Trigonometrické identity- jedná se o rovnosti, které zakládají vztah mezi sinusem, kosinusem, tangens a kotangens jednoho úhlu, což vám umožňuje najít kteroukoli z těchto funkcí, pokud je známa jakákoli jiná.
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1
Tato identita říká, že součet druhé mocniny sinu jednoho úhlu a druhé mocniny kosinusu jednoho úhlu je roven jedné, což v praxi umožňuje vypočítat sinus jednoho úhlu, když je znám jeho kosinus a naopak. .
Při převodu trigonometrické výrazy Velmi často se používá tato identita, která umožňuje nahradit součet druhých mocnin kosinu a sinu jednoho úhlu jednou a také provést operaci nahrazení v opačném pořadí.
Hledání tečny a kotangens pomocí sinus a kosinus
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace
Tyto identity jsou tvořeny z definic sinus, kosinus, tangens a kotangens. Koneckonců, když se na to podíváte, pak podle definice je pořadnice y sinus a osa x je kosinus. Pak se tečna bude rovnat poměru \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) a poměr \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- bude kotangens.
Dodejme, že pouze pro takové úhly \alpha, při kterých dávají smysl v nich obsažené goniometrické funkce, budou identity platit, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).
Například: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) platí pro úhly \alpha, které se liší od \frac(\pi)(2)+\pi z, A ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- pro úhel \alpha jiný než \pi z je z celé číslo.
Vztah mezi tečnou a kotangens
tg \alpha \cdot ctg \alpha=1
Tato identita je platná pouze pro úhly \alpha, které se liší od \frac(\pi)(2) z. V opačném případě kotangens nebo tangens nebudou určeny.
Na základě výše uvedených bodů získáme to tg \alpha = \frac(y)(x), A ctg \alpha=\frac(x)(y). Z toho vyplývá, že tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Tangenta a kotangens stejného úhlu, pod kterým dávají smysl, jsou tedy vzájemně inverzní čísla.
Vztahy mezi tangens a kosinus, kotangens a sinus
tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- součet druhé mocniny tečny úhlu \alpha a 1 je roven druhé mocnině kosinusu tohoto úhlu. Tato identita je platná pro všechny \alpha kromě \frac(\pi)(2)+ \pi z.
1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- součet 1 a druhé mocniny kotangens úhlu \alpha je roven druhé mocnině sinu daného úhlu. Tato identita je platná pro jakékoli \alpha odlišné od \pi z.
Příklady s řešením problémů pomocí goniometrických identit
Příklad 1
Najděte \sin \alpha a tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12 A \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;
Zobrazit řešení
Řešení
Funkce \sin \alpha a \cos \alpha spolu souvisí vzorcem \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Dosazení do tohoto vzorce \cos \alpha = -\frac12, dostaneme:
\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1
Tato rovnice má 2 řešení:
\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)
Podle stavu \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Ve druhé čtvrtině je sinus kladný, takže \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).
Abychom našli tan \alpha, použijeme vzorec tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3
Příklad 2
Najděte \cos \alpha a ctg \alpha pokud a \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .
Zobrazit řešení
Řešení
Dosazení do vzorce \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 dané číslo \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), dostaneme \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Tato rovnice má dvě řešení \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.
Podle stavu \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Ve druhém čtvrtletí je kosinus záporný, takže \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.
Abychom našli ctg \alpha , použijeme vzorec ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Známe odpovídající hodnoty.
ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).
Referenční data pro tečnu (tg x) a kotangensu (ctg x). Geometrické definice, vlastnosti, grafy, vzorce. Tabulka tečen a kotangens, derivace, integrály, rozšíření řad. Vyjádření prostřednictvím komplexních proměnných. Spojení s hyperbolickými funkcemi.
Geometrická definice
|BD| - délka oblouku kružnice se středem v bodě A.
α je úhel vyjádřený v radiánech.
Tangenta ( opálení α) je goniometrická funkce závislá na úhlu α mezi přeponou a nohou pravoúhlý trojuhelník, rovný poměru délka protilehlé strany |BC| na délku sousedního ramene |AB| .
Kotangens ( ctg α) je goniometrická funkce závislá na úhlu α mezi přeponou a ramenem pravoúhlého trojúhelníku, který se rovná poměru délky sousedního ramene |AB| na délku protější nohy |BC| .
Tečna
Kde n- Celý.
V západní literatuře je tečna označena takto:
.
;
;
.
Graf funkce tangens, y = tan x
Kotangens
Kde n- Celý.
V západní literatuře, kotangens je označován takto:
.
Přijímají se také následující zápisy:
;
;
.
Graf funkce kotangens, y = ctg x
Vlastnosti tečny a kotangens
Periodicita
Funkce y = tg x a y = ctg x jsou periodické s periodou π.
Parita
Funkce tangens a kotangens jsou liché.
Oblasti vymezení a hodnot, rostoucí, klesající
Funkce tangens a kotangens jsou spojité ve své oblasti definice (viz důkaz spojitosti). Hlavní vlastnosti tečny a kotangens jsou uvedeny v tabulce ( n- Celý).
| y = tg x | y = ctg x | |
| Rozsah a kontinuita | ||
| Rozsah hodnot | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Vzrůstající | - | |
| Klesající | - | |
| Extrémy | - | - |
| Nuly, y = 0 | ||
| Průsečík bodů se souřadnicovou osou x = 0 | y = 0 | - |
Vzorce
Výrazy pomocí sinus a kosinus
;
;
;
;
;
Vzorce pro tečnu a kotangens ze součtu a rozdílu
Zbývající vzorce lze snadno získat například
Součin tečen
Vzorec pro součet a rozdíl tečen
Tato tabulka uvádí hodnoty tečen a kotangens pro určité hodnoty argumentu. 
Výrazy pomocí komplexních čísel
Výrazy prostřednictvím hyperbolických funkcí
;
;
Deriváty
; .
.
Derivace n-tého řádu vzhledem k proměnné x funkce:
.
Odvození vzorců pro tečnu > > > ; pro kotangens >> >
Integrály
Rozšíření řady
Chcete-li získat rozšíření tečny v mocninách x, musíte vzít několik členů rozšíření v mocninné řadě pro funkce hřích x A cos x a rozdělte tyto polynomy navzájem, . Tím se získají následující vzorce.
Na .
na .
Kde Bn- Bernoulliho čísla. Jsou určeny buď ze vztahu opakování:
;
;
kde .
Nebo podle Laplaceova vzorce: 
Inverzní funkce
Inverzní funkce k tečně a kotangens jsou arkustangens a arkotangens, v daném pořadí.
Arktangens, arctg
, Kde n- Celý.
Arccotangens, arcctg
, Kde n- Celý.
Reference:
V. Bronstein, K.A. Semendyaev, Příručka matematiky pro inženýry a vysokoškolské studenty, „Lan“, 2009.
G. Korn, Příručka matematiky pro vědce a inženýry, 2012.
Vzorce pro součet a rozdíl sinů a kosinus pro dva úhly α a β nám umožňují přejít od součtu těchto úhlů k součinu úhlů α + β 2 a α - β 2. Ihned poznamenejme, že byste si neměli plést vzorce pro součet a rozdíl sinů a kosinus se vzorci pro sinus a kosinus součtu a rozdílu. Níže uvádíme tyto vzorce, uvádíme jejich odvozeniny a ukazujeme příklady použití pro konkrétní problémy.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Vzorce pro součet a rozdíl sinusů a kosinů
Zapišme si, jak vypadají součtové a rozdílové vzorce pro sinusy a kosiny
Součtové a rozdílové vzorce pro siny
sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2
Součtové a rozdílové vzorce pro kosiny
cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 · β - α 2
Tyto vzorce platí pro libovolné úhly α a β. Úhly α + β 2 a α - β 2 se nazývají poloviční součet a poloviční rozdíl úhlů alfa a beta. Uveďme formulaci pro každý vzorec.
Definice vzorců pro součty a rozdíly sinů a kosinus
Součet sinů dvou úhlů se rovná dvojnásobku součinu sinu polovičního součtu těchto úhlů a kosinu polovičního rozdílu.
Rozdíl sinů dvou úhlů se rovná dvojnásobku součinu sinu polovičního rozdílu těchto úhlů a kosinu polovičního součtu.
Součet kosinus dvou úhlů se rovná dvojnásobku součinu kosinu polovičního součtu a kosinu polovičního rozdílu těchto úhlů.
Rozdíl kosinus dvou úhlů se rovná dvojnásobku součinu sinu polovičního součtu a kosinu polovičního rozdílu těchto úhlů, bráno se záporným znaménkem.
Odvozování vzorců pro součet a rozdíl sinů a kosinus
K odvození vzorců pro součet a rozdíl sinu a kosinu dvou úhlů se používají sčítací vzorce. Uveďme je níže
sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β sin (α - β) = sin α · cos β - cos α · sin β cos (α + β) = cos α · cos β - sin α sin β cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Představme si také samotné úhly jako součet polovičních součtů a polovičních rozdílů.
α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2
Pokračujeme přímo k odvození součtových a diferenčních vzorců pro sin a cos.
Odvození vzorce pro součet sinů
V součtu sin α + sin β nahradíme α a β výše uvedenými výrazy pro tyto úhly. Dostaneme
sin α + sin β = sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2
Nyní použijeme sčítací vzorec na první výraz a na druhý - vzorec pro sinus úhlových rozdílů (viz vzorce výše)
sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 Otevřete závorky, přidejte podobné pojmy a získejte požadovaný vzorec
sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + β 2 cos α - β 2
Kroky k odvození zbývajících vzorců jsou podobné.
Odvození vzorce pro rozdíl sinů
sin α - sin β = sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 = hřích α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α - β 2 cos α + β 2
Odvození vzorce pro součet kosinů
cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α - β 2
Odvození vzorce pro rozdíl kosinů
cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2
Příklady řešení praktických problémů
Nejprve zkontrolujeme jeden ze vzorců tím, že do něj dosadíme konkrétní hodnoty úhlu. Nechť α = π 2, β = π 6. Vypočítejme hodnotu součtu sinů těchto úhlů. Nejprve použijeme tabulku základních hodnot goniometrické funkce a poté použijte vzorec pro součet sinů.
Příklad 1. Kontrola vzorce pro součet sinů dvou úhlů
α = π 2, β = π 6 sin π 2 + sin π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 sin π 2 + sin π 6 = 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 sin 2 = 2 π 3 cos π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2
Podívejme se nyní na případ, kdy se hodnoty úhlu liší od základních hodnot uvedených v tabulce. Nechť α = 165°, β = 75°. Vypočítejme rozdíl mezi sinusy těchto úhlů.
Příklad 2. Aplikace rozdílu sinusového vzorce
α = 165 °, β = 75 ° hřích α - hřích β = hřích 165 ° - hřích 75 ° hřích 165 - hřích 75 = 2 hřích 165 ° - hřích 75 ° 2 cos 165 ° + hřích 75 ° 2 = = 2 hřích 4 ° cos 120° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2
Pomocí vzorců pro součet a rozdíl sinusů a kosinů můžete přejít od součtu nebo rozdílu k součinu goniometrických funkcí. Tyto vzorce se často nazývají vzorce pro přechod od součtu k produktu. Vzorce pro součet a rozdíl sinus a kosinus jsou široce používány při řešení goniometrické rovnice a při převodu goniometrických výrazů.
Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter
Nebudu se vás snažit přesvědčit, abyste nepsali cheaty. Napsat! Včetně cheatů na trigonometrii. Později plánuji vysvětlit, proč jsou cheaty potřeba a proč jsou cheaty užitečné. A zde jsou informace o tom, jak se neučit, ale některé si zapamatovat trigonometrické vzorce. Takže - trigonometrie bez cheat sheetu! Asociace používáme k zapamatování.
1. Sčítací vzorce:
Kosiny vždy „vycházejí v párech“: kosinus-kosinus, sinus-sinus.
A ještě jedna věc: kosiny jsou „neadekvátní“. „Všechno není v pořádku“ pro ně, a tak změní znaménka: „-“ na „+“ a naopak.
Sinusy - "mix": sinus-kosinus, kosinus-sinus.
2. Vzorce součtů a rozdílů:
kosiny vždy „přicházejí v párech“. Přidáním dvou kosinus - „koloboků“, získáme dvojici kosinus – „koloboků“. A odečtením rozhodně nezískáme žádné koloboky. Dostáváme pár sinů. Také s mínusem dopředu.
Sinusy - "mix" :
3. Vzorce pro převod součinu na součet a rozdíl.
Kdy získáme kosinusový pár? Když přidáme kosiny. Proto
Kdy dostaneme pár sinů? Při odečítání kosinů. Odtud:
„Míchání“ se získá jak při sčítání, tak při odečítání sinů. Co je zábavnější: sčítání nebo odečítání? Přesně tak, sklopte. A pro vzorec berou dodatek:
V prvním a třetím vzorci je součet v závorce. Přeskupení míst termínů nemění součet. Pořadí je důležité pouze u druhého vzorce. Ale abychom nebyli zmateni, pro snadné zapamatování ve všech třech vzorcích v prvních závorkách bereme rozdíl
a za druhé - částka
Cheat sheets v kapse vám dá klid: pokud zapomenete vzorec, můžete si ho zkopírovat. A dodají vám jistotu: pokud se vám nepodaří použít cheat sheet, můžete si vzorce snadno zapamatovat.
Jsou uvedeny vztahy mezi základními goniometrickými funkcemi - sinus, kosinus, tangens a kotangens trigonometrické vzorce. A protože mezi goniometrickými funkcemi existuje poměrně mnoho souvislostí, vysvětluje to hojnost goniometrických vzorců. Některé vzorce spojují goniometrické funkce stejného úhlu, jiné - funkce vícenásobného úhlu, jiné - umožňují snížit stupeň, čtvrté - vyjadřují všechny funkce prostřednictvím tangens polovičního úhlu atd.
V tomto článku uvedeme v pořadí všechny základní goniometrické vzorce, které stačí k vyřešení naprosté většiny trigonometrických úloh. Pro snadnější zapamatování a použití je seskupíme podle účelu a zaneseme do tabulek.
Navigace na stránce.
Základní goniometrické identity
Základní trigonometrické identity definovat vztah mezi sinusem, kosinusem, tečnou a kotangens jednoho úhlu. Vyplývají z definice sinus, kosinus, tangens a kotangens, stejně jako z pojmu jednotkové kružnice. Umožňují vyjádřit jednu goniometrickou funkci pomocí jakékoli jiné.
Podrobný popis těchto trigonometrických vzorců, jejich odvození a příklady použití naleznete v článku.
Redukční vzorce
Redukční vzorce vyplývají z vlastností sinus, kosinus, tangens a kotangens, to znamená, že odrážejí vlastnost periodicity goniometrických funkcí, vlastnost symetrie a také vlastnost posunu o daný úhel. Tyto trigonometrické vzorce vám umožňují přejít od práce s libovolnými úhly k práci s úhly v rozsahu od nuly do 90 stupňů.
Důvodem pro tyto vzorce je mnemotechnické pravidlo si je zapamatovat a příklady jejich použití si můžete nastudovat v článku.
Sčítací vzorce
Goniometrické sčítací vzorce ukázat, jak jsou goniometrické funkce součtu nebo rozdílu dvou úhlů vyjádřeny pomocí goniometrických funkcí těchto úhlů. Tyto vzorce slouží jako základ pro odvození následujících goniometrických vzorců.
Vzorce pro dvojnásobek, trojnásobek atd. úhel
Vzorce pro dvojnásobek, trojnásobek atd. úhel (nazývají se také víceúhlové vzorce) ukazují, jak goniometrické funkce dvojité, trojité atd. úhly () jsou vyjádřeny pomocí goniometrických funkcí jednoho úhlu. Jejich odvození je založeno na adičních vzorcích.
Podrobnější informace jsou shromážděny ve vzorcích článku pro dvojité, trojité atd. úhel
Vzorce polovičního úhlu
Vzorce polovičního úhlu ukázat, jak jsou goniometrické funkce polovičního úhlu vyjádřeny pomocí kosinu celého úhlu. Tyto trigonometrické vzorce vycházejí ze vzorců pro dvojitý úhel.
Jejich závěr a příklady aplikace najdete v článku.
Vzorce pro snížení stupně
Goniometrické vzorce pro snížení stupňů jsou navrženy tak, aby usnadnily přechod od přirozených mocnin goniometrických funkcí k sinusům a kosinusům prvního stupně, ale více úhlů. Jinými slovy, umožňují snížit mocniny goniometrických funkcí na první.
Vzorce pro součet a rozdíl goniometrických funkcí
Hlavní účel vzorce pro součet a rozdíl goniometrických funkcí je přejít na součin funkcí, což je velmi užitečné při zjednodušování goniometrických výrazů. Tyto vzorce jsou také široce používány při řešení goniometrických rovnic, protože umožňují faktorizovat součet a rozdíl sinů a kosinů.
Vzorce pro součin sinus, kosinus a sinus po kosinu
Přechod od součinu goniometrických funkcí k součtu nebo rozdílu se provádí pomocí vzorců pro součin sinus, kosinus a sinus po kosinu.
Autorská práva chytrých studentů
Všechna práva vyhrazena.
Chráněno autorským zákonem. Žádná část www.site, včetně vnitřních materiálů a vzhledu, nesmí být reprodukována v jakékoli formě nebo používána bez předchozího písemného souhlasu držitele autorských práv.
