V tejto lekcii podrobne zvážime funkciu y \u003d sin x, jej hlavné vlastnosti a graf. Na začiatku lekcie uvedieme definíciu goniometrickej funkcie y \u003d sin t na kruhu súradníc a zvážime graf funkcie na kruhu a priamke. Ukážme si na grafe periodicitu tejto funkcie a zvážme hlavné vlastnosti funkcie. Na konci hodiny vyriešime niekoľko jednoduchých úloh pomocou grafu funkcie a jej vlastností.
Téma: Goniometrické funkcie
Lekcia: Funkcia y=sinx, jej hlavné vlastnosti a graf
Pri zvažovaní funkcie je dôležité priradiť jednu hodnotu funkcie ku každej hodnote argumentu. Toto korešpondenčný zákon a nazýva sa funkcia.
Definujme korešpondenčný zákon pre .
Každému reálnemu číslu zodpovedá jeden bod na jednotkovej kružnici, ktorý má jednu ordinátu, ktorá sa nazýva sínus čísla (obr. 1).
Každej hodnote argumentu je priradená jedna funkčná hodnota.
Z definície sínusu vyplývajú zrejmé vlastnosti.
Obrázok to ukazuje 
pretože je ordináta bodu na jednotkovej kružnici.
Zvážte funkčný graf. Pripomeňme si geometrickú interpretáciu argumentu. Argumentom je stredový uhol meraný v radiánoch. Na osi vynesieme reálne čísla alebo uhly v radiánoch, pozdĺž osi zodpovedajúce funkčné hodnoty.
Napríklad uhol na jednotkovej kružnici zodpovedá bodu na grafe (obr. 2)
Graf funkcie sme dostali na stránke, ale ak poznáme periódu sínusu, môžeme zobraziť graf funkcie na celom definičnom obore (obr. 3).
Hlavná perióda funkcie je To znamená, že graf je možné získať na segmente a potom pokračovať do celej oblasti definície.
Zvážte vlastnosti funkcie:
1) Definičná oblasť:
2) Rozsah hodnôt: 
3) Nepárna funkcia:
4) Najmenšie kladné obdobie:
5) Súradnice priesečníkov grafu s osou x: 
6) Súradnice priesečníka grafu s osou y:
7) Intervaly, v ktorých funkcia nadobúda kladné hodnoty:
8) Intervaly, v ktorých funkcia nadobúda záporné hodnoty:
9) Predlžovanie intervalov:
10) Zostupné intervaly:
11) Nízke body: 
12) Minimálne vlastnosti:
13) Najlepšie body: 
14) Maximálne vlastnosti:
Uvažovali sme o vlastnostiach funkcie a jej grafe. Vlastnosti sa budú opakovane využívať pri riešení problémov.
Bibliografia
1. Algebra a začiatok analýzy, ročník 10 (v dvoch častiach). Učebnica pre vzdelávacie inštitúcie ( úroveň profilu) vyd. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.
2. Algebra a začiatok analýzy, ročník 10 (v dvoch častiach). Zošit úloh pre vzdelávacie inštitúcie (úroveň profilu), vyd. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.
3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartburd S.I. Algebra a matematická analýza pre ročník 10 ( tutoriál pre študentov škôl a tried s hĺbkovým štúdiom matematiky).-M .: Vzdelávanie, 1996.
4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartburd S.I. Hlboké učenie algebra a matematická analýza.-M.: Education, 1997.
5. Zbierka úloh z matematiky pre uchádzačov na technické univerzity (pod redakciou M.I.Skanavi).-M.: Higher School, 1992.
6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebraický tréner.-K.: A.S.K., 1997.
7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Úlohy z algebry a začiatky analýzy (príručka pre študentov 10. až 11. ročníka všeobecných vzdelávacích inštitúcií).-M .: Vzdelávanie, 2003.
8. Karp A.P. Zbierka úloh z algebry a začiatky analýzy: učebnica. príspevok na 10-11 buniek. s hlbokým štúdium matematika.-M.: Vzdelávanie, 2006.
Domáca úloha
Algebra a začiatky analýzy, ročník 10 (v dvoch častiach). Zošit úloh pre vzdelávacie inštitúcie (úroveň profilu), vyd.
A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.
№№ 16.4, 16.5, 16.8.
Ďalšie webové zdroje
3. Vzdelávací portál pripraviť sa na skúšky ().
Zistili sme, že správanie goniometrických funkcií a funkcií y = hriech x najmä na celej číselnej osi (alebo pre všetky hodnoty argumentu X) je úplne určené jeho správaním v intervale 0 < X < π / 2 .
Preto si v prvom rade nakreslíme funkciu y = hriech x presne v tomto intervale.
Urobme si nasledujúcu tabuľku hodnôt našej funkcie;
Označením zodpovedajúcich bodov na rovine súradníc a ich spojením hladkou čiarou dostaneme krivku znázornenú na obrázku
Výslednú krivku je možné zostrojiť aj geometricky bez zostavovania tabuľky funkčných hodnôt y = hriech x .
1. Prvá štvrtina kružnice s polomerom 1 je rozdelená na 8 rovnakých častí. Ordináty deliacich bodov kružnice sú sínusy príslušných uhlov.
2. Prvá štvrtina kruhu zodpovedá uhlom od 0 do π / 2 . Preto na osoh X Vezmite segment a rozdeľte ho na 8 rovnakých častí.
3.Nakreslíme rovné čiary rovnobežné s osou X, a z deliacich bodov obnovíme kolmice na priesečník s vodorovnými čiarami.
4. Spojte priesečníky hladkou čiarou.
Teraz sa pozrime na interval π /
2
<
X <
π
.
Hodnota každého argumentu X z tohto intervalu môže byť reprezentovaný ako
X = π / 2 + φ
Kde 0 < φ < π / 2 . Podľa redukčných vzorcov
hriech( π / 2 + φ ) = cos φ = hriech ( π / 2 - φ ).
Body osi X s úsečkou π / 2 + φ A π / 2 - φ navzájom symetrické okolo bodu osi X s úsečkou π / 2 a sínusy v týchto bodoch sú rovnaké. To vám umožní získať graf funkcie y = hriech x v intervale [ π / 2 , π ] jednoduchým symetrickým zobrazením grafu tejto funkcie v intervale vzhľadom na priamku X = π / 2 .
Teraz používa nehnuteľnosť nepárna funkcia y \u003d hriech x,
hriech (- X) = -hriech X,
je ľahké vykresliť túto funkciu v intervale [- π , 0].
Funkcia y \u003d sin x je periodická s periódou 2π ;. Preto na zostavenie celého grafu tejto funkcie stačí pravidelne pokračovať v krivke znázornenej na obrázku doľava a doprava s bodkou 2π .
Výsledná krivka je tzv sínusoida . Je to graf funkcie y = hriech x.
Obrázok dobre ilustruje všetky tieto vlastnosti funkcie y = hriech x , ktoré boli predtým nami overené. Pripomeňte si tieto vlastnosti.
1) Funkcia y = hriech x definované pre všetky hodnoty X , takže jeho doménou je množina všetkých reálnych čísel.
2) Funkcia y = hriech x obmedzené. Všetky hodnoty, ktoré má, sú medzi -1 a 1, vrátane týchto dvoch čísel. Preto je rozsah tejto funkcie určený nerovnicou -1 < pri < 1. Kedy X = π / 2 + 2 tis π funkcia zaberá najvyššie hodnoty, rovná sa 1 a pri x = - π / 2 + 2 tis π - najmenšie hodnoty, rovná sa - 1.
3) Funkcia y = hriech x je nepárna (sínusoida je symetrická vzhľadom na pôvod).
4) Funkcia y = hriech x periodický s periódou 2 π .
5) V intervaloch 2n π < X < π + 2n π (n je akékoľvek celé číslo) je kladné a v intervaloch π + 2 tis π < X < 2π + 2 tis π (k je akékoľvek celé číslo) je záporné. Pre x = k π funkcia ide na nulu. Preto tieto hodnoty argumentu x (0; ± π ; ±2 π ; ...) sa nazývajú nuly funkcie y = hriech x
6) V intervaloch - π / 2 + 2n π < X < π / 2 + 2n π funkciu y = hriech X zvyšuje monotónne a v intervaloch π / 2 + 2 tis π < X < 3π / 2 + 2 tis π monotónne klesá.
Venujte zvláštnu pozornosť správaniu funkcie y = hriech x blízko bodu X = 0 .
Napríklad hriech 0,012 ≈ 0,012; hriech (-0,05) ≈ -0,05;
sin2° = hriech π 2 / 180 = hriech π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.
Treba však poznamenať, že pre akékoľvek hodnoty x
| hriech X| < | x | . (1)
Nech sa polomer kruhu znázorneného na obrázku rovná 1,
a /
AOB = X.
Potom hriech X= AC. Ale AU< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол X. Dĺžka tohto oblúka sa samozrejme rovná X, keďže polomer kruhu je 1. Takže pre 0< X < π / 2
hriech x< х.
Preto kvôli zvláštnosti funkcie y = hriech x je ľahké ukázať, že keď - π / 2 < X < 0
| hriech X| < | x | .
Nakoniec o X = 0
| hriech x | = | x |.
Teda pre | X | < π / 2 nerovnosť (1) je dokázaná. V skutočnosti táto nerovnosť platí aj pre | X | > π / 2 z dôvodu, že | | hriech X | < 1, a π / 2 > 1
Cvičenia
1.Podľa rozvrhu funkcií y = hriech x určiť: a) hriech 2; b) hriech 4; c) hriech (-3).
2.Funkcia rozvrhu y = hriech x
určiť, ktoré číslo z intervalu
[ - π /
2 ,
π /
2
] má sínus rovný: a) 0,6; b) -0,8.
3. Plánovaná funkcia y = hriech x
určiť, ktoré čísla majú sínus,
rovná 1/2.
4. Nájdite približne (bez použitia tabuliek): a) sin 1°; b) sin 0,03;
c) hriech (-0,015); d) hriech (-2°30").
>>Matematika: Funkcie y \u003d sin x, y \u003d cos x, ich vlastnosti a grafy
Funkcie y \u003d sin x, y \u003d cos x, ich vlastnosti a grafy
V tejto časti diskutujeme o niektorých vlastnostiach funkcií y = hriech x,y= cos x a nakreslite ich grafy.
1. Funkcia y \u003d sin X.
Vyššie sme v § 20 sformulovali pravidlo, ktoré umožňuje, aby každé číslo t bolo spojené s číslom cos t, t.j. charakterizoval funkciu y = sin t. Všimli sme si niektoré jeho vlastnosti.
Vlastnosti funkcie u = sint.
Definičný obor je množina K reálnych čísel.
Vyplýva to zo skutočnosti, že ľubovoľné číslo 2 zodpovedá bodu M(1) na číselnom kruhu, ktorý má presne určenú ordinátu; táto ordináta je cos t.
u = sin t je nepárna funkcia.
Vyplýva to z toho, že ako bolo preukázané v § 19, pre každú t rovnosť
To znamená, že graf funkcie u \u003d sin t, rovnako ako graf akejkoľvek nepárnej funkcie, je symetrický vzhľadom na pôvod v pravouhlý systém súradnice toOi.
Funkcia u = sin t na intervale rastie 
Vyplýva to zo skutočnosti, že pri pohybe bodu po prvej štvrtine číselného kruhu sa ordináta postupne zvyšuje (od 0 do 1 - pozri obr. 115) a keď sa bod pohybuje po druhej štvrtine číselného kruhu, ordináta postupne klesá (z 1 na 0 - pozri Obr. 115). Obr. 116).
Funkcia u = sin t je ohraničená zdola aj zhora. Vyplýva to z toho, že ako sme videli v § 19, pre akúkoľvek t nerovnosť
(funkcia dosiahne túto hodnotu v ktoromkoľvek bode formulára 
(funkcia dosiahne túto hodnotu v ktoromkoľvek bode formulára
Pomocou získaných vlastností zostrojíme graf funkcie, ktorá nás zaujíma. Ale (pozor!) namiesto u - sin t napíšeme y \u003d sin x (napokon sme zvyknutí písať y \u003d f (x), a nie u \u003d f (t)). To znamená, že graf zostavíme v obvyklom súradnicovom systéme хОу (a nie tOy).
Urobme tabuľku funkčných hodnôt podľa - sin x:
Komentujte.
Tu je jedna z verzií pôvodu pojmu "sínus". V latinčine znamená sinus ohyb (tetiva).
Zostrojený graf do určitej miery odôvodňuje túto terminológiu. 
Čiara, ktorá slúži ako graf funkcie y \u003d sin x, sa nazýva sínusoida. Tá časť sínusoidy, ktorá je znázornená na obr. 118 alebo 119, sa nazýva sínusoida a tá časť sínusoidy, ktorá je znázornená na obr. 117 sa nazýva polvlna alebo oblúk sínusoidy.
2. Funkcia y = cos x.
Štúdium funkcie y \u003d cos x by sa mohlo uskutočniť približne podľa rovnakej schémy, ktorá bola použitá vyššie pre funkciu y \u003d sin x. My si ale rýchlejšie vyberieme cestu, ktorá vedie k cieľu. Najprv si dokážeme dva vzorce, ktoré sú samy o sebe dôležité (uvidíte na strednej škole), no zatiaľ majú pre naše účely len pomocnú hodnotu.
Pre akúkoľvek hodnotu t sú rovnosti
Dôkaz. Číslo t nech zodpovedá bodu M číselného kruhu n a číslo * + - bodu P (obr. 124; pre zjednodušenie sme v prvej štvrtine zobrali bod M). Oblúky AM a BP sú rovnaké a pravouhlé trojuholníky OKM a OBP sú tiež rovnaké. Preto O K = Ob, MK = Pb. Z týchto rovností a z umiestnenia trojuholníkov OKM a OLR v súradnicovom systéme vyvodíme dva závery:
1) ordináta bodu P v absolútnej hodnote aj v znamienku sa zhoduje s osou bodu M; znamená to, že
2) súradnica bodu P sa v absolútnej hodnote rovná zvislej osi bodu M, ale líši sa od nej znamienkom; znamená to, že
Približne rovnaké odôvodnenie sa vykonáva v prípadoch, keď bod M nepatrí do prvého štvrťroka.
Použime vzorec 
(toto je vzorec dokázaný vyššie, len namiesto premennej t použijeme premennú x). Čo nám dáva tento vzorec? Umožňuje nám to tvrdiť, že funkcie
sú rovnaké, takže ich grafy sú rovnaké.
Nakreslíme funkciu 
Aby sme to urobili, prejdime k pomocnému súradnicovému systému s počiatkom v bode (bodkovaná čiara je nakreslená na obr. 125). Priraďte funkciu y \u003d sin x k nový systém súradnice - to bude graf funkcie 
(obr. 125), t.j. graf funkcie y - cos x. Rovnako ako graf funkcie y \u003d sin x sa nazýva sínusoida (čo je celkom prirodzené).
Vlastnosti funkcie y = cos x.
y = cos x je párna funkcia.
Etapy výstavby sú znázornené na obr. 126:
1) zostavíme graf funkcie y \u003d cos x (presnejšie jedna polvlna);
2) natiahnutím zostrojeného grafu od osi x koeficientom 0,5 dostaneme jednu polvlnu požadovaného grafu;
3) pomocou výslednej polvlny zostavíme celý graf funkcie y \u003d 0,5 cos x.
|BD|- dĺžka oblúka kružnice so stredom v bode A.
α
je uhol vyjadrený v radiánoch.
sínus ( sinα) - Toto goniometrická funkcia, v závislosti od uhla α medzi preponou a nohou správny trojuholník, rovný pomeru dĺžka opačnej nohy |BC| na dĺžku prepony |AC|.
kosínus ( cosα) je goniometrická funkcia závislá od uhla α medzi preponou a ramenom pravouhlého trojuholníka, ktorý sa rovná pomeru dĺžky susedného ramena |AB| na dĺžku prepony |AC|.
Akceptované označenia
;
;
.
;
;
.
Graf funkcie sínus, y = sin x
Graf funkcie kosínus, y = cos x
Vlastnosti sínusu a kosínusu
Periodicita
Funkcie y= hriech x a y= cos x periodický s bodkou 2 pi.
Parita
Funkcia sínus je nepárna. Kosínusová funkcia je párna.
Oblasť definície a hodnôt, extrémy, nárast, pokles
Funkcie sínus a kosínus sú spojité na svojom definičnom obore, teda pre všetky x (pozri dôkaz spojitosti). Ich hlavné vlastnosti sú uvedené v tabuľke (n - celé číslo).
| y= hriech x | y= cos x | |
| Rozsah a kontinuita | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Rozsah hodnôt | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
| Vzostupne | ||
| Zostupne | ||
| Maximum, y= 1 | ||
| Minimum, y = - 1 | ||
| Nuly, y= 0 | ||
| Priesečníky s osou y, x = 0 | y= 0 | y= 1 |
Základné vzorce
Súčet druhej mocniny sínusu a kosínusu
Sínusové a kosínusové vzorce pre súčet a rozdiel
;
;
Vzorce na súčin sínusov a kosínusov
Vzorce súčtu a rozdielu
Vyjadrenie sínusu cez kosínus
;
;
;
.
Vyjadrenie kosínusu cez sínus
;
;
;
.
Vyjadrenie z hľadiska dotyčnice
; .
Pre , máme:
;
.
na :
;
.
Tabuľka sínusov a kosínusov, tangens a kotangens
Táto tabuľka zobrazuje hodnoty sínusov a kosínusov pre niektoré hodnoty argumentu. 
Vyjadrenia prostredníctvom komplexných premenných
;
Eulerov vzorec
Výrazy z hľadiska hyperbolických funkcií
;
;
Deriváty
; . Odvodenie vzorcov > > >
Deriváty n-tého rádu:
{ -∞ <
x < +∞ }
Sekant, kosekant
Inverzné funkcie
Inverzné funkcie sínus a kosínus sú arkzín a arkozínus.
Arcsine, arcsin
Arccosine, arccos
Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a študentov vysokých škôl, Lan, 2009.
