Trigonomeetrilised identiteedid on võrdsused, mis loovad seose ühe nurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi vahel, mis võimaldab teil leida mis tahes neist funktsioonidest, eeldusel, et mõni muu on teada.
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1
See identiteet ütleb, et ühe nurga siinuse ruudu ja ühe nurga koosinuse ruudu summa on võrdne ühega, mis praktikas võimaldab arvutada ühe nurga siinuse, kui selle koosinus on teada ja vastupidi .
Teisendamisel trigonomeetrilised avaldised väga sageli kasutatakse seda identiteeti, mis võimaldab asendada ühe nurga koosinuse ja siinuse ruutude summa ühtsusega ning sooritada ka asendusoperatsioon vastupidises järjekorras.
Puutuja ja kotangensi leidmine siinuse ja koosinuse kaudu
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace
Need identiteedid on moodustatud siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonidest. Lõppude lõpuks, kui vaadata, siis definitsiooni järgi on y ordinaat siinus ja x abstsiss koosinus. Siis on puutuja võrdne suhtega \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) ja suhe \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- on kotangent.
Lisame, et identiteedid toimuvad ainult selliste nurkade \alpha puhul, mille puhul on nendes sisalduvad trigonomeetrilised funktsioonid mõistlikud, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).
Näiteks: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) kehtib \alpha nurkade puhul, mis erinevad \frac(\pi)(2)+\pi z, A ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- nurga \alpha puhul peale \pi z on z täisarv.
Tangensi ja kotangensi seos
tg \alpha \cdot ctg \alpha=1
See identiteet kehtib ainult nurkade \alpha puhul, mis erinevad \frac(\pi)(2) z. Vastasel juhul ei määrata kotangenti ega puutujat.
Ülaltoodud punktide põhjal saame selle tg \alpha = \frac(y)(x), A ctg\alpha=\frac(x)(y). Sellest järeldub tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Seega on ühe nurga puutuja ja kotangens, mille juures neil on mõte, vastastikku vastastikused arvud.
Seosed puutuja ja koosinuse, kotangensi ja siinuse vahel
tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- nurga \alpha ja 1 puutuja ruudu summa on võrdne selle nurga koosinuse pöördruuduga. See identiteet kehtib kõigi \alphade jaoks peale \frac(\pi)(2)+ \pi z.
1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- 1 ja nurga \alpha kotangensi ruudu summa võrdub antud nurga siinuse pöördruuduga. See identiteet kehtib mis tahes \alpha jaoks peale \pi z .
Näited probleemide lahendustega trigonomeetriliste identiteetide abil
Näide 1
Leidke \sin \alpha ja tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12 Ja \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;
Näita lahendust
Lahendus
Funktsioonid \sin \alpha ja \cos \alpha on seotud valemiga \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Asendades selle valemiga \cos \alpha = -\frac12, saame:
\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1
Sellel võrrandil on 2 lahendust:
\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3) (2)
Tingimuste järgi \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Teisel veerandajal on siinus plussis, nii et \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).
Tg \alpha leidmiseks kasutame valemit tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3
Näide 2
Otsige üles \cos \alpha ja ctg \alpha, kui ja \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .
Näita lahendust
Lahendus
Valemisse asendamine \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 tingimuslik arv \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), saame \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Sellel võrrandil on kaks lahendit \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.
Tingimuste järgi \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Teisel veerandil on koosinus negatiivne, seega \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.
Ctg \alpha leidmiseks kasutame valemit ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Teame vastavaid väärtusi.
ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).
Võrdlusandmed puutuja (tg x) ja kotangensi (ctg x) kohta. Geomeetriline definitsioon, omadused, graafikud, valemid. Puutujate ja kotangentide tabel, tuletised, integraalid, jada laiendused. Avaldised keeruliste muutujate kaudu. Seos hüperboolsete funktsioonidega.
Geomeetriline määratlus
|BD| - punktis A tsentreeritud ringikaare pikkus.
α on radiaanides väljendatud nurk.
Tangent ( tgα) on trigonomeetriline funktsioon, mis sõltub hüpotenuusi ja jala vahelisest nurgast α täisnurkne kolmnurk, võrdne suhtega vastasjala pikkus |BC| külgneva jala pikkusele |AB| .
Kotangent ( ctgα) on trigonomeetriline funktsioon, mis sõltub täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi ja haru vahelisest nurgast α, mis on võrdne külgneva haru pikkuse suhtega |AB| vastasjala pikkusele |BC| .
Tangent
Kus n- terve.
Lääne kirjanduses on puutuja tähistatud järgmiselt:
.
;
;
.
Puutujafunktsiooni graafik, y = tg x
Kotangent
Kus n- terve.
Lääne kirjanduses on kootangens tähistatud järgmiselt:
.
Samuti on kasutusele võetud järgmine märge:
;
;
.
Kootangensfunktsiooni graafik, y = ctg x
Tangensi ja kotangensi omadused
Perioodilisus
Funktsioonid y= tg x ja y= ctg x on perioodilised perioodiga π.
Pariteet
Funktsioonid puutuja ja kotangent on paaritud.
Määratlusvaldkonnad ja väärtused, tõusev, kahanev
Funktsioonid tangens ja kotangent on oma definitsioonipiirkonnas pidevad (vt pidevuse tõestust). Puutuja ja kotangensi peamised omadused on toodud tabelis ( n- täisarv).
| y= tg x | y= ctg x | |
| Ulatus ja järjepidevus | ||
| Väärtuste vahemik | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Kasvav | - | |
| Langevad | - | |
| Äärmused | - | - |
| Nullid, y= 0 | ||
| Lõikepunktid y-teljega, x = 0 | y= 0 | - |
Valemid
Avaldised siinuse ja koosinuse mõistes
;
;
;
;
;
Summa ja vahe puutuja ja kotangensi valemid
Ülejäänud valemeid on näiteks lihtne hankida
Puutujate korrutis
Puutujate summa ja erinevuse valem
See tabel näitab mõne argumendi väärtuse puutujate ja kotangentide väärtusi. 
Avaldised kompleksarvude kujul
Avaldised hüperboolsete funktsioonide järgi
;
;
Tuletised
; .
.
Funktsiooni muutuja x n-ndat järku tuletis:
.
Tangensi > > > valemite tuletamine ; kotangensi jaoks >>>
Integraalid
Laiendused seeriateks
Puutuja laienduse saamiseks x astmetes tuleb funktsioonide astmereas võtta mitu laienduse liiget sin x Ja cos x ja jagage need polünoomid üksteiseks , . Selle tulemuseks on järgmised valemid.
Kell .
aadressil .
Kus B n- Bernoulli numbrid. Need määratakse kas kordumise seose põhjal:
;
;
Kus.
Või vastavalt Laplace'i valemile: 
Pöördfunktsioonid
Pöördfunktsioonid puutuja ja kotangens on vastavalt arktangens ja arkotangens.
Arktangent, arctg
, Kus n- terve.
Kaare puutuja, arcctg
, Kus n- terve.
Viited:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Matemaatika käsiraamat inseneridele ja kõrgkoolide üliõpilastele, Lan, 2009.
G. Korn, Matemaatika käsiraamat teadlastele ja inseneridele, 2012.
Siinuste ja koosinuste summa ja erinevuse valemid kahe nurga α ja β korral võimaldavad teil liikuda näidatud nurkade summalt nurkade α + β 2 ja α - β 2 korrutisele. Märgime kohe, et siinuste ja koosinuste summa ja erinevuse valemeid ei tohiks segi ajada summa ja erinevuse siinuste ja koosinuste valemitega. Allpool loetleme need valemid, anname nende tuletamise ja näitame konkreetsete probleemide rakendusnäiteid.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Siinuste ja koosinuste summa ja vahe valemid
Paneme kirja, kuidas siinuste ja koosinuste summa- ja vahevalemid välja näevad
Siinuste summa ja vahe valemid
sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2
Koosinuste summa ja vahe valemid
cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2, cos α - cos β = 2 sin α + β - 2 α 2
Need valemid kehtivad mis tahes nurga α ja β korral. Nurki α + β 2 ja α - β 2 nimetatakse vastavalt nurkade alfa ja beeta poolsummaks ja poolvaheks. Anname iga valemi jaoks koostise.
Siinuste ja koosinuste summa- ja vahevalemite definitsioonid
Kahe nurga siinuste summa võrdub nende nurkade poolsumma siinuse ja poolvahe koosinuse kahekordse korrutisega.
Kahe nurga siinuste erinevus on võrdne nende nurkade poolvahe siinuse ja poolsumma koosinuse kahekordse korrutisega.
Kahe nurga koosinuste summa on võrdne nende nurkade poolsumma koosinuse ja nende nurkade vahe koosinuse kahekordse korrutisega.
Kahe nurga koosinuste erinevus on võrdne nende nurkade poolsumma siinuse ja nende nurkade vahe koosinuse kahekordse korrutisega negatiivse märgiga.
Siinuste ja koosinuste summa ja vahe valemite tuletamine
Kahe nurga siinuse ja koosinuse summa ja erinevuse valemite tuletamiseks kasutatakse liitmisvalemeid. Tutvustame neid allpool
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β cos ( α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Samuti esitame nurgad ise poolsummade ja poolvahede summana.
α = α + β 2 + α - β 2 \u003d α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β \u003d α + β 2 - α - β 2 \u003d α + β 2 - α - β 2 \u003d
Jätkame otse patu ja cos summa ja vahe valemite tuletamisega.
Siinuste summa valemi tuletamine
Summas sin α + sin β asendame α ja β nende nurkade ülaltoodud avaldistega. Hangi
sin α + sin β = sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2
Nüüd rakendame esimesele avaldisele liitmisvalemit ja teisele nurkade erinevuste siinuse valemit (vt ülaltoodud valemeid)
sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2
sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α - β 2 = 2 sin α + 2 cos α - β 2
Ülejäänud valemite tuletamise etapid on sarnased.
Siinuste erinevuse valemi tuletamine
sin α - sin β = sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin β 2 cos α + β 2
Koosinuste summa valemi tuletamine
cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - cos β α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos β 2 + α + cos α - β 2
Koosinuse erinevuse valemi tuletamine
cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - cos β α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2
Näited praktiliste ülesannete lahendamisest
Alustuseks kontrollime ühte valemit, asendades sellega konkreetsed nurga väärtused. Olgu α = π 2 , β = π 6 . Arvutame nende nurkade siinuste summa väärtuse. Esiteks kasutame põhiväärtuste tabelit trigonomeetrilised funktsioonid ja seejärel rakendage siinuste summa valemit.
Näide 1. Kahe nurga siinuste summa valemi kontrollimine
α \u003d π 2, β \u003d π 6 sin π 2 + sin π 6 \u003d 1 + 1 2 \u003d 3 2 sin π 2 + sin π 6 \u003d 2 sin π π 6 \u003d 2 sin π π 2 + 6 2 \u003d 2 sin π 3 cos π 6 \u003d 2 3 2 3 2 \u003d 3 2
Vaatleme nüüd juhtumit, kui nurkade väärtused erinevad tabelis esitatud põhiväärtustest. Olgu α = 165°, β = 75°. Arvutame nende nurkade siinuste vahe väärtuse.
Näide 2. Siinuse erinevuse valemi rakendamine
α = 165 ° , β = 75 ° sin α - sin β = sin 165 ° - sin 75 ° sin 165 - sin 75 = 2 sin 165 ° - sin 75 ° 2 cos 165 ° + sin 75 ° 2 = = 2 sin 45 ° cos 120 ° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2
Siinuste ja koosinuste summa ja erinevuse valemeid kasutades saate minna summalt või erinevuselt trigonomeetriliste funktsioonide korrutisele. Sageli nimetatakse neid valemeid summalt korrutisele ülemineku valemiteks. Lahendamisel kasutatakse laialdaselt siinuste ja koosinuste summa ja vahe valemeid trigonomeetrilised võrrandid ja trigonomeetriliste avaldiste teisendamisel.
Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter
Ma ei veena teid petulehti mitte kirjutama. Kirjutage! Sealhulgas petulehed trigonomeetria kohta. Hiljem kavatsen selgitada, miks petulehti vaja on ja kuidas need lehed kasulikud on. Ja siin - teave selle kohta, kuidas mitte õpetada, vaid mõnda meeles pidada trigonomeetrilised valemid. Seega - trigonomeetria ilma petuleheta!Meeldejätmiseks kasutame assotsiatsioone.
1. Lisamisvalemid:
koosinused "käivad alati paaris": koosinus-koosinus, siinus-siinus.
Ja veel üks asi: koosinused on "ebapiisavad". Nad "kõik on valesti", nii et nad muudavad märgid: "-" märgiks "+" ja vastupidi.
Siinused - "segu": siinus-koosinus, koosinus-siinus.
2. Summa ja vahe valemid:
koosinused "käivad alati paaris". Olles lisanud kaks koosinust - "kuklid", saame koosinuse paari - "koloboks". Ja kui lahutada, siis me kindlasti ei saa koloboksi. Saame paar siinust. Ikka miinusega ees.
Siinused - "segu" :
3. Valemid korrutise teisendamiseks summaks ja vaheks.
Millal saame koosinuse paari? Koosinuste lisamisel. Sellepärast
Millal saame siinuse paari? Koosinuste lahutamisel. Siit:
"Segamine" saadakse nii siinuste liitmisel kui ka lahutamisel. Kumb on lõbusam: liitmine või lahutamine? See on õige, voldi. Ja valemi jaoks lisage:
Esimeses ja kolmandas valemis sulgudes - summa. Tingimuste kohtade ümberpaigutusest summa ei muutu. Järjekord on oluline ainult teise valemi puhul. Kuid selleks, et mitte segadusse sattuda, võtame meeldejätmise hõlbustamiseks kõigis kolmes esimestes sulgudes olevas valemis erinevuse
ja teiseks summa
Hälli voodilinad taskus annavad meelerahu: kui piimasegu unustad, võid selle maha kanda. Ja need annavad kindlustunde: kui petulehte ei õnnestu kasutada, jäävad valemid kergesti meelde.
Peamiste trigonomeetriliste funktsioonide - siinus, koosinus, puutuja ja kotangens - vahelised suhted on toodud trigonomeetrilised valemid. Ja kuna trigonomeetriliste funktsioonide vahel on üsna palju seoseid, siis see seletab ka trigonomeetriliste valemite rohkust. Mõned valemid ühendavad sama nurga trigonomeetrilisi funktsioone, teised - mitme nurga funktsioonid, teised - võimaldavad astet alandada, neljandad - väljendada kõiki funktsioone poolnurga puutuja kaudu jne.
Selles artiklis loetleme järjekorras kõik põhilised trigonomeetrilised valemid, millest piisab enamiku trigonomeetriaülesannete lahendamiseks. Meeldejäämise ja kasutamise hõlbustamiseks rühmitame need vastavalt nende otstarbele ja sisestame tabelitesse.
Leheküljel navigeerimine.
Põhilised trigonomeetrilised identiteedid
Peamine trigonomeetrilised identiteedid määrake seos ühe nurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi vahel. Need tulenevad siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonist ning ühikringi mõistest. Need võimaldavad teil väljendada ühte trigonomeetrilist funktsiooni mis tahes teise kaudu.
Nende trigonomeetria valemite üksikasjalikku kirjeldust, nende tuletamist ja rakendusnäiteid leiate artiklist.
Valatud valemid
Valatud valemid tulenevad siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi omadustest, see tähendab, et need peegeldavad trigonomeetriliste funktsioonide perioodilisuse omadust, sümmeetria omadust ja ka antud nurga võrra nihke omadust. Need trigonomeetrilised valemid võimaldavad teil liikuda suvaliste nurkadega töötamiselt töötamisele nurkadega, mis jäävad vahemikku nullist 90 kraadini.
Nende valemite põhjendus, mnemooniline reegel Nende päheõppimise ja nende rakendamise näidete kohta saate artiklis tutvuda.
Lisamise valemid
Trigonomeetrilised liitmisvalemid näidata, kuidas kahe nurga summa või erinevuse trigonomeetrilisi funktsioone väljendatakse nende nurkade trigonomeetriliste funktsioonide kaudu. Need valemid on aluseks järgmiste trigonomeetriliste valemite tuletamisel.
Valemid topelt-, kolmik- jne. nurk
Valemid topelt-, kolmik- jne. nurk (neid nimetatakse ka mitme nurga valemiteks) näitavad, kuidas topelt-, kolmik- jne trigonomeetrilised funktsioonid toimivad. nurgad () on väljendatud ühe nurga trigonomeetriliste funktsioonidena. Nende tuletamine põhineb liitmisvalemitel.
Täpsem teave on kogutud artiklite valemitesse topelt-, kolmik- jne. nurk .
Poolnurga valemid
Poolnurga valemid näidata, kuidas poolnurga trigonomeetrilisi funktsioone väljendatakse täisnurga koosinusena. Need trigonomeetrilised valemid tulenevad topeltnurga valemitest.
Nende järeldused ja rakendusnäited leiate artiklist.
Vähendamise valemid
Trigonomeetrilised valemid kahanevate kraadide jaoks on loodud selleks, et hõlbustada üleminekut trigonomeetriliste funktsioonide loomulikelt võimsustelt siinustele ja koosinustele esimese astme, kuid mitme nurga all. Teisisõnu võimaldavad need vähendada trigonomeetriliste funktsioonide võimsusi esimesele.
Trigonomeetriliste funktsioonide summa ja erinevuse valemid
Peamine eesmärk trigonomeetriliste funktsioonide summa ja vahe valemid seisneb üleminekus funktsioonide korrutisele, mis on väga kasulik trigonomeetriliste avaldiste lihtsustamisel. Neid valemeid kasutatakse laialdaselt ka trigonomeetriliste võrrandite lahendamisel, kuna need võimaldavad siinuste ja koosinuste summat ja erinevust faktoriseerida.
Siinuse, koosinuse ja siinuse korrutise valemid koosinuse kaupa
Üleminek trigonomeetriliste funktsioonide korrutiselt summale või erinevusele toimub siinuste, koosinuste ja siinuse koosinuse korrutise valemite kaudu.
Autoriõigus nutikate õpilaste poolt
Kõik õigused kaitstud.
Autoriõiguse seadusega kaitstud. Ühtegi www.saidi osa, sealhulgas sisemisi materjale ja välist kujundust, ei tohi mingil kujul reprodutseerida ega kasutada ilma autoriõiguste omaniku eelneva kirjaliku loata.
