KRAD RATSIOONI INDIKAATORIGA,

TOITEFUNKTSIOON IV

§ 79. Teosest ja jagatisest juurte väljavõtmine

1. teoreem. Juur P positiivsete arvude korrutise aste on võrdne juurte korrutisega P tegurite aste, st millal A > 0, b > 0 ja loomulik P

n √ab = n √a n √b . (1)

Tõestus. Tuletage meelde, et juur P positiivse arvu astmes ab on positiivne arv P - mille aste on võrdne ab . Seetõttu on võrdsuse (1) tõestamine sama, mis võrdsuse tõestamine

(n √a n √b ) n = ab .

Toote astme omaduse järgi

(n √a n √b ) n = (n √a ) n (n √b ) n =.

Aga juure definitsiooni järgi P aste ( n √a ) n = A , (n √b ) n = b .

Sellepärast ( n √a n √b ) n = ab . Teoreem on tõestatud.

Nõue A > 0, b > 0 on oluline ainult paarisarvu jaoks P , sest negatiivse jaoks A Ja b ja isegi P juured n √a Ja n √b ei ole defineeritud. Kui P paaritu, siis valem (1) kehtib mis tahes A Ja b (nii positiivsed kui negatiivsed).

Näited: √16 121 = √16 √121 = 4 11 = 44.

3 √-125 27 = 3 √-125 3 √27 = -5 3 = - 15

Valem (1) on kasulik juurte arvutamisel, kui juuravaldis on esitatud täpsete ruutude korrutisena. Näiteks,

√153 2 -72 2 = √ (153+ 72) (153-72) = √225 81 = 15 9 = 135.

Tõestasime teoreemi 1 juhuks, kui valemi (1) vasakul küljel olev radikaali märk on kahe positiivse arvu korrutis. Tegelikult kehtib see teoreem mis tahes arvu positiivsete tegurite, st mis tahes looduslike tegurite kohta k > 2:

Tagajärg. Lugedes seda identiteeti paremalt vasakule, saame järgmise reegli juurte korrutamiseks samade astendajatega;

Juurte korrutamiseks samade astendajatega piisab juuravaldiste korrutamisest, jättes juure eksponendi samaks.

Näiteks √3 √8 √6 = √3 8 6 = √144 = 12.

2. teoreem. Juur P murdarvu aste, mille lugeja ja nimetaja on positiivsed arvud, on võrdne jagatisega, mis jagatakse lugejast sama astme juurega nimetaja sama astme juurega, ehk millal A > 0 ja b > 0

(2)

Võrdsuse tõestamine (2) tähendab selle näitamist

Murru astmeks tõstmise ja juure määramise reegli järgi n kraad meil on:

Seega on teoreem tõestatud.

Nõue A > 0 ja b > 0 on oluline ainult paarisarvu jaoks P . Kui P paaritu, siis valem (2) kehtib ka negatiivsete väärtuste puhul A Ja b .

Tagajärg. Lugedes identiteeti paremalt vasakule saame järgmise reegli juurte jagamiseks samade astendajatega:

Juurte jagamiseks samade astendajatega piisab juuravaldiste jagamisest, jättes juure eksponendi samaks.

Näiteks,

Harjutused

554. Kus teoreemi 1 tõestuses kasutasime tõsiasja, et A Ja b positiivne?

Miks paarituga P valem (1) kehtib ka kohta negatiivsed arvud A Ja b ?

Millistel väärtustel X võrdõiguslikkuse andmed on õiged (nr 555-560):

555. √x 2 - 9 = √x -3 √x + 3 .

556. 4 √ (x - 2) (8 - x ) = 4 √x - 2 4 √ 8 - x

557. 3 √ (X + 1) (X - 5) = 3 √x +1 3 √x - 5 .

558. √ X (X + 1) (X + 2) = √ X √ (X + 1) √ (X + 2)

559. √ (x - a ) 3 = (√ x - a ) 3 .

560. 3 √ (X - 5) 2 = (3 √ X - 5 ) 2 .

561. Arvuta:

a) √ 173 2-52 2; V) √ 200 2 - 56 2 ;

b) √ 3732-2522; G) √ 242,5 2 - 46,5 2 .

562. In täisnurkne kolmnurk hüpotenuus on 205 cm ja üks jalg on 84 cm. Otsige üles teine ​​jalg.

563. Mitu korda:

555. X > 3. 556. 2 < X < 8. 557. X - mis tahes number. 558. X > 0. 559. X > A . 560. X - mis tahes number. 563. a) Kolm korda.

Teema teave: Tutvustage ruutjuure teoreemi murdude jaoks. Õpilaste omandatud teadmiste kinnistamine teemadel: “Aritmeetiline ruutjuur”, “Kraadi ruutjuur”, “Korrutise ruutjuur”. Kiirloendamise oskuste tugevdamine.

Tegevus-suhtlemine:õpilaste loogilise mõtlemise, korrektse ja pädeva kõne, kiire reageerimise oskuste arendamine ja kujundamine.

Väärtustele orienteeritud:äratada õpilastes huvi selle teema ja selle aine uurimise vastu. Oskus omandatud teadmisi rakendada praktiline tegevus ja muudel teemadel.

1. Korrake aritmeetika definitsiooni ruutjuur.

2. Korrake ruutjuure teoreemi kraadist.

3. Korrake ruutjuure teoreemi korrutisest.

4. Arenda suulise loendamise oskust.

5. Valmistage õpilased ette teema "murru ruutjuur" õppimiseks ja geomeetria materjali valdamiseks.

6. Rääkige aritmeetilise juure tekkeloost.

Didaktilised materjalid ja vahendid: didaktilise tunni kaart (lisa 1), tahvel, kriit, kaardid individuaalseteks ülesanneteks (arvestades õpilaste individuaalseid võimeid), kaardid suuliseks loendamiseks, kaardid iseseisvaks tööks.

Tundide ajal:

1. Aja organiseerimine: pane kirja tunni teema, püstitades tunni eesmärgi ja eesmärgid (õpilastele).

Teema õppetund: Murru ruutjuur.

Tunni eesmärk: täna tunnis kordame aritmeetilise ruutjuure definitsiooni, teoreemi astme ruutjuure ja korrutise ruutjuure kohta. Ja tutvume teoreemiga murru ruutjuure kohta.

Tunni eesmärgid:

1) kordama peast loendamise abil ruutjuure määratlusi ning astme ja korrutise ruutjuure teoreeme;

2) suulise loenduse ajal täidavad mõned poisid kaartidel ülesandeid;

3) uue materjali selgitamine;

4) ajalooline taust;

5) ülesannete täitmine iseseisev töö(prooviks).

2. Frontaalne uuring:

1) verbaalne loendamine: võtke ruutjuur järgmistest avaldistest:

a) arvutage ruutjuure definitsiooni abil:;;; ;

b) tabeliväärtused: ; ;;;;; ;

c) toote ruutjuur ;;;;

d) astme ruutjuur;;;;; ;

e) võta sulgudest välja ühistegur:;; ;.

2) individuaalne töö kaartide järgi: Lisa 2.

3. Kontrollige D/Z:

4. Uue materjali selgitus:

Kirjutage õpilastele tahvlile ülesanne vastavalt valikutele "arvuta murru ruutjuur":

1. võimalus: =

Variant 2: =

Kui poisid täitsid esimese ülesande: küsige, kuidas nad seda tegid?

Variant 1: esitatakse ruudu kujul ja võetakse vastu. Tee järeldus.

Variant 2: esitatakse lugeja ja nimetaja, kasutades vormis olevat kraadi määratlust ja saadud.

Too veel näiteid, näiteks arvuta murdosa ruutjuur; ; .

Joonistage analoogia sõnasõnalises vormis:

Sisesta teoreem.

Teoreem. Kui a on suurem või võrdne 0-ga, c on suurem kui 0, siis on murru a / b juur võrdne murdosaga, mille lugejas on a juur ja nimetaja on b juur, s.o. Murru juur võrdub lugeja juurega, mis on jagatud nimetaja juurega.

Tõestame, et 1) a juur, mis on jagatud c juurega, on suurem kui 0 või sellega võrdne

Tõestus. 1) Sest a juur on suurem või võrdne 0-ga ja c juur on suurem kui 0, siis on a juur jagatud c juurega suurem kui 0 või sellega võrdne.

2)

5. Uue materjali koondamine: Sh.A.Alimovi õpikust: nr 362 (1.3); nr 363 (2,3); nr 364 (2,4); №365 (2,3)

6. Ajalooline viide.

Aritmeetiline tüvi pärineb ladinakeelsest sõnast radix - juur, radicalis - juur

Alates 13. sajandist tähistasid Itaalia ja teised Euroopa matemaatikud juurt ladinakeelse sõnaga radix (lühendatult r). 1525. aastal ilmus H. Rudolphi raamatus "Kiire ja ilus loendamine oskuslike algebrareeglite abil, mida tavaliselt nimetatakse Kossiks" ruutjuure tähis V; kuupjuur märgiti VVV-ks. 1626. aastal võttis hollandi matemaatik A. Girard kasutusele tähised V, VV, VVV jne, mis tõrjus peagi välja märgiga r, kusjuures radikaalavaldise kohale asetati horisontaaljoon. Juure kaasaegne tähistus ilmus esmakordselt René Descartes'i raamatus "Geomeetria", mis ilmus 1637. aastal.

8. Kodutöö: № 362 (2,4); № 363 (1,4); № 364 (1,3); №365 (1,4)

Selles artiklis analüüsime peamisi juure omadused. Alustame aritmeetilise ruutjuure omadustega, esitame nende formuleeringud ja tõestused. Pärast seda käsitleme n-nda astme aritmeetilise juure omadusi.

Leheküljel navigeerimine.

Ruutjuure omadused

Selles jaotises käsitleme järgmist peamist aritmeetilise ruutjuure omadused:

Igas kirjutatud võrdsuses saab vasaku ja parema osa vahetada, näiteks võrdsuse saab ümber kirjutada . Sellel "vastupidisel" kujul rakendatakse aritmeetilise ruutjuure omadusi, kui väljendite lihtsustamine sama sageli kui "otsesel" kujul.

Kahe esimese omaduse tõestus põhineb aritmeetilise ruutjuure määratlusel ja . Ja aritmeetilise ruutjuure viimase omaduse õigustamiseks peate meeles pidama.

Nii et alustame sellest kahe mittenegatiivse arvu korrutise aritmeetilise ruutjuure omaduse tõestus: . Selleks piisab aritmeetilise ruutjuure definitsiooni kohaselt näitamisest, et see on mittenegatiivne arv, mille ruut on võrdne a b . Teeme seda. Avaldise väärtus on mittenegatiivne mittenegatiivsete arvude korrutis. Kahe arvu korrutise astme omadus võimaldab meil kirjutada võrdsuse , Ja kuna aritmeetilise ruutjuure määratluse järgi ja , Siis .

Samamoodi on tõestatud, et k mittenegatiivse teguri a 1 , a 2 , …, a k korrutise aritmeetiline ruutjuur on võrdne aritmeetika korrutisega. ruutjuured nendest kordajatest. Tõesti,. Sellest võrdsusest järeldub, et .

Siin on mõned näited: ja .

Nüüd tõestame jagatise aritmeetilise ruutjuure omadus: . Loomuliku võimsuskoefitsiendi omadus võimaldab meil kirjutada võrdsuse , A , samas kui on olemas mittenegatiivne arv. See on tõestus.

Näiteks ja .

On aeg lahti võtta arvu ruudu aritmeetilise ruutjuure omadus, võrdsuse kujul kirjutatakse see kujul . Selle tõestamiseks kaaluge kahte juhtumit: a≥0 ja a puhul<0 .

On ilmne, et a≥0 korral on võrdsus tõene. Samuti on lihtne näha, et a<0 будет верно равенство . Действительно, в этом случае −a>0 ja (-a) 2 =a 2 . Seega , mida tuli tõestada.

siin on mõned näidised: Ja .

Äsja tõestatud ruutjuure omadus võimaldab meil õigustada järgmist tulemust, kus a on mis tahes reaalarv ja m on suvaline. Tõepoolest, astendamise omadus võimaldab meil asendada kraadi a 2 m avaldisega (a m) 2, siis .

Nt, Ja .

N-nda juure omadused

Loetleme kõigepealt peamised n-nda juure omadused:

Kõik kirjalikud võrdsused jäävad kehtima, kui nende vasak ja parem pool on vahetatud. Sellisel kujul kasutatakse neid ka sageli, peamiselt avaldiste lihtsustamisel ja teisendamisel.

Juure kõigi heliliste omaduste tõendamine põhineb n-nda astme aritmeetilise juure määratlusel, astme omadustel ja arvu mooduli definitsioonil. Tõestame neid prioriteetsuse järjekorras.

Alustame tõestusega toote n-nda juure omadused . Mittenegatiivse a ja b korral on avaldise väärtus samuti mittenegatiivne, nagu ka mittenegatiivsete arvude korrutis. Loodusjõudude korrutisomadus võimaldab meil kirjutada võrdsuse . N-nda astme aritmeetilise juure määratluse järgi ja seetõttu . See tõestab juure kaalutud omadust.

Seda omadust tõestatakse sarnaselt k teguri korrutisele: mittenegatiivsete arvude puhul a 1 , a 2 , …, a n Ja .

Siin on näited toote n-nda astme juure omaduse kasutamise kohta: Ja .

Tõestame jagatise juuromadus. A≥0 ja b>0 puhul on tingimus täidetud ja .

Näitame näiteid: Ja .

Liigume edasi. Tõestame arvu n-nda juure omadus arvu n astmele. See tähendab, et me tõestame seda iga reaalse a ja loomuliku m . A≥0 puhul on meil ja , mis tõestab võrdsust ja võrdsust ilmselgelt. Jaoks<0 имеем и (viimane üleminek kehtib paarisastmelise astme omaduse tõttu), mis tõestab võrdsust , ja on tõsi tänu sellele, et paaritu astme juurest rääkides võtsime mis tahes mittenegatiivse arvu c korral.

Siin on näited parsitud juuratribuudi kasutamisest: and .

Jätkame juure omaduse tõestamisega juurest. Vahetame parem- ja vasakpoolsed osad, st tõestame võrdsuse kehtivust, mis tähendab algse võrdsuse kehtivust. Mittenegatiivse arvu a puhul on vormi ruutjuur mittenegatiivne arv. Pidades meeles omadust tõsta võimsus astmeks ja kasutades juure definitsiooni, saame kirjutada vormi võrdsuste ahela . See tõestab juure vaadeldavat omadust juurest.

Sarnaselt tõestatakse juure omadus juurest juurest jne. Tõesti, .

Näiteks, Ja .

Tõestame järgmist juureksponenti vähendamise omadus. Selleks piisab juure definitsioonist tulenevalt näitamisest, et on olemas mittenegatiivne arv, mis n m astmeni tõstes võrdub a m-ga. Teeme seda. On selge, et kui arv a on mittenegatiivne, siis arvu a n-s juur on mittenegatiivne arv. Kus , mis lõpetab tõestuse.

Siin on näide parsitud juuratribuudi kasutamisest: .

Tõestame järgmist omadust, vormi astme juure omadust . On ilmne, et a≥0 korral on aste mittenegatiivne arv. Veelgi enam, selle n-s aste on võrdne m-ga, tõepoolest, . See tõestab kraadi kaalutud omadust.

Näiteks, .

Liigume edasi. Tõestame, et iga positiivse arvu a ja b korral, mille tingimus a , see tähendab a≥b . Ja see on vastuolus tingimusega a

Näiteks anname õige ebavõrdsuse .

Lõpuks jääb üle tõestada n-nda juure viimane omadus. Tõestame kõigepealt selle omaduse esimese osa, st tõestame, et m>n ja 0 korral . Seejärel astme omadustest tulenevalt loomuliku astendajaga ebavõrdsus , see tähendab a n ≤ a m . Ja saadud võrratus m>n ja 0 jaoks

Samamoodi on vastuoluliselt tõestatud, et m>n ja a>1 korral on tingimus täidetud.

Toome näiteid juure tõestatud omaduse rakendamisest konkreetsetes arvudes. Näiteks ebavõrdsused ja on tõesed.

Bibliograafia.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: õpik 8 lahtrile. õppeasutused.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. jt.Algebra ja analüüsi algus: Õpik üldharidusasutuste 10.-11.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemaatika (käsiraamat tehnikumidesse kandideerijatele).

A ruutjuur on arv, mille ruut on a. Näiteks arvud -5 ja 5 on arvu 25 ruutjuured. See tähendab, et võrrandi x^2=25 juured on arvu 25 ruutjuured. Nüüd peate õppima, kuidas töötada ruutjuuroperatsioon: uurige selle põhiomadusi.

Toote ruutjuur

√(a*b)=√a*√b

Kahe mittenegatiivse arvu korrutise ruutjuur võrdub nende arvude ruutjuurte korrutisega. Näiteks √(9*25) = √9*√25 =3*5 =15;

Oluline on mõista, et see omadus kehtib ka juhul, kui radikaalavaldis on kolme, nelja jne korrutis. mittenegatiivsed kordajad.

Mõnikord on selle omaduse teine ​​sõnastus. Kui a ja b on mittenegatiivsed arvud, siis kehtib järgmine võrdus: √(a*b) =√a*√b. Nende vahel pole absoluutselt mingit vahet, võib kasutada kas üht või teist sõnastust (kumb on mugavam meeles pidada).

Murru ruutjuur

Kui a>=0 ja b>0, siis on tõene järgmine võrdsus:

√(a/b)=√a/√b.

Näiteks √(9/25) = √9/√25 =3/5;

Sellel omadusel on ka erinev sõnastus, minu arvates mugavam meeles pidada.
Jagatise ruutjuur võrdub juurte jagatisega.

Väärib märkimist, et need valemid töötavad nii vasakult paremale kui ka paremalt vasakule. See tähendab, et vajadusel saame juurte korrutist esindada toote juurena. Sama kehtib ka teise kinnisvara kohta.

Nagu näete, on need omadused väga mugavad ja ma soovin, et liitmiseks ja lahutamiseks oleksid samad omadused:

√(a+b)=√a+√b;

√(a-b)=√a-√b;

Kuid kahjuks on sellised omadused kandilised pole juuri, ja nii arvutustes teha ei saa..