Kui rakendatakse d'Alemberti märki. Arvurida: definitsioonid, omadused, konvergentsikriteeriumid, näited, lahendused. Põhimõisted ja mõisted

d'Alemberti konvergentsikriteerium Cauchy radikaalse lähenemise kriteerium Cauchy integraalse lähenemise kriteerium

Üks levinumaid võrdlusmärke, mida praktilistes näidetes esineb, on d'Alemberti märk. Cauchy märgid on vähem levinud, kuid ka väga populaarsed. Nagu ikka, püüan materjali esitada lihtsalt, arusaadavalt ja arusaadavalt. Teema pole just kõige raskem ning kõik ülesanded on teatud määral stereotüüpsed.

Jean Léron d'Alembert on 18. sajandi kuulus prantsuse matemaatik. Üldiselt on d'Alembert spetsialiseerunud diferentsiaalvõrrandid ja uuris oma uurimistöö põhjal ballistikat, et Tema Majesteedi kahurikuulid paremini lendaksid. Samal ajal ei unustanud ma numbrilisi seeriaid, polnud asjata, et Napoleoni vägede read lähenesid ja lahknesid nii selgelt.

Enne märgi enda sõnastamist mõelgem ühele olulisele küsimusele:
Millal tuleks kasutada d'Alemberti lähenemiskriteeriumi?

Alustame kõigepealt kordamisega. Tuletage meelde juhtumeid, kui peate kasutama kõige populaarsemat marginaalne võrdluskriteerium. Piirmäärade võrdluskriteeriumit rakendatakse, kui seeria ühises liikmes:
1) Nimetaja sisaldab polünoomi.
2) Polünoomid on nii lugejas kui ka nimetajas.
3) Üks või mõlemad polünoomid võivad olla juure all.

D'Alemberti märgi paigaldamise peamised eeldused on järgmised:

1) Rea ühisliige (rea “täidis”) sisaldab astmes mõnda numbrit, näiteks , jne. Pealegi pole üldse vahet, kus see asi asub, kas lugejas või nimetajas – oluline on, et see seal oleks.

2) Sarja üldmõiste hõlmab faktoriaali. Faktoriaalidega ristasime tunnis mõõku Numbrijada ja selle piir. Siiski ei tee paha ka ise kokkupandav laudlina uuesti laiali laotada:

…

…

! Kui kasutate d'Alemberti testi, peame lihtsalt faktoriaali üksikasjalikult värvima. Nagu eelmises lõigus, võib faktoriaal asuda murdosa üla- või alaosas.

3) Kui seeria ühises terminis on “tegurite ahel”, näiteks . See juhtum on haruldane, kuid! Sellise seeria uurimisel tehakse sageli viga – vaata näidet 6.

Koos astmete ja (ja) faktoriaalidega leitakse seeria täidises sageli ka polünoomid, see ei muuda asja – selleks tuleb kasutada d'Alemberti testi.

Lisaks võivad seeria üldterminis esineda korraga nii aste kui faktoriaal; võib olla kaks faktoriaali, kaks kraadi, on oluline, et need oleksid vähemalt mõned kaalutud punktid - ja see on vaid d'Alemberti märgi kasutamise eeldus.

d'Alemberti märk: Mõtle positiivne arvuseeria. Kui järgmise ja eelmise liikme suhtel on piir: , siis:
a) järjest koondub. Eelkõige koondub seeria jaoks .
b) järjest lahkneb. Eelkõige erineb seeria .
c) Millal märk ei reageeri. Peate kasutama teist märki. Kõige sagedamini saadakse ühik, kui nad proovivad rakendada d'Alemberti testi, kus on vaja kasutada piirväärtuste võrdlustesti.

Kui teil on endiselt probleeme piirangutega või saate piirangutest valesti aru, vaadake õppetundi Piirid. Lahendusnäited. Ilma piiri mõistmise ja ebakindluse edasise paljastamiseta ei saa kahjuks edasi liikuda.

Ja nüüd kauaoodatud näited.

Näide 1

Näeme, et seeria ühises terminis on meil , ja see on õige eeldus, et peame kasutama d'Alemberti testi. Esiteks terviklahendus ja disaininäidis, kommentaarid allpool.

Kasutame d'Alemberti testi:

koondub.

(1) Koostage seeria järgmise liikme ja eelmise liikme suhe: . Tingimusest näeme, et seeria ühine termin . Sarja järgmise liikme saamiseks on see vajalik selle asemel asendada: .
(2) Vabane neljakorruselisest murrust. Kui teil on selle etapi lahendamise kogemus, võite selle vahele jätta.
(3) Avage lugejas olevad sulud. Nimetajas võtame kraadist välja neli.
(4) Vähendada . Me võtame välja konstandi, mis jääb piiri märgist kaugemale. Lugejas anname sulgudes sarnased terminid.
(5) Määramatus kõrvaldatakse tavapärasel viisil - jagades lugeja ja nimetaja "en"-ga kõrgeima astmeni.
(6) Jagage lugejad nimetajatega termini kaupa ja märkige terminid, mis kipuvad olema nulli.
(7) Lihtsustame vastust ja märgime, et järeldades, et d'Alemberti kriteeriumi järgi uuritavad seeriad lähenevad.

Vaadeldavas näites kohtasime seeria üldmõistes 2. astme polünoomi. Mis saab siis, kui on olemas 3., 4. või kõrgema astme polünoom? Fakt on see, et kui on antud kõrgema astme polünoom, tekivad sulgude avamisega raskused. Sel juhul saate rakendada "turbo" lahendusmeetodit.

Näide 2

Võtke sarnane seeria ja uurige seda lähenemise suhtes

Kõigepealt täislahendus, seejärel kommentaarid:

Kasutame d'Alemberti testi:

Seega uuritav sari koondub.

(1) Koostage suhe .
(2) Vabane neljakorruselisest murrust.
(3) Vaatleme avaldist lugejas ja avaldist nimetajas. Näeme, et lugejas peate avama sulud ja tõstma neljanda astmeni: , mida te üldse teha ei taha. Neile, kes ei tunne Newtoni binoom, antud ülesanne ei pruugi olla üldse teostatav. Analüüsime kõrgeimaid astmeid: kui avame ülaosas olevad sulud, saame kõrgeima astme. Allpool on meil sama kõrgem kraad: . Analoogiliselt eelmise näitega on ilmne, et lugeja ja nimetaja terminite kaupa jagamisel saame limiidis ühe. Või nagu matemaatikud ütlevad, polünoomid ja - üks kasvujärjekord. Seega on täiesti võimalik lihtsa pliiatsiga suhe ringi teha ja kohe näidata, et see asi kipub ühtsusele. Samamoodi käsitleme teist polünoomide paari: ja , ka nemad üks kasvujärjekord, ja nende suhe kipub olema ühtne.

Tegelikult oleks sellise “häkkimise” saanud teha ka näites nr 1, aga 2. astme polünoomi puhul näeb selline lahendus ikkagi kuidagi ebaväärikas välja. Mina isiklikult teen nii: kui on olemas esimese või teise astme polünoom (või polünoomid), kasutan näite 1 lahendamiseks "pikka" meetodit. Kui kokku puutub 3. või enama polünoom kõrged kraadid, kasutan "turbo" meetodit, mis sarnaneb näitega 2.

Näide 3

Uurige seeriat lähenemise suhtes

Täielik lahendus ja kujundusnäidis numbrijadade tunni lõpus.
(4) Vähendage kõike, mida saab vähendada.
(5) Viime konstandi üle piiri märgi. Ava lugejas sulud.
(6) Määramatus kõrvaldatakse standardsel viisil - jagades lugeja ja nimetaja "en"-ga kõrgeima astmeni.

Näide 5

Uurige seeriat lähenemise suhtes

Täislahendus ja kujundusnäidis tunni lõpus

Näide 6

Uurige seeriat lähenemise suhtes

Mõnikord on ridu, mis sisaldavad oma täidises kordajate “ahelat”, me pole seda tüüpi ridu veel arvesse võtnud. Kuidas uurida sarja tegurite "ahelaga"? Kasutage d'Alemberti silti. Kuid kõigepealt, et mõista, mis toimub, kirjutame üksikasjalikult seeria:

Dekompositsioonist näeme, et iga järgmise rea liikme kohta lisatakse nimetajasse lisategur, seega kui rea ühisliige on , siis rea järgmine liige:
. Siin teevad nad sageli vea automaatselt, kirjutades vormiliselt üles vastavalt algoritmile, et

Näidislahendus võib välja näha selline:

Kasutame d'Alemberti testi:

Seega uuritav sari koondub.

Enne selle teemaga töötamist soovitan teil tutvuda numbriseeriate terminoloogiaga jaotisega. Eriti tasub tähelepanu pöörata sarja üldmõiste mõistele. Kui teil on kahtlusi lähenemismärgi õiges valikus, soovitan teil vaadata teemat "Arvridade lähenemismärgi valimine".

D'Alemberti testi (või d'Alemberti testi) kasutatakse selliste ridade konvergentsi uurimiseks, mille ühine liige on rangelt suurem kui null, st $u_n > 0 $. Selliseid seeriaid nimetatakse nn. rangelt positiivne. Standardnäidetes kasutatakse märki D "Alembert piiraval kujul.

Märk D "Aamber (piiraval kujul)

Kui seeria $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ on rangelt positiivne ja $$ \lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=L , $ $ siis $ L eest<1$ ряд сходится, а при $L>1$ (ja $L=\infty$ puhul) seeria lahkneb.

Koostis on üsna lihtne, kuid jääb lahtiseks järgmine küsimus: mis juhtub, kui $L=1$? Märk D "Alembert ei suuda sellele küsimusele vastata. Kui $L \u003d 1 $, siis võib seeria nii läheneda kui ka lahkneda.

Kõige sagedamini kasutatakse standardnäidetes D "Alemberti märki, kui seeria üldliikme avaldis sisaldab polünoomi $n$ (polünoom võib olla ka juure all) ja astet kujul $a ^n$ või $n!$. Näiteks $u_n= \frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$ (vt näide nr 1) või $u_n=\frac( \sqrt(4n+5))((3n-2)$ (см. пример №2). Вообще, для стандартного примера наличие $n!$ - это своеобразная "!} visiitkaart"D-tähis" Alamber.

Mida tähendab väljend "n!"? Näita Peida

Salvestus "n!" (loe "en faktorial") tähistab kõigi korrutist naturaalarvud 1-st n-ni, st.

$$ n!=1\cdot2\cdot 3\cdot \ldots\cdot n $$

Definitsiooni järgi eeldatakse, et $0!=1!=1$. Näiteks leiame 5!:

5 $!=1\cpunkt 2\cpunkt 3\cpunkt 4\cpunkt 5=120. $$

Lisaks kasutatakse D "Alemberti testi sageli seeriate konvergentsi määramiseks, mille ühine termin sisaldab järgmise struktuuri korrutist: $u_n=\frac(3\cdot 5\cdot 7\cdot\ldots\cdot(2n) +1))(2\ cdot 5\cdot 8\cdot\ldots\cdot(3n-1))$.

Näide nr 1

Konvergentsi jaoks uurige seeriat $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$.

Kuna alumine liitmispiir on 1, kirjutatakse seeria ühine liige summamärgi alla: $u_n=\frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$. Kuna $n≥ 1$ puhul on meil $3n+7 > 0$, $5^n>0$ ja $2n^3-1 > 0$, siis $u_n > 0$. Seetõttu on meie seeria rangelt positiivne.

$5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac((3n+10)\left(2n^3-1\right))(\left(2(n+1)^3-1\right )(3n+7))=\left|\frac(\infty)(\infty)\right|= 5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\frac((3n+10)\left (2n^3-1\parem))(n^4))(\frac(\left(2(n+1)^3-1\right)(3n+7))(n^4))= 5 \cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(3n+10)(n)\cdot\frac(2n^3-1)(n^3))(\frac(\left(2() n+1)^3-1\parem))(n^3)\cdot\frac(3n+7)(n))=\\ =5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\ vasak(\frac(3n)(n)+\frac(10)(n)\right)\cdot\left(\frac(2n^3)(n^3)-\frac(1)(n^3) \right))(\left(2\left(\frac(n)(n)+\frac(1)(n)\right)^3-\frac(1)(n^3)\parem)\cdot \left(\frac(3n)(n)+\frac(7)(n)\right))=5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\left(3+\frac(10)) (n)\parem)\cdot\left(2-\frac(1)(n^3)\right))(\left(2\left(1+\frac(1)(n)\right)^3 -\frac(1)(n^3)\right)\cdot\left(3+\frac(7)(n)\right))=5\cdot\frac(3\cdot 2)(2\cdot 3 )=5. $$

Kuna $\lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=5>1$, siis vastavalt antud seeriale lahkneb.

Kui aus olla, siis märk D "Alembert pole selles olukorras ainus võimalus. Võite kasutada näiteks radikaalset Cauchy märki. Radikaalse Cauchy märgi kasutamine nõuab aga teadmisi (või tõestust) täiendavad valemid. Seetõttu on selles olukorras mugavam kasutada märki D "Alembert.

Vastus: seeria läheb lahku.

Näide nr 2

Tutvuge sarjaga $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)$ на сходимость.!}

Kuna alumine liitmispiir on 1, kirjutatakse seeria ühine liige summamärgi alla: $u_n=\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)$. Заданный ряд является строго положительным, т.е. $u_n>0$.!}

Sarja ühistermin sisaldab juure all polünoomi, s.o. $\sqrt(4n+5)$ ja faktoriaal $(3n-2)!$. Faktoriaali olemasolu standardnäites on peaaegu sada protsenti Alemberti märgi D rakendamise garantii.

Selle funktsiooni rakendamiseks peame leidma seose $\frac(u_(n+1))(u_n)$ piiri. $u_(n+1)$ kirjutamiseks peate kasutama valemit $u_n=\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)$ вместо $n$ подставить $n+1$:!}

$$ u_(n+1)=\frac(\sqrt(4(n+1)+5))((3(n+1)-2)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n+1)!}. $$ !}

Kuna $(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$, saab $u_(n+1)$ valemi kirjutada teisiti :

$$ u_(n+1)=\frac(\sqrt(4n+9))((3n+1)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}. $$ !}

See kirje on mugav edasiseks lahendamiseks, kui peame vähendama murdosa alla limiidi. Kui võrdsus faktoriaalidega nõuab selgitust, siis palun laiendage allolevat märkust.

Kuidas saime $(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$? Näita Peida

Märkus $(3n+1)!$ tähendab kõikide naturaalarvude korrutist vahemikus 1 kuni $3n+1$. Need. selle väljendi saab kirjutada järgmiselt:

$$ (3n+1)!=1\cdot 2\cdot\ldots\cdot(3n+1). $$

Vahetult enne numbrit $3n+1$ on number üks vähem, st. number $3n+1-1=3n$. Ja vahetult enne numbrit $3n$ on number $3n-1$. Noh, vahetult enne numbrit $3n-1$ on meil number $3n-1-1=3n-2$. Kirjutame ümber $(3n+1) valemi!$:

$$ (3n+1)!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot(3n-2)\cdot(3n-1)\cdot 3n\cdot (3n+1) $$

Mis on $1\cdot2\cdot\ldots\cdot(3n-2)$ korrutis? See toode on võrdne $(3n-2)!$. Seetõttu saab avaldise $(3n+1)!$ ümber kirjutada järgmisel kujul:

$$(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$$

See kirje on mugav edasiseks lahendamiseks, kui peame vähendama murdosa alla limiidi.

Arvutage $\lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)$ väärtus:

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(\sqrt(4n+9))(( 3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)))(\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)}= \lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\frac{(3n-2)!}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}\right)=\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}= \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4+\frac{9}{n}}}{\sqrt{4+\frac{5}{n}}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}=1\cdot 0=0. $$ !}

Alates $\lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=0<1$, то согласно

Enne märgi enda sõnastamist mõelgem ühele olulisele küsimusele:
Millal tuleks kasutada d'Alemberti lähenemiskriteeriumi?

D'Alemberti testi rakendamise peamised eeldused on järgmised:

1) Rea ühisliige (rea “täidis”) sisaldab astmes mõnda numbrit, näiteks , jne. Pealegi pole vahet, kus need funktsioonid asuvad, kas lugejas või nimetajas – oluline on, et need seal oleksid.

2) Sarja üldmõiste hõlmab faktoriaali. Mis on faktoriaal?

…

…

! Kui kasutate d'Alemberti testi, peame lihtsalt faktoriaali üksikasjalikult värvima. Nagu eelmises lõigus, võib faktoriaal asuda murdosa üla- või alaosas.

3) Kui seeria ühises terminis on näiteks "tegurite ahel", . See juhtum on haruldane.

Koos astmete ja (ja) faktoriaalidega leitakse seeria täidises sageli ka polünoomid, see ei muuda asja – selleks tuleb kasutada d'Alemberti testi.

Lisaks võivad seeria üldterminis esineda korraga nii aste kui faktoriaal; võib olla kaks faktoriaali, kaks kraadi, on oluline, et need oleksid vähemalt midagi vaadeldavatest punktidest – ja see on vaid d'Alemberti märgi kasutamise eeltingimus.

d'Alemberti märk: Mõtle positiivne arvuseeria. Kui järgmise ja eelmise liikme suhtel on piir: , siis:
a) järjest koondub
b) järjest lahkneb
c) Millal märk ei reageeri. Peate kasutama teist märki. Kõige sagedamini saadakse ühik, kui nad proovivad rakendada d'Alemberti testi, kus on vaja kasutada piirväärtuste võrdlustesti.

Ilma piiri mõistmise ja ebakindluse edasise paljastamiseta ei saa kahjuks edasi liikuda.

Näide:
Lahendus: Näeme, et seeria ühises terminis on meil , ja see on õige eeldus, et peame kasutama d'Alemberti testi.

Kasutame d'Alemberti testi:

koondub.

Cauchy radikaalne märk.

Cauchy konvergentsi test positiivsete arvridade jaoks on mõnevõrra sarnane äsja vaadeldud d'Alemberti testiga.

! Huvitav on märkida, et kui Cauchy test ei anna meile vastust seeria konvergentsi küsimusele, siis d'Alemberti test ei anna ka vastust. Kuid kui d'Alemberti märk ei anna vastust, võib Cauchy märk "töötada". See tähendab, et Cauchy märk on selles mõttes tugevam märk.

!!! Millal peaksite Cauchy radikaali märki kasutama? Radikaalset Cauchy testi kasutatakse tavaliselt juhtudel, kui seeria ühine termin TÄIELIKULT on kraadis sõltub "en"-st. Või kui seeria ühisest liikmest on ammutatud juur "hea". Eksootilisi juhtumeid on ikka, aga nendega me pead ei löö.

Näide: Uurige seeriat lähenemise suhtes

Lahendus: Näeme, et seeria ühine termin on täielikult alla astme, mis sõltub , mis tähendab, et peame kasutama radikaalset Cauchy testi:

Seega uuritav sari lahkneb.

Integraalne Cauchy test.

Integraali Cauchy kriteeriumi rakendamiseks on vaja enam-vähem enesekindlalt leida tuletisi, integraale ning omada ka arvutamisoskust. vale integraal esimene liik.

Sõnastan oma sõnadega (arusaadavuse hõlbustamiseks).

Integreeritud Cauchy märk: Kaaluge positiivne arvuseeria. See jada koondub või lahkneb koos vastava vale integraaliga.

! !! Integraalse Cauchy testi kasutamise põhitingimus on asjaolu, et seeria ühisliige sisaldab mõnda funktsiooni ja selle tuletist.

Näide: Uurige seeriat lähenemise suhtes

Lahendus: Teemast Tuletis ilmselt mäletate kõige lihtsamat tabelivormi: , ja meil on just selline kanooniline juhtum.

Kuidas kasutada integraalmärki? Esiteks võtame integraaliikooni ja kirjutame rea loendurilt ümber ülemise ja alumise piiri: . Seejärel kirjutame integraali alla seeria “täidise” tähega “x” ümber:.

Nüüd peame arvutama vale integraali. Sel juhul on võimalikud kaks juhtumit:

1) Kui selgub, et integraal koondub, siis koondub ka meie seeria.

2) Kui selgub, et integraal lahkneb, siis lahkneb ka meie seeria.

Kasutame lahutamatut funktsiooni:

Integrand pidev edasi

Seega uuritav sari lahkneb koos vastava vale integraaliga.

Näide: Uurige seeria konvergentsi

Lahendus: Kõigepealt kontrollime ridade konvergentsi vajalik kriteerium. See pole formaalsus, vaid suurepärane võimalus tegeleda "väikese verevalamise" näitega.

Numbriline jada kõrgemale kasvu järjekord kui , seega , see tähendab, et konvergentsi vajalik kriteerium on täidetud ja jada võib nii läheneda kui ka lahkneda.

Seega tuleb mingit märki kasutada. Aga mis? Võrdluse piirmärk ilmselgelt ei sobi, kuna logaritm on sisestatud seeria ühisesse terminisse, d'Alemberti ja Cauchy märgid ei vii ka tulemusteni. Kui oleks, siis oleks vähemalt võimalik välja rabeleda lahutamatu omadus.

"Stseeni ülevaatus" viitab lahknevale seeriale (üldistatud harmoonilise jada juhtum), kuid taas tekib küsimus, kuidas arvestada lugejas logaritmiga?

Jääb alles esimene, ebavõrdsustel põhinev võrdlusmärk, millega sageli ei arvestata ja mis kogub tolmu kaugemal riiulil. Kirjutame seeria üksikasjalikumalt:

Tuletan teile meelde, et - piiramatu kasvamine numbriline jada:

Ja alustades arvust , täidetakse ebavõrdsus:

ehk siis sarja liikmed saavad olema isegi rohkem asjaomased liikmed lahknev rida .

Selle tulemusena ei jää sarja jaoks muud üle, kui ka lahkneda.

Arvrea lähenemine või lahknemine sõltub selle "lõpmatust sabast" (ülejääk). Meie puhul võime ignoreerida tõsiasja, et kahe esimese arvu ebavõrdsus ei kehti – see ei mõjuta järeldust.

Näite puhas kujundus peaks välja nägema umbes selline:

Võrrelge seda seeriat lahknevate seeriatega.
Kõigi arvude puhul, alates , on ebavõrdsus täidetud, seega võrdluseks uuritav seeria lahkneb.

Vahelduvad read. Leibnizi märk. Lahendusnäited.

Mis on vahelduv seeria? See on selge või peaaegu selge juba nimest endast. Lihtsalt kõige lihtsam näide.

Mõelge sarjale ja kirjutage see üksikasjalikumalt:

Vaheldumine annab kordaja: kui paaris, siis on plussmärk, kui paaritu, siis miinusmärk

Praktilistes näidetes võib seeria liikmete vaheldumine anda mitte ainult teguri , vaid ka selle õdesid-vendi: , , , …. Näiteks:

Lõks on "nipid":, jne. on sellised kordajad märgi vahetust ei paku. On täiesti selge, et iga loodusliku : , , .

Kuidas uurida vahelduvat seeriat konvergentsi jaoks? Kasutage Leibnizi märki.

Leibnizi märk: Kui vahelduvas jadas on täidetud kaks tingimust: 1) jada liikmed vähenevad monotoonselt absoluutväärtuses. 2) ühisliikme piirväärtus on absoluutväärtuses võrdne nulliga, siis jada koondub ja selle jada summa moodul ei ületa esimese liikme moodulit.

Lühike teave mooduli kohta:

Mida tähendab "modulo"? Moodul, nagu me kooliajast mäletame, "sööb" miinusmärgi ära. Lähme tagasi sarja juurde . Kustutage vaimselt kõik märgid kustutuskummiga ja vaata numbreid. Seda me näeme iga järgmine rea liige vähem kui eelmine.

Nüüd natuke monotoonsuse kohta.

Rea liikmed rangelt monotoonne vähendada moodulit, kui seeria IGA JÄRGMINE liige modulo VÄHEM kui eelmine: . Numbri jaoks vähenemise range monotoonsus on täidetud, seda saab üksikasjalikult kirjeldada:

Ja lühidalt võib öelda: iga järgmine sarja liige modulo vähem kui eelmine: .

Rea liikmed mitte rangelt monotoonne mooduli vähenemine, kui seeria mooduli IGA JÄRGMINE liige EI OLE SUUREM KUI eelmine: . Mõelge faktoriaaliga seeriale: Siin toimub mitterange monotoonsus, kuna seeria kaks esimest liiget on absoluutväärtuses identsed. See tähendab, et sarja iga järgmine liige modulo mitte rohkem kui eelmine: .

Leibnizi teoreemi tingimustes peab kahanemise monotoonsus olema rahuldatud (pole vahet, kas see on range või mitterange). Sel juhul saavad sarja liikmed isegi tõsta moodulit mõnda aega, kuid seeria "saba" peab tingimata olema monotoonselt kahanev.

Näide: Uurige seeriat lähenemise suhtes

Lahendus: Seeria levinud termin sisaldab tegurit , mis tähendab, et peate kasutama Leibnizi testi

1) Seeria kontrollimine monotoonse vähenemise suhtes.

1<2<3<…, т.е. n+1>n esimene tingimus ei ole täidetud

2) – ka teine tingimus ei ole täidetud.

Järeldus: seeria läheb lahku.

Definitsioon: Kui jada koondub Leibnizi kriteeriumi järgi ja moodulitest koosnev jada samuti koondub, siis ütleme, et seeria ühtlustub absoluutselt.

Kui jada koondub Leibnizi kriteeriumi järgi ja moodulitest koosnev jada lahkneb, siis öeldakse, et seeria on koondub tinglikult.

Kui moodulitest koosnev jada koondub, siis koondub ka see jada.

Seetõttu tuleb absoluutse või tingimusliku lähenemise suhtes uurida vahelduvat koonduvat rida.

Näide:

Lahendus: Kasutame Leibnizi märki:

1) Iga järgmise seeria liikme moodul on eelmisest väiksem: – esimene tingimus on täidetud.

2) – ka teine tingimus on täidetud.

Järeldus: seeria läheneb.

Kontrollige tingimuslikku või absoluutset lähenemist.

Teeme rea mooduleid - jällegi eemaldame lihtsalt kordaja, mis tagab vaheldumise:
- lahkneb (harmoonilised jadad).

Seega meie sari ei ole absoluutselt konvergentne.
Õppesari koondub tinglikult.

Näide: Uurige rida tingimusliku või absoluutse lähenemise osas

Lahendus: Kasutame Leibnizi märki:
1) Proovime kirja panna sarja esimesed terminid:

…?!

Fakt on see, et selliste piiride lahendamiseks pole standardseid igapäevaseid nippe. Kust see piir läheb? Nulli, lõpmatuseni? Siin on oluline, et MIS kasvab lõpmatus kiiremini- lugeja või nimetaja.

Kui lugeja at kasvab kiiremini kui faktoriaal, siis . Kui lõpmatuse juures kasvab faktoriaal kiiremini kui lugeja, siis vastupidi, see “tõmbab” piiri nullini: . Või äkki võrdub see piir mingi nullist erineva arvuga? või . Selle asemel võite asendada mõne tuhandekraadise polünoomiga, see jällegi olukorda ei muuda - varem või hiljem "mööda" faktoriaal ikkagi sellisest kohutavast polünoomist. Faktoriaalne kõrgem kasvujärjekord.

– Faktoriaal kasvab kiiremini kui mis tahes koguses toode eksponentsiaal- ja võimsusjärjestused(meie juhtum).

– Ükskõik milline eksponentsiaalne jada kasvab kiiremini kui ükski võimsusjada, näiteks: , . eksponentsiaalne jada kõrgem kasvujärjekord kui ükski võimujada. Sarnaselt faktoriaalile "tõmbab" eksponentsiaalne jada mis tahes arvu astmejadade või polünoomide korrutist: .

– Kas on midagi “tugevamat” kui faktoriaal? Sööma! Eksponentjada ("en" astmeni "en") kasvab kiiremini kui faktoriaal. Praktikas on see haruldane, kuid teave ei ole üleliigne.

Abi lõpp

Seega võib uuringu teise punkti kirjutada järgmiselt:
2) , kuna suurem kasv kui .
Seeria tingimused vähenevad modulo, alustades mõnest numbrist, samas on seeria iga järgmine liige absoluutväärtuses väiksem kui eelmine, seega on vähenemine monotoonne.

Järeldus: seeria läheneb.

Siin on just see kurioosne juhtum, kui seeria tingimused esmalt absoluutväärtuses kasvavad, mistõttu on meil limiidi kohta ekslik esialgne arvamus. Aga, alustades mõnest numbrist "en", faktoriaal ületab lugeja ja seeria "saba" muutub monotoonselt kahanevaks, mis on Leibnizi teoreemi tingimuse täitmiseks põhimõtteliselt oluline. Mis see "en" täpselt on, on üsna raske välja selgitada.

Uurime seeriat absoluutse või tingimusliku lähenemise jaoks:

Ja siin d'Alemberti märk juba töötab:

Kasutame d'Alemberti testi:

Seega seeria läheneb.

Õppesari ühtlustub absoluutselt.

Analüüsitud näidet saab lahendada muul viisil (kasutame vahelduva jada konvergentsi jaoks piisavat kriteeriumi).

Piisav kriteerium vahelduva jada konvergentsi jaoks on: Kui antud seeria liikmete absoluutväärtustest koosnev jada läheneb, siis koondub ka antud jada.

Teine viis:

Uurige rida tingimusliku või absoluutse lähenemise osas

Lahendus : Uurime seeriat absoluutse lähenemise jaoks:

Kasutame d'Alemberti testi:

Seega seeria läheneb.
Võttes aluseks vahelduva jada konvergentsi piisava kriteeriumi, koondub seeria ise.

Järeldus: Õppesarjad ühtlustub absoluutselt.

Rea summa arvutamiseks etteantud täpsusega kasutame järgmist teoreemi:

Lase vahelduv seeria vastab Leibnizi testi tingimustele ja lase - selle n- osaline summa. Siis seeria koondub ja selle summa ligikaudse arvutamise viga S absoluutväärtuses ei ületa esimese kõrvalejäetud liikme moodulit:

funktsionaalsed read. Jõuseeria.
Seeria konvergentsi piirkond.

Teema edukaks valdamiseks peate olema tavaliste numbriliste seeriatega hästi kursis.

See artikkel on kogunud ja struktureerinud teabe, mis on vajalik peaaegu kõigi arvuridade teemaliste näidete lahendamiseks, alates rea summa leidmisest kuni selle konvergentsi uurimiseni.

Artikli ülevaade.

Alustame positiivse märgi, vahelduva märgi jada ja konvergentsi mõiste määratlustega. Järgmiseks vaatleme standardseeriaid, nagu harmoonilised jada, üldistatud harmoonilised jada, tuletage meelde lõpmatult kahaneva summa summa leidmise valem. geomeetriline progressioon. Seejärel pöördume koonduvate ridade omaduste poole, peatume ridade koondumiseks vajalikul tingimusel ja esitame piisavad tingimused ridade koondumiseks. Lahjendame teooriat, lahendades tüüpilisi näiteid üksikasjalike selgitustega.

Leheküljel navigeerimine.

Põhimõisted ja mõisted.

Olgu meil numbriline jada , kus .

Siin on näide numbrilisest jadast: .

Numbriseeria on vormi arvjada liikmete summa .

Arvrea näitena saame anda lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni summa nimetajaga q = -0,5: .

kutsutakse arvurea ühisliige ehk sarja k-s liige.

Eelmise näite puhul on arvuseeria ühine liige .

Arvjada osasumma on summa kujul , kus n on mingi naturaalarv. nimetatakse ka arvujada n-ndaks osasummaks.

Näiteks seeria neljas osasumma Seal on .

Osalised summad moodustavad arvujada osasummade lõpmatu jada.

Meie seeria jaoks leitakse n-s osasumma geomeetrilise progressiooni esimese n liikme summa valemiga , see tähendab, et meil on järgmine osasummade jada: .

Arvurida kutsutakse koonduvad, kui osasummade jadal on lõplik piir. Kui arvjada osasummade jada piiri ei eksisteeri või see on lõpmatu, siis nimetatakse jada nn. lahknev.

Konvergentse arvurea summa nimetatakse selle osasummade jada piiriks, see tähendab, .

Meie näites seega seeria läheneb ja selle summa võrdub kuueteistkümne kolmandikuga: .

Divergentse jada näide on geomeetrilise progressiooni summa, mille nimetaja on suurem kui üks: . N-nda osasumma annab , ja osasummade limiit on lõpmatu: .

Teine näide lahknevast arvuseeriast on vormi summa . Sel juhul saab n-nda osasumma arvutada järgmiselt. Osasummade piirmäär on lõpmatu .

Summavaade helistas harmooniliste arvude jada.

Summavaade , kus s on mingi reaalarv, kutsutakse üldistatud harmooniliste arvude jada.

Ülaltoodud definitsioonidest piisab järgmiste väga sageli kasutatavate väidete põhjendamiseks, soovitame need meeles pidada.

SARI HARMONIC ON Divergentne.

Tõestame harmooniliste ridade lahknemist.

Oletame, et seeria läheneb. Siis on selle osasummade piiratud piir. Sel juhul saame kirjutada ja , mis viib meid võrdsuseni .

Teisel pool,

Järgmised ebavõrdsused on väljaspool kahtlust. Seega,. Sellest tulenev ebavõrdsus ütleb meile, et võrdsus ei ole võimalik saavutada, mis on vastuolus meie eeldusega harmooniliste ridade konvergentsi kohta.

Järeldus: harmooniliste jada lahkneb.

TÜÜBI GEOMEETRILISE EDENEMISE KOKKUMINE ANDJAGA q ON KONVERGENTNE ARVUJADA IF JA ERINEV SERIA AT .

Tõestame seda.

Teame, et geomeetrilise progressiooni esimese n liikme summa leitakse valemiga .

Kui õiglane

mis näitab arvridade konvergentsi.

Kui q = 1 on meil arvuseeria . Selle osasummad leitakse kui , ja osasummade piir on lõpmatu , mis näitab antud juhul seeriate lahknemist.

Kui q \u003d -1, võtab numbriseeria kuju . Osalised summad omandavad paaritu n ja paaris n väärtuse. Sellest võime järeldada, et osasummade limiiti ei eksisteeri ja jada lahkneb.

Kui õiglane

mis näitab arvridade lahknemist.

GENERALISEERITUD HARMOONILISED SARJAD KONVERGEERIB s > 1 JA DIVERS FOR .

Tõestus.

Kui s = 1 saame harmoonilise jada ja eespool oleme kindlaks teinud selle lahknemise.

Kell s ebavõrdsus kehtib kõigi loomulike k kohta. Harmooniliste ridade lahknemise tõttu võib väita, et selle osasummade jada on piiramatu (kuna lõplikku piiri pole). Siis on arvjada osasummade jada seda piiramatum (selle jada iga liige on suurem kui harmooniliste jada vastav liige), seetõttu lahkneb üldistatud harmooniliste jada punktis s.

Jääb veel tõestada ridade konvergentsi s > 1 korral.

Kirjutame erinevuse:

Ilmselgelt siis

Kirjutame saadud võrratuse n = 2, 4, 8, 16, …

Neid tulemusi kasutades saab algse arvseeriaga teha järgmisi toiminguid.

Väljendus on geomeetrilise progressiooni summa, mille nimetaja on . Kuna me käsitleme s > 1 juhtumit, siis . Sellepärast
. Seega on üldistatud harmooniliste jadade osasummade jada s > 1 korral kasvav ja samal ajal ülevalt piiratud väärtusega , mistõttu on sellel piir, mis näitab jada konvergentsi . Tõestus on täielik.

Arvurida kutsutakse märgipositiivne kui kõik selle tingimused on positiivsed, st .

Arvurida kutsutakse vahelduv kui selle naaberterminite märgid on erinevad. Vahelduva numbriseeria saab kirjutada kujul või , Kus .

Arvurida kutsutakse vahelduv kui see sisaldab lõpmatu arvu nii positiivseid kui ka negatiivseid liikmeid.

Vahelduv numbriseeria on vahelduva jada erijuht.

auastmed

on vastavalt märgipositiivsed, märgivahelduvad ja märgivahelduvad.

Vahelduva jada jaoks on olemas absoluutse ja tingimusliku lähenemise kontseptsioon.

absoluutselt konvergentne, kui selle liikmete absoluutväärtuste jada läheneb, see tähendab, et positiivse märgiga arvjada läheneb.

Näiteks numbriread Ja absoluutselt koonduvad, kuna seeria läheneb , mis on lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni summa.

Vahelduvat seeriat nimetatakse tinglikult koonduvad kui jada lahkneb ja seeria läheneb.

Tinglikult koonduva arvurea näide on jada . Numbriseeria , mis koosneb algse seeria liikmete absoluutväärtustest, on lahknev, kuna see on harmooniline. Samal ajal on algseeria konvergentne, mis on hõlpsasti tuvastatav kasutades . Seega numbriline märk-vahelduv jada tinglikult koonduvad.

Konvergentsete arvridade omadused.

Näide.

Tõesta arvridade konvergentsi.

Lahendus.

Kirjutame sarja teistsugusel kujul . Arvridad koonduvad, kuna üldistatud harmooniliste jada on koonduv s > 1 korral ning koonduvate arvuridade teise omaduse tõttu koonduvad ka arvulise koefitsiendiga jada.

Näide.

Kas arvuread koonduvad?

Lahendus.

Muudame originaalsarja: . Seega oleme saanud kahe arvulise jada ja summa ning kumbki neist koondub (vt eelmist näidet). Seetõttu koondub koonduvate arvridade kolmanda omaduse tõttu ka esialgne jada.

Näide.

Tõesta arvuridade koondumine ja arvuta selle summa.

Lahendus.

Seda numbriseeriat saab esitada kahe seeria erinevusena:

Iga seeria on lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni summa, seetõttu on see koonduv. Konvergentsete ridade kolmas omadus võimaldab meil väita, et algne arvrida läheneb. Arvutame selle summa.

Seeria esimene liige on üks ja vastava geomeetrilise progressiooni nimetaja on 0,5, seega .

Seeria esimene liige on 3 ja vastava lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni nimetaja on 1/3, seega .

Kasutame saadud tulemusi algse arvuseeria summa leidmiseks:

Seeria konvergentsi vajalik tingimus.

Kui arvurida läheneb, on selle k-nda liikme piirmäär nulliga: .

Mis tahes konvergentsi arvridade uurimisel tuleb ennekõike kontrollida konvergentsi vajaliku tingimuse täitmist. Selle tingimuse täitmata jätmine näitab arvridade lahknemist, st kui , siis seeria lahkneb.

Teisest küljest tuleb mõista, et see tingimus ei ole piisav. See tähendab, et võrdsuse täitumine ei näita arvridade konvergentsi. Näiteks harmoonilise jada puhul on vajalik konvergentsi tingimus täidetud ja jada lahkneb.

Näide.

Uurige konvergentsi arvurida.

Lahendus.

Kontrollime arvridade konvergentsi vajalikku tingimust:

Piirang Arvrea n-s liige ei ole võrdne nulliga, seetõttu jada lahkneb.

Piisavad tingimused positiivse märgirea koondumiseks.

Kui kasutate arvuliste ridade konvergentsi uurimiseks piisavalt funktsioone, peate pidevalt tegelema parameetriga , seega soovitame raskuste korral seda jaotist vaadata.

Vajalik ja piisav tingimus positiivse märgiga arvurea koondumiseks.

Märgpositiivse arvurea konvergentsi jaoks on vajalik ja piisav, et selle osasummade jada oleks piiratud.

Alustame seeriate võrdlusfunktsioonidega. Nende olemus seisneb uuritud arvridade võrdlemises readega, mille konvergents või lahknemine on teada.

Esimene, teine ja kolmas võrdlusmärk.

Esimene märk ridade võrdlusest.

Olgu ja on kaks positiivse märgiga arvrida ja ebavõrdsus kehtib kõigi k = 1, 2, 3, ... kohta. Siis tähendab seeria konvergents konvergentsi ja seeria lahknemine lahknemist .

Esimest võrdluskriteeriumi kasutatakse väga sageli ja see on väga võimas tööriist arvridade konvergentsi uurimiseks. Põhiprobleemiks on võrdluseks sobiva sarja valik. Võrdlusrida valitakse tavaliselt (kuid mitte alati) nii, et selle k-nda liikme eksponent on võrdne uuritava arvurea k-nda liikme lugeja ja nimetaja eksponentide vahega. Näiteks olgu , lugeja ja nimetaja eksponentide vahe on 2 - 3 = -1, seetõttu valime võrdluseks k-nda liikmega jada ehk harmoonilise jada. Vaatame mõnda näidet.

Näide.

Määrake seeria konvergents või lahknevus.

Lahendus.

Kuna jada ühisliikme piirmäär on võrdne nulliga, siis on ridade konvergentsi vajalik tingimus täidetud.

On lihtne näha, et ebavõrdsus kehtib kõigi loomulike k kohta. Teame, et harmooniliste jada lahkneb, seetõttu on esimese võrdlusmärgi järgi ka algseeria lahknev.

Näide.

Uurige konvergentsi arvurida.

Lahendus.

Vajalik seisukord arvuridade konvergents on rahuldatud, kuna . On ilmne, et ebavõrdsus mis tahes loodusliku väärtuse k. Jada läheneb, kuna üldistatud harmooniliste jada koondub s > 1 korral. Seega võimaldab seeriate võrdluse esimene märk väita algsete arvridade konvergentsi.

Näide.

Määrake arvuridade konvergents või lahknemine.

Lahendus.

, seega on arvridade konvergentsi vajalik tingimus täidetud. Millist rida võrdluseks valida? Numbriline seeria viitab iseendale ja s-i määramiseks uurime hoolikalt numbrilist jada. Arvjada liikmed suurenevad lõpmatuse suunas. Seega, alustades mõnest arvust N (nimelt N = 1619 ), on selle jada liikmed suuremad kui 2 . Alates sellest arvust N kehtib võrratus . Arvrida koondub koonduvate ridade esimese omaduse tõttu, kuna see saadakse koonduvast jadast, jättes kõrvale esimesed N - 1 liikmed. Seega esimese võrdlusmärgi järgi on jada koonduv ja koonduvate arvridade esimese omaduse tõttu ka jada koondub.

Teine võrdlusmärk.

Olgu ja on märgipositiivsed arvridad. Kui , siis seeria konvergents tähendab konvergentsi . Kui , siis arvuliste ridade lahknevus tähendab lahknemist .

Tagajärg.

Kui ja , siis ühe rea konvergents eeldab teise ja lahknemine lahknemist.

Uurime seeriat konvergentsi suhtes teise võrdluskriteeriumi abil. Võtame koonduva seeria kui seeria. Leiame arvulise rea k-nda liikmete suhte piiri:

Seega teise võrdluskriteeriumi kohaselt eeldab arvridade konvergents algsete jadade konvergentsi.

Näide.

Uurige arvurea konvergentsi.

Lahendus.

Kontrollime ridade konvergentsi vajalikku tingimust . Tingimus on täidetud. Teise võrdlusmärgi rakendamiseks võtame harmoonilise jada. Leiame k-nda liikmete suhte piiri:

Järelikult tuleneb algseeria lahknevus harmooniliste jadade lahknemisest teise võrdluskriteeriumi järgi.

Teadmiseks toome välja kolmanda seeriate võrdlemise kriteeriumi.

Kolmas võrdlusmärk.

Olgu ja on märgipositiivsed arvjadad. Kui tingimus on täidetud alates teatud arvust N, siis rea konvergents eeldab lähenemist ja seeria lahknemine tähendab lahknemist.

d'Alemberti märk.

Kommenteeri.

d'Alemberti märk kehtib, kui piir on lõpmatu, st kui , siis seeria koondub, kui , siis seeria läheb lahku.

Kui , siis d'Alembert'i test ei anna teavet seeria konvergentsi või lahknemise kohta ning vaja on täiendavaid uuringuid.

Näide.

Uurige konvergentsi arvurida d'Alemberti põhjal.

Lahendus.

Kontrollime arvridade konvergentsi vajaliku tingimuse täitmist, arvutame limiidi järgmiselt:

Tingimus on täidetud.

Kasutame d'Alemberti märki:

Seega seeria läheneb.

Cauchy radikaalne märk.

Laskma olema positiivne märk number seeria. Kui , siis seeria läheneb, kui , siis seeria lahkneb.

Kommenteeri.

Cauchy radikaalne test kehtib, kui piir on lõpmatu, see tähendab, kui , siis seeria koondub, kui , siis seeria läheb lahku.

Kui , siis Cauchy radikaali test ei anna teavet seeria konvergentsi või lahknemise kohta ja vaja on täiendavaid uuringuid.

Tavaliselt on piisavalt lihtne näha juhtumeid, kus on kõige parem kasutada radikaalset Cauchy testi. Iseloomulik juhtum on see, kui arvurea ühisliige on eksponentsiaalselt jõu väljendus. Vaatame mõnda näidet.

Näide.

Uurige positiivse märgiga arvurida konvergentsi jaoks radikaalse Cauchy testi abil.

Lahendus.

. Radikaalse Cauchy testiga saame .

Seetõttu seeria läheneb.

Näide.

Kas arvuread koonduvad? .

Lahendus.

Kasutame radikaalset Cauchy testi , seetõttu arvurida koondub.

Integraalne Cauchy test.

Laskma olema positiivne märk number seeria. Koostame pideva argumendi y = f(x) funktsiooni sarnaselt funktsiooniga . Olgu funktsioon y = f(x) positiivne, pidev ja kahanev intervallil , kus ). Siis konvergentsi korral vale integraal koondub uuritud arvurida. Kui vale integraal lahkneb, siis lahkneb ka algseeria.

Funktsiooni y = f(x) lagunemise kontrollimisel intervalli jooksul võib jaotises toodud teooria olla kasulik.

Näide.

Uurige konvergentsi positiivsete terminitega arvurida.

Lahendus.

Rea konvergentsi vajalik tingimus on täidetud, kuna . Vaatleme funktsiooni. See on positiivne, pidev ja intervalliga kahanev. Selle funktsiooni järjepidevus ja positiivsus on väljaspool kahtlust, kuid peatume vähenemisel veidi üksikasjalikumalt. Leiame tuletise:
. See on intervallil negatiivne, seetõttu funktsioon sellel intervallil väheneb.

Jean Léron d'Alembert on 18. sajandi kuulus prantsuse matemaatik. Üldiselt spetsialiseerus d'Alembert diferentsiaalvõrranditele ja tegeles oma uuringute põhjal ballistikaga, et Tema Majesteedi kahurikuulid paremini lendaksid. Samal ajal ei unustanud ma numbrilisi seeriaid, polnud asjata, et Napoleoni vägede read lähenesid ja lahknesid nii selgelt.

Enne märgi enda sõnastamist mõelgem ühele olulisele küsimusele:
Millal tuleks kasutada d'Alemberti lähenemiskriteeriumi?

D'Alemberti märgi paigaldamise peamised eeldused on järgmised:

1) Rea ühisliige (rea “täidis”) sisaldab astmes mõnda numbrit, näiteks , jne. Pealegi pole üldse vahet, kus see asi asub, kas lugejas või nimetajas – oluline on, et see seal oleks.

2) Sarja üldmõiste hõlmab faktoriaali. Mis on faktoriaal? Pole midagi keerulist, faktoriaal on lihtsalt toote kokkuvolditud kirje:

…

…

! Kui kasutate d'Alemberti testi, peame lihtsalt faktoriaali üksikasjalikult värvima. Nagu eelmises lõigus, võib faktoriaal asuda murdosa üla- või alaosas.

3) Kui seeria ühises terminis on “tegurite ahel”, näiteks . See juhtum on haruldane, kuid! Sellise seeria uurimisel tehakse sageli viga – vaata näidet 6.

Koos astmete ja (ja) faktoriaalidega leitakse seeria täidises sageli ka polünoomid, see ei muuda asja – selleks tuleb kasutada d'Alemberti testi.

Kellel on endiselt probleeme piirangutega või piiridest arusaamatusega, vaadake teemat Piirid. Lahendusnäited. Ilma piiri mõistmise ja ebakindluse edasise paljastamiseta ei saa kahjuks edasi liikuda. Ja nüüd kauaoodatud näited.

Näide 1
Näeme, et seeria ühises terminis on meil , ja see on õige eeldus, et peame kasutama d'Alemberti testi. Esiteks terviklahendus ja disaininäidis, kommentaarid allpool.

Kasutame d'Alemberti testi:

koondub.

Näide 2 Võtke sarnane seeria ja uurige seda lähenemise suhtes
Kõigepealt täislahendus, seejärel kommentaarid:

Kasutame d'Alemberti testi:

Seega uuritav sari koondub.

(1) Koostage suhe .
(2) Vabane neljakorruselisest murrust.
(3) Vaatleme avaldist lugejas ja avaldist nimetajas. Näeme, et lugejas peate avama sulud ja tõstma neljanda astmeni: , mida te üldse teha ei taha. Lisaks ei pruugi see ülesanne olla üldse teostatav neile, kes ei tunne Newtoni binoom. Analüüsime kõrgeimaid astmeid: kui avame ülaosas olevad sulud, saame kõrgeima astme. Allpool on meil sama kõrgem kraad: . Analoogiliselt eelmise näitega on ilmne, et lugeja ja nimetaja terminite kaupa jagamisel saame limiidis ühe. Või nagu matemaatikud ütlevad, polünoomid ja - üks kasvujärjekord. Seega on täiesti võimalik lihtsa pliiatsiga suhe ringi teha ja kohe näidata, et see asi kipub ühtsusele. Samamoodi käsitleme teist polünoomide paari: ja , ka nemad üks kasvujärjekord, ja nende suhe kipub olema ühtne.

Tegelikult oleks sellise “häkkimise” saanud teha ka näites nr 1, aga 2. astme polünoomi puhul näeb selline lahendus ikkagi kuidagi ebaväärikas välja. Mina isiklikult teen seda: kui on olemas esimese või teise astme polünoom (või polünoomid), kasutan näite 1 lahendamiseks "pikka" meetodit. Kui satub 3. või kõrgema astme polünoom, kasutan "turbot". " meetod, mis sarnaneb näitega 2.

Näide 3 .

Vaatleme tüüpilisi näiteid faktoriaalidega:

Näide 4 Uurige seeriat lähenemise suhtes

Sarja ühine termin hõlmab nii kraadi kui faktoriaali. Selge kui päevavalgus, et siin tuleb kasutada d'Alemberti silti. Meie otsustame.

Seega uuritav sari lahkneb.

(1) Koostage suhe . Kordame uuesti. Tingimuse järgi on seeria levinud termin: . Sarja järgmise liikme saamiseks tuleks selle asemel asendada, Seega: .
(2) Vabane neljakorruselisest murrust.
(3) Näpistame kraadilt seitsme ära. Faktoreid kirjeldatakse üksikasjalikult. Kuidas seda teha – vaata õppetunni algusest.
(4) Vähendage kõike, mida saab vähendada.
(5) Viime konstandi üle piiri märgi. Ava lugejas sulud.
(6) Määramatus kõrvaldatakse standardsel viisil - jagades lugeja ja nimetaja "en"-ga kõrgeima astmeni.

Näide 5 Uurige seeriat konvergentsi suhtes Täielik lahendus on allpool.

Näide 6 Uurige seeriat lähenemise suhtes

Näidislahendus võib välja näha järgmine: d'Alemberti testi kasutamine:
Seega uuritav sari koondub.
RADIKAALNE MÄRK

Augustin Louis Cauchy on veelgi kuulsam prantsuse matemaatik. Cauchy eluloo võib teile rääkida iga tehnika eriala üliõpilane. Kõige ilusamates värvides. Pole juhus, et see perekonnanimi on nikerdatud Eiffeli torni esimesele korrusele.

Cauchy konvergentsi test positiivsete arvridade jaoks on mõnevõrra sarnane äsja vaadeldud d'Alemberti testiga.

Cauchy radikaalne märk: Kaaluge positiivne arvuseeria. Kui on piirang: , siis:
a) järjest koondub. Eelkõige koondub seeria jaoks .
b) järjest lahkneb. Eelkõige erineb seeria .
c) Millal märk ei reageeri. Peate kasutama teist märki. Huvitav on märkida, et kui Cauchy test ei anna meile vastust seeria konvergentsi küsimusele, siis d'Alemberti test ei anna ka vastust. Kuid kui d'Alemberti märk ei anna vastust, võib Cauchy märk "töötada". See tähendab, et Cauchy märk on selles mõttes tugevam märk.

Millal peaksite Cauchy radikaali märki kasutama? Radikaalset Cauchy testi kasutatakse tavaliselt juhtudel, kui seeria ühine termin TÄIELIKULT on kraadis sõltub "en"-st. Või kui seeria ühisest liikmest on ammutatud juur "hea". Eksootilisi juhtumeid on ikka, aga nendega me pead ei löö.

Näide 7 Uurige seeriat lähenemise suhtes

Näeme, et seeria ühine termin on täielikult alla astme, mis sõltub , mis tähendab, et peame kasutama radikaalset Cauchy testi:

Seega uuritav sari lahkneb.

(1) Teeme juure all välja seeria ühise termini.
(2) Kirjutame sama asja ümber, ainult ilma juureta, kasutades kraadide omadust.
(3) Eksponentis jagame lugeja nimetajaga liikme kaupa, mis näitab, et
(4) Selle tulemusena on meil ebakindlus . Siin võiks minna kaugele: kuubik, kuup, seejärel jagage lugeja ja nimetaja "en"-ga kõrgeimas astmes. Kuid sel juhul on tõhusam lahendus: saate lugeja ja nimetaja terminikaupa jagada otse kraadikonstandi all. Määramatuse kõrvaldamiseks jagame lugeja ja nimetaja (suurima astmega).
(5) Teostame jagamise termini järgi ja näitame ära tingimused, mis kipuvad olema nulli.
(6) Tuletame vastuse meelde, märgime selle ja järeldame, et seeriad lahknevad.

Ja siin on lihtsam näide sõltumatu otsus:

Näide 8 Uurige seeriat lähenemise suhtes

Ja veel paar tüüpilist näidet.

Täislahendus ja näidiskujundus on allpool.

Näide 9 Uurige seeriat lähenemise suhtes
Kasutame radikaalset Cauchy testi:

Seega uuritav sari koondub.

(1) Asetage seeria ühine termin juure alla.
(2) Kirjutame sama asja ümber, kuid ilma juureta, avades sulgud, kasutades lühendatud korrutusvalemit: .
(3) Eksponentis jagame lugeja nimetajaga termini kaupa ja märgime, et .
(4) Saadakse vormi määramatus. Siin saate jagada lugeja nimetajaga "en"-ga kõrgeima astmeni paremal sulgudes. Midagi sarnast kohtasime ka õppides teine märkimisväärne piir. Kuid siin on olukord erinev. Kui koefitsiendid suurematel võimsustel oleksid sama, näiteks: , siis poleks terminite kaupa jaotusega trikk läbi läinud ja oleks vaja kasutada teist imeline piir. Aga meil on need koefitsiendid erinev(5 ja 6), seetõttu on võimalik (ja vajalik) terminit termini kaupa jagada (muide, vastupidi - teine imeline piir erinev koefitsiendid suurematel võimsustel ei tööta enam).
(5) Jagame tegelikult terminite kaupa ja näitame, millised terminid kipuvad meie puhul olema nulli.
(6) Määramatus kaob, jääb lihtsaim piir: Miks sisse lõpmatult suur kraad kipub nulli? Sest astme baas rahuldab ebavõrdsust . Kui kellelgi on limiidi õigluses kahtlusi, siis ma ei ole laisk, võtan kalkulaatori kätte:
Kui siis
Kui siis
Kui siis
Kui siis
Kui siis
… jne. lõpmatuseni - see tähendab piirides:
(7) Näitame seda ja järeldame, et seeria läheneb.

Näide 10 Uurige seeriat lähenemise suhtes

See on tee-seda-ise näide.

Mõnikord pakutakse lahenduseks provokatiivset näidet, näiteks:. Siin eksponendis ei "en", ainult konstant. Siin peate panema lugeja ja nimetaja ruutu (polünoomid osutuvad välja) ja seejärel järgima artiklis toodud algoritmi Teekannu read. Sellises näites peaks toimima kas ridade konvergentsi vajalik kriteerium või võrdluse piirkriteerium.
INTEGRAL CAUCHY TEST

Ma valmistan pettumuse neile, kes õppisid esimese kursuse materjali halvasti. Integraali Cauchy kriteeriumi rakendamiseks on vaja enam-vähem enesekindlalt leida tuletisi, integraale ning omada ka arvutamisoskust. vale integraal esimene liik. Õpikutes jaoks matemaatiline analüüs Cauchy integraalkriteerium on antud matemaatiliselt rangelt, sõnastagem kriteerium üsna primitiivselt, aga arusaadavalt. Ja kohe näited täpsustuseks.

Integreeritud Cauchy märk: Kaaluge positiivne arvuseeria. See seeria läheneb või lahkneb

Näide 11 Uurige seeriat lähenemise suhtes

Peaaegu klassika. Loomulik logaritm ja mingi jama.

Integraalse Cauchy testi kasutamise põhitingimus on asjaolu, et seeria ühisliige sisaldab mõnda funktsiooni ja selle tuletist. Teemast Tuletis ilmselt mäletate kõige lihtsamat tabelivormi: , ja meil on just selline kanooniline juhtum.

Kuidas kasutada integraalmärki? Esiteks võtame integraaliikooni ja kirjutame rea loendurilt ümber ülemise ja alumise piiri: . Seejärel kirjutame integraali alla rea “täidise” ümber tähega “he”:. Midagi on puudu ..., oh, jah, lugejasse tuleb ka diferentsiaali ikoon kleepida: .

Nüüd peame arvutama vale integraali. Sel juhul on võimalikud kaks juhtumit:

1) Kui selgub, et integraal koondub, siis koondub ka meie seeria.

2) Kui selgub, et integraal lahkneb, siis lahkneb ka meie seeria.

Kordan, kui materjal töötab, on lõigu lugemine keeruline ja ebaselge, kuna funktsiooni rakendamine taandub sisuliselt arvutamisele vale integraal esimene liik.

Näite terviklahendus ja kujundus peaks välja nägema umbes selline:

Kasutame lahutamatut funktsiooni:

Seega uuritav sari lahkneb koos vastava vale integraaliga.

Näide 12 Uurige seeriat lähenemise suhtes

Lahendus ja näidiskujundus tunni lõpus

Vaadeldavates näidetes võiks logaritm olla ka juure all, see ei muudaks lahendusmeetodit.

Ja veel kaks näidet suupisteks

Näide 13 Uurige seeriat lähenemise suhtes

Levinud "parameetrite" järgi näib seeria ühisnimetus olevat sobiv piirväärtuse võrdluskriteeriumi kasutamiseks. Peate lihtsalt avama sulud ja andma kohe kandidaadile üle, et võrrelda seda seeriat koonduvate seeriatega nii palju kui võimalik. Siiski olin veidi kaval, sulgusid ei pruugita avada, aga sellegipoolest näeb limiite võrdluskriteeriumi kaudu lahendus üsna pretensioonikas välja.

Seetõttu kasutame integraalset Cauchy testi:

Integrand töötab pidevalt

koondub koos vastava vale integraaliga.

! Märge:saadud number -ei ole sarja summa!

Näide 14 Uurige seeriat lähenemise suhtes

Lahendus- ja kujundusmall lõppeva osa lõpus.

Arvuridade teema lõplikuks ja pöördumatuks assimilatsiooniks külastage teemasid.

Lahendused ja vastused:

Näide 3:Kasutame d'Alemberti testi:

Seega uuritav sari lahkneb.
Märkus. Võite kasutada ka "turbo" lahendusmeetodit: ringige suhe kohe pliiatsiga, märkige, et see kipub ühtlustuma, ja tehke märge: "sama kasvujärjekorraga".

Näide 5: d'Alemberti testi kasutamine: Seega uuritav seeria koondub.

Näide 8:

Seega uuritav sari koondub.

Näide 10:
Kasutame radikaalset Cauchy testi.

Seega uuritav sari lahkneb.
Märkus. Siin on kraadi alus, nii et

Näide 12: kasutame integreeritud funktsiooni.

Saadakse lõplik arv, mis tähendab, et uuritav seeria koondub

Näide 14: Kasutame integraalmärki
Integrand on pidev sisselülitatud .

Seega uuritav sari lahkneb koos vastava vale integraaliga.
Märkus. Sarja saab uurida ka kasutadesPiiratud võrdluskriteerium . Selleks tuleb avada juure all olevad sulud ja võrrelda uuritavat seeriat lahknevate seeriatega.

Vahelduvad read. Leibnizi märk. Lahendusnäited

Selle õppetunni näidete mõistmiseks on vaja hästi tunda positiivseid arvulisi jadaid: mõista, mis on jada, teada jada vajalikku lähenemismärki, osata rakendada võrdlusmärke, d' Alemberti märk, Cauchy märgid. Teema saab tõstatada peaaegu nullist, kui artikleid järjest uurida Teekannu read Ja d'Alemberti märk. Cauchy märgid. Loogiliselt võttes on see õppetund järjekorras kolmas ja see võimaldab mitte ainult mõista vahelduvaid ridu, vaid ka koondada juba käsitletud materjali! Uudsust on vähe ja vahelduvate ridade valdamine pole keeruline. Kõik on lihtne ja taskukohane.

Mis on vahelduv seeria? See on selge või peaaegu selge juba nimest endast. Kohe kõige lihtsam näide. Mõelge sarjale ja kirjutage see üksikasjalikumalt:

Nüüd tapja kommentaariks. Vahelduva seeria liikmed vahelduvad märgid: pluss, miinus, pluss, miinus, pluss, miinus jne. lõpmatuseni.
Põimimine annab kordaja: kui paaris, siis on plussmärk, kui paaritu, siis miinusmärk. Matemaatilises kõnepruugis nimetatakse seda vahendit vilkuriks. Seega on vahelduv seeria "identifitseeritud" miinus ühega "en" astmeni.

Praktilistes näidetes võib seeria liikmete vaheldumine anda mitte ainult teguri , vaid ka selle õdesid-vendi: , , , …. Näiteks:

Lõks on "nipid":, jne. on sellised kordajad märgi vahetust ei paku. On täiesti selge, et iga loodusliku : , , . Trikkidega ridu libistatakse mitte ainult eriti andekatele õpilastele, vaid need ilmuvad aeg-ajalt lahendamise käigus "iseenesest". funktsionaalsed read.

Kuidas uurida vahelduvat seeriat konvergentsi jaoks? Kasutage Leibnizi märki. Ma ei taha rääkida Saksa mõttehiiglasest Gottfried Wilhelm Leibnizist, sest lisaks matemaatikatöödele lõi ta mitu köidet filosoofiast. Ohtlik ajule.

Leibnizi märk: Kui vahelduva sarja liikmed monotoonselt vähenda moodulit, siis seeria koondub. Või kahes lõigus:

2) Seeria tingimused kahanevad modulo: . Pealegi vähenevad need monotoonselt.

Kui täidetakse mõlemad tingimustel, siis seeria läheneb.

Lühike teave mooduli kohta on toodud juhendisKuumad valemid koolikursus matemaatika , kuid mugavuse huvides:

Mida tähendab "modulo"? Moodul, nagu me kooliajast mäletame, "sööb" miinusmärgi ära. Lähme tagasi sarja juurde. Kustutage vaimselt kõik märgid kustutuskummiga ja vaata numbreid. Seda me näeme iga järgmine rea liige vähem kui eelmine. Seega tähendavad järgmised fraasid sama asja:

– sarja liikmed ilma märgita vähenema.
– Sarja liikmete arv väheneb modulo.
– Sarja liikmete arv väheneb absoluutväärtuses.
– Moodul seeria ühine termin kipub olema null: Abi lõpp

Räägime nüüd natuke monotoonsusest. Monotoonsus on igav püsivus.

Rea liikmed rangelt monotoonne vähendada moodulit, kui seeria IGA JÄRGMINE liige modulo VÄHEM kui eelmine: . Sarja jaoks viiakse läbi range vähenemise monotoonsus, selle võib üksikasjalikult kirjutada:

Ja lühidalt võib öelda: iga järgmine sarja liige modulo vähem kui eelmine: .

Rea liikmed mitte rangelt monotoonne mooduli vähenemine, kui seeria mooduli IGA JÄRGMINE liige EI OLE SUUREM KUI eelmine: . Vaatleme faktoriaaliga seeriat: Siin toimub mitterange monotoonsus, kuna seeria kahel esimesel liikmel on sama moodul. See tähendab, et sarja iga järgmine liige modulo mitte rohkem kui eelmine: .

Näide 1 Uurige seeriat lähenemise suhtes

Seeria levinud termin sisaldab tegurit , mis tähendab, et peate kasutama Leibnizi testi

1) Rea vahelduse kontrollimine. Tavaliselt selles otsuse punktis kirjeldatakse seeriat üksikasjalikult ja tehakse otsus "Seeria on vaheldumisi märgiga".

2) Kas seeria tingimused vähenevad modulo? Vaja on lahendada limiit, mis on enamasti väga lihtne.

– seeria tingimused ei vähene modulo. Muide, kahanemise monotoonsuse üle pole vaja arutleda. Järeldus: seeria läheb lahku.

Kuidas aru saada, mis on võrdne? Väga lihtne. Nagu teate, hävitab moodul miinused, nii et tasa tegemiseks peate lihtsalt vilkuva majaka katuselt eemaldama. Sel juhul on seeria ühine termin . Rumalalt eemalda "vilk":.

Näide 2 Uurige seeriat lähenemise suhtes

Kasutame Leibnizi märki:

1) Seeria on märgi-vahelduv.

2) - rea liikmed vähenevad absoluutväärtuses. Seeria iga järgmine liige on väiksema mooduliga kui eelmine: seega on vähenemine monotoonne.

Järeldus: seeria läheneb.

Kõik oleks väga lihtne – aga see pole lahenduse lõpp!

Kui Leibnizi testi järgi jada koondub, siis öeldakse, et seeria on ka koondub tinglikult.

Kui moodulitest koosnev jada ka koondub: , siis ütleme, et seeria ühtlustub absoluutselt.

Seetõttu on päevakorras tüüpilise ülesande lahendamise teine etapp - absoluutse lähenemise vahelduva jada uurimine.

Ma pole süüdi - selline arvuridade teooria =)

Uurime oma seeriat absoluutse lähenemise suhtes.
Koostame rea mooduleid - jällegi eemaldame lihtsalt teguri, mis tagab märkide vaheldumise: - lahkneb (harmoonilised jadad).

Seega meie sari ei ole absoluutselt konvergentne.
Õppesari koondub ainult tingimuslikult.

Pange tähele, et näites nr 1 ei ole vaja läbi viia mitteabsoluutse konvergentsi uuringut, kuna esimeses etapis jõuti järeldusele, et seeria lahkneb.

Korjame kokku kopad, labidad, autod ja lahkume liivakastist, et minu ekskavaatori kabiinist suurte silmadega maailma vaadata:

Näide 3 Konvergentsi ridade uurimine Kasutame Leibnizi testi:

1)
See seeria on märkide vahelduv.

2) - rea liikmed vähenevad absoluutväärtuses. Seeria iga järgmine liige on väiksema mooduliga kui eelmine: , mis tähendab, et vähenemine on monotoonne. Järeldus: seeria läheneb.

Analüüsides seeria täitmist, jõuame järeldusele, et siin on vaja kasutada võrdluse piirmärki. Sulgude avamine nimetajas on mugavam:

Võrrelge seda seeriat koonduvate seeriatega. Võrdluseks kasutame piirtesti.

Saadakse nullist erinev lõplik arv, mis tähendab, et seeria koondub kokku jadaga . Õppesari ühtlustub absoluutselt.

Näide 4 Uurige seeriat lähenemise suhtes

Näide 5 Uurige seeriat lähenemise suhtes

Need on eneseabi näited. Terviklahendus ja näidiskujundus osa lõpus.

Nagu näete, on ridade vaheldumine lihtne ja igav! Kuid ärge kiirustage lehte sulgema, vaid paaril ekraanil käsitleme juhtumit, mis hämmastab paljusid. Seniks paar näidet treenimiseks ja kordamiseks.

Näide 6 Uurige seeriat lähenemise suhtes

Kasutame Leibnizi testi.
1) Seeria on märgi-vahelduv.
2)
Sarja tingimused vähenevad modulo. Iga järgmine seeria liige on mooduli poolest väiksem kui eelmine, mis tähendab, et vähenemine on monotoonne. Järeldus: seeria läheneb.

Pange tähele, et ma ei kirjeldanud üksikasjalikult sarja liikmeid. Neid on alati soovitav maalida, kuid ületamatust laiskusest "rasketel" juhtudel võib piirduda lausega "Sari on vaheldumisi märgiga". Muide, te ei pea seda punkti formaalselt võtma, alati kontrollida(vähemalt vaimselt), et sari tõesti vaheldub. Põgus pilk ebaõnnestub ja "masinas" tehakse viga. Pidage meeles "nippe" , , , kui need on olemas, siis peate neist vabanema, hankides positiivsete terminitega "tavalise" seeria.

Teine peensus puudutab fraasi monotoonsuse kohta, mida ma samuti nii palju kui võimalik vähendasin. Saate seda teha ja peaaegu alati arvestatakse teie ülesannet. Ma ütlen väga halvasti - isiklikult vaikin sageli monotoonsusest ja selline arv läheb üle. Kuid olge valmis maalima kõike üksikasjalikult, kuni üksikasjalike ebavõrdsuse ahelateni (vt näidet õppetunni alguses). Lisaks ei ole mõnikord monotoonsus range ja seda tuleb ka jälgida, et asendada sõna "vähem" sõnaga "mitte rohkem".

Uurime seeriat absoluutse lähenemise jaoks:

Ilmselgelt peate kasutama radikaalset Cauchy testi:

Seega seeria läheneb. Õppesari ühtlustub absoluutselt.

Näide 7 Uurige seeriat lähenemise suhtes

See on näide iseseisva lahenduse jaoks.Tihti on vahelduvad seeriad, mis tekitavad raskusi.

Näide 8 Uurige seeriat lähenemise suhtes

Kasutame Leibnizi märki:
1) Seeria on märgi-vahelduv.

MÄRKUS: funktsiooni kasvujärjekorra kontseptsiooni käsitletakse üksikasjalikult artiklisLimit Lahendusmeetodid . Meil on järjestuse piirid, kuid see ei muuda asja mõtet.

Kui lugeja at kasvab kiiremini kui faktoriaal, siis . Kui faktoriaal kasvab lõpmatuses kiiremini kui lugeja, siis vastupidi, see “tõmbab” piiri nulli: . Või äkki võrdub see piir mingi nullist erineva arvuga?

Proovime kirja panna sarja esimesed terminid:
võite asendada mõne tuhandekraadise polünoomiga, see jällegi olukorda ei muuda - varem või hiljem "mööda" faktoriaal ikkagi sellisest kohutavast polünoomist. Faktoriaalne kõrgem kasvujärjekord kui ükski võimsusjada.

– Faktoriaal kasvab kiiremini kui mis tahes koguses toode eksponentsiaal- ja võimsusjärjestused (meie juhtum).

– Ükskõik milline eksponentsiaalne jada kasvab kiiremini kui ükski võimsusjada, näiteks: , . eksponentsiaalne jada kõrgem kasvujärjekord kui ükski võimsusjada. Sarnaselt faktoriaaliga "tõmbab" eksponentsiaalne jada mis tahes arvu astmejadade või polünoomide korrutist: .

– Kas on midagi “lahedamat” kui faktoriaal? Sööma! Eksponentjada ("en" astmeni "en") kasvab kiiremini kui faktoriaal. Praktikas on see haruldane, kuid teave ei ole üleliigne. Abi lõpp

Seega võib uuringu teise punkti (kas seda veel mäletate? =)) kirjutada järgmiselt:
2) , kuna see on suurem kui .
Seeria tingimused vähenevad modulo, alustades mõnest numbrist, samas on seeria iga järgmine liige absoluutväärtuses väiksem kui eelmine, seega on vähenemine monotoonne.

Järeldus: seeria läheneb.

Siin on just see kurioosne juhtum, kui seeria tingimused esmalt absoluutväärtuses kasvavad, mistõttu on meil limiidi kohta ekslik esialgne arvamus. Aga, alustades mõnest numbrist "en", faktoriaal möödub lugeja poolt ja seeria “saba” muutub monotoonselt kahanevaks, mis on Leibnizi teoreemi tingimuste täitmiseks põhimõtteliselt oluline. Üsna raske on välja selgitada, millega see “en” täpselt võrdub.

Vastava teoreemi kohaselt eeldab jada absoluutne konvergents jada tinglikku lähenemist. Järeldus: Õppesarjad ühtlustub absoluutselt.

Ja lõpuks paar näidet iseseisvaks lahenduseks. Üks samast ooperist (loe spikrit uuesti), aga lihtsam. Teine gurmaanide jaoks on ühtse lähenemise märgi fikseerimine.

Näide 9 Uurige seeriat lähenemise suhtes

Näide 10 Uurige seeriat lähenemise suhtes

Pärast arvuliste positiivsete ja vahelduvate seeriate kvalitatiivset uurimist puhta südametunnistusega võite minna funktsionaalsed read, mis pole vähem monotoonsed ja ühtlased, on huvitavad.

Lahendused ja vastused:

Näide 4: Kasutame Leibnizi märki:

1) See seeria on vahelduv.
2)
Sarja tingimused modulo ei vähene. Järeldus: seeria läheb lahku.. , samas on seeria iga järgmine liige absoluutväärtuses väiksem kui eelmine, seega on vähenemine monotoonne.

Seega lahkneb seeria koos vastava ebaõige integraaliga. Õppesari koondub ainult tingimuslikult.

Põhimõisted ja mõisted.

Konvergentsete arvridade omadused.

Seeria konvergentsi vajalik tingimus.

Piisavad tingimused positiivse märgirea koondumiseks.

Vajalik ja piisav tingimus positiivse märgiga arvurea koondumiseks.

Esimene, teine ​​ja kolmas võrdlusmärk.

d'Alemberti märk.

Cauchy radikaalne märk.

Integraalne Cauchy test.

Võib-olla olete huvitatud

Esimene, teine ja kolmas võrdlusmärk.