- kindlasti on trigonomeetrias ülesandeid. Trigonomeetriale ei meeldi sageli see, et ta peab kokku toppima tohutul hulgal keerulisi valemeid, mis kubisevad siinustest, koosinustest, puutujatest ja kotangentidest. Sait andis juba kunagi nõu, kuidas unustatud valem meelde jätta, kasutades Euleri ja Peeli valemite näidet.
Ja selles artiklis püüame näidata, et piisab ainult viie lihtsaima trigonomeetrilise valemi kindlast teadmisest ja ülejäänutest. üldine idee ja võtke need minema. See on nagu DNA-ga: neid ei säilitata molekulis täielikud joonised valmis elusolend. See sisaldab pigem juhiseid selle kokkupanemiseks olemasolevatest aminohapetest. Nii et trigonomeetrias, teades mõningaid üldpõhimõtteid, saame kõik vajalikud valemid väikesest komplektist, mida tuleb meeles pidada.
Toetume järgmistele valemitele:
Summade siinuse ja koosinuse valemitest, teades, et koosinusfunktsioon on paaris ja siinusfunktsioon paaritu, asendades b asemel -b, saame erinevuste valemid:
- Erinevuse siinus: patt(a-b) = pattacos(-b)+cosapatt(-b) = pattacosb-cosapattb
- koosinus erinevus: cos(a-b) = cosacos(-b)-pattapatt(-b) = cosacosb+pattapattb
Pannes a \u003d b samadesse valemitesse, saame topeltnurkade siinuse ja koosinuse valemid:
- Topeltnurga siinus: patt2a = patt(a+a) = pattacosa+cosapatta = 2pattacosa
- Topeltnurga koosinus: cos2a = cos(a+a) = cosacosa-pattapatta = cos2a-patt2a
Muude mitme nurga valemid saadakse sarnaselt:
- Kolmiknurga siinus: patt3a = patt(2a+a) = patt2acosa+cos2apatta = (2pattacosa)cosa+(cos2a-patt2a)patta = 2pattacos2a+pattacos2a-patt 3 a = 3 pattacos2a-patt 3 a = 3 patta(1-patt2a)-patt 3 a = 3 patta-4patt 3a
- Kolmiknurga koosinus: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosa-patt2apatta = (cos2a-patt2a)cosa-(2pattacosa)patta = cos 3a- patt2acosa-2patt2acosa = cos 3a-3 patt2acosa = cos 3 a-3(1- cos2a)cosa = 4cos 3a-3 cosa
Enne edasiliikumist mõelgem ühele probleemile.
Arvestades: nurk on terav.
Leia selle koosinus, kui
Ühe õpilase lahendus:
Sest , See patta= 3,a cosa = 4.
(Matemaatilisest huumorist)
Niisiis, puutuja määratlus ühendab selle funktsiooni nii siinuse kui ka koosinusega. Kuid võite saada valemi, mis annab puutuja ühenduse ainult koosinusega. Selle tuletamiseks võtame põhilise trigonomeetrilise identiteedi: patt 2 a+cos 2 a= 1 ja jagage see arvuga cos 2 a. Saame:
Nii et selle probleemi lahendus oleks järgmine:
(Kuna nurk on terav, võetakse juure eraldamisel + märk)
Summa puutuja valem on veel üks, mida on raske meeles pidada. Väljastame selle järgmiselt:
kohe väljund ja
Topeltnurga koosinusvalemist saate poolnurga siinus- ja koosinusvalemid. Selleks tehke topeltnurga koosinusvalemist vasakule:
cos2
a = cos 2
a-patt 2
a
lisame ühiku ja paremale - trigonomeetrilise ühiku, s.o. siinuse ja koosinuse ruutude summa.
cos2a+1 = cos2a-patt2a+cos2a+patt2a
2cos 2
a = cos2
a+1
väljendades cosa läbi cos2
a ja muutes muutujaid, saame:
Märk võetakse sõltuvalt kvadrandist.
Samamoodi, lahutades ühe võrrandi vasakust küljest ja siinuse ja koosinuse ruutude summa paremalt poolt, saame:
cos2a-1 = cos2a-patt2a-cos2a-patt2a
2patt 2
a = 1-cos2
a
Ja lõpuks, et teisendada trigonomeetriliste funktsioonide summa tooteks, kasutame järgmist nippi. Oletame, et peame siinuste summat esitama korrutisena patta+pattb. Toome sisse muutujad x ja y nii, et a = x+y, b+x-y. Siis
patta+pattb = patt(x+y)+ patt(x-y) = patt x cos y+ cos x patt y+ patt x cos ja- cos x patt y=2 patt x cos y. Avaldame nüüd x ja y a ja b kaudu.
Kuna a = x+y, b = x-y, siis . Sellepärast
Saate kohe taganeda
- Jaotuse valem siinuse ja koosinuse korrutised V summa: pattacosb = 0.5(patt(a+b)+patt(a-b))
Soovitame harjutada ja tuletada valemeid siinuste vahe ja koosinuste summa ja erinevuse korrutiseks teisendamiseks, samuti siinuste ja koosinuste korrutise jagamiseks summaks. Pärast neid harjutusi omandate põhjalikult trigonomeetriliste valemite tuletamise oskuse ega eksi isegi kõige raskemas kontrollis, olümpiaadil või testimisel.
Ma ei veena teid petulehti mitte kirjutama. Kirjutage! Sealhulgas petulehed trigonomeetria kohta. Hiljem kavatsen selgitada, miks petulehti vaja on ja kuidas need lehed kasulikud on. Ja siin - teave selle kohta, kuidas mitte õpetada, vaid mõnda meeles pidada trigonomeetrilised valemid. Seega - trigonomeetria ilma petuleheta!Meeldejätmiseks kasutame assotsiatsioone.
1. Lisamisvalemid:
koosinused "käivad alati paaris": koosinus-koosinus, siinus-siinus.
Ja veel üks asi: koosinused on "ebapiisavad". Nad "kõik on valesti", nii et nad muudavad märgid: "-" märgiks "+" ja vastupidi.
Siinused - "segu": siinus-koosinus, koosinus-siinus.
2. Summa ja vahe valemid:
koosinused "käivad alati paaris". Olles lisanud kaks koosinust - "kuklid", saame koosinuse paari - "koloboks". Ja kui lahutada, siis me kindlasti ei saa koloboksi. Saame paar siinust. Ikka miinusega ees.
Siinused - "segu" :
3. Valemid korrutise teisendamiseks summaks ja vaheks.
Millal saame koosinuse paari? Koosinuste lisamisel. Sellepärast
Millal saame siinuse paari? Koosinuste lahutamisel. Siit:
"Segamine" saadakse nii siinuste liitmisel kui ka lahutamisel. Kumb on lõbusam: liitmine või lahutamine? See on õige, voldi. Ja valemi jaoks lisage:
Esimeses ja kolmandas valemis sulgudes - summa. Tingimuste kohtade ümberpaigutusest summa ei muutu. Järjekord on oluline ainult teise valemi puhul. Kuid selleks, et mitte segadusse sattuda, võtame meeldejätmise hõlbustamiseks kõigis kolmes esimestes sulgudes olevas valemis erinevuse
ja teiseks summa
Hälli voodilinad taskus annavad meelerahu: kui piimasegu unustad, võid selle maha kanda. Ja need annavad kindlustunde: kui petulehte ei õnnestu kasutada, jäävad valemid kergesti meelde.
Mõisted siinus, koosinus, puutuja ja kotangens on trigonomeetria - matemaatika haru - peamised kategooriad ja on lahutamatult seotud nurga määratlusega. Selle omamine matemaatikateadus nõuab päheõppimist ja valemite ja teoreemide mõistmist, samuti arendatud ruumiline mõtlemine. Seetõttu valmistavad trigonomeetrilised arvutused koolilastele ja üliõpilastele sageli raskusi. Nende ületamiseks peaksite tutvuma trigonomeetriliste funktsioonide ja valemitega.
Mõisted trigonomeetrias
Trigonomeetria põhimõistete mõistmiseks peate esmalt otsustama, mis on täisnurkne kolmnurk ja nurk ringis ning miks kõik põhilised trigonomeetrilised arvutused on nendega seotud. Kolmnurk, mille üks nurkadest on 90 kraadi, on täisnurkne kolmnurk. Ajalooliselt kasutasid seda kuju sageli inimesed arhitektuuris, navigatsioonis, kunstis, astronoomias. Sellest lähtuvalt jõudsid inimesed selle joonise omadusi uurides ja analüüsides selle parameetrite vastavate suhete arvutamist.
Peamised täisnurksete kolmnurkadega seotud kategooriad on hüpotenuus ja jalad. Hüpotenuus on kolmnurga vastaskülg täisnurk. Jalad on vastavalt ülejäänud kaks külge. Iga kolmnurga nurkade summa on alati 180 kraadi.
Sfääriline trigonomeetria on trigonomeetria osa, mida koolis ei õpita, kuid rakendusteadustes, nagu astronoomia ja geodeesia, kasutavad teadlased seda. Kolmnurga tunnus sfäärilises trigonomeetrias on see, et selle nurkade summa on alati suurem kui 180 kraadi.
Kolmnurga nurgad
Täisnurkses kolmnurgas on nurga siinus soovitud nurga vastas oleva jala ja kolmnurga hüpotenuusi suhe. Vastavalt sellele on koosinus külgneva jala ja hüpotenuusi suhe. Mõlema väärtuse väärtus on alati väiksem kui üks, kuna hüpotenuus on alati pikem kui jalg.
Nurga puutuja on väärtus, võrdne suhtega soovitud nurgaga külgneva jala vastasjalg või siinus koosinuseni. Kootangens on omakorda soovitud nurga külgneva jala ja vastassuunalise kakteti suhe. Nurga kotangensi saab ka ühiku jagamisel puutuja väärtusega.
üksuse ring
Ühikringjoon geomeetrias on ring, mille raadius on võrdne ühega. Selline ring on konstrueeritud Descartes'i koordinaatsüsteemis, kusjuures ringi keskpunkt langeb kokku lähtepunktiga ja raadiusvektori algasend määratakse X-telje positiivse suuna järgi (abstsisstelg). Ringjoone igal punktil on kaks koordinaati: XX ja YY, st abstsissi ja ordinaadi koordinaadid. Valides ringil suvalise punkti XX tasapinnal ja langetades sellelt risti abstsissteljele, saame täisnurkse kolmnurga, mille moodustab valitud punkti raadius (tähistagem seda tähega C), mis on tõmmatud X-telg (lõikepunkti tähistatakse tähega G) ja abstsisstelljega segment alguspunkti (punkti tähistatakse tähega A) ja lõikepunkti G vahel. Saadud kolmnurk ACG on täisnurkne kolmnurk, mis on sisse kirjutatud ring, kus AG on hüpotenuus ning AC ja GC on jalad. Nurka ringjoone raadiuse AC ja abstsisstelje tähisega AG lõigu vahel määratleme kui α (alfa). Niisiis, cos α = AG/AC. Arvestades, et AC on ühikuringi raadius ja see on võrdne ühega, selgub, et cos α=AG. Samamoodi sin α=CG.
Lisaks on neid andmeid teades võimalik määrata ringi punkti C koordinaat, kuna cos α=AG, ja sin α=CG, mis tähendab, et punktil C on antud koordinaadid (cos α; sin α). Teades, et puutuja on võrdne siinuse ja koosinuse suhtega, saame kindlaks teha, et tg α \u003d y / x ja ctg α \u003d x / y. Arvestades nurki negatiivses koordinaatsüsteemis, võib arvutada, et mõne nurga siinus- ja koosinusväärtused võivad olla negatiivsed.
Arvutused ja põhivalemid
Trigonomeetriliste funktsioonide väärtused
Arvestades trigonomeetriliste funktsioonide olemust ühikringi kaudu, saame nende funktsioonide väärtused tuletada mõne nurga jaoks. Väärtused on loetletud allolevas tabelis.
Lihtsamad trigonomeetrilised identiteedid
Võrrandid, milles trigonomeetrilise funktsiooni märgi all on tundmatu väärtus nimetatakse trigonomeetrilisteks. Identiteedid väärtusega sin x = α, k on mis tahes täisarv:
- sin x = 0, x = πk.
- 2. sin x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
- sin x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
- sin x = a, |a| > 1, lahendusi pole.
- sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.
Identiteedid väärtusega cos x = a, kus k on mis tahes täisarv:
- cos x = 0, x = π/2 + πk.
- cos x = 1, x = 2πk.
- cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
- cos x = a, |a| > 1, lahendusi pole.
- cos x = a, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.
Identiteedid väärtusega tg x = a, kus k on mis tahes täisarv:
- tg x = 0, x = π/2 + πk.
- tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.
Identiteedid väärtusega ctg x = a, kus k on mis tahes täisarv:
- ctg x = 0, x = π/2 + πk.
- ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.
Valatud valemid
See konstantsete valemite kategooria tähistab meetodeid, mille abil saate vormi trigonomeetrilistelt funktsioonidelt minna argumendi funktsioonidele, st teisendada mis tahes väärtusega nurga siinus, koosinus, puutuja ja kotangens vastavateks nurga indikaatoriteks. intervall 0 kuni 90 kraadi arvutuste suurema mugavuse huvides.
Nurga siinuse vähendamise funktsioonide valemid näevad välja järgmised:
- sin(900 - α) = α;
- sin(900 + α) = cos α;
- sin(1800 - α) = sin α;
- sin(1800 + α) = -sin α;
- sin(2700 - α) = -cos α;
- sin(2700 + α) = -cos α;
- sin(3600 - α) = -sin α;
- sin(3600 + α) = sin α.
Nurga koosinuse jaoks:
- cos(900 - α) = sin α;
- cos(900 + α) = -sin α;
- cos(1800 - α) = -cos α;
- cos(1800 + α) = -cos α;
- cos(2700 - α) = -sin α;
- cos(2700 + α) = sin α;
- cos(3600 - α) = cos α;
- cos(3600 + α) = cos α.
Ülaltoodud valemite kasutamine on võimalik kahe reegli alusel. Esiteks, kui nurka saab esitada väärtusena (π/2 ± a) või (3π/2 ± a), muutub funktsiooni väärtus:
- patust cos;
- cos-ist pattu;
- tg-st ctg-ni;
- ctg-st tg-ni.
Funktsiooni väärtus jääb muutumatuks, kui nurka saab esitada kui (π ± a) või (2π ± a).
Teiseks ei muutu redutseeritud funktsiooni märk: kui see oli algselt positiivne, siis nii see ka jääb. Sama kehtib ka negatiivsete funktsioonide kohta.
Lisamise valemid
Need valemid väljendavad kahe pöördenurga summa ja erinevuse siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi väärtusi. trigonomeetrilised funktsioonid. Nurki tähistatakse tavaliselt kui α ja β.
Valemid näevad välja sellised:
- sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
- cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
- tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
- ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).
Need valemid kehtivad mis tahes nurga α ja β korral.
Topelt- ja kolmiknurga valemid
Topelt- ja kolmiknurga trigonomeetrilised valemid on valemid, mis seovad vastavalt nurkade 2α ja 3α funktsioonid nurga α trigonomeetriliste funktsioonidega. Tuletatud liitmisvalemitest:
- sin2α = 2sinα*cosα.
- cos2α = 1 - 2sin^2α.
- tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
- sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
- cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
- tg3α = (3tgα - tg^3α) / (1-tg^2α).
Üleminek summalt tootele
Arvestades, et 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), saame seda valemit lihtsustades identiteedi sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Samamoodi sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).
Üleminek tootelt summale
Need valemid tulenevad summa korrutisele ülemineku tunnustest:
- sinα * sinβ = 1/2*;
- cosα * cosβ = 1/2*;
- sinα * cosβ = 1/2*.
Vähendamise valemid
Nendes identiteetides saab siinuse ja koosinuse ruut- ja kuupastmeid väljendada mitme nurga esimese astme siinuse ja koosinuse kaudu:
- sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
- cos^2α = (1 + cos2α)/2;
- sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
- cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
- sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
- cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.
Universaalne asendus
Universaalsed trigonomeetrilised asendusvalemid väljendavad trigonomeetrilisi funktsioone poolnurga puutuja kaudu.
- sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), samas kui x \u003d π + 2πn;
- cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), kus x = π + 2πn;
- tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), kus x \u003d π + 2πn;
- ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), samas kui x \u003d π + 2πn.
Erijuhtumid
Lihtsamate erijuhud trigonomeetrilised võrrandid on toodud allpool (k on mis tahes täisarv).
Privaatne sinu jaoks:
| sin x väärtus | x väärtus |
|---|---|
| 0 | pk |
| 1 | π/2 + 2πk |
| -1 | -π/2 + 2πk |
| 1/2 | π/6 + 2πk või 5π/6 + 2πk |
| -1/2 | -π/6 + 2πk või -5π/6 + 2πk |
| √2/2 | π/4 + 2πk või 3π/4 + 2πk |
| -√2/2 | -π/4 + 2πk või -3π/4 + 2πk |
| √3/2 | π/3 + 2πk või 2π/3 + 2πk |
| -√3/2 | -π/3 + 2πk või -2π/3 + 2πk |
Koosinuse jagatised:
| cos x väärtus | x väärtus |
|---|---|
| 0 | π/2 + 2πk |
| 1 | 2πk |
| -1 | 2 + 2πk |
| 1/2 | ±π/3 + 2πk |
| -1/2 | ±2π/3 + 2πk |
| √2/2 | ±π/4 + 2πk |
| -√2/2 | ±3π/4 + 2πk |
| √3/2 | ±π/6 + 2πk |
| -√3/2 | ±5π/6 + 2πk |
Privaatne puutuja jaoks:
| tg x väärtus | x väärtus |
|---|---|
| 0 | pk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3/3 | π/6 + πk |
| -√3/3 | -π/6 + πk |
| √3 | π/3 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
Kotangentsed jagatised:
| ctg x väärtus | x väärtus |
|---|---|
| 0 | π/2 + πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3 | π/6 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
| √3/3 | π/3 + πk |
| -√3/3 | -π/3 + πk |
Teoreemid
Siinuse teoreem
Teoreemil on kaks versiooni – lihtne ja laiendatud. Lihtne teoreem siinused: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. Sel juhul on a, b, c kolmnurga küljed ja α, β, γ vastavalt vastasnurgad.
Laiendatud siinusteoreem suvalise kolmnurga jaoks: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. Selles identiteedis tähistab R selle ringi raadiust, millesse antud kolmnurk on kantud.
Koosinusteoreem
Identiteet kuvatakse järgmiselt: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Valemis on a, b, c kolmnurga küljed ja α on külje a vastasnurk.
Tangensiteoreem
Valem väljendab seost kahe nurga puutujate ja nende vastas olevate külgede pikkuse vahel. Küljed on tähistatud a, b, c ja vastavad vastasnurgad on α, β, γ. Puutujateoreemi valem: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).
Kotangensi teoreem
Seob kolmnurga sisse kirjutatud ringi raadiuse selle külgede pikkusega. Kui a, b, c on kolmnurga küljed ja A, B, C on vastavalt nende vastasnurgad, r on sisse kirjutatud ringi raadius ja p on kolmnurga poolperimeeter, on järgmised identiteedid hoia:
- ctg A/2 = (p-a)/r;
- ctg B/2 = (p-b)/r;
- ctg C/2 = (p-c)/r.
Rakendused
Trigonomeetria ei ole ainult teoreetiline teadus, mis on seotud matemaatiliste valemitega. Selle omadusi, teoreeme ja reegleid kasutavad praktikas erinevad inimtegevuse harud - astronoomia, õhu- ja merenavigatsioon, muusikateooria, geodeesia, keemia, akustika, optika, elektroonika, arhitektuur, majandus, masinaehitus, mõõtmistööd, arvutigraafika, kartograafia, okeanograafia ja paljud teised.
Siinus, koosinus, puutuja ja kotangens on trigonomeetria põhimõisted, millega saab matemaatiliselt väljendada kolmnurga nurkade ja külgede pikkuste vahelisi seoseid ning identiteetide, teoreemide ja reeglite kaudu leida soovitud suurused.
Selles artiklis räägime sellest universaalne trigonomeetriline asendus. See hõlmab mis tahes nurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi väljendamist poolnurga puutuja kaudu. Veelgi enam, selline asendamine toimub ratsionaalselt, st ilma juurteta.
Esiteks kirjutame valemid, mis väljendavad siinust, koosinust, puutujat ja kotangensi poolnurga puutuja kaudu. Järgmisena näitame nende valemite tuletamist. Ja lõpetuseks vaatleme mitmeid näiteid universaalse trigonomeetrilise asendamise kasutamisest.
Leheküljel navigeerimine.
Siinus, koosinus, puutuja ja kotangens läbi poolnurga puutuja
Kõigepealt paneme kirja neli valemit, mis väljendavad nurga siinust, koosinust, puutujat ja kotangensi poolnurga puutuja kaudu.
Need valemid kehtivad kõigi nurkade puhul, mille juures on määratletud nendes sisalduvad puutujad ja kootangendid:
Valemite tuletamine
Analüüsime nurga siinust, koosinust, puutujat ja kotangensi väljendavate valemite tuletamist poolnurga puutuja kaudu. Alustame siinuse ja koosinuse valemitega.
Esitame siinuse ja koosinuse topeltnurga valemite abil 
Ja 
vastavalt. Nüüd väljendid 
Ja 
kirjutada murdudena nimetajaga 1 as 
Ja 
. Edasi asendame trigonomeetrilise põhiidentiteedi alusel nimetajas olevad ühikud siinuse ja koosinuse ruutude summaga, mille järel saame 
Ja 
. Lõpuks jagame saadud murdude lugeja ja nimetaja arvuga (selle väärtus erineb nullist, eeldusel, et 
). Selle tulemusena näeb kogu toimingute ahel välja järgmine: 
Ja 
See lõpetab siinust ja koosinust poolnurga puutuja kaudu väljendavate valemite tuletamise.
Jääb üle tuletada puutuja ja kotangensi valemid. Nüüd, võttes arvesse ülaltoodud valemeid ning valemeid ja 
, saame kohe valemid, mis väljendavad puutujat ja kotangensi poolnurga puutuja kaudu: 
Niisiis, oleme tuletanud kõik universaalse trigonomeetrilise asendamise valemid.
Universaalse trigonomeetrilise asendusviisi kasutamise näited
Esiteks vaatleme näidet universaalse trigonomeetrilise asendamise kasutamisest avaldiste teisendamisel.
Näide.
Andke väljend 
avaldisele, mis sisaldab ainult ühte trigonomeetrilist funktsiooni.
Lahendus.
Vastus:
.
Bibliograafia.
- Algebra: Proc. 9 raku jaoks. keskm. kool / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Teljakovski.- M.: Valgustus, 1990.- 272 lk.: ill.- isbn 5-09-002727-7
- Bashmakov M.I. Algebra ja analüüsi algus: Proc. 10-11 raku jaoks. keskm. kool - 3. väljaanne - M.: Valgustus, 1993. - 351 lk.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
- Algebra ja analüüsi algus: Proc. 10-11 raku jaoks. Üldharidus institutsioonid / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn jt; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. tr.- M.: Valgustus, 2004.- 384 lk.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matemaatika (käsiraamat tehnikumidesse kandideerijatele): Proc. abiraha.- M.; Kõrgem kool, 1984.-351 lk, ill.
Selles artiklis vaatleme kõikehõlmavalt. Peamine trigonomeetrilised identiteedid on võrdsused, mis loovad seose ühe nurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi vahel ning võimaldavad leida mõnda neist trigonomeetrilistest funktsioonidest tuntud teise nurga kaudu.
Loetleme kohe peamised trigonomeetrilised identiteedid, mida selles artiklis analüüsime. Kirjutame need tabelisse ning allpool anname nende valemite tuletuse ja anname vajalikud selgitused.
Leheküljel navigeerimine.
Ühe nurga siinuse ja koosinuse suhe
Mõnikord ei räägi nad ülaltoodud tabelis loetletud peamistest trigonomeetrilistest identiteetidest, vaid ühest üksikust põhiline trigonomeetriline identiteet lahke 
. Selle asjaolu seletus on üsna lihtne: võrdsused saadakse trigonomeetrilisest põhiidentiteedist pärast selle mõlema osa jagamist ja võrdsuste jagamist. 
Ja 
tuleneb siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonidest. Me käsitleme seda üksikasjalikumalt järgmistes lõikudes.
See tähendab, et erilist huvi pakub võrdsus, millele anti peamise trigonomeetrilise identiteedi nimi.
Enne trigonomeetrilise põhiidentiteedi tõestamist anname selle sõnastuse: ühe nurga siinuse ja koosinuse ruutude summa on identselt võrdne ühega. Nüüd tõestame seda.
Põhilist trigonomeetrilist identiteeti kasutatakse väga sageli muutumine trigonomeetrilised avaldised . See võimaldab ühe nurga siinuse ja koosinuse ruutude summa asendada ühega. Mitte vähem sageli kasutatakse põhilist trigonomeetrilist identiteeti vastupidises järjekorras: ühik asendatakse mis tahes nurga siinuse ja koosinuse ruutude summaga.
Puutuja ja kotangens siinuse ja koosinuse kaudu
Identiteedid, mis ühendavad puutuja ja kotangensi vormi ühe nurga siinuse ja koosinusega 
tulenevad koheselt siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonidest. Tõepoolest, definitsiooni järgi on siinus y ordinaat, koosinus on x abstsiss, puutuja on ordinaadi ja abstsissi suhe, see tähendab, 
, ja kotangens on abstsisstelje ja ordinaadi suhe, see tähendab, 
.
Tänu sellele identiteetide ja sageli pole puutuja ja kotangensi definitsioonid antud mitte abstsissi ja ordinaadi suhte, vaid siinuse ja koosinuse suhte kaudu. Seega on nurga puutuja siinuse ja koosinuse suhe selle nurga koosinusesse ja kootangens on koosinuse ja siinuse suhe.
Selle osa lõpetuseks tuleb märkida, et identiteedid ja hoidke kinni kõigi selliste nurkade puhul, mille puhul nendes olevad trigonomeetrilised funktsioonid on mõistlikud. Nii et valem kehtib mis tahes muu jaoks kui (muidu on nimetaja null ja me ei defineerinud nulliga jagamist) ja valem - kõigi jaoks , erineb , kus z on mis tahes .
Tangensi ja kotangensi seos
Eelmistest kahest veelgi ilmsem trigonomeetriline identsus on vormi ühe nurga puutuja ja kotangensi ühendav identiteet . On selge, et see toimub mis tahes muude nurkade puhul peale , vastasel juhul ei ole puutuja ega kootangens määratletud.
Valemi tõestus väga lihtne. Määratluse järgi ja kust 
. Tõestust oleks võinud läbi viia veidi teistmoodi. Alates ja , See 
.
Niisiis, ühe nurga puutuja ja kotangens, mille juures neil on mõte, on.
