Ďalej zvážime dobre známe metódy na generovanie efektívnych pytagorovských trojíc. Študenti Pytagoriády ako prví vymysleli jednoduchý spôsob generovania pytagorovských trojíc pomocou vzorca, ktorého časti predstavujú pytagorejskú trojicu:

m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ((m 2 + 1)/2) 2 ,

Kde m- nepárové, m>2. naozaj,

4m 2 + m 4 − 2m 2 + 1
m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((m 2 + 1)/2) 2 .
4

Podobný vzorec navrhol staroveký grécky filozof Platón:

(2m) 2 + (m 2 − 1) 2 = (m 2 + 1) 2 ,

Kde m- ľubovoľné číslo. Pre m= 2,3,4,5 vygenerujú sa tieto triplety:

(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).

Ako vidíte, tieto vzorce nemôžu poskytnúť všetky možné primitívne trojnásobky.

Zvážte nasledujúci polynóm, ktorý sa rozloží na súčet polynómov:

(2m 2 + 2m + 1) 2 = 4m 4 + 8m 3 + 8m 2 + 4m + 1 =
=4m 4 + 8m 3 + 4m 2 + 4m 2 + 4m + 1 = (2m(m+1)) 2 + (2m +1) 2 .

Preto nasledujúce vzorce na získanie primitívnych trojíc:

a = 2m +1 , b = 2m(m+1) = 2m 2 + 2m , c = 2m 2 + 2m + 1.

Tieto vzorce generujú trojičky, v ktorých sa priemerné číslo líši od najväčšieho presne o jednu, to znamená, že nie sú vygenerované všetky možné trojky. Tu sú prvé trojice: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61).

Aby sme určili, ako generovať všetky primitívne trojky, musíme preskúmať ich vlastnosti. Po prvé, ak ( a,b,c) je teda primitívna trojka a A b, b A c, A A c— musí byť coprime. Nechaj a A b sa delia na d. Potom a 2 + b 2 je tiež deliteľné d. resp. c 2 a c treba rozdeliť na d. To znamená, že nejde o primitívnu trojku.

Po druhé, medzi číslami a, b jeden musí byť spárovaný a druhý nespárovaný. Skutočne, ak a A b- teda spárované s budú spárované a čísla môžu byť vydelené aspoň 2. Ak sú obe nespárované, potom môžu byť reprezentované ako 2 k+1 i 2 l+1, kde k,l- nejaké čísla. Potom a 2 + b 2 = 4k 2 +4k+1+4l 2 +4l+1, tj. s 2, ako aj a 2 + b 2 má pri delení 4 zvyšok 2.

Nechaj s- ľubovoľné číslo, tj s = 4k+i (i=0,...,3). Potom s 2 = (4k+i) 2 má zvyšok 0 alebo 1 a nemôže mať zvyšok 2. a A b nemožno zrušiť spárovanie, tzn a 2 + b 2 = 4k 2 +4k+4l 2 +4l+1 a zvyšok s 2 x 4 by malo byť 1, čo znamená, že s by mal byť nespárovaný.

Takéto požiadavky na prvky pytagorejskej trojky sú splnené nasledujúcimi číslami:

a = 2mn, b = m 2 − n 2 , c = m 2 + n 2 , m > n, (2)

Kde m A n sú coprime s rôznymi pármi. Prvýkrát sa tieto závislosti stali známymi z diel Euklida, ktorý žil 2300 r. späť.

Dokážme platnosť závislostí (2). Nechaj A- teda dvojitý b A c- nepárový. Potom c + b i c − b- páry. Môžu byť zastúpené ako c + b = 2u A c − b = 2v, Kde u,v sú nejaké celé čísla. Preto

a 2 = s 2 − b 2 = (c + b)(c − b) = 2u 2 v = 4UV

A preto ( a/2) 2 = UV.

Dá sa to dokázať protirečením u A v sú coprime. Nechaj u A v- sa delia na d. Potom ( c + b) A ( c − b) sa delia na d. A preto c A b treba rozdeliť na d, a to je v rozpore s podmienkou pre pytagorejskú trojku.

Pretože UV = (a/2) 2 a u A v coprime, je ľahké to dokázať u A v musia byť druhé mocniny niektorých čísel.

Takže existujú kladné celé čísla m A n, také že u = m 2 a v = n 2. Potom

A 2 = 4UV = 4m 2 n 2 tak
A = 2mn; b = u − v = m 2 − n 2 ; c = u + v = m 2 + n 2 .

Pretože b> 0 teda m > n.

Zostáva to ukázať m A n majú rôzne párovania. Ak m A n- teda spárované u A v musia byť spárované, ale to nie je možné, pretože sú coprime. Ak m A n- teda nepárové b = m 2 − n 2 a c = m 2 + n 2 by boli spárované, čo je nemožné, pretože c A b sú coprime.

Akákoľvek primitívna pytagorovská trojica teda musí spĺňať podmienky (2). Zároveň aj čísla m A n volal generovanie čísel primitívne trojičky. Majme napríklad primitívnu pytagorejskú trojku (120 119 169). V tomto prípade

A= 120 = 2 12 5, b= 119 = 144 − 25 a c = 144+25=169,

Kde m = 12, n= 5 - generovanie čísel, 12 > 5; 12 a 5 sú koprimárne a rôznych párov.

Dá sa dokázať, že čísla m, n vzorce (2) dávajú primitívnu pytagorejskú trojicu (a,b,c). naozaj,

A 2 + b 2 = (2mn) 2 + (m 2 − n 2) 2 = 4m 2 n 2 + (m 4 − 2m 2 n 2 + n 4) =
= (m 4 + 2m 2 n 2 + n 4) = (m 2 + n 2) 2 = c 2 ,

To je ( a,b,c) je pytagorejská trojka. Dokážme, že kým a,b,c sú prvočísla podľa rozporu. Nech sa tieto čísla vydelia p> 1. Odkedy m A n mať potom rôzne párovania b A c- nepárový, tzn p≠ 2. Odkedy R rozdeľuje b A c, To R treba rozdeliť 2 m 2 a 2 n 2 , čo je nemožné, pretože p≠ 2. Preto m, n sú koprimové a a,b,c sú tiež coprime.

Tabuľka 1 ukazuje všetky primitívne pytagorejské trojky generované vzorcami (2) pre m≤10.

Tabuľka 1. Primitívne pytagorejské trojky pre m≤10

m	n	a	b	c	m	n	a	b	c
2	1	4	3	5	8	1	16	63	65
3	2	12	5	13	8	3	48	55	73
4	1	8	15	17	8	5	80	39	89
4	3	24	7	25	8	7	112	15	113
5	2	20	21	29	9	2	36	77	85
5	4	40	9	41	9	4	72	65	97
6	1	12	35	37	9	8	144	17	145
6	5	60	11	61	10	1	20	99	101
7	2	28	45	53	10	3	60	91	109
7	4	56	33	65	10	7	140	51	149
7	6	84	13	85	10	9	180	19	181

Analýza tejto tabuľky ukazuje prítomnosť nasledujúcich sérií vzorov:

• alebo a, alebo b sú delené 3;
• jedno z čísel a,b,c je deliteľné 5;
• číslo A je deliteľné 4;
• práca a· b je deliteľné 12.

V roku 1971 navrhli americkí matematici Teigan a Hedwin také málo známe parametre pre generovanie trojíc správny trojuholník ako jeho výška (výška) h = c− b a prebytok (úspech) e = a + b − c. Na obr. tieto veličiny sú znázornené na určitom pravouhlom trojuholníku.

Obrázok 1. Pravý trojuholník a jeho rast a prebytok

Názov „exces“ je odvodený od toho, že ide o dodatočnú vzdialenosť, ktorú je potrebné prejsť po nohách trojuholníka z jedného vrcholu do opačného, ​​ak nejdete po jeho uhlopriečke.

Prostredníctvom prebytku a rastu možno strany Pytagorovho trojuholníka vyjadriť ako:

e 2 e 2
a = h + e, b = e + ——, c = h + e + ——, (3)
2h 2h

Nie všetky kombinácie h A e môže zodpovedať pytagorovým trojuholníkom. Za danú h možné hodnoty e je súčin nejakého čísla d. Toto číslo d sa nazýva rast a odkazuje na h nasledujúcim spôsobom: d je najmenšie kladné celé číslo, ktorého druhá mocnina je deliteľná 2 h. Pretože e viacnásobné d, potom sa píše ako e = kd, Kde k je kladné celé číslo.

S pomocou párov ( k,h) môžete vygenerovať všetky pytagorejské trojuholníky, vrátane neprimitívnych a zovšeobecnených, takto:

(nevie) 2 (nevie) 2
a = h + nevie, b = nevie + ——, c = h + nevie + ——, (4)
2h 2h

Navyše, trojka je primitívna, ak k A h sú coprime a ak h =± q 2 at q- nepárový.
Navyše to bude presne pytagorejské trojité if k> √2 h/d A h > 0.

Nájsť k A h od ( a,b,c) urobte nasledovné:

• h = c − b;
• zapísať h Ako h = pq 2, kde p> 0 a také, ktoré nie je štvorec;
• d = 2pq Ak p- nespárované a d = pq, ak p je spárované;
• k = (a − h)/d.

Napríklad pre trojku (8,15,17) máme h= 17−15 = 2 1, takže p= 2 a q = 1, d= 2 a k= (8 − 2)/2 = 3. Táto trojica je teda daná ako ( k,h) = (3,2).

Za trojku (459 1260 1341) máme h= 1341 − 1260 = 81, tj p = 1, q= 9 a d= 18, teda k= (459 − 81)/18 = 21, takže kód tejto trojice je ( k,h) = (21, 81).

Určenie trojíc s h A k má množstvo zaujímavých vlastností. Parameter k rovná sa

k = 4S/(dP), (5)

Kde S = ab/2 je plocha trojuholníka a P = a + b + c je jeho obvod. Vyplýva to z rovnosti eP = 4S, ktorý pochádza z Pytagorovej vety.

Pre pravouhlý trojuholník e sa rovná priemeru kruhu vpísaného do trojuholníka. Vyplýva to zo skutočnosti, že prepona s = (A − r)+(b − r) = a + b − 2r, Kde r je polomer kruhu. Odtiaľ h = c − b = A − 2r A e = a − h = 2r.

Pre h> 0 a k > 0, k je radový počet trojíc a-b-c v postupnosti pytagorovských trojuholníkov s rastúcim h. Z tabuľky 2, ktorá ukazuje niekoľko možností pre trojice generované pármi h, k, je vidieť, že s pribúdajúcimi k strany trojuholníka sa zväčšujú. Teda na rozdiel od klasického číslovania, číslovanie v pároch h, k má vyššie poradie v sekvenciách tripletov.

Tabuľka 2. Pytagorejské trojky generované pármi h, k.

h	k	a	b	c	h	k	a	b	c
2	1	4	3	5	3	1	9	12	15
2	2	6	8	10	3	2	15	36	39
2	3	8	15	17	3	3	21	72	75
2	4	10	24	26	3	4	27	120	123
2	5	12	35	37	3	5	33	180	183

Pre h > 0, d spĺňa nerovnosť 2√ h ≤ d ≤ 2h, v ktorom je spodná hranica dosiahnutá pri p= 1 a horná, at q= 1. Preto hodnota d vzhľadom na 2√ h je mierou toho, koľko hďaleko od druhej mocniny nejakého čísla.

vzdelávacie: ak chcete študovať niekoľko pytagorovských trojíc, vytvorte algoritmus na ich aplikáciu v rôzne situácie, urobte si poznámku o ich použití.

Vzdelávacie: formovanie vedomého postoja k učeniu, rozvoj kognitívnej činnosti, kultúra vzdelávacej práce.

Vzdelávacie: rozvoj geometrickej, algebraickej a numerickej intuície, vynaliezavosti, pozorovania, pamäti.

Počas vyučovania

I. Organizačný moment

II. Vysvetlenie nového materiálu

Učiteľ: Záhada príťažlivej sily pytagorejských trojíc už dlho znepokojuje ľudstvo. Jedinečné vlastnosti pytagorovských trojíc vysvetľujú ich osobitnú úlohu v prírode, hudbe a matematike. Pytagorovo kúzlo, Pytagorova veta, zostáva v mozgoch miliónov, ak nie miliárd ľudí. Toto je základná veta, ktorú si musí každý školák zapamätať. Hoci je Pytagorova veta zrozumiteľná pre desaťročné deti, je inšpiratívnym začiatkom problému, ktorý nedokázali vyriešiť najväčšie mysle v dejinách matematiky: Fermatova veta. Pytagoras z ostrova Samos (porov. Príloha 1 , snímka 4) bol jednou z najvplyvnejších, no zároveň záhadných postáv v matematike. Keďže neexistujú žiadne spoľahlivé záznamy o jeho živote a diele, jeho život je zahalený mýtmi a legendami a pre historikov je ťažké oddeliť fakty od fikcie. Niet pochýb o tom, že Pytagoras rozvinul myšlienku logiky čísel a že práve jemu vďačíme za prvý zlatý vek matematiky. Vďaka jeho genialite už čísla neslúžili len na počítanie a výpočty a boli najskôr oceňované. Pytagoras študoval vlastnosti určitých tried čísel, vzťahy medzi nimi a útvary tvoriace čísla. Pytagoras si uvedomil, že čísla existujú nezávisle od hmotného sveta, a preto nepresnosť našich zmyslov neovplyvňuje štúdium čísel. Znamenalo to, že Pytagoras získal schopnosť objavovať pravdy nezávisle od názoru či predsudkov kohokoľvek. Pravdy sú absolútnejšie ako akékoľvek predchádzajúce poznatky. Na základe preštudovanej literatúry týkajúcej sa pytagorovských trojíc nás bude zaujímať možnosť využitia pytagorovských trojíc pri riešení úloh trigonometrie. Preto si stanovíme cieľ: preštudovať niekoľko pytagorovských trojíc, vyvinúť algoritmus na ich aplikáciu, zostaviť poznámku o ich použití, vykonať štúdiu o ich aplikácii v rôznych situáciách.

Trojuholník ( snímka 14), ktorého strany sa rovnajú pytagorovým číslam, je obdĺžnikový. Navyše každý takýto trojuholník je Herónsky, t.j. taký, v ktorom sú všetky strany a plocha celé čísla. Najjednoduchší z nich je egyptský trojuholník so stranami (3, 4, 5).

Urobme sériu pytagorovských trojíc tak, že čísla (3, 4, 5) vynásobíme 2, 3, 4. Dostaneme rad pytagorovských trojíc, zoradíme ich vzostupne podľa maximálneho počtu, vyberieme primitívne.

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) , (9, 12, 13), (8, 15, 17) , (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25) , (10, 24, 26), (20, 21, 29) , (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41) , (14, 48, 50), (30, 40, 50).

III. Počas vyučovania

1. Vráťme sa k úlohám:

1) Pomocou vzťahov medzi goniometrickými funkciami toho istého argumentu nájdite, či

je známe, že.

2) Nájdite hodnotu goniometrických funkcií uhla?, ak je známe, že:

3) Systém tréningových úloh na tému „Sčítacie vzorce“

s vedomím, že sin = 8/17, cos = 4/5 a sú to uhly prvej štvrtiny, nájdite hodnotu výrazu:

vediac, že ​​a sú uhly druhej štvrtiny, sin = 4/5, cos = - 15/17, nájdite:.

4) Systém tréningových úloh na tému „Vzorce s dvojitým uhlom“

a) Nech sin = 5/13 je uhol druhej štvrtiny. Nájdite sin2, cos2, tg2, ctg2.

b) Je známe, že tg? \u003d 3/4, - uhol tretej štvrtiny. Nájdite sin2, cos2, tg2, ctg2.

c) Je známe, že , 0< < . Найдите sin, cos, tg, ctg.

d) Je známe, že , < < 2. Найдите sin, cos, tg.

e) Nájdite tg( + ), ak je známe, že cos = 3/5, cos = 7/25, kde a sú uhly prvej štvrtiny.

f) Nájsť , je uhol tretej štvrtiny.

Problém riešime tradičným spôsobom pomocou základných goniometrických identít a potom tie isté problémy riešime racionálnejším spôsobom. Na tento účel používame algoritmus na riešenie problémov pomocou pytagorovských trojíc. Vytvárame poznámku na riešenie problémov pomocou pytagorovských trojíc. Aby sme to dosiahli, pripomíname definíciu sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu, ostrý uhol pravouhlý trojuholník, znázornite ho, v závislosti od podmienok problému na stranách pravouhlého trojuholníka správne usporiadame pytagorejské trojice ( ryža. 1). Zapíšeme pomer a usporiadame znamienka. Algoritmus bol vyvinutý.

Obrázok 1

Algoritmus riešenia problémov

Zopakujte si (preštudujte si) teoretický materiál.

Poznať naspamäť primitívne pytagorejské trojky a v prípade potreby vedieť zostrojiť nové.

Použite Pytagorovu vetu pre body s racionálnymi súradnicami.

Poznať definíciu sínusu, kosínusu, dotyčnice a kotangensu ostrého uhla pravouhlého trojuholníka, vedieť nakresliť pravouhlý trojuholník a podľa stavu úlohy správne usporiadať pytagorejské trojice na stranách trojuholníka.

Poznať znaky sínus, kosínus, tangens a kotangens v závislosti od ich umiestnenia v súradnicová rovina.

Požadované požiadavky:

1. vedieť, aké znamienka majú sínus, kosínus, dotyčnica, kotangens v každej zo štvrtín súradnicovej roviny;
2. poznať definíciu sínusu, kosínusu, dotyčnice a kotangensu ostrého uhla pravouhlého trojuholníka;
3. poznať a vedieť aplikovať Pytagorovu vetu;
4. poznať základné trigonometrické identity, vzorce na sčítanie, vzorce s dvojitým uhlom, vzorce s polovičným argumentom;
5. poznať vzorce znižovania.

Na základe vyššie uvedeného vyplňte tabuľku ( stôl 1). Musí sa vyplniť podľa definície sínusu, kosínusu, dotyčnice a kotangensu alebo pomocou Pytagorovej vety pre body s racionálnymi súradnicami. V tomto prípade je neustále potrebné pamätať na znamienka sínus, kosínus, dotyčnica a kotangens v závislosti od ich polohy v súradnicovej rovine.

stôl 1

		Trojice čísel		hriech	cos	tg	ctg
		(3, 4, 5)	I hodina
		(6, 8, 10)	II hodina			-	-
		(5, 12, 13)	3. hodina	-	-
		(8, 15, 17)	IV hodina	-		-	-
		(9, 40, 41)	I hodina

Pre úspešnú prácu môžete použiť poznámku o používaní pytagorovských trojíc.

tabuľka 2

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) , (9, 12, 13), (8, 15, 17) , (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25) , (10, 24, 26), (20, 21, 29) , (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41) , (14, 48, 50), (30, 40, 50), …

2. Rozhodujeme sa spolu.

1) Úloha: nájdite cos, tg a ctg, ak sin = 5/13, ak - uhol druhej štvrtiny.

Pytagorove trojice čísel

tvorivá práca

študent 8 "A" trieda

MAOU "Gymnázium č. 1"

Oktyabrsky okres Saratov

Panfilová Vladimír

Školiteľ - učiteľ matematiky najvyššej kategórie

Grishina Irina Vladimirovna

Obsah

Úvod……………………………………………………………………………………………………… 3

Teoretická časť práce

Nájdenie základného Pytagorovho trojuholníka

(vzorce starých hinduistov)……………………………………………………………………… 4

Praktická časť práce

Skladanie pytagorovských trojíc rôznymi spôsobmi……………………………….. 6

Dôležitá vlastnosť pytagorovských trojuholníkov………………………………………...8

Záver………………………………………………………………………………………....9

Literatúra………………………………………………………………………………………... 10

Úvod

V tom akademický rok na hodinách matematiky sme študovali jednu z najpopulárnejších viet geometrie – Pytagorovu vetu. Pytagorova veta sa v geometrii uplatňuje na každom kroku, našla široké uplatnenie v praxi i bežnom živote. Ale okrem samotnej vety sme študovali aj vetu inverznú k Pytagorovej vete. V súvislosti so štúdiom tejto vety sme sa zoznámili s pytagorovskými trojicami čísel, t.j. so súpravami po 3 prirodzené čísla a , b Ac , pre ktorý platí vzťah: = + . Medzi takéto množiny patria napríklad tieto trojičky:

3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 20,21,29; 9,40,41; 12,35,37

Okamžite som mal otázky: koľko pytagorovských trojíc dokážete vymyslieť? A ako ich skladať?

V našej učebnici geometrie, po predložení vety konvertujúcej k Pytagorovej vete, zaznela dôležitá poznámka: možno dokázať, že nohyA Ab a preponus pravouhlé trojuholníky, ktorých dĺžky strán sú vyjadrené v prirodzených číslach, možno nájsť podľa vzorcov:

A = 2 km b = k( - )c = k( + , (1)

Kdek , m , n sú akékoľvek prirodzené čísla am > n .

Prirodzene vyvstáva otázka - ako dokázať tieto vzorce? A možno len pomocou týchto vzorcov vytvoriť pytagorejské trojky?

Vo svojej práci som sa pokúsil odpovedať na otázky, ktoré mi vyvstali v mysli.

Teoretická časť práce

Nájdenie hlavného pytagorejského trojuholníka (vzorce starých hinduistov)

Najprv dokážme vzorce (1):

Označme dĺžky nôh cezX Apri a dĺžka prepony cezz . Podľa Pytagorovej vety máme rovnosť:+ = .(2)

Táto rovnica sa nazýva Pytagorova rovnica. Štúdium pytagorovských trojuholníkov sa redukuje na riešenie rovnice (2) v prirodzených číslach.

Ak sa každá strana nejakého pytagorejského trojuholníka zväčší o rovnaký počet, tak dostaneme nový pravouhlý trojuholník podobný danému so stranami vyjadrenými v prirodzených číslach, t.j. opäť pytagorovský trojuholník.

Medzi všetkými podobnými trojuholníkmi je ten najmenší, je ľahké uhádnuť, že to bude trojuholník, ktorého stranyX Apri vyjadrené v hlavných číslach

(gcd (x, y )=1).

Takýto pytagorovský trojuholník nazývameHlavná .

Nájdenie hlavných pytagorovských trojuholníkov.

Nechajte trojuholník (X , r , z ) je hlavný pytagorejský trojuholník. číslaX Apri sú coprime, a preto nemôžu byť obe párne. Dokážme, že nemôžu byť oboje nepárne. Za týmto účelom poznamenávameDruhá mocnina nepárneho čísla pri delení 8 dáva zvyšok 1. Akékoľvek nepárne prirodzené číslo môže byť reprezentované ako2 k -1 , Kdek patríN .

Odtiaľ: = -4 k +1 = 4 k ( k -1)+1.

čísla( k -1) Ak sú za sebou, jeden z nich musí byť párny. Potom výrazk ( k -1) deleno2 , 4 k ( k -1) je deliteľné 8, čo znamená pri delení 8 je zvyšok 1.

Súčet druhých mocnín dvoch nepárnych čísel dáva pri delení 8 zvyšok 2, preto súčet druhých mocnín dvoch nepárnych čísel je párne číslo, ale nie násobok 4, a preto toto číslonemôže byť druhou mocninou prirodzeného čísla.

Takže rovnosť (2) nemôže platiť, akX Apri obaja sú zvláštne.

Ak teda Pytagorejský trojuholník (x, y, z ) - hlavný, potom medzi číslamiX Apri jeden musí byť párny a druhý musí byť nepárny. Nech je číslo y párne. číslaX Az nepárny (nepárnyz vyplýva z rovnosti (2)).

Z rovnice+ = dostaneme to= ( z + X )( z - X ) (3).

číslaz + X Az - X keďže súčet a rozdiel dvoch nepárnych čísel sú párne čísla, a preto (4):

z + X = 2 a , z - X = 2 b , KdeA Ab patriaN .

z + X =2 a , z - X = 2 b ,

z = a+b , X = a - b. (5)

Z týchto rovností vyplýva, žea Ab sú relatívne prvočísla.

Dokazujeme to tvrdením z opaku.

Nechajte GCD (a , b )= d , Kded >1 .

Potomd z AX , a teda tie číslaz + X Az - X . Potom na základe rovnosti (3) by bol deliteľ . V tomto prípaded bolo by spoločný deliteľčíslapri AX , ale číslapri AX musí byť coprime.

číslopri je známe, že je párne, takžey = 2 s , Kdes - prirodzené číslo. Rovnosť (3) založená na rovnosti (4) má nasledujúcu formu: = 2a*2 b , alebo =ab.

Z aritmetiky je známe, žeak súčin dvoch prvočísel je druhou mocninou prirodzeného čísla, potom každé z týchto čísel je tiež druhou mocninou prirodzeného čísla.

znamená,a = Ab = , Kdem An sú prvočísla, pretože sú deliteľmi prvočíselA Ab .

Na základe rovnosti (5) máme:

z = + , X = - , = ab = * = ; c = mn

Potomy = 2 mn .

číslam An , pretože sú coprime, nemôžu byť párne súčasne. Ale nemôžu byť zároveň nepárne, pretože v tomto prípadex = - by bolo rovnomerné, čo je nemožné. Takže jedno z číselm alebon je párne a druhé je nepárne. samozrejme,y = 2 mn je deliteľné 4. Preto v každom hlavnom pytagorejskom trojuholníku je aspoň jedna z ramien deliteľná 4. Z toho vyplýva, že neexistujú pytagorejské trojuholníky, ktorých všetky strany by boli prvočísla.

Získané výsledky možno vyjadriť ako nasledujúca veta:

Všetky hlavné trojuholníky, v ktorýchpri je párne číslo, sa získajú zo vzorca

x = - , r =2 mn , z = + ( m > n ), Kdem An - všetky dvojice prvočísel, z ktorých jeden je párny a druhý nepárny (je jedno ktoré). Každá základná pytagorejská trojica (x, y, z ), Kdepri – dokonca, je určená jednoznačne týmto spôsobom.

číslam An nemôže byť oboje párne alebo oboje nepárne, pretože v týchto prípadoch

x = by bolo rovnomerné, čo je nemožné. Takže jedno z číselm alebon párne a druhé nepárner = 2 mn deliteľné 4).

Praktická časť práce

Skladanie pytagorovských trojíc rôznymi spôsobmi

V hinduistických vzorcochm An - coprime, ale môžu to byť čísla s ľubovoľnou paritou a je dosť ťažké pomocou nich vytvoriť pytagorejské trojky. Skúsme preto nájsť iný prístup k zostavovaniu pytagorovských trojíc.

= - = ( z - r )( z + r ), KdeX - zvláštny,r - dokonca,z - zvláštny

v = z - r , u = z + r

= UV , Kdeu - zvláštny,v – nepárny (koprimový)

Pretože súčin dvoch nepárnych prvočísel je teda druhou mocninou prirodzeného číslau = , v = , Kdek Al sú coprime, nepárne čísla.

z - r = z + r = k 2 , preto pripočítaním rovnosti a odčítaním od seba dostaneme:

2 z = + 2 r = - to jest

z= y= x = kl

k

l

X

r

z

37

9

1

9

40

41 (snuly)*(100…0 (snuly) +1)+1 =200…0 (s-1nuly) 200…0 (s-1nuly) 1

Dôležitá vlastnosť pytagorovských trojuholníkov

Veta

V hlavnom pytagorejskom trojuholníku je jedna z nôh nutne deliteľná 4, jedna z nôh je nevyhnutne deliteľná 3 a plocha pytagorejského trojuholníka je nevyhnutne násobkom 6.

Dôkaz

Ako vieme, v každom Pytagorovom trojuholníku je aspoň jedna z nôh deliteľná 4.

Dokážme, že jedna z nôh je tiež deliteľná 3.

Aby sme to dokázali, predpokladajme, že v Pytagorovom trojuholníku (X , r , z X alebor násobok 3.

Teraz dokážeme, že oblasť Pytagorovho trojuholníka je deliteľná 6.

Každý pytagorovský trojuholník má obsah vyjadrený ako prirodzený násobok 6. Vyplýva to zo skutočnosti, že aspoň jedna z nožičiek je deliteľná 3 a aspoň jedna z nožičiek je deliteľná 4. Plocha trojuholníka, určený polovičným súčinom nôh, musí byť vyjadrený násobkom 6 .

Záver

V práci

- osvedčené receptúry starých hinduistov

- vykonal štúdiu o počte pytagorovských trojíc (je ich nekonečne veľa)

- sú indikované metódy na nájdenie pytagorovských trojíc

- študoval niektoré vlastnosti pytagorovských trojuholníkov

Pre mňa to bolo veľmi zaujímavá téma a hľadanie odpovedí na moje otázky sa stalo veľmi zaujímavou činnosťou. V budúcnosti plánujem zvážiť spojenie Pytagorových trojíc s Fibonacciho postupnosťou a Fermatovou vetou a naučiť sa mnoho ďalších vlastností Pytagorových trojuholníkov.

Literatúra

L.S. Atanasyan "Geometria. 7-9 ročníkov" M.: Vzdelávanie, 2012.

V. Serpinsky „Pytagorejské trojuholníky“ M.: Uchpedgiz, 1959.

Saratov

2014

Štúdium vlastností prirodzených čísel priviedlo Pytagorejcov k ďalšiemu „večnému“ problému teoretickej aritmetiky (teórie čísel) – problému, ktorého zárodky si prenikli už dávno pred Pytagorasom v r. Staroveký Egypt a Staroveký Babylon a spoločné riešenie sa dodnes nenašlo. Začnime problémom, ktorý možno v moderných podmienkach formulovať takto: vyriešte neurčitú rovnicu v prirodzených číslach

Dnes sa táto úloha volá problém Pytagoras, a jeho riešenia - trojice prirodzených čísel vyhovujúce rovnici (1.2.1) - sa nazývajú Pytagorove trojky. Vzhľadom na zjavnú súvislosť Pytagorovej vety s Pytagorovým problémom môže byť tomuto problému daná geometrická formulácia: nájdite všetky pravouhlé trojuholníky s celými nohami. X, r a celočíselnú preponu z.

Konkrétne riešenia pytagorejského problému boli známe už v staroveku. V papyruse z čias faraóna Amenemheta I. (asi 2000 pred Kr.), uloženom v Egyptskom múzeu v Berlíne, nájdeme pravouhlý trojuholník s pomerom strán (). Podľa najväčšieho nemeckého historika matematiky M. Kantora (1829 - 1920) v starovekom Egypte existovalo zvláštne povolanie harpedonapty- „napínače lana“, ktorí pri slávnostnom ceremoniáli kladenia chrámov a pyramíd vyznačili pravé uhly lanom s 12 (= 3 + 4 + 5) rovnako rozmiestnenými uzlami. Spôsob výstavby pravý uhol harpedonapt je zrejmé z obrázku 36.

Treba povedať, že ďalší znalec antickej matematiky van der Waerden s Cantorom kategoricky nesúhlasí, hoci samotné proporcie staroegyptskej architektúry svedčia v prospech Cantora. Nech je to akokoľvek, dnes sa nazýva pravouhlý trojuholník s pomerom strán egyptský.

Ako je uvedené na str. 76 sa zachovala hlinená tabuľka pochádzajúca zo starobabylonskej éry, ktorá obsahuje 15 radov pytagorejských trojíc. Okrem triviálnej trojky získanej z egyptského (3, 4, 5) vynásobením 15 (45, 60, 75) existujú aj veľmi zložité pytagorejské trojky, ako (3367, 3456, 4825) a dokonca (12709 , 13500, 18541)! Niet pochýb o tom, že tieto čísla neboli zistené jednoduchým výpočtom, ale nejakými jednotnými pravidlami.

Napriek tomu otázku všeobecného riešenia rovnice (1.2.1) v prirodzených číslach nastolili a vyriešili až Pytagorovci. Všeobecné nastavenie čokoľvek matematický problém bol cudzí pre starých Egypťanov aj pre starovekých Babylončanov. Až Pytagorasom sa začína formovanie matematiky ako deduktívnej vedy a jedným z prvých krokov na tejto ceste bolo riešenie problému pytagorovských trojíc. Staroveká tradícia spája prvé riešenia rovnice (1.2.1) s menami Pytagoras a Platón. Skúsme tieto riešenia zrekonštruovať.

Je jasné, že Pytagoras neuvažoval o rovnici (1.2.1) v analytickej forme, ale vo forme štvorcového čísla , v ktorom bolo potrebné nájsť štvorcové čísla a . Bolo prirodzené reprezentovať číslo vo forme štvorca so stranou r o jednu stranu menej z pôvodný štvorec, t.j. Potom, ako je ľahké vidieť na obrázku 37 (len vidieť!), pre zostávajúce štvorcové číslo musí byť splnená rovnosť. Tým sa dostávame k systému lineárne rovnice

Sčítaním a odčítaním týchto rovníc nájdeme riešenie rovnice (1.2.1):

Je ľahké vidieť, že výsledné riešenie dáva prirodzené čísla len pre nepárne . Tak konečne máme

A tak ďalej.Tradícia spája toto rozhodnutie s menom Pytagoras.

Všimnite si, že systém (1.2.2) možno získať aj formálne z rovnice (1.2.1). Naozaj,

odkiaľ, za predpokladu, dospejeme k (1.2.2).

Je jasné, že pytagorejské riešenie bolo nájdené pod dosť prísnym obmedzením () a obsahuje ďaleko od všetkých pytagorovských trojíc. Ďalším krokom je dať , potom , pretože iba v tomto prípade bude štvorcové číslo. Takže systém, ktorý vznikne, bude tiež pytagorovský trojitý. Teraz to hlavné

Veta. Ak p A q prvočísla rôznej parity, potom všetky primitívne pytagorejské trojice nájdeme podľa vzorcov

Vlastnosti

Od rovnice X 2 + r 2 = z 2 homogénne, keď sa násobí X , r A z za rovnaké číslo dostanete ďalšiu pytagorovskú trojku. Pytagorova trojica sa nazýva primitívny, ak sa to nedá získať týmto spôsobom, teda - relatívne prvočísla.

Príklady

Niektoré pytagorejské trojky (zoradené vzostupne podľa maximálneho počtu, primitívne sú zvýraznené):

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

Príbeh

Pytagorejské trojky sú známe už veľmi dlho. V architektúre starých mezopotámskych náhrobných kameňov sa nachádza rovnoramenný trojuholník zložený z dvoch pravouhlých so stranami 9, 12 a 15 lakťov. Pyramídy faraóna Snefru (XXVII. storočie pred Kristom) boli postavené pomocou trojuholníkov so stranami 20, 21 a 29, ako aj 18, 24 a 30 desiatok egyptských lakťov.

X Celoruské sympózium o aplikovanej a priemyselnej matematike. Petrohrad, 19. máj 2009

Správa: Algoritmus na riešenie diofantických rovníc.

Článok sa zaoberá metódou štúdia diofantínových rovníc a uvádza riešenia riešené touto metódou: - veľká veta Farma; - hľadanie pytagorových trojíc atď. http://referats.protoplex.ru/referats_show/6954.html

Odkazy

• E. A. Gorin Mocniny prvočísel v pytagorejských trojiciach // Matematické vzdelanie. - 2008. - V. 12. - S. 105-125.

Nadácia Wikimedia. 2010.

Pozrite sa, čo sú „pytagorejské trojky“ v iných slovníkoch:

V matematike sú pytagorejské čísla (pytagorejská trojica) n-ticou tri celéčísla vyhovujúce Pytagorovmu vzťahu: x2 + y2 = z2. Obsah 1 Vlastnosti ... Wikipedia

Trojice prirodzených čísel také, že trojuholník, ktorého dĺžky strán sú úmerné (alebo rovné) týmto číslam, je pravouhlý, napr. trojica čísel: 3, 4, 5… Veľký encyklopedický slovník

Trojice prirodzených čísel také, že trojuholník, ktorého dĺžka strán je úmerná (alebo sa rovná) týmto číslam, je pravouhlý trojuholník. Podľa vety, inverznej k Pytagorovej vete (pozri Pytagorovu vetu), na to stačí, že ... ... Veľká sovietska encyklopédia

Trojice kladných celých čísel x, y, z spĺňajúce rovnicu x2+y 2=z2. Všetky riešenia tejto rovnice a následne všetky P. p. sú vyjadrené vzorcami x=a 2 b2, y=2ab, z=a2+b2, kde a, b sú ľubovoľné kladné celé čísla (a>b). P. h... Matematická encyklopédia

Trojice prirodzených čísel také, že trojuholník, ktorého dĺžky strán sú úmerné (alebo rovné) týmto číslam, je napríklad pravouhlý. trojica čísel: 3, 4, 5… Prírodná veda. encyklopedický slovník

Trojky prirodzených čísel také, že trojuholník, ktorého dĺžky strán sú úmerné (alebo rovné) týmto číslam, je pravouhlý, napríklad trojica čísel: 3, 4, 5. * * * PYTAGORANSKÉ ČÍSLA PYTAGORANSKÉ ČÍSLA, trojice prirodzených čísel napr. že ... ... encyklopedický slovník

V matematike je pytagorovská trojica n-ticou troch prirodzených čísel, ktoré spĺňajú pytagorovský vzťah: V tomto prípade sa čísla, ktoré tvoria pytagorejskú trojicu, nazývajú pytagorejské čísla. Obsah 1 Primitívne trojky ... Wikipedia

Pytagorova veta je jednou zo základných teorém euklidovskej geometrie, ktorá stanovuje vzťah medzi stranami pravouhlého trojuholníka. Obsah 1 ... Wikipedia

Pytagorova veta je jednou zo základných teorém euklidovskej geometrie, ktorá stanovuje vzťah medzi stranami pravouhlého trojuholníka. Obsah 1 Tvrdenia 2 Dôkazy ... Wikipedia

Toto je rovnica v tvare, kde P je celočíselná funkcia (napríklad polynóm s celočíselnými koeficientmi) a premenné nadobúdajú celočíselné hodnoty. Pomenovaný podľa starogréckeho matematika Diofanta. Obsah 1 Príklady ... Wikipedia