Matematika bu nimaodamlar tabiatni va o'zlarini nazorat qiladilar.
Sovet matematigi, akademik A.N. Kolmogorov
Matematikadan kirish testlarida arifmetik progressiyalar uchun topshiriqlar bilan bir qatorda geometrik progressiya tushunchasiga oid topshiriqlar ham keng tarqalgan. Bunday muammolarni muvaffaqiyatli hal qilish uchun siz geometrik progressiyaning xususiyatlarini bilishingiz va ulardan foydalanishda yaxshi ko'nikmalarga ega bo'lishingiz kerak.
Ushbu maqola geometrik progressiyaning asosiy xususiyatlarini taqdim etishga bag'ishlangan. Shuningdek, u odatdagi muammolarni hal qilish misollarini beradi, matematikadan kirish testlari topshiriqlaridan olingan.
Keling, geometrik progressiyaning asosiy xususiyatlarini oldindan qayd qilaylik va eng ko'pini eslaylik muhim formulalar va bayonotlar, ushbu kontseptsiya bilan bog'liq.
Ta'rif. Raqamli ketma-ketlik geometrik progressiya deb ataladi, agar uning har bir soni ikkinchisidan boshlab oldingisiga teng bo'lib, bir xil songa ko'paytirilsa. Bu raqam geometrik progressiyaning maxraji deb ataladi.
Geometrik progressiya uchunformulalar haqiqiydir
, (1)
Qayerda. Formula (1) geometrik progressiyaning umumiy hadining formulasi deb ataladi va (2) formula geometrik progressiyaning asosiy xususiyatidir: progressiyaning har bir a'zosi qo'shni a'zolarining geometrik o'rtacha qiymatiga to'g'ri keladi va .
Eslatma, Aynan shu xossasi tufayli ko'rib chiqilayotgan progressiya "geometrik" deb ataladi.
Yuqoridagi (1) va (2) formulalar quyidagicha umumlashtirilgan:
, (3)
So'mni hisoblash uchun birinchi geometrik progressiyaning a'zolariformula amal qiladi
Agar belgilasak
Qayerda. Chunki (6) formula (5) formulani umumlashtirishdir.
Qachon va geometrik progressiyacheksiz kamayib bormoqda. So'mni hisoblash uchuncheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning barcha a'zolarining formulasidan foydalaniladi
. (7)
Masalan , (7) formuladan foydalanib, ko'rsatish mumkin, Nima
Qayerda. Bu tengliklar , (birinchi tenglik) va , (ikkinchi tenglik) sharti bilan (7) formuladan olinadi.
Teorema. Agar , keyin
Isbot. Agar, keyin,
Teorema isbotlangan.
Keling, "Geometrik progressiya" mavzusidagi masalalarni yechish misollarini ko'rib chiqishga o'tamiz.
1-misol Berilgan: , va . Toping.
Yechim. Agar formula (5) qo'llanilsa, u holda
Javob: .
2-misol Keling va. Toping.
Yechim. va dan boshlab, (5), (6) formulalardan foydalanamiz va tenglamalar tizimini olamiz
Agar (9) sistemaning ikkinchi tenglamasi birinchisiga bo'linsa, keyin yoki . Bundan kelib chiqadi . Keling, ikkita holatni ko'rib chiqaylik.
1. Agar , u holda (9) sistemaning birinchi tenglamasidan biz bor.
2. Agar , keyin .
3-misol Keling, va. Toping.
Yechim. Formuladan (2) kelib chiqadiki, yoki. O'shandan beri, keyin yoki.
Shart bo'yicha. Biroq, shuning uchun. Chunki va, u holda bizda tenglamalar tizimi mavjud
Agar tizimning ikkinchi tenglamasi birinchisiga bo'linsa, u holda yoki .
Chunki, tenglama bitta mos ildizga ega. Bunday holda, tizimning birinchi tenglamasi .
Formula (7) ni hisobga olgan holda, biz olamiz.
Javob: .
4-misol Berilgan: va . Toping.
Yechim. O'shandan beri .
Chunki , keyin yoki
Formula (2) bo'yicha bizda mavjud. Shu munosabat bilan (10) tenglikdan yoki ni olamiz.
Biroq, shart bo'yicha, shuning uchun.
5-misol Ma'lumki. Toping.
Yechim. Teoremaga ko'ra, biz ikkita tenglikka egamiz
O'shandan beri, keyin yoki. Chunki, keyin.
Javob: .
6-misol Berilgan: va . Toping.
Yechim. Formula (5) ni hisobga olgan holda, biz olamiz
O'shandan beri . Buyon, va, keyin.
7-misol Keling va. Toping.
Yechim. Formula (1) bo'yicha biz yozishimiz mumkin
Shuning uchun bizda yoki . Ma'lumki va , shuning uchun va .
Javob: .
8-misol Agar cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning maxrajini toping
Va .
Yechim. (7) formuladan kelib chiqadi Va . Bu yerdan va masalaning shartidan biz tenglamalar sistemasini olamiz
Agar sistemaning birinchi tenglamasi kvadrat bo'lsa, va keyin hosil bo'lgan tenglamani ikkinchi tenglamaga bo'ling, keyin olamiz
Yoki .
Javob: .
9-misol, , ketma-ketligi geometrik progressiya bo'lgan barcha qiymatlarni toping.
Yechim. Keling, va. Geometrik progressiyaning asosiy xossasini belgilovchi (2) formulaga asosan yoki yozishimiz mumkin.
Bu yerdan kvadrat tenglamani olamiz, kimning ildizlari Va .
Keling, tekshiramiz: agar, keyin va ; agar , keyin , va .
Birinchi holda bizda bor va , ikkinchisida esa - va .
Javob: , .
10-misoltenglamani yeching
, (11)
qayerda va.
Yechim. (11) tenglamaning chap tomoni cheksiz kamayib boruvchi geometrik progressiya yig’indisi bo’lib, unda va, berilgan: va.
(7) formuladan kelib chiqadi, Nima . Shu munosabat bilan (11) tenglama shaklni oladi yoki . mos ildiz kvadrat tenglama hisoblanadi
Javob: .
11-misol. P musbat sonlar ketma-ketligiarifmetik progressiya hosil qiladi, A - geometrik progressiya, bunga nima aloqasi bor. Toping.
Yechim. Chunki arifmetik ketma-ketlik, Bu (asosiy xususiyat arifmetik progressiya). Chunki, keyin yoki . Bu shuni anglatadiki, geometrik progressiya ekanligini. Formula bo'yicha (2), keyin biz buni yozamiz.
Shundan beri va , keyin . Bunday holda, ifoda yoki shaklini oladi. Shartiga ko'ra, shuning uchun tenglamadanbiz ko'rib chiqilayotgan muammoning yagona yechimini olamiz, ya'ni. .
Javob: .
12-misol. summani hisoblang
. (12)
Yechim. Tenglikning ikkala tomonini (12) 5 ga ko'paytiring va oling
Olingan ifodadan (12) ayirilsa, Bu
yoki .
Hisoblash uchun qiymatlarni formula (7) ga almashtiramiz va ni olamiz. O'shandan beri .
Javob: .
Bu erda keltirilgan muammolarni hal qilish misollari abituriyentlarga kirish imtihonlariga tayyorgarlik ko'rishda foydali bo'ladi. Muammoni hal qilish usullarini chuqurroq o'rganish uchun, geometrik progressiya bilan bog'liq, foydalanish mumkin o‘quv qo‘llanmalari tavsiya etilgan adabiyotlar ro'yxatidan.
1. Texnika oliy o'quv yurtlariga abituriyentlar uchun matematikadan topshiriqlar to'plami / Ed. M.I. Skanavi. – M.: Mir i Obrazovanie, 2013. – 608 b.
2. Suprun V.P. O'rta maktab o'quvchilari uchun matematika: maktab o'quv dasturining qo'shimcha bo'limlari. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 b.
3. Medinskiy M.M. Topshiriq va mashqlarda boshlang'ich matematikaning to'liq kursi. 2-kitob: Sonlar ketma-ketligi va taraqqiyoti. – M.: Editus, 2015. - 208 b.
Savollaringiz bormi?
Repetitor yordamini olish uchun - ro'yxatdan o'ting.
sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalash bilan, manbaga havola talab qilinadi.
Mavzu bo'yicha dars va taqdimot: "Saqlar ketma-ketligi. Geometrik progressiya"
Qo'shimcha materiallar
Hurmatli foydalanuvchilar, o'z mulohazalaringizni, fikr-mulohazalaringizni, takliflaringizni qoldirishni unutmang! Barcha materiallar antivirus dasturi tomonidan tekshiriladi.
9-sinf uchun "Integral" onlayn-do'konida o'quv qo'llanmalari va simulyatorlar
Quvvatlar va ildizlar Funksiyalar va grafiklar
Bolalar, bugun biz progressiyaning yana bir turi bilan tanishamiz.
Bugungi darsimizning mavzusi geometrik progressiya.
Geometrik progressiya
Ta'rif. Ikkinchisidan boshlab har bir had oldingi va qandaydir qat'iy sonning ko'paytmasiga teng bo'lgan sonli ketma-ketlik geometrik progressiya deb ataladi.Ketma-ketlikni rekursiv tarzda aniqlaymiz: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
bu yerda b va q aniqlangan berilgan raqamlar. q soni progressiyaning maxraji deyiladi.
Misol. 1,2,4,8,16… Geometrik progressiya, bunda birinchi a'zo birga teng va $q=2$.
Misol. 8,8,8,8… Birinchi hadi sakkiz bo‘lgan geometrik progressiya,
va $q=1$.
Misol. 3,-3,3,-3,3... Birinchi hadi uchta bo‘lgan geometrik progressiya,
va $q=-1$.
Geometrik progressiya monotonlik xossalariga ega.
Agar $b_(1)>0$, $q>1$,
keyin ketma-ketlik kuchayadi.
Agar $b_(1)>0$, $0 Ketma-ketlik odatda quyidagicha belgilanadi: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.
Xuddi arifmetik progressiyadagi kabi, agar geometrik progressiyadagi elementlar soni chekli bo‘lsa, progressiya chekli geometrik progressiya deyiladi.
$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
E'tibor bering, agar ketma-ketlik geometrik progressiya bo'lsa, kvadrat hadlar ketma-ketligi ham geometrik progressiyadir. Ikkinchi ketma-ketlikda birinchi atama $b_(1)^2$ va maxraj $q^2$ mavjud.
Geometrik progressiyaning n-azosining formulasi
Geometrik progressiyani analitik shaklda ham ko'rsatish mumkin. Keling, buni qanday qilishni ko'rib chiqaylik:$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Biz naqshni osongina ko'rishimiz mumkin: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Bizning formulamiz "geometrik progressiyaning n-azosining formulasi" deb ataladi.
Keling, misollarimizga qaytaylik.
Misol. 1,2,4,8,16… Birinchi hadi birga teng bo‘lgan geometrik progressiya,
va $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.
Misol. 16,8,4,2,1,1/2… Birinchi hadi oʻn olti va $q=\frac(1)(2)$ boʻlgan geometrik progressiya.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.
Misol. 8,8,8,8… Birinchi hadi sakkiz va $q=1$ boʻlgan geometrik progressiya.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.
Misol. 3,-3,3,-3,3… Birinchi hadi uch va $q=-1$ boʻlgan geometrik progressiya.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.
Misol. $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $ geometrik progressiya berilgan.
a) Ma'lumki, $b_(1)=6, q=3$. $b_(5)$ toping.
b) $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$ ekanligi ma'lum. n ni toping.
c) $q=-2, b_(6)=96$ ekanligi ma'lum. $b_(1)$ toping.
d) Ma'lumki, $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. q ni toping.
Yechim.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$ dan beri $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.
Misol. Geometrik progressiyaning yettinchi va beshinchi a’zolarining ayirmasi 192 ga, progressiyaning beshinchi va oltinchi a’zolarining yig‘indisi 192 ga teng. Shu progressiyaning o‘ninchi a’zosini toping.
Yechim.
Biz bilamizki: $b_(7)-b_(5)=192$ va $b_(5)+b_(6)=192$.
Biz ham bilamiz: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Keyin:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Biz tenglamalar tizimini oldik:
$\begin(holatlar)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(holatlar)$.
Tenglashtirib, bizning tenglamalarimiz quyidagicha bo'ladi:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Biz ikkita yechim oldik q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Ikkinchi tenglamani ketma-ket almashtiring:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ yechim yo'q.
Biz buni oldik: $b_(1)=4, q=2$.
O'ninchi hadni topamiz: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.
Cheklangan geometrik progressiya yig'indisi
Aytaylik, bizda cheklangan geometrik progressiya bor. Keling, arifmetik progressiya uchun ham uning a'zolari yig'indisini hisoblaylik.Cheklangan geometrik progressiya berilsin: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Uning a'zolari yig'indisining yozuvini kiritamiz: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
$q=1$ bo'lgan holatda. Geometrik progressiyaning barcha a'zolari birinchi a'zoga teng bo'lsa, u holda $S_(n)=n*b_(1)$ ekanligi aniq bo'ladi.
Endi $q≠1$ ni ko'rib chiqing.
Yuqoridagi miqdorni q ga ko'paytiring.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Eslatma:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.
$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.
$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.
$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.
$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.
Biz chekli geometrik progressiya yig'indisi formulasini oldik.
Misol.
Birinchi hadi 4 ga, maxraji 3 ga teng bo‘lgan geometrik progressiyaning dastlabki yetti hadining yig‘indisini toping.
Yechim.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.
Misol.
Geometrik progressiyaning ma'lum beshinchi a'zosini toping: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.
Yechim.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.
$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q=1364$.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.
Geometrik progressiyaning xarakterli xususiyati
Bolalar, geometrik progressiya berilgan. Keling, uning uchta ketma-ket a'zolarini ko'rib chiqaylik: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.Biz buni bilamiz:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Keyin:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Agar progressiya chekli bo'lsa, bu tenglik birinchi va oxirgidan tashqari barcha shartlar uchun amal qiladi.
Agar ketma-ketlikning qanday ketma-ketlikka ega ekanligi oldindan ma'lum bo'lmasa, lekin ma'lum bo'lsa: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Shunda ishonch bilan aytishimiz mumkinki, bu geometrik progressiya.
Raqamlar ketma-ketligi uning har bir hadining kvadrati progressiyaning qo‘shni ikkita hadining ko‘paytmasiga teng bo‘lgandagina geometrik progressiya hisoblanadi. Shuni unutmangki, cheklangan progressiya uchun bu shart birinchi va oxirgi muddat uchun qanoatlanmaydi.
Keling, ushbu identifikatsiyani ko'rib chiqaylik: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ a va b ning geometrik o'rtachasi deyiladi.
Geometrik progressiyaning istalgan a’zosining moduli unga qo‘shni bo‘lgan ikki a’zoning o‘rta geometrik qiymatiga teng.
Misol.
$x+2 bo'ladigan x toping; 2x+2; 3x+3$ geometrik progressiyaning ketma-ket uchta a'zosi edi.
Yechim.
Xarakteristik xususiyatdan foydalanamiz:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ va $x_(2)=-1$.
Asl ifodada ketma-ketlik bilan almashtiring, bizning yechimlarimiz:
$x=2$ bilan biz ketma-ketlikni oldik: 4;6;9 - $q=1,5$ bo'lgan geometrik progressiya.
$x=-1$ bilan biz quyidagi ketma-ketlikni oldik: 1;0;0.
Javob: $x=2.$
Mustaqil hal qilish uchun vazifalar
1. Geometrik progressiyaning sakkizinchi birinchi a'zosini toping 16;-8;4;-2 ....2. 11,22,44... geometrik progressiyaning o‘ninchi a’zosini toping.
3. Ma’lumki, $b_(1)=5, q=3$. $b_(7)$ toping.
4. Ma'lumki, $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. n ni toping.
5. 3;12;48... geometrik progressiyaning dastlabki 11 a’zosining yig‘indisini toping.
6. $3x+4 bo'ladigan x ni toping; 2x+4; x+5$ geometrik progressiyaning ketma-ket uchta a'zosi.
Birinchi daraja
Geometrik progressiya. Misollar bilan to'liq qo'llanma (2019)
Raqamli ketma-ketlik
Keling, o'tirib, bir nechta raqamlarni yozishni boshlaylik. Masalan:
Siz har qanday raqamlarni yozishingiz mumkin va siz xohlagancha ko'p bo'lishi mumkin (bizning holatlarimizda ular). Qancha son yozmaylik, ularning qaysi biri birinchi, qaysi biri ikkinchi ekanligini va shunga o'xshash oxirgisini aytishimiz mumkin, ya'ni ularni raqamlashimiz mumkin. Bu raqamlar ketma-ketligiga misol:
Raqamli ketma-ketlik raqamlar to'plami bo'lib, ularning har biriga o'ziga xos raqam berilishi mumkin.
Masalan, bizning ketma-ketligimiz uchun:
Belgilangan raqam faqat bitta tartib raqamiga xosdir. Boshqacha qilib aytganda, ketma-ketlikda uchta ikkinchi raqam yo'q. Ikkinchi raqam (-chi raqam kabi) har doim bir xil bo'ladi.
Raqamli raqam ketma-ketlikning --chi a'zosi deyiladi.
Biz odatda butun ketma-ketlikni qandaydir harf deb ataymiz (masalan,), va bu ketma-ketlikning har bir a'zosi - bu a'zoning soniga teng indeksli bir xil harf: .
Bizning holatda:
Progressiyaning eng keng tarqalgan turlari arifmetik va geometrikdir. Ushbu mavzuda biz ikkinchi tur haqida gaplashamiz - geometrik progressiya.
Nima uchun bizga geometrik progressiya va uning tarixi kerak.
Hatto qadimgi davrlarda ham italyan matematigi, rohib Leonardo Pizalik (yaxshiroq Fibonachchi nomi bilan mashhur) savdoning amaliy ehtiyojlari bilan shug'ullangan. Rohibning oldida tovarlarni tortish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan eng kichik vazn miqdorini aniqlash vazifasi turardi? Fibonachchi o'z asarlarida bunday og'irliklar tizimi maqbul ekanligini isbotlaydi: Bu odamlar geometrik progressiya bilan shug'ullanishi kerak bo'lgan birinchi vaziyatlardan biri bo'lib, siz buni siz eshitgansiz va hech bo'lmaganda bor. umumiy tushuncha. Mavzuni to'liq tushunganingizdan so'ng, nima uchun bunday tizim optimal ekanligini o'ylab ko'ring?
Hozirgi vaqtda hayot amaliyotida geometrik progressiya bankka pul mablag'larini qo'yishda, oldingi davr uchun hisobvaraqda to'plangan summaga foizlar miqdori hisoblanganda namoyon bo'ladi. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, agar siz omonat kassasiga muddatli depozitga pul qo'ysangiz, unda bir yil ichida omonat dastlabki summadan ko'payadi, ya'ni. yangi summa ko'paytirilgan hissaga teng bo'ladi. Yana bir yilda bu miqdor oshadi, ya'ni. o'sha paytda olingan miqdor yana ko'paytiriladi va hokazo. Shunga o'xshash holat deb ataladigan hisoblash muammolarida tasvirlangan murakkab foiz- foiz har safar oldingi foizlarni hisobga olgan holda hisobdagi summadan olinadi. Bu vazifalar haqida biroz keyinroq gaplashamiz.
Geometrik progressiya qo'llaniladigan yana ko'p oddiy holatlar mavjud. Masalan, grippning tarqalishi: bir kishi odamni yuqtirgan, ular o'z navbatida boshqa odamni yuqtirgan va shu tariqa infektsiyaning ikkinchi to'lqini - odam, va ular, o'z navbatida, boshqasini yuqtirgan ... va hokazo. .
Aytgancha, moliyaviy piramida, xuddi shu MMM, geometrik progressiyaning xususiyatlariga ko'ra oddiy va quruq hisob-kitobdir. Qiziqmi? Keling, buni aniqlaylik.
Geometrik progressiya.
Aytaylik, bizda raqamlar ketma-ketligi bor:
Siz darhol javob berasiz, bu oson va bunday ketma-ketlikning nomi a'zolarining farqi bilan arifmetik progressiyadir. Shunga o'xshash narsa haqida nima deyish mumkin:
Agar siz keyingi raqamdan oldingi raqamni ayirsangiz, har safar yangi farq (va hokazo) olganingizni ko'rasiz, lekin ketma-ketlik aniq mavjud va uni sezish oson - har bir keyingi raqam avvalgisidan bir necha baravar katta!
Ushbu turdagi ketma-ketlik deyiladi geometrik progressiya va belgilangan.
Geometrik progressiya ( ) sonli ketma-ketlik boʻlib, uning birinchi hadi noldan farq qiladi va ikkinchisidan boshlab har bir had oldingisiga teng boʻlib, bir xil songa koʻpaytiriladi. Bu son geometrik progressiyaning maxraji deb ataladi.
Birinchi had ( ) teng emas va tasodifiy bo'lmagan cheklovlar. Aytaylik, hech kim yo'q va birinchi had hali ham teng, q esa, hmm .. bo'lsin, keyin shunday bo'ladi:
Bu hech qanday taraqqiyot emasligiga rozi bo'ling.
Siz tushunganingizdek, agar u noldan boshqa har qanday raqam bo'lsa, biz bir xil natijalarga erishamiz, lekin. Bunday hollarda, hech qanday progressiya bo'lmaydi, chunki butun raqamlar seriyasi yoki hammasi nol bo'ladi, yoki bitta raqam va boshqa barcha nollar bo'ladi.
Endi geometrik progressiyaning maxraji haqida, ya'ni haqida batafsil to'xtalib o'tamiz.
Yana takrorlaymiz: - bu raqam, har bir keyingi atama necha marta o'zgaradi geometrik progressiya.
Sizningcha, bu nima bo'lishi mumkin? To'g'ri, ijobiy va salbiy, lekin nolga teng emas (biz bu haqda biroz yuqoriroq gaplashdik).
Aytaylik, bizda ijobiy narsa bor. Bizning holatda, a. Ikkinchi atama nima va? Bunga osongina javob berishingiz mumkin:
Hammasi to'g'ri. Shunga ko'ra, agar, unda progressiyaning barcha keyingi a'zolari bir xil belgiga ega - ular ijobiy.
Agar salbiy bo'lsa-chi? Masalan, a. Ikkinchi atama nima va?
Bu butunlay boshqacha hikoya
Ushbu progressiyaning muddatini hisoblashga harakat qiling. Qancha oldingiz? Menda. Shunday qilib, agar, u holda geometrik progressiya hadlarining belgilari almashinadi. Ya'ni, agar siz uning a'zolarida o'zgaruvchan belgilar bilan progressiyani ko'rsangiz, unda uning maxraji salbiy hisoblanadi. Ushbu bilim ushbu mavzu bo'yicha muammolarni hal qilishda o'zingizni sinab ko'rishga yordam beradi.
Keling, biroz mashq qilaylik: qaysi sonli ketma-ketliklar geometrik progressiya va qaysilari arifmetik ekanligini aniqlashga harakat qiling:
Tushundim? Javoblarimizni solishtiring:
- Geometrik progressiya - 3, 6.
- Arifmetik progressiya - 2, 4.
- Bu arifmetik ham, geometrik progressiya ham emas - 1, 5, 7.
Keling, oxirgi progressiyamizga qaytaylik va uning hadini arifmetikadagi kabi topishga harakat qilaylik. Siz taxmin qilganingizdek, uni topishning ikki yo'li mavjud.
Har bir atamani ketma-ket ko'paytiramiz.
Demak, tasvirlangan geometrik progressiyaning --chi a'zosi ga teng.
Siz allaqachon taxmin qilganingizdek, endi siz o'zingiz geometrik progressiyaning istalgan a'zosini topishga yordam beradigan formulani olasiz. Yoki siz buni o'zingiz uchun olib keldingizmi, qanday qilib th a'zosini bosqichma-bosqich topishni tasvirlab berdingizmi? Agar shunday bo'lsa, unda fikringizning to'g'riligini tekshiring.
Buni bu progressiyaning --chi a'zosini topish misolida ko'rsatamiz:
Boshqa so'zlar bilan aytganda:
Berilgan geometrik progressiyaning a'zosining qiymatini toping.
Bo'ldimi? Javoblarimizni solishtiring:
E'tibor bering, biz geometrik progressiyaning har bir oldingi a'zosiga ketma-ket ko'paytirganda oldingi usulda bo'lgani kabi bir xil raqamni oldingiz.
Keling, ushbu formulani "shaxsiylashtirishga" harakat qilaylik - biz uni umumiy shaklga keltiramiz va olamiz:
Olingan formula barcha qiymatlar uchun to'g'ri keladi - ham ijobiy, ham salbiy. Quyidagi shartlar bilan geometrik progressiyaning hadlarini hisoblash orqali buni o'zingiz tekshiring: , a.
Hisobladingizmi? Keling, natijalarni taqqoslaylik:
A'zo kabi progressiya a'zosini topish mumkinligiga rozi bo'ling, ammo noto'g'ri hisoblash ehtimoli bor. Va agar biz allaqachon geometrik progressiyaning a hadini topgan bo'lsak, unda formulaning "kesilgan" qismini ishlatishdan ko'ra osonroq nima bo'lishi mumkin.
Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya.
Yaqinda biz noldan katta yoki kichik bo'lishi mumkinligi haqida gaplashdik, ammo geometrik progressiya deb ataladigan maxsus qiymatlar mavjud. cheksiz kamayadi.
Nima uchun bunday nom bor deb o'ylaysiz?
Boshlash uchun a'zolardan iborat geometrik progressiyani yozamiz.
Aytaylik, keyin:
Biz har bir keyingi atama oldingisidan kamroq ekanligini ko'ramiz, lekin biron bir raqam bo'ladimi? Siz darhol javob berasiz - "yo'q". Shuning uchun ham cheksiz kamayib boruvchi - kamayadi, kamayadi, lekin hech qachon nolga aylanmaydi.
Bu vizual tarzda qanday ko'rinishini aniq tushunish uchun, keling, progressiyamizning grafigini chizishga harakat qilaylik. Shunday qilib, bizning holatlarimiz uchun formula quyidagi shaklni oladi:
Grafiklarda biz qaramlikni yaratishga odatlanganmiz, shuning uchun:
Ifodaning mohiyati o'zgarmadi: birinchi yozuvda biz geometrik progressiya a'zosi qiymatining uning tartib raqamiga bog'liqligini ko'rsatdik, ikkinchi yozuvda esa oddiygina geometrik progressiya a'zosining qiymatini va uchun oldik. tartib son sifatida emas, balki sifatida belgilandi. Buning uchun faqat grafikni chizish qoladi.
Keling, nima borligini bilib olaylik. Mana men olgan diagramma:
Ko'rdingizmi? Funktsiya kamayadi, nolga intiladi, lekin uni hech qachon kesib o'tmaydi, shuning uchun u cheksiz kamayadi. Keling, grafikdagi nuqtalarimizni va shu bilan birga koordinata va nimani anglatishini belgilaymiz:
Geometrik progressiyaning grafigini sxematik tasvirlashga harakat qiling, agar uning birinchi hadi ham teng bo'lsa. Tahlil qiling, oldingi jadvalimizdan qanday farq bor?
Siz boshqardingizmi? Mana men olgan diagramma:
Endi siz geometrik progressiya mavzusining asoslarini to'liq tushunib oldingiz: siz uning nima ekanligini bilasiz, uning hadini qanday topishni bilasiz, shuningdek, cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya nima ekanligini ham bilasiz, keling, uning asosiy xususiyatiga o'tamiz.
geometrik progressiyaning xossasi.
Arifmetik progressiya a'zolarining xossasini eslaysizmi? Ha, ha, bu progressiya a'zolarining oldingi va keyingi qiymatlari mavjud bo'lganda progressiyaning ma'lum sonining qiymatini qanday topish mumkin. Esingizdami? Bu:
Endi biz geometrik progressiyaning shartlari uchun aynan bir xil savolga duch kelamiz. Bunday formulani olish uchun, keling, chizish va fikrlashni boshlaylik. Ko'rasiz, bu juda oson, agar unutib qo'ysangiz, uni o'zingiz chiqarib olishingiz mumkin.
Keling, yana bir oddiy geometrik progressiyani olaylik, unda biz bilamiz va. Qanday topish mumkin? Arifmetik progressiya bilan bu oson va sodda, ammo bu erda qanday? Aslida, geometriyada ham murakkab narsa yo'q - bizga berilgan har bir qiymatni formula bo'yicha bo'yash kifoya.
Siz so'raysiz va endi u bilan nima qilamiz? Ha, juda oddiy. Boshlash uchun, keling, ushbu formulalarni rasmda tasvirlaymiz va qiymatga erishish uchun ular bilan turli xil manipulyatsiyalar qilishga harakat qilamiz.
Biz berilgan raqamlardan mavhumlashamiz, biz faqat ularning formula orqali ifodalanishiga e'tibor qaratamiz. Biz unga qo'shni shartlarni bilib, to'q sariq rangda ta'kidlangan qiymatni topishimiz kerak. Keling, ular bilan ishlab chiqarishga harakat qilaylik turli tadbirlar, buning natijasida biz olishimiz mumkin.
Qo'shish.
Keling, ikkita iborani qo'shishga harakat qilaylik va biz quyidagilarni olamiz:
Ko'rib turganingizdek, bu ifodadan biz hech qanday tarzda ifoda eta olmaymiz, shuning uchun biz boshqa variantni - ayirishni sinab ko'ramiz.
Ayirish.
Ko'rib turganingizdek, biz bundan ham ifoda eta olmaymiz, shuning uchun biz bu iboralarni bir-biriga ko'paytirishga harakat qilamiz.
Ko'paytirish.
Endi bizda nima borligini diqqat bilan ko'rib chiqing, bizga berilgan geometrik progressiyaning shartlarini topilishi kerak bo'lgan narsalarga ko'paytiring:
O'ylab ko'ring, men nima haqida gapiryapman? To'g'ri, topish uchun biz olishimiz kerak Kvadrat ildiz Kerakli songa qo'shni bo'lgan geometrik progressiya raqamlaridan bir-biriga ko'paytiriladi:
Mana. Siz o'zingiz geometrik progressiyaning xususiyatini aniqladingiz. Ushbu formulani yozishga harakat qiling umumiy ko'rinish. Bo'ldimi?
Qachon shartni unutdingiz? Nima uchun muhimligini o'ylab ko'ring, masalan, uni o'zingiz hisoblashga harakat qiling, da. Bu holatda nima bo'ladi? To'g'ri, mutlaqo bema'nilik, chunki formula quyidagicha ko'rinadi:
Shunga ko'ra, bu cheklovni unutmang.
Endi nima ekanligini hisoblaylik
To'g'ri javob -! Agar siz hisoblashda ikkinchi mumkin bo'lgan qiymatni unutmagan bo'lsangiz, unda siz ajoyib odamsiz va siz darhol mashg'ulotlarga o'tishingiz mumkin va agar unutgan bo'lsangiz, quyida tahlil qilingan narsalarni o'qing va javobda nima uchun ikkala ildiz ham yozilishi kerakligiga e'tibor bering. .
Keling, ikkala geometrik progressiyamizni chizamiz - biri qiymatga ega, ikkinchisi esa qiymatga ega va ularning ikkalasi ham mavjud bo'lish huquqiga ega yoki yo'qligini tekshiramiz:
Bunday geometrik progressiya bor yoki yo'qligini tekshirish uchun uning barcha berilgan a'zolari orasida bir xil ekanligini ko'rish kerakmi? Birinchi va ikkinchi holatlar uchun q ni hisoblang.
Qarang, nega ikkita javob yozishimiz kerak? Chunki talab qilingan atamaning belgisi uning ijobiy yoki salbiy ekanligiga bog'liq! Va bu nima ekanligini bilmaganimiz uchun ikkala javobni ham ortiqcha va minus bilan yozishimiz kerak.
Endi siz asosiy fikrlarni o'zlashtirganingiz va geometrik progressiyaning xossasi formulasini chiqarganingizdan so'ng, toping, biling va
Javoblaringizni to'g'ri javoblar bilan solishtiring:
Nima deb o'ylaysiz, agar bizga geometrik progressiya a'zolarining qiymatlari kerakli songa qo'shni emas, balki undan teng masofada berilsa nima bo'ladi? Masalan, topishimiz kerak, va berilgan va. Bu holatda biz olingan formuladan foydalana olamizmi? Bu imkoniyatni xuddi shu tarzda tasdiqlash yoki rad etishga harakat qilib ko'ring, har bir qiymat nimadan iboratligini tasvirlab ko'ring, siz formulani dastlab olishda qilganingizdek.
Nima oldingiz?
Endi yana diqqat bilan qarang.
va mos ravishda:
Bundan xulosa qilishimiz mumkinki, formula ishlaydi nafaqat qo'shni bilan geometrik progressiyaning kerakli shartlari bilan, balki bilan teng masofada a'zolar qidirayotgan narsadan.
Shunday qilib, bizning asl formulamiz quyidagicha bo'ladi:
Ya'ni, agar biz birinchi holatda shunday degan bo'lsak, endi u kichik bo'lgan har qanday natural songa teng bo'lishi mumkinligini aytamiz. Asosiysi, berilgan ikkala raqam uchun ham bir xil bo'lish.
uchun mashq qiling aniq misollar faqat juda ehtiyot bo'ling!
- , . Toping.
- , . Toping.
- , . Toping.
Qaror qildingizmi? Umid qilamanki, siz juda ehtiyot bo'ldingiz va kichik bir ovni payqadingiz.
Natijalarni solishtiramiz.
Birinchi ikkita holatda biz yuqoridagi formulani xotirjamlik bilan qo'llaymiz va quyidagi qiymatlarni olamiz:
Uchinchi holatda, bizga berilgan raqamlarning seriya raqamlarini sinchkovlik bilan ko'rib chiqsak, ular biz izlayotgan raqamdan bir xil masofada emasligini tushunamiz: bu avvalgi raqam, lekin o'rnida olib tashlangan, shuning uchun bu mumkin emas. formulani qo'llash uchun.
Uni qanday hal qilish kerak? Bu aslida ko'rinadigan darajada qiyin emas! Bizga berilgan har bir raqam va kerakli raqam nimadan iboratligini siz bilan birga yozamiz.
Shunday qilib, bizda va. Keling, ular bilan nima qilishimiz mumkinligini ko'rib chiqaylik. Men ajratishni taklif qilaman. Biz olamiz:
Biz ma'lumotlarimizni formulaga almashtiramiz:
Keyingi qadam biz topishimiz mumkin - buning uchun biz natijada olingan raqamning kub ildizini olishimiz kerak.
Endi bizda nima borligini yana bir bor ko'rib chiqaylik. Bizda bor, lekin topishimiz kerak va u o'z navbatida quyidagilarga teng:
Hisoblash uchun barcha kerakli ma'lumotlarni topdik. Formuladagi o'rniga:
Bizning javobimiz: .
Boshqa bir xil muammoni o'zingiz hal qilishga harakat qiling:
Berilgan: ,
Toping:
Qancha oldingiz? Menda - .
Ko'rib turganingizdek, aslida sizga kerak faqat bitta formulani eslang- . Qolganlarini istalgan vaqtda hech qanday qiyinchiliksiz o'zingiz olib qo'yishingiz mumkin. Buning uchun qog'ozga eng oddiy geometrik progressiyani yozing va yuqoridagi formula bo'yicha uning har bir soni nimaga teng ekanligini yozing.
Geometrik progressiya hadlari yig'indisi.
Endi berilgan oraliqda geometrik progressiya hadlari yig‘indisini tezda hisoblash imkonini beruvchi formulalarni ko‘rib chiqing:
Cheklangan geometrik progressiya hadlari yig‘indisi formulasini chiqarish uchun yuqoridagi tenglamaning barcha qismlarini ga ko‘paytiramiz. Biz olamiz:
Diqqat bilan qarang: oxirgi ikkita formulada qanday umumiylik bor? To'g'ri, umumiy a'zolar, masalan va boshqalar, birinchi va oxirgi a'zodan tashqari. Keling, 2-tenglamadan 1-tenglamani ayirishga harakat qilaylik. Nima oldingiz?
Endi geometrik progressiyaning a'zosi formulasi orqali ifodalang va olingan ifodani oxirgi formulamizga almashtiring:
Ifodani guruhlash. Siz olishingiz kerak:
Buni ifodalashgina qoladi:
Shunga ko'ra, bu holatda.
Agar .. bo'lsa nima bo'ladi? Keyin qanday formula ishlaydi? Geometrik progressiyani tasavvur qiling. U qanday? To'g'ri bir xil raqamlar qatori mos ravishda formula quyidagicha ko'rinadi:
Arifmetik va geometrik progressiya kabi, ko'plab afsonalar mavjud. Ulardan biri shaxmatning yaratuvchisi Set haqidagi afsonadir.
Shaxmat o‘yini Hindistonda ixtiro qilinganini ko‘pchilik biladi. Hind qiroli u bilan uchrashganda, u uning aql-zakovati va undagi turli xil pozitsiyalardan xursand bo'ldi. Buni o'z fuqarolaridan biri ixtiro qilganini bilib, qirol uni shaxsan mukofotlashga qaror qildi. U ixtirochini o'ziga chaqirdi va undan xohlagan narsani so'rashni buyurdi va hatto eng mohir istakni bajarishga va'da berdi.
Seta o'ylash uchun vaqt so'radi va ertasi kuni Seta podshoh huzuriga kelganida, u o'z iltimosining misli ko'rilmagan kamtarligi bilan qirolni hayratda qoldirdi. U shaxmat taxtasining birinchi kvadratiga bir dona bug'doy, ikkinchisiga bug'doy, uchinchi, to'rtinchi va hokazo bug'doy so'radi.
Shoh g'azablanib, xizmatkorning iltimosi qirollik saxiyligiga loyiq emasligini aytib, Setni haydab yubordi, lekin xizmatkor uning donalarini taxtaning barcha hujayralari uchun olishini va'da qildi.
Va endi savol: geometrik progressiyaning a'zolari yig'indisi formulasidan foydalanib, Set qancha don olishi kerakligini hisoblang?
Keling, muhokamani boshlaylik. Shartga ko'ra, Set shaxmat taxtasining birinchi katakchasi uchun, ikkinchi, uchinchi, to'rtinchi va boshqalar uchun bug'doy donini so'raganligi sababli, muammo geometrik progressiya haqida ekanligini ko'ramiz. Bu holatda nima teng?
To'g'ri.
Shaxmat taxtasining umumiy kataklari. Tegishli ravishda, . Bizda barcha ma'lumotlar bor, faqat formulaga almashtirish va hisoblash uchun qoladi.
Hech bo'lmaganda ma'lum bir raqamning "miqyosi" ni ifodalash uchun biz darajaning xususiyatlaridan foydalanib o'zgartiramiz:
Albatta, agar xohlasangiz, kalkulyatorni olib, qanday raqam bilan yakunlanganingizni hisoblab chiqishingiz mumkin, agar bo'lmasa, mening so'zimni qabul qilishingiz kerak bo'ladi: ifodaning yakuniy qiymati bo'ladi.
Ya'ni:
kvintilion kvadrillion trillion milliard million ming.
Fuh) Agar siz bu raqamning ulkanligini tasavvur qilmoqchi bo'lsangiz, unda butun don miqdorini sig'dirish uchun qanday hajmdagi ombor kerak bo'lishini taxmin qiling.
Ombor balandligi m va kengligi m bo'lsa, uning uzunligi km ga cho'zilishi kerak edi, ya'ni. Yerdan Quyoshgacha bo'lgan masofadan ikki baravar uzoqroqdir.
Agar podshoh matematikada kuchli bo‘lsa, donlarni sanashni olimning o‘ziga taklif qilishi mumkin edi, chunki million donni sanash uchun unga hech bo‘lmaganda bir kun tinimsiz hisoblash kerak bo‘lardi va kvintilionlarni sanash zarurligini hisobga olsak, donlar butun umri davomida sanab o'tilishi kerak edi.
Endi esa geometrik progressiyaning hadlari yig‘indisiga doir oddiy masalani yechamiz.
5-sinf o'quvchisi Vasya gripp bilan kasal bo'lib qoldi, lekin maktabga borishda davom etmoqda. Har kuni Vasya ikki kishini yuqtiradi, ular o'z navbatida yana ikkita odamni yuqtirishadi va hokazo. Sinfda faqat bir kishi. Necha kundan keyin butun sinf grippga chalinadi?
Demak, geometrik progressiyaning birinchi a’zosi Vasya, ya’ni odamdir. geometrik progressiyaning th a'zosi, bular u kelishining birinchi kunida yuqtirgan ikki kishidir. Progressiya a'zolarining umumiy yig'indisi 5A o'quvchilar soniga teng. Shunga ko'ra, biz rivojlanish haqida gapiramiz, unda:
Keling, ma'lumotlarimizni geometrik progressiyaning hadlari yig'indisi formulasiga almashtiramiz:
Bir necha kun ichida butun sinf kasal bo'lib qoladi. Formulalar va raqamlarga ishonmaysizmi? O'quvchilarning "infektsiyasini" o'zingiz tasvirlashga harakat qiling. Bo'ldimi? Bu men uchun qanday ko'rinishini ko'ring:
O'zingiz hisoblab ko'ring, agar hamma odamni yuqtirsa, sinfda bir kishi bo'lsa, o'quvchilar necha kun gripp bilan kasallanadi.
Siz qanday qiymatga ega bo'ldingiz? Ma'lum bo'lishicha, bir kundan keyin hamma kasal bo'la boshlagan.
Ko'rib turganingizdek, bunday vazifa va uning chizmasi piramidaga o'xshaydi, unda har bir keyingi yangi odamlarni "olib keladi". Biroq, ertami-kechmi, ikkinchisi hech kimni jalb qila olmaydigan payt keladi. Bizning holatda, agar sinf izolyatsiya qilingan deb tasavvur qilsak, dan kelgan kishi zanjirni yopadi (). Shunday qilib, agar biror kishi boshqa ikkita ishtirokchini olib kelsangiz, pul berilgan moliyaviy piramidada ishtirok etgan bo'lsa, u holda u (yoki umumiy holatda) hech kimni olib kelmaydi, mos ravishda bu moliyaviy firibgarlikka sarmoya kiritgan hamma narsadan mahrum bo'ladi. .
Yuqorida aytilganlarning barchasi kamayib borayotgan yoki ortib borayotgan geometrik progressiyani anglatadi, lekin siz eslayotganingizdek, bizda o'ziga xos tur bor - cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya. Uning a'zolari yig'indisini qanday hisoblash mumkin? Va nima uchun bu turdagi progressiya ma'lum xususiyatlarga ega? Keling, buni birgalikda aniqlaylik.
Shunday qilib, yangi boshlanuvchilar uchun, keling, bizning misolimizdan cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning ushbu rasmiga yana qaraylik:
Keling, biroz oldin olingan geometrik progressiya yig'indisi formulasini ko'rib chiqaylik:
yoki
Biz nimaga intilyapmiz? To'g'ri, grafik uning nolga moyilligini ko'rsatadi. Ya'ni, qachon, u deyarli teng bo'ladi, mos ravishda, ifodani hisoblashda, biz deyarli olamiz. Shu munosabat bilan, biz cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning yig'indisini hisoblashda, bu qavsni e'tiborsiz qoldirish mumkin deb hisoblaymiz, chunki u teng bo'ladi.
- formula cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning hadlari yig'indisidir.
MUHIM! Cheksiz kamayib boruvchi geometrik progressiyaning hadlari yig‘indisi formulasidan faqat shart yig‘indini topishimiz kerakligini aniq ko‘rsatsagina foydalanamiz. cheksiz a'zolar soni.
Agar ma'lum bir n raqami ko'rsatilgan bo'lsa, biz yoki bo'lsa ham, n ta a'zoning yig'indisi uchun formuladan foydalanamiz.
Va endi mashq qilaylik.
- Geometrik progressiyaning birinchi hadlari yig‘indisini va bilan toping.
- Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning hadlari yig‘indisini va bilan toping.
Umid qilamanki, siz juda ehtiyot bo'ldingiz. Javoblarimizni solishtiring:
Endi siz geometrik progressiya haqida hamma narsani bilasiz va nazariyadan amaliyotga o'tish vaqti keldi. Imtihonda topilgan eng keng tarqalgan eksponensial muammolar murakkab qiziqish muammolaridir. Biz ular haqida gaplashamiz.
Murakkab foizlarni hisoblash masalalari.
Murakkab foiz formulasi haqida eshitgan bo'lsangiz kerak. U nimani nazarda tutayotganini tushunyapsizmi? Agar yo'q bo'lsa, keling, buni aniqlaylik, chunki jarayonning o'zini anglaganingizdan so'ng, siz geometrik progressiyaning unga qanday aloqasi borligini darhol tushunasiz.
Biz hammamiz bankka boramiz va depozitlar uchun turli xil shartlar mavjudligini bilamiz: bu muddat va qo'shimcha xizmat ko'rsatish va uni hisoblashning ikki xil usuli bilan foizlar - oddiy va murakkab.
BILAN oddiy qiziqish hamma narsa ko'proq yoki kamroq aniq: foizlar depozit muddati oxirida bir marta olinadi. Ya'ni, agar biz yiliga 100 rubl qo'yish haqida gapiradigan bo'lsak, unda ular faqat yil oxirida hisobga olinadi. Shunga ko'ra, depozitning oxirigacha biz rubl olamiz.
Murakkab foiz bo'lgan variant hisoblanadi foizlarni kapitallashtirish, ya'ni. ularning omonat summasiga qo'shilishi va depozitning dastlabki summasidan emas, balki to'plangan summasidan daromadning keyingi hisob-kitobi. Kapitallashtirish doimiy ravishda sodir bo'lmaydi, lekin ba'zi bir davriylik bilan. Qoidaga ko'ra, bunday muddatlar tengdir va ko'pincha banklar bir oy, chorak yoki bir yil foydalanadi.
Aytaylik, biz yiliga bir xil rubl qo'yamiz, lekin omonatning oylik kapitallashuvi bilan. Biz nima olamiz?
Bu erda hamma narsani tushunyapsizmi? Agar yo'q bo'lsa, keling, bosqichma-bosqich ko'rib chiqaylik.
Biz bankka rubl olib keldik. Oyning oxiriga kelib, bizning hisobimizda rubllarimiz va ularga nisbatan foizlardan iborat miqdor bo'lishi kerak, ya'ni:
Rozimisiz?
Biz uni qavsdan olib tashlashimiz mumkin va keyin biz olamiz:
Qabul qiling, bu formula biz boshida yozganimizga ko'proq o'xshaydi. Bu foizlar bilan shug'ullanish uchun qoladi
Muammoning holatida bizga yillik haqida aytiladi. Ma'lumki, biz ko'paytirmaymiz - foizlarni ga aylantiramiz o'nli kasrlar, ya'ni:
To'g'rimi? Endi so‘rayapsiz, raqam qayerdan kelgan? Juda oddiy!
Takror aytaman: muammoning holati haqida YILLIK hisoblangan foizlar OYLIK. Ma'lumki, bir yil ichida, mos ravishda, bank bizdan oyiga yillik foizlarning bir qismini undiradi:
Tushundimi? Endi foizlar har kuni hisoblab chiqiladi, desam formulaning bu qismi qanday ko'rinishini yozishga harakat qiling.
Siz boshqardingizmi? Keling, natijalarni taqqoslaylik:
Juda qoyil! Keling, vazifamizga qaytaylik: jamg'arilgan depozit summasidan foizlar hisoblanishini hisobga olgan holda ikkinchi oyda hisobimizga qancha pul tushishini yozing.
Menga nima bo'ldi:
Yoki boshqacha aytganda:
O'ylaymanki, siz allaqachon naqshni payqadingiz va bularning barchasida geometrik progressiyani ko'rdingiz. Uning a'zosi nimaga teng bo'lishini yoki boshqacha aytganda, oy oxirida qancha pul olishimizni yozing.
qildimi? Tekshirilmoqda!
Ko'rib turganingizdek, agar siz bankka bir yil davomida oddiy foiz evaziga pul qo'ysangiz, u holda siz rubl olasiz va agar siz uni murakkab kursga qo'ysangiz, rubl olasiz. Foyda unchalik katta emas, lekin bu faqat yil davomida sodir bo'ladi, lekin uzoqroq vaqt davomida kapitallashtirish ancha foydali bo'ladi:
Murakkab foiz muammolarining boshqa turini ko'rib chiqing. Siz tushunganingizdan so'ng, bu siz uchun oddiy bo'ladi. Shunday qilib, vazifa:
Zvezda 2000 yilda sanoatga sarmoya kiritishni dollar kapitali bilan boshlagan. 2001 yildan beri har yili o'tgan yilgi kapitalga teng foyda keltirdi. Agar foyda muomaladan olinmagan bo'lsa, Zvezda kompaniyasi 2003 yil oxirida qancha foyda oladi?
2000 yilda Zvezda kompaniyasining kapitali.
- 2001 yilda Zvezda kompaniyasining kapitali.
- 2002 yilda Zvezda kompaniyasining kapitali.
- 2003 yilda Zvezda kompaniyasining kapitali.
Yoki qisqacha yozishimiz mumkin:
Bizning holatimiz uchun:
2000, 2001, 2002 va 2003 yillar.
Mos ravishda:
rubl
E'tibor bering, bu masalada bizda ham, na bo'linish yo'q, chunki foiz YILLIK beriladi va YILLIK hisoblanadi. Ya'ni, murakkab foizlar bo'yicha masalani o'qiyotganda, qancha foiz berilganiga va qaysi davrda undirilganiga e'tibor bering va shundan keyingina hisob-kitoblarga o'ting.
Endi siz geometrik progressiya haqida hamma narsani bilasiz.
Trening.
- Geometrik progressiyaning hadini toping, agar ma'lum bo'lsa, va
- Geometrik progressiyaning birinchi hadlari yig‘indisini toping, agar ma’lum bo‘lsa, va
- MDM Capital 2003 yilda sanoatga sarmoya kiritishni dollar kapitali bilan boshlagan. 2004 yildan beri u har yili o'tgan yilgi kapitalga teng foyda oldi. "MSK Cash Flows" kompaniyasi 2005 yilda sanoatga 10 000 AQSh dollari miqdorida sarmoya kirita boshladi, 2006 yilda daromad keltira boshladi. Agar foyda muomaladan olinmagan bo‘lsa, 2007 yil oxirida bir kompaniyaning kapitali boshqasinikidan necha dollarga ko‘p bo‘lgan?
Javoblar:
- Muammoning sharti progressiyaning cheksiz ekanligini aytmaganligi va uning a'zolarining ma'lum sonining yig'indisini topish talab qilinganligi sababli, hisoblash quyidagi formula bo'yicha amalga oshiriladi:
"MDM Capital" kompaniyasi:2003, 2004, 2005, 2006, 2007 yillar.
- 100%, ya'ni 2 barobar ortadi.
Mos ravishda:
rubl
MSK pul oqimlari:2005, 2006, 2007 yillar.
- marta, ya'ni marta ortadi.
Mos ravishda:
rubl
rubl
Keling, xulosa qilaylik.
1) Geometrik progressiya ( ) sonli ketma-ketlik boʻlib, uning birinchi hadi noldan farq qiladi va ikkinchisidan boshlab har bir had oldingisiga teng boʻlib, bir xil songa koʻpaytiriladi. Bu son geometrik progressiyaning maxraji deb ataladi.
2) Geometrik progressiya a'zolari tenglamasi -.
3) va dan tashqari har qanday qiymatni qabul qilishi mumkin.
- agar, u holda progressiyaning barcha keyingi a'zolari bir xil belgiga ega - ular ijobiy;
- bo'lsa, progressiyaning barcha keyingi a'zolari muqobil belgilar;
- qachon - progressiya cheksiz kamayuvchi deyiladi.
4) , at - geometrik progressiyaning xossasi (qo‘shni hadlar)
yoki
, da (teng masofada)
Uni topganingizda, buni unutmang ikkita javob bo'lishi kerak..
Masalan,
5) Geometrik progressiya a'zolarining yig'indisi quyidagi formula bilan hisoblanadi:
yoki
Agar progressiya cheksiz kamayib borayotgan bo'lsa, unda:
yoki
MUHIM! Cheksiz kamayib boruvchi geometrik progressiya hadlari yig‘indisi formulasidan faqat shart cheksiz sonli hadlar yig‘indisini topish zarurligini aniq ko‘rsatsagina foydalanamiz.
6) Murakkab foizlar bo‘yicha topshiriqlar, shuningdek, pul mablag‘lari muomaladan chiqarilmagan bo‘lsa, geometrik progressiyaning a’zosi formulasi bo‘yicha ham hisoblanadi:
GEOMETRIK PROGRESSIYA. ASOSIY HAQIDA QISQA
Geometrik progressiya( ) - sonli ketma-ketlik bo'lib, uning birinchi hadi noldan farq qiladi va ikkinchisidan boshlab har bir a'zo avvalgisiga teng bo'lib, bir xil songa ko'paytiriladi. Bu raqam chaqiriladi geometrik progressiyaning maxraji.
Geometrik progressiyaning maxraji va dan tashqari har qanday qiymatni qabul qilishi mumkin.
- Agar progressiyaning barcha keyingi a'zolari bir xil belgiga ega bo'lsa - ular ijobiydir;
- agar, u holda progressiyaning barcha keyingi a'zolari muqobil belgilar;
- qachon - progressiya cheksiz kamayuvchi deyiladi.
Geometrik progressiya a'zolarining tenglamasi - .
Geometrik progressiya hadlari yig'indisi formula bo'yicha hisoblanadi:
yoki
Geometrik progressiya matematikada arifmetikadan kam emas. Geometrik progressiya - bu b1, b2,..., b[n] sonlarning shunday ketma-ketligi bo'lib, ularning har bir keyingi a'zosi oldingisini doimiy songa ko'paytirish orqali olinadi. Progressiyaning o'sish yoki pasayish tezligini tavsiflovchi bu raqam deyiladi geometrik progressiyaning maxraji va belgilang
Uchun to'liq vazifa geometrik progressiya, maxrajdan tashqari uning birinchi hadini bilish yoki aniqlash kerak. Ijobiy maxraj uchun progressiya hisoblanadi monoton ketma-ketlik, va agar bu raqamlar ketma-ketligi monoton ravishda kamayib borayotgan va monoton ravishda ortib borayotgan bo'lsa. Maxraj birga teng bo'lgan holat amalda ko'rib chiqilmaydi, chunki bizda bir xil sonlar ketma-ketligi mavjud va ularning yig'indisi amaliy ahamiyatga ega emas.
Geometrik progressiyaning umumiy atamasi formula bo'yicha hisoblanadi
Geometrik progressiyaning birinchi n ta hadining yig'indisi formula bilan aniqlanadi
Keling, klassik geometrik progressiya masalalarining yechimlarini ko'rib chiqaylik. Keling, tushunish uchun eng oddiyidan boshlaylik.
1-misol. Geometrik progressiyaning birinchi hadi 27 ga, maxraji esa 1/3 ga teng. Geometrik progressiyaning dastlabki oltita hadini toping.
Yechish: Masalaning shartini shaklga yozamiz
Hisoblash uchun geometrik progressiyaning n-azosi formulasidan foydalanamiz
Unga asoslanib, biz progressiyaning noma'lum a'zolarini topamiz
Ko'rib turganingizdek, geometrik progressiyaning shartlarini hisoblash qiyin emas. Rivojlanishning o'zi shunday ko'rinadi
2-misol. Geometrik progressiyaning dastlabki uch a’zosi berilgan: 6; -12; 24. Ayiruvchi va yettinchi hadni toping.
Yechish: Geometrik progressiyaning maxrajini ta’rifidan kelib chiqib hisoblaymiz
Biz o'zgaruvchan geometrik progressiyani oldik, uning maxraji -2. Ettinchi muddat formula bo'yicha hisoblanadi
Bu vazifa hal qilinadi.
3-misol. Geometrik progressiya uning ikki a’zosi tomonidan berilgan 
. Progressiyaning o‘ninchi hadini toping.
Yechim:
Berilgan qiymatlarni formulalar orqali yozamiz
Qoidalarga ko'ra, maxrajni topib, keyin kerakli qiymatni izlash kerak edi, ammo o'ninchi muddat uchun bizda
Xuddi shu formulani kirish ma'lumotlari bilan oddiy manipulyatsiyalar asosida olish mumkin. Biz seriyaning oltinchi atamasini boshqasiga ajratamiz, natijada biz olamiz
Olingan qiymat oltinchi muddatga ko'paytirilsa, biz o'ninchini olamiz
Shunday qilib, bunday muammolar uchun oddiy o'zgarishlar yordamida tez yo'l to'g'ri echimni topishingiz mumkin.
Misol 4. Geometrik progressiya takrorlanuvchi formulalar bilan berilgan
Geometrik progressiyaning maxraji va birinchi olti hadning yig‘indisini toping.
Yechim:
Berilgan ma’lumotlarni tenglamalar sistemasi shaklida yozamiz
Ikkinchi tenglamani birinchisiga bo'lish orqali maxrajni ifodalang
Birinchi tenglamadan progressiyaning birinchi hadini toping
Geometrik progressiya yig‘indisini topish uchun quyidagi beshta hadni hisoblang
Ko'rsatma
10, 30, 90, 270...
Geometrik progressiyaning maxrajini topish talab qilinadi.
Yechim:
1 variant. Progressiyaning ixtiyoriy a'zosini olaylik (masalan, 90) va uni oldingisiga (30) bo'lamiz: 90/30=3.
Agar geometrik progressiyaning bir nechta a'zolarining yig'indisi yoki kamayuvchi geometrik progressiyaning barcha a'zolarining yig'indisi ma'lum bo'lsa, progressiyaning maxrajini topish uchun tegishli formulalardan foydalaning:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), bu yerda Sn - geometrik progressiyaning birinchi n ta hadining yig'indisi va
S = b1/(1-q), bu yerda S cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yig‘indisi (maxraji birdan kichik bo‘lgan progressiyaning barcha a’zolari yig‘indisi).
Misol.
Kamayuvchi geometrik progressiyaning birinchi hadi birga, barcha hadlari yig’indisi ikkiga teng.
Bu progressiyaning maxrajini aniqlash talab qilinadi.
Yechim:
Vazifadagi ma'lumotlarni formulaga almashtiring. Oling:
2=1/(1-q), bundan – q=1/2.
Progressiya - bu raqamlar ketma-ketligi. Geometrik progressiyada har bir keyingi had oldingisini progressiyaning maxraji deb ataladigan ma'lum q soniga ko'paytirish yo'li bilan olinadi.
Ko'rsatma
Agar b(n+1) va b(n) geometrikning ikkita qo‘shni a’zosi ma’lum bo‘lsa, maxrajni olish uchun katta sonli sonni oldingisiga bo‘lish kerak: q=b(n). +1)/b(n). Bu progressiya va uning maxrajining ta'rifidan kelib chiqadi. Muhim shart shundaki, progressiyaning birinchi hadi va maxraji nolga teng emas, aks holda u noaniq hisoblanadi.
Shunday qilib, progressiya a'zolari o'rtasida quyidagi munosabatlar o'rnatiladi: b2=b1 q, b3=b2 q, … , b(n)=b(n-1) q. b(n)=b1 q^(n-1) formulasi boʻyicha geometrik progressiyaning maxraji q va b1 aʼzosi maʼlum boʻlgan istalgan aʼzosini hisoblash mumkin. Shuningdek, progressiya modulining har biri oʻziga qoʻshni aʼzolarning oʻrtacha qiymatiga teng: |b(n)|=√, demak, progressiya oʻzining .
Geometrik progressiyaning analogi eng oddiy hisoblanadi eksponensial funktsiya y=a^x, bu erda x ko'rsatkichda, a qandaydir son. Bunda progressiyaning maxraji birinchi had bilan bir xil va soniga teng a. y funksiyaning qiymati deb tushunish mumkin n-a'zo agar x argumenti sifatida qabul qilinsa progressiyalar natural son n (hisoblagich).
Geometrik progressiyaning birinchi n ta a'zosi yig'indisi uchun mavjud: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). Bu formula q≠1 uchun amal qiladi. Agar q=1 bo'lsa, birinchi n ta hadning yig'indisi S(n)=n b1 formula bo'yicha hisoblanadi. Aytgancha, progressiya q birdan katta va musbat b1 uchun ortish deb ataladi. Agar progressiyaning maxraji moduli birdan oshmasa, progressiya kamayuvchi deb ataladi.
Geometrik progressiyaning alohida holi cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyadir (b.u.g.p.). Gap shundaki, kamayuvchi geometrik progressiyaning a'zolari qayta-qayta kamayib boradi, lekin hech qachon nolga etib bormaydi. Shunga qaramay, bunday progressiyaning barcha shartlari yig'indisini topish mumkin. S=b1/(1-q) formula bilan aniqlanadi. n a’zolarning umumiy soni cheksizdir.
Qanday qilib cheksiz sonli raqamlarni qo'shish va cheksizlikka erisha olmasligingizni tasavvur qilish uchun tort pishiring. Uning yarmini kesib tashlang. Keyin yarmini 1/2 qismini kesib oling va hokazo. Siz oladigan bo'laklar maxraji 1/2 bo'lgan cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning a'zolaridan boshqa narsa emas. Agar siz ushbu qismlarning barchasini birlashtirsangiz, siz asl tortni olasiz.
Geometriya masalalari maxsus mashq turi bo'lib, uni talab qiladi fazoviy fikrlash. Agar siz geometrikni hal qila olmasangiz vazifa quyidagi qoidalarga amal qilishga harakat qiling.
Ko'rsatma
Muammoning holatini juda diqqat bilan o'qing, agar biror narsani eslamasangiz yoki tushunmasangiz, uni qayta o'qing.
Bu qanday geometrik muammolar ekanligini aniqlashga harakat qiling, masalan: hisoblash, ba'zi bir qiymatni aniqlash kerak bo'lganda, mantiqiy fikrlash zanjirini talab qilish uchun vazifalar, kompas va o'lchagich yordamida qurish vazifalari. Ko'proq aralash muammolar. Muammoning turini aniqlaganingizdan so'ng, mantiqiy fikr yuritishga harakat qiling.
Ushbu muammo uchun kerakli teoremani qo'llang, agar shubhalar mavjud bo'lsa yoki umuman variantlar bo'lmasa, tegishli mavzu bo'yicha o'rgangan nazariyani eslab qolishga harakat qiling.
Muammoning qoralamasini ham tuzing. Yechimingizning to'g'riligini tekshirish uchun ma'lum usullardan foydalanishga harakat qiling.
Masalaning yechilishini daftarda toza, dog‘ va chizilmasin, eng muhimi -.Balki birinchi geometrik masalalarni yechish uchun vaqt va kuch kerak bo‘lar. Biroq, bu jarayonni o'zlashtirganingizdan so'ng, siz yong'oq kabi vazifalarni bosishni boshlaysiz va buni amalga oshirishdan zavqlanasiz!
Geometrik progressiya deb b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n) sonlar ketma-ketligiga aytiladi, shundayki b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n) ) =b(n-1)*q, b1≠0, q≠0. Boshqacha qilib aytganda, progressiyaning har bir a'zosi oldingisidan uni q progressiyaning nolga teng bo'lmagan maxrajiga ko'paytirish orqali olinadi.
Ko'rsatma
Progressiyaga oid masalalar ko'pincha progressiyaning b1 birinchi hadi va q progressiyasining maxrajiga nisbatan sistema tuzish va unga rioya qilish yo'li bilan yechiladi. Tenglamalarni yozish uchun ba'zi formulalarni eslab qolish foydalidir.
Progressiyaning n-chi a'zosi progressiyaning birinchi a'zosi va progressiyaning maxraji orqali qanday ifodalanadi: b(n)=b1*q^(n-1).
|q| ishni alohida ko'rib chiqing<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии
