī jāatceras:

Ja trīs skaitļi ir tādi, ka otrais ir pirmais un pēdējais, tad šie skaitļi veido aritmētisko progresiju.

Nākotnē šī apgalvojuma izpratne ļaus mums burtiski "konstruēt" nepieciešamās progresijas pamatojoties uz problēmas stāvokli. Bet, pirms mēs iesaistāmies šādā "konstrukcijā", mums vajadzētu pievērst uzmanību vēl vienam faktam, kas tieši izriet no jau iepriekš aplūkotā.

Elementu grupēšana un summa

Atgriezīsimies vēlreiz pie skaitļu līnijas. Mēs atzīmējam tur vairākus progresijas dalībniekus, starp kuriem, iespējams. daudz citu dalībnieku vērts:

6 elementi, kas atzīmēti uz skaitļu līnijas

Mēģināsim izteikt "kreiso asti" ar $((a)_(n))$ un $d$, bet "labo asti" ar $((a)_(k))$ un $ d$. Tas ir ļoti vienkārši:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(līdzināt)\]

Tagad ņemiet vērā, ka šādas summas ir vienādas:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(līdzināt)\]

Vienkārši sakot, ja mēs par sākumu uzskatām divus progresijas elementus, kas kopā ir vienādi ar kādu skaitli $S$, un tad mēs sākam pāriet no šiem elementiem uz pretējās puses(pret otru vai otrādi, lai noņemtu), tad elementu summas, uz kurām mēs paklupsim, arī būs vienādas$S$. To vislabāk var attēlot grafiski:

Tie paši ievilkumi dod vienādas summas

Saprašana Šis faktsļaus mums principiāli vairāk risināt problēmas augsts līmenis sarežģītāk nekā iepriekš apspriestie. Piemēram, šie:

Uzdevums numurs 8. Nosakiet atšķirību aritmētiskajai progresijai, kurā pirmais loceklis ir 66, bet otrā un divpadsmitā vārda reizinājums ir mazākais iespējamais.

Risinājums. Pierakstīsim visu, ko zinām:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(līdzināt)\]

Tātad, mēs nezinām progresijas $d$ atšķirību. Faktiski viss risinājums tiks veidots, pamatojoties uz atšķirību, jo produktu $((a)_(2))\cdot ((a)_(12)) $ var pārrakstīt šādi:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(līdzināt)\]

Tiem, kas atrodas tvertnē: esmu izņēmis kopējo koeficientu 11 no otrās kronšteina. Tādējādi vēlamais reizinājums ir kvadrātfunkcija attiecībā pret mainīgo $d$. Tāpēc apsveriet funkciju $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - tās grafiks būs parabola ar zariem uz augšu, jo ja mēs atveram iekavas, mēs iegūstam:

\[\begin(līdzināt) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(līdzināt)\]

Kā redzat, koeficients ar augstāko termiņu ir 11 - tas ir pozitīvs skaitlis, tāpēc mums patiešām ir darīšana ar parabolu ar zariem uz augšu:

grafiks kvadrātiskā funkcija- parabola

Lūdzu, ņemiet vērā: šī parabola iegūst minimālo vērtību tās virsotnē ar abscisu $((d)_(0))$. Šo abscisu, protams, varam aprēķināt pēc standarta shēmas (ir formula $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), taču daudz saprātīgāk būtu ņemiet vērā, ka vēlamā virsotne atrodas uz parabolas ass simetrijas, tāpēc punkts $((d)_(0))$ atrodas vienādā attālumā no vienādojuma $f\left(d \right)=0$ saknēm:

\[\begin(līdzināt) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(līdzināt)\]

Tāpēc es nesteidzos atvērt iekavas: sākotnējā formā saknes bija ļoti, ļoti viegli atrast. Tāpēc abscisa ir vienāda ar skaitļu −66 un −6 vidējo aritmētisko:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Kas dod mums atklāto numuru? Ar to ņem nepieciešamo produktu mazākā vērtība(Starp citu, mēs neaprēķinājām $((y)_(\min ))$ - mums tas nav jādara). Tajā pašā laikā šis skaitlis ir sākotnējās progresijas starpība, t.i. atradām atbildi. :)

Atbilde: -36

Uzdevums numurs 9. Starp skaitļiem $-\frac(1)(2)$ un $-\frac(1)(6)$ ievietojiet trīs skaitļus tā, lai tie kopā ar dotajiem skaitļiem veidotu aritmētisko progresiju.

Risinājums. Faktiski mums ir jāizveido piecu skaitļu secība ar jau zināmu pirmo un pēdējo numuru. Apzīmējiet trūkstošos skaitļus ar mainīgajiem $x$, $y$ un $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Ņemiet vērā, ka skaitlis $y$ ir mūsu secības "vidējais" - tas atrodas vienādā attālumā no skaitļiem $x$ un $z$, kā arī no skaitļiem $-\frac(1)(2)$ un $-\frac. (1) (6) $. Un, ja šobrīd nevaram iegūt $y$ no skaitļiem $x$ un $z$, tad ar progresijas galiem situācija ir savādāka. Atcerieties vidējo aritmētisko:

Tagad, zinot $y$, mēs atradīsim atlikušos skaitļus. Ņemiet vērā, ka $x$ atrodas starp $-\frac(1)(2)$ un $y=-\frac(1)(3)$ tikko atrasts. Tāpēc

Līdzīgi argumentējot, mēs atrodam atlikušo skaitli:

Gatavs! Mēs atradām visus trīs skaitļus. Pierakstīsim tos atbildē tādā secībā, kādā tie jāievieto starp oriģinālajiem cipariem.

Atbilde: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Uzdevums numurs 10. Starp skaitļiem 2 un 42 ievietojiet vairākus skaitļus, kas kopā ar dotajiem skaitļiem veido aritmētisko progresiju, ja ir zināms, ka pirmā, otrā un pēdējā ievietoto skaitļu summa ir 56.

Risinājums. Vēl grūtāks uzdevums, kas tomēr tiek atrisināts tāpat kā iepriekšējie - caur vidējo aritmētisko. Problēma ir tā, ka mēs precīzi nezinām, cik skaitļus ievietot. Tāpēc skaidrības labad pieņemam, ka pēc ievietošanas būs precīzi $n$ skaitļi, un pirmais no tiem ir 2, bet pēdējais ir 42. Šajā gadījumā vēlamo aritmētisko progresiju var attēlot šādi:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \labais\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Tomēr ņemiet vērā, ka skaitļi $((a)_(2))$ un $((a)_(n-1))$ ir iegūti no skaitļiem 2 un 42, kas atrodas malās vienu soli viens pret otru. , t.i. uz secības centru. Un tas nozīmē, ka

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Bet tad iepriekš minēto izteiksmi var pārrakstīt šādi:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(līdzināt)\]

Zinot $((a)_(3))$ un $((a)_(1))$, mēs varam viegli atrast progresijas atšķirību:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Labā bultiņa d=5. \\ \end(līdzināt)\]

Atliek tikai atrast atlikušos dalībniekus:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(līdzināt)\]

Tādējādi jau 9. solī nonāksim pie secības kreisā gala - skaitļa 42. Kopumā bija jāievieto tikai 7 skaitļi: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Atbilde: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Teksta uzdevumi ar progresēšanu

Nobeigumā es vēlētos apsvērt pāris salīdzinoši vienkāršas problēmas. Nu kā vienkārši: lielākajai daļai skolēnu, kuri skolā mācās matemātiku un nav izlasījuši augstāk rakstīto, šie uzdevumi var šķist žests. Tomēr tieši šādi uzdevumi ir sastopami OGE un USE matemātikā, tāpēc iesaku ar tiem iepazīties.

11. uzdevums. Komanda janvārī saražoja 62 detaļas un katrā nākamajā mēnesī par 14 daļām vairāk nekā iepriekšējā. Cik detaļu brigāde saražoja novembrī?

Risinājums. Acīmredzot detaļu skaits, kas krāsotas pa mēnešiem, būs pieaugoša aritmētiskā progresija. Un:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(līdzināt)\]

Novembris ir gada 11. mēnesis, tāpēc mums jāatrod $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Līdz ar to novembrī tiks ražotas 202 detaļas.

Uzdevums numurs 12. Grāmatu iesiešanas darbnīcā janvārī tika iesietas 216 grāmatas, un katru mēnesi tika iesietas par 4 grāmatām vairāk nekā iepriekšējā mēnesī. Cik grāmatu darbnīca iesēja decembrī?

Risinājums. Viss tas pats:

$\begin(līdzināt) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(līdzināt)$

Decembris ir gada pēdējais, 12. mēnesis, tāpēc mēs meklējam $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Šī ir atbilde – decembrī tiks iesietas 260 grāmatas.

Nu, ja esat izlasījis tik tālu, es steidzos jūs apsveikt: jūs esat veiksmīgi pabeidzis “jauno cīnītāju kursu” aritmētiskajā progresijā. Jūs varat droši doties uz nākamā nodarbība, kur pētīsim progresijas summas formulu, kā arī svarīgas un ļoti noderīgas sekas no tās.

Piemēram, secība \(2\); \(5\); \(8\); \(vienpadsmit\); \(14\)… ir aritmētiskā progresija, jo katrs nākamais elements no iepriekšējā atšķiras par trīs (var iegūt no iepriekšējā, pievienojot trīs):

Šajā progresijā starpība \(d\) ir pozitīva (vienāda ar \(3\)), un tāpēc katrs nākamais termins ir lielāks par iepriekšējo. Šādas progresijas sauc pieaug.

Tomēr var būt arī \(d\). negatīvs skaitlis. Piemēram, aritmētiskā progresijā \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… progresijas starpība \(d\) ir vienāda ar mīnus seši.

Un šajā gadījumā katrs nākamais elements būs mazāks par iepriekšējo. Šīs progresijas sauc samazinās.

Aritmētiskās progresijas apzīmējums

Progresiju apzīmē ar mazu latīņu burtu.

Skaitļus, kas veido progresiju, sauc par to biedri(vai elementi).

Tie ir apzīmēti ar tādu pašu burtu kā aritmētiskā progresija, bet ar skaitlisko indeksu, kas vienāds ar elementa numuru secībā.

Piemēram, aritmētiskā progresija \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) sastāv no elementiem \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) un tā tālāk.

Citiem vārdiem sakot, progresijai \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Uzdevumu risināšana aritmētiskā progresijā

Principā iepriekš minētā informācija jau ir pietiekama, lai atrisinātu gandrīz jebkuru aritmētiskās progresijas problēmu (ieskaitot tos, kas tiek piedāvāti OGE).

Piemērs (OGE). Aritmētisko progresiju nosaka nosacījumi \(b_1=7; d=4\). Atrodiet \(b_5\).
Risinājums:

Atbilde: \(b_5=23\)

Piemērs (OGE). Ir doti pirmie trīs aritmētiskās progresijas locekļi: \(62; 49; 36…\) Atrodiet šīs progresijas pirmā negatīvā vārda vērtību.
Risinājums:

	Mums ir doti pirmie secības elementi un zinām, ka tā ir aritmētiskā progresija. Tas ir, katrs elements atšķiras no blakus esošā ar tādu pašu numuru. Uzziniet, kurš no tiem, no nākamā elementa atņemot iepriekšējo: \(d=49-62=-13\).
	Tagad mēs varam atjaunot savu progresu uz vēlamo (pirmo negatīvo) elementu.
	Gatavs. Jūs varat uzrakstīt atbildi.

Atbilde: \(-3\)

Piemērs (OGE). Doti vairāki secīgi aritmētiskās progresijas elementi: \(...5; x; 10; 12,5...\) Atrast elementa vērtību, kas apzīmēta ar burtu \(x\).
Risinājums:

	Lai atrastu \(x\), mums jāzina, cik ļoti nākamais elements atšķiras no iepriekšējā, citiem vārdiem sakot, progresijas atšķirība. Atradīsim to no diviem zināmiem blakus elementiem: \(d=12,5-10=2,5\).
	Un tagad bez problēmām atrodam to, ko meklējam: \(x=5+2.5=7.5\).
	Gatavs. Jūs varat uzrakstīt atbildi.

Atbilde: \(7,5\).

Piemērs (OGE). Aritmētisko progresiju uzrāda šādi nosacījumi: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Atrodiet šīs progresijas pirmo sešu vārdu summu.
Risinājums:

	Mums jāatrod progresa pirmo sešu terminu summa. Bet mēs nezinām to nozīmi, mums ir dots tikai pirmais elements. Tāpēc vispirms mēs pēc kārtas aprēķinām vērtības, izmantojot mums doto: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Un, aprēķinot sešus mums nepieciešamos elementus, mēs atrodam to summu.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	Pieprasītā summa ir atrasta.

Atbilde: \(S_6=9\).

Piemērs (OGE). Aritmētiskajā progresijā \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Atrodiet šīs progresijas atšķirību.
Risinājums:

Atbilde: \(d=7\).

Svarīgas aritmētiskās progresēšanas formulas

Kā redzat, daudzas aritmētiskās progresijas problēmas var atrisināt, vienkārši saprotot galveno - ka aritmētiskā progresija ir skaitļu ķēde, un katrs nākamais elements šajā ķēdē tiek iegūts, pievienojot to pašu skaitli iepriekšējam (starpība no progresēšanas).

Tomēr dažreiz ir situācijas, kad ir ļoti neērti atrisināt "uz pieres". Piemēram, iedomājieties, ka pašā pirmajā piemērā mums jāatrod nevis piektais elements \(b_5\), bet trīs simti astoņdesmit sestais \(b_(386)\). Kas tas ir, mēs \ (385 \) reizes, lai pievienotu četrus? Vai arī iedomājieties, ka priekšpēdējā piemērā jums jāatrod pirmo septiņdesmit trīs elementu summa. Skaitīšana ir mulsinoša...

Tāpēc šādos gadījumos viņi nerisina “uz pieres”, bet izmanto īpašas formulas, kas iegūtas aritmētiskajai progresijai. Un galvenās ir progresijas n-tā vārda formula un pirmo vārdu summas \(n\) formula.

Formula \(n\)-tam dalībniekam: \(a_n=a_1+(n-1)d\), kur \(a_1\) ir progresijas pirmais dalībnieks;
\(n\) – vajadzīgā elementa numurs;
\(a_n\) ir progresijas dalībnieks ar skaitli \(n\).

Šī formula ļauj ātri atrast vismaz trīs simto, pat miljono elementu, zinot tikai pirmo un progresijas atšķirību.

Piemērs. Aritmētisko progresiju nosaka nosacījumi: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Atrodiet \(b_(246)\).
Risinājums:

Atbilde: \(b_(246)=1850\).

Pirmo n vārdu summas formula ir: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), kur

\(a_n\) ir pēdējais summētais termins;

Piemērs (OGE). Aritmētisko progresiju nosaka nosacījumi \(a_n=3,4n-0,6\). Atrodiet šīs progresijas pirmo \(25\) vārdu summu.
Risinājums:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25\)		Lai aprēķinātu pirmo divdesmit piecu elementu summu, mums jāzina pirmā un divdesmit piektā vārda vērtība. Mūsu progresiju nosaka n-tā vārda formula atkarībā no tā skaita (skatiet sīkāk). Aprēķināsim pirmo elementu, aizstājot \(n\) ar vienu.
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\)		Tagad atradīsim divdesmit piekto terminu, aizstājot divdesmit piecus \(n\) vietā.
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\)		Nu, tagad mēs bez problēmām aprēķinām nepieciešamo summu.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Atbilde ir gatava.

Atbilde: \(S_(25)=1090\).

Pirmo terminu summai \(n\) varat iegūt citu formulu: jums vienkārši nepieciešams \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) \(a_n\) vietā aizstājiet formulu \(a_n=a_1+(n-1)d\). Mēs iegūstam:

Pirmo n vārdu summas formula ir: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), kur

\(S_n\) – nepieciešamo pirmo elementu summa \(n\);
\(a_1\) ir pirmais termins, kas jāsaskaita;
\(d\) – progresijas atšķirība;
\(n\) - elementu skaits summā.

Piemērs. Atrodiet aritmētiskās progresijas pirmo \(33\)-ex vārdu summu: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Risinājums:

Atbilde: \(S_(33)=-231\).

Sarežģītākas aritmētiskās progresijas problēmas

Tagad jums ir visa nepieciešamā informācija, lai atrisinātu gandrīz jebkuru aritmētiskās progresijas uzdevumu. Pabeigsim tēmu, apsverot problēmas, kurās jums ne tikai jāpielieto formulas, bet arī nedaudz jāpadomā (matemātikā tas var noderēt ☺)

Piemērs (OGE). Atrodiet visu progresijas negatīvo vārdu summu: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Risinājums:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Uzdevums ir ļoti līdzīgs iepriekšējam. Mēs sākam risināt tāpat: vispirms atrodam \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Tagad mēs summas formulā aizstātu \(d\) ... un šeit parādās neliela nianse - mēs nezinām \(n\). Citiem vārdiem sakot, mēs nezinām, cik terminu būs jāpievieno. Kā to noskaidrot? Padomāsim. Mēs pārtrauksim pievienot elementus, kad nonāksim pie pirmā pozitīvā elementa. Tas ir, jums ir jānoskaidro šī elementa numurs. Kā? Pierakstīsim formulu jebkura aritmētiskās progresijas elementa aprēķināšanai: \(a_n=a_1+(n-1)d\) mūsu gadījumā.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\)		Mums ir nepieciešams, lai \(a_n\) būtu lielāks par nulli. Noskaidrosim, kādēļ \(n\) tas notiks.
\(-19,3+(n-1) 0,3>0\)
\((n-1) 0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Mēs sadalām abas nevienādības puses ar \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Pārskaitām mīnus viens, neaizmirstot nomainīt zīmes
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Notiek skaitļošana...
\(n>65 333…\)		…un izrādās, ka pirmajam pozitīvajam elementam būs skaitlis \(66\). Attiecīgi pēdējam negatīvajam ir \(n=65\). Katram gadījumam pārbaudīsim.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1) 0,3=0,2\)		Tādējādi mums jāpievieno pirmie \(65\) elementi.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Atbilde ir gatava.

Atbilde: \(S_(65)=-630,5\).

Piemērs (OGE). Aritmētisko progresiju nosaka nosacījumi: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Atrodiet summu no \(26\) līdz \(42\) elementam ieskaitot.
Risinājums:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Šajā uzdevumā ir jāatrod arī elementu summa, taču sākot nevis no pirmā, bet gan no \(26\)th. Mums tam nav formulas. Kā izlemt? Vienkārši — lai iegūtu summu no \(26\) līdz \(42\), vispirms jāatrod summa no \(1\) līdz \(42\) un pēc tam jāatņem no tās summa no no pirmā līdz \ (25 \) th (skatīt attēlu).
	Mūsu progresijai \(a_1=-33\) un starpībai \(d=4\) (galu galā mēs pievienojam četrus iepriekšējam elementam, lai atrastu nākamo). Zinot to, mēs atrodam pirmo \(42\)-uh elementu summu.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Tagad pirmo \(25\)-to elementu summa.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Un visbeidzot mēs aprēķinām atbildi.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Atbilde: \(S=1683\).

Aritmētiskajai progresijai ir vēl vairākas formulas, kuras mēs šajā rakstā neesam aplūkojuši to zemās praktiskās lietderības dēļ. Tomēr jūs varat tos viegli atrast.

Instrukcija

Aritmētiskā progresija ir secība formā a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Numura d solis progresijas.Acīmredzot patvaļīga aritmētikas n-tā locekļa summa progresijas ir šāda forma: An = A1+(n-1)d. Tad zinot vienu no biedriem progresijas, biedrs progresijas un soli progresijas, var būt , tas ir, progresijas termiņa numurs. Acīmredzot to noteiks pēc formulas n = (An-A1+d)/d.

Lai tagad ir zināms m-tais termiņš progresijas un vēl kāds biedrs progresijas- n-tais, bet n , tāpat kā iepriekšējā gadījumā, bet ir zināms, ka n un m nesakrīt.Solis progresijas var aprēķināt pēc formulas: d = (An-Am)/(n-m). Tad n = (An-Am+md)/d.

Ja vairāku aritmētikas elementu summa progresijas, kā arī tā pirmo un pēdējo , tad var noteikt arī šo elementu skaitu Aritmētikas summa progresijas būs vienāds ar: S = ((A1+An)/2)n. Tad n = 2S/(A1+An) ir chdenov progresijas. Izmantojot faktu, ka An = A1+(n-1)d, šo formulu var pārrakstīt šādi: n = 2S/(2A1+(n-1)d). No tā var izteikt n, atrisinot kvadrātvienādojumu.

Aritmētiskā secība ir tāda sakārtota skaitļu kopa, kuras katrs dalībnieks, izņemot pirmo, atšķiras no iepriekšējā par tādu pašu summu. Šo konstanti sauc par progresijas vai tās soļa starpību, un to var aprēķināt no zināmajiem aritmētiskās progresijas locekļiem.

Instrukcija

Ja no uzdevuma nosacījumiem ir zināmas pirmā un otrā vai jebkura cita blakus esošo vārdu pāra vērtības, lai aprēķinātu starpību (d), vienkārši atņemiet iepriekšējo terminu no nākamā vārda. Rezultātā iegūtā vērtība var būt pozitīva vai negatīva - tas ir atkarīgs no tā, vai progresēšana palielinās. Vispārīgā formā uzrakstiet risinājumu patvaļīgam progresijas locekļu pārim (aᵢ un aᵢ₊₁) šādi: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Šādas progresijas locekļu pārim, no kuriem viens ir pirmais (a₁), bet otrs ir jebkurš cits patvaļīgi izvēlēts, var izveidot arī formulu atšķirības (d) atrašanai. Tomēr šajā gadījumā ir jāzina patvaļīgi izvēlēta secības locekļa sērijas numurs (i). Lai aprēķinātu starpību, saskaitiet abus skaitļus un izdaliet rezultātu ar patvaļīga vārda kārtas numuru, kas samazināts par vienu. IN vispārējs skats uzrakstiet šo formulu šādi: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Ja papildus patvaļīgam aritmētiskās progresijas loceklim ar kārtas skaitli i ir zināms vēl viens loceklis ar kārtas skaitli u, attiecīgi mainiet iepriekšējā soļa formulu. Šajā gadījumā progresijas starpība (d) būs šo divu terminu summa, kas dalīta ar to kārtas skaitļu starpību: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

Formula starpības (d) aprēķināšanai kļūst nedaudz sarežģītāka, ja uzdevuma nosacījumos tiek dota tās pirmā locekļa vērtība (a₁) un summa (Sᵢ). dotais numurs i) aritmētiskās secības pirmie vārdi. Lai iegūtu vēlamo vērtību, sadaliet summu ar to veidojošo vārdu skaitu, atņemiet secības pirmā skaitļa vērtību un dubultojiet rezultātu. Sadaliet iegūto vērtību ar terminu skaitu, kas veido summu, kas samazināta par vienu. Vispārīgi pierakstiet diskriminanta aprēķināšanas formulu šādi: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

Skaitliskās secības jēdziens nozīmē, ka katrs naturālais skaitlis atbilst kādai reālai vērtībai. Šāda skaitļu sērija var būt gan patvaļīga, gan tai var būt noteiktas īpašības - progresija. Pēdējā gadījumā katru nākamo secības elementu (dalībnieku) var aprēķināt, izmantojot iepriekšējo.

Aritmētiskā progresija ir skaitlisko vērtību secība, kurā tās blakus esošie locekļi atšķiras viens no otra ar vienu un to pašu skaitli (visiem sērijas elementiem, sākot no 2., ir līdzīga īpašība). Šis skaitlis - starpība starp iepriekšējo un nākamo dalībnieku - ir nemainīgs un tiek saukts par progresēšanas starpību.

Progresēšanas atšķirība: definīcija

Apsveriet secību, kas sastāv no j vērtībām A = a(1), a(2), a(3), a(4) … a(j), j pieder kopai naturālie skaitļi N. Aritmētiskā progresija saskaņā ar tās definīciju ir secība, kurā a(3) - a(2) = a(4) - a(3) = a(5) - a(4) = ... = a(j) – a(j-1) = d. d vērtība ir vēlamā šīs progresijas starpība.

d = a(j) - a(j-1).

Piešķirt:

• Pieaugoša progresija, tādā gadījumā d > 0. Piemērs: 4, 8, 12, 16, 20, …
• progresēšanas samazināšanās, tad d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Progresēšanas atšķirība un tās patvaļīgie elementi

Ja ir zināmi 2 patvaļīgi progresijas locekļi (i-tais, k-tais), tad šīs secības atšķirību var noteikt, pamatojoties uz attiecību:

a(i) = a(k) + (i - k)*d, tātad d = (a(i) - a(k))/(i-k).

Progresēšanas atšķirība un tās pirmais termiņš

Šī izteiksme palīdzēs noteikt nezināmo vērtību tikai gadījumos, kad ir zināms secības elementa numurs.

Progresijas starpība un tās summa

Progresijas summa ir tās locekļu summa. Lai aprēķinātu tā pirmo j elementu kopējo vērtību, izmantojiet atbilstošo formulu:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, bet kopš a(j) = a(1) + d(j – 1), tad S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2.a(1) + d(–1))/2)*j.