Saime aru, mis on arvu aste üldiselt. Nüüd peame mõistma, kuidas seda õigesti arvutada, st. tõsta numbreid astmetesse. Selles materjalis analüüsime astme arvutamise põhireegleid täisarvu, naturaalse, murdosa, ratsionaalse ja irratsionaalse astendaja puhul. Kõiki definitsioone illustreeritakse näidetega.

Astendamise mõiste

Alustame põhimõistete sõnastamisest.

Definitsioon 1

Astendamine on mõne arvu astme väärtuse arvutamine.

See tähendab, et sõnad "kraadi väärtuse arvutamine" ja "astendamine" tähendavad sama asja. Seega, kui ülesanne on "Tõstke arv 0 , 5 viienda astmeni", tuleks seda mõista kui "arvuta astme (0 , 5) väärtus 5 .

Nüüd anname põhireeglid, mida sellistes arvutustes tuleb järgida.

Tuletage meelde, mis on naturaalastendajaga arvu aste. Aluse a ja astendajaga n astme korral on see n-nda tegurite arvu korrutis, millest igaüks on võrdne a-ga. Selle saab kirjutada nii:

Kraadi väärtuse arvutamiseks peate sooritama korrutamisoperatsiooni, st korrutama astme alused määratud arv kordi. Loodusliku indikaatoriga kraadi kontseptsioon põhineb võimel kiiresti paljuneda. Toome näiteid.

Näide 1

Seisukord: tõstke - 2 astmeni 4 .

Lahendus

Kasutades ülaltoodud definitsiooni, kirjutame: (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) . Järgmiseks peame lihtsalt järgima neid samme ja saama 16 .

Võtame keerulisema näite.

Näide 2

Arvutage väärtus 3 2 7 2

Lahendus

Selle kirje saab ümber kirjutada kujul 3 2 7 · 3 2 7 . Varem vaatasime, kuidas tingimuses mainitud seganumbreid õigesti korrutada.

Tehke järgmised sammud ja saate vastuse: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Kui ülesanne osutab vajadusele tõsta irratsionaalarvud loomuliku astmeni, peame esmalt ümardama nende alused numbrini, mis võimaldab meil saada soovitud täpsusega vastuse. Võtame näite.

Näide 3

Tehke arvu π ruudustamist.

Lahendus

Ümardame selle kõigepealt sajandikuteks. Siis π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Kui π ≈ 3 . 14159, siis saame täpsema tulemuse: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Pange tähele, et praktikas tekib vajadus arvutada irratsionaalarvude astmeid suhteliselt harva. Seejärel võime vastuse kirjutada astmena (ln 6) 3 või võimalusel teisendada: 5 7 = 125 5 .

Eraldi tuleks näidata, mis on arvu esimene aste. Siin võite lihtsalt meeles pidada, et iga esimese astmeni tõstetud arv jääb iseendaks:

See selgub protokollist. .

See ei sõltu kraadist.

Näide 4

Niisiis, (− 9) 1 = − 9 ja 7 3 tõstetakse esimese astmeni võrdseks 7 3 .

Mugavuse huvides analüüsime kolme juhtumit eraldi: kui eksponendiks on positiivne täisarv, kui see on null ja kui see on negatiivne täisarv.

Esimesel juhul on see sama, mis loomulikule astmele tõstmine: kuuluvad ju positiivsed täisarvud naturaalarvude hulka. Oleme juba eespool kirjeldanud, kuidas selliste kraadidega töötada.

Nüüd vaatame, kuidas õigesti nullvõimsusele tõsta. Nullist erineva baasi korral annab see arvutus alati väljundiks 1 . Oleme eelnevalt selgitanud, et a 0-nda astme saab defineerida mis tahes reaalarvu jaoks, mis ei võrdu 0-ga, ja a 0 = 1.

Näide 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - pole määratletud.

Meile jääb ainult negatiivse täisarvulise astendajaga astme juhtum. Oleme juba arutanud, et selliseid astmeid saab kirjutada murdosana 1 a z, kus a on suvaline arv ja z on negatiivne täisarv. Näeme, et selle murru nimetaja pole midagi muud kui tavaline aste positiivse täisarvuga, ja oleme juba õppinud, kuidas seda arvutada. Toome näiteid ülesannetest.

Näide 6

Tõstke 2 astmeni -3.

Lahendus

Kasutades ülaltoodud definitsiooni, kirjutame: 2 - 3 = 1 2 3

Arvutame selle murdosa nimetaja ja saame 8: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.

Siis on vastus: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Näide 7

Tõstke 1, 43 astmeni -2.

Lahendus

Ümbersõnastage: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

Arvutame nimetaja ruudu: 1,43 1,43. Kümnendkohti saab korrutada järgmiselt:

Selle tulemusena saime (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2 , 0449 . Jääb see tulemus vormile kirjutada harilik murd, mille puhul on vaja see korrutada 10 tuhandega (vt murdude teisendamise materjali).

Vastus: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Eraldi juhtum on arvu tõstmine miinus esimese astmeni. Sellise astme väärtus on võrdne aluse algväärtusele vastupidise arvuga: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.

Näide 8

Näide: 3–1 = 1/3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Kuidas tõsta arvu murdarvuni

Sellise toimingu tegemiseks peame meenutama murdosa astendajaga astme põhimääratlust: a m n \u003d a m n iga positiivse a, täisarvu m ja loomuliku n korral.

2. definitsioon

Seega tuleb murdastme arvutamine läbi viia kahes etapis: tõstmine täisarvuni ja n-nda astme juure leidmine.

Meil on võrdus a m n = a m n , mida juurte omadusi arvestades kasutatakse tavaliselt ülesannete lahendamiseks kujul a m n = a n m . See tähendab, et kui tõstame arvu a murdarvuni m / n, siis kõigepealt eraldame a-st n-nda astme juure, seejärel tõstame tulemuse astmeks täisarvulise astendajaga m.

Illustreerime näitega.

Näide 9

Arvutage 8 - 2 3 .

Lahendus

1. meetod. Põhimääratluse kohaselt võime seda esitada järgmiselt: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

Nüüd arvutame juure all oleva kraadi ja eraldame tulemusest kolmanda juure: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

2. meetod. Teisendame põhivõrdsuse: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

Pärast seda eraldame juure 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 ja ruudustame tulemuse: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Näeme, et lahendused on identsed. Võite kasutada mis tahes viisil, mis teile meeldib.

On juhtumeid, kui kraadil on näitaja, mis on väljendatud segaarvu või kümnendmurruna. Arvutamise hõlbustamiseks on parem see asendada harilik murd ja loe nagu ülal.

Näide 10

Tõsta 44,89 astmeni 2,5.

Lahendus

Teisendame indikaatori väärtuse harilikuks murruks: 44 , 89 2 , 5 = 44 , 89 5 2 .

Ja nüüd teeme kõik ülaltoodud toimingud järjekorras: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = 1 510 70 = 1 510 5 13 501, 25107

Vastus: 13501, 25107.

Kui murdosa astendaja lugeja ja nimetaja on suured numbrid, siis on selliste eksponentide arvutamine ratsionaalsete astendajatega üsna keeruline töö. Tavaliselt nõuab see arvutitehnoloogiat.

Eraldi peatume nullaluse ja murdosa astendajaga kraadil. Avaldisele kujul 0 m n võib anda järgmise tähenduse: kui m n > 0, siis 0 m n = 0 m n = 0 ; kui m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Kuidas tõsta arv irratsionaalse astmeni

Vajadust arvutada kraadi väärtust, mille näitajas on irratsionaalne arv, ei teki nii sageli. Praktikas piirdub ülesanne tavaliselt ligikaudse väärtuse arvutamisega (kuni teatud arvu kümnendkohtadeni). Tavaliselt arvutatakse see selliste arvutuste keerukuse tõttu arvutis, nii et me ei peatu sellel üksikasjalikult, vaid toome välja ainult peamised sätted.

Kui meil on vaja arvutada astme a väärtus irratsionaalse astendajaga a , siis võtame astendaja kümnendlähenduse ja arvestame sellest. Tulemuseks on ligikaudne vastus. Mida täpsem on kümnendlähendus, seda täpsem on vastus. Näitame näitega:

Näide 11

Arvutage ligikaudne väärtus 2 astmele 1,174367....

Lahendus

Piirdume kümnendlähendusega a n = 1, 17. Teeme arvutused selle arvu abil: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Kui võtame näiteks lähenduse a n = 1 , 1743 , siis on vastus veidi täpsem: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1. 1743 ≈ 2. 256833.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Arvu astme teemalise vestluse jätkamisel on loogiline tegeleda astme väärtuse leidmisega. See protsess on saanud nime astendamine. Selles artiklis uurime lihtsalt, kuidas eksponentsimist tehakse, puudutades samal ajal kõiki võimalikke eksponente - loomulikke, täisarvulisi, ratsionaalseid ja irratsionaalseid. Ja traditsiooni kohaselt kaalume üksikasjalikult lahendusi numbrite erineval määral suurendamise näidetele.

Leheküljel navigeerimine.

Mida tähendab "astendamine"?

Alustuseks selgitame, mida nimetatakse eksponentsimiseks. Siin on asjakohane määratlus.

Definitsioon.

Astendamine on leida arvu astme väärtus.

Seega on a astme väärtuse leidmine astendajaga r ja arvu a tõstmine r astmeni sama asi. Näiteks kui ülesandeks on “arvuta astme (0,5) väärtus 5”, siis saab selle ümber sõnastada järgmiselt: “Tõstke arv 0,5 astmeni 5”.

Nüüd saate minna otse reeglite juurde, mille järgi astendamine toimub.

Arvu tõstmine loomuliku astmeni

Praktikas rakendatakse võrdsust tavaliselt kujul . See tähendab, et arvu a tõstmisel murdarvuni m / n ekstraheeritakse esmalt arvust a n-nda astme juur, misjärel tõstetakse tulemus täisarvuni m.

Mõelge murdarvuni tõstmise näidete lahendustele.

Näide.

Arvutage kraadi väärtus.

Lahendus.

Näitame kahte lahendust.

Esimene viis. Kraadimääratluse järgi murdeksponentiga. Arvutame juure märgi all oleva kraadi väärtuse, mille järel eraldame kuupjuure: .

Teine viis. Murruastendajaga astme määratluse ja juurte omaduste põhjal on võrdsused tõesed . Nüüd eemaldage juur Lõpuks tõstame täisarvu astmeni .

Ilmselt langevad murdarvuni tõstmise tulemused kokku.

Vastus:

Pange tähele, et murdosa eksponendi saab kirjutada kujul kümnendmurd või segaarv, nendel juhtudel tuleks see asendada vastava hariliku murruga, misjärel teostada astendamine.

Näide.

Arvuta (44,89) 2,5 .

Lahendus.

Eksponendi kirjutame hariliku murru kujul (vajadusel vaadake artiklit): . Nüüd teostame tõstmise murdarvuni:

Vastus:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Samuti tuleb öelda, et arvude tõstmine ratsionaalsete astmeteni on üsna töömahukas protsess (eriti kui murdosa astendaja lugeja ja nimetaja on üsna suured arvud), mis tavaliselt viiakse läbi kasutades arvutiteadus.

Selle lõigu kokkuvõtteks peatume arvu nulli konstrueerimisel murdarvuks. Vormi murdosa nullastmele andsime järgmise tähenduse: sest meil on , samas kui null kuni võimsuse m/n ei ole määratletud. Näiteks nullist positiivse murdarvuni on null, . Ja null murdosa negatiivses astmes pole mõtet, näiteks avaldised ja 0 -4,3 pole mõtet.

Tõstmine irratsionaalseks jõuks

Mõnikord on vaja välja selgitada irratsionaalse astendajaga arvu astme väärtus. Samal ajal sisse praktilistel eesmärkidel tavaliselt piisab sellest, kui saada kraadi väärtus mingi märgini. Märgime kohe, et praktikas arvutatakse see väärtus elektroonilise arvutustehnoloogia abil, kuna irratsionaalse võimsuse käsitsi tõstmine nõuab palju tülikaid arvutusi. Kuid sellegipoolest kirjeldame toimingute olemust üldiselt.

Irratsionaalse astendajaga a astme ligikaudse väärtuse saamiseks võetakse astendaja mõni kümnendlik lähendus ja arvutatakse astendaja väärtus. See väärtus on arvu a astme ligikaudne väärtus irratsionaalse astendajaga. Mida täpsem on algselt arvu kümnendlähendus, seda täpsem on lõpuks kraadi väärtus.

Näitena arvutame 2 astme ligikaudse väärtuse 1,174367... . Võtame järgmise irratsionaalse näitaja kümnendlikviatsiooni: . Nüüd tõstame 2 ratsionaalse astmeni 1,17 (kirjeldasime selle protsessi olemust eelmises lõigus), saame 2 1,17 ≈ 2,250116. Seega 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Kui võtta irratsionaalse astendaja täpsem kümnendlähendus, näiteks , siis saame algastme täpsema väärtuse: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliograafia.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matemaatika Zh õpik 5 lahtrile. õppeasutused.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: õpik 7 lahtrile. õppeasutused.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: õpik 8 lahtrile. õppeasutused.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: õpik 9 lahtrile. õppeasutused.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. jt.Algebra ja analüüsi algus: Õpik üldharidusasutuste 10.-11.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemaatika (käsiraamat tehnikumidesse kandideerijatele).

Tuletame meelde, et selles õppetükis me mõistame kraadi omadused loomulike näitajatega ja nulliga. Ratsionaalsete näitajatega kraadidest ja nende omadustest räägitakse 8. klassi õppetundides.

Naturaalse astendajaga eksponendil on mitmeid olulisi omadusi, mis võimaldavad astendajanäidetes arvutusi lihtsustada.

Kinnistu nr 1
Võimude toode

Pea meeles!

Kui korrutada võimsused -ga samadel alustel alus jääb samaks ja eksponendid liidetakse.

a m a n \u003d a m + n, kus " a" - mis tahes arv ja" m", " n" - mis tahes naturaalarvud.

See võimsuste omadus mõjutab ka kolme või enama võimsuse korrutist.

• Lihtsustage väljendit.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Esitada kraadina.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Esitada kraadina.
  (0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Tähtis!

Pange tähele, et näidatud atribuudis oli tegemist ainult võimsuste korrutamisega samadel alustel . See ei kehti nende lisamise kohta.

Te ei saa summat (3 3 + 3 2) asendada 3 5-ga. See on arusaadav, kui
arvuta (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 ja 3 5 = 243

Kinnistu nr 2
Erakraadid

Pea meeles!

Jagades astmeid sama alusega, jääb alus muutumatuks ja jagaja astendaja lahutatakse dividendi eksponendist.

= 11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44

Näide. Lahenda võrrand. Kasutame osakraadide omadust.
3 8: t = 3 4

T = 3 8-4

Vastus: t = 3 4 = 81

Kasutades atribuute nr 1 ja nr 2, saate hõlpsasti avaldisi lihtsustada ja arvutusi teha.

• Näide. Lihtsustage väljendit.
  4 5 m + 6 4 m + 2: 4 4 m + 3 = 4 5 m + 6 + m + 2: 4 4 m + 3 = 4 6 m + 8 - 4 m - 3 = 4 2 m + 5
• Näide. Leidke avaldise väärtus kraadiomaduste abil.
  = = = 2 9 + 2

  2 5

  = 2 11

  2 5

  = 2 11 − 5 = 2 6 = 64

  Tähtis!

  Pange tähele, et vara 2 käsitles ainult volituste jaotamist samadel alustel.

  Te ei saa vahet (4 3 −4 2) asendada 4 1-ga. See on arusaadav, kui arvestada (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 ja 4 1 = 4

  Ole ettevaatlik!

  Kinnistu nr 3
  Astendamine

  Pea meeles!

  Kui tõstetakse aste astmeks, jääb astme baas muutumatuks ja eksponendid korrutatakse.

  (a n) m \u003d a n m, kus "a" on mis tahes arv ja "m", "n" on mis tahes naturaalarvud.

  
  

  Omadused 4
  Toote kraad

  Pea meeles!

  Korrutise tõstmisel astmeni tõstetakse iga tegur astmeni. Seejärel tulemused korrutatakse.

  (a b) n \u003d a n b n, kus "a", "b" on mis tahes ratsionaalarvud; "n" - mis tahes naturaalarv.

  • Näide 1
    (6 a 2 b 3 c) 2 = 6 2 a 2 2 b 3 2 s 1 2 = 36 a 4 b 6 s 2
    
  • Näide 2
    (−x 2 a) 6 = ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6

  Tähtis!

  Pange tähele, et omadust nr 4, nagu ka muid kraadiomadusi, rakendatakse ka vastupidises järjekorras.

  (a n b n)= (a b) n

  See tähendab, et kraadide korrutamiseks samade astendajatega saate korrutada alused ja jätta eksponendi muutmata.

  • Näide. Arvutama.
    2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000
  • Näide. Arvutama.
    0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

  Keerulisemate näidete puhul võib esineda juhtumeid, kus korrutamine ja jagamine tuleb sooritada võimsustega with erinevatel alustel ja erinevad näitajad. Sel juhul soovitame teil teha järgmist.

  Näiteks, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
  

  Näide kümnendmurru astendamisest.

  4 21 (-0,25) 20 = 4 4 20 (-0,25) 20 = 4 (4 (-0,25)) 20 = 4 (-1) 20 = 4 1 = 4

  Omadused 5
  Jagatise võimsus (murrud)

  Pea meeles!

  Jagatise tõstmiseks astmeni saate tõsta dividendi ja jagaja eraldi selle astmeni ning jagada esimese tulemuse teisega.

  (a: b) n \u003d a n: b n, kus "a", "b" on mis tahes ratsionaalarvud, b ≠ 0, n on mis tahes naturaalarv.

  • Näide. Väljendage väljendit osavõimsustena.
    (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

  Tuletame meelde, et jagatist saab esitada murruna. Seetõttu peatume murru astmeks tõstmise teemal lähemalt järgmisel leheküljel.

esmane eesmärk

Tutvustada õpilasi kraadide omadustega looduslike näitajatega ja õpetada kraadidega toiminguid sooritama.

Teema "kraad ja selle omadused" sisaldab kolme küsimust:

• Kraadi määramine loomuliku indikaatoriga.
• Võimude korrutamine ja jagamine.
• Toote ja kraadi astendamine.

Kontrollküsimused

1. Sõnasta astme definitsioon, mille naturaalastendaja on suurem kui 1. Too näide.
2. Sõnasta kraadi definitsioon indikaatoriga 1. Too näide.
3. Milline on toimingute järjekord astmeid sisaldava avaldise väärtuse hindamisel?
4. Sõnasta kraadi põhiomadus. Too näide.
5. Sõnasta reegel astmete korrutamiseks sama alusega. Too näide.
6. Sõnastage reegel võimsuste jagamiseks samade alustega. Too näide.
7. Sõnastage toote astendamise reegel. Too näide. Tõesta samasust (ab) n = a n b n .
8. Sõnasta reegel kraadi tõstmiseks astmeni. Too näide. Tõesta identiteet (a m) n = a m n .

Kraadi määratlus.

arvu aste a loomuliku indikaatoriga n, mis on suurem kui 1, nimetatakse n teguri korrutiseks, millest igaüks on võrdne A. arvu aste A astendajaga 1 nimetatakse arvu ennast A.

Kraad koos alusega A ja indikaator n on kirjutatud nii: a n. Seal on kirjas " A ulatuses n”; “Arvu n-s aste A ”.

Kraadi määratluse järgi:

a 4 = a a a a

. . . . . . . . . . . .

Kraadi väärtuse leidmist nimetatakse astendamine .

1. Astendamise näited:

3 3 = 3 3 3 = 27

0 4 = 0 0 0 0 = 0

(-5) 3 = (-5) (-5) (-5) = -125

25 ; 0,09 ;

25 = 5 2 ; 0,09 = (0,3) 2 ; .

27 ; 0,001 ; 8 .

27 = 3 3 ; 0,001 = (0,1) 3 ; 8 = 2 3 .

4. Leidke avaldise väärtused:

a) 3 10 3 = 3 10 10 10 = 3 1000 = 3000

b) -2 4 + (-3) 2 = 7
2 4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7

valik 1

a) 0,3 0,3 0,3

c) b b b b b b b

d) (-x) (-x) (-x) (-x)

e) (ab) (ab) (ab)

2. Tõsta numbrid ruutu:

3. Kuubiku numbrid:

4. Leidke avaldise väärtused:

c) -1 4 + (-2) 3

d) -4 3 + (-3) 2

e) 100–5 2 4

Võimude korrutamine.

Mis tahes arvu a ja suvaliste arvude m ja n puhul kehtib järgmine:

a m a n = a m + n .

Tõestus:

reegel : Kui korrutada astmed sama alusega, jäävad alused samaks ja astendajad liidetakse.

a m a n a k = a m + n a k = a (m + n) + k = a m + n + k

a) x 5 x 4 = x 5 + 4 = x 9

b) y y 6 = y 1 y 6 = y 1 + 6 = y 7

c) b 2 b 5 b 4 \u003d b 2 + 5 + 4 \u003d b 11

d) 3 4 9 = 3 4 3 2 = 3 6

e) 0,01 0,1 3 = 0,1 2 0,1 3 = 0,1 5

a) 2 3 2 = 2 4 = 16

b) 3 2 3 5 = 3 7 = 2187

valik 1

1. Esitage kraadina:

a) x 3 x 4 e) x 2 x 3 x 4

b) a 6 a 2 g) 3 3 9

c) y 4 a h) 7 4 49

d) a a 8 i) 16 2 7

e) 2 3 2 4 j) 0,3 3 0,09

2. Esitage kraadina ja leidke väärtus tabelist:

a) 2 2 2 3 c) 8 2 5

b) 3 4 3 2 d) 27 243

Kraadide jaotus.

Mis tahes arvu a0 ja suvalise jaoks naturaalarvud m ja n nii, et m>n on tõene:

a m: a n = a m - n

Tõestus:

a m - n a n = a (m - n) + n = a m - n + n = a m

privaatse määratluse järgi:

a m: a n \u003d a m - n.

reegel: Sama alusega astmete jagamisel jäetakse alus samaks ja jagaja astendaja lahutatakse dividendi eksponendist.

Definitsioon: Nullastendajaga nullist erineva arvu aste on võrdne ühega:

sest a n: a n = 1 a0 korral.

a) x 4: x 2 \u003d x 4 - 2 \u003d x 2

b) y 8: y 3 = y 8 - 3 = y 5

c) a 7: a \u003d a 7: a 1 = 7 - 1 \u003d a 6

d) s 5:s 0 = s 5:1 = s 5

a) 5 7:5 5 = 5 2 = 25

b) 10 20:10 17 = 10 3 = 1000

V)

G)

e)

valik 1

1. Avaldage jagatis astmena:

2. Leidke avaldiste väärtused:

Toote võimsuse tõstmine.

Mis tahes a ja b ning suvalise naturaalarvu n korral:

(ab) n = a n b n

Tõestus:

Kraadi määratluse järgi

(ab) n =

Rühmitades tegurid a ja tegurid b eraldi, saame:

=

Korrutise astme tõestatud omadus ulatub kolme või enama teguri korrutise astmeni.

Näiteks:

(a b c) n = a n b n c n;

(a b c d) n = a n b n c n d n .

reegel: Korrutise tõstmisel astmeni tõstetakse iga tegur selle astmeni ja tulemus korrutatakse.

1. Tõstke astmeni:

a) (a b) 4 = a 4 b 4

b) (2 x y) 3 \u003d 2 3 x 3 a 3 = 8 x 3 a 3

c) (3 a) 4 = 3 4 a 4 = 81 a 4

d) (-5 a) 3 \u003d (-5) 3 a 3 \u003d -125 a 3

e) (-0,2 x y) 2 \u003d (-0,2) 2 x 2 a 2 = 0,04 x 2 a 2

f) (-3 a b c) 4 = (-3) 4 a 4 b 4 c 4 = 81 a 4 b 4 c 4

2. Leidke avaldise väärtus:

a) (2 10) 4 = 2 4 10 4 = 16 1000 = 16 000

b) (3 5 20) 2 = 3 2 100 2 = 9 10000 = 90000

c) 2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000

d) 0,25 11 4 11 = (0,25 4) 11 = 1 11 = 1

e)

valik 1

1. Tõstke astmeni:

b) (2 a c) 4

e) (-0,1 x y) 3

2. Leidke avaldise väärtus:

b) (5 7 20) 2

Astendamine.

Mis tahes arvu a ja suvaliste naturaalarvude m ja n korral:

(a m) n = a m n

Tõestus:

Kraadi määratluse järgi

(a m) n =

Reegel: Kui tõsta aste astmeks, jäetakse alus samaks ja astendajad korrutatakse.

1. Tõstke astmeni:

(a 3) 2 = a 6 (x 5) 4 = x 20

(y 5) 2 = y 10 (b 3) 3 = b 9

2. Lihtsustage väljendeid:

a) a 3 (a 2) 5 = a 3 a 10 = a 13

b) (b 3) 2 b 7 \u003d b 6 b 7 \u003d b 13

c) (x 3) 2 (x 2) 4 \u003d x 6 x 8 \u003d x 14

d) (y y 7) 3 = (y 8) 3 = y 24

A)

b)

valik 1

1. Tõstke astmeni:

a) (a 4) 2 b) (x 4) 5

c) (y 3) 2 d) (b 4) 4

2. Lihtsustage väljendeid:

a) a 4 (a 3) 2

b) (b 4) 3 b 5+

c) (x 2) 4 (x 4) 3

d) (a a 9) 2

3. Leidke väljendite tähendus:

Rakendus

Kraadi määratlus.

2. võimalus

1. Kirjutage toode kraadi kujul:

a) 0,4 0,4 ​​0,4

c) a a a a a a a a a

d) (-y) (-y) (-y) (-y)

e) (bc) (bc) (bc)

2. Tõsta numbrid ruutu:

3. Kuubiku numbrid:

4. Leidke avaldise väärtused:

c) -1 3 + (-2) 4

d) -6 2 + (-3) 2

e) 4 5 2 – 100

3. võimalus

1. Kirjutage toode kraadina:

a) 0,5 0,5 0,5

c) c c c c c c c c c

d) (-x) (-x) (-x) (-x)

e) (ab) (ab) (ab)

2. Esitage arvu ruudu kujul: 100; 0,49; .

3. Kuubiku numbrid:

4. Leidke avaldise väärtused:

c) -1 5 + (-3) 2

d) -5 3 + (-4) 2

e) 5 4 2 - 100

4. võimalus

1. Kirjutage toode kraadina:

a) 0,7 0,7 0,7

c) x x x x x x

d) (-а) (-а) (-а)

e) (bc) (bc) (bc) (bc)

2. Tõsta numbrid ruutu:

3. Kuubiku numbrid:

4. Leidke avaldise väärtused:

c) -1 4 + (-3) 3

d) -3 4 + (-5) 2

e) 100 - 3 2 5

Võimude korrutamine.

2. võimalus

1. Esitage kraadina:

a) x 4 x 5 e) x 3 x 4 x 5

b) a 7 a 3 g) 2 3 4

c) y 5 a h) 4 3 16

d) a a 7 i) 4 2 5

e) 2 2 2 5 j) 0,2 3 0,04

2. Esitage kraadina ja leidke väärtus tabelist:

a) 3 2 3 3 c) 16 2 3

b) 2 4 2 5 d) 9 81

3. võimalus

1. Esitage kraadina:

a) a 3 a 5 e) y 2 a 4 a 6

b) x 4 x 7 g) 3 5 9

c) b 6 b h) 5 3 25

d) y 8 i) 49 7 4

e) 2 3 2 6 j) 0,3 4 0,27

2. Esitage kraadina ja leidke väärtus tabelist:

a) 3 3 3 4 c) 27 3 4

b) 2 4 2 6 d) 16 64

4. võimalus

1. Esitage kraadina:

a) a 6 a 2 e) x 4 x x 6

b) x 7 x 8 g) 3 4 27

c) y 6 a h) 4 3 16

d) x x 10 i) 36 6 3

e) 2 4 2 5 j) 0,2 2 0,008

2. Esitage kraadina ja leidke väärtus tabelist:

a) 2 6 2 3 c) 64 2 4

b) 3 5 3 2 d) 81 27

Kraadide jaotus.

2. võimalus

1. Avaldage jagatis astmena:

2. Leidke avaldiste väärtused:

Astendamine on korrutamisega tihedalt seotud tehe, see on arvu enda mitmekordse korrutamise tulemus. Esitame valemit: a1 * a2 * ... * an = an.

Näiteks a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

Üldiselt kasutatakse eksponentsimist sageli matemaatika ja füüsika erinevates valemites. Sellel funktsioonil on teaduslikum eesmärk kui neljal põhifunktsioonil: liitmine, lahutamine, korrutamine, jagamine.

Arvu tõstmine astmeni

Arvu astmeks tõstmine ei ole keeruline toiming. See on seotud korrutamisega nagu korrutamise ja liitmise suhe. Record an – lühike kirje n-nda arvu arvudest "a" korrutatuna üksteisega.

Kaaluge kõige rohkem eksponentsimist lihtsaid näiteid liikudes edasi keerukate juurde.

Näiteks 42. 42 = 4 * 4 = 16 . Neli ruutu (teise astmeni) võrdub kuueteistkümnega. Kui te ei mõista korrutamist 4 * 4, lugege meie artiklit korrutamise kohta.

Vaatame teist näidet: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Viis kuubikut (kolmanda astmeni) võrdub saja kahekümne viiega.

Teine näide: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Üheksa kuubikut võrdub seitsesada kakskümmend üheksa.

Astendamisvalemid

Et õigesti tõsta astmeni, peate meeles pidama ja teadma allolevaid valemeid. Selles pole midagi peale loomuliku, peaasi, et mõistaksite olemust ja siis ei jää need mitte ainult meelde, vaid tunduvad ka lihtsad.

Monoomili tõstmine astmeks

Mis on monoom? See on mis tahes koguses arvude ja muutujate korrutis. Näiteks kaks on monoom. Ja see artikkel räägib selliste monomialide võimsuseks tõstmisest.

Astendamisvalemeid kasutades ei ole keeruline arvutada monoomi astendamist astmele.

Näiteks, (3x^2y^3)^2= 3^2*x^2*2*y^(3*2) = 9x^4y^6; Kui tõstate monomiaali astmeni, tõstetakse monomiaali iga komponent astmeni.

Muutuja, millel on juba aste, tõstmisel astmeks, astmed korrutatakse. Näiteks (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

Tõstmine negatiivsesse jõudu

Negatiivne astendaja on arvu pöördväärtus. Mis on vastastikune? Mis tahes arvu X puhul on pöördarvuks 1/X. See on X-1 = 1/X. See on negatiivse astme olemus.

Vaatleme näidet (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

Miks nii? Kuna kraadil on miinus, kanname selle avaldise lihtsalt nimetajasse ja tõstame selle seejärel kolmandasse astmesse. Just õige?

Tõstmine murdarvuni

Alustame arutelu konkreetne näide. 43/2. Mida tähendab võimsus 3/2? 3 – lugeja, tähendab numbri (antud juhul 4) kuubiks tõstmist. Arv 2 on nimetaja, see on arvu teise juure (antud juhul 4) eraldamine.

Siis saame ruutjuure 43 = 2^3 = 8 . Vastus: 8.

Niisiis võib murdosa astme nimetaja olla kas 3 või 4 ja lõpmatuseni suvaline arv ning see arv määrab astme ruutjuur ekstraheeritud antud number. Loomulikult ei saa nimetaja olla null.

Juure tõstmine võimuks

Kui juur tõsta astmeni, mis on võrdne juure enda võimsusega, siis on vastuseks radikaalne väljend. Näiteks (√x)2 = x. Ja nii igal juhul juure astme ja juure tõstmise astme võrdsuse korral.

Kui (√x)^4. Siis (√x)^4=x^2. Lahenduse kontrollimiseks tõlgime avaldise avaldisesse koos murdosa aste. Kuna juur on ruut, on nimetaja 2. Ja kui juur tõsta neljanda astmeni, siis on lugejaks 4. Saame 4/2=2. Vastus: x = 2.

Igatahes parim variant lihtsalt teisendage avaldis murdarvuga avaldisesse. Kui murdosa ei vähendata, siis selline vastus on eeldusel, et antud arvu juurt ei eraldata.

Kompleksarvu astendamine

Mis on kompleksarv? Kompleksnumber- avaldis, mille valem on a + b * i; a, b on reaalarvud. i on arv, mis ruudustamisel annab arvu -1.

Kaaluge näidet. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Registreeruge kursusele "Kiirendada peast loendamist, MITTE peast aritmeetikat", et õppida kiiresti ja õigesti liitma, lahutama, korrutama, jagama, ruutarvud ja isegi juurduma. 30 päeva jooksul õpid kasutama lihtsaid nippe aritmeetiliste toimingute lihtsustamiseks. Iga õppetund sisaldab uusi võtteid, selgeid näiteid ja kasulikke ülesandeid.

Astendamine võrgus

Meie kalkulaatori abil saate arvutada arvu eksponentsi astmele:

Astendusaste 7

Võimule tõstmine hakkab koolilastest mööduma alles seitsmendas klassis.

Astendamine on korrutamisega tihedalt seotud tehe, see on arvu enda mitmekordse korrutamise tulemus. Esitame valemit: a1 * a2 * … * an=an .

Näiteks, a = 2, n = 3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Lahenduste näited:

Astendamise esitlus

Seitsmenda klassi õpilastele mõeldud esitlus eksponeerimisest. Ettekanne võib selgitada mõningaid arusaamatuid punkte, kuid tõenäoliselt selliseid punkte tänu meie artiklile ei tule.

Tulemus

Matemaatika paremaks mõistmiseks oleme kaalunud ainult jäämäe tippu - registreeruge meie kursusele: kiirendage peast loendamist - MITTE peast aritmeetikat.

Kursusel ei õpi sa mitte ainult kümneid nippe lihtsustatud ja kiireks korrutamiseks, liitmiseks, korrutamiseks, jagamiseks, protsentide arvutamiseks, vaid töötad need välja ka spetsiaalsetes ülesannetes ja õppemängudes! Ka vaimne loendamine nõuab palju tähelepanu ja keskendumist, mida treenitakse aktiivselt huvitavate probleemide lahendamisel.