§ 87. Kasrlarni qo‘shish.
Kasrlarni qo'shish butun sonlarni qo'shish bilan juda ko'p o'xshashliklarga ega. Kasrlarni qo'shish - bu bir nechta berilgan sonlar (termalar) had birliklarining barcha birliklari va kasrlarini o'z ichiga olgan bitta songa (yig'indi) birlashtirilishidan iborat bo'lgan harakatdir.
Biz uchta holatni navbat bilan ko'rib chiqamiz:
1. Maxrajlari bir xil bo‘lgan kasrlarni qo‘shish.
2. Turli xil maxrajli kasrlarni qo`shish.
3. Aralash sonlarni qo`shish.
1. Maxrajlari bir xil bo‘lgan kasrlarni qo‘shish.
Misolni ko'rib chiqing: 1/5 + 2/5 .
AB segmentini oling (17-rasm), uni birlik sifatida oling va 5 ga bo'ling teng qismlar, u holda bu segmentning AC qismi AB segmentining 1/5 qismiga teng bo'ladi va bir xil CD segmentining qismi 2/5 AB ga teng bo'ladi.
Chizmadan ko'rinib turibdiki, agar AD segmentini olsak, u holda u 3/5 AB ga teng bo'ladi; lekin AD segmenti aynan AC va CD segmentlarining yig'indisidir. Shunday qilib, biz yozishimiz mumkin:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Bu shartlarni va hosil bo’lgan miqdorni hisobga olsak, yig’indining numeratori hadlarning sanoqlarini qo’shish orqali olinganini, maxraji esa o’zgarishsiz qolganini ko’ramiz.
Bundan quyidagi qoidani olamiz: Bir xil maxrajli kasrlarni qo'shish uchun ularning sonlarini qo'shish va bir xil maxrajni qoldirish kerak.
Bir misolni ko'rib chiqing:
2. Turli xil maxrajli kasrlarni qo`shish.
Kasrlarni qo'shamiz: 3/4 + 3/8 Avval ularni eng kichik umumiy maxrajga kamaytirish kerak:
6/8 + 3/8 oraliq havolani yozish mumkin emas edi; Biz buni aniqroq qilish uchun bu erda yozdik.
Shunday qilib, har xil maxrajli kasrlarni qo'shish uchun avval ularni eng kichik umumiy maxrajga olib kelish, ularning sonlarini qo'shish va umumiy maxrajga imzo qo'yish kerak.
Misolni ko'rib chiqing (tegishli kasrlar ustiga qo'shimcha omillarni yozamiz):
3. Aralash sonlarni qo`shish.
Keling, raqamlarni qo'shamiz: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.
Keling, avval raqamlarimizning kasr qismlarini umumiy maxrajga keltiramiz va ularni qayta yozamiz:
Endi butun son va kasr qismlarni ketma-ket qo'shing:
§ 88. Kasrlarni ayirish.
Kasrlarni ayirish butun sonlarni ayirish bilan bir xil tarzda aniqlanadi. Bu ikki a'zo va ulardan biri yig'indisi berilganda boshqa bir muddat topiladigan harakatdir. Keling, uchta holatni navbat bilan ko'rib chiqaylik:
1. Maxrajlari bir xil bo‘lgan kasrlarni ayirish.
2. Maxrajlari har xil bo‘lgan kasrlarni ayirish.
3. Aralash sonlarni ayirish.
1. Maxrajlari bir xil bo‘lgan kasrlarni ayirish.
Bir misolni ko'rib chiqing:
13 / 15 - 4 / 15
Keling, AB segmentini olaylik (18-rasm), uni birlik sifatida qabul qilamiz va uni 15 ta teng qismga ajratamiz; u holda bu segmentning AC qismi AB ning 1/15 qismini tashkil qiladi va bir xil segmentning AD qismi 13/15 AB ga to'g'ri keladi. Keling, 4/15 AB ga teng bo'lgan boshqa ED segmentini ajratamiz.
13/15 dan 4/15ni ayirishimiz kerak. Chizmada bu AD segmentidan ED segmentini olib tashlash kerakligini anglatadi. Natijada, AE segmenti qoladi, bu AB segmentining 9/15 qismini tashkil qiladi. Shunday qilib, biz yozishimiz mumkin:
Biz keltirgan misol shuni ko'rsatadiki, ayirmaning payi sanoqlarni ayirish yo'li bilan olingan va maxraj o'zgarishsiz qolgan.
Demak, bir xil maxrajli kasrlarni ayirish uchun ayirmaning ayirish qismidan ayirish va bir xil maxrajni qoldirish kerak.
2. Maxrajlari har xil bo‘lgan kasrlarni ayirish.
Misol. 3/4 - 5/8
Birinchidan, bu kasrlarni eng kichik umumiy maxrajga keltiramiz:
6/8 - 5/8 oraliq havola bu erda aniqlik uchun yozilgan, ammo kelajakda uni o'tkazib yuborish mumkin.
Shunday qilib, kasrdan kasrni ayirish uchun avval ularni eng kichik umumiy maxrajga keltirish kerak, so'ngra ayirma sonini ayirma qismidan ayirish va ularning ayirmasi ostidagi umumiy maxrajga belgi qo'yish kerak.
Bir misolni ko'rib chiqing:
3. Aralash sonlarni ayirish.
Misol. 10 3/4 - 7 2/3.
Minuend va ayirishning kasr qismlarini eng kichik umumiy maxrajga keltiramiz:
Butundan butunni, kasrdan kasrni ayirdik. Ammo ayirishning kasr qismi minuendning kasr qismidan kattaroq bo'lgan holatlar mavjud. Bunday hollarda siz qisqartirilganning butun qismidan bitta birlik olishingiz, uni kasr qismi ifodalangan qismlarga bo'lishingiz va qisqartirilganning kasr qismiga qo'shishingiz kerak. Va keyin ayirish avvalgi misoldagi kabi amalga oshiriladi:
§ 89. Kasrlarni ko'paytirish.
Kasrlarni ko'paytirishni o'rganayotganda biz ko'rib chiqamiz keyingi savollar:
1. Kasrni butun songa ko‘paytirish.
2. Berilgan sonning kasr qismini topish.
3. Butun sonni kasrga ko‘paytirish.
4. Kasrni kasrga ko`paytirish.
5. Aralash sonlarni ko`paytirish.
6. Qiziqish tushunchasi.
7. Berilgan sonning foizlarini topish. Keling, ularni ketma-ket ko'rib chiqaylik.
1. Kasrni butun songa ko‘paytirish.
Kasrni butun songa ko'paytirish butun sonni butun songa ko'paytirish bilan bir xil ma'noga ega. Kasrni (ko'paytmani) butun songa (ko'paytiruvchiga) ko'paytirish deganda bir xil hadlar yig'indisini tuzish tushuniladi, bunda har bir a'zo ko'paytmaga, hadlar soni esa ko'paytiruvchiga teng bo'ladi.
Shunday qilib, agar siz 1/9 ni 7 ga ko'paytirishingiz kerak bo'lsa, buni shunday qilish mumkin:
Natijani osonlik bilan oldik, chunki amal bir xil maxrajli kasrlarni qo'shishga qisqartirildi. Demak,
Ushbu harakatni ko'rib chiqish shuni ko'rsatadiki, kasrni butun songa ko'paytirish bu kasrni butun sonda qancha birliklar bo'lsa, shuncha ko'paytirishga tengdir. Va kasrning o'sishiga uning numeratorini oshirish orqali erishiladi
yoki uning maxrajini kamaytirish orqali 
, u holda biz sonni butun songa ko'paytirishimiz yoki maxrajni unga bo'lishimiz mumkin, agar bunday bo'linish mumkin bo'lsa.
Bu erdan biz qoidani olamiz:
Kasrni butun songa ko'paytirish uchun payni shu butun songa ko'paytirish va maxrajni bir xil qoldirish kerak yoki agar iloji bo'lsa, maxrajni shu raqamga bo'lish, hisoblagichni o'zgarishsiz qoldirish kerak.
Ko'paytirishda qisqartmalar mumkin, masalan:
2. Berilgan sonning kasr qismini topish. Berilgan raqamning bir qismini topish yoki hisoblash kerak bo'lgan ko'plab muammolar mavjud. Bu vazifalarning boshqalardan farqi shundaki, ular ba'zi ob'ektlar yoki o'lchov birliklarining sonini beradi va siz bu raqamning bir qismini topishingiz kerak, bu erda ham ma'lum bir qism bilan ko'rsatilgan. Tushunishni osonlashtirish uchun biz birinchi navbatda bunday muammolarga misollar keltiramiz, so'ngra ularni hal qilish usuli bilan tanishamiz.
Vazifa 1. Menda 60 rubl bor edi; Bu pulning 1/3 qismini kitob sotib olishga sarfladim. Kitoblar qancha turadi?
Vazifa 2. Poezd A va B shaharlari orasidagi 300 km ga teng masofani bosib o'tishi kerak. U allaqachon bu masofaning 2/3 qismini bosib o'tgan. Bu necha kilometr?
Vazifa 3. Qishloqda 400 ta uy bor, ularning 3/4 qismi gʻisht, qolgani yogʻoch. Qancha g'ishtli uy bor?
Berilgan sonning bir qismini topish uchun biz ko'p muammolarni hal qilishimiz kerak. Ular odatda berilgan sonning bir qismini topish uchun muammolar deb ataladi.
1-masala yechimi. 60 rubldan. Men 1/3 qismini kitoblarga sarfladim; Shunday qilib, kitoblarning narxini topish uchun siz 60 raqamini 3 ga bo'lishingiz kerak:
Muammo 2 yechimi. Muammoning ma'nosi shundaki, siz 300 km ning 2/3 qismini topishingiz kerak. 300 ning birinchi 1/3 qismini hisoblang; Bunga 300 km ni 3 ga bo'lish orqali erishiladi:
300: 3 = 100 (bu 300 ning 1/3 qismi).
300 ning uchdan ikki qismini topish uchun natijada olingan koeffitsientni ikki barobarga oshirish kerak, ya'ni 2 ga ko'paytirish kerak:
100 x 2 = 200 (bu 300 ning 2/3 qismi).
3-masala yechimi. Bu erda siz 400 ning 3/4 qismini tashkil etadigan g'ishtli uylar sonini aniqlashingiz kerak. Keling, birinchi navbatda 400 ning 1/4 qismini topamiz,
400: 4 = 100 (bu 400 ning 1/4 qismi).
400 ning to'rtdan uch qismini hisoblash uchun olingan koeffitsientni uch marta, ya'ni 3 ga ko'paytirish kerak:
100 x 3 = 300 (bu 400 ning 3/4 qismi).
Ushbu muammolarni hal qilish asosida biz quyidagi qoidani chiqarishimiz mumkin:
Berilgan sonning bir qismining qiymatini topish uchun bu sonni kasrning maxrajiga bo'lish va olingan qismni uning hisoblagichiga ko'paytirish kerak.
3. Butun sonni kasrga ko‘paytirish.
Ilgari (§ 26) butun sonlarni ko'paytirishni bir xil atamalarni qo'shish (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20) deb tushunish kerakligi aniqlangan. Ushbu bandda (1-band) kasrni butun songa ko'paytirish bu kasrga teng bir xil hadlar yig'indisini topishni anglatadi.
Ikkala holatda ham ko'paytirish bir xil atamalar yig'indisini topishdan iborat edi.
Endi biz butun sonni kasrga ko'paytirishga o'tamiz. Bu erda biz, masalan, ko'paytirish bilan uchrashamiz: 9 2/3. Ko'paytirishning oldingi ta'rifi bu holatga taalluqli emasligi aniq. Bu shuni ko'rsatadiki, biz bunday ko'paytirishni teng sonlarni qo'shish bilan almashtira olmaymiz.
Shu sababli, biz ko'paytirishning yangi ta'rifini berishga, ya'ni kasrga ko'paytirish orqali nimani tushunish kerak, bu harakatni qanday tushunish kerak degan savolga javob berishga to'g'ri keladi.
Butun sonni kasrga ko'paytirishning ma'nosi quyidagi ta'rifdan aniq bo'ladi: butun sonni (ko‘paytiruvchini) kasrga (ko‘paytiruvchi) ko‘paytirish ko‘paytiruvchining shu qismini topishni anglatadi.
Ya'ni, 9 ni 2/3 ga ko'paytirish to'qqiz birlikning 2/3 qismini topishni anglatadi. Oldingi paragrafda bunday muammolar hal qilindi; shuning uchun biz 6 bilan yakunlanganimizni aniqlash oson.
Ammo endi qiziqarli va muhim savol tug'iladi: nima uchun bunday birinchi qarashda turli tadbirlar summani qanday topish mumkin teng sonlar va sonning kasrini topish, arifmetikada bir xil so'z "ko'paytirish" deb ataladi?
Buning sababi, oldingi harakat (sonni shartlar bilan bir necha marta takrorlash) va yangi harakat (sonning ulushini topish) bir hil savollarga javob beradi. Bu shuni anglatadiki, biz bu erda bir xil savollar yoki vazifalar bir xil harakat bilan hal qilinadi degan mulohazalardan kelib chiqamiz.
Buni tushunish uchun quyidagi muammoni ko'rib chiqing: “1 m mato 50 rubl turadi. Bunday matoning 4 metri qancha turadi?
Bu muammo rubl (50) sonini hisoblagichlar soniga (4), ya'ni 50 x 4 = 200 (rubl) ko'paytirish orqali hal qilinadi.
Xuddi shu masalani olaylik, lekin unda mato miqdori kasr son sifatida ifodalanadi: “1 m mato 50 rubl turadi. Bunday matoning 3/4 m qancha turadi?
Bu muammoni ham rubl sonini (50) metrlar soniga (3/4) ko'paytirish orqali hal qilish kerak.
Shuningdek, siz undagi raqamlarni muammoning ma'nosini o'zgartirmasdan bir necha marta o'zgartirishingiz mumkin, masalan, 9/10 m yoki 2 3/10 m va hokazolarni oling.
Bu masalalar bir xil mazmunga ega va faqat son jihatidan farq qilganligi uchun ularni yechishda qo`llaniladigan amallarni bir xil so`z - ko`paytirish deb ataymiz.
Butun son kasrga qanday ko'paytiriladi?
Oxirgi muammoda duch kelgan raqamlarni olaylik:
Ta'rifga ko'ra, biz 50 ning 3/4 qismini topishimiz kerak. Avval 50 ning 1/4 qismini, keyin esa 3/4 ni topamiz.
50 ning 1/4 qismi 50/4;
50 ning 3/4 qismi.
Shuning uchun.
Yana bir misolni ko'rib chiqaylik: 12 5/8 = ?
12 ning 1/8 qismi 12/8,
12 sonining 5/8 qismi .
Demak,
Bu erdan biz qoidani olamiz:
Butun sonni kasrga ko'paytirish uchun butun sonni kasrning soniga ko'paytirish va bu ko'paytmani sanoqchi qilish va berilgan kasrning maxrajini maxraj sifatida imzolash kerak.
Ushbu qoidani harflar yordamida yozamiz:
Ushbu qoidani aniq tushunish uchun kasrni qism sifatida ko'rib chiqish mumkinligini esga olish kerak. Shuning uchun topilgan qoidani § 38da ko'rsatilgan sonni qismga ko'paytirish qoidasi bilan solishtirish foydalidir.
Shuni esda tutish kerakki, ko'paytirishni amalga oshirishdan oldin siz (iloji bo'lsa) qilishingiz kerak. kesiklar, Masalan:
4. Kasrni kasrga ko`paytirish. Kasrni kasrga ko'paytirish butun sonni kasrga ko'paytirish bilan bir xil ma'noga ega, ya'ni kasrni kasrga ko'paytirishda birinchi kasrdan (ko'paytiruvchi) ko'paytiruvchidagi kasrni topish kerak.
Ya'ni, 3/4 ni 1/2 (yarim) ga ko'paytirish 3/4 ning yarmini topishni anglatadi.
Kasrni kasrga qanday ko'paytirish mumkin?
Misol keltiraylik: 3/4 marta 5/7. Bu siz 3/4 dan 5/7 ni topishingiz kerak degan ma'noni anglatadi. Avval 3/4 ning 1/7 qismini, keyin esa 5/7 qismini toping
3/4 ning 1/7 qismi quyidagicha ifodalanadi:
5/7 raqamlari 3/4 quyidagicha ifodalanadi:
Shunday qilib,
Yana bir misol: 5/8 marta 4/9.
5/8 ning 1/9 qismi,
4/9 raqamlari 5/8.
Shunday qilib, 
Ushbu misollardan quyidagi qoidani chiqarish mumkin:
Kasrni kasrga ko‘paytirish uchun hisobni ayiruvchiga, maxrajni esa ko‘paytiruvchiga ko‘paytirish va birinchi ko‘paytmani ayiruvchi, ikkinchi ko‘paytmani esa ko‘paytiruvchi qilish kerak.
Bu qoidada umumiy ko'rinish shunday yozilishi mumkin:
Ko'paytirishda (agar iloji bo'lsa) qisqartirishlar qilish kerak. Misollarni ko'rib chiqing:
5. Aralash sonlarni ko`paytirish. Aralash raqamlarni noto'g'ri kasrlar bilan osongina almashtirish mumkinligi sababli, bu holat odatda aralash raqamlarni ko'paytirishda qo'llaniladi. Bu shuni anglatadiki, ko'paytma yoki ko'paytma yoki ikkala omil aralash sonlar sifatida ifodalangan hollarda, ular noto'g'ri kasrlar bilan almashtiriladi. Masalan, aralash raqamlarni ko'paytiring: 2 1/2 va 3 1/5. Biz ularning har birini noto'g'ri kasrga aylantiramiz va keyin hosil bo'lgan kasrlarni kasrni kasrga ko'paytirish qoidasiga ko'ra ko'paytiramiz:
Qoida. Aralash raqamlarni ko'paytirish uchun avval ularni noto'g'ri kasrlarga aylantirishingiz kerak, keyin esa kasrni kasrga ko'paytirish qoidasiga ko'ra ko'paytirishingiz kerak.
Eslatma. Agar omillardan biri butun son bo'lsa, ko'paytirishni taqsimlash qonuni asosida quyidagicha bajarish mumkin:
6. Qiziqish tushunchasi. Muammolarni hal qilishda va turli xil amaliy hisob-kitoblarni bajarishda biz barcha turdagi kasrlardan foydalanamiz. Ammo shuni yodda tutish kerakki, ko'p miqdorlar ular uchun hech qanday emas, balki tabiiy bo'linmalarni tan oladi. Misol uchun, siz rublning yuzdan bir qismini (1/100) olishingiz mumkin, u bir tiyin bo'ladi, ikki yuzinchi 2 tiyin, uch yuzdan biri 3 tiyin. Siz rublning 1/10 qismini olishingiz mumkin, u "10 kopek, yoki bir tiyin bo'ladi. Siz rublning chorak qismini, ya'ni 25 tiyin, yarim rubl, ya'ni 50 kopek (ellik kopek) olishingiz mumkin. Lekin ular amalda yo'q. Masalan, 2/7 rublni olmang, chunki rubl ettinchi qismga bo'linmaydi.
Og'irlikning o'lchov birligi, ya'ni kilogramm, birinchi navbatda, o'nli bo'linmalarga imkon beradi, masalan, 1/10 kg yoki 100 g. Va kilogrammning 1/6, 1/11, 1/ kabi kasrlari. 13 kam uchraydi.
Umuman olganda, bizning (metrik) o'lchovlarimiz o'nlik va o'nlik bo'linmalarga ruxsat beradi.
Ammo shuni ta'kidlash kerakki, kattaliklarni bo'linishning bir xil (bir xil) usulini qo'llash juda ko'p turli xil holatlarda juda foydali va qulaydir. Ko'p yillik tajriba shuni ko'rsatdiki, bunday asosli bo'linish "yuzlik" bo'limidir. Keling, inson amaliyotining eng xilma-xil sohalari bilan bog'liq bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.
1. Kitoblar narxi avvalgi narxdan 12/100 ga arzonlashdi.
Misol. Kitobning oldingi narxi - 10 rubl. U 1 rublga tushdi. 20 kop.
2. Omonat kassalari yil davomida omonatchilarga omonatga qo'yilgan summaning 2/100 qismini to'laydi.
Misol. Kassaga 500 rubl qo'yiladi, bu summadan yil uchun daromad 10 rublni tashkil qiladi.
3. Bitta maktab bitiruvchilari umumiy o‘quvchilar sonining 5/100 qismini tashkil etdi.
MISOL Maktabda bor-yo‘g‘i 1200 nafar o‘quvchi tahsil olgan, ulardan 60 nafari maktabni tamomlagan.
Sonning yuzdan bir qismi foiz deb ataladi..
"Foiz" so'zi ushbudan olingan lotin uning ildizi esa “tsent” yuz degan ma’noni bildiradi. Bu so'z predlog (pro centum) bilan birgalikda "yuz uchun" degan ma'noni anglatadi. Ushbu iboraning ma'nosi dastlab ichida ekanligidan kelib chiqadi qadimgi Rim foiz qarzdorning qarz beruvchiga "har bir yuz uchun" to'lagan puli edi. "Sent" so'zi shunday tanish so'zlarda eshitiladi: sentner (yuz kilogramm), santimetr (santimetr deyishadi).
Misol uchun, zavod o'tgan oyda ishlab chiqarilgan barcha mahsulotlarning 1/100 qismini ishlab chiqardi, deyish o'rniga, biz shuni aytamiz: zavod o'tgan oy davomida rad etilganlarning bir foizini ishlab chiqargan. Zavod belgilangan rejadan 4/100 ko'p mahsulot ishlab chiqardi, deyish o'rniga: zavod rejani 4 foizga ortig'i bilan bajardi, deymiz.
Yuqoridagi misollarni boshqacha ifodalash mumkin:
1. Kitoblar narxi avvalgi narxdan 12 foizga arzonlashdi.
2. Omonat kassalari omonatchilarga omonatga qo'yilgan summaning yiliga 2 foizi miqdorida to'laydi.
3. Bitta maktabni bitiruvchilar soni maktabdagi barcha o‘quvchilar sonining 5 foizini tashkil etdi.
Harfni qisqartirish uchun "foiz" so'zi o'rniga% belgisini yozish odatiy holdir.
Ammo shuni esda tutish kerakki, % belgisi odatda hisob-kitoblarda yozilmaydi, uni muammo bayonida va yakuniy natijada yozish mumkin. Hisob-kitoblarni amalga oshirishda ushbu belgi bilan butun son o'rniga 100 ga teng bo'lgan kasrni yozishingiz kerak.
Belgilangan belgi bilan butun sonni maxraji 100 bo'lgan kasr bilan almashtira olishingiz kerak:
Aksincha, siz maxraji 100 bo'lgan kasr o'rniga ko'rsatilgan belgi bilan butun son yozishga odatlanishingiz kerak:
7. Berilgan sonning foizlarini topish.
Vazifa 1. Maktab 200 kubometr oldi. m o'tin, qayin o'tinlari 30% ni tashkil qiladi. Qancha qayin daraxti bor edi?
Bu muammoning ma'nosi shundaki, qayin o'tinlari maktabga etkazib berilgan o'tinning faqat bir qismi edi va bu qism 30/100 ning bir qismi sifatida ifodalanadi. Demak, oldimizda sonning kasr qismini topish vazifasi turibdi. Uni hal qilish uchun biz 200 ni 30/100 ga ko'paytirishimiz kerak (sonning ulushini topish uchun topshiriqlar sonni kasrga ko'paytirish orqali hal qilinadi.).
Demak, 200 ning 30% 60 ga teng.
Bu muammoda uchragan 30/100 kasrni 10 ga kamaytirish mumkin. Bu qisqartirishni boshidanoq amalga oshirish mumkin edi; muammoning yechimi o'zgarmas edi.
Vazifa 2. Lagerda 300 nafar bola bor edi turli yoshdagilar. 11 yoshli bolalar 21%, 12 yoshli bolalar 61% va nihoyat 13 yoshli bolalar 18% edi. Lagerda har bir yoshdagi nechta bola bor edi?
Ushbu muammoda siz uchta hisob-kitobni bajarishingiz kerak, ya'ni ketma-ket 11 yoshli, keyin 12 yoshli va nihoyat 13 yoshli bolalar sonini toping.
Shunday qilib, bu erda uch marta sonning kasr qismini topish kerak bo'ladi. Keling buni bajaramiz:
1) 11 yoshda nechta bola bor edi?
2) 12 yoshda nechta bola bor edi?
3) 13 yoshda nechta bola bor edi?
Muammoni hal qilgandan so'ng, topilgan raqamlarni qo'shish foydalidir; ularning yig'indisi 300 bo'lishi kerak:
63 + 183 + 54 = 300
Muammoning shartida berilgan foizlar yig'indisi 100 ga teng ekanligiga ham e'tibor berishingiz kerak:
21% + 61% + 18% = 100%
Bu shuni ko'rsatadiki, lagerdagi bolalarning umumiy soni 100% deb qabul qilingan.
3 a da cha 3. Ishchi oyiga 1200 rubl oldi. Shulardan 65 foizini oziq-ovqatga, 6 foizini kvartira va isitishga, 4 foizini gaz, elektr va radioga, 10 foizini madaniy ehtiyojlarga, 15 foizini tejab qo‘ygan. Topshiriqda ko'rsatilgan ehtiyojlar uchun qancha pul sarflandi?
Bu masalani yechish uchun 1200 sonining kasrini 5 marta topish kerak, buni bajaramiz.
1) Oziq-ovqatga qancha pul sarflanadi? Vazifada aytilishicha, bu xarajat barcha daromadlarning 65%, ya'ni 1200 sonining 65/100 qismini tashkil qiladi. Keling, hisob-kitob qilaylik:
2) Isitish bilan jihozlangan kvartira uchun qancha pul to'langan? Avvalgi kabi bahslashsak, biz quyidagi hisob-kitoblarga erishamiz:
3) Gaz, elektr va radio uchun qancha pul to'lagansiz?
4) Madaniy ehtiyojlarga qancha pul sarflanadi?
5) Ishchi qancha pul tejagan?
Tasdiqlash uchun ushbu 5 savolda joylashgan raqamlarni qo'shish foydalidir. Miqdori 1200 rubl bo'lishi kerak. Barcha daromadlar 100% sifatida qabul qilinadi, bu muammo bayonotida ko'rsatilgan foizlarni qo'shib tekshirish oson.
Biz uchta muammoni hal qildik. Bu vazifalar har xil narsalar (maktab uchun o'tin yetkazib berish, turli yoshdagi bolalar soni, ishchining xarajatlari) haqida bo'lishiga qaramay, ular bir xil tarzda hal qilindi. Bu sodir bo'ldi, chunki barcha vazifalarda berilgan raqamlarning bir necha foizini topish kerak edi.
§ 90. Kasrlarning bo'linishi.
Kasrlarning bo'linishini o'rganishda biz quyidagi savollarni ko'rib chiqamiz:
1. Butun sonni butun songa bo‘lish.
2. Kasrni butun songa bo‘lish
3. Butun sonni kasrga bo‘lish.
4. Kasrni kasrga bo'lish.
5. Aralash sonlarning bo‘linishi.
6. Kasr berilgan sonni topish.
7. Raqamni foiz bo‘yicha topish.
Keling, ularni ketma-ket ko'rib chiqaylik.
1. Butun sonni butun songa bo‘lish.
Butun sonlar bo'limida ta'kidlanganidek, bo'linish ikki omil (dividend) va bu omillardan birining (bo'luvchi) ko'paytmasi berilgan holda boshqa omil topilishidan iborat bo'lgan harakatdir.
Butun sonning butun songa bo'linishini biz butun sonlar bo'limida ko'rib chiqdik. Biz u erda ikkita bo'linish holatini uchratdik: qoldiqsiz bo'linish yoki "butunlay" (150: 10 = 15) va qoldiq bilan bo'linish (100: 9 = 11 va qolganda 1). Shuning uchun aytishimiz mumkinki, butun sonlar sohasida aniq bo'linish har doim ham mumkin emas, chunki dividend har doim ham bo'luvchi va butun sonning mahsuloti emas. Kasrga ko'paytirish kiritilgandan so'ng, biz butun sonlarni bo'lishning har qanday holatini iloji boricha ko'rib chiqishimiz mumkin (faqat nolga bo'linish chiqarib tashlanadi).
Misol uchun, 7 ni 12 ga bo'lish ko'paytmasi 12 ga 7 bo'ladigan sonni topishni anglatadi. Bu raqam 7/12 kasrdir, chunki 7/12 12 = 7. Yana bir misol: 14: 25 = 14/25, chunki 14/25 25 = 14.
Shunday qilib, butun sonni butun songa bo'lish uchun siz kasrni yasashingiz kerak, uning numeratori dividendga teng, maxraji esa bo'luvchidir.
2. Kasrni butun songa bo‘lish.
6/7 kasrni 3 ga bo'ling. Yuqorida keltirilgan bo'linish ta'rifiga ko'ra, biz bu erda mahsulot (6/7) va omillardan biri (3); shunday ikkinchi koeffitsientni topish kerakki, 3 ga ko'paytirilganda berilgan mahsulot 6/7 ni beradi. Shubhasiz, bu mahsulotdan uch barobar kichikroq bo'lishi kerak. Bu shuni anglatadiki, oldimizga qo'yilgan vazifa 6/7 kasrni 3 barobarga qisqartirish edi.
Biz allaqachon bilamizki, kasrning kamaytirilishi uning numeratorini kamaytirish yoki maxrajini oshirish orqali amalga oshirilishi mumkin. Shuning uchun siz yozishingiz mumkin:
Bunday holda, raqam 6 3 ga bo'linadi, shuning uchun raqamni 3 marta kamaytirish kerak.
Yana bir misol keltiraylik: 5 / 8 2 ga bo'linadi. Bu erda 5 soni 2 ga bo'linmaydi, ya'ni maxrajni ushbu raqamga ko'paytirish kerak bo'ladi:
Bunga asoslanib, biz qoidani aytishimiz mumkin: Kasrni butun songa bo'lish uchun kasrning payini shu butun songa bo'lish kerak.(Agar mumkin bo `lsa), bir xil maxrajni qoldirib, yoki kasrning maxrajini shu songa ko'paytirib, bir xil sonni qoldirib.
3. Butun sonni kasrga bo‘lish.
5 ni 1/2 ga bo'lish talab qilinsin, ya'ni 1/2 ga ko'paytirgandan so'ng mahsulot 5 ni beradigan sonni toping. Shubhasiz, bu raqam 5 dan katta bo'lishi kerak, chunki 1/2 to'g'ri kasr, sonni to'g'ri kasrga ko'paytirishda esa ko'paytma ko'paytmadan kichik bo'lishi kerak. Aniqroq bo'lishi uchun harakatlarimizni quyidagicha yozamiz: 5: 1 / 2 = X , shuning uchun x 1/2 \u003d 5.
Biz bunday raqamni topishimiz kerak X , bu 1/2 ga ko'paytirilganda 5 ni beradi. Ma'lum bir sonni 1/2 ga ko'paytirish bu sonning 1/2 qismini topishni anglatadi, demak, noma'lum sonning 1/2 qismini topadi. X 5 va butun son X ikki barobar ko'p, ya'ni 5 2 \u003d 10.
Shunday qilib, 5: 1/2 = 5 2 = 10
Keling, tekshiramiz: 
Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik. 6 ni 2/3 ga bo'lish talab qilinsin. Keling, avval chizma yordamida kerakli natijani topishga harakat qilaylik (19-rasm).
19-rasm
Ayrim birliklarning 6 tasiga teng AB segmentini chizing va har bir birlikni 3 ta teng qismga ajrating. Har bir birlikda AB butun segmentida uchdan uch (3/3) 6 barobar ko'p, ya'ni. e. 18/3. Biz kichik qavslar yordamida 2 ta olingan 18 ta segmentni bog'laymiz; Faqat 9 ta segment bo'ladi. Bu shuni anglatadiki, 2/3 kasr b birlikda 9 marta joylashgan yoki boshqacha aytganda, 2/3 kasr 6 ta butun birlikdan 9 marta kam. Demak,
Ushbu natijani faqat hisob-kitoblar yordamida chizmasiz qanday olish mumkin? Biz quyidagicha bahslashamiz: 6 ni 2/3 ga bo'lish kerak, ya'ni 6 ga 2/3 necha marta bor degan savolga javob berish kerak. Keling, avval bilib olaylik: 1/3 necha marta 6 ga kiritilgan? Butun birlikda - uchdan 3, 6 birlikda - 6 barobar ko'p, ya'ni 18 uchdan; bu raqamni topish uchun biz 6 ni 3 ga ko'paytirishimiz kerak. Demak, 1/3 b birliklarda 18 marta, 2/3 esa b birliklarida 18 marta emas, balki ikki barobar ko'p, ya'ni 18: 2 = 9 Shunday qilib, 6 ni 2/3 ga bo'lishda biz quyidagilarni bajardik:
Bu yerdan biz butun sonni kasrga bo'lish qoidasini olamiz. Butun sonni kasrga bo'lish uchun siz ushbu butun sonni berilgan kasrning maxrajiga ko'paytirishingiz kerak va bu ko'paytmani hisoblagich qilib, uni berilgan kasrning soniga bo'lishingiz kerak.
Biz qoidani harflar yordamida yozamiz:
Ushbu qoidani aniq tushunish uchun kasrni qism sifatida ko'rib chiqish mumkinligini esga olish kerak. Shuning uchun topilgan qoidani § 38da ko'rsatilgan sonni qismga bo'lish qoidasi bilan solishtirish foydalidir. E'tibor bering, xuddi shu formula u erda olingan.
Bo'lishda qisqartmalar mumkin, masalan:
4. Kasrni kasrga bo'lish.
3/4 ni 3/8 ga bo'lish talab qilinsin. Bo'lish natijasida olinadigan son nima bilan belgilanadi? Bu 3/8 kasr 3/4 kasrda necha marta borligi haqidagi savolga javob beradi. Bu masalani tushunish uchun rasm chizamiz (20-rasm).
AB segmentini oling, uni birlik sifatida oling, uni 4 ta teng qismga bo'ling va 3 ta shunday qismni belgilang. AC segmenti AB segmentining 3/4 qismiga teng bo'ladi. Keling, to'rtta boshlang'ich segmentning har birini yarmiga ajratamiz, keyin AB segmenti 8 ta teng qismga bo'linadi va har bir bunday qism AB segmentining 1/8 qismiga teng bo'ladi. Biz 3 ta shunday segmentni yoylar bilan bog'laymiz, keyin AD va DC segmentlarining har biri AB segmentining 3/8 qismiga teng bo'ladi. Chizma shuni ko'rsatadiki, 3/8 ga teng segment 3/4 ga teng bo'lgan segmentda aniq 2 marta joylashgan; Shunday qilib, bo'linish natijasini quyidagicha yozish mumkin:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik. 15/16 ni 3/32 ga bo'lish talab qilinsin:
Biz shunday fikr yuritishimiz mumkin: biz 3/32 ga ko'paytirilgandan so'ng 15/16 ga teng mahsulot beradigan raqamni topishimiz kerak. Keling, hisob-kitoblarni quyidagicha yozamiz:
15 / 16: 3 / 32 = X
3 / 32 X = 15 / 16
3/32 noma'lum raqam X 15/16 ni tashkil qiling
1/32 noma'lum raqam X ,
32/32 raqamlari X grim surmoq, pardoz qilmoq; yasamoq, tuzmoq .
Demak,
Shunday qilib, kasrni kasrga bo'lish uchun birinchi kasrning sonini ikkinchi kasrning maxrajiga ko'paytirish kerak va birinchi kasrning maxrajini ikkinchisining soniga ko'paytirish va birinchi ko'paytmani sanoq va kasrga aylantirish kerak. ikkinchi maxraj.
Keling, qoidani harflar yordamida yozamiz:
Bo'lishda qisqartmalar mumkin, masalan:
5. Aralash sonlarning bo‘linishi.
Aralash sonlarni bo'lishda avval ularni noto'g'ri kasrlarga aylantirish kerak, so'ngra hosil bo'lgan kasrlarni bo'lish qoidalariga muvofiq bo'lish kerak. kasr sonlar. Bir misolni ko'rib chiqing:
Aralash sonlarni noto'g'ri kasrlarga aylantiring:
Endi ajratamiz:
Shunday qilib, aralash raqamlarni bo'lish uchun siz ularni noto'g'ri kasrlarga aylantirishingiz va keyin kasrlarni bo'lish qoidasiga muvofiq bo'lishingiz kerak.
6. Kasr berilgan sonni topish.
Kasrlar bo'yicha turli topshiriqlar orasida ba'zan noma'lum sonning qandaydir kasrining qiymati berilgan va bu raqamni topish talab qilinadigan vazifalar mavjud. Bu turdagi masalalar berilgan sonning kasrini topish masalasiga teskari bo'ladi; u yerda son berilgan va bu sonning qandaydir qismini topish talab qilingan, bu yerda sonning bir qismi berilgan va shu sonning o'zini topish talab qilinadi. Ushbu turdagi masalalar yechimiga murojaat qilsak, bu fikr yanada oydinlashadi.
Vazifa 1. Birinchi kuni oynachilar 50 ta derazani sirladilar, bu qurilgan uyning barcha derazalarining 1/3 qismini tashkil qiladi. Bu uyda nechta deraza bor?
Yechim. Muammo shundaki, 50 ta oynali oynalar uyning barcha derazalarining 1/3 qismini tashkil qiladi, ya'ni jami 3 barobar ko'p derazalar mavjud, ya'ni.
Uyda 150 ta deraza bor edi.
Vazifa 2. Do‘konda 1500 kg un sotilgan, bu esa do‘kondagi umumiy un zaxirasining 3/8 qismini tashkil etadi. Do‘konning dastlabki un ta’minoti qancha edi?
Yechim. Muammoning holatidan ko'rinib turibdiki, sotilgan 1500 kg un umumiy zaxiraning 3/8 qismini tashkil qiladi; bu shuni anglatadiki, ushbu aktsiyaning 1/8 qismi 3 baravar kam bo'ladi, ya'ni uni hisoblash uchun siz 1500 ni 3 marta kamaytirishingiz kerak:
1500: 3 = 500 (bu aksiyaning 1/8 qismi).
Shubhasiz, butun zaxira 8 barobar ko'p bo'ladi. Demak,
500 8 \u003d 4000 (kg).
Do'konda dastlabki un etkazib berish 4000 kg edi.
Ushbu muammoni ko'rib chiqishdan quyidagi qoidani chiqarish mumkin.
Raqamni uning ulushining berilgan qiymati bo'yicha topish uchun bu qiymatni kasrning numeratoriga bo'lish va natijani kasrning maxrajiga ko'paytirish kifoya.
Biz uning kasri berilgan sonni topishga oid ikkita masalani yechdik. Bunday masalalar, ayniqsa oxirgisidan yaxshi ko'rinib turganidek, ikkita harakat bilan hal qilinadi: bo'lish (bir qism topilganda) va ko'paytirish (butun son topilganda).
Biroq, kasrlarni bo'linishini o'rganganimizdan so'ng, yuqoridagi masalalarni bir amalda, ya'ni: kasrga bo'lishda hal qilish mumkin.
Masalan, oxirgi vazifani bitta harakatda hal qilish mumkin:
Kelajakda biz sonni uning kasriga ko'ra topish masalasini bitta harakatda - bo'linishda hal qilamiz.
7. Raqamni foiz bo‘yicha topish.
Ushbu vazifalarda siz ushbu raqamning bir necha foizini bilib, raqamni topishingiz kerak bo'ladi.
Vazifa 1. Bu yil boshida men omonat kassasidan 60 rubl oldim. bir yil oldin jamg'armaga qo'ygan summamdan daromad. Omonat kassasiga qancha pul qo'ydim? (Kassalar omonatchilarga yiliga 2% daromad beradi.)
Muammoning ma'nosi shundaki, ma'lum miqdordagi pulni men tomonidan omonat kassasiga qo'yib, bir yil davomida yotdim. Bir yildan keyin men undan 60 rubl oldim. daromad, bu men qo'ygan pulning 2/100 qismini tashkil qiladi. Men qancha pul qo'ydim?
Shuning uchun, bu pulning ikki shaklda (rubl va kasrlarda) ifodalangan qismini bilib, biz hali noma'lum bo'lgan to'liq miqdorni topishimiz kerak. Bu kasr berilgan sonni topishning oddiy muammosi. Quyidagi vazifalar bo'linish orqali hal qilinadi:
Shunday qilib, omonat kassasiga 3000 rubl tushdi.
Vazifa 2. Ikki haftada baliqchilar 512 tonna baliq tayyorlab, oylik rejani 64 foizga bajardi. Ularning rejasi nima edi?
Muammoning holatidan ma'lumki, baliqchilar rejaning bir qismini bajargan. Bu qism 512 tonnaga teng bo‘lib, rejaning 64 foizini tashkil etadi. Reja bo'yicha qancha tonna baliq yig'ish kerak, buni bilmaymiz. Muammoni hal qilish bu raqamni topishdan iborat bo'ladi.
Bunday vazifalarni ajratish yo'li bilan hal qilinadi:
Demak, rejaga ko‘ra, 800 tonna baliq tayyorlash kerak.
Vazifa 3. Poyezd Rigadan Moskvaga yo‘l oldi. U 276-kilometrdan o'tganida, yo'lovchilardan biri o'tayotgan konduktordan qancha yo'l bosib o'tganliklarini so'radi. Bunga dirijyor javob berdi: "Biz butun sayohatning 30 foizini bosib o'tdik". Rigadan Moskvagacha bo'lgan masofa qancha?
Muammoning holatidan ko'rish mumkinki, Rigadan Moskvagacha bo'lgan yo'lning 30 foizi 276 km. Biz ushbu shaharlar orasidagi butun masofani topishimiz kerak, ya'ni bu qism uchun butunni toping:
§ 91. O'zaro raqamlar. Bo'linishni ko'paytirish bilan almashtirish.
2/3 kasrni oling va hisoblagichni maxraj joyiga o'zgartiring, biz 3/2 ni olamiz. Biz kasrni oldik, buning o'zaro.
Berilgan kasrning o'zaro kasrini olish uchun uning hisoblagichini maxraj o'rniga, maxrajini esa hisoblagich o'rniga qo'yish kerak. Shunday qilib, har qanday kasrning o'zaro nisbati bo'lgan kasrni olishimiz mumkin. Masalan:
3/4, teskari 4/3; 5/6 , teskari 6/5
Birinchisining soni ikkinchisining maxraji va birinchisining maxraji ikkinchisining soni bo'lish xususiyatiga ega bo'lgan ikkita kasr deyiladi. o'zaro teskari.
Keling, 1/2 ning o'zaro nisbati qaysi kasr bo'lishini o'ylab ko'raylik. Shubhasiz, u 2/1 yoki atigi 2 bo'ladi. Buning o'zaro munosabatini qidirib, biz butun sonni oldik. Va bu holat alohida emas; aksincha, numeratori 1 (bir) bo'lgan barcha kasrlar uchun o'zaro butun sonlar bo'ladi, masalan:
1/3, teskari 3; 1/5, teskari 5
O'zaro sonlarni topishda biz butun sonlar bilan ham uchrashganimiz sababli, kelajakda biz o'zaro emas, balki o'zaro bog'liqliklar haqida gapiramiz.
Keling, butun sonning teskarisini qanday yozishni aniqlaymiz. Kasrlar uchun bu oddiygina hal qilinadi: maxrajni pay o'rniga qo'yish kerak. Xuddi shu tarzda, siz butun sonning teskarisini olishingiz mumkin, chunki har qanday butun sonning maxraji 1 bo'lishi mumkin. Shuning uchun 7 ning o'zaro nisbati 1/7 bo'ladi, chunki 7 \u003d 7/1; 10 raqami uchun teskari 1/10 ga teng, chunki 10 = 10/1
Ushbu fikrni boshqa yo'l bilan ifodalash mumkin: berilgan sonning o'zaro nisbati bittani berilgan songa bo'lish yo'li bilan olinadi. Bu gap faqat butun sonlar uchun emas, balki kasrlar uchun ham to'g'ri. Haqiqatan ham, agar siz 5/9 kasrning o'zaro nisbati bo'lgan raqamni yozmoqchi bo'lsangiz, unda biz 1 ni olib, uni 5/9 ga bo'lishimiz mumkin, ya'ni.
Endi bittasini ta'kidlaymiz mulk Biz uchun foydali bo'lgan o'zaro o'zaro raqamlar: o'zaro o'zaro sonlarning ko'paytmasi birga teng. Haqiqatdan ham:
Ushbu xususiyatdan foydalanib, biz o'zaro munosabatlarni quyidagi tarzda topishimiz mumkin. 8 ning o'zaro nisbatini topamiz.
Keling, uni harf bilan belgilaymiz X , keyin 8 X = 1, shuning uchun X = 1/8. Keling, boshqa raqamni topamiz, 7/12 ning teskarisi, uni harf bilan belgilaymiz X , keyin 7/12 X = 1, shuning uchun X = 1:7 / 12 yoki X = 12 / 7 .
Biz kasrlar bo'linishi haqidagi ma'lumotlarni biroz to'ldirish uchun bu erda o'zaro sonlar tushunchasini kiritdik.
6 raqamini 3/5 ga bo'lsak, biz quyidagilarni bajaramiz:
To'lash Maxsus e'tibor ifodaga va uni berilgan bilan solishtiring: .
Agar iborani oldingisi bilan bog'lanmagan holda alohida oladigan bo'lsak, u qaerdan kelib chiqqanligi haqidagi savolni hal qilib bo'lmaydi: 6 ni 3/5 ga bo'lish yoki 6 ni 5/3 ga ko'paytirish. Ikkala holatda ham natija bir xil bo'ladi. Shunday qilib, aytishimiz mumkin bir sonni boshqasiga bo'lish dividendni bo'luvchining o'zaro soniga ko'paytirish orqali almashtirilishi mumkin.
Quyida keltirilgan misollar bu xulosani to‘liq tasdiqlaydi.
Kasrlarni ko'paytirish va bo'lish.
Diqqat!
Qo'shimchalar mavjud
555-sonli maxsus bo'limdagi materiallar.
Qattiq "juda emas..." bo'lganlar uchun.
Va "juda ko'p ..." bo'lganlar uchun)
Bu operatsiya qo'shish-ayirishdan ancha yoqimli! Chunki bu osonroq. Sizga eslatib o'taman: kasrni kasrga ko'paytirish uchun siz sonlarni (bu natijaning numeratori bo'ladi) va denominatorlarni (bu maxraj bo'ladi) ko'paytirishingiz kerak. Ya'ni:
Masalan:
Hammasi nihoyatda oddiy. Va iltimos, umumiy maxrajni qidirmang! Bu yerda kerak emas...
Kasrni kasrga bo'lish uchun siz aylantirishingiz kerak ikkinchi(bu muhim!) kasr va ularni ko'paytiring, ya'ni:
Masalan:
Agar butun sonlar va kasrlar bilan ko'paytirish yoki bo'lish ushlangan bo'lsa, bu yaxshi. Qo'shimchada bo'lgani kabi, biz maxrajdagi birlik bilan butun sondan kasr hosil qilamiz - va boring! Masalan:
O'rta maktabda siz ko'pincha uch qavatli (yoki hatto to'rt qavatli!) Fraksiyonlar bilan shug'ullanishingiz kerak. Masalan:
Ushbu fraktsiyani qanday qilib munosib shaklga keltirish mumkin? Ha, juda oson! Ikki nuqtaga bo'linishdan foydalaning:
Ammo bo'linish tartibi haqida unutmang! Ko'paytirishdan farqli o'laroq, bu erda bu juda muhim! Albatta, 4:2 yoki 2:4 ni aralashtirib yubormaymiz. Ammo uch qavatli kasrda xato qilish oson. E'tibor bering, masalan:
Birinchi holda (chapdagi ifoda):
Ikkinchisida (o'ngdagi ifoda):
Farqni his qilyapsizmi? 4 va 1/9!
Bo'linish tartibi qanday? Yoki qavslar yoki (bu erda bo'lgani kabi) gorizontal chiziqlar uzunligi. Ko'zni rivojlantiring. Va agar qavslar yoki chiziqlar bo'lmasa, masalan:
keyin bo'lish-ko'paytirish tartibda, chapdan o'ngga!
Va yana bir juda oddiy va muhim hiyla. Darajalar bilan harakatlarda bu siz uchun foydali bo'ladi! Keling, birlikni istalgan kasrga ajratamiz, masalan, 13/15:
O'q o'girildi! Va bu har doim sodir bo'ladi. 1 ni istalgan kasrga bo'lganda, natija bir xil kasr bo'ladi, faqat teskari.
Bu kasrlar bilan barcha harakatlar. Hamma narsa juda oddiy, lekin juda ko'p xatolar beradi. Eslatma amaliy maslahat, va ular (xatolar) kamroq bo'ladi!
Amaliy maslahatlar:
1. Kasrli iboralar bilan ishlashda eng muhimi aniqlik va ehtiyotkorlikdir! Bu oddiy so'zlar emas, yaxshi tilaklar emas! Bu jiddiy ehtiyoj! Imtihondagi barcha hisob-kitoblarni to'liq vazifa sifatida, diqqatni jamlash va aniqlik bilan bajaring. Boshingizda hisob-kitob qilishda chalkashlikdan ko'ra, qoralamada ikkita qo'shimcha qator yozish yaxshiroqdir.
2. Bilan misollarda turli xil turlari kasrlar - oddiy kasrlarga o'ting.
3. Biz barcha fraktsiyalarni to'xtashgacha kamaytiramiz.
4. Ko‘p qavatli kasrli ifodalar ikki nuqta orqali bo'linish yordamida oddiylarga kamaytiramiz (biz bo'linish tartibiga amal qilamiz!).
5. Biz birlikni ongimizda kasrga ajratamiz, shunchaki kasrni aylantiramiz.
Bu erda siz bajarishingiz kerak bo'lgan vazifalar. Javoblar barcha topshiriqlardan keyin beriladi. Ushbu mavzu bo'yicha materiallar va amaliy maslahatlardan foydalaning. Qancha misolni to'g'ri hal qilishingiz mumkinligini hisoblang. Birinchi marta! Kalkulyatorsiz! Va to'g'ri xulosa chiqaring ...
To'g'ri javobni eslab qoling ikkinchi (ayniqsa uchinchi) vaqtdan olingan - hisoblanmaydi! Qattiq hayot shunday.
Shunday qilib, imtihon rejimida hal qilish ! Aytgancha, bu imtihonga tayyorgarlik. Biz misolni yechamiz, tekshiramiz, quyidagilarni yechamiz. Biz hamma narsani hal qildik - biz birinchidan oxirgisigacha yana tekshirdik. Lekin faqat Keyin javoblarga qarang.
Hisoblash:
Qaror qildingizmi?
Sizga mos keladigan javoblarni qidiryapsiz. Men ularni, ta’bir joiz bo‘lsa, vasvasadan uzoqda, chalkashlikda yozdim... Mana, javoblar nuqta-vergul bilan yozib qo‘yilgan.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
Va endi biz xulosa chiqaramiz. Agar hamma narsa muvaffaqiyatli bo'lsa - siz uchun baxt! Kasrlar bilan elementar hisoblar sizning muammoingiz emas! Siz jiddiyroq ishlarni qilishingiz mumkin. Agar yo "q bo" lsa...
Shunday qilib, sizda ikkita muammodan biri bor. Yoki bir vaqtning o'zida ikkalasi ham.) Bilim etishmasligi va (yoki) e'tiborsizlik. Lekin bu echiladigan Muammolar.
Agar sizga bu sayt yoqsa...
Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)
Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan sinov. O'rganish - qiziqish bilan!)
funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.
Oxirgi marta biz kasrlarni qo'shish va ayirish usullarini o'rgandik ("Kasrlarni qo'shish va ayirish" darsiga qarang). Bu harakatlardagi eng qiyin payt kasrlarni umumiy maxrajga keltirish edi.
Endi ko'paytirish va bo'lish bilan shug'ullanish vaqti keldi. Yaxshi xabar shundaki, bu operatsiyalar qo'shish va ayirishdan ham osonroqdir. Boshlash uchun, ajratilgan butun qismsiz ikkita musbat kasr mavjud bo'lgan eng oddiy holatni ko'rib chiqing.
Ikki kasrni ko'paytirish uchun ularning soni va maxrajlarini alohida ko'paytirish kerak. Birinchi raqam yangi kasrning soni, ikkinchisi esa maxraj bo'ladi.
Ikki kasrni bo'lish uchun birinchi kasrni "teskari" sekundiga ko'paytirish kerak.
Belgilash:
Ta'rifdan kelib chiqadiki, kasrlarning bo'linishi ko'paytirishga kamayadi. Kasrni aylantirish uchun hisoblagich va maxrajni almashtirish kifoya. Shuning uchun biz butun darsni asosan ko'paytirishni ko'rib chiqamiz.
Ko'paytirish natijasida kamaytirilgan kasr paydo bo'lishi mumkin (va ko'pincha paydo bo'ladi) - albatta, uni kamaytirish kerak. Agar barcha qisqartirishdan so'ng, kasr noto'g'ri bo'lib chiqsa, unda butun qismni ajratib ko'rsatish kerak. Ammo ko'paytirish bilan aniq sodir bo'lmaydigan narsa umumiy maxrajga qisqartirishdir: ko'ndalang usullar yo'q, maksimal omillar va eng kichik umumiy ko'paytmalar.
Ta'rifga ko'ra bizda:
Butun qismli kasrlarni va manfiy kasrlarni ko'paytirish
Agar kasrlarda butun son bo'lsa, ular noto'g'ri bo'lganlarga aylantirilishi kerak - va shundan keyingina yuqorida ko'rsatilgan sxemalarga muvofiq ko'paytiriladi.
Agar kasrning numeratorida, maxrajida yoki uning oldida minus bo'lsa, u quyidagi qoidalarga muvofiq ko'paytirish chegarasidan chiqarilishi yoki butunlay olib tashlanishi mumkin:
- Plyus marta minus minus beradi;
- Ikki salbiy tasdiqlovchini hosil qiladi.
Hozirgacha bu qoidalarga faqat manfiy kasrlarni qo'shish va ayirish paytida, butun qismdan qutulish talab qilinganda duch kelgan. Mahsulot uchun ular bir vaqtning o'zida bir nechta minuslarni "yoqish" uchun umumlashtirilishi mumkin:
- Biz minuslarni butunlay yo'qolguncha juft-juft qilib kesib tashlaymiz. Ekstremal holatda, bitta minus omon qolishi mumkin - mos keladigan narsa topa olmagan;
- Agar minuslar qolmagan bo'lsa, operatsiya yakunlandi - siz ko'paytirishni boshlashingiz mumkin. Agar oxirgi minus chizilmagan bo'lsa, chunki u juftlik topilmasa, biz uni ko'paytirish chegarasidan chiqaramiz. Siz salbiy kasr olasiz.
Vazifa. Ifodaning qiymatini toping:
Biz barcha kasrlarni noto'g'ri bo'lganlarga aylantiramiz, keyin esa ko'paytirish chegarasidan tashqaridagi minuslarni chiqaramiz. Qolganlari odatiy qoidalarga muvofiq ko'paytiriladi. Biz olamiz:
Yana bir bor eslatib o'tamanki, ta'kidlangan kasr oldida turgan minus butun qismi, faqat butun kasrga emas, balki butun kasrga ishora qiladi (bu oxirgi ikki misol uchun amal qiladi).
Shuningdek, e'tibor bering manfiy raqamlar: Ko'paytirilganda ular qavs ichiga olinadi. Bu ko'paytirish belgilaridan minuslarni ajratish va butun yozuvni aniqroq qilish uchun amalga oshiriladi.
Tezda fraksiyalarni kamaytirish
Ko'paytirish juda mashaqqatli operatsiya. Bu erda raqamlar juda katta va vazifani soddalashtirish uchun siz kasrni yanada kamaytirishga harakat qilishingiz mumkin ko'paytirishdan oldin. Darhaqiqat, mohiyatan kasrlarning sonlari va maxrajlari oddiy omillardir va shuning uchun ularni kasrning asosiy xususiyatidan foydalanib kamaytirish mumkin. Misollarni ko'rib chiqing:
Vazifa. Ifodaning qiymatini toping:
Ta'rifga ko'ra bizda:
Barcha misollarda qisqartirilgan raqamlar va ulardan qolganlari qizil rang bilan belgilangan.
Iltimos, diqqat qiling: birinchi holda, ko'paytirgichlar to'liq qisqartirildi. Birliklar o'z o'rnida qoldi, umuman olganda, ularni tashlab yuborish mumkin. Ikkinchi misolda, to'liq qisqartirishga erishish mumkin emas edi, ammo hisob-kitoblarning umumiy miqdori hali ham kamaydi.
Biroq, hech qanday holatda kasrlarni qo'shish va ayirishda ushbu texnikadan foydalanmang! Ha, ba'zida siz kamaytirmoqchi bo'lgan shunga o'xshash raqamlar mavjud. Mana, qarang:
Siz buni qilolmaysiz!
Xato, kasr qo'shganda, yig'indi raqamlarning ko'paytmasida emas, balki kasrning numeratorida paydo bo'lishi sababli yuzaga keladi. Shuning uchun kasrning asosiy xususiyatini qo'llash mumkin emas, chunki bu xususiyat sonlarni ko'paytirish bilan bog'liq.
Kasrlarni kamaytirish uchun boshqa sabab yo'q, shuning uchun oldingi muammoning to'g'ri echimi quyidagicha ko'rinadi:
To'g'ri yechim:
Ko'rib turganingizdek, to'g'ri javob unchalik chiroyli emas edi. Umuman olganda, ehtiyot bo'ling.
) va maxraj bo'yicha maxraj (ko'paytmaning maxrajini olamiz).
Kasrlarni ko'paytirish formulasi:
Masalan:
Numeratorlar va maxrajlarni ko'paytirishni davom ettirishdan oldin, kasrni kamaytirish imkoniyatini tekshirish kerak. Agar siz kasrni kamaytirishga muvaffaq bo'lsangiz, hisob-kitoblarni davom ettirish sizga osonroq bo'ladi.
Oddiy kasrni kasrga bo'lish.
Natural son ishtirokidagi kasrlarni bo'lish.
Bu ko'rinadigan darajada qo'rqinchli emas. Qo'shishda bo'lgani kabi, biz butun sonni maxrajdagi birlik bilan kasrga aylantiramiz. Masalan:
Aralash kasrlarni ko`paytirish.
Kasrlarni ko'paytirish qoidalari (aralash):
- aralash kasrlarni noto'g'riga aylantirish;
- kasrlarning son va maxrajlarini ko'paytirish;
- biz kasrni kamaytiramiz;
- agar biz noto'g'ri kasrni olsak, unda noto'g'ri kasrni aralash kasrga aylantiramiz.
Eslatma! Ko'paytirish uchun aralash fraktsiya boshqa aralash kasrga, avval ularni noto'g'ri kasrlar shakliga keltirishingiz kerak, keyin esa oddiy kasrlar uchun ko'paytirish qoidasiga ko'ra ko'paytirishingiz kerak.
Kasrni natural songa ko'paytirishning ikkinchi usuli.
Oddiy kasrni songa ko'paytirishning ikkinchi usulini qo'llash qulayroqdir.
Eslatma! Kasrni natural songa ko'paytirish uchun kasrning maxrajini shu songa bo'lish va hisoblagichni o'zgarishsiz qoldirish kerak.
Yuqoridagi misoldan ko'rinib turibdiki, kasrning maxraji natural songa qoldiqsiz bo'linganda bu variantdan foydalanish qulayroqdir.
Ko'p darajali kasrlar.
O'rta maktabda uch qavatli (yoki undan ko'p) kasrlar ko'pincha topiladi. Misol:
Bunday kasrni odatiy shaklga keltirish uchun 2 nuqtaga bo'lish qo'llaniladi:
Eslatma! Kasrlarni bo'lishda bo'linish tartibi juda muhimdir. Ehtiyot bo'ling, bu erda chalkashib ketish oson.
Eslatma, Masalan:
Birni istalgan kasrga bo'lganda, natija bir xil kasr bo'ladi, faqat teskari:
Kasrlarni ko'paytirish va bo'lish bo'yicha amaliy maslahatlar:
1. Kasrli iboralar bilan ishlashda eng muhimi aniqlik va diqqatlilikdir. Barcha hisob-kitoblarni diqqat bilan va aniq, diqqat bilan va aniq bajaring. Boshingizdagi hisob-kitoblarda chalkashib ketgandan ko'ra, qoralamaga bir nechta qo'shimcha qatorlarni yozib qo'yganingiz ma'qul.
2. Har xil turdagi kasrli topshiriqlarda - oddiy kasrlar turiga o'ting.
3. Endi kamaytirish mumkin bo'lmaguncha barcha fraktsiyalarni kamaytiramiz.
4. Ko'p darajali kasr iboralarni 2 nuqtaga bo'lish orqali oddiylarga keltiramiz.
5. Biz birlikni ongimizda kasrga ajratamiz, shunchaki kasrni aylantiramiz.
Oddiy kasrlar bilan bajarilishi mumkin bo'lgan yana bir amal - ko'paytirish. Masalalarni yechishda uning asosiy qoidalarini tushuntirishga harakat qilamiz, oddiy kasrni natural songa qanday ko'paytirishni va uch yoki undan ortiq oddiy kasrlarni qanday qilib to'g'ri ko'paytirishni ko'rsatamiz.
Avval asosiy qoidani yozamiz:
Ta'rif 1
Agar bitta oddiy kasrni ko'paytirsak, hosil bo'lgan kasrning payi dastlabki kasrlarning sanoqchilarining ko'paytmasiga, maxraji esa ularning maxrajlarining ko'paytmasiga teng bo'ladi. To'g'ridan-to'g'ri shaklda, a / b va c / d ikkita kasr uchun bu b · c d = a · c b · d sifatida ifodalanishi mumkin.
Keling, ushbu qoidani to'g'ri qo'llash misolini ko'rib chiqaylik. Aytaylik, bizda tomoni bitta son birlikka teng bo'lgan kvadrat bor. Keyin rasmning maydoni 1 kvadrat bo'ladi. birlik. Agar kvadratni tomonlari son birlikning 1 4 va 1 8 ga teng bo'lgan teng to'rtburchaklarga bo'linadigan bo'lsak, u endi 32 ta to'rtburchakdan iborat ekanligini bilib olamiz (chunki 8 4 = 32). Shunga ko'ra, ularning har birining maydoni butun raqamning maydonining 1 32 ga teng bo'ladi, ya'ni. 1 32 kv. birliklar.
Bizda 5 8 raqamli birlik va 3 4 raqamli birlikka teng tomonlari bo'lgan soyali parcha bor. Shunga ko'ra, uning maydonini hisoblash uchun birinchi kasrni ikkinchisiga ko'paytirish kerak. 5 8 3 4 kvadrat metrga teng bo'ladi. birliklar. Ammo biz fragmentga qancha to'rtburchaklar kiritilganligini oddiygina sanashimiz mumkin: ularning 15 tasi bor, ya'ni umumiy maydoni 1532 kvadrat birlik.
5 3 = 15 va 8 4 = 32 bo'lgani uchun biz quyidagi tenglamani yozishimiz mumkin:
5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32
Bu oddiy kasrlarni ko'paytirish uchun biz shakllantirgan qoidaning tasdig'idir, bu a b · c d = a · c b · d shaklida ifodalanadi. To'g'ri va noto'g'ri fraktsiyalar uchun bir xil ishlaydi; U har xil va bir xil maxrajli kasrlarni ko'paytirish uchun ishlatilishi mumkin.
Oddiy kasrlarni ko'paytirishga oid bir qancha masalalar yechimlarini tahlil qilaylik.
1-misol
7 11 ni 9 8 ga ko'paytiring.
Yechim
Boshlash uchun biz ko'rsatilgan kasrlar sonlarining mahsulotini 7 ni 9 ga ko'paytirish orqali hisoblaymiz. Bizda 63 bor. Keyin maxrajlarning ko'paytmasini hisoblaymiz va olamiz: 11 8 = 88 . Javobni ikkita raqamdan tuzamiz: 63 88.
Butun yechim quyidagicha yozilishi mumkin:
7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88
Javob: 7 11 9 8 = 63 88.
Agar javobda biz kamaytiriladigan kasrni olgan bo'lsak, biz hisobni yakunlashimiz va uni kamaytirishimiz kerak. Agar biz noto'g'ri kasrni olsak, undan butun qismni tanlashimiz kerak.
2-misol
Kasrlar mahsulotini hisoblang 4 15 va 55 6.
Yechim
Yuqorida o'rganilgan qoidaga ko'ra, sonni hisoblagichga, maxrajni esa maxrajga ko'paytirishimiz kerak. Yechim yozuvi quyidagicha ko'rinadi:
4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90
Biz qisqartirilgan kasrni oldik, ya'ni. 10 ga bo'linish belgisi bo'lgan.
Kasrni kamaytiramiz: 220 90 GCD (220, 90) \u003d 10, 220 90 \u003d 220: 10 90: 10 \u003d 22 9. Natijada, biz noto'g'ri kasrni oldik, undan biz butun qismni tanlaymiz va aralash raqamni olamiz: 22 9 \u003d 2 4 9.
Javob: 4 15 55 6 = 2 4 9 .
Hisoblash qulayligi uchun ko'paytirish amalini bajarishdan oldin dastlabki kasrlarni ham qisqartirishimiz mumkin, buning uchun kasrni a · c b · d ko'rinishiga keltirishimiz kerak. Biz o'zgaruvchilar qiymatlarini oddiy omillarga ajratamiz va bir xillarini bekor qilamiz.
Keling, bu muayyan muammoning ma'lumotlaridan foydalanish qanday ko'rinishini tushuntirib beraylik.
3-misol
4 15 55 6 mahsulotini hisoblang.
Yechim
Ko‘paytirish qoidasiga asosan hisob-kitoblarni yozamiz. Biz quyidagilarni qila olamiz:
4 15 55 6 = 4 55 15 6
4 = 2 2, 55 = 5 11, 15 = 3 5 va 6 = 2 3 bo'lgani uchun 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3 bo'ladi.
2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9
Javob: 4 15 55 6 = 2 4 9 .
Oddiy kasrlarni ko'paytirish sodir bo'ladigan sonli ifoda kommutativ xususiyatga ega, ya'ni agar kerak bo'lsa, omillarning tartibini o'zgartirishimiz mumkin:
a b c d = c d a b = a c b d
Kasrni natural songa qanday ko'paytirish kerak
Keling, darhol asosiy qoidani yozamiz va keyin uni amalda tushuntirishga harakat qilamiz.
Ta'rif 2
Oddiy kasrni natural songa ko'paytirish uchun bu kasrning payini shu songa ko'paytirish kerak. Bunda yakuniy kasrning maxraji dastlabki oddiy kasrning maxrajiga teng bo'ladi. Ayrim a b kasrni natural n songa ko'paytirish a b · n = a · n b formulasi sifatida yozilishi mumkin.
Har qanday natural sonni maxraji bir ga teng bo'lgan oddiy kasr sifatida ko'rsatish mumkinligini eslasangiz, bu formulani tushunish oson, ya'ni:
a b n = a b n 1 = a n b 1 = a n b
Keling, fikrimizni aniq misollar bilan tushuntiraylik.
4-misol
2 27 ning 5 ga ko‘paytmasini hisoblang.
Yechim
Asl kasrning numeratorini ikkinchi omilga ko'paytirish natijasida biz 10 ni olamiz. Yuqoridagi qoidaga ko'ra, natijada biz 10 27 ni olamiz. To'liq yechim ushbu postda keltirilgan:
2 27 5 = 2 5 27 = 10 27
Javob: 2 27 5 = 10 27
Tabiiy sonni umumiy kasr bilan ko'paytirganda, biz ko'pincha natijani kamaytirishimiz yoki aralash son sifatida ko'rsatishimiz kerak.
5-misol
Shart: 8 marta 5 12 ko'paytmasini hisoblang.
Yechim
Yuqoridagi qoidaga ko'ra, natural sonni sanoqchiga ko'paytiramiz. Natijada, biz 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 ni olamiz. Yakuniy kasr 2 ga bo'linish belgilariga ega, shuning uchun biz uni kamaytirishimiz kerak:
LCM (40, 12) \u003d 4, shuning uchun 40 12 \u003d 40: 4 12: 4 \u003d 10 3
Endi biz faqat butun son qismini tanlashimiz va tugallangan javobni yozishimiz kerak: 10 3 = 3 1 3.
Ushbu yozuvda siz butun yechimni ko'rishingiz mumkin: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3 .
Paytuvchi va maxrajni tub ko‘paytmalarga ajratib, kasrni kamaytirishimiz ham mumkin va natija aynan bir xil bo‘ladi.
Javob: 5 12 8 = 3 1 3.
Natural son kasrga ko'paytiriladigan raqamli ifoda ham siljish xususiyatiga ega, ya'ni omillarning tartibi natijaga ta'sir qilmaydi:
a b n = n a b = a n b
Uch yoki undan ortiq oddiy kasrlarni qanday ko'paytirish kerak
Biz oddiy kasrlarni ko'paytirish operatsiyasiga ko'paytirishga xos bo'lgan bir xil xususiyatlarni kengaytirishimiz mumkin. natural sonlar. Bu tushunchalarning aniq ta'rifidan kelib chiqadi.
Assotsiativ va kommutativ xususiyatlarni bilish tufayli uch yoki undan ortiq oddiy kasrlarni ko'paytirish mumkin. Ko'proq qulaylik uchun joylarda omillarni qayta joylashtirish yoki qavslarni hisoblashni osonlashtiradigan tarzda joylashtirish joizdir.
Bu qanday amalga oshirilganligini misol qilib ko'rsatamiz.
6-misol
To'rtta oddiy kasrni ko'paytiring 1 20 , 12 5 , 3 7 va 5 8 .
Yechish: Birinchidan, ishni yozamiz. Biz 1 20 12 5 3 7 5 8 ni olamiz. Biz barcha sonlarni va barcha maxrajlarni birga ko'paytirishimiz kerak: 1 20 12 5 3 7 5 8 = 1 12 3 5 20 5 7 8 .
Ko'paytirishni boshlashdan oldin, biz buni o'zimiz uchun biroz osonlashtiramiz va keyinchalik kamaytirish uchun ba'zi raqamlarni tub omillarga ajratishimiz mumkin. Bu undan kelib chiqadigan tayyor fraksiyani kamaytirishdan ko'ra osonroq bo'ladi.
1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9 280
Javob: 1 12 3 5 20 5 7 8 = 9280.
7-misol
5 ta raqamni ko'paytiring 7 8 12 8 5 36 10 .
Yechim
Qulaylik uchun biz 7 8 kasrni 8 raqami bilan va 12 raqamini 5 36 kasr bilan guruhlashimiz mumkin, chunki bu bizga kelajakdagi qisqarishlarni aniq ko'rsatadi. Natijada biz quyidagilarni olamiz:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = = 7 5 3 10 = 7 5 10 = 3 116 2 3
Javob: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3 .
Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing
