Oxirgi darsda biz o'nli kasrlarni qanday qo'shish va ayirishni o'rgandik ("O'nli kasrlarni qo'shish va ayirish" darsiga qarang). Shu bilan birga, ular odatdagi "ikki qavatli" fraktsiyalarga nisbatan hisob-kitoblar qanchalik soddalashtirilganligini taxmin qilishdi.
Afsuski, ko'paytirish va bo'linish bilan o'nli kasrlar bunday ta'sir ko'rsatilmaydi. Ba'zi hollarda kasrli belgilar bu operatsiyalarni murakkablashtiradi.
Birinchidan, yangi ta'rifni kiritamiz. Biz u bilan tez-tez uchrashamiz, nafaqat bu darsda.
Raqamning muhim qismi birinchi va oxirgi nolga teng bo'lmagan raqamlar orasidagi hamma narsa, shu jumladan treylerlar. Biz faqat raqamlar haqida gapiramiz, kasrli nuqta hisobga olinmaydi.
Raqamning muhim qismiga kiritilgan raqamlar muhim raqamlar deb ataladi. Ular takrorlanishi va hatto nolga teng bo'lishi mumkin.
Masalan, bir nechta o'nli kasrlarni ko'rib chiqing va ularning tegishli muhim qismlarini yozing:
- 91,25 → 9125 (muhim raqamlar: 9; 1; 2; 5);
- 0,008241 → 8241 (muhim raqamlar: 8; 2; 4; 1);
- 15,0075 → 150075 (muhim raqamlar: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
- 0,0304 → 304 (muhim ko'rsatkichlar: 3; 0; 4);
- 3000 → 3 (faqat bitta muhim raqam mavjud: 3).
E'tibor bering: raqamning muhim qismidagi nollar hech qaerga ketmaydi. Biz o'nli kasrlarni oddiy kasrlarga aylantirishni o'rganganimizda shunga o'xshash narsaga duch kelganmiz ("O'nlik kasrlar" darsiga qarang).
Bu nuqta juda muhim va bu erda xatolar shunchalik tez-tez sodir bo'ladiki, men yaqin kelajakda ushbu mavzu bo'yicha test nashr etaman. Albatta mashq qiling! Va biz muhim qism tushunchasi bilan qurollangan holda, aslida dars mavzusiga o'tamiz.
O'nlik sonlarni ko'paytirish
Ko'paytirish operatsiyasi ketma-ket uchta bosqichdan iborat:
- Har bir kasr uchun muhim qismini yozing. Siz ikkita oddiy butun sonni olasiz - hech qanday maxraj va kasrsiz;
- Bu raqamlarni har qanday qulay usulda ko'paytiring. To'g'ridan-to'g'ri, agar raqamlar kichik bo'lsa yoki ustunda. Biz kerakli fraktsiyaning muhim qismini olamiz;
- Tegishli muhim qismni olish uchun dastlabki kasrlarda o'nli kasr qayerga va necha raqamga siljiganligini aniqlang. Oldingi bosqichda olingan muhim qismda teskari siljishlarni bajaring.
Yana bir bor eslatib o'tamanki, muhim qismning yon tomonlaridagi nollar hech qachon hisobga olinmaydi. Ushbu qoidaga e'tibor bermaslik xatolarga olib keladi.
- 0,28 12,5;
- 6,3 1,08;
- 132,5 0,0034;
- 0,0108 1600,5;
- 5,25 10 000.
Biz birinchi ifoda bilan ishlaymiz: 0,28 12,5.
- Keling, ushbu ifodadagi raqamlarning muhim qismlarini yozamiz: 28 va 125;
- Ularning mahsuloti: 28 125 = 3500;
- Birinchi multiplikatorda kasr nuqtasi 2 ta o'ngga (0,28 → 28), ikkinchisida esa yana 1 ta raqamga siljiydi. Hammasi bo'lib, chapga uchta raqamga siljish kerak: 3500 → 3,500 = 3,5.
Endi 6.3 1.08 ifodasi bilan shug'ullanamiz.
- Keling, muhim qismlarni yozamiz: 63 va 108;
- Ularning mahsuloti: 63 108 = 6804;
- Shunga qaramay, o'ngga ikki siljish: mos ravishda 2 va 1 raqam. Hammasi bo'lib - yana o'ngga 3 ta raqam, shuning uchun teskari siljish chapga 3 ta raqam bo'ladi: 6804 → 6.804. Bu safar oxirida hech qanday nol yo'q.
Biz uchinchi ifodaga keldik: 132,5 0,0034.
- Muhim qismlar: 1325 va 34;
- Ularning mahsuloti: 1325 34 = 45 050;
- Birinchi kasrda o'nli kasr o'ngga 1 ta raqamga, ikkinchisida esa 4 tagacha boradi. Jami: 5 o'ngga. Biz chapga 5 ga o'tishni amalga oshiramiz: 45050 → .45050 = 0,4505. Oxirida nol olib tashlandi va "yalang'och" kasr nuqtasini qoldirmaslik uchun old tomonga qo'shildi.
Quyidagi ifoda: 0,0108 1600,5.
- Biz muhim qismlarni yozamiz: 108 va 16 005;
- Biz ularni ko'paytiramiz: 108 16 005 = 1 728 540;
- O'nli kasrdan keyin raqamlarni hisoblaymiz: birinchi raqamda 4 ta, ikkinchisida - 1. Hammasi bo'lib - yana 5. Bizda: 1,728,540 → 17,28540 = 17,2854. Oxirida "qo'shimcha" nol olib tashlandi.
Nihoyat, oxirgi ifoda: 5,25 10 000.
- Muhim qismlar: 525 va 1;
- Biz ularni ko'paytiramiz: 525 1 = 525;
- Birinchi kasr o'ngga 2 ta raqamga, ikkinchi kasr esa 4 ta raqamga chapga siljiydi (10 000 → 1,0000 = 1). Jami 4 - 2 = chapga 2 ta raqam. Biz o'ngga 2 ta raqamga teskari siljishni amalga oshiramiz: 525, → 52 500 (biz nol qo'shishimiz kerak edi).
Oxirgi misolga e'tibor bering: kasr nuqtasi turli yo'nalishlarda harakat qilganligi sababli, umumiy siljish farq orqali amalga oshiriladi. Bu juda muhim nuqta! Mana yana bir misol:
1,5 va 12,500 raqamlarini ko'rib chiqing.Bizda: 1,5 → 15 (1 ga o'ngga siljish); 12 500 → 125 (chapga 2 siljish). Biz 1 raqamni o'ngga, so'ngra 2 ta raqamni chapga "qadam" qilamiz. Natijada, biz chapga 2 - 1 = 1 raqamga qadam qo'ydik.
O'nlik bo'linish
Bo'linish, ehtimol, eng qiyin operatsiya. Albatta, bu erda siz ko'paytirish bilan o'xshashlik bilan harakat qilishingiz mumkin: muhim qismlarni ajrating, so'ngra kasr nuqtasini "ko'chiring". Ammo bu holda, potentsial tejashni inkor etadigan ko'plab nozikliklar mavjud.
Shunday qilib, keling, umumiy algoritmni ko'rib chiqaylik, u biroz uzunroq, lekin ancha ishonchli:
- Barcha o'nli kasrlarni oddiy kasrlarga aylantiring. Bir oz mashq qilsangiz, bu qadam sizga bir necha soniya vaqt oladi;
- Olingan kasrlarni klassik usulda ajrating. Boshqacha qilib aytganda, birinchi kasrni "teskari" sekundiga ko'paytiring (" Raqamli kasrlarni ko'paytirish va bo'lish" darsiga qarang);
- Iloji bo'lsa, natijani kasr sifatida qaytaring. Bu qadam ham tezdir, chunki ko'pincha denominator allaqachon o'n kuchga ega.
Vazifa. Ifodaning qiymatini toping:
- 3,51: 3,9;
- 1,47: 2,1;
- 6,4: 25,6:
- 0,0425: 2,5;
- 0,25: 0,002.
Biz birinchi ifodani ko'rib chiqamiz. Birinchidan, obi kasrlarni o'nli kasrlarga aylantiramiz:
Ikkinchi ifoda bilan ham xuddi shunday qilamiz. Birinchi kasrning numeratori yana omillarga bo'linadi:
Uchinchi va to'rtinchi misollarda muhim bir nuqta bor: o'nli kasr belgilaridan xalos bo'lgach, bekor qilinadigan kasrlar paydo bo'ladi. Biroq, biz bu qisqartirishni amalga oshirmaymiz.
Oxirgi misol qiziqarli, chunki ikkinchi kasrning soni tub sondir. Bu erda faktorizatsiya qilinadigan hech narsa yo'q, shuning uchun biz uni "bo'sh" deb hisoblaymiz:
Ba'zan bo'linish natijasi bo'ladi butun son(Men oxirgi misol haqida gapiryapman). Bunday holda, uchinchi bosqich umuman bajarilmaydi.
Bundan tashqari, bo'lishda ko'pincha o'nli kasrlarga aylantirib bo'lmaydigan "xunuk" kasrlar paydo bo'ladi. Aynan shu erda bo'linish ko'paytirishdan farq qiladi, bu erda natijalar har doim o'nli shaklda ifodalanadi. Albatta, bu holda, oxirgi qadam yana bajarilmaydi.
3 va 4-misollarga ham e'tibor bering. Ularda biz o'nli kasrlardan olingan oddiy kasrlarni ataylab kamaytirmaymiz. Aks holda, bu teskari muammoni murakkablashtiradi - yakuniy javobni yana o'nli shaklda ifodalaydi.
Esingizda bo'lsin: kasrning asosiy xususiyati (matematikaning boshqa qoidasi kabi) o'zi uni hamma joyda va har doim, har qanday imkoniyatda qo'llash kerakligini anglatmaydi.
Ushbu qo'llanmada biz ushbu operatsiyalarning har birini birma-bir ko'rib chiqamiz.
Dars mazmuniO'nli kasrlarni qo'shish
Ma'lumki, o'nli kasr butun va kasr qismiga ega. O'nli kasrlarni qo'shishda butun va kasr qismlar alohida qo'shiladi.
Masalan, 3.2 va 5.3 oʻnli kasrlarni qoʻshamiz. Ustunga o'nlik kasrlarni qo'shish qulayroqdir.
Birinchidan, biz bu ikki kasrni ustunga yozamiz, butun sonlar butun qismlar ostida, kasrlar esa kasrlar ostida bo'lishi kerak. Maktabda bu talab deyiladi "vergul ostidagi vergul".
Vergul ostidagi kasrlarni ustunga yozamiz:
Biz kasr qismlarini qo'shishni boshlaymiz: 2 + 3 \u003d 5. Javobimizning kasr qismiga beshtasini yozamiz:
Endi biz butun son qismlarini qo'shamiz: 3 + 5 = 8. Javobimizning butun qismiga sakkiztasini yozamiz:
Endi butun sonni kasr qismidan vergul bilan ajratamiz. Buning uchun biz yana qoidaga amal qilamiz "vergul ostidagi vergul":
Javobni oldim 8.5. Demak, 3,2 + 5,3 ifodasi 8,5 ga teng
Aslida, hamma narsa birinchi qarashda ko'rinadigan darajada oddiy emas. Bu erda ham tuzoqlar bor, ular haqida hozir gaplashamiz.
O'nli kasrlardagi o'rinlar
O'nlik kasrlar ham oddiy sonlar kabi o'z raqamlariga ega. Bu o'ninchi o'rinlar, yuzinchi o'rinlar, minginchi o'rinlar. Bunday holda, raqamlar kasrdan keyin boshlanadi.
O'nlik kasrdan keyingi birinchi raqam o'ninchi o'rin uchun, o'nlik nuqtadan keyingi ikkinchi raqam yuzinchi o'rin uchun, o'nlik kasrdan keyingi uchinchi raqam minglik uchun javobgardir.
O'nli kasrlardagi raqamlar bir qismini saqlaydi foydali ma'lumotlar. Xususan, ular oʻnlik kasrda necha oʻndan, yuzdan, mingdan bir qismi borligini xabar qiladilar.
Masalan, 0,345 kasrni ko'rib chiqing
Uchlik joylashgan joy deyiladi o'ninchi o'rin
To'rtta joylashgan joy deyiladi yuzinchi o'rin
Beshta joylashgan joy deyiladi mingdan bir qismi
Keling, ushbu raqamni ko'rib chiqaylik. Biz o'ninchi toifasida uchta borligini ko'ramiz. Bu 0,345 o'nlik kasrda o'ndan uchtasi borligini ko'rsatadi.
Agar kasrlarni qo'shsak va keyin biz 0,345 asl o'nlik kasrni olamiz
Ko'rinib turibdiki, dastlab biz javob oldik, lekin uni o'nli kasrga aylantirdik va 0,345 ni oldik.
O'nli kasrlarni qo'shishda oddiy sonlarni qo'shishdagi kabi printsip va qoidalarga amal qilinadi. O'nli kasrlarni qo'shish raqamlar bilan sodir bo'ladi: o'ndan o'ndan birlarga, yuzdan birlarga, mingdan mingga qadar.
Shuning uchun o'nli kasrlarni qo'shishda qoidaga rioya qilish talab etiladi "vergul ostidagi vergul". Vergul ostidagi vergul bir xil tartibni ta'minlaydi, unda o'ndan o'ndan, yuzdan yuzdan, mingdan mingdan birgacha qo'shiladi.
1-misol 1,5 + 3,4 ifoda qiymatini toping
Avvalo, 5 + 4 = 9 kasr qismlarini qo'shamiz. Javobimizning kasr qismida to'qqizlikni yozamiz:
Endi biz 1 + 3 = 4 butun son qismlarini qo'shamiz. Javobimizning butun qismidagi to'rttasini yozamiz:
Endi butun sonni kasr qismidan vergul bilan ajratamiz. Buning uchun biz yana "vergul ostidagi vergul" qoidasiga amal qilamiz:
Javobni oldim 4.9. Demak, 1,5 + 3,4 ifodaning qiymati 4,9 ga teng
2-misol Ifodaning qiymatini toping: 3,51 + 1,22
Biz ushbu iborani "vergul ostidagi vergul" qoidasiga rioya qilgan holda ustunga yozamiz.
Avval kasr qismini, ya'ni yuzliklarni 1+2=3 qo'shing. Javobimizning yuzdan bir qismiga uchlikni yozamiz:
Endi 5+2=7 ning o‘ndan bir qismini qo‘shing. Biz javobimizning o'ninchi qismidagi yettilikni yozamiz:
Endi butun qismlarni qo'shing 3+1=4. Javobimizning to'liq qismiga to'rttasini yozamiz:
Biz "vergul ostidagi vergul" qoidasiga rioya qilgan holda butun sonni kasr qismidan vergul bilan ajratamiz:
Javobni oldim 4.73. Demak, 3,51 + 1,22 ifodaning qiymati 4,73 ga teng
3,51 + 1,22 = 4,73
Oddiy sonlarda bo'lgani kabi, o'nli kasrlarni qo'shganda, . Bunday holda, javobda bitta raqam yoziladi, qolganlari esa keyingi raqamga o'tkaziladi.
3-misol 2,65 + 3,27 ifoda qiymatini toping
Ushbu ifodani ustunga yozamiz:
5+7=12 ning yuzdan bir qismini qo‘shing. 12 raqami javobimizning yuzdan bir qismiga to'g'ri kelmaydi. Shuning uchun, yuzinchi qismda biz 2 raqamini yozamiz va birlikni keyingi bitga o'tkazamiz:
Endi 6+2=8 ning o‘ndan birliklarini qo‘shamiz va oldingi amalda olingan birlikni qo‘shsak, 9 ni olamiz. Javobimizning o‘ninchi qismiga 9 raqamini yozamiz:
Endi butun qismlarni qo'shing 2+3=5. Javobimizning butun qismiga 5 raqamini yozamiz:
Javobni oldim 5.92. Demak, 2,65 + 3,27 ifodaning qiymati 5,92 ga teng
2,65 + 3,27 = 5,92
4-misol 9,5 + 2,8 ifoda qiymatini toping
Ushbu ifodani ustunga yozing
Biz 5 + 8 = 13 kasr qismlarini qo'shamiz. 13 raqami javobimizning kasr qismiga to'g'ri kelmaydi, shuning uchun biz birinchi navbatda 3 raqamini yozamiz va birlikni keyingi raqamga o'tkazamiz, aniqrog'i butun songa o'tkazamiz. qismi:
Endi biz 9+2=11 butun son qismlarini va oldingi amalda olingan birlikni qo'shamiz, biz 12 ni olamiz. Javobimizning butun qismiga 12 raqamini yozamiz:
Butun qismni kasr qismidan vergul bilan ajrating:
Javobni oldim 12.3. Demak, 9,5 + 2,8 ifodaning qiymati 12,3 ga teng
9,5 + 2,8 = 12,3
O'nli kasrlarni qo'shganda ikkala kasrdagi kasrdan keyingi raqamlar soni bir xil bo'lishi kerak. Agar raqamlar etarli bo'lmasa, kasr qismidagi bu joylar nol bilan to'ldiriladi.
5-misol. Ifodaning qiymatini toping: 12,725 + 1,7
Bu ifodani ustunga yozishdan oldin ikkala kasrdagi kasrdan keyingi raqamlar sonini bir xil qilib ko'rsatamiz. 12.725 o'nli kasrda kasrdan keyin uchta raqam bor, 1.7 kasrda esa faqat bitta. Shunday qilib, oxirida 1,7 kasrga ikkita nol qo'shishingiz kerak. Keyin biz 1700 kasrni olamiz. Endi siz ushbu ifodani ustunga yozib, hisoblashni boshlashingiz mumkin:
5+0=5 ning mingdan bir qismini qo‘shing. Javobimizning mingdan bir qismiga 5 raqamini yozamiz:
2+0=2 ning yuzdan bir qismini qo‘shing. Javobimizning yuzinchi qismiga 2 raqamini yozamiz:
7+7=14 ning oʻndan bir qismini qoʻshing. 14 raqami javobimizning o'ndan biriga to'g'ri kelmaydi. Shuning uchun biz avval 4 raqamini yozamiz va birlikni keyingi bitga o'tkazamiz:
Endi biz 12+1=13 butun son qismlarini va oldingi amalda olingan birlikni qo'shamiz, biz 14 ni olamiz. Javobimizning butun qismiga 14 raqamini yozamiz:
Butun qismni kasr qismidan vergul bilan ajrating:
14 425 ta javob topildi. Demak, 12,725+1,700 ifodaning qiymati 14,425 ga teng
12,725+ 1,700 = 14,425
O'nli kasrlarni ayirish
O'nli kasrlarni ayirishda siz qo'shilgandagi kabi qoidalarga amal qilishingiz kerak: "vergul ostidagi vergul" va "o'nli kasrdan keyin teng sonli raqamlar".
1-misol 2,5 − 2,2 ifoda qiymatini toping
Biz ushbu iborani "vergul ostidagi vergul" qoidasiga rioya qilgan holda ustunga yozamiz:
5−2=3 kasr qismini hisoblaymiz. Javobimizning o'ninchi qismiga 3 raqamini yozamiz:
2−2=0 butun son qismini hisoblang. Javobimizning butun qismiga nol yozamiz:
Butun qismni kasr qismidan vergul bilan ajrating:
Biz 0,3 javob oldik. Demak, 2,5 − 2,2 ifodaning qiymati 0,3 ga teng
2,5 − 2,2 = 0,3
2-misol 7.353 - 3.1 ifoda qiymatini toping
Ushbu ifodada turli miqdor kasrdan keyingi raqamlar. 7.353 kasrda kasrdan keyin uchta raqam, 3.1 kasrda esa faqat bitta. Bu shuni anglatadiki, 3.1 kasrda ikkala kasrdagi raqamlar soni bir xil bo'lishi uchun oxirida ikkita nol qo'shilishi kerak. Keyin biz 3100 ni olamiz.
Endi siz ushbu ifodani ustunga yozib, hisoblashingiz mumkin:
4253 ta javob oldim. Demak, 7,353 − 3,1 ifoda qiymati 4,253 ga teng
7,353 — 3,1 = 4,253
Oddiy raqamlarda bo'lgani kabi, ba'zida ayirish imkonsiz bo'lib qolsa, qo'shni bitdan bittasini olish kerak bo'ladi.
3-misol 3.46 − 2.39 ifoda qiymatini toping
6−9 ning yuzdan bir qismini ayirish. 6 raqamidan 9 raqamini olib tashlamang. Shuning uchun siz qo'shni raqamdan birlik olishingiz kerak. Qo'shni raqamdan bittasini olib, 6 raqami 16 raqamiga aylanadi. Endi biz 16−9=7 ning yuzdan bir qismini hisoblashimiz mumkin. Javobimizning yuzdan bir qismiga yettilikni yozamiz:
Endi o'ndan bir qismini ayiring. Biz o'ndan birlik toifasida bitta birlikni olganimiz sababli, u erda joylashgan raqam bir birlikka kamaydi. Boshqacha qilib aytganda, o'ninchi o'rin endi 4 raqami emas, balki 3 raqami. 3−3=0 ning o'ndan bir qismini hisoblaymiz. Javobimizning o'ninchi qismiga nol yozamiz:
Endi 3−2=1 butun son qismlarini ayirish. Javobimizning butun qismiga birlikni yozamiz:
Butun qismni kasr qismidan vergul bilan ajrating:
Javobni oldim 1.07. Demak, 3,46−2,39 ifodaning qiymati 1,07 ga teng
3,46−2,39=1,07
4-misol. 3−1.2 ifoda qiymatini toping
Bu misol butun sondan o'nli kasrni ayiradi. Keling, bu ifodani shunday ustunga yozamiz butun qismi 1.23 o'nlik kasr 3 raqami ostida edi
Endi kasrdan keyingi raqamlar sonini bir xil qilaylik. Buning uchun 3 raqamidan keyin vergul qo'ying va bitta nol qo'shing:
Endi o'ndan birlarni ayiring: 0−2. 2 raqamini noldan ayirmang, shuning uchun qo'shni raqamdan birlik olish kerak. Qo'shni raqamdan bittasini olish orqali 0 10 raqamiga aylanadi. Endi siz 10−2=8 ning o'ndan bir qismini hisoblashingiz mumkin. Javobimizning o'ninchi qismidagi sakkiztasini yozamiz:
Endi butun qismlarni olib tashlang. Ilgari 3 raqami butun sonda joylashgan edi, lekin biz undan bitta birlik oldik. Natijada u 2 raqamiga aylandi. Shuning uchun 2 dan 1 ni ayiramiz. 2−1=1. Javobimizning butun qismiga birlikni yozamiz:
Butun qismni kasr qismidan vergul bilan ajrating:
Javobni oldim 1.8. Demak, 3−1,2 ifodaning qiymati 1,8 ga teng
O'nlik sonlarni ko'paytirish
O'nli kasrlarni ko'paytirish oson va hatto qiziqarli. O'nli kasrlarni ko'paytirish uchun vergullarni e'tiborsiz qoldirib, ularni oddiy raqamlar kabi ko'paytirish kerak.
Javobni olgandan so'ng, butun sonni kasr qismidan vergul bilan ajratish kerak. Buning uchun ikkala kasrdagi kasrdan keyingi raqamlar sonini sanash kerak, so'ngra javobda o'ngdagi bir xil sonlarni sanash va vergul qo'yish kerak.
1-misol 2,5 × 1,5 ifoda qiymatini toping
Biz bu o'nli kasrlarni vergullarga e'tibor bermasdan, oddiy sonlar sifatida ko'paytiramiz. Vergullarga e'tibor bermaslik uchun siz vaqtincha ular umuman yo'qligini tasavvur qilishingiz mumkin:
Biz 375 ni oldik. Bu raqamda butun qismni kasr qismidan vergul bilan ajratish kerak. Buning uchun 2,5 va 1,5 kasrlarda kasrdan keyingi raqamlar sonini hisoblashingiz kerak. Birinchi kasrda kasrdan keyin bitta raqam, ikkinchi kasrda ham bitta. Hammasi bo'lib ikkita raqam.
Biz 375 raqamiga qaytamiz va o'ngdan chapga o'tishni boshlaymiz. Biz o'ngdan ikkita raqamni sanashimiz va vergul qo'yishimiz kerak:
Javob 3.75. Demak, 2,5 × 1,5 ifodaning qiymati 3,75 ga teng
2,5 x 1,5 = 3,75
2-misol 12,85 × 2,7 ifoda qiymatini toping
Keling, vergullarga e'tibor bermasdan, bu o'nli kasrlarni ko'paytiramiz:
Biz 34695 ni oldik. Bu raqamda siz butun sonni kasr qismidan vergul bilan ajratishingiz kerak. Buni amalga oshirish uchun 12,85 va 2,7 kasrlarda kasrdan keyingi raqamlar sonini hisoblashingiz kerak. 12,85 kasrda kasrdan keyin ikkita raqam, 2,7 kasrda bitta raqam - jami uchta raqam mavjud.
Biz 34695 raqamiga qaytamiz va o'ngdan chapga o'tishni boshlaymiz. Biz o'ngdan uchta raqamni sanashimiz va vergul qo'yishimiz kerak:
34 695 ta javob topildi. Demak, 12,85 × 2,7 ifoda qiymati 34,695 ga teng
12,85 x 2,7 = 34,695
O'nli kasrni oddiy songa ko'paytirish
Ba'zida o'nli kasrni ko'paytirish kerak bo'lgan holatlar mavjud umumiy raqam.
O'nli kasr va oddiy sonni ko'paytirish uchun o'nli kasrdagi verguldan qat'i nazar, ularni ko'paytirish kerak. Javobni olgandan so'ng, butun sonni kasr qismidan vergul bilan ajratish kerak. Buni amalga oshirish uchun siz o'nli kasrdagi kasrdan keyingi raqamlar sonini sanashingiz kerak, so'ngra javobda o'ngga bir xil sonlarni sanash va vergul qo'yish kerak.
Masalan, 2,54 ni 2 ga ko'paytiring
Biz vergulni e'tiborsiz qoldirib, 2,54 o'nlik kasrni odatdagi 2 raqamiga ko'paytiramiz:
Biz 508 raqamini oldik. Bu raqamda siz butun sonni kasr qismidan vergul bilan ajratishingiz kerak. Buni amalga oshirish uchun 2.54 kasrdagi kasrdan keyingi raqamlar sonini hisoblashingiz kerak. 2.54 kasr kasrdan keyin ikkita raqamga ega.
Biz 508 raqamiga qaytamiz va o'ngdan chapga harakat qilishni boshlaymiz. Biz o'ngdan ikkita raqamni sanashimiz va vergul qo'yishimiz kerak:
Javobni oldim 5.08. Demak, 2,54 × 2 ifodaning qiymati 5,08 ga teng
2,54 x 2 = 5,08
O'nli kasrlarni 10, 100, 1000 ga ko'paytirish
O'nli kasrlarni 10, 100 yoki 1000 ga ko'paytirish o'nli kasrlarni oddiy sonlarga ko'paytirish bilan bir xil tarzda amalga oshiriladi. O'nli kasrdagi vergulni e'tiborsiz qoldirib, ko'paytirishni amalga oshirish kerak, keyin javobda o'nli kasrda o'nli kasrdan keyin qanday raqamlar bo'lsa, o'ng tomonda bir xil sonni sanab, butun sonni kasr qismidan ajratish kerak. kasr.
Masalan, 2,88 ni 10 ga ko'paytiring
O'nli kasrdagi vergulni e'tiborsiz qoldirib, 2,88 o'nli kasrni 10 ga ko'paytiramiz:
Bizda 2880. Bu raqamda siz butun qismni kasr qismidan vergul bilan ajratishingiz kerak. Buni amalga oshirish uchun 2.88 kasrdagi kasrdan keyingi raqamlar sonini hisoblashingiz kerak. 2.88 kasrda kasrdan keyin ikkita raqam borligini ko'ramiz.
Biz 2880 raqamiga qaytamiz va o'ngdan chapga o'tishni boshlaymiz. Biz o'ngdan ikkita raqamni sanashimiz va vergul qo'yishimiz kerak:
Javob 28.80. Biz oxirgi nolni yo'qotamiz - biz 28,8 ni olamiz. Demak, 2,88 × 10 ifodaning qiymati 28,8 ga teng
2,88 x 10 = 28,8
O'nli kasrlarni 10, 100, 1000 ga ko'paytirishning ikkinchi usuli mavjud. Bu usul ancha sodda va qulayroq. Bu o'nli kasrdagi vergulning ko'paytirgichda qancha nol bo'lsa, shuncha raqamga o'ngga siljishidan iborat.
Masalan, oldingi misol 2,88×10 ni shu tarzda yechamiz. Hech qanday hisob-kitoblarni bermasdan, biz darhol 10 omilga qaraymiz. Biz unda nechta nol borligi bilan qiziqamiz. Biz uning bitta nolga ega ekanligini ko'ramiz. Endi 2.88 kasrda biz kasrni bir raqamga o'ngga o'tkazamiz, biz 28,8 ni olamiz.
2,88 x 10 = 28,8
Keling, 2,88 ni 100 ga ko'paytirishga harakat qilaylik. Biz darhol 100 omiliga qaraymiz. Biz unda nechta nol borligi bilan qiziqamiz. Biz uning ikkita nolga ega ekanligini ko'ramiz. Endi 2.88 kasrda biz kasrni ikki raqamga o'ngga siljitamiz, biz 288 ni olamiz
2,88 x 100 = 288
Keling, 2.88 ni 1000 ga ko'paytirishga harakat qilaylik. Biz darhol 1000 omiliga qaraymiz. Biz unda nechta nol borligi bilan qiziqamiz. Biz uning uchta nolga ega ekanligini ko'ramiz. Endi 2.88 kasrda o'nli kasrni o'ngga uchta raqamga o'tkazamiz. Uchinchi raqam yo'q, shuning uchun biz yana nol qo'shamiz. Natijada biz 2880 ni olamiz.
2,88 x 1000 = 2880
O'nli kasrlarni 0,1 ga ko'paytirish 0,01 va 0,001
O'nli kasrlarni 0,1, 0,01 va 0,001 ga ko'paytirish o'nli kasrni o'nli kasrga ko'paytirish bilan bir xil ishlaydi. Oddiy sonlar kabi kasrlarni ko'paytirish va javobga vergul qo'yish kerak, o'ng tomonda har ikkala kasrda o'nli kasrdan keyin qancha raqam bo'lsa, shuncha raqamni sanash kerak.
Masalan, 3,25 ni 0,1 ga ko'paytiring
Biz bu kasrlarni oddiy sonlar kabi vergullarga e'tibor bermasdan ko'paytiramiz:
Biz 325 ni oldik. Bu raqamda siz butun qismni kasr qismidan vergul bilan ajratishingiz kerak. Buni amalga oshirish uchun 3,25 va 0,1 kasrlarda kasrdan keyingi raqamlar sonini hisoblashingiz kerak. 3.25 kasrda kasrdan keyin ikkita raqam, 0.1 kasrda bitta raqam mavjud. Hammasi bo'lib uchta raqam.
Biz 325 raqamiga qaytamiz va o'ngdan chapga o'tishni boshlaymiz. Biz o'ng tomonda uchta raqamni sanashimiz va vergul qo'yishimiz kerak. Uchta raqamni hisoblagandan so'ng, raqamlar tugaganligini topamiz. Bunday holda, siz bitta nol qo'shishingiz va vergul qo'yishingiz kerak:
Biz 0,325 javob oldik. Demak, 3,25 × 0,1 ifodaning qiymati 0,325 ga teng
3,25 x 0,1 = 0,325
O'nli kasrlarni 0,1, 0,01 va 0,001 ga ko'paytirishning ikkinchi usuli mavjud. Bu usul ancha oson va qulayroq. Bu o'nlik kasrdagi vergulning ko'paytirgichda qancha nol bo'lsa, shuncha raqamga chapga siljishidan iborat.
Masalan, oldingi misol 3,25 × 0,1 ni shu tarzda yechamiz. Hech qanday hisob-kitoblarsiz, biz darhol 0,1 omilga qaraymiz. Biz unda nechta nol borligi bilan qiziqamiz. Biz uning bitta nolga ega ekanligini ko'ramiz. Endi 3.25 kasrda o'nli kasrni chapga bitta raqamga o'tkazamiz. Vergulni bir raqamni chapga siljitsak, uchtadan oldin boshqa raqam yo'qligini ko'ramiz. Bunday holda, bitta nol qo'shing va vergul qo'ying. Natijada biz 0,325 ni olamiz
3,25 x 0,1 = 0,325
Keling, 3,25 ni 0,01 ga ko'paytirishga harakat qilaylik. Darhol 0,01 multiplikatoriga qarang. Biz unda nechta nol borligi bilan qiziqamiz. Biz uning ikkita nolga ega ekanligini ko'ramiz. Endi 3,25 kasrda vergulni ikki raqamga chapga siljitamiz, 0,0325 ni olamiz.
3,25 x 0,01 = 0,0325
Keling, 3,25 ni 0,001 ga ko'paytirishga harakat qilaylik. Darhol 0,001 multiplikatoriga qarang. Biz unda nechta nol borligi bilan qiziqamiz. Biz uning uchta nolga ega ekanligini ko'ramiz. Endi 3.25 kasrda biz kasrni uchta raqamga chapga siljitamiz, biz 0,00325 ni olamiz.
3,25 × 0,001 = 0,00325
O'nli kasrlarni 0,1, 0,001 va 0,001 ga ko'paytirishni 10, 100, 1000 ga ko'paytirish bilan adashtirmang. Umumiy xato aksar odamlar.
10, 100, 1000 ga ko'paytirilganda vergul ko'paytirgichda qancha nol bo'lsa, shuncha raqamga o'ngga siljiydi.
Va 0,1, 0,01 va 0,001 ga ko'paytirilganda, vergul multiplikatorda qancha nol bo'lsa, shuncha raqam chapga o'tkaziladi.
Agar dastlab eslab qolish qiyin bo'lsa, siz birinchi usuldan foydalanishingiz mumkin, unda ko'paytirish oddiy raqamlar bilan bo'lgani kabi amalga oshiriladi. Javobda ikkala kasrda o'nli kasrdan keyin qancha raqamlar bo'lsa, o'ng tomonda shuncha sonni sanash orqali butun sonni kasr qismidan ajratish kerak bo'ladi.
Kichikroq sonni kattaroq raqamga bo'lish. Yuqori daraja.
Oldingi darslardan birida kichikroq sonni kattaga bo‘lishda kasr olinadi, uning sonida dividend, maxrajida esa bo‘luvchi bo‘lishini aytgan edik.
Masalan, bitta olmani ikkiga bo'lish uchun hisoblagichga 1 (bitta olma), maxrajga 2 (ikki do'st) yozish kerak. Natijada kasr hosil bo'ladi. Shunday qilib, har bir do'st olma oladi. Boshqacha aytganda, yarim olma. Kasr muammoning javobidir qanday qilib bitta olmani ikkiga bo'lish mumkin
Ma’lum bo‘lishicha, agar siz 1 ni 2 ga bo‘lsangiz, bu masalani yanada hal qilishingiz mumkin. Axir har qanday kasrdagi kasr satri bo‘linishni anglatadi, demak, bu bo‘linishga kasrda ham ruxsat berilgan. Lekin qanday? Biz dividend har doim bo'luvchidan ko'p bo'lishiga o'rganib qolganmiz. Va bu erda, aksincha, dividend bo'luvchidan kamroq.
Kasr ezish, bo'lish, bo'lish ma'nosini anglatishini eslasak, hamma narsa aniq bo'ladi. Bu shuni anglatadiki, jihozni faqat ikki qismga emas, balki xohlagancha ko'p qismlarga bo'lish mumkin.
Kichikroq sonni kattaroq raqamga bo'lishda o'nlik kasr olinadi, unda butun qism 0 (nol) bo'ladi. Kasr qismi har qanday bo'lishi mumkin.
Shunday qilib, keling, 1 ni 2 ga ajratamiz. Keling, bu misolni burchak bilan hal qilaylik:
Xuddi shunday ikkiga bo'linib bo'lmaydi. Agar savol bersangiz "Birida nechta ikkita" , u holda javob 0 bo'ladi. Shuning uchun, biz yopiq holda biz 0 yozamiz va vergul qo'yamiz:
Endi, odatdagidek, qoldiqni chiqarish uchun biz qismni bo'linuvchiga ko'paytiramiz:
Jihozni ikki qismga bo'lish vaqti keldi. Buning uchun qabul qilinganning o'ng tomoniga yana nol qo'shing:
Biz 10 ni oldik. 10 ni 2 ga bo‘lamiz, 5 ni olamiz. Beshlikni javobimizning kasr qismiga yozamiz:
Endi biz hisoblashni yakunlash uchun oxirgi qoldiqni chiqaramiz. 5 ni 2 ga ko'paytirsak, biz 10 ni olamiz
Biz 0,5 javob oldik. Shunday qilib, kasr 0,5 ga teng
Olmaning yarmini 0,5 o'nlik kasr yordamida ham yozish mumkin. Agar biz ushbu ikki yarmini (0,5 va 0,5) qo'shsak, biz yana bir butun olmani olamiz: 
1 sm qanday qilib ikki qismga bo'linganini tasavvur qilsak, bu nuqtani ham tushunish mumkin. Agar siz 1 santimetrni 2 qismga ajratsangiz, siz 0,5 sm olasiz
2-misol 4:5 ifoda qiymatini toping
To'rtda nechta beshlik bor? Arzimaydi. Biz shaxsiy 0 ga yozamiz va vergul qo'yamiz:
Biz 0 ni 5 ga ko'paytiramiz, biz 0 ni olamiz. To'rtning ostiga nol yozamiz. Dividenddan darhol ushbu nolni olib tashlang:
Endi to'rttasini 5 qismga bo'lishni (bo'lishni) boshlaymiz. Buning uchun 4 ning o'ng tomoniga nol qo'shamiz va 40 ni 5 ga bo'lamiz, biz 8 ni olamiz. Sakkiztasini alohida yozamiz.
Biz misolni 8 ni 5 ga ko'paytirish orqali yakunlaymiz va 40 ni olamiz:
Biz 0,8 javob oldik. Demak, 4:5 ifodaning qiymati 0,8 ga teng
3-misol 5:125 ifoda qiymatini toping
125 soni beshtada nechta raqam bor? Arzimaydi. Yakka tartibda 0 yozamiz va vergul qo'yamiz:
Biz 0 ni 5 ga ko'paytiramiz, biz 0 ni olamiz. Beshning ostiga 0 yozamiz. Darhol beshdan 0 ni ayiring
Keling, beshlikni 125 qismga bo'lishni (bo'lishni) boshlaymiz. Buning uchun ushbu beshlikning o'ng tomoniga nol yozamiz:
50 ni 125 ga bo'ling. 50 sonida 125 nechta son bor? Arzimaydi. Shunday qilib, qismga biz yana 0 yozamiz
Biz 0 ni 125 ga ko'paytiramiz, biz 0 ni olamiz. Bu nolni 50 ning ostiga yozamiz. Darhol 50 dan 0 ni ayiramiz.
Endi biz 50 raqamini 125 qismga ajratamiz. Buning uchun 50 ning o'ng tomoniga yana nol yozamiz:
500 ni 125 ga bo'ling. 500 sonida 125 nechta son bor. 500 sonida to'rtta raqam 125. To'rttasini alohida yozamiz:
Biz misolni 4 ni 125 ga ko'paytirish orqali yakunlaymiz va 500 ni olamiz
Biz 0,04 javob oldik. Demak, 5: 125 ifodaning qiymati 0,04 ga teng
Sonlarni qoldiqsiz bo'lish
Shunday qilib, keling, birlikdan keyin qismga vergul qo'ying, bu bilan butun qismlarni bo'lish tugaganligini ko'rsatamiz va kasr qismiga o'tamiz:
Qolgan 4 ga nol qo'shing
Endi biz 40 ni 5 ga bo'lamiz, biz 8 ni olamiz. Sakkizlikni alohida yozamiz:
40−40=0. Qolganida 0 olindi. Shunday qilib, bo'linish to'liq yakunlandi. 9 ni 5 ga bo'lish natijasida 1,8 o'nli kasr hosil bo'ladi:
9: 5 = 1,8
2-misol. 84 ni 5 ga qoldiqsiz bo'ling
Avval 84 ni odatdagidek 5 ga qoldiq bilan ajratamiz:
Yakka tartibda 16 ta va balansda yana 4 ta olingan. Endi biz bu qoldiqni 5 ga bo'lamiz. Shaxsiyga vergul qo'yamiz va qolgan 4 ga 0 qo'shamiz.
Endi biz 40 ni 5 ga bo'lamiz, biz 8 ni olamiz. Sakkizni kasrdan keyin bo'lakka yozamiz:
va qolgan qoldiq borligini tekshirish orqali misolni to'ldiring:
O'nli kasrni oddiy songa bo'lish
O'nli kasr, biz bilganimizdek, butun son va kasr qismdan iborat. O'nli kasrni oddiy songa bo'lishda birinchi navbatda sizga kerak bo'ladi:
- o'nlik kasrning butun qismini shu raqamga bo'ling;
- butun qism bo'lingandan so'ng, siz darhol shaxsiy qismga vergul qo'yishingiz va oddiy bo'linishdagi kabi hisoblashni davom ettirishingiz kerak.
Masalan, 4,8 ni 2 ga ajratamiz
Keling, bu misolni burchak sifatida yozamiz:
Endi butun qismni 2 ga bo'laylik. To'rttani ikkiga bo'lish ikkiga teng. Biz ikkita so'zni alohida yozamiz va darhol vergul qo'yamiz:
Endi biz qismni bo'linuvchiga ko'paytiramiz va bo'linishdan qoldiq bor yoki yo'qligini bilib olamiz:
4−4=0. Qolganlari nolga teng. Biz hali nol yozmaymiz, chunki yechim tugallanmagan. Keyin oddiy bo'linishdagi kabi hisoblashni davom ettiramiz. 8 ni tushiring va uni 2 ga bo'ling
8: 2 = 4. Biz to'rtlikni qismga yozamiz va darhol bo'linuvchiga ko'paytiramiz:
Javobni oldim 2.4. 4,8 ifoda qiymati: 2 2,4 ga teng
2-misol 8.43:3 ifoda qiymatini toping
Biz 8 ni 3 ga bo'lamiz, biz 2 ni olamiz. Ikkisidan keyin darhol vergul qo'ying:
Endi biz qismni 2 × 3 = 6 bo'luvchiga ko'paytiramiz. Sakkiztaning ostiga oltitani yozamiz va qolganini topamiz:
Biz 24 ni 3 ga bo'lamiz, biz 8 ni olamiz. Sakkiztasini alohida yozamiz. Bo'linishning qolgan qismini topish uchun darhol uni bo'linuvchiga ko'paytiramiz:
24−24=0. Qolganlari nolga teng. Nol hali qayd etilmagan. Dividendning oxirgi uchtasini oling va 3 ga bo'ling, biz 1ni olamiz. Ushbu misolni bajarish uchun darhol 1 ni 3 ga ko'paytiring:
Javobni oldim 2.81. Demak, 8.43: 3 ifoda qiymati 2.81 ga teng
O'nli kasrni o'nli kasrga bo'lish
O'nli kasrni o'nli kasrga bo'lish uchun dividendda va bo'luvchida vergulni bo'luvchidagi o'nli kasrdan keyingi raqamlar soniga o'ngga siljiting va keyin oddiy songa bo'ling.
Masalan, 5,95 ni 1,7 ga bo'ling
Keling, bu ifodani burchak shaklida yozamiz
Endi dividendda va bo'luvchida vergulni bo'luvchidagi o'nli kasrdan keyin qanday raqam bo'lsa, o'ngga o'tkazamiz. Bo'luvchi kasrdan keyin bitta raqamga ega. Shunday qilib, biz vergulni dividend va bo'luvchida bir raqamga o'ngga siljitishimiz kerak. O'tkazilmoqda:
O'nli kasrni bir raqamga o'ngga siljitgandan so'ng, 5,95 o'nli kasr 59,5 kasrga aylandi. Va o'nlik kasr 1,7, kasrni bir raqam bilan o'ngga siljitgandan so'ng, odatiy raqamga aylandi 17. Va biz allaqachon o'nlik kasrni odatiy raqamga qanday bo'lishni bilamiz. Keyingi hisoblash qiyin emas:
Bo'linishni osonlashtirish uchun vergul o'ngga ko'chiriladi. Bu dividend va bo'luvchini bir xil raqamga ko'paytirish yoki bo'lishda ko'rsatkich o'zgarmasligi sababli ruxsat etiladi. Bu nima degani?
Bu biri qiziqarli xususiyatlar bo'linish. Bu xususiy mulk deb ataladi. 9 ifodani ko'rib chiqaylik: 3 = 3. Agar bu ifodada dividend va bo'luvchi bir xil songa ko'paytirilsa yoki bo'linsa, u holda 3 bo'linmasi o'zgarmaydi.
Keling, dividend va bo'luvchini 2 ga ko'paytiramiz va nima bo'lishini ko'ramiz:
(9 × 2) : (3 × 2) = 18: 6 = 3
Misoldan ko'rinib turibdiki, qism o'zgarmadi.
Dividend va bo'luvchida vergul qo'yilganda ham xuddi shunday bo'ladi. Oldingi misolda, biz 5,91 ni 1,7 ga bo'lganimizda, dividend va bo'luvchida vergulni bir raqam o'ngga o'tkazdik. Vergul ko'chirilgandan so'ng, 5,91 kasr 59,1 kasrga va 1,7 kasr odatdagi 17 raqamiga aylantirildi.
Aslida, bu jarayon ichida 10 ga ko'paytirish sodir bo'ldi.Mana u qanday ko'rinishga ega edi:
5,91 × 10 = 59,1
Shuning uchun, bo'luvchidagi kasrdan keyingi raqamlar soni dividend va bo'luvchi nimaga ko'paytirilishiga bog'liq. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, bo'luvchidagi o'nli kasrdan keyingi raqamlar soni dividenddagi nechta raqamni va bo'luvchidagi vergulning o'ngga ko'chirilishini aniqlaydi.
10, 100, 1000 ga o'nlik bo'linish
O'nli kasrni 10, 100 yoki 1000 ga bo'lish xuddi shu tarzda amalga oshiriladi. Masalan, 2,1 ni 10 ga bo'laylik. Keling, bu misolni burchak bilan yechamiz:
Ammo ikkinchi yo'l ham bor. Bu engilroq. Bu usulning mohiyati shundan iboratki, dividenddagi vergul bo'luvchida qancha nol bo'lsa, shuncha raqam chapga siljiydi.
Keling, oldingi misolni shu tarzda hal qilaylik. 2.1: 10. Biz ajratuvchiga qaraymiz. Biz unda nechta nol borligi bilan qiziqamiz. Biz bitta nol borligini ko'ramiz. Shunday qilib, bo'linadigan 2.1da vergulni chapga bitta raqamga siljitish kerak. Biz vergulni bir raqamga chapga siljitamiz va boshqa raqam qolmaganligini ko'ramiz. Bunday holda, raqamdan oldin yana bitta nol qo'shamiz. Natijada biz 0,21 ni olamiz
Keling, 2.1 ni 100 ga bo'lishga harakat qilaylik. 100 sonida ikkita nol bor. Shunday qilib, bo'linadigan 2.1da vergulni ikki raqam bilan chapga siljitish kerak:
2,1: 100 = 0,021
Keling, 2.1 ni 1000 ga bo'lishga harakat qilaylik. 1000 sonida uchta nol bor. Shunday qilib, bo'linadigan 2.1da vergulni chapga uchta raqamga siljitish kerak:
2,1: 1000 = 0,0021
O'nlik kasrni 0,1, 0,01 va 0,001 ga bo'lish
O'nli kasrni 0,1, 0,01 va 0,001 ga bo'lish xuddi shu tarzda amalga oshiriladi. Dividendda va bo'luvchida vergulni bo'luvchidagi o'nli nuqtadan keyin qancha raqam bo'lsa, shuncha raqamga o'ngga siljitish kerak.
Masalan, 6,3 ni 0,1 ga ajratamiz. Avvalo, biz dividenddagi va bo'luvchidagi vergullarni bo'luvchidagi o'nli kasrdan keyin qanday raqam bo'lsa, o'ngga o'tkazamiz. Bo'luvchi kasrdan keyin bitta raqamga ega. Shunday qilib, biz dividend va bo'luvchidagi vergullarni o'ngga bir raqamga siljitamiz.
O'nli kasrni bir raqamga o'ngga siljitgandan so'ng, o'nli kasr 6,3 odatiy raqam 63 ga aylanadi va kasrni bir raqamga o'ngga siljitgandan keyin 0,1 kasr bittaga aylanadi. Va 63 ni 1 ga bo'lish juda oddiy:
Demak, 6.3: 0.1 ifoda qiymati 63 ga teng
Ammo ikkinchi yo'l ham bor. Bu engilroq. Bu usulning mohiyati shundan iboratki, dividenddagi vergul bo'luvchida qancha nol bo'lsa, shuncha raqam bilan o'ngga o'tkaziladi.
Keling, oldingi misolni shu tarzda hal qilaylik. 6,3:0,1. Keling, ajratgichni ko'rib chiqaylik. Biz unda nechta nol borligi bilan qiziqamiz. Biz bitta nol borligini ko'ramiz. Shunday qilib, bo'linadigan 6.3da vergulni o'ngga bitta raqamga siljitish kerak. Vergulni bitta raqamga o'ngga siljitamiz va 63 ni olamiz
Keling, 6,3 ni 0,01 ga bo'lishga harakat qilaylik. 0.01 bo'linmasi ikkita nolga ega. Shunday qilib, bo'linadigan 6.3da vergulni ikki raqam bilan o'ngga siljitish kerak. Ammo dividendda kasrdan keyin faqat bitta raqam mavjud. Bunday holda, oxirida yana bitta nol qo'shilishi kerak. Natijada biz 630 ni olamiz
Keling, 6,3 ni 0,001 ga bo'lishga harakat qilaylik. 0,001 ning bo'luvchisi uchta nolga ega. Shunday qilib, bo'linadigan 6.3da vergulni uchta raqamga o'ngga siljitish kerak:
6,3: 0,001 = 6300
Mustaqil hal qilish uchun vazifalar
Dars sizga yoqdimi?
Bizning yangi Vkontakte guruhimizga qo'shiling va yangi darslar haqida bildirishnomalarni olishni boshlang
O'nli kasrga bo'linish ga bo'linadi natural son.
Sonni o'nli kasrga bo'lish qoidasi
Raqamni o'nli kasrga bo'lish uchun dividendda ham, bo'luvchida ham vergulni o'nli kasrdan keyin bo'luvchidagi qancha raqam bo'lsa, o'ngga o'tkazish kerak. Shundan so'ng natural songa bo'linadi.
Misollar.
O'nli kasrga bo'linishni bajaring:
O'nli kasrga bo'lish uchun vergulni dividendda ham, bo'luvchida ham bo'luvchidagi kasrdan keyin qancha raqam bo'lsa, shuncha raqamni o'ngga, ya'ni bitta belgiga ko'chirish kerak. Biz olamiz: 35.1: 1.8 \u003d 351: 18. Endi biz burchakka bo'linishni amalga oshiramiz. Natijada, biz olamiz: 35,1: 1,8 = 19,5.
2) 14,76: 3,6
O'nli kasrlarni dividendda ham, bo'luvchida ham bo'lish uchun vergulni bitta belgi bilan o'ngga siljiting: 14,76: 3,6 \u003d 147,6: 36. Endi biz natural sonda bajaramiz. Natija: 14,76: 3,6 = 4,1.
Natural sonning o'nli kasrga bo'linishini amalga oshirish uchun dividendda ham, bo'luvchida ham kasrdan keyin bo'luvchida qancha belgilar bo'lsa, shuncha o'ngga siljitish kerak. Bu holda bo'luvchida vergul yozilmaganligi sababli, etishmayotgan belgilar sonini nol bilan to'ldiramiz: 70: 1,75 \u003d 7000: 175. Olingan natural sonlarni burchak bilan ajratamiz: 70: 1,75 \u003d 7000: 175 \u003d 40.
4) 0,1218: 0,058
Bir o'nli kasrni boshqasiga bo'lish uchun biz vergulni dividendda ham, bo'luvchida ham o'nli kasrdan keyin bo'luvchida qancha raqam bo'lsa, shuncha raqamga, ya'ni uchta raqamga o'tkazamiz. Shunday qilib, 0,1218: 0,058 \u003d 121,8: 58. O'nli kasrga bo'linish natural songa bo'linish bilan almashtirildi. Biz burchakni baham ko'ramiz. Bizda: 0,1218: 0,058 = 121,8: 58 = 2,1.
5) 0,0456: 3,8
O'nli kasrlarni qo'shish butun sonlarni qo'shish bilan bir xil tarzda amalga oshiriladi. Keling, buni misollar bilan ko'rib chiqaylik.
1) 0,132 + 2,354. Keling, shartlarni birin-ketin imzolaymiz.
Bu yerda 2 mingdan 4 mingdan bir qismi qoʻshilganidan 6 mingdan bir qism olingan;
3 yuzdan 5 yuzdan bir qismi qoʻshilganidan 8 yuzdan bir qismi chiqdi;
1 o'ndan 3 o'nlik bilan qo'shishdan -4 o'ndan va
2 ta butun sonli 0 ta butun sonni qo'shishdan - 2 ta butun son.
2) 5,065 + 7,83.
Ikkinchi muddatda mingdan biri yo'q, shuning uchun bir-birining ostidagi shartlarni imzolashda xatolikka yo'l qo'ymaslik kerak.
3) 1,2357 + 0,469 + 2,08 + 3,90701.
Bu erda mingliklarni qo'shganda, biz 21 mingdan bir qismini olamiz; biz mingdan birlar ostida 1 ni yozdik va yuzliklarga 2 qo'shdik, shuning uchun yuzinchi o'rinda quyidagi shartlarni oldik: 2 + 3 + 6 + 8 + 0; jami 19 sotix beradilar, biz yuzdan 9 ga imzo qo'ydik va 1 o'ndan bir deb hisoblandi va hokazo.
Shunday qilib, o'nlik kasrlarni qo'shishda quyidagi tartibni kuzatish kerak: kasrlar bir-birining ostida imzolanadi, shunda barcha atamalarda bir xil raqamlar bir-birining ostida va barcha vergullar bir xil vertikal ustunda bo'ladi; ba'zi atamalarning o'nli kasrlarining o'ng tomoniga, ular, hech bo'lmaganda, aqliy ravishda, o'nli kasrdan keyingi barcha atamalar bir xil sonli raqamlarga ega bo'lgan nol sonini belgilaydilar. So'ngra, qo'shish o'ng tomondan boshlab raqamlar bilan amalga oshiriladi va natijada vergul ushbu atamalarda bo'lgani kabi bir xil vertikal ustunga qo'yiladi.
§ 108. O'nli kasrlarni ayirish.
O'nli kasrlarni ayirish butun sonlarni ayirish kabi bajariladi. Keling, buni misollar bilan ko'rsatamiz.
1) 9,87 - 7,32. Bir xil raqamning birliklari bir-birining ostida bo'lishi uchun minuend ostidagi ayirma belgisini belgilaymiz:
2) 16.29 - 4.75. Keling, birinchi misolda bo'lgani kabi, minuend ostidagi subtrahendni imzolaymiz:
O'ndan bir qismini ayirish uchun 6 dan bitta butun birlik olib, uni o'ndan biriga bo'lish kerak edi.
3) 14.0213-5.350712. Minuend ostidagi ayirma belgisini imzolaymiz:
Ayirish quyidagicha amalga oshirildi: biz 0 dan 2 millioninchini ayira olmaganimiz uchun biz chapdagi eng yaqin raqamga, ya'ni yuz minginchi raqamga murojaat qilishimiz kerak, lekin yuz minglik o'rnida ham nol bor, shuning uchun biz 1 ni olamiz. 3 o'n mingdan o'n minginchi qismini yuz mingga bo'lsak, biz 10 yuz mingni olamiz, shundan 9 yuz mingdan bir qismi yuz minglik toifasida qoladi va 1 yuz mingdan bir qismi millioninchi bo'lib eziladi, biz 10 millioninchi pul olamiz. Shunday qilib, oxirgi uchta raqamda biz oldik: millioninchi 10, yuz minginchi 9, o'n minginchi 2. Aniqlik va qulaylik uchun (unutmaslik kerak), bu raqamlar qisqartirilganlarning mos keladigan kasr raqamlari ustiga yozilgan. Endi ayirishni boshlashimiz mumkin. 10 milliondan 2 millioninchi qismini ayirib, 8 millioninchi qismini olamiz; 9 yuz minglikdan 1 yuz minglik qismini ayirish, biz 8 yuz minglik va hokazolarni olamiz.
Shunday qilib, o'nli kasrlarni ayirishda quyidagi tartib kuzatiladi: ayirish qisqartirilgan ostida bir xil raqamlar bir-birining ostida va barcha vergullar bir xil vertikal ustunda bo'lishi uchun imzolanadi; o'ng tomonda, ular, hech bo'lmaganda, aqliy ravishda, kamaytirilgan yoki ayirilgan juda ko'p nollarni bir xil sonli raqamlarga ega bo'lishlari uchun belgilaydilar, so'ngra o'ng tomondan boshlab raqamlar bilan ayirishadi va natijada farqga vergul qo'yishadi. bir xil vertikal ustun, unda u qisqartirilgan va ayiriladi.
§ 109. O'nli kasrlarni ko'paytirish.
O'nli kasrlarni ko'paytirishning bir nechta misollarini ko'rib chiqing.
Bu raqamlarning ko'paytmasini topish uchun biz quyidagicha fikr yuritishimiz mumkin: agar koeffitsient 10 marta oshirilsa, ikkala omil ham butun son bo'ladi va biz ularni butun sonlarni ko'paytirish qoidalariga muvofiq ko'paytirishimiz mumkin. Lekin bilamizki, omillardan biri bir necha marta oshirilsa, mahsulot bir xil miqdorda oshadi. Bu shuni anglatadiki, butun son omillarni, ya'ni 28 ni 23 ga ko'paytirish natijasida olinadigan son haqiqiy mahsulotdan 10 baravar ko'pdir va olish uchun haqiqiy ish, siz topilgan mahsulotni 10 barobar kamaytirishingiz kerak. Shuning uchun, bu erda siz bir marta 10 ga ko'paytirishni va 10 ga bo'linishni bir marta bajarishingiz kerak, lekin 10 ga ko'paytirish va bo'lish vergulni o'ngga va chapga bir belgi bilan siljitish orqali amalga oshiriladi. Shuning uchun siz buni qilishingiz kerak: multiplikatorda vergulni o'ngga bitta belgi bilan siljiting, shundan u 23 ga teng bo'ladi, keyin hosil bo'lgan butun sonlarni ko'paytirish kerak:
Ushbu mahsulot haqiqiydan 10 baravar katta. Shuning uchun, uni 10 marta qisqartirish kerak, buning uchun vergulni bir belgi chapga siljitamiz. Shunday qilib, biz olamiz
28 2,3 = 64,4.
Tekshirish maqsadida siz o'nlik kasrni maxraj bilan yozishingiz va oddiy kasrlarni ko'paytirish qoidasiga muvofiq amalni bajarishingiz mumkin, ya'ni.
2) 12,27 0,021.
Bu misolning oldingisidan farqi shundaki, bu erda ikkala omil ham o'nli kasrlar bilan ifodalanadi. Lekin bu yerda ko‘paytirish jarayonida vergullarga e’tibor bermaymiz, ya’ni ko‘paytuvchini vaqtincha 100 marta, ko‘paytuvchini esa 1000 marta oshiramiz, bu esa hosilni 100 000 martaga oshiradi. Shunday qilib, 1227 ni 21 ga ko'paytirsak, biz quyidagilarni olamiz:
1 227 21 = 25 767.
Olingan mahsulot haqiqiydan 100 000 marta katta ekanligini hisobga olsak, endi vergulni to'g'ri qo'yish orqali uni 100 000 marta qisqartirishimiz kerak, keyin biz olamiz:
32,27 0,021 = 0,25767.
Keling, tekshiramiz:
Shunday qilib, ikkita o'nli kasrni ko'paytirish uchun vergullarga e'tibor bermasdan, ularni butun songa ko'paytirish va ko'paytmada va ko'paytmada qancha o'nli kasr bo'lsa, o'ng tomonda vergul bilan ajratish kifoya. omil birgalikda.
Oxirgi misolda natija beshta kasrli mahsulotdir. Agar bunday kattaroq aniqlik talab etilmasa, o'nli kasrni yaxlitlash amalga oshiriladi. Yaxlitlashda siz butun sonlar uchun ko'rsatilgan qoidadan foydalanishingiz kerak.
§ 110. Jadvallar yordamida ko'paytirish.
O'nli kasrlarni ko'paytirish ba'zan jadvallar yordamida amalga oshirilishi mumkin. Buning uchun, masalan, ko'paytirish jadvallaridan foydalanishingiz mumkin ikki xonali raqamlar, tavsifi avvalroq berilgan.
1) 53 ni 1,5 ga ko'paytiring.
Biz 53 ni 15 ga ko'paytiramiz. Jadvalda bu mahsulot 795 ga teng. Biz 53 ning mahsulotini 15 ga topdik, lekin bizning ikkinchi omilimiz 10 barobar kam edi, ya'ni mahsulot 10 barobar kamayishi kerak, ya'ni.
53 1,5 = 79,5.
2) 5,3 ni 4,7 ga ko'paytiring.
Birinchidan, jadvalda 53 ga 47 ning ko'paytmasini topamiz, u 2491 bo'ladi. Lekin biz ko'paytma va ko'paytmani jami 100 marta oshirganimiz uchun, natijada hosil bo'lishi kerak bo'lganidan 100 marta katta bo'ladi; shuning uchun biz ushbu mahsulotni 100 marta kamaytirishimiz kerak:
5,3 4,7 = 24,91.
3) 0,53 ni 7,4 ga ko'paytiring.
Avval jadvalda 53 ga 74 ko'paytmasini topamiz; bu 3922 bo'ladi.Lekin biz ko'paytuvchini 100 marta, ko'paytuvchini 10 barobar oshirganimiz uchun mahsulot 1000 marta ko'paydi; shuning uchun endi biz uni 1000 marta kamaytirishimiz kerak:
0,53 7,4 = 3,922.
§ 111. O'nli kasrlarning bo'linishi.
O'nli bo'linishni quyidagi tartibda ko'rib chiqamiz:
1. O‘nli kasrni butun songa bo‘lish,
1. O‘nli kasrni butun songa bo‘lish.
1) 2,46 ni 2 ga bo'ling.
Biz 2 ta birinchi butun songa, keyin o'ndan birlarga va nihoyat yuzdan birlarga bo'lindik.
2) 32,46 ni 3 ga bo'ling.
32,46: 3 = 10,82.
Biz 3 o'nlikni 3 ga bo'ldik, keyin 2 birlikni 3 ga bo'lishni boshladik; dividendning birliklari soni (2) bo'luvchidan (3) kam bo'lganligi sababli, biz ko'rsatkichga 0 qo'yishimiz kerak edi; Qolganiga biz 4 o'nlik qismini buzdik va 24 o'nlik qismini 3 ga bo'ldik; xususiy 8 o'ndan oldi va nihoyat 6 yuzdan bo'lingan.
3) 1,2345 ni 5 ga bo'ling.
1,2345: 5 = 0,2469.
Bu erda, birinchi navbatda, nol butun sonlar chiqdi, chunki bitta butun son 5 ga bo'linmaydi.
4) 13,58 ni 4 ga bo'ling.
Bu misolning o'ziga xosligi shundaki, biz 9 sotixni yakka holda olganimizda, keyin 2 yuzdan birga teng qoldiq topildi, biz bu qoldiqni mingdan birga bo'lib, 20 mingni oldik va bo'linishni oxiriga yetkazdik.
Qoida. O'nli kasrni butun songa bo'lish butun sonlarni bo'lish kabi amalga oshiriladi va hosil bo'lgan qoldiqlar o'nlik kasrlarga aylanadi, tobora kichikroq; bo'linish qolgan nolga teng bo'lguncha davom etadi.
2. O‘nli kasrni o‘nli kasrga bo‘lish.
1) 2,46 ni 0,2 ga bo'ling.
Biz allaqachon o'nli kasrni butun songa qanday bo'lishni bilamiz. Keling, o'ylab ko'raylik, bu yangi bo'linish holatini avvalgisiga qisqartirish mumkinmi? Bir vaqtning o'zida biz ko'rsatkichning ajoyib xususiyatini ko'rib chiqdik, bu dividend va bo'luvchini bir xil marta ko'paytirish yoki kamaytirishda o'zgarishsiz qolishidan iborat. Agar bo'luvchi butun son bo'lsa, bizga taklif qilingan sonlarning bo'linishini oson bajarar edik. Buning uchun uni 10 baravar oshirish kifoya qiladi va to'g'ri ko'rsatkichni olish uchun dividendni bir xil miqdordagi, ya'ni 10 marta oshirish kerak. Keyin bu raqamlarning bo'linishi shunday raqamlarning bo'linishi bilan almashtiriladi:
va shaxsiy ravishda hech qanday tuzatish kiritishning hojati yo'q.
Keling, ushbu bo'linishni qilaylik:
Shunday qilib, 2,46: 0,2 = 12,3.
2) 1,25 ni 1,6 ga bo'ling.
Bo'luvchini (1,6) 10 marta oshiramiz; ko'rsatkich o'zgarmasligi uchun biz dividendni 10 barobarga oshiramiz; 12 ta butun son 16 ga bo'linmaydi, shuning uchun biz 0 bo'limiga yozamiz va 125 o'ndan birni 16 ga bo'lamiz, biz bo'linmada 7 o'ndan bir qismini olamiz va qolgan 13. 13 o'ndan bir qismini nolni belgilash orqali yuzga bo'lamiz va 130 yuzdan birini 16 ga bo'lamiz va hokazo. Quyidagilarga e'tibor bering:
a) bo'lakda butun sonlar olinmasa, ularning o'rniga nol butun sonlar yoziladi;
b) dividendning raqamini qoldiqqa olib bo'lingandan so'ng, bo'linuvchiga bo'linmaydigan son olinsa, bo'linmaga nol yoziladi;
v) dividendning oxirgi raqami olib tashlanganidan keyin bo'linish tugamasa, qolganlarga nol qo'yish orqali bo'linish davom etadi;
d) agar dividend butun son bo'lsa, uni o'nli kasrga bo'lishda uning ko'payishi unga nol qo'yish orqali amalga oshiriladi.
Shunday qilib, raqamni o'nli kasrga bo'lish uchun siz bo'luvchidagi vergulni olib tashlashingiz kerak, so'ngra vergul tushirilganda bo'luvchi qancha ko'paygan bo'lsa, dividendni shuncha marta ko'paytiring va keyin bo'linishni quyidagicha bajaring. o'nli kasrni butun songa bo'lish qoidasi.
§ 112. Taxminiy ko'rsatkich.
Oldingi paragrafda biz o'nli kasrlarning bo'linishini ko'rib chiqdik va biz hal qilgan barcha misollarda bo'linish oxirigacha keltirildi, ya'ni aniq qism olindi. Biroq, ko'p hollarda, biz bo'linishni qanchalik kengaytirsak ham, aniq ko'rsatkichni olish mumkin emas. Mana shunday holatlardan biri: 53 ni 101 ga bo'ling.
Biz allaqachon bo'limda beshta raqamni oldik, lekin bo'linish hali tugamagan va uning tugashiga umid ham yo'q, chunki biz oldin uchrashgan raqamlar qolgan qismida paydo bo'la boshlaydi. Raqamlar bo'lakda ham takrorlanadi: aniqki, 7 raqamidan keyin 5 raqami paydo bo'ladi, keyin 2 va hokazo. Bunday hollarda bo'linish to'xtatiladi va qismning birinchi bir necha raqamlari bilan cheklanadi. Bu xususiy deb ataladi taxminiy. Bu holda bo'linish qanday amalga oshiriladi, biz misollar bilan ko'rsatamiz.
25 ni 3 ga bo'lish talab qilinsin. Ko'rinib turibdiki, butun son yoki o'nli kasr sifatida ifodalangan aniq qismni bunday bo'lishdan olish mumkin emas. Shunday qilib, biz taxminiy ko'rsatkichni qidiramiz:
25: 3 = 8 va qolgan 1
Taxminiy ko'rsatkich - 8; bu, albatta, aniq qismdan kichik, chunki 1 ning qoldig'i bor. Aniq bo'linishni olish uchun topilgan taxminiy qismga, ya'ni qolganni bo'lish natijasida hosil bo'lgan kasrni 8 ga qo'shish kerak. , 1 ga teng, 3 ga; u 1/3 kasr bo'ladi. Bu shuni anglatadiki, aniq qism 8 1/3 aralash raqam sifatida ifodalanadi. 1/3 to'g'ri kasr, ya'ni kasr bo'lgani uchun, birdan kam, keyin, uni tashlab, biz taxmin qilamiz xato, qaysi birdan kam. Shaxsiy 8 irodasi kamchilikka ega bo'lgan birga qadar taxminiy qism. Agar biz 8 o'rniga 9 ni olsak, biz birdan kam xatoga yo'l qo'yamiz, chunki biz butun birlikni emas, balki 2/3 ni qo'shamiz. Bunday shaxsiy iroda taxminiy qism ortiqcha bilan birgacha.
Endi yana bir misol keltiraylik. 27 ni 8 ga bo'lish talab qilinsin. Bu erda biz butun son sifatida ifodalangan aniq qismni olmaymiz, shuning uchun biz taxminiy qismni qidiramiz:
27: 8 = 3 va qolgan 3.
Bu erda xato 3/8 , u birdan kichik, ya'ni taxminiy koeffitsient (3) kamchilik bilan bittaga topiladi. Biz bo'linishni davom ettiramiz: biz 3 ning qolgan qismini o'ndan biriga ajratamiz, biz 30 o'ndan bir qismini olamiz; Keling, ularni 8 ga bo'lamiz.
Biz joyida o'ndan 3, qolgan b o'ndan birida yakka holda oldik. Agar biz o'zimizni 3.3 raqami bilan cheklab qo'ysak va qolgan 6 dan voz kechsak, unda biz o'ndan biridan kamroq xatoga yo'l qo'yamiz. Nega? Chunki 6 o'ndan 8 ga bo'lish natijasini 3,3 ga qo'shsak, aniq bo'linma olinadi; bu bo'linishdan 6/80 bo'ladi, bu o'ndan biridan kam. (Tekshiring!) Shunday qilib, agar biz o'zimizni o'ndan bir qismi bilan cheklasak, unda biz ko'rsatkichni topdik, deyishimiz mumkin. o'ndan biriga to'g'ri keladi(kamchilik bilan).
Yana bitta kasrni topish uchun bo'linishni davom ettiramiz. Buning uchun biz 6 o'ndan bir qismini yuzdan birga bo'lib, 60 yuzdan bir qismini olamiz; Keling, ularni 8 ga bo'lamiz.
Yakka tartibda uchinchi o'rinda 7, qolganida 4 yuzdan bir qismi; agar ularni tashlab qo'ysak, unda biz yuzdan birdan kam xatoga yo'l qo'yamiz, chunki 8 ga bo'lingan 4 yuzdan bir yuzdan kam. Bunday hollarda ko'rsatkich topilgan deb aytiladi. yuzdan birgacha aniq(kamchilik bilan).
Biz hozir ko'rib chiqayotgan misolda siz o'nlik kasr sifatida ifodalangan aniq qismni olishingiz mumkin. Buning uchun oxirgi qoldiqni 4 yuzdan mingga bo'lish va 8 ga bo'lish kifoya.
Biroq, aksariyat hollarda, aniq ko'rsatkichni olish mumkin emas va uning taxminiy qiymatlari bilan cheklanish kerak. Endi biz bunday misolni ko'rib chiqamiz:
40: 7 = 5,71428571...
Raqam oxiridagi nuqtalar bo'linish tugallanmaganligini, ya'ni tenglikning taxminiy ekanligini bildiradi. Odatda taxminan tenglik quyidagicha yoziladi:
40: 7 = 5,71428571.
Biz sakkizta kasrli qismni oldik. Ammo bunday katta aniqlik talab etilmasa, o'zini qismning butun qismiga, ya'ni 5 raqamiga (aniqrog'i, 6) cheklab qo'yishi mumkin; kattaroq aniqlik uchun o'ndan birlarni hisobga olish va 5,7 ga teng bo'lgan ko'rsatkichni olish mumkin; agar biron sababga ko'ra bu aniqlik etarli bo'lmasa, biz yuzdan birida to'xtab, 5,71 va hokazolarni olishimiz mumkin. Keling, alohida qismlarni yozamiz va ularni nomlaymiz.
Birinchi taxminiy koeffitsient 6 ga qadar.
Ikkinchi » » » o'ndan biriga 5.7.
Uchinchi » » » yuzdan birgacha 5.71.
To'rtinchi » » » 5.714 ning mingdan bir qismigacha.
Shunday qilib, ba'zilari, masalan, 3-o'nlik kasrgacha (ya'ni, mingdan birgacha) taxminiy qismni topish uchun bu belgi topilishi bilanoq bo'linish to'xtatiladi. Bunday holda, § 40da ko'rsatilgan qoidani esga olish kerak.
§ 113. Qiziqish uchun eng oddiy masalalar.
O'nli kasrlarni o'rgangach, biz yana bir necha foizli masalalarni yechamiz.
Bu masalalar biz oddiy kasrlar bo'limida yechgan masalalarga o'xshaydi; lekin endi biz yuzliklarni o'nlik kasrlar shaklida, ya'ni aniq belgilangan maxrajsiz yozamiz.
Avvalo, oddiy kasrdan maxraji 100 ga teng bo‘lgan o‘nli kasrga bemalol o‘tish imkoniyatiga ega bo‘lishingiz kerak.Buning uchun hisoblagichni maxrajga bo‘lish kerak:
Quyidagi jadvalda % (foiz) belgisi boʻlgan son maxraji 100 boʻlgan oʻnli kasrga qanday almashtirilishi koʻrsatilgan:
Keling, bir nechta muammolarni ko'rib chiqaylik.
1. Berilgan sonning foizlarini topish.
Vazifa 1. Bir qishloqda atigi 1600 kishi yashaydi. Bolalar soni maktab yoshi ning 25% ni tashkil qiladi umumiy soni aholisi. Bu qishloqda maktab yoshidagi nechta bola bor?
Bu masalada siz 1600 dan 25% yoki 0,25 ni topishingiz kerak. Muammoni ko'paytirish yo'li bilan hal qilinadi:
1600 0,25 = 400 (bolalar).
Shuning uchun 1600 ning 25% 400 ni tashkil qiladi.
Ushbu vazifani aniq tushunish uchun har yuz aholiga 25 maktab yoshidagi bola to'g'ri kelishini esga olish maqsadga muvofiqdir. Shuning uchun, barcha maktab yoshidagi bolalar sonini topish uchun siz birinchi navbatda 1600 (16) sonida nechta yuzlik borligini bilib olishingiz mumkin, keyin esa 25 ni yuzlar soniga (25 x 16 = 400) ko'paytirishingiz mumkin. Shu tarzda siz yechimning haqiqiyligini tekshirishingiz mumkin.
Vazifa 2. Omonat kassalari har yili omonatchilarga daromadning 2 foizini beradi. Omonat qo'ygan omonatchi yiliga qancha daromad oladi: a) 200 rubl? b) 500 rubl? c) 750 rubl? d) 1000 rubl?
To'rt holatda ham, muammoni hal qilish uchun ko'rsatilgan miqdorlarning 0,02 qismini hisoblash kerak bo'ladi, ya'ni bu raqamlarning har birini 0,02 ga ko'paytirish kerak bo'ladi. Keling buni bajaramiz:
a) 200 0,02 = 4 (rubl),
b) 500 0,02 = 10 (rubl),
c) 750 0,02 = 15 (rubl),
d) 1000 0,02 = 20 (rubl).
Ushbu holatlarning har biri quyidagi fikrlar bilan tasdiqlanishi mumkin. Omonat kassalari omonatchilarga daromadning 2 foizini, ya'ni omonatga qo'yilgan summaning 0,02 qismini beradi. Agar summa 100 rubl bo'lsa, unda 0,02 dan 2 rubl bo'ladi. Bu har yuz omonatchiga 2 rubl olib keladi degan ma'noni anglatadi. daromad. Shuning uchun, ko'rib chiqilgan holatlarning har birida ma'lum bir raqamda qancha yuzlar borligini aniqlash va bu yuzlab songa 2 rublni ko'paytirish kifoya. Masalan, a) yuzlab 2, shuning uchun
2 2 \u003d 4 (rubl).
Misolda d) yuzlar 10, ya'ni
2 10 \u003d 20 (rubl).
2. Raqamni foiz bo‘yicha topish.
Vazifa 1. Bahorda maktabni 54 nafar o‘quvchi tamomladi, bu umumiy o‘quvchilar sonining 6 foizini tashkil etadi. Ilgari maktabda qancha o'quvchi bo'lgan o'quv yili?
Keling, avvalo ushbu muammoning ma'nosini aniqlaylik. Maktabni 54 nafar o‘quvchi tamomladi, bu umumiy o‘quvchilarning 6 foizini, boshqacha aytganda, maktabdagi barcha o‘quvchilarning 6 yuzdan bir qismini (0,06) tashkil etadi. Bu shuni anglatadiki, biz o'quvchilarning (54) soni va kasr (0,06) bilan ifodalangan qismini bilamiz va bu kasrdan biz butun sonni topishimiz kerak. Shunday qilib, oldimizda sonni kasr bo'yicha topishning oddiy muammosi turibdi (§ 90-bet. 6). Ushbu turdagi muammolar bo'linish yo'li bilan hal qilinadi:
Demak, maktabda 900 nafar o‘quvchi bor edi.
Такие задачи полезно проверять решением обратной задачи, т. е. после решения задачи следует, хотя бы в уме, решить задачу первого типа (нахождение процентов данного числа): принять найденное число (900) за данное и найти от него указанный в решённой задаче процент , aynan:
900 0,06 = 54.
Vazifa 2. Oila oy davomida ovqatga 780 rubl sarflaydi, bu otaning oylik daromadining 65% ni tashkil qiladi. Uning oylik daromadini aniqlang.
Bu vazifa oldingi vazifa bilan bir xil ma'noga ega. U rublda (780 rubl) ifodalangan oylik daromadning bir qismini beradi va bu qism umumiy daromadning 65% yoki 0,65 ni tashkil etishini ko'rsatadi. Va kerakli barcha daromadlar:
780: 0,65 = 1 200.
Shuning uchun kerakli daromad 1200 rublni tashkil qiladi.
3. Sonlarning foizini topish.
Vazifa 1. Maktab kutubxonasida jami 6000 ta kitob mavjud. Ular orasida matematikaga oid 1200 ta kitob bor. Kutubxonadagi jami kitoblar soni matematika kitoblarining necha foizini tashkil qiladi?
Biz allaqachon (§97) bu turdagi masalani ko'rib chiqdik va ikkita sonning foizini hisoblash uchun bu raqamlarning nisbatini topib, uni 100 ga ko'paytirish kerak degan xulosaga keldik.
Bizning vazifamizda 1200 va 6000 sonlarining foizini topishimiz kerak.
Biz birinchi navbatda ularning nisbatini topamiz va keyin uni 100 ga ko'paytiramiz:
Shunday qilib, 1200 va 6000 sonlarining ulushi 20. Boshqacha aytganda, matematika kitoblari barcha kitoblarning umumiy sonining 20% ni tashkil qiladi.
Tekshirish uchun biz teskari masalani hal qilamiz: 6000 dan 20% ni toping:
6 000 0,2 = 1 200.
Vazifa 2. Zavod 200 tonna ko'mir olishi kerak. 80 tonna yetkazib berildi, zavodga ko‘mirning necha foizi yetkazib berildi?
Bu masala bitta raqamning (80) boshqa raqamning necha foizini (200) tashkil etishini so'raydi. Bu raqamlarning nisbati 80/200 bo'ladi. Keling, uni 100 ga ko'paytiramiz:
Demak, ko‘mirning 40 foizi yetkazib berilgan.
Maktabda bu harakatlar oddiydan murakkabgacha o'rganiladi. Shu sababli, ushbu operatsiyalarni bajarish algoritmini yaxshi o'zlashtirish juda zarur oddiy misollar. Shunday qilib, keyinchalik o'nli kasrlarni ustunga bo'lishda hech qanday qiyinchiliklar bo'lmaydi. Axir, bu bunday vazifalarning eng qiyin versiyasidir.
Ushbu mavzu izchil o'rganishni talab qiladi. Bu erda bilimlardagi bo'shliqlar qabul qilinishi mumkin emas. Bu tamoyilni har bir o'quvchi allaqachon birinchi sinfda o'rganishi kerak. Shuning uchun, agar siz ketma-ket bir nechta darslarni o'tkazib yuborsangiz, materialni o'zingiz o'zlashtirishingiz kerak bo'ladi. Aks holda, keyinchalik nafaqat matematika, balki u bilan bog'liq boshqa fanlarda ham muammolar paydo bo'ladi.
Matematikani muvaffaqiyatli o'rganishning ikkinchi sharti - qo'shish, ayirish va ko'paytirishni o'zlashtirgandan keyingina ustundagi bo'linish misollariga o'tishdir.
Agar bola ko'paytirish jadvalini o'rganmagan bo'lsa, bo'linishi qiyin bo'ladi. Aytgancha, uni Pifagor stolidan o'rganish yaxshiroqdir. Ortiqcha narsa yo'q va bu holda ko'paytirishni hazm qilish osonroq.
Natural sonlar ustunga qanday ko'paytiriladi?
Agar bo'linish va ko'paytirish uchun ustundagi misollarni echishda qiyinchilik bo'lsa, u holda masalani ko'paytirish bilan echishni boshlash kerak. Chunki bo'linish ko'paytirishning teskarisidir:
- Ikki raqamni ko'paytirishdan oldin ularga diqqat bilan qarash kerak. Raqamlari ko'proq bo'lgan birini tanlang (uzunroq), avval uni yozing. Ikkinchisini uning ostiga qo'ying. Bundan tashqari, tegishli toifadagi raqamlar bir xil toifada bo'lishi kerak. Ya'ni, birinchi raqamning eng o'ng raqami ikkinchisining eng o'ng raqamidan yuqori bo'lishi kerak.
- Pastki raqamning eng o'ngdagi raqamini o'ngdan boshlab yuqori raqamning har bir raqamiga ko'paytiring. Javobni chiziq ostiga yozing, shunda uning oxirgi raqami ko'paytirilgan raqam ostida bo'ladi.
- Xuddi shu narsani pastki raqamning boshqa raqami bilan takrorlang. Ammo ko'paytirish natijasini bir raqam chapga siljitish kerak. Bunday holda, uning oxirgi raqami ko'paytirilgan raqam ostida bo'ladi.
Ushbu ko'paytirishni ikkinchi ko'paytmadagi raqamlar tugamaguncha ustunda davom ettiring. Endi ularni katlama qilish kerak. Bu kerakli javob bo'ladi.
O'nli kasrlar ustuniga ko'paytirish algoritmi
Birinchidan, o'nlik kasrlar emas, balki tabiiy kasrlar berilganligini tasavvur qilish kerak. Ya'ni, ulardan vergullarni olib tashlang va keyin oldingi holatda tasvirlanganidek davom eting.
Farqi javob yozilishi bilan boshlanadi. Bu vaqtda har ikkala kasrdagi kasrdan keyingi barcha sonlarni sanash kerak. Ulardan qanchasini javob oxiridan boshlab sanash va vergul qo'yish kerak.
Ushbu algoritmni misol bilan ko'rsatish qulay: 0,25 x 0,33:
Bo'linishni o'rganishni qanday boshlash kerak?
Ustundagi bo'linish misollarini echishdan oldin, bo'linish misolida keltirilgan raqamlarning nomlarini eslab qolish kerak. Ulardan birinchisi (bo'linadigan) bo'linuvchidir. Ikkinchisi (bu bilan bo'linadi) bo'luvchidir. Javob shaxsiy.
Shundan so'ng, oddiy kundalik misoldan foydalanib, biz ushbu matematik operatsiyaning mohiyatini tushuntiramiz. Misol uchun, agar siz 10 ta shirinlik olsangiz, ularni onam va dadam o'rtasida teng taqsimlash oson. Ammo agar siz ularni ota-onangiz va ukangizga tarqatishingiz kerak bo'lsa-chi?
Shundan so'ng siz bo'linish qoidalari bilan tanishishingiz va ularni o'zlashtirishingiz mumkin aniq misollar. Avvaliga oddiy, keyin esa tobora murakkabroqlarga o'tish.
Raqamlarni ustunga bo'lish algoritmi
Birinchidan, biz bir xonali songa bo'linadigan natural sonlar tartibini taqdim etamiz. Ular ko'p xonali bo'luvchilar yoki o'nli kasrlar uchun ham asos bo'ladi. Shundan keyingina u kichik o'zgarishlarni amalga oshirishi kerak, ammo bu haqda keyinroq:
- Ustunga bo'lishdan oldin, dividend va bo'luvchi qayerda ekanligini bilib olishingiz kerak.
- Dividendni yozing. Uning o'ng tomonida ajratuvchi mavjud.
- Oxirgi burchakka yaqin chap va pastki burchakni chizing.
- To'liq bo'lmagan dividendni, ya'ni bo'linish uchun minimal bo'ladigan sonni aniqlang. Odatda u bitta raqamdan, maksimal ikkitadan iborat.
- Javobda birinchi bo'lib yoziladigan raqamni tanlang. Bu bo'luvchining dividendga mos keladigan soni bo'lishi kerak.
- Ushbu sonni bo'linuvchiga ko'paytirish natijasini yozing.
- Uni toʻliq boʻlmagan boʻluvchi ostida yozing. Ayirish amalini bajaring.
- Qolgan qismga bo'lingan qismdan keyingi birinchi raqamni o'tkazing.
- Javob uchun yana raqamni tanlang.
- Ko'paytirish va ayirish amallarini takrorlang. Qolgan nolga teng bo'lsa va dividend tugasa, misol bajariladi. Aks holda, amallarni takrorlang: raqamni buzing, raqamni oling, ko'paytiring, olib tashlang.
Agar bo'linuvchida bir nechta raqam bo'lsa, uzun bo'linishni qanday echish mumkin?
Algoritmning o'zi yuqorida tavsiflangan narsalarga to'liq mos keladi. Farqi to'liq bo'lmagan dividenddagi raqamlar soni bo'ladi. Endi ularning kamida ikkitasi bo'lishi kerak, lekin agar ular bo'luvchidan kamroq bo'lib chiqsa, u birinchi uchta raqam bilan ishlashi kerak.
Ushbu bo'linishda yana bir nuance bor. Gap shundaki, qoldiq va unga ko'chirilgan raqam ba'zan bo'linuvchiga bo'linmaydi. Keyin yana bitta raqamni tartibda belgilash kerak. Ammo ayni paytda javob nolga teng bo'lishi kerak. Agar bo'linish amalga oshirilsa uch xonali raqamlar ustunda ikkitadan ortiq raqamni buzish kerak bo'lishi mumkin. Keyin qoida kiritiladi: javobdagi nollar tushirilgan raqamlar sonidan bitta kam bo'lishi kerak.
Siz bunday bo'linishni misol yordamida ko'rib chiqishingiz mumkin - 12082: 863.
- Undagi to'liq bo'lmagan bo'linuvchi raqam 1208. 863 soni unda faqat bir marta qo'yiladi. Shuning uchun, javob sifatida 1 qo'yish va 1208 ostida 863 yozish kerak.
- Ayirishdan keyin qolgan 345 ga teng.
- Unga siz 2 raqamini buzishingiz kerak.
- 3452 raqamida 863 to'rt marta mos keladi.
- Javob sifatida to'rttasi yozilishi kerak. Bundan tashqari, 4 ga ko'paytirilganda, bu raqam olinadi.
- Ayirishdan keyingi qoldiq nolga teng. Ya'ni, bo'linish tugallandi.
Misoldagi javob 14.
Agar dividend nol bilan tugasa-chi?
Yoki bir nechta nol? Bunday holda, nol qoldiq olinadi va dividendda hali ham nollar mavjud. Umidsizlikka tushmang, hamma narsa tuyulishi mumkin bo'lgandan osonroqdir. Javobga bo'linmasdan qolgan barcha nollarni qo'shish kifoya.
Misol uchun, siz 400 ni 5 ga bo'lishingiz kerak. To'liq bo'lmagan dividend 40 ga teng. Beshta 8 marta joylashtirilgan. Bu javob yozilishi kerak degan ma'noni anglatadi 8. Ayirishda qoldiq bo'lmaydi. Ya'ni, bo'linish tugadi, lekin dividendda nol qoladi. Bu javobga qo'shilishi kerak. Shunday qilib, 400 ni 5 ga bo'lish 80 ni beradi.
Agar kasrni bo'lish kerak bo'lsa nima bo'ladi?
Yana bu raqam natural songa o'xshaydi, agar butun sonni kasr qismidan ajratuvchi vergul bo'lmasa. Bu shuni ko'rsatadiki, o'nli kasrlarni ustunga bo'lish yuqorida tavsiflanganga o'xshaydi.
Faqatgina farq nuqta-vergul bo'ladi. Kasr qismidan birinchi raqam tushirilishi bilanoq darhol javob berilishi kerak. Boshqacha qilib aytganda, buni shunday aytish mumkin: butun qismning bo'linishi tugadi - vergul qo'ying va yechimni davom ettiring.
O'nli kasrlar bilan ustunga bo'lish misollarini echishda, kasrdan keyingi qismga istalgan miqdordagi nollarni belgilash mumkinligini yodda tutishingiz kerak. Ba'zan bu raqamlarni oxirigacha to'ldirish uchun kerak bo'ladi.
Ikki o'nli kasrning bo'linishi
Bu murakkab tuyulishi mumkin. Lekin faqat boshida. Axir, kasrlar ustunida natural songa bo'linishni qanday bajarish allaqachon aniq. Shunday qilib, biz ushbu misolni allaqachon tanish bo'lgan shaklga qisqartirishimiz kerak.
Oson qiling. Ikkala kasrni ham 10, 100, 1000 yoki 10 000 ga yoki agar vazifa talab qilsa, millionga ko'paytirishingiz kerak. Ko'paytiruvchi bo'luvchining o'nli qismida nechta nol borligiga qarab tanlanishi kerak. Ya'ni, natijada siz kasrni natural songa bo'lishingiz kerak bo'ladi.
Va bu eng yomon holatda bo'ladi. Axir, bu operatsiyadan olingan dividend butun songa aylanishi mumkin. Keyin kasrlar ustuniga bo'lish bilan misolning yechimi eng oddiy variantga qisqartiriladi: natural sonlar bilan operatsiyalar.
Misol sifatida: 28,4 ni 3,2 ga bo'lish:
- Birinchidan, ularni 10 ga ko'paytirish kerak, chunki ikkinchi raqamda kasrdan keyin faqat bitta raqam mavjud. Ko'paytirish 284 va 32 ni beradi.
- Ular bo'linishi kerak. Va bir vaqtning o'zida butun son 284 ga 32 ga teng.
- Javob uchun birinchi mos keladigan raqam 8. Uni ko'paytirish 256 ni beradi. Qolgan 28.
- Butun qismning bo'linishi tugadi va javobda vergul qo'yilishi kerak.
- Qolgan 0 gacha buzing.
- Yana 8 ni oling.
- Qolgan: 24. Unga yana 0 qo'shing.
- Endi siz 7 ni olishingiz kerak.
- Ko'paytirish natijasi 224, qolgani 16 ga teng.
- Yana 0 ni buzing. 5 ni oling va aniq 160 ni oling. Qolgan 0 ga teng.
Bo'lim tugallandi. 28.4: 3.2 misolining natijasi 8.875.
Bo'luvchi 10, 100, 0,1 yoki 0,01 bo'lsa-chi?
Ko'paytirishda bo'lgani kabi, bu erda ham uzoq bo'linish kerak emas. Raqamlarning ma'lum soni uchun vergulni to'g'ri yo'nalishda siljitish kifoya. Bundan tashqari, ushbu printsipga ko'ra, siz butun va o'nli kasrlar bilan misollarni echishingiz mumkin.
Shunday qilib, agar siz 10, 100 yoki 1000 ga bo'lishingiz kerak bo'lsa, vergul bo'luvchida qancha nol bo'lsa, shuncha raqam chapga o'tkaziladi. Ya'ni, raqam 100 ga bo'linadigan bo'lsa, vergul ikki raqam bilan chapga siljishi kerak. Agar dividend natural son bo'lsa, uning oxirida vergul qo'yilgan deb taxmin qilinadi.
Bu harakat raqamni 0,1, 0,01 yoki 0,001 ga ko'paytirish kerak bo'lgan natijani beradi. Ushbu misollarda vergul raqamlar soni bo'yicha ham chapga ko'chiriladi, uzunligiga teng kasr qismi.
0,1 ga (va hokazo) bo'linganda yoki 10 ga (va hokazo) ko'paytirilganda vergul bir raqamga (yoki nol soniga yoki kasr qismining uzunligiga qarab ikki, uch) o'ngga siljishi kerak.
Shuni ta'kidlash kerakki, dividendda ko'rsatilgan raqamlar soni etarli bo'lmasligi mumkin. Keyin etishmayotgan nollarni chapga (butun qismda) yoki o'ngga (o'nli kasrdan keyin) belgilash mumkin.
Davriy kasrlarning bo'linishi
Bunday holda, siz ustunga bo'linganda aniq javob ololmaydi. Agar nuqtali kasr uchrasa, misolni qanday yechish mumkin? Bu erda oddiy kasrlarga o'tish kerak. Va keyin ularning bo'linishini oldindan o'rganilgan qoidalarga muvofiq bajaring.
Misol uchun, siz 0, (3) ni 0,6 ga bo'lishingiz kerak. Birinchi kasr davriydir. U 3/9 kasrga aylantiriladi, bu qisqartirilgandan keyin 1/3 ni beradi. Ikkinchi kasr oxirgi kasrdir. Oddiy birini yozish yanada osonroq: 6/10, bu 3/5 ga teng. Oddiy kasrlarni bo'lish qoidasi bo'linishni ko'paytirishga, bo'luvchini esa o'zaro raqamga almashtirishni belgilaydi. Ya'ni, misol 1/3 ni 5/3 ga ko'paytirish uchun qaynatiladi. Javob 5/9.
Agar misolda turli kasrlar bo'lsa ...
Keyin bir nechta mumkin bo'lgan echimlar mavjud. Birinchidan, oddiy kasr Siz kasrga aylantirishga harakat qilishingiz mumkin. Keyin yuqoridagi algoritmga muvofiq ikkita o'nli kasrni ajrating.
Ikkinchidan, har bir oxirgi o'nlik kasr oddiy kasr sifatida yozilishi mumkin. Bu har doim ham qulay emas. Ko'pincha bunday fraktsiyalar juda katta bo'lib chiqadi. Ha, va javoblar qiyin. Shuning uchun birinchi yondashuv afzalroq deb hisoblanadi.
