Instrukcija
Aritmētiskā progresija ir secība formā a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Numura d solis progresijas.Acīmredzot patvaļīga aritmētikas n-tā locekļa summa progresijas ir šāda forma: An = A1+(n-1)d. Tad zinot vienu no biedriem progresijas, biedrs progresijas un soli progresijas, var būt , tas ir, progresijas termiņa numurs. Acīmredzot to noteiks pēc formulas n = (An-A1+d)/d.
Lai tagad ir zināms m-tais termiņš progresijas un vēl kāds biedrs progresijas- n-tais, bet n , tāpat kā iepriekšējā gadījumā, bet ir zināms, ka n un m nesakrīt.Solis progresijas var aprēķināt pēc formulas: d = (An-Am)/(n-m). Tad n = (An-Am+md)/d.
Ja vairāku aritmētikas elementu summa progresijas, kā arī tā pirmo un pēdējo , tad var noteikt arī šo elementu skaitu Aritmētikas summa progresijas būs vienāds ar: S = ((A1+An)/2)n. Tad n = 2S/(A1+An) ir chdenov progresijas. Izmantojot faktu, ka An = A1+(n-1)d, šo formulu var pārrakstīt šādi: n = 2S/(2A1+(n-1)d). No šī var izteikt n, risinot kvadrātvienādojums.
Aritmētiskā secība ir tāda sakārtota skaitļu kopa, kuras katrs dalībnieks, izņemot pirmo, atšķiras no iepriekšējā par tādu pašu summu. Šo konstanti sauc par progresijas vai tās soļa starpību, un to var aprēķināt no zināmajiem aritmētiskās progresijas locekļiem.
Instrukcija
Ja no uzdevuma nosacījumiem ir zināmas pirmā un otrā vai jebkura cita blakus esošo vārdu pāra vērtības, lai aprēķinātu starpību (d), vienkārši atņemiet iepriekšējo terminu no nākamā vārda. Iegūtā vērtība var būt pozitīva vai negatīvs skaitlis- tas ir atkarīgs no tā, vai progresēšana palielinās. Vispārīgā formā uzrakstiet risinājumu patvaļīgam progresijas locekļu pārim (aᵢ un aᵢ₊₁) šādi: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.
Šādas progresijas locekļu pārim, no kuriem viens ir pirmais (a₁), bet otrs ir jebkurš cits patvaļīgi izvēlēts, var izveidot arī formulu atšķirības (d) atrašanai. Tomēr šajā gadījumā ir jāzina patvaļīgi izvēlēta secības locekļa sērijas numurs (i). Lai aprēķinātu starpību, saskaitiet abus skaitļus un izdaliet rezultātu ar patvaļīga vārda kārtas numuru, kas samazināts par vienu. Parasti rakstiet šo formulu šādi: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).
Ja papildus patvaļīgam aritmētiskās progresijas loceklim ar kārtas skaitli i ir zināms vēl viens loceklis ar kārtas skaitli u, attiecīgi mainiet iepriekšējā soļa formulu. Šajā gadījumā progresijas starpība (d) būs šo divu terminu summa, kas dalīta ar to kārtas skaitļu starpību: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).
Formula starpības (d) aprēķināšanai kļūst nedaudz sarežģītāka, ja uzdevuma nosacījumos tiek dota tās pirmā locekļa vērtība (a₁) un summa (Sᵢ). dotais numurs i) aritmētiskās secības pirmie vārdi. Lai iegūtu vēlamo vērtību, sadaliet summu ar to veidojošo vārdu skaitu, atņemiet secības pirmā skaitļa vērtību un dubultojiet rezultātu. Sadaliet iegūto vērtību ar terminu skaitu, kas veido summu, kas samazināta par vienu. Vispārīgi pierakstiet diskriminanta aprēķināšanas formulu šādi: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).
gadā tiek pētīta tēma "aritmētiskā progresija". vispārējais kurss algebra skolās 9. klasē. Šī tēma ir svarīga turpmākai darbībai padziļināta izpēte skaitļu sēriju matemātika. Šajā rakstā mēs iepazīsimies ar aritmētisko progresiju, tās atšķirību, kā arī ar tipiskiem uzdevumiem, ar kuriem var saskarties skolēni.
Algebriskās progresijas jēdziens
Skaitliskā progresija ir skaitļu virkne, kurā katru nākamo elementu var iegūt no iepriekšējā, ja piemēro kādu matemātisku likumu. Ir divi vienkārši progresijas veidi: ģeometriskā un aritmētiskā, ko sauc arī par algebrisko. Pakavēsimies pie tā sīkāk.
Iedomājieties kādu racionālu skaitli, apzīmējiet to ar simbolu a 1 , kur indekss norāda tā kārtas numuru aplūkotajā sērijā. Pievienosim 1 vēl kādu skaitli, apzīmēsim to ar d. Tad sērijas otro elementu var atspoguļot šādi: a 2 = a 1 + d. Tagad atkal pievienojiet d, mēs iegūstam: a 3 = a 2 + d. Turpinot šo matemātisko darbību, var iegūt visa rinda skaitļi, kas tiks saukti par aritmētisko progresiju.
Kā var saprast no iepriekš minētā, lai atrastu šīs secības n-to elementu, jāizmanto formula: a n = a 1 + (n-1) * d. Patiešām, izteiksmē aizstājot n=1, mēs iegūstam a 1 = a 1, ja n = 2, tad formula nozīmē: a 2 = a 1 + 1*d utt.
Piemēram, ja aritmētiskās progresijas atšķirība ir 5 un 1 \u003d 1, tad tas nozīmē, ka numuru sērija apskatāmā tipa ir forma: 1, 6, 11, 16, 21, ... Kā redzat, katrs tā dalībnieks ir par 5 vairāk nekā iepriekšējais.
Aritmētiskās progresijas starpības formulas
No iepriekš minētās aplūkojamās skaitļu sērijas definīcijas izriet, ka, lai to noteiktu, ir jāzina divi skaitļi: a 1 un d. Pēdējo sauc par šīs progresēšanas starpību. Tas unikāli nosaka visas sērijas uzvedību. Patiešām, ja d ir pozitīvs, tad skaitļu rindas pastāvīgi palielināsies, gluži pretēji, negatīva d gadījumā skaitļi rindā palielināsies tikai modulo, savukārt to absolūtā vērtība samazināsies, palielinoties skaitlim n.
Kāda ir atšķirība starp aritmētisko progresiju? Apsveriet divas galvenās formulas, kas tiek izmantotas šīs vērtības aprēķināšanai:
- d = a n+1 -a n , šī formula izriet tieši no aplūkojamās skaitļu sērijas definīcijas.
- d \u003d (-a 1 + a n) / (n-1), šo izteiksmi iegūst, izsakot d no formulas, kas sniegta raksta iepriekšējā punktā. Ņemiet vērā, ka šī izteiksme kļūst nenoteikta (0/0), ja n=1. Tas ir saistīts ar faktu, ka, lai noteiktu to atšķirību, ir jāzina vismaz 2 sērijas elementi.
Šīs divas pamatformulas tiek izmantotas, lai atrisinātu jebkuru progresijas atšķirības atrašanas problēmu. Tomēr ir vēl viena formula, kas jums arī jāzina.
Pirmo elementu summa
Formulu, ar kuru saskaņā ar vēsturiskām liecībām var noteikt jebkura algebriskās progresijas locekļu summu, pirmo reizi ieguva 18. gadsimta matemātikas "princis" Karls Gauss. Vācu zinātnieks, būdams vēl zēns pamatskola ciema skola pamanīja, ka, lai pievienotu naturālus skaitļus virknē no 1 līdz 100, vispirms ir jāsaskaita pirmais elements un pēdējais (iegūtā vērtība būs vienāda ar priekšpēdējā un otrā, priekšpēdējā un trešā elementa summu, un tā tālāk), un tad šis skaitlis jāreizina ar šo summu skaitu, tas ir, ar 50.
Formulu, kas atspoguļo norādīto rezultātu konkrētam piemēram, var vispārināt patvaļīgā gadījumā. Tas izskatīsies šādi: S n = n/2*(a n + a 1). Ņemiet vērā, ka, lai atrastu norādīto vērtību, atšķirības d zināšanas nav nepieciešamas, ja ir zināmi divi progresijas locekļi (a n un a 1).
1. piemērs. Nosakiet atšķirību, zinot divus rindas a1 un an vārdus
Mēs parādīsim, kā piemērot iepriekš norādītās formulas rakstā. Sniegsim vienkāršu piemēru: aritmētiskās progresijas atšķirība nav zināma, ir jānosaka, ar ko tā būs vienāda, ja 13 \u003d -5,6 un 1 \u003d -12,1.
Tā kā mēs zinām divu skaitliskās secības elementu vērtības un viens no tiem ir pirmais skaitlis, mēs varam izmantot formulu Nr. 2, lai noteiktu starpību d. Mums ir: d \u003d (-1 * (-12,1) + (-5,6)) / 12 \u003d 0,54167. Izteiksmē mēs izmantojām vērtību n=13, jo ir zināms dalībnieks ar šo kārtas numuru.
Iegūtā atšķirība norāda, ka progresija palielinās, neskatoties uz to, ka problēmas nosacījumā norādītajiem elementiem ir negatīva vērtība. Var redzēt, ka a 13 >a 1 , lai gan |a 13 |<|a 1 |.
2. piemērs. Pozitīvās progresijas termini 1. piemērā
Izmantosim iepriekšējā piemērā iegūto rezultātu jaunas problēmas risināšanai. To formulē šādi: no kāda kārtas skaitļa progresijas elementi piemērā Nr. 1 sāk iegūt pozitīvas vērtības?
Kā parādīts, progresija, kurā a 1 = -12,1 un d = 0,54167, palielinās, tāpēc no noteikta skaitļa skaitļiem būs tikai pozitīvas vērtības. Lai noteiktu šo skaitli n, ir jāatrisina vienkārša nevienādība, kuru matemātiski raksta šādi: a n>0 vai, izmantojot atbilstošu formulu, nevienādību pārrakstām: a 1 + (n-1)*d>0. Jāatrod nezināmais n, izteiksim to: n>-1*a 1 /d + 1. Tagad atliek aizvietot zināmās starpības vērtības un secības pirmo locekli. Iegūstam: n>-1*(-12.1) /0.54167 + 1= 23.338 vai n>23.338. Tā kā n var ņemt tikai veselus skaitļus, no iegūtās nevienādības izriet, ka visi rindas locekļi, kuru skaitlis ir lielāks par 23, būs pozitīvs.
Pārbaudīsim savu atbildi, izmantojot iepriekš minēto formulu, lai aprēķinātu šīs aritmētiskās progresijas 23. un 24. elementu. Mums ir: 23 \u003d -12,1 + 22 * 0,54167 \u003d -0,18326 (negatīvs skaitlis); a 24 \u003d -12,1 + 23 * 0,54167 \u003d 0,3584 (pozitīvā vērtība). Tādējādi iegūtais rezultāts ir pareizs: sākot no n=24, visi skaitļu rindas dalībnieki būs lielāki par nulli.
3. piemērs. Cik baļķu derēs?
Šeit ir viena interesanta problēma: mežizstrādes laikā tika nolemts zāģētos baļķus sakraut vienu uz otra, kā parādīts attēlā zemāk. Cik baļķu var sakraut šādā veidā, zinot, ka kopā ietilps 10 rindas?
Šādā baļķu locīšanas veidā var pamanīt vienu interesantu lietu: katrā nākamajā rindā būs par vienu baļķi mazāk nekā iepriekšējā, tas ir, ir algebriskā progresija, kuras starpība ir d=1. Pieņemot, ka baļķu skaits katrā rindā ir šīs progresijas dalībnieks, kā arī ņemot vērā, ka a 1 = 1 (tikai viens baļķis derēs pašā augšā), mēs atrodam skaitli a 10 . Mums ir: a 10 \u003d 1 + 1 * (10-1) \u003d 10. Tas ir, 10. rindā, kas atrodas uz zemes, būs 10 baļķi.
Šīs "piramīdas" konstrukcijas kopējo apjomu var iegūt, izmantojot Gausa formulu. Mēs iegūstam: S 10 \u003d 10/2 * (10 + 1) \u003d 55 apaļkokus.
Daudzi ir dzirdējuši par aritmētisko progresiju, bet ne visi labi zina, kas tas ir. Šajā rakstā mēs sniegsim atbilstošo definīciju, kā arī apsvērsim jautājumu par to, kā atrast aritmētiskās progresijas atšķirību, un sniegsim vairākus piemērus.
Matemātiskā definīcija
Tātad, ja mēs runājam par aritmētisko vai algebrisko progresiju (šie jēdzieni definē vienu un to pašu), tad tas nozīmē, ka ir dažas skaitļu sērijas, kas atbilst šādam likumam: katrs divi blakus esošie skaitļi sērijā atšķiras ar vienu un to pašu vērtību. Matemātiski tas ir rakstīts šādi:
Šeit n apzīmē elementa a n numuru secībā, un skaitlis d ir progresijas starpība (tā nosaukums izriet no uzrādītās formulas).
Ko nozīmē zināt atšķirību d? Par to, cik tālu viens no otra atrodas blakus esošie skaitļi. Tomēr zināšanas par d ir nepieciešamas, bet ne pietiekamā stāvoklī lai noteiktu (atjaunotu) visu progresu. Jums jāzina vēl viens skaitlis, kas var būt pilnīgi jebkurš aplūkojamās sērijas elements, piemēram, 4, a10, bet parasti tiek izmantots pirmais skaitlis, tas ir, 1.
Formulas progresijas elementu noteikšanai
Kopumā iepriekš minētā informācija jau ir pietiekama, lai pārietu uz konkrētu problēmu risināšanu. Tomēr, pirms tiek dota aritmētiskā progresija un būs jāatrod tās atšķirība, mēs parādām pāri noderīgas formulas, tādējādi atvieglojot turpmāko problēmu risināšanas procesu.
Ir viegli parādīt, ka jebkuru secības elementu ar numuru n var atrast šādi:
a n \u003d a 1 + (n - 1) * d
Patiešām, ikviens var pārbaudīt šo formulu ar vienkāršu uzskaiti: ja mēs aizvietojam n = 1, tad iegūstam pirmo elementu, ja aizstājam n = 2, tad izteiksme dod pirmā skaitļa un starpības summu utt.
Daudzu uzdevumu nosacījumi ir sastādīti tā, ka zināmam skaitļu pārim, kura skaitļi arī norādīti secībā, ir jāatjauno visa skaitļu sērija (atrast starpību un pirmo elementu). Tagad mēs atrisināsim šo problēmu vispārīgā veidā.
Tātad, pieņemsim, ka mums ir doti divi elementi ar skaitļiem n un m. Izmantojot iepriekš iegūto formulu, mēs varam izveidot divu vienādojumu sistēmu:
a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;
a m = a 1 + (m - 1) * d
Lai atrastu nezināmus lielumus, šādas sistēmas risināšanai izmantojam labi zināmu vienkāršu metodi: kreiso un labo daļu atņemam pa pāriem, kamēr vienādība paliek spēkā. Mums ir:
a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;
a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)
Tādējādi mēs esam likvidējuši vienu nezināmo (a 1). Tagad mēs varam uzrakstīt galīgo izteiksmi d noteikšanai:
d = (a n - a m) / (n - m), kur n > m
Esam saņēmuši ļoti vienkārša formula: lai aprēķinātu starpību d atbilstoši uzdevuma nosacījumiem, ir jāņem tikai pašu elementu un to kārtas numuru atšķirību attiecība. Jākoncentrējas uz vienu svarīgs punkts uzmanība: tiek ņemtas atšķirības starp "augstākajiem" un "zemākajiem" locekļiem, tas ir, n > m ("augstāks" nozīmē, ka atrodas tālāk no secības sākuma, tā absolūtā vērtība var būt lielāka vai mazāka par "jaunāko" "elements).
Progresijas starpības d izteiksme ir jāaizvieto ar jebkuru no vienādojumiem uzdevuma risinājuma sākumā, lai iegūtu pirmā vārda vērtību.
Mūsu attīstības laikmetā datortehnoloģijas daudzi skolēni saviem uzdevumiem mēģina rast risinājumus internetā, tāpēc bieži rodas šāda veida jautājumi: atrodiet aritmētiskās progresijas atšķirību tiešsaistē. Pēc šāda pieprasījuma meklētājs parādīs vairākas tīmekļa lapas, uz kurām dodoties, būs jāievada no nosacījuma zināmie dati (tie var būt vai nu divi progresijas dalībnieki, vai arī dažu no tiem summa ) un uzreiz saņemiet atbildi. Tomēr šāda pieeja problēmas risināšanai ir neproduktīva skolēna attīstības un viņam uzticētā uzdevuma būtības izpratnes ziņā.
Risinājums, neizmantojot formulas
Atrisināsim pirmo uzdevumu, kamēr mēs neizmantosim nevienu no iepriekš minētajām formulām. Doti rindas elementi: a6 = 3, a9 = 18. Atrast aritmētiskās progresijas starpību.
Zināmi elementi atrodas tuvu viens otram pēc kārtas. Cik reižu starpība d jāpieskaita mazākajai, lai iegūtu lielāko? Trīs reizes (pirmo reizi pievienojot d, mēs iegūstam 7. elementu, otro reizi - astoto, visbeidzot, trešo reizi - devīto). Kāds skaitlis trīs reizes jāpievieno trīs, lai iegūtu 18? Šis ir pieci numurs. Tiešām:
Tādējādi nezināmā atšķirība ir d = 5.
Protams, risinājumu varēja veikt, izmantojot atbilstošu formulu, taču tas netika darīts ar nolūku. Detalizētam problēmas risinājuma skaidrojumam jākļūst par skaidru un spilgtu piemēru tam, kas ir aritmētiskā progresija.
Uzdevums līdzīgs iepriekšējam
Tagad atrisināsim līdzīgu problēmu, bet mainīsim ievades datus. Tātad, jums vajadzētu atrast, ja a3 = 2, a9 = 19.
Protams, jūs varat atkal ķerties pie risināšanas metodes "uz pieres". Bet, tā kā sērijas elementi ir doti, kas atrodas salīdzinoši tālu viens no otra, šāda metode kļūst ne pārāk ērta. Bet, izmantojot iegūto formulu, mēs ātri nonāksim pie atbildes:
d \u003d (a 9 - a 3) / (9 - 3) \u003d (19 - 2) / (6) \u003d 17/6 ≈ 2,83
Šeit mēs esam noapaļojuši galīgo skaitli. Cik šī noapaļošana radīja kļūdu, var spriest, pārbaudot rezultātu:
a 9 = a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 \u003d 18,98
Šis rezultāts atšķiras tikai par 0,1% no nosacījumā norādītās vērtības. Tāpēc izmantoto noapaļošanu līdz simtdaļām var uzskatīt par labu izvēli.
Uzdevumi formulas pielietošanai biedram
Apskatīsim klasisku nezināmā d noteikšanas problēmas piemēru: atrodiet aritmētiskās progresijas starpību, ja a1 = 12, a5 = 40.
Ja ir doti divi nezināmas algebriskās secības skaitļi un viens no tiem ir elements a 1 , tad nav ilgi jādomā, bet uzreiz jāpiemēro formula a n dalībniekam. Šajā gadījumā mums ir:
a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7
Dalot saņēmām precīzu skaitli, tāpēc nav jēgas pārbaudīt aprēķinātā rezultāta precizitāti, kā tas tika darīts iepriekšējā rindkopā.
Atrisināsim vēl vienu līdzīgu uzdevumu: jāatrod aritmētiskās progresijas starpība, ja a1 = 16, a8 = 37.
Mēs izmantojam līdzīgu pieeju iepriekšējai un iegūstam:
a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3
Kas vēl būtu jāzina par aritmētisko progresiju
Papildus nezināmas atšķirības vai atsevišķu elementu atrašanas problēmām bieži ir jāatrisina secības pirmo vārdu summas problēmas. Šo problēmu izskatīšana neietilpst raksta tēmas ietvaros, tomēr, lai informācija būtu pilnīga, mēs piedāvājam vispārīgu formulu sērijas n skaitļu summai:
∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2
Piemēram, secība \(2\); \(5\); \(8\); \(vienpadsmit\); \(14\)… ir aritmētiskā progresija, jo katrs nākamais elements no iepriekšējā atšķiras par trīs (var iegūt no iepriekšējā, pievienojot trīs):
Šajā progresijā starpība \(d\) ir pozitīva (vienāda ar \(3\)), un tāpēc katrs nākamais termins ir lielāks par iepriekšējo. Šādas progresijas sauc pieaug.
Tomēr \(d\) var būt arī negatīvs skaitlis. Piemēram, aritmētiskā progresijā \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… progresijas starpība \(d\) ir vienāda ar mīnus seši.
Un šajā gadījumā katrs nākamais elements būs mazāks par iepriekšējo. Šīs progresijas sauc samazinās.
Aritmētiskās progresijas apzīmējums
Progresiju apzīmē ar mazu latīņu burtu.
Skaitļus, kas veido progresiju, sauc par to biedri(vai elementi).
Tie ir apzīmēti ar tādu pašu burtu kā aritmētiskā progresija, bet ar skaitlisko indeksu, kas vienāds ar elementa numuru secībā.
Piemēram, aritmētiskā progresija \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) sastāv no elementiem \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) un tā tālāk.
Citiem vārdiem sakot, progresijai \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)
Uzdevumu risināšana aritmētiskā progresijā
Principā iepriekš minētā informācija jau ir pietiekama, lai atrisinātu gandrīz jebkuru aritmētiskās progresijas problēmu (ieskaitot tos, kas tiek piedāvāti OGE).
Piemērs (OGE).
Aritmētisko progresiju nosaka nosacījumi \(b_1=7; d=4\). Atrodiet \(b_5\).
Risinājums:
Atbilde: \(b_5=23\)
Piemērs (OGE).
Ir doti pirmie trīs aritmētiskās progresijas locekļi: \(62; 49; 36…\) Atrodiet šīs progresijas pirmā negatīvā vārda vērtību.
Risinājums:
|
Mums ir doti pirmie secības elementi un zinām, ka tā ir aritmētiskā progresija. Tas ir, katrs elements atšķiras no blakus esošā ar tādu pašu numuru. Uzziniet, kurš no tiem, no nākamā elementa atņemot iepriekšējo: \(d=49-62=-13\). |
|
|
Tagad mēs varam atjaunot savu progresu uz vēlamo (pirmo negatīvo) elementu. |
|
|
Gatavs. Jūs varat uzrakstīt atbildi. |
Atbilde: \(-3\)
Piemērs (OGE).
Doti vairāki secīgi aritmētiskās progresijas elementi: \(...5; x; 10; 12,5...\) Atrast elementa vērtību, kas apzīmēta ar burtu \(x\).
Risinājums:
|
|
Lai atrastu \(x\), mums jāzina, cik ļoti nākamais elements atšķiras no iepriekšējā, citiem vārdiem sakot, progresijas atšķirība. Atradīsim to no diviem zināmiem blakus elementiem: \(d=12,5-10=2,5\). |
|
|
Un tagad bez problēmām atrodam to, ko meklējam: \(x=5+2.5=7.5\). |
|
|
Gatavs. Jūs varat uzrakstīt atbildi. |
Atbilde: \(7,5\).
Piemērs (OGE).
Aritmētisko progresiju uzrāda šādi nosacījumi: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Atrodiet šīs progresijas pirmo sešu vārdu summu.
Risinājums:
|
Mums jāatrod progresa pirmo sešu terminu summa. Bet mēs nezinām to nozīmi, mums ir dots tikai pirmais elements. Tāpēc vispirms mēs pēc kārtas aprēķinām vērtības, izmantojot mums doto: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) |
|
|
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) |
Pieprasītā summa ir atrasta. |
Atbilde: \(S_6=9\).
Piemērs (OGE).
Aritmētiskajā progresijā \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Atrodiet šīs progresijas atšķirību.
Risinājums:
Atbilde: \(d=7\).
Svarīgas aritmētiskās progresēšanas formulas
Kā redzat, daudzas aritmētiskās progresijas problēmas var atrisināt, vienkārši saprotot galveno - ka aritmētiskā progresija ir skaitļu ķēde, un katrs nākamais elements šajā ķēdē tiek iegūts, pievienojot to pašu skaitli iepriekšējam (starpība no progresēšanas).
Tomēr dažreiz ir situācijas, kad ir ļoti neērti atrisināt "uz pieres". Piemēram, iedomājieties, ka pašā pirmajā piemērā mums jāatrod nevis piektais elements \(b_5\), bet trīs simti astoņdesmit sestais \(b_(386)\). Kas tas ir, mēs \ (385 \) reizes, lai pievienotu četrus? Vai arī iedomājieties, ka priekšpēdējā piemērā jums jāatrod pirmo septiņdesmit trīs elementu summa. Skaitīšana ir mulsinoša...
Tāpēc šādos gadījumos viņi nerisina “uz pieres”, bet izmanto īpašas formulas, kas iegūtas aritmētiskajai progresijai. Un galvenās ir progresijas n-tā vārda formula un pirmo vārdu summas \(n\) formula.
Formula \(n\)-tam dalībniekam: \(a_n=a_1+(n-1)d\), kur \(a_1\) ir progresijas pirmais dalībnieks;
\(n\) – vajadzīgā elementa numurs;
\(a_n\) ir progresijas dalībnieks ar skaitli \(n\).
Šī formula ļauj ātri atrast vismaz trīs simto, pat miljono elementu, zinot tikai pirmo un progresijas atšķirību.
Piemērs.
Aritmētisko progresiju nosaka nosacījumi: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Atrodiet \(b_(246)\).
Risinājums:
Atbilde: \(b_(246)=1850\).
Pirmo n vārdu summas formula ir: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), kur
\(a_n\) ir pēdējais summētais termins;
Piemērs (OGE).
Aritmētisko progresiju nosaka nosacījumi \(a_n=3,4n-0,6\). Atrodiet šīs progresijas pirmo \(25\) vārdu summu.
Risinājums:
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25\) |
Lai aprēķinātu pirmo divdesmit piecu elementu summu, mums jāzina pirmā un divdesmit piektā vārda vērtība. |
|
|
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\) |
Tagad atradīsim divdesmit piekto terminu, aizstājot divdesmit piecus \(n\) vietā. |
|
|
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\) |
Nu, tagad mēs bez problēmām aprēķinām nepieciešamo summu. |
|
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) |
Atbilde ir gatava. |
Atbilde: \(S_(25)=1090\).
Pirmo terminu summai \(n\) varat iegūt citu formulu: jums vienkārši nepieciešams \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) \(a_n\) vietā aizstājiet formulu \(a_n=a_1+(n-1)d\). Mēs iegūstam:
Pirmo n vārdu summas formula ir: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), kur
\(S_n\) – nepieciešamo pirmo elementu summa \(n\);
\(a_1\) ir pirmais termins, kas jāsaskaita;
\(d\) – progresijas atšķirība;
\(n\) - elementu skaits summā.
Piemērs.
Atrodiet aritmētiskās progresijas pirmo \(33\)-ex vārdu summu: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Risinājums:
Atbilde: \(S_(33)=-231\).
Sarežģītākas aritmētiskās progresijas problēmas
Tagad jums ir visa nepieciešamā informācija, lai atrisinātu gandrīz jebkuru aritmētiskās progresijas uzdevumu. Pabeigsim tēmu, apsverot problēmas, kurās jums ne tikai jāpielieto formulas, bet arī nedaudz jāpadomā (matemātikā tas var noderēt ☺)
Piemērs (OGE).
Atrodiet visu progresijas negatīvo vārdu summu: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Risinājums:
|
\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) |
Uzdevums ir ļoti līdzīgs iepriekšējam. Mēs sākam risināt tāpat: vispirms atrodam \(d\). |
|
|
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\) |
Tagad mēs summas formulā aizstātu \(d\) ... un šeit parādās neliela nianse - mēs nezinām \(n\). Citiem vārdiem sakot, mēs nezinām, cik terminu būs jāpievieno. Kā to noskaidrot? Padomāsim. Mēs pārtrauksim pievienot elementus, kad nonāksim pie pirmā pozitīvā elementa. Tas ir, jums ir jānoskaidro šī elementa numurs. Kā? Pierakstīsim formulu jebkura aritmētiskās progresijas elementa aprēķināšanai: \(a_n=a_1+(n-1)d\) mūsu gadījumā. |
|
|
\(a_n=a_1+(n-1)d\) |
||
|
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\) |
Mums ir nepieciešams, lai \(a_n\) būtu lielāks par nulli. Noskaidrosim, kādēļ \(n\) tas notiks. |
|
|
\(-19,3+(n-1) 0,3>0\) |
||
|
\((n-1) 0,3>19,3\) \(|:0,3\) |
Mēs sadalām abas nevienādības puses ar \(0,3\). |
|
|
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) |
Pārskaitām mīnus viens, neaizmirstot nomainīt zīmes |
|
|
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\) |
Notiek skaitļošana... |
|
|
\(n>65 333…\) |
…un izrādās, ka pirmajam pozitīvajam elementam būs skaitlis \(66\). Attiecīgi pēdējam negatīvajam ir \(n=65\). Katram gadījumam pārbaudīsim. |
|
|
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\) |
Tādējādi mums jāpievieno pirmie \(65\) elementi. |
|
|
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) |
Atbilde ir gatava. |
Atbilde: \(S_(65)=-630,5\).
Piemērs (OGE).
Aritmētisko progresiju nosaka nosacījumi: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Atrodiet summu no \(26\) līdz \(42\) elementam ieskaitot.
Risinājums:
|
\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\) |
Šajā uzdevumā ir jāatrod arī elementu summa, taču sākot nevis no pirmā, bet gan no \(26\)th. Mums tam nav formulas. Kā izlemt? |
|
|
Mūsu progresijai \(a_1=-33\) un starpībai \(d=4\) (galu galā mēs pievienojam četrus iepriekšējam elementam, lai atrastu nākamo). Zinot to, mēs atrodam pirmo \(42\)-uh elementu summu. |
|
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) |
Tagad pirmo \(25\)-to elementu summa. |
|
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) |
Un visbeidzot mēs aprēķinām atbildi. |
|
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\) |
Atbilde: \(S=1683\).
Aritmētiskajai progresijai ir vēl vairākas formulas, kuras mēs šajā rakstā neesam aplūkojuši to zemās praktiskās lietderības dēļ. Tomēr jūs varat tos viegli atrast.
Pirmais līmenis
Aritmētiskā progresija. Detalizēta teorija ar piemēriem (2019)
Ciparu secība
Tāpēc apsēdīsimies un sāksim rakstīt dažus skaitļus. Piemēram:
Jūs varat rakstīt jebkurus ciparus, un to var būt tik daudz, cik vēlaties (mūsu gadījumā tie). Neatkarīgi no tā, cik skaitļus mēs rakstām, mēs vienmēr varam pateikt, kurš no tiem ir pirmais, kurš ir otrais un tā tālāk līdz pēdējam, tas ir, mēs varam tos numurēt. Šis ir skaitļu secības piemērs:
Ciparu secība
Piemēram, mūsu secībai:
Piešķirtais numurs ir raksturīgs tikai vienam kārtas numuram. Citiem vārdiem sakot, secībā nav trīs sekunžu skaitļu. Otrais cipars (tāpat kā -tais cipars) vienmēr ir vienāds.
Skaitlis ar skaitli tiek saukts par --to secības dalībnieku.
Mēs parasti saucam visu secību par kādu burtu (piemēram,), un katru šīs secības dalībnieku - vienu un to pašu burtu ar indeksu, kas vienāds ar šī elementa numuru: .
Mūsu gadījumā: 
Pieņemsim, ka mums ir skaitliska secība, kurā starpība starp blakus esošajiem skaitļiem ir vienāda un vienāda.
Piemēram: 
utt.
Šādu skaitlisko secību sauc par aritmētisko progresiju.
Terminu "progresēšana" romiešu autors Boetijs ieviesa jau 6. gadsimtā un plašākā nozīmē to saprata kā nebeidzamu ciparu secību. Nosaukums "aritmētika" tika pārcelts no nepārtraukto proporciju teorijas, ar kuru nodarbojās senie grieķi.
Šī ir skaitliska secība, kuras katrs loceklis ir vienāds ar iepriekšējo, pievienojot to pašu numuru. Šo skaitli sauc par aritmētiskās progresijas starpību un apzīmē.
Mēģiniet noteikt, kuras skaitļu secības ir aritmētiskā progresija un kuras nav:
a)
b)
c)
d)
Sapratu? Salīdziniet mūsu atbildes:
Ir aritmētiskā progresija - b, c.
Nav aritmētiskā progresija - a, d.
Atgriezīsimies pie dotās progresijas () un mēģināsim atrast tās th dalībnieka vērtību. Pastāv divi veids, kā to atrast.
1. Metode
Mēs varam pievienot iepriekšējo progresijas skaitļa vērtību, līdz mēs sasniedzam progresijas th termiņu. Labi, ka mums nav daudz ko apkopot - tikai trīs vērtības:
Tātad aprakstītās aritmētiskās progresijas -tais loceklis ir vienāds ar.
2. Metode
Ko darīt, ja mums būtu jāatrod progresijas th termina vērtība? Summēšana mums būtu prasījusi vairāk nekā vienu stundu, un tas nav fakts, ka mēs nebūtu kļūdījušies, saskaitot skaitļus.
Protams, matemātiķi ir izdomājuši veidu, kā aritmētiskās progresijas starpība nav jāpievieno iepriekšējai vērtībai. Uzmanīgi apskatiet uzzīmēto attēlu ... Noteikti jūs jau esat pamanījuši noteiktu modeli, proti:
Piemēram, paskatīsimies, kas veido šīs aritmētiskās progresijas -tā locekļa vērtību: 
Citiem vārdiem sakot:
Mēģiniet šādā veidā patstāvīgi atrast šīs aritmētiskās progresijas locekļa vērtību.
Aprēķināts? Salīdziniet savus ierakstus ar atbildi:
Pievērsiet uzmanību, ka jūs ieguvāt tieši tādu pašu skaitli kā iepriekšējā metodē, kad mēs secīgi pievienojām aritmētiskās progresijas locekļus iepriekšējai vērtībai.
Mēģināsim "depersonalizēt" šī formula- ved viņu pie sevis vispārējā forma un saņemt:
|
Aritmētiskās progresijas vienādojums. |
Aritmētiskā progresija vai nu palielinās, vai samazinās.
Pieaug- progresijas, kurās katra nākamā terminu vērtība ir lielāka par iepriekšējo.
Piemēram:
Dilstoša- progresijas, kurās katra nākamā terminu vērtība ir mazāka par iepriekšējo.
Piemēram:
Atvasinātā formula tiek izmantota aritmētiskās progresijas terminu aprēķināšanai gan pieaugošajos, gan samazinošajos termiņos.
Pārbaudīsim to praksē.
Mums ir dota aritmētiskā progresija, kas sastāv no šādiem skaitļiem:
Kopš tā laika:
Tādējādi mēs bijām pārliecināti, ka formula darbojas gan aritmētiskajā progresijā, kas samazinās un palielinās.
Mēģiniet patstāvīgi atrast šīs aritmētiskās progresijas --to un -to locekli.
Salīdzināsim rezultātus:
Aritmētiskās progresijas īpašība
Sarežģīsim uzdevumu – iegūstam aritmētiskās progresijas īpašību.
Pieņemsim, ka mums ir dots šāds nosacījums:
- aritmētiskā progresija, atrodiet vērtību.
Tas ir vienkārši, jūs sakāt, un sāciet skaitīt pēc formulas, kuru jau zināt:
Ļaujiet, a, tad:
Pilnīga taisnība. Sanāk, ka vispirms atrodam, tad pievienojam pirmajam ciparam un iegūstam to, ko meklējam. Ja progresiju attēlo mazas vērtības, tad tajā nav nekā sarežģīta, bet ja nu nosacījumā mums ir doti skaitļi? Piekrītu, pastāv iespēja kļūdīties aprēķinos.
Tagad padomājiet, vai šo problēmu ir iespējams atrisināt vienā solī, izmantojot jebkuru formulu? Protams, jā, un mēs tagad mēģināsim to izcelt.
Apzīmēsim vēlamo aritmētiskās progresijas terminu kā, mēs zinām tā atrašanas formulu - šī ir tā pati formula, kuru mēs atvasinājām sākumā:
, Tad:
- iepriekšējais progresa dalībnieks ir:
- nākamais progresēšanas termiņš ir:
Summēsim iepriekšējos un nākamos progresijas dalībniekus:
Izrādās, ka iepriekšējo un nākamo progresijas locekļu summa ir divreiz lielāka par progresijas dalībnieka vērtību, kas atrodas starp tām. Citiem vārdiem sakot, lai atrastu progresijas locekļa vērtību ar zināmām iepriekšējām un secīgām vērtībām, tās ir jāsaskaita un jādala ar.
Tieši tā, mums ir vienāds numurs. Sakārtosim materiālu. Aprēķiniet progresēšanas vērtību paši, jo tas nemaz nav grūti.
Labi padarīts! Jūs zināt gandrīz visu par progresu! Atliek noskaidrot tikai vienu formulu, kuru, saskaņā ar leģendu, viens no visu laiku lielākajiem matemātiķiem, "matemātiķu karalis" - Kārlis Gauss, viegli izsecināja pats ...
Kad Kārlim Gausam bija 9 gadi, skolotājs, pārbaudot citu klašu skolēnu darbu, stundā uzdeva šādu uzdevumu: “Aprēķini visu summu naturālie skaitļi no līdz (saskaņā ar citiem avotiem līdz) ieskaitot. Kāds bija skolotāja pārsteigums, kad viens no viņa audzēkņiem (tas bija Kārlis Gauss) pēc minūtes sniedza pareizo atbildi uz uzdevumu, savukārt lielākā daļa pārdrošnieka klasesbiedru pēc ilgiem aprēķiniem saņēma nepareizu rezultātu ...
Jaunais Kārlis Gauss pamanīja rakstu, kuru var viegli pamanīt.
Pieņemsim, ka mums ir aritmētiskā progresija, kas sastāv no -ti locekļiem: Mums jāatrod aritmētiskās progresijas doto locekļu summa. Protams, mēs varam manuāli summēt visas vērtības, bet ja mums uzdevumā jāatrod tā terminu summa, kā to meklēja Gauss?
Attēlosim mums doto progresu. Uzmanīgi apskatiet izceltos skaitļus un mēģiniet ar tiem veikt dažādas matemātiskas darbības. 
Mēģināja? Ko jūs pamanījāt? Pa labi! Viņu summas ir vienādas
Tagad atbildiet, cik šādu pāru būs mums dotajā progresijā? Protams, tieši puse no visiem skaitļiem, tas ir.
Pamatojoties uz to, ka aritmētiskās progresijas divu vārdu summa ir vienāda un līdzīgu vienādu pāru summa, mēs iegūstam, ka kopējā summa ir vienāda ar:
.
Tādējādi jebkuras aritmētiskās progresijas pirmo vārdu summas formula būs šāda:
Dažās problēmās mēs nezinām th terminu, bet mēs zinām progresēšanas atšķirību. Mēģiniet aizstāt summas formulā th dalībnieka formulu.
Ko tu dabūji?
Labi padarīts! Tagad atgriezīsimies pie uzdevuma, kas tika uzdots Karlam Gausam: aprēķiniet paši, kāda ir skaitļu summa, kas sākas no -th, un skaitļu summa, kas sākas no -th.
Cik tu dabūji?
Gauss izrādījās, ka terminu summa ir vienāda, un terminu summa. Vai tā jūs izlēmāt?
Faktiski aritmētiskās progresijas locekļu summas formulu jau 3. gadsimtā pierādīja sengrieķu zinātnieks Diofants, un visu šo laiku asprātīgi cilvēki aritmētiskās progresijas īpašības izmantoja ar spēku un galveno.
Piemēram, iedomājieties Senā Ēģipte un tā laika lielākā būvlaukums - piramīdas celtniecība... Attēlā redzama viena tās puse. 
Kur te ir progresija, jūs sakāt? Paskatieties uzmanīgi un atrodiet smilšu bloku skaitu katrā piramīdas sienas rindā. 
Kāpēc ne aritmētiskā progresija? Saskaitiet, cik bloku nepieciešams vienas sienas uzbūvēšanai, ja pamatnē ir likti bloku ķieģeļi. Ceru, ka neskaitīsi, virzot pirkstu pa monitoru, vai atceries pēdējo formulu un visu, ko teicām par aritmētisko progresiju?
Šajā gadījumā progresēšana izskatās šādi:
Aritmētiskās progresijas atšķirība.
Aritmētiskās progresijas dalībnieku skaits.
Aizstāsim savus datus pēdējās formulās (bloku skaitu uzskaitām 2 veidos).
1. metode.
2. metode.
Un tagad jūs varat arī aprēķināt monitorā: salīdzināt iegūtās vērtības ar bloku skaitu, kas atrodas mūsu piramīdā. Vai tas piekrita? Labi darīts, jūs esat apguvis aritmētiskās progresijas vārdu summu.
Protams, jūs nevarat uzbūvēt piramīdu no blokiem pie pamatnes, bet no tā? Mēģiniet aprēķināt, cik smilšu ķieģeļu ir nepieciešams, lai izveidotu sienu ar šo nosacījumu.
Vai jums izdevās?
Pareizā atbilde ir bloki:
Apmācība
Uzdevumi:
- Maša iegūst formu vasarai. Katru dienu viņa palielina pietupienu skaitu par. Cik reižu Maša pietupīsies nedēļās, ja viņa veica pietupienus pirmajā treniņā.
- Kāda ir visu nepāra skaitļu summa, kas ietverta.
- Uzglabājot baļķus, mežstrādnieki tos sakrauj tā, lai katrā virskārtā būtu par vienu baļķi mazāk nekā iepriekšējā. Cik baļķu ir vienā mūrī, ja mūra pamats ir baļķi.
Atbildes:
- Definēsim aritmētiskās progresijas parametrus. Šajā gadījumā
(nedēļas = dienas).Atbilde: Divu nedēļu laikā Mašai vajadzētu tupēt reizi dienā.
- Pirmais nepāra skaitlis, pēdējais cipars.
Aritmētiskās progresijas atšķirība.
Nepāra skaitļu skaits uz pusi, tomēr pārbaudiet šo faktu, izmantojot formulu aritmētiskās progresijas -tā locekļa atrašanai:Cipari satur nepāra skaitļus.
Mēs aizstājam pieejamos datus formulā:Atbilde: Visu nepāra skaitļu summa ir vienāda ar.
- Atgādiniet problēmu par piramīdām. Mūsu gadījumā a , jo katrs augšējais slānis ir samazināts par vienu baļķi, ir tikai virkne slāņu, tas ir.
Aizvietojiet datus formulā:Atbilde: Mūrē ir baļķi.
Summējot
- - ciparu secība, kurā starpība starp blakus esošajiem skaitļiem ir vienāda un vienāda. Tas palielinās un samazinās.
- Formulas atrašana aritmētiskās progresijas locekli raksta ar formulu - , kur ir skaitļu skaits progresijā.
- Aritmētiskās progresijas locekļu īpašība- - kur - skaitļu skaits progresijā.
- Aritmētiskās progresijas locekļu summa var atrast divos veidos:
, kur ir vērtību skaits.
ARITMĒTISKĀ PROGRESIJA. VIDĒJAIS LĪMENIS
Ciparu secība
Apsēdīsimies un sāksim rakstīt dažus skaitļus. Piemēram:
Jūs varat rakstīt jebkurus ciparus, un to var būt tik daudz, cik vēlaties. Bet jūs vienmēr varat pateikt, kurš no tiem ir pirmais, kurš ir otrais un tā tālāk, tas ir, mēs varam tos numurēt. Šis ir skaitļu virknes piemērs.
Ciparu secība ir skaitļu kopa, no kuriem katram var piešķirt unikālu numuru.
Citiem vārdiem sakot, katru skaitli var saistīt ar noteiktu naturālu skaitli un tikai vienu. Un mēs nepiešķirsim šo numuru nevienam citam numuram no šī komplekta.
Skaitlis ar skaitli tiek saukts par --to secības dalībnieku.
Mēs parasti saucam visu secību par kādu burtu (piemēram,), un katru šīs secības dalībnieku - vienu un to pašu burtu ar indeksu, kas vienāds ar šī elementa numuru: .
Tas ir ļoti ērti, ja secības --to locekli var norādīt ar kādu formulu. Piemēram, formula
nosaka secību:
Un formula ir šāda secība:
Piemēram, aritmētiskā progresija ir secība (pirmais termins šeit ir vienāds un starpība). Vai (, atšķirība).
n-tā termina formula
Par atkārtotu saucam formulu, kurā, lai uzzinātu --to terminu, ir jāzina iepriekšējais vai vairāki iepriekšējie:
Lai, piemēram, atrastu progresijas th, izmantojot šādu formulu, ir jāaprēķina iepriekšējie deviņi. Piemēram, ļaujiet. Pēc tam:
Nu, tagad ir skaidrs, kāda ir formula?
Katrā rindā mēs pievienojam, reizinot ar kādu skaitli. Par ko? Ļoti vienkārši: šis ir pašreizējā dalībnieka numurs mīnus:
Tagad daudz ērtāk, vai ne? Mēs pārbaudām:
Izlemiet paši:
Aritmētiskajā progresijā atrodiet n-tā vārda formulu un atrodiet simto daļu.
Risinājums:
Pirmais dalībnieks ir vienāds. Un kāda ir atšķirība? Un, lūk, kas:
(galu galā to sauc par starpību, jo tā ir vienāda ar secīgo progresijas dalībnieku starpību).
Tātad formula ir:
Tad simtais termins ir:
Kāda ir visu naturālo skaitļu summa no līdz?
Saskaņā ar leģendu izcilais matemātiķis Karls Gauss, būdams 9 gadus vecs zēns, dažu minūšu laikā aprēķināja šo summu. Viņš pamanīja, ka pirmā un pēdējā skaitļa summa ir vienāda, otrā un priekšpēdējā summa ir vienāda, trešā un 3. summa no beigām ir vienāda utt. Cik ir šādu pāru? Tieši tā, tieši puse no visu skaitļu skaita, tas ir. Tātad,
Jebkuras aritmētiskās progresijas pirmo vārdu summas vispārējā formula būs šāda:
Piemērs:
Atrodiet visu summu divciparu skaitļi, daudzkārtēji.
Risinājums:
Pirmais šāds skaitlis ir šis. Katru nākamo iegūst, pievienojot skaitli iepriekšējam. Tādējādi mūs interesējošie skaitļi veido aritmētisko progresiju ar pirmo biedru un starpību.
Šīs progresēšanas termiņa formula ir šāda:
Cik terminu ir progresijā, ja tiem visiem ir jābūt diviem cipariem?
Ļoti viegli: .
Pēdējais progresēšanas termiņš būs vienāds. Tad summa:
Atbilde: .
Tagad izlemiet paši:
- Katru dienu sportists noskrien par 1m vairāk nekā iepriekšējā dienā. Cik kilometrus viņš noskries nedēļās, ja pirmajā dienā noskrēja km m?
- Velosipēdists katru dienu nobrauc vairāk jūdžu nekā iepriekšējais. Pirmajā dienā viņš nobrauca km. Cik dienas viņam jābrauc, lai nobrauktu kilometru? Cik kilometrus viņš nobrauks pēdējā ceļojuma dienā?
- Ledusskapja cena veikalā katru gadu tiek samazināta par tādu pašu summu. Nosakiet, cik ik gadu samazinājās ledusskapja cena, ja, laists pārdošanā par rubļiem, pēc sešiem gadiem tas tika pārdots par rubļiem.
Atbildes:
- Šeit vissvarīgākais ir atpazīt aritmētisko progresiju un noteikt tās parametrus. Šajā gadījumā (nedēļas = dienas). Jums ir jānosaka šīs progresēšanas pirmo nosacījumu summa:
.
Atbilde: - Šeit ir dots:, ir jāatrod.
Acīmredzot jums ir jāizmanto tā pati summas formula kā iepriekšējā uzdevumā:
.
Aizstāt vērtības:Sakne acīmredzot neder, tāpēc atbilde.
Aprēķināsim pēdējās dienas laikā nobraukto attālumu, izmantojot -tā dalībnieka formulu:
(km).
Atbilde: - Ņemot vērā:. Atrast: .
Tas nepaliek vieglāk:
(berzēt).
Atbilde:
ARITMĒTISKĀ PROGRESIJA. ĪSUMĀ PAR GALVENO
Šī ir skaitliska secība, kurā starpība starp blakus esošajiem skaitļiem ir vienāda un vienāda.
Aritmētiskā progresija palielinās () un samazinās ().
Piemēram:
Aritmētiskās progresijas n-tā dalībnieka atrašanas formula
ir uzrakstīts kā formula, kur ir skaitļu skaits progresijā.
Aritmētiskās progresijas locekļu īpašība
Tas atvieglo progresijas dalībnieku atrašanu, ja ir zināmi tā blakus esošie dalībnieki — kur ir progresijas skaitļu skaits.
Aritmētiskās progresijas locekļu summa
Ir divi veidi, kā atrast summu:
Kur ir vērtību skaits.
Kur ir vērtību skaits.
