Ildizni chiqarish ko'rsatkichga teskari amaldir. Ya'ni, X sonining ildizini ajratib, biz kvadratga teng bo'lgan X sonini beradigan raqamni olamiz.

Ildizni ajratib olish juda oddiy operatsiya. Kvadratchalar jadvali ekstraktsiya ishini osonlashtirishi mumkin. Chunki barcha kvadrat va ildizlarni yoddan eslab qolish mumkin emas va raqamlar katta bo'lishi mumkin.

Raqamdan ildizni ajratib olish

qazib olish kvadrat ildiz sonidan tashqari oddiy. Bundan tashqari, bu darhol emas, balki asta-sekin amalga oshirilishi mumkin. Masalan, √256 ifodasini oling. Dastlab, bilmagan odamga darhol javob berish qiyin. Keyin qadamlarni qo'yamiz. Birinchidan, biz faqat 4 raqamiga bo'linamiz, undan tanlangan kvadratni ildiz sifatida chiqaramiz.

Durang: √(64 4), u holda u 2√64 ga ekvivalent bo'ladi. Va siz bilganingizdek, ko'paytirish jadvaliga ko'ra 64 = 8 8. Javob 2*8=16 bo‘ladi.

Raqamlarni tez va toʻgʻri qoʻshish, ayirish, koʻpaytirish, boʻlish, kvadratchalar va hatto ildiz olish usullarini oʻrganish uchun “Aqliy hisobni tezlashtiring, aqliy arifmetika emas” kursiga yoziling. 30 kun ichida siz arifmetik amallarni soddalashtirish uchun oson fokuslardan qanday foydalanishni o'rganasiz. Har bir darsda yangi texnikalar, aniq misollar va foydali vazifalar mavjud.

Murakkab ildiz ekstraktsiyasi

Kvadrat ildizni manfiy sonlardan hisoblab bo'lmaydi, chunki har qanday sonning kvadrati musbat sondir!

Kompleks son - bu kvadrati -1 bo'lgan i son. Ya'ni i2=-1.

Matematikada -1 raqamining ildizini olish orqali olinadigan raqam mavjud.

Ya'ni, ning ildizini hisoblash mumkin salbiy raqam, lekin bu allaqachon maktabga emas, balki oliy matematikaga tegishli.

Bunday ildiz olish misolini ko'rib chiqing: √(-49)=7*√(-1)=7i.

Root kalkulyator onlayn

Kalkulyatorimiz yordamida siz kvadrat ildizdan raqamni chiqarishni hisoblashingiz mumkin:

Ildizni ajratib olish operatsiyasini o'z ichiga olgan ifodalarni aylantirish

Radikal iboralarni o'zgartirishning mohiyati radikal sonni oddiyroqlarga ajratish, undan ildiz olish mumkin. Masalan, 4, 9, 25 va boshqalar.

Misol keltiramiz, √625. Radikal ifodani 5 raqamiga ajratamiz. √(125.) olamiz 5), biz operatsiyani takrorlaymiz √(25 25), lekin biz 25 52 ekanligini bilamiz. Demak, javob 5*5=25.

Ammo bu usul bilan ildizni hisoblab bo'lmaydigan raqamlar mavjud va siz shunchaki javobni bilishingiz yoki qo'lda kvadratchalar jadvaliga ega bo'lishingiz kerak.

√289=√(17*17)=17

Natija

Biz matematikani yaxshiroq tushunish uchun aysbergning faqat uchini ko'rib chiqdik - kursimizga yoziling: Aqliy hisoblashni tezlashtiring - aqliy arifmetika emas.

Kursdan siz nafaqat soddalashtirilgan va tez ko'paytirish, qo'shish, ko'paytirish, bo'lish, foizlarni hisoblash uchun o'nlab fokuslarni o'rganasiz, balki ularni maxsus topshiriqlar va o'quv o'yinlarida ham ishlab chiqasiz! Aqliy hisoblash, shuningdek, qiziqarli muammolarni hal qilishda faol o'rgatilgan katta e'tibor va konsentratsiyani talab qiladi.

Demontaj qilish vaqti keldi ildiz chiqarish usullari. Ular ildizlarning xususiyatlariga, xususan, har qanday manfiy bo'lmagan b soniga to'g'ri keladigan tenglikka asoslanadi.

Quyida biz o'z navbatida ildizlarni olishning asosiy usullarini ko'rib chiqamiz.

Eng oddiy holatdan boshlaylik - kvadratlar jadvali, kublar jadvali va boshqalar yordamida natural sonlardan ildiz olish.

Agar kvadratchalar, kublar va boshqalar jadvallari. qo'lda emas, ildiz sonini oddiy omillarga ajratishni o'z ichiga olgan ildizni ajratib olish usulini qo'llash mantiqan to'g'ri.

Alohida-alohida, g'alati ko'rsatkichlari bo'lgan ildizlar uchun mumkin bo'lgan to'xtashga arziydi.

Nihoyat, ildiz qiymatining raqamlarini ketma-ket topishga imkon beruvchi usulni ko'rib chiqing.

Qani boshladik.

Kvadratchalar jadvali, kublar jadvali va boshqalardan foydalanish.

Eng oddiy hollarda kvadratchalar, kublar va boshqalar jadvallari ildizlarni chiqarishga imkon beradi. Bu jadvallar nima?

0 dan 99 gacha bo'lgan butun sonlar kvadratlari jadvali (quyida ko'rsatilgan) ikkita zonadan iborat. Jadvalning birinchi zonasi kulrang fonda joylashgan bo'lib, ma'lum bir qator va ma'lum ustunni tanlab, 0 dan 99 gacha raqamni yaratishga imkon beradi. Masalan, 8 o'nlik qatorini va 3 birlikdan iborat ustunni tanlaymiz, bu bilan biz 83 raqamini tuzatdik. Ikkinchi zona stolning qolgan qismini egallaydi. Uning har bir katakchasi ma'lum bir qator va ma'lum bir ustunning kesishmasida joylashgan bo'lib, 0 dan 99 gacha bo'lgan mos keladigan raqamning kvadratini o'z ichiga oladi. Biz tanlagan 8 o'nlik qatori va bittaning 3-ustunining kesishmasida 83 raqamining kvadrati bo'lgan 6889 raqamiga ega katak mavjud.

Kublar jadvallari, 0 dan 99 gacha bo'lgan sonlarning to'rtinchi darajalari jadvallari va boshqalar kvadratlar jadvaliga o'xshaydi, faqat ular ikkinchi zonada kublar, to'rtinchi darajalar va boshqalarni o'z ichiga oladi. mos keladigan raqamlar.

Kvadratlar, kublar, to'rtinchi darajalar va boshqalar jadvallari. kvadrat ildizlarni, kub ildizlarini, to'rtinchi ildizlarni va boshqalarni olish imkonini beradi. mos ravishda ushbu jadvallardagi raqamlardan. Keling, ildizlarni olishda ularni qo'llash tamoyilini tushuntiramiz.

Aytaylik, a sonidan n-darajali ildizni olishimiz kerak, a soni esa n-darajali jadvalda mavjud. Ushbu jadvalga ko'ra, a=b n bo'ladigan b sonini topamiz. Keyin , shuning uchun b soni n-darajaning kerakli ildizi bo'ladi.

Misol tariqasida, kublar jadvali yordamida 19683 yil kub ildizi qanday olinishini ko'rsatamiz. Biz kublar jadvalida 19 683 raqamini topamiz, undan bu raqam 27 raqamining kubi ekanligini topamiz, shuning uchun .

Ildizlarni olishda n-darajali jadvallar juda qulay ekanligi aniq. Biroq, ular ko'pincha qo'lda emas va ularning kompilyatsiyasi ma'lum vaqtni talab qiladi. Bundan tashqari, ko'pincha tegishli jadvallarda mavjud bo'lmagan raqamlardan ildizlarni ajratib olish kerak bo'ladi. Bunday hollarda, ildizlarni olishning boshqa usullariga murojaat qilish kerak.

Ildiz sonning tub omillarga parchalanishi

Ildizni natural sondan ajratib olishning juda qulay usuli (agar, albatta, ildiz chiqarilgan bo'lsa) ildiz sonini tub omillarga ajratishdir. Uning mohiyati quyidagicha: keyin uni kerakli ko'rsatkich bilan daraja sifatida ifodalash juda oson, bu sizga ildizning qiymatini olish imkonini beradi. Keling, ushbu fikrni tushuntirib beraylik.

n-darajali ildiz a natural sondan chiqarilsin va uning qiymati b ga teng. Bu holda a=b n tenglik to'g'ri bo'ladi. Har qanday b raqami natural son uning barcha tub omillari p 1 , p 2 , ..., p m ko'rinishida p 1 p 2 ... p m ko'rinishida ifodalanishi mumkin va bu holda ildiz raqami a (p 1 p 2) shaklida ifodalanadi. ... p m) n. Sonning tub omillarga ajralishi o‘ziga xos bo‘lgani uchun a ildiz sonining tub omillarga parchalanishi (p 1 ·p 2 ·…·p m) n ko‘rinishida bo‘ladi, bu esa ildizning qiymatini quyidagicha hisoblash imkonini beradi. .

E'tibor bering, agar a ildiz sonini koeffitsientlarga ajratishni (p 1 ·p 2 ·…·p m) n ko'rinishida ifodalash mumkin bo'lmasa, unda bunday a sondan n-darajali ildiz to'liq chiqarib olinmaydi.

Keling, misollarni echishda bu bilan shug'ullanamiz.

Misol.

144 ning kvadrat ildizini oling.

Yechim.

Agar oldingi bandda berilgan kvadratlar jadvaliga murojaat qilsak, 144=12 2 ekanligi yaqqol ko'rinadi, shundan 144 ning kvadrat ildizi 12 ga teng ekanligi ayon bo'ladi.

Ammo bu nuqtadan kelib chiqqan holda, biz 144 sonini tub omillarga ajratish orqali ildiz qanday olinishi bilan qiziqamiz. Keling, ushbu yechimni ko'rib chiqaylik.

Keling, parchalanaylik 144 dan asosiy omillarga:

Ya'ni, 144=2 2 2 2 3 3 . Olingan parchalanish asosida quyidagi o'zgarishlarni amalga oshirish mumkin: 144=2 2 2 2 3 3=(2 2) 2 3 2 =(2 2 3) 2 =12 2. Demak, .

Ildizlarning darajasi va xossalari xususiyatlaridan foydalanib, eritmani biroz boshqacha shakllantirish mumkin: .

Javob:

Materialni birlashtirish uchun yana ikkita misolning echimlarini ko'rib chiqing.

Misol.

Ildiz qiymatini hisoblang.

Yechim.

243 ildiz sonining tub koeffitsientlari 243=3 5 ga teng. Shunday qilib, .

Javob:

Misol.

Ildizning qiymati butun sonmi?

Yechim.

Bu savolga javob berish uchun, keling, ildiz sonni tub omillarga ajratamiz va uni butun sonning kub shaklida ifodalash mumkinligini bilib olaylik.

Bizda 285 768=2 3 3 6 7 2 bor. Olingan parchalanish butun sonning kubi sifatida ko'rsatilmaydi, chunki 7-bosh omilning darajasi uchga karrali emas. Shuning uchun 285,768 ning kub ildizi to'liq olinmaydi.

Javob:

Yo'q.

Kasr sonlardan ildizlarni ajratib olish

Ildiz qanday olinganligini aniqlash vaqti keldi kasr son. Kasr ildiz raqami p/q shaklida yozilsin. Bo'lakning ildizining xossasiga ko'ra, quyidagi tenglik to'g'ri bo'ladi. Bu tenglikdan kelib chiqadi kasr ildiz qoidasi: Kasrning ildizi sonning ildizini maxrajning ildiziga bo'lish qismiga teng.

Kasrdan ildiz chiqarish misolini ko'rib chiqamiz.

Misol.

Kvadrat ildiz nima oddiy kasr 25/169 .

Yechim.

Kvadratlar jadvaliga ko'ra, biz dastlabki kasrning kvadrat ildizi 5 ga, maxrajning kvadrat ildizi esa 13 ga teng ekanligini aniqlaymiz. Keyin . Bu 25/169 oddiy kasrdan ildizni ajratib olishni yakunlaydi.

Javob:

O'nli kasr yoki aralash sonning ildizi ildiz raqamlari oddiy kasrlar bilan almashtirilgandan so'ng chiqariladi.

Misol.

474.552 kasrning kub ildizini oling.

Yechim.

Asl nusxasini tasavvur qiling kasr oddiy kasr shaklida: 474,552=474552/1000. Keyin . Olingan kasrning hisoblagichi va maxrajidagi kub ildizlarini ajratib olish qoladi. Chunki 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 va 1 000=10 3 , keyin Va . Faqat hisob-kitoblarni bajarish uchun qoladi .

Javob:

.

Salbiy sonning ildizini ajratib olish

Alohida-alohida, manfiy raqamlardan ildizlarni ajratib olish haqida o'ylash kerak. Ildizlarni o'rganayotganda, agar ildizning ko'rsatkichi toq son bo'lsa, u holda manfiy son ildiz belgisi ostida bo'lishi mumkinligini aytdik. Biz bunday yozuvlarga quyidagi ma'noni berdik: manfiy son -a va 2 n-1 ildizning toq ko'rsatkichi uchun bizda . Bu tenglik beradi manfiy sonlardan toq ildizlarni chiqarish qoidasi: manfiy sondan ildizni chiqarish uchun qarama-qarshi musbat sondan ildizni chiqarib, natija oldiga minus belgisini qo'yish kerak.

Keling, misol yechimini ko'rib chiqaylik.

Misol.

Ildiz qiymatini toping.

Yechim.

Keling, asl iborani ildiz belgisi ostida ijobiy raqam paydo bo'lishi uchun aylantiramiz: . Endi aralash sonni oddiy kasr bilan almashtiramiz: . Biz oddiy kasrdan ildiz olish qoidasini qo'llaymiz: . Olingan kasrning numeratori va maxrajidagi ildizlarni hisoblash qoladi: .

Mana yechimning qisqacha mazmuni: .

Javob:

.

Bit bo'yicha ildiz qiymatini topish

Umumiy holda, ildiz ostida yuqorida ko'rib chiqilgan usullardan foydalangan holda, biron bir sonning n-darajali sifatida ifodalanishi mumkin bo'lmagan son mavjud. Ammo shu bilan birga, hech bo'lmaganda ma'lum bir belgigacha berilgan ildizning qiymatini bilish zarurati tug'iladi. Bunday holda, ildizni olish uchun siz kerakli raqamning raqamlarining etarli miqdordagi qiymatlarini doimiy ravishda olishga imkon beradigan algoritmdan foydalanishingiz mumkin.

Ushbu algoritmning birinchi bosqichi ildiz qiymatining eng muhim biti nima ekanligini aniqlashdir. Buning uchun 0, 10, 100, ... raqamlari ildiz sonidan kattaroq son olinmaguncha ketma-ket n darajaga ko‘tariladi. Keyin oldingi bosqichda biz n ning darajasiga ko'targan raqam mos keladigan yuqori tartibni ko'rsatadi.

Misol uchun, beshning kvadrat ildizini chiqarishda algoritmning ushbu bosqichini ko'rib chiqing. Biz 0, 10, 100, ... raqamlarini olamiz va 5 dan katta raqam olinmaguncha ularni kvadratga aylantiramiz. Bizda 0 2 = 0 bor<5 , 10 2 =100>5 , ya'ni eng muhim raqam birliklar raqami bo'ladi. Ushbu bitning qiymati, shuningdek, pastroqlari, ildizni ajratib olish algoritmining keyingi bosqichlarida topiladi.

Algoritmning barcha keyingi bosqichlari ildizning kerakli qiymatining keyingi raqamlari qiymatlari topilganligi sababli, ildiz qiymatini ketma-ket aniqlashtirishga qaratilgan, chunki ular eng yuqoridan boshlab va eng pastiga o'tadilar. . Misol uchun, birinchi bosqichda ildizning qiymati 2 , ikkinchisida - 2,2 , uchinchisida - 2,23 va shunga o'xshash 2,236067977 ... . Keling, bitlarning qiymatlari qanday topilganligini tasvirlab beraylik.

Bitlarni topish ularning mumkin bo'lgan qiymatlarini sanash orqali amalga oshiriladi 0, 1, 2, ..., 9 . Bunda mos keladigan sonlarning n darajalari parallel ravishda hisoblab chiqiladi va ular ildiz soni bilan taqqoslanadi. Agar biror bosqichda daraja qiymati radikal sondan oshsa, u holda oldingi qiymatga mos keladigan raqamning qiymati topilgan deb hisoblanadi va ildiz chiqarish algoritmining keyingi bosqichiga o'tish amalga oshiriladi, agar bu sodir bo'lmasa, u holda bu raqamning qiymati 9 ga teng.

Keling, beshning kvadrat ildizini olishning bir xil misolidan foydalanib, bu fikrlarning barchasini tushuntirib beraylik.

Birinchidan, birliklar raqamining qiymatini toping. Biz 0, 1, 2, …, 9 qiymatlarini takrorlaymiz, mos ravishda 0 2, 1 2, …, 9 2 ni radikal raqam 5 dan kattaroq qiymatga ega bo'lmaguncha hisoblaymiz. Ushbu hisob-kitoblarning barchasi jadval shaklida qulay tarzda taqdim etiladi:

Shunday qilib, birliklar raqamining qiymati 2 ga teng (chunki 2 2<5 , а 2 3 >5). Keling, o'ninchi o'rinning qiymatini topishga o'tamiz. Bunday holda, olingan qiymatlarni 5 ildiz raqami bilan taqqoslab, 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 raqamlarini kvadratga olamiz:

2.2 2 dan boshlab<5 , а 2,3 2 >5, keyin o'ninchi o'rinning qiymati 2 ga teng. Siz yuzinchi o'rinning qiymatini topishga o'tishingiz mumkin:

Shunday qilib, beshning ildizining keyingi qiymati topildi, u 2,23 ga teng. Shunday qilib, siz boshqa qiymatlarni topishni davom ettirishingiz mumkin: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Materialni birlashtirish uchun biz ko'rib chiqilgan algoritmdan foydalanib, ildizning yuzdan birlik aniqligi bilan chiqarilishini tahlil qilamiz.

Birinchidan, biz katta raqamni aniqlaymiz. Buning uchun biz 0, 10, 100 va hokazo raqamlarni kubik qilamiz. 2,151,186 dan kattaroq raqamni olguncha. Bizda 0 3 = 0 bor<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 , shuning uchun eng muhim raqam o'nlik raqamidir.

Keling, uning qiymatini aniqlaylik.

103 dan beri<2 151,186 , а 20 3 >2,151.186, keyin o'nlik raqamining qiymati 1 ga teng. Keling, birliklarga o'tamiz.

Shunday qilib, birlar joyining qiymati 2 ga teng. Keling, o'nga o'taylik.

Hatto 12,9 3 radikal soni 2 151,186 dan kichik bo'lgani uchun o'ninchi o'rinning qiymati 9 ga teng. Algoritmning oxirgi bosqichini bajarish uchun qoladi, u bizga kerakli aniqlik bilan ildizning qiymatini beradi.

Ushbu bosqichda ildizning qiymati yuzdan birgacha topiladi: .

Ushbu maqolaning yakunida shuni aytmoqchimanki, ildizlarni olishning boshqa ko'plab usullari mavjud. Ammo ko'pgina vazifalar uchun biz yuqorida o'rganganlarimiz etarli.

Adabiyotlar ro'yxati.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: 8 hujayra uchun darslik. ta'lim muassasalari.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. va boshqalar.Algebra va tahlilning boshlanishi: Umumta’lim muassasalarining 10-11-sinflari uchun darslik.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (texnika maktablariga abituriyentlar uchun qo'llanma).

Ko'rsatma

Radikal raqamni tanlang, uning ostidan olib tashlangan shunday omil ildiz to'g'ri ifoda - aks holda operatsiya yo'qotadi. Misol uchun, agar belgi ostida bo'lsa ildiz ko'rsatkichi uchga teng bo'lgan (kub ildizi) arziydi raqam 128, keyin belgi ostidan chiqarilishi mumkin, masalan, raqam 5. Shu bilan birga, ildiz raqam 128 ni 5 kubga bo'lish kerak: ³√128 = 5∗³√(128/5³) = 5∗³√(128/125) = 5∗³√1,024. Belgi ostida kasr son mavjudligi bo'lsa ildiz muammoning shartlariga zid kelmaydi, bu shaklda mumkin. Agar sizga oddiyroq variant kerak bo'lsa, avval radikal ifodani shunday butun son omillarga ajrating, ulardan birining kub ildizi butun son bo'ladi. raqam m.Masalan: ³√128 = ³√(64∗2) = ³√(4³∗2) = 4∗³√2.

Agar fikringizdagi raqam darajasini hisoblash imkoni bo'lmasa, ildiz raqamining omillarini tanlash uchun foydalaning. Bu, ayniqsa, uchun to'g'ri keladi ildiz ko'rsatkichi ikkidan katta bo'lgan m. Agar sizda Internetga kirish imkoningiz bo'lsa, Google va Nigma qidiruv tizimlariga o'rnatilgan kalkulyatorlar yordamida hisob-kitoblarni amalga oshirishingiz mumkin. Misol uchun, agar siz kub belgisidan olinadigan eng katta butun sonni topishingiz kerak bo'lsa ildiz 250 raqami uchun Google veb-saytiga o'ting va belgi ostidan olib tashlash mumkinligini tekshirish uchun "6 ^ 3" so'rovini kiriting. ildiz olti. Qidiruv tizimi 216 ga teng natijani ko'rsatadi. Afsuski, 250 ni qoldiqsiz bo'lib bo'lmaydi. raqam. Keyin 5^3 so'rovini kiriting. Natijada 125 bo'ladi va bu sizga 250 ni 125 va 2 koeffitsientlariga bo'lish imkonini beradi, ya'ni uni belgidan olib tashlashni anglatadi. ildiz raqam 5 u erdan ketish raqam 2.

Manbalar:

• uni ildiz ostidan qanday chiqarish kerak
• Mahsulotning kvadrat ildizi

Pastdan chiqarib oling ildiz omillardan biri matematik ifodani soddalashtirish kerak bo'lgan holatlarda zarur. Kalkulyator yordamida kerakli hisob-kitoblarni amalga oshirishning iloji bo'lmagan holatlar mavjud. Masalan, raqamlar o'rniga o'zgaruvchilarning harflari ishlatilsa.

Ko'rsatma

Radikal ifodani oddiy omillarga ajrating. Ko'rsatkichlarda ko'rsatilgan omillarning qaysi biri bir xil miqdordagi takrorlanganligini ko'ring ildiz, yoki undan ko'p. Misol uchun, a sonining ildizini to'rtinchi darajagacha olishingiz kerak. Bunda sonni a*a*a*a = a*(a*a*a)=a*a3 ko‘rinishida ifodalash mumkin. indikator ildiz bu holda mos keladi omil a3. Uni belgidan olib tashlash kerak.

Iloji bo'lsa, hosil bo'lgan radikallarning ildizini alohida ajratib oling. qazib olish ildiz ko'rsatkichga teskari algebraik amaldir. qazib olish ildiz sondan ixtiyoriy darajani toping, bu ixtiyoriy darajaga ko'tarilganda ma'lum songa olib keladigan sonni toping. Agar ekstraktsiya ildiz ishlab chiqarilmaydi, belgi ostida radikal ifodani qoldiring ildiz qanday bo'lsa. Yuqoridagi harakatlar natijasida siz ostidan olib tashlashni amalga oshirasiz belgisi ildiz.

Tegishli videolar

Eslatma

Radikal ifodani omillar sifatida yozishda ehtiyot bo'ling - bu bosqichdagi xato noto'g'ri natijalarga olib keladi.

Foydali maslahat

Ildizlarni olishda logarifmik ildizlarning maxsus jadvallari yoki jadvallaridan foydalanish qulay - bu to'g'ri echimni topish vaqtini sezilarli darajada kamaytiradi.

Manbalar:

• 2019 yilda ildiz chiqarish belgisi

Algebraik ifodalarni soddalashtirish matematikaning ko‘pgina sohalarida, jumladan, yuqori darajali tenglamalarni yechish, differentsiallash va integrasiyalashda talab qilinadi. Buning uchun bir nechta usullar, jumladan faktorizatsiya qo'llaniladi. Ushbu usulni qo'llash uchun siz umumiy narsani topishingiz va chiqarib olishingiz kerak omil orqasida qavslar.

Ko'rsatma

Umumiy omilni chiqarib tashlash qavslar- eng keng tarqalgan parchalanish usullaridan biri. Ushbu uslub uzoq algebraik ifodalarning tuzilishini soddalashtirish uchun ishlatiladi, ya'ni. polinomlar. Umumiy son, monom yoki binom bo'lishi mumkin va uni topish uchun ko'paytirishning distributiv xususiyatidan foydalaniladi.

Raqam.Har bir ko‘phadning koeffitsientlariga diqqat bilan qarang, ularni bir xil songa bo‘lish mumkinmi. Masalan, 12 z³ + 16 z² - 4 ifodasida aniq ko'rinib turibdiki omil 4. Konvertatsiyadan so'ng siz 4 (3 z³ + 4 z² - 1) olasiz. Boshqacha qilib aytganda, bu raqam barcha koeffitsientlarning eng kichik umumiy bo'luvchisidir.

Mononom.. Koʻphadning har bir aʼzosida bir xil oʻzgaruvchi bor yoki yoʻqligini aniqlang. Bu shunday deb faraz qilaylik, endi oldingi holatda bo'lgani kabi koeffitsientlarga qarang. Misol: 9 z^4 - 6 z³ + 15 z² - 3 z.

Bu ko‘phadning har bir elementida z o‘zgaruvchisi mavjud. Bundan tashqari, barcha koeffitsientlar 3 ga karrali bo'ladi. Shuning uchun umumiy omil monomial 3 z bo'ladi: 3 z (3 z³ - 2 z² + 5 z - 1).

Binom. uchun qavslar umumiy omil ikki dan, oʻzgaruvchidan va umumiy koʻphaddan iborat son. Shuning uchun, agar omil-binomial aniq emas, unda siz kamida bitta ildizni topishingiz kerak. Polinomning erkin atamasini ajratib ko'rsating, bu o'zgaruvchisiz koeffitsient. Endi bo'sh muddatning barcha butun son bo'luvchilarining umumiy ifodasiga almashtirish usulini qo'llang.

Ko'rib chiqing: z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4. 4 z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4 = 0 ning butun son bo‘luvchilari bor yoki yo‘qligini tekshiring. z1 ni oddiy almashtirish = 1 va z2 orqali toping. = 2, shuning uchun qavslar binomiallarni (z - 1) va (z - 2) chiqarish mumkin. Qolgan ifodani topish uchun ustunga ketma-ket bo'linishdan foydalaning.

Matematika va fizika kursidan turli masalalarni yechishda o'quvchilar va talabalar ko'pincha ikkinchi, uchinchi yoki n-darajali ildizlarni olish zarurati bilan duch kelishadi. Albatta, axborot texnologiyalari asrida bunday masalani kalkulyator yordamida hal qilish qiyin bo‘lmaydi. Biroq, elektron yordamchidan foydalanishning iloji bo'lmagan holatlar mavjud.

Misol uchun, ko'plab imtihonlarga elektronikani olib kelish taqiqlanadi. Bundan tashqari, kalkulyator qo'lda bo'lmasligi mumkin. Bunday hollarda, hech bo'lmaganda, radikallarni qo'lda hisoblashning ba'zi usullarini bilish foydalidir.

Ildizlarni hisoblashning eng oddiy usullaridan biri maxsus jadval yordamida. Bu nima va uni qanday qilib to'g'ri ishlatish kerak?

Jadvaldan foydalanib, 10 dan 99 gacha bo'lgan istalgan sonning kvadratini topishingiz mumkin. Shu bilan birga, jadval satrlarida o'nlab qiymatlar, ustunlarda esa birlik qiymatlari mavjud. Qator va ustunning kesishmasidagi katakda ikki xonali sonning kvadrati mavjud. 63 ning kvadratini hisoblash uchun siz 6 qiymatiga ega bo'lgan qatorni va 3 qiymatiga ega ustunni topishingiz kerak. Kesishmada biz 3969 raqamli katakchani topamiz.

Ildizni ajratib olish kvadratlashtirishning teskari operatsiyasi bo'lganligi sababli, bu amalni bajarish uchun siz teskarisini qilishingiz kerak: birinchi navbatda radikalini hisoblamoqchi bo'lgan raqamga ega katakchani toping, so'ngra ustun va satr qiymatlaridan javobni aniqlang. Misol sifatida, 169 ning kvadrat ildizini hisoblashni ko'rib chiqing.

Jadvalda bu raqamga ega bo'lgan katakchani topamiz, gorizontal ravishda o'nliklarni aniqlaymiz - 1, vertikal ravishda biz birlarni topamiz - 3. Javob: √169 = 13.

Xuddi shunday, tegishli jadvallardan foydalanib, kubik va n-darajali ildizlarni hisoblashingiz mumkin.

Usulning afzalligi uning soddaligi va qo'shimcha hisob-kitoblarning yo'qligi. Kamchiliklari aniq: usul faqat cheklangan sonlar oralig'ida qo'llanilishi mumkin (ildiz topilgan raqam 100 dan 9801 gacha bo'lishi kerak). Bundan tashqari, agar berilgan raqam jadvalda bo'lmasa, u ishlamaydi.

Asosiy faktorizatsiya

Agar kvadratchalar jadvali qo'lda bo'lmasa yoki uning yordami bilan ildizni topishning iloji bo'lmasa, siz sinab ko'rishingiz mumkin ildiz ostidagi sonni tub omillarga ajrating. Asosiy omillar - bu to'liq (qoldiqsiz) faqat o'ziga yoki bittaga bo'linishi mumkin bo'lgan omillar. Misollar 2, 3, 5, 7, 11, 13 va boshqalar bo'lishi mumkin.

√576 misolidan foydalanib, ildizni hisoblashni ko'rib chiqing. Keling, uni oddiy omillarga ajratamiz. Quyidagi natijani olamiz: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². √a² = a ildizlarning asosiy xususiyatidan foydalanib, biz ildizlar va kvadratlardan xalos bo'lamiz, shundan so'ng biz javobni hisoblaymiz: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​= 24.

Agar omillardan birining o'z juftligi bo'lmasa, nima qilish kerak? Masalan, √54 ni hisoblashni ko'rib chiqing. Faktoringdan so'ng natijani quyidagi shaklda olamiz: Olib bo'lmaydigan qism ildiz ostida qoldirilishi mumkin. Geometriya va algebra bo'yicha ko'pgina masalalar uchun bunday javob yakuniy javob sifatida hisoblanadi. Ammo taxminiy qiymatlarni hisoblash zarurati tug'ilsa, keyinroq muhokama qilinadigan usullardan foydalanishingiz mumkin.

Heron usuli

Hech bo'lmaganda chiqarilgan ildiz nima ekanligini bilishingiz kerak bo'lganda nima qilish kerak (agar butun sonni olishning iloji bo'lmasa)? Heron usulini qo'llash orqali tez va etarlicha aniq natijaga erishiladi.. Uning mohiyati taxminiy formuladan foydalanishda yotadi:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

bu yerda R - ildizi hisoblanishi kerak bo'lgan son, a - ildiz qiymati ma'lum bo'lgan eng yaqin son.

Keling, bu usul amalda qanday ishlashini ko'rib chiqamiz va uning qanchalik to'g'ri ekanligini baholaymiz. Keling, √111 nimaga teng ekanligini hisoblaylik. Ildizi ma'lum bo'lgan 111 ga eng yaqin raqam 121. Shunday qilib, R = 111, a = 121. Formuladagi qiymatlarni almashtiring:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

Endi usulning to'g'riligini tekshiramiz:

10,55² = 111,3025.

Usulning xatosi taxminan 0,3 ni tashkil etdi. Agar usulning aniqligini yaxshilash kerak bo'lsa, siz ilgari tasvirlangan amallarni takrorlashingiz mumkin:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Hisoblashning to'g'riligini tekshiramiz:

10,536² = 111,0073.

Formulani qayta-qayta qo'llashdan keyin xato juda ahamiyatsiz bo'lib qoldi.

Ildizni ustunga bo'lish orqali hisoblash

Kvadrat ildiz qiymatini topishning bu usuli avvalgilariga qaraganda biroz murakkabroq. Biroq, bu kalkulyatorsiz boshqa hisoblash usullari orasida eng aniq hisoblanadi..

Aytaylik, kvadrat ildizni 4 kasr aniqligi bilan topish kerak. Keling, ixtiyoriy 1308.1912 raqami misolida hisoblash algoritmini tahlil qilaylik.

1. Qog'oz varag'ini vertikal chiziq bilan 2 qismga bo'ling, so'ngra undan o'ngga, yuqori chetidan bir oz pastroqda yana bir chiziq torting. Biz raqamni chap tomonga yozamiz, uni 2 ta raqamdan iborat guruhlarga ajratamiz, o'nli kasrning o'ng va chap tomoniga o'tamiz. Chapdagi birinchi raqam juftliksiz bo'lishi mumkin. Agar raqamning o'ng tomonida belgi yo'q bo'lsa, u holda 0 qo'shilishi kerak.Bizning holatda biz 13 08.19 12 ni olamiz.
2. Kvadrati raqamlarning birinchi guruhidan kichik yoki unga teng bo'lgan eng katta sonni tanlaymiz. Bizning holatda, bu 3. Keling, uni yuqori o'ng tomonga yozamiz; 3 - natijaning birinchi raqami. Pastki o'ngda biz 3 × 3 = 9 ni ko'rsatamiz; bu keyingi hisob-kitoblar uchun kerak bo'ladi. Ustundagi 13 dan 9 ni ayirsak, qolgan 4 ni olamiz.
3. Qolgan 4 songa keyingi juft raqamlarni qo'shamiz; Biz 408 ni olamiz.
4. Yuqori o'ng tarafdagi raqamni 2 ga ko'paytiring va pastki o'ng tomonga yozing, unga _ x _ = qo'shing. Biz 6_ x _ = olamiz.
5. Chiziqlar o'rniga siz 408 dan kichik yoki teng bir xil raqamni almashtirishingiz kerak. Biz 66 × 6 \u003d 396 ni olamiz. Yuqori o'ng tomonga 6 yozamiz, chunki bu natijaning ikkinchi raqami. 408 dan 396 ni ayirib, 12 ni olamiz.
6. 3-6 bosqichlarni takrorlaymiz. Pastga ko'chirilgan sonlar sonning kasr qismida bo'lgani uchun 6 dan keyin yuqori o'ngga o'nli kasr qo'yish kerak. Ikkilashtirilgan natijani tire bilan yozamiz: 72_ x _ =. Tegishli raqam 1 bo'ladi: 721 × 1 = 721. Keling, uni javob sifatida yozamiz. 1219 - 721 = 498 ni ayiraylik.
7. Kerakli o'nli kasr sonini olish uchun oldingi bandda berilgan harakatlar ketma-ketligini yana uch marta bajaramiz. Agar keyingi hisob-kitoblar uchun etarli belgilar bo'lmasa, chapdagi joriy raqamga ikkita nol qo'shilishi kerak.

Natijada, biz javob olamiz: √1308.1912 ≈ 36.1689. Agar siz harakatni kalkulyator bilan tekshirsangiz, barcha belgilar to'g'ri aniqlanganligiga ishonch hosil qilishingiz mumkin.

Kvadrat ildiz qiymatini bit bo'yicha hisoblash

Usul juda aniq. Bundan tashqari, bu juda tushunarli va u formulalarni yodlash yoki murakkab harakatlar algoritmini talab qilmaydi, chunki usulning mohiyati to'g'ri natijani tanlashdir.

Keling, 781 raqamidan ildizni chiqaramiz. Keling, harakatlar ketma-ketligini batafsil ko'rib chiqaylik.

1. Kvadrat ildiz qiymatining qaysi raqami eng yuqori bo'lishini aniqlang. Buning uchun 0, 10, 100, 1000 va hokazolarni kvadratga aylantiramiz va ularning qaysilari orasida ildiz raqami joylashganligini aniqlaymiz. Biz 10² ni olamiz< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. Keling, o'nliklarning qiymatini olaylik. Buning uchun navbatma-navbat 10, 20, ..., 90 ning darajasiga ko‘taramiz, to 781 dan katta raqam olinmaguncha. Natijaning qiymati n 20 ichida bo'ladi< n <30.
3. Oldingi bosqichga o'xshab, birliklar raqamining qiymati tanlanadi. Biz navbatma-navbat 21,22, ..., 29 kvadratini olamiz: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28² biz = 784 ni olamiz.< n < 28.
4. Har bir keyingi raqam (o'ninchi, yuzinchi va boshqalar) yuqorida ko'rsatilganidek hisoblab chiqiladi. Hisob-kitoblar kerakli aniqlikka erishilgunga qadar amalga oshiriladi.

Kalkulyatorlar paydo bo'lishidan oldin, talabalar va o'qituvchilar kvadrat ildizlarni qo'lda hisoblab chiqdilar. Raqamning kvadrat ildizini qo'lda hisoblashning bir necha yo'li mavjud. Ulardan ba'zilari faqat taxminiy echimni taklif qiladi, boshqalari aniq javob beradi.

Qadamlar

Asosiy faktorizatsiya

Ildiz sonni kvadrat sonlar bo'lgan omillarga aylantiring. Ildiz raqamiga qarab, siz taxminiy yoki aniq javob olasiz. Kvadrat raqamlar - bu butun kvadrat ildizni olish mumkin bo'lgan raqamlar. Omillar - bu ko'paytirilganda asl raqamni beradigan raqamlar. Masalan, 8 sonining omillari 2 va 4, chunki 2 x 4 = 8, 25, 36, 49 raqamlari kvadrat sonlar, chunki √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Kvadrat omillar omillar bo'lib, ular kvadrat sonlardir. Birinchidan, ildiz sonini kvadrat omillarga ajratishga harakat qiling.

• Masalan, 400 ning kvadrat ildizini hisoblang (qo'lda). Avval 400 ni kvadrat omillarga ajratib ko'ring. 400 100 ning ko'paytmasi, ya'ni 25 ga bo'linadi - bu kvadrat raqam. 400 ni 25 ga bo'lish sizga 16 ni beradi. 16 soni ham kvadrat sondir. Shunday qilib, 400 ni 25 va 16 ning kvadrat omillariga, ya'ni 25 x 16 = 400 ga ko'paytirish mumkin.
• Buni quyidagicha yozish mumkin: √400 = √(25 x 16).

1. Ayrim hadlar ko‘paytmasining kvadrat ildizi har bir hadning kvadrat ildizlari ko‘paytmasiga teng, ya’ni √(a x b) = √a x √b. Ushbu qoidadan foydalaning va har bir kvadrat omilning kvadrat ildizini oling va javobni topish uchun natijalarni ko'paytiring.

   • Bizning misolimizda 25 va 16 ning kvadrat ildizini oling.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Agar radikal son ikki kvadrat omilga ta'sir qilmasa (va ko'p hollarda shunday bo'ladi), siz aniq javobni butun son sifatida topa olmaysiz. Ammo ildiz sonini kvadrat koeffitsientga va oddiy koeffitsientga (butun kvadrat ildizni olib bo'lmaydigan raqam) ajratish orqali muammoni soddalashtirishingiz mumkin. Keyin kvadrat omilning kvadrat ildizini olasiz va oddiy omilning ildizini olasiz.

   • Masalan, 147 sonining kvadrat ildizini hisoblang. 147 sonini ikki kvadrat koeffitsientga ajratib bo'lmaydi, lekin uni quyidagi ko'rsatkichlarga ajratish mumkin: 49 va 3. Masalani quyidagicha yeching:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Agar kerak bo'lsa, ildizning qiymatini baholang. Endi siz ildizning qiymatini (taxminiy qiymatni toping) uni ildiz raqamiga eng yaqin (son chizig'ining ikkala tomonida) bo'lgan kvadrat raqamlarning ildizlari qiymatlari bilan taqqoslash orqali baholashingiz mumkin. Siz ildizning qiymatini o'nlik kasr sifatida olasiz, uni ildiz belgisi orqasidagi raqamga ko'paytirish kerak.

   • Keling, misolimizga qaytaylik. Ildiz raqami 3. Unga eng yaqin kvadrat raqamlar 1 (√1 = 1) va 4 (√4 = 2) raqamlaridir. Shunday qilib, √3 qiymati 1 va 2 orasida yotadi. √3 qiymati 1 ga qaraganda 2 ga yaqinroq bo'lgani uchun bizning taxminimiz: √3 = 1,7. Biz bu qiymatni ildiz belgisidagi raqamga ko'paytiramiz: 7 x 1,7 \u003d 11,9. Agar siz kalkulyatorda hisob-kitob qilsangiz, siz 12.13 ni olasiz, bu bizning javobimizga juda yaqin.
     • Bu usul katta raqamlar bilan ham ishlaydi. Masalan, √35 ni ko'rib chiqing. Ildiz raqami 35. Unga eng yaqin kvadrat raqamlar 25 (√25 = 5) va 36 (√36 = 6) raqamlaridir. Shunday qilib, √35 qiymati 5 va 6 orasida yotadi. √35 qiymati 5 ga nisbatan 6 ga ancha yaqin bo'lgani uchun (chunki 35 36 dan atigi 1 ga kam), biz √35 dan bir oz kichik ekanligini aytishimiz mumkin. 6. Kalkulyator bilan tekshirish bizga 5.92 javobini beradi - biz haq edik.

4. Yana bir usul - ildiz sonini tub omillarga ajratish. Bosh omillar - bu faqat 1 ga va o'ziga bo'linadigan sonlar. Bosh ko‘paytuvchilarni qatorga yozing va bir xil ko‘rsatkichlar juftligini toping. Bunday omillarni ildiz belgisidan chiqarish mumkin.

   • Masalan, 45 ning kvadrat ildizini hisoblang. Biz ildiz sonini tub omillarga ajratamiz: 45 \u003d 9 x 5 va 9 \u003d 3 x 3. Shunday qilib, √45 \u003d √ (3 x 3 x 5). 3 ni ildiz belgisidan chiqarish mumkin: √45 = 3√5. Endi biz √5 ni taxmin qilishimiz mumkin.
   • Boshqa misolni ko'rib chiqing: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Sizda uchta ko'paytiruvchi 2 bor; ulardan bir nechtasini oling va ularni ildiz belgisidan olib tashlang.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Endi biz √2 va √11 ni baholab, taxminiy javobni topishimiz mumkin.

   Kvadrat ildizni qo'lda hisoblash

   Ustun bo'linishidan foydalanish

   1. Bu usul uzoq bo'linishga o'xshash jarayonni o'z ichiga oladi va aniq javob beradi. Birinchidan, varaqni ikkiga bo'ladigan vertikal chiziqni torting, so'ngra gorizontal chiziqni o'ngga va varaqning yuqori chetidan bir oz pastga vertikal chiziqqa torting. Endi o'nli kasrdan keyin kasr qismidan boshlab, ildiz sonini juft raqamlarga ajrating. Demak, 79520789182.47897 raqami “7 95 20 78 91 82, 47 89 70” deb yoziladi.

      • Masalan, 780.14 raqamining kvadrat ildizini hisoblaymiz. Ikkita chiziq chizing (rasmda ko'rsatilgandek) va yuqori chapdagi raqamni "7 80, 14" deb yozing. Chapdagi birinchi raqam juftlashtirilmagan raqam bo'lishi odatiy holdir. Javob (berilgan raqamning ildizi) yuqori o'ng tomonda yoziladi.

   2. Chapdan raqamlarning birinchi juftligi (yoki bitta raqam) berilgan bo‘lsa, kvadrati ko‘rib chiqilayotgan sonlar juftligidan (yoki bitta raqamdan) kichik yoki teng bo‘lgan eng katta n butun sonni toping. Boshqacha qilib aytganda, chapdan birinchi son juftiga (yoki bitta raqamga) eng yaqin, lekin undan kichik kvadrat sonni toping va shu kvadrat sonning kvadrat ildizini oling; n raqamini olasiz. Topilgan n ni yuqori o'ng tomonga yozing va pastki o'ng tomonga n kvadratini yozing.

      • Bizning holatda, chapdagi birinchi raqam 7 raqami bo'ladi. Keyingi, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Chapdagi birinchi raqamlar juftidan (yoki bitta raqamdan) hozirgina topilgan n sonining kvadratini ayiring. Hisoblash natijasini ayirma ostiga yozing (n sonining kvadrati).

      • Bizning misolimizda 7 dan 4 ni ayirib, 3 ni oling.

   4. Ikkinchi juft raqamlarni olib tashlang va oldingi bosqichda olingan qiymat yoniga yozing. Keyin yuqori o'ngdagi raqamni ikki baravar oshiring va natijani pastki o'ng tomonga "_×_=" qo'shib yozing.

      • Bizning misolimizda raqamlarning ikkinchi juftligi "80" dir. 3 dan keyin "80" ni yozing. Keyin yuqori o'ngdan raqam ikki barobarga ko'tariladi 4. Pastki o'ngdan "4_×_=" yozing.

   5. O'ng tarafdagi bo'sh joylarni to'ldiring.

      • Bizning holatda, agar chiziq o'rniga 8 raqamini qo'ysak, u holda 48 x 8 \u003d 384, bu 380 dan ortiq. Shuning uchun 8 juda katta raqam, lekin 7 yaxshi. Chiziqlar o'rniga 7 ni yozing va oling: 47 x 7 \u003d 329. Yuqori o'ngdan 7 ni yozing - bu 780.14 raqamining kerakli kvadrat ildizidagi ikkinchi raqam.

   6. Olingan raqamni chapdagi joriy raqamdan ayiring. Oldingi bosqichdan olingan natijani chap tarafdagi joriy raqam ostiga yozing, farqni toping va ayirilgan raqamning ostiga yozing.

      • Bizning misolimizda 380 dan 329 ni ayirib oling, bu 51 ga teng.

   7. 4-bosqichni takrorlang. Agar buzilgan raqamlar juftligi asl sonning kasr qismi bo'lsa, u holda butun son va kasr qismlarini ajratuvchi (vergul) yuqori o'ngdan kerakli kvadrat ildizga qo'ying. Chapda, keyingi raqamlar juftini pastga olib boring. Yuqoridagi o'ngdagi raqamni ikki baravar oshiring va natijani pastki o'ng tomonga "_×_=" qo'shib yozing.

      • Bizning misolimizda 780.14 raqamining kasr qismi bo'ladi, shuning uchun o'ngdan yuqoridan kerakli kvadrat ildizga butun va kasr qismlarini ajratuvchisini qo'ying. 14 ni buzing va pastki chap tomonga yozing. Yuqori o'ng tomonning ikki barobari (27) 54, shuning uchun pastki o'ngga "54_×_=" yozing.

   8. 5 va 6-bosqichlarni takrorlang. O'ngdagi chiziqchalar o'rniga eng katta raqamni toping (chiziqlar o'rniga siz bir xil raqamni almashtirishingiz kerak), shunda ko'paytirish natijasi chapdagi joriy raqamdan kichik yoki teng bo'ladi.

      • Bizning misolimizda 549 x 9 = 4941, bu chapdagi joriy raqamdan (5114) kamroq. Yuqori o'ng tomonga 9 ni yozing va chapdagi joriy raqamdan ko'paytirish natijasini ayiring: 5114 - 4941 = 173.

   9. Kvadrat ildiz uchun koʻproq oʻnli kasrlarni topish kerak boʻlsa, chap tarafdagi joriy raqam yoniga bir juft nol yozing va 4, 5 va 6-bosqichlarni takrorlang. Kerakli javobning aniqligini olmaguningizcha amallarni takrorlang (soni kasrlar).

   Jarayonni tushunish

   Ushbu usulni o'zlashtirish uchun kvadrat ildizi S kvadratning maydoni sifatida topish kerak bo'lgan sonni tasavvur qiling. Bunday holda, siz bunday kvadratning L tomonining uzunligini qidirasiz. L² = S bo'lgan L qiymatini hisoblang.

   Javobingizdagi har bir raqam uchun harf kiriting. L qiymatidagi birinchi raqamni A bilan belgilang (kerakli kvadrat ildiz). B ikkinchi raqam bo'ladi, C uchinchi va hokazo.

   Har bir bosh raqamlar juftligi uchun harfni belgilang. S qiymatidagi birinchi raqamlar juftini S a bilan, ikkinchi juft raqamni S b va hokazo bilan belgilang.

   Ushbu usulning uzun bo'linish bilan bog'liqligini tushuntiring. Bo'linish operatsiyasida bo'lgani kabi, biz har safar bo'linadigan sonning faqat bitta keyingi raqamiga qiziqamiz, kvadrat ildizni hisoblashda biz ketma-ket bir juft raqam bilan ishlaymiz (kvadrat ildiz qiymatida keyingi bitta raqamni olish uchun) .

   1. S sonining birinchi juft Sa raqamlarini ko'rib chiqing (misolimizda Sa = 7) va uning kvadrat ildizini toping. Bunday holda, kvadrat ildizning qidirilayotgan qiymatining birinchi A raqami kvadrati S a dan kichik yoki teng bo'lgan raqam bo'ladi (ya'ni, biz A² tengsizligini qanoatlantiradigan shunday A ni qidiramiz. ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Aytaylik, 88962 ni 7 ga bo'lish kerak; bu erda birinchi qadam shunga o'xshash bo'ladi: biz 88962 (8) bo'linadigan sonning birinchi raqamini ko'rib chiqamiz va 7 ga ko'paytirilganda 8 dan kichik yoki teng qiymat beradigan eng katta raqamni tanlaymiz. Ya'ni, biz qidiramiz. tengsizlik rost bo'lgan d soni: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. Maydoni hisoblashingiz kerak bo'lgan kvadratni aqlan tasavvur qiling. Siz L ni qidiryapsiz, ya'ni maydoni S bo'lgan kvadrat tomonining uzunligi. A, B, C - L sonidagi raqamlar. Siz uni boshqacha yozishingiz mumkin: 10A + B \u003d L (ikkitasi uchun) -raqamli raqam) yoki 100A + 10B + C \u003d L (uch xonali raqam uchun) va boshqalar.

      • Mayli (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Esda tutingki, 10A+B B birlarni, A esa o'nlarni bildiruvchi sondir. Masalan, agar A=1 va B=2 bo'lsa, 10A+B 12 raqamiga teng bo'ladi. (10A+B)² butun kvadratning maydoni, 100A² katta ichki kvadratning maydoni, B² kichik ichki kvadratning maydoni, 10A×B ikkita to'rtburchakning har birining maydoni. Ta'riflangan raqamlarning maydonlarini qo'shib, siz asl kvadratning maydonini topasiz.