Kui teil on vaja teatud arv astmeni tõsta, võite kasutada . Vaatame nüüd lähemalt kraadide omadused.

Eksponentarvud avavad suurepäraseid võimalusi, võimaldavad meil teisendada korrutamise liitmiseks ja liitmine on palju lihtsam kui korrutamine.

Näiteks peame korrutama 16 64-ga. Nende kahe arvu korrutis on 1024. Kuid 16 on 4x4 ja 64 on 4x4x4. Seega 16 korda 64=4x4x4x4x4, mis on samuti 1024.

Arvu 16 saab esitada ka kui 2x2x2x2 ja 64 kui 2x2x2x2x2x2 ja kui me korrutame, saame jälle 1024.

Nüüd kasutame reeglit. 16 = 4 2 või 2 4, 64 = 4 3 või 2 6, samas kui 1024 = 6 4 = 4 5 või 2 10 .

Seetõttu saab meie ülesande kirjutada teistmoodi: 4 2 x4 3 =4 5 või 2 4 x2 6 =2 10 ja iga kord saame 1024.

Saame lahendada mitmeid sarnaseid näiteid ja näha, et arvude korrutamine astmetega taandub eksponentide lisamine, või eksponent, muidugi eeldusel, et tegurite alused on võrdsed.

Seega võime ilma korrutamata kohe öelda, et 2 4 x 2 2 x 2 14 \u003d 2 20.

See reegel kehtib ka arvude astmetega jagamisel, kuid sel juhul on nt jagaja astendaja lahutatakse dividendi eksponendist. Seega 2 5:2 3 =2 2, mis sisse tavalised numbrid võrdub 32:8=4, see tähendab 2 2 . Teeme kokkuvõtte:

a m x a n \u003d a m + n, a m: a n \u003d a m-n, kus m ja n on täisarvud.

Esmapilgul võib see nii tunduda arvude korrutamine ja jagamine astmetega pole eriti mugav, sest kõigepealt peate arvu esitama eksponentsiaalsel kujul. Numbrite 8 ja 16 kujutamine sellisel kujul, see tähendab 2 3 ja 2 4, pole keeruline, kuid kuidas seda teha numbritega 7 ja 17? Või mida teha neil juhtudel, kui arvu saab esitada eksponentsiaalsel kujul, kuid arvude eksponentsiaalsete avaldiste alused on väga erinevad. Näiteks 8×9 on 2 3 x 3 2, sel juhul ei saa me eksponente summeerida. Ei 2 5 ega 3 5 ei ole vastus ega ka vastus nende kahe vahel.

Kas siis tasub selle meetodiga üldse vaeva näha? Kindlasti seda väärt. See annab tohutuid eeliseid, eriti keeruliste ja aeganõudvate arvutuste puhul.

Matemaatika kraadi mõistet tutvustatakse juba 7. klassis algebratunnis. Ja tulevikus, kogu matemaatika õppimise jooksul, kasutatakse seda mõistet aktiivselt selle erinevates vormides. Kraadid on üsna keeruline teema, mis nõuab väärtuste meeldejätmist ning oskust õigesti ja kiiresti lugeda. Matemaatika kraadidega kiiremaks ja paremaks töötamiseks mõtlesid nad välja kraadi omadused. Need aitavad vähendada suuri arvutusi, teisendada tohutu näite mingil määral üheks arvuks. Omadusi pole nii palju ja neid kõiki on lihtne meeles pidada ja praktikas rakendada. Seetõttu käsitletakse artiklis kraadi peamisi omadusi ja ka seda, kus neid kasutatakse.

kraadi omadused

Vaatleme 12 kraadi omadust, sealhulgas kraadide omadusi samadel alustel, ja iga omaduse kohta toome näite. Kõik need omadused aitavad teil kraadidega seotud probleeme kiiremini lahendada ja säästa teid arvukate arvutusvigade eest.

1. vara.

Paljud inimesed unustavad selle omaduse väga sageli, teevad vigu, esitades arvu null kraadini nullina.

2. vara.

3. vara.

Tuleb meeles pidada, et seda omadust saab kasutada ainult arvude korrutamisel, summaga see ei tööta! Ja me ei tohi unustada, et see ja järgmised omadused kehtivad ainult sama alusega võimsuste kohta.

4. vara.

Kui nimetajas olev arv tõstetakse negatiivse astmeni, siis lahutamisel võetakse sulgudes nimetaja aste, et märk õigesti asendada edasistes arvutustes.

Omadus töötab ainult jagamisel, mitte lahutamisel!

5. vara.

6. kinnistu.

Seda omadust saab ka rakendada tagakülg. Mingil määral arvuga jagatud ühik on see arv negatiivse astmega.

7. kinnistu.

Seda omadust ei saa rakendada summale ja vahele! Summa või vahe tõstmisel astmeni kasutatakse lühendatud korrutusvalemeid, mitte astme omadusi.

8. vara.

9. kinnistu.

See omadus töötab mis tahes murdosa astme korral, mille lugeja on võrdne ühega, valem on sama, ainult juure aste muutub sõltuvalt astme nimetajast.

Samuti kasutatakse seda omadust sageli vastupidises järjekorras. Arvu mis tahes astme juurt saab esitada kui arvu, mis on jagatud juure astmega. See omadus on väga kasulik juhtudel, kui numbri juurt ei eraldata.

10. kinnistu.

See vara töötab mitte ainult ruutjuur ja teine ​​aste. Kui juure aste ja selle juure tõstmise aste on samad, on vastuseks radikaalne väljend.

11. kinnistu.

Seda kinnisvara peab saama õigel ajal näha seda lahendades, et säästa end tohututest arvutustest.

12. kinnistu.

Kõik need omadused kohtavad teid ülesannetes rohkem kui üks kord, selle võib esitada puhtal kujul või see võib nõuda mõningaid teisendusi ja muude valemite kasutamist. Seetõttu ei piisa õige lahenduse jaoks ainult omaduste teadmisest, tuleb harjutada ja ühendada ülejäänud matemaatikateadmised.

Kraadide rakendamine ja nende omadused

Neid kasutatakse aktiivselt algebras ja geomeetrias. Eraldi oluline koht on matemaatika kraadidel. Nende abiga lahendatakse eksponentsiaalvõrrandeid ja võrratusi, samuti teevad astmed sageli keerulisemaks teiste matemaatika osadega seotud võrrandid ja näited. Eksponentid aitavad vältida suuri ja pikki arvutusi, astendajaid on lihtsam vähendada ja arvutada. Kuid suurte või suurte arvude võimsustega töötamiseks peate teadma mitte ainult kraadi omadusi, vaid ka asjatundlikult töötama alustega, suutma neid oma ülesande hõlbustamiseks lagundada. Mugavuse huvides peaksite teadma ka astmeni tõstetud arvude tähendust. See vähendab teie lahendamisele kuluvat aega, kaotades vajaduse pikkade arvutuste järele.

Kraadi mõiste mängib logaritmides erilist rolli. Kuna logaritm on sisuliselt arvu võimsus.

Lühendatud korrutusvalemid on veel üks näide astmete kasutamisest. Nad ei saa kasutada kraadide omadusi, need lagunevad vastavalt erireeglid, kuid iga lühendatud korrutusvalem sisaldab alati võimsusi.

Aktiivselt kasutatakse kraade ka füüsikas ja informaatikas. Kõik tõlked SI-süsteemi tehakse kraadide abil ning edaspidi rakendatakse ülesannete lahendamisel astme omadusi. Arvutiteaduses kasutatakse loendamise hõlbustamiseks ja arvude tajumise lihtsustamiseks aktiivselt kahe astmeid. Edasised arvutused mõõtühikute teisendamiseks või ülesannete arvutamiseks, nagu füüsikas, toimuvad astme omaduste abil.

Kraadidest on palju kasu ka astronoomias, kus harva leiab kraadi omaduste kasutust, kuid kraade endid kasutatakse aktiivselt erinevate suuruste ja kauguste salvestamise lühendamiseks.

Kraade kasutatakse ka igapäevaelus, pindalade, mahtude, vahemaade arvutamisel.

Kraadide abil kirjutatakse mis tahes teadusvaldkonnas väga suuri ja väga väikeseid väärtusi.

eksponentsiaalvõrrandid ja võrratused

Kraadiomadused hõivavad just selles erilise koha eksponentsiaalvõrrandid ja ebavõrdsused. Need ülesanded on väga levinud, nagu näiteks koolikursus kui ka eksamitel. Kõik need on lahendatud kraadi omaduste rakendamisega. Tundmatu on alati astmes endas, seetõttu pole kõiki omadusi teades sellist võrrandit või ebavõrdsust keeruline lahendada.

Esimene tase

Kraad ja selle omadused. Põhjalik juhend (2019)

Miks on kraade vaja? Kus sa neid vajad? Miks peate nende õppimisele aega kulutama?

Et õppida kõike kraadide kohta, milleks need on mõeldud ja kuidas oma teadmisi kasutada Igapäevane elu lugege seda artiklit.

Ja loomulikult viib kraadide teadmine teid edukale lähemale OGE läbimine või ühtsele riigieksamile ja astuda oma unistuste ülikooli.

Lähme... (Lähme!)

Oluline märkus! Kui valemite asemel näete jaburat, tühjendage vahemälu. Selleks vajutage klahvikombinatsiooni CTRL+F5 (Windowsis) või Cmd+R (Maci puhul).

ESIMESE TASE

Astendamine on sama matemaatiline tehe nagu liitmine, lahutamine, korrutamine või jagamine.

Nüüd ma selgitan kõike inimkeel väga lihtsaid näiteid. Ole ettevaatlik. Näited on elementaarsed, kuid selgitavad olulisi asju.

Alustame lisamisega.

Siin pole midagi seletada. Sa tead juba kõike: meid on kaheksa. Mõlemas on kaks pudelit koolat. Kui palju koolat? Täpselt nii – 16 pudelit.

Nüüd korrutamine.

Sama näite koolaga saab kirjutada erineval viisil: . Matemaatikud on kavalad ja laisad inimesed. Esmalt märkavad nad mõnda mustrit ja siis leiavad viisi, kuidas neid kiiremini "loendada". Meie puhul märkasid nad, et kõigil kaheksal inimesel oli sama palju koolapudeleid ja nad leidsid tehnika, mida nimetatakse korrutamiseks. Nõus, seda peetakse lihtsamaks ja kiiremaks kui.

Seega, et loendada kiiremini, lihtsamalt ja vigadeta, peate lihtsalt meeles pidama korrutustabel. Muidugi saab kõike teha ka aeglasemalt, raskemini ja vigadega! Aga…

Siin on korrutustabel. Korda.

Ja veel üks ilusam:

Ja milliseid keerulisi loendamisnippe laisad matemaatikud veel välja mõtlesid? Õige - arvu tõstmine astmeni.

Arvu tõstmine astmeni

Kui peate arvu endaga viis korda korrutama, siis matemaatikud ütlevad, et peate selle arvu viienda astmeni tõstma. Näiteks, . Matemaatikud mäletavad, et kaks kuni viies aste on. Ja nad lahendavad sellised probleemid oma mõtetes – kiiremini, lihtsamalt ja vigadeta.

Selleks on vaja ainult pidage meeles, mis on numbrite astmete tabelis värviliselt esile tõstetud. Uskuge mind, see muudab teie elu palju lihtsamaks.

Muide, miks nimetatakse teist kraadi ruut numbrid ja kolmas kuubik? Mida see tähendab? Väga hea küsimus. Nüüd on teil nii ruudud kui ka kuubikud.

Näide päriselust nr 1

Alustame ruudust või arvu teisest astmest.

Kujutage ette ruudukujulist basseini, mille mõõtmed on meetrit meetrit. Bassein on teie tagahoovis. On palav ja ma tahan väga ujuda. Aga ... bassein ilma põhjata! Basseini põhi on vaja katta plaatidega. Mitu plaati vajate? Selle kindlaksmääramiseks peate teadma basseini põhja pindala.

Saate lihtsalt näpuga torkades kokku lugeda, et basseini põhi koosneb meeterhaaval kuubikutest. Kui teie plaadid on meeter-meetri haaval, vajate tükke. See on lihtne... Aga kus sa sellist plaati nägid? Plaat tuleb pigem cm kaupa ja siis piinleb “näpuga lugedes”. Siis tuleb korrutada. Seega paigaldame basseini põhja ühele küljele plaadid (tükid) ja teisele ka plaadid. Korrutades saate plaadid ().

Kas märkasite, et basseini põhja pindala määramiseks korrutasime sama arvu iseendaga? Mida see tähendab? Kuna sama arv korrutatakse, saame kasutada astendamise tehnikat. (Muidugi, kui teil on ainult kaks arvu, peate need ikkagi korrutama või tõstma astmeni. Aga kui teil on neid palju, siis on astmeni tõstmine palju lihtsam ja arvutustes on ka vähem vigu . Eksami jaoks on see väga oluline).
Niisiis, kolmkümmend kuni teine ​​aste on (). Või võite öelda, et kolmkümmend ruutu tuleb. Teisisõnu, arvu teist astet saab alati esitada ruuduna. Ja vastupidi, kui näete ruutu, on see ALATI mõne arvu teine ​​aste. Ruut on arvu teise astme kujutis.

Näide päriselust nr 2

Siin on teile ülesanne: loendage, mitu ruutu on malelaual, kasutades numbri ruutu ... Ühel pool lahtreid ja ka teisel pool. Nende arvu kokkulugemiseks peate korrutama kaheksa kaheksaga või ... kui märkate, et malelaud on küljega ruut, siis saate kaheksa ruutu. Hangi rakud. () Nii et?

Näide päriselust nr 3

Nüüd kuup ehk arvu kolmas aste. Sama bassein. Kuid nüüd peate välja selgitama, kui palju vett tuleb sellesse basseini valada. Peate helitugevuse arvutama. (Muide, mahtusid ja vedelikke mõõdetakse kuupmeetrit. Ootamatult, eks?) Joonistage bassein: meetri suurune ja meetri sügavune põhi ning proovige arvutada, mitu kuubikut meeterhaaval teie basseini kokku satub.

Näita lihtsalt näpuga ja loe! Üks, kaks, kolm, neli… kakskümmend kaks, kakskümmend kolm… Kui palju see välja tuli? Ei eksinud ära? Kas sõrmega on raske lugeda? Nii et! Võtke eeskuju matemaatikutelt. Nad on laisad ja märkasid, et basseini mahu arvutamiseks peate selle pikkuse, laiuse ja kõrguse üksteisega korrutama. Meie puhul võrdub basseini maht kuubikutega ... Lihtsam, eks?

Kujutage nüüd ette, kui laisad ja kavalad on matemaatikud, kui nad selle liiga lihtsaks teevad. Tahandati kõik ühele toimingule. Nad märkasid, et pikkus, laius ja kõrgus on võrdsed ning sama arv korrutatakse iseenesest ... Ja mida see tähendab? See tähendab, et saate kraadi kasutada. Niisiis, see, mida te kunagi näpuga lugesite, teevad nad ühe toiminguga: kolm kuubis on võrdne. See on kirjutatud nii:

Jääb ainult kraaditabel meelde jätta. Kui te pole muidugi sama laisk ja kaval nagu matemaatikud. Kui sulle meeldib kõvasti tööd teha ja vigu teha, võid näpuga loendada.

Noh, selleks, et teid lõpuks veenda, et kraadid leiutasid pätid ja kavalad inimesed oma eluprobleemide lahendamiseks, mitte teie jaoks probleeme tekitama, on siin veel paar näidet elust.

Näide päriselust nr 4

Sul on miljon rubla. Iga aasta alguses teenite iga miljoni kohta veel ühe miljoni. See tähendab, et iga teie miljon iga aasta alguses kahekordistub. Kui palju teil aastate pärast raha on? Kui sa nüüd istud ja “näpuga loed”, siis oled väga töökas inimene ja .. loll. Aga suure tõenäosusega annad vastuse paari sekundiga, sest oled tark! Niisiis, esimesel aastal - kaks korda kaks ... teisel aastal - mis juhtus, veel kahe võrra, kolmandal aastal ... Stop! Märkasite, et arv korrutatakse iseendaga üks kord. Nii et kaks kuni viies aste on miljon! Kujutage nüüd ette, et teil on võistlus ja see, kes kiiremini arvutab, saab need miljonid ... Kas tasub meeles pidada arvude astmeid, mida arvate?

Näide päriselust nr 5

Sul on miljon. Iga aasta alguses teenite iga miljoni kohta kaks rohkem. See on suurepärane eks? Iga miljon kolmekordistub. Kui palju raha teil aasta pärast on? Loeme. Esimene aasta – korruta teisega, siis tulemus teisega... See on juba igav, sest sa oled juba kõigest aru saanud: kolm korrutatakse iseendaga kordadega. Nii et neljas aste on miljon. Peate lihtsalt meeles pidama, et kolm kuni neljas aste on või.

Nüüd teate, et tõstes arvu astmeni, muudate oma elu palju lihtsamaks. Vaatame lähemalt, mida saate kraadidega teha ja mida peate nende kohta teadma.

Mõisted ja mõisted ... et mitte segadusse sattuda

Niisiis, kõigepealt määratleme mõisted. Mida sa arvad, mis on eksponent? See on väga lihtne – see on number, mis on numbri astme "ülaosas". Mitte teaduslik, kuid selge ja kergesti meeldejääv ...

Noh, samal ajal, mida selline kraadiõppebaas? Veelgi lihtsam on number, mis asub allosas, põhjas.

Siin on teile kindel pilt.

No ja sisse üldine vaadeüldistamiseks ja paremaks meeldejätmiseks ... Astet, mille alus on "" ja astendaja "", loetakse "kraadini" ja kirjutatakse järgmiselt:

Naturaalastendajaga arvu võimsus

Tõenäoliselt arvasite seda juba: kuna astendaja on naturaalarv. Jah, aga mis on naturaalarv? Elementaarne! Naturaalarvud on need, mida kasutatakse loendamisel üksuste loetlemisel: üks, kaks, kolm ... Üksusi loendades ei ütle me: "miinus viis", "miinus kuus", "miinus seitse". Me ei ütle ka "üks kolmandik" või "null koma viis kümnendikku". Need ei ole naturaalarvud. Mis te arvate, millised need numbrid on?

Numbrid nagu "miinus viis", "miinus kuus", "miinus seitse" viitavad täisarvud.Üldiselt hõlmavad täisarvud kõiki naturaalarve, naturaalarvudele vastandlikke numbreid (see tähendab, et need on võetud miinusmärgiga) ja arvu. Nulli on lihtne mõista – see on siis, kui midagi pole. Ja mida tähendavad negatiivsed ("miinus") numbrid? Kuid need leiutati peamiselt võlgade tähistamiseks: kui teie telefonis on saldo rublades, tähendab see, et olete operaatorile rublades võlgu.

Kõik murrud on ratsionaalarvud. Kuidas need tekkisid, mis sa arvad? Väga lihtne. Mitu tuhat aastat tagasi avastasid meie esivanemad, et neil pole piisavalt naturaalnumbreid pikkuse, kaalu, pindala jne mõõtmiseks. Ja nad mõtlesid välja ratsionaalsed arvud… Huvitav, kas pole?

On ka irratsionaalseid numbreid. Mis need numbrid on? Ühesõnaga lõputult kümnend. Näiteks kui jagate ringi ümbermõõdu selle läbimõõduga, saate irratsionaalarvu.

Kokkuvõte:

Defineerime astme mõiste, mille eksponendiks on naturaalarv (st täisarv ja positiivne).

1. Iga arv esimeses astmes võrdub iseendaga:
2. Arvu ruudu korrutamine tähendab selle korrutamist iseendaga:
3. Arvu kuubiks korrutamine tähendab selle endaga kolm korda korrutamist:

Definitsioon. Arvu tõstmine loomuliku astmeni tähendab arvu korrutamist iseendaga kordadega:
.

Kraadi omadused

Kust need omadused tulid? Ma näitan teile nüüd.

Vaatame, mis on Ja ?

A-prioor:

Mitu kordajat on kokku?

See on väga lihtne: lisasime teguritele tegurid ja tulemuseks on tegurid.

Kuid definitsiooni järgi on see astendajaga arvu aste, st: , mida oli vaja tõestada.

Näide: avaldise lihtsustamine.

Lahendus:

Näide: Lihtsustage väljendit.

Lahendus: Oluline on märkida, et meie reeglis Tingimata põhjus peab olema sama!
Seetõttu ühendame kraadid baasiga, kuid jääme eraldi teguriks:

ainult võimsustoodete jaoks!

Mitte mingil juhul ei tohiks te seda kirjutada.

2. see tähendab -arvu aste

Nii nagu eelmise omaduse puhul, pöördume astme määratluse juurde:

Selgub, et avaldis korrutatakse iseendaga üks kord, see tähendab, et definitsiooni järgi on see arvu aste:

Tegelikult võib seda nimetada "indikaatori sulgudes". Kuid te ei saa seda kunagi teha kokku:

Tuletame meelde lühendatud korrutamise valemeid: mitu korda tahtsime kirjutada?

Aga see pole tõsi, tõesti.

Negatiivse baasiga kraad

Siiani oleme arutanud ainult seda, milline peaks olema astendaja.

Aga mis peaks olema aluseks?

Kraadides alates loomulik näitaja aluseks võib olla suvaline number. Tõepoolest, me saame korrutada mis tahes arvu üksteisega, olgu need positiivsed, negatiivsed või isegi.

Mõelgem, millistel märkidel ("" või "") on positiivsete ja negatiivsete arvude aste?

Näiteks, kas arv on positiivne või negatiivne? A? ? Esimesega on kõik selge: ükskõik kui palju positiivseid arve me omavahel korrutame, on tulemus positiivne.

Kuid negatiivsed on veidi huvitavamad. Meenub ju 6. klassist lihtne reegel: "miinus korda miinus annab plussi." See tähendab, või. Aga kui korrutada, siis selgub.

Määrake ise, mis märk on järgmistel väljenditel:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Kas said hakkama?

Siin on vastused: Ma loodan, et esimese nelja näite puhul on kõik selge? Vaatame lihtsalt baasi ja eksponenti ning rakendame sobivat reeglit.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Näites 5) pole kõik ka nii hirmutav, kui tundub: pole vahet, millega alus on võrdne - aste on ühtlane, mis tähendab, et tulemus on alati positiivne.

Noh, välja arvatud siis, kui baas on null. Põhi pole ju sama? Ilmselgelt mitte, kuna (sest).

Näide 6) pole enam nii lihtne!

6 praktika näidet

Lahenduse analüüs 6 näidet

Kui me ei pööra tähelepanu kaheksandale astmele, mida me siin näeme? Heidame pilgu 7. klassi programmile. Niisiis, mäletad? See on lühendatud korrutamisvalem, nimelt ruutude erinevus! Saame:

Vaatame hoolikalt nimetajat. See näeb välja nagu üks lugejate tegureid, kuid mis on valesti? Vale terminite järjekord. Kui need vahetataks, võiks reegel kehtida.

Aga kuidas seda teha? Selgub, et see on väga lihtne: nimetaja paarisaste aitab meid siin.

Terminid on võluväel kohad muutnud. See "nähtus" kehtib iga väljendi kohta ühtlasel määral: me võime vabalt muuta sulgudes olevaid märke.

Kuid on oluline meeles pidada: kõik märgid muutuvad samal ajal!

Läheme tagasi näite juurde:

Ja jälle valem:

terve nimetame naturaalarvud, nende vastandid (see tähendab märgiga "" võetud) ja arvu.

positiivne täisarv, ja see ei erine loomulikust, siis näeb kõik välja täpselt nagu eelmises jaotises.

Vaatame nüüd uusi juhtumeid. Alustame näitajaga, mis on võrdne.

Suvaline arv nullastmeni on võrdne ühega:

Nagu alati, küsime endalt: miks see nii on?

Kaaluge aluse võimsust. Võtke näiteks ja korrutage järgmisega:

Niisiis, me korrutasime arvuga ja saime sama, mis see oli -. Millise arvuga tuleb korrutada, et midagi ei muutuks? Täpselt nii, edasi. Tähendab.

Sama saame teha suvalise arvuga:

Kordame reeglit:

Suvaline arv nullastmeni on võrdne ühega.

Kuid paljudest reeglitest on erandeid. Ja siin on see ka seal - see on arv (alusena).

Ühest küljest peab see olema võrdne mis tahes kraadiga – ükskõik kui palju sa nulli iseendaga korrutad, saad ikkagi nulli, see on selge. Kuid teisest küljest, nagu iga null kraadini ulatuv arv, peab see olema võrdne. Mis on selle tõde? Matemaatikud otsustasid mitte sekkuda ja keeldusid nulli nullvõimsusele tõstmast. See tähendab, et nüüd saame mitte ainult nulliga jagada, vaid ka tõsta selle nullvõimsuseni.

Lähme edasi. Täisarvud sisaldavad lisaks naturaalarvudele ja arvudele ka negatiivseid arve. Et mõista, mis on negatiivne aste, teeme sama, mis eelmisel korral: korrutage mõni normaalarv samaga negatiivne aste:

Siit on juba lihtne soovitud väljendada:

Nüüd laiendame saadud reeglit suvalises ulatuses:

Niisiis, sõnastame reegli:

Negatiivse astme arv on sama arvu ja positiivse astme pöördväärtus. Aga samas baas ei saa olla null:(sest jagada pole võimalik).

Teeme kokkuvõtte:

I. Väljend ei ole defineeritud. Kui siis.

II. Suvaline arv nullastmeni on võrdne ühega: .

III. Arv, mis ei ole võrdne nulliga negatiivse astme suhtes, on sama arvu pöördväärtus positiivse astme suhtes: .

Iseseisva lahenduse ülesanded:

Noh, nagu tavaliselt, näited iseseisva lahenduse jaoks:

Iseseisva lahenduse ülesannete analüüs:

Ma tean, ma tean, numbrid on hirmutavad, aga eksamil pead olema kõigeks valmis! Lahendage need näited või analüüsige nende lahendust, kui te ei suutnud seda lahendada, ja eksamil saate teada, kuidas nendega hõlpsalt toime tulla!

Jätkame eksponendiks "sobivate" arvude ringi laiendamist.

Nüüd kaaluge ratsionaalsed arvud. Milliseid arve nimetatakse ratsionaalseteks?

Vastus: kõik, mida saab esitada murdarvuna, kus ja on täisarvud, pealegi.

Et mõista, mis on "murdjärguline aste" Vaatleme murdosa:

Tõstame võrrandi mõlemad pooled astmeks:

Nüüd pidage meeles reeglit "kraadist kraadini":

Millise arvu tuleb astmeni tõsta, et saada?

See sõnastus on astme juure määratlus.

Tuletan teile meelde: arvu th astme juur () on arv, mis astmeks tõsttuna on võrdne.

See tähendab, et astme juur on astendamise pöördtehte: .

Selgub, et. Ilmselgelt saab seda erijuhtumit pikendada: .

Nüüd lisage lugeja: mis see on? Vastuse on lihtne saada võimsus-võimsuse reegli abil:

Aga kas baas võib olla suvaline arv? Juurt ei saa ju kõikidest numbritest välja võtta.

Mitte ühtegi!

Pidage meeles reeglit: suvaline arv, mille võrra tõstetakse ühtlane aste on positiivne arv. See tähendab, et negatiivsetest arvudest on võimatu eraldada paarisastme juuri!

Ja see tähendab, et selliseid numbreid ei saa tõsta murdosa aste paarisnimetajaga ehk väljendil pole mõtet.

Aga väljendus?

Siin aga tekib probleem.

Arvu võib esitada näiteks muude, vähendatud murdudena või.

Ja selgub, et see on olemas, aga ei eksisteeri ja need on vaid kaks erinevat sama numbri kirjet.

Või teine ​​näide: üks kord, siis saate selle üles kirjutada. Kuid niipea, kui kirjutame indikaatori erineval viisil, tekib jälle probleeme: (st saime täiesti erineva tulemuse!).

Selliste paradokside vältimiseks kaaluge ainult positiivne baaseksponent koos murdosa eksponendiga.

Nii et kui:

• - naturaalarv;
• on täisarv;

Näited:

Ratsionaalse astendajaga astmed on väga kasulikud juurtega avaldiste teisendamiseks, näiteks:

5 praktika näidet

5 näite analüüs koolituseks

Noh, nüüd - kõige raskem. Nüüd analüüsime aste irratsionaalse astendajaga.

Kõik kraadide reeglid ja omadused on siin täpselt samad, mis ratsionaalse astendajaga kraadide puhul, välja arvatud

Tõepoolest, definitsiooni järgi on irratsionaalarvud arvud, mida ei saa esitada murdarvuna, kus ja on täisarvud (st irratsionaalarvud on kõik reaalarvud, välja arvatud ratsionaalsed).

Naturaalse, täisarvu ja ratsionaalse indikaatoriga kraade uurides koostasime iga kord kindla “pildi”, “analoogia” või tuttavama kirjelduse.

Näiteks loomulik astendaja on arv, mis on korrutatud iseendaga mitu korda;

...nullvõimsus- see on justkui arv, mis on korrutatud iseendaga üks kord, see tähendab, et seda pole veel korrutama hakatud, mis tähendab, et arv ise pole isegi veel ilmunud - seetõttu on tulemuseks ainult teatud “tühi number” , nimelt number;

...negatiivne täisarvu astendaja- justkui oleks toimunud teatud "pöördprotsess", see tähendab, et arvu ei korrutatud iseendaga, vaid jagati.

Muide, teaduses kasutatakse sageli kompleksi astendajaga kraadi, see tähendab, et astendaja pole isegi reaalarv.

Kuid koolis me sellistele raskustele ei mõtle, teil on võimalus instituudis neid uusi mõisteid mõista.

KUHU OLEME KINDEL, ET LÄHED! (kui õpid selliseid näiteid lahendama :))

Näiteks:

Otsustage ise:

Lahenduste analüüs:

1. Alustame juba tavapärasest kraadi tõstmise reeglist kraadini:

Vaata nüüd skoori. Kas ta meenutab sulle midagi? Tuletame meelde ruutude erinevuse lühendatud korrutamise valemit:

Sel juhul,

Selgub, et:

Vastus: .

2. Toome astendajates murrud samale kujule: kas mõlemad kümnendkohad või mõlemad tavalised. Saame näiteks:

Vastus: 16

3. Ei midagi erilist, rakendame kraadide tavalisi omadusi:

EDASIJÕUDNUTE TASE

Kraadi määratlus

Kraad on vormi: , kus:

• — kraadi alus;
• - eksponent.

Kraad naturaalse astendajaga (n = 1, 2, 3,...)

Arvu suurendamine loomuliku astmeni n tähendab arvu korrutamist iseendaga:

Positsioon täisarvu eksponendiga (0, ±1, ±2,...)

Kui eksponendiks on positiivne täisarv number:

erektsioon nullvõimsusele:

Väljend on määramatu, sest ühelt poolt on see igal astmel ja teiselt poolt mis tahes arv kuni astmeni see.

Kui eksponendiks on täisarv negatiivne number:

(sest jagada pole võimalik).

Veel kord nullide kohta: avaldis pole käändes defineeritud. Kui siis.

Näited:

Kraad ratsionaalse astendajaga

• - naturaalarv;
• on täisarv;

Näited:

Kraadi omadused

Et probleeme oleks lihtsam lahendada, proovime mõista: kust need omadused tulid? Tõestame neid.

Vaatame: mis on ja?

A-prioor:

Seega saadakse selle avaldise paremal küljel järgmine toode:

Kuid definitsiooni järgi on see arvu aste koos astendajaga, see tähendab:

Q.E.D.

Näide : avaldise lihtsustamine.

Lahendus : .

Näide : avaldise lihtsustamine.

Lahendus : Oluline on märkida, et meie reeglis Tingimata peab olema samal alusel. Seetõttu ühendame kraadid baasiga, kuid jääme eraldi teguriks:

Veel üks oluline märkus: see reegel - ainult võimsuste toodete puhul!

Mitte mingil juhul ei tohiks ma seda kirjutada.

Nii nagu eelmise omaduse puhul, pöördume astme määratluse juurde:

Korraldame selle ümber nii:

Selgub, et avaldis korrutatakse iseendaga üks kord, see tähendab, et definitsiooni kohaselt on see arvu -th aste:

Tegelikult võib seda nimetada "indikaatori sulgudes". Kuid te ei saa seda kunagi teha kokku:!

Tuletame meelde lühendatud korrutamise valemeid: mitu korda tahtsime kirjutada? Aga see pole tõsi, tõesti.

Võim negatiivse alusega.

Siiani oleme arutanud ainult seda, mis peaks olema indeks kraadi. Aga mis peaks olema aluseks? Kraadides alates loomulik indikaator aluseks võib olla suvaline number .

Tõepoolest, me saame korrutada mis tahes arvu üksteisega, olgu need positiivsed, negatiivsed või isegi. Mõelgem, millistel märkidel ("" või "") on positiivsete ja negatiivsete arvude aste?

Näiteks, kas arv on positiivne või negatiivne? A? ?

Esimesega on kõik selge: ükskõik kui palju positiivseid arve me omavahel korrutame, on tulemus positiivne.

Kuid negatiivsed on veidi huvitavamad. Meenub ju 6. klassist lihtne reegel: "miinus korda miinus annab plussi." See tähendab, või. Kui aga korrutada (-ga), saame -.

Ja nii edasi lõpmatuseni: iga järgneva korrutamisega märk muutub. Selliseid on võimalik sõnastada lihtsad reeglid:

1. isegi aste, - arv positiivne.
2. Negatiivne arv aastal püstitatud kummaline aste, - arv negatiivne.
3. Mis tahes astme positiivne arv on positiivne arv.
4. Null mis tahes astmeni on võrdne nulliga.

Määrake ise, mis märk on järgmistel väljenditel:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Kas said hakkama? Siin on vastused:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Loodan, et esimese nelja näite puhul on kõik selge? Vaatame lihtsalt baasi ja eksponenti ning rakendame sobivat reeglit.

Näites 5) pole kõik ka nii hirmutav, kui tundub: pole vahet, millega alus on võrdne - aste on ühtlane, mis tähendab, et tulemus on alati positiivne. Noh, välja arvatud siis, kui baas on null. Põhi pole ju sama? Ilmselgelt mitte, kuna (sest).

Näide 6) pole enam nii lihtne. Siin peate välja selgitama, kumb on vähem: või? Kui seda meeles pidada, saab see selgeks, mis tähendab, et baas on väiksem kui null. See tähendab, et rakendame reeglit 2: tulemus on negatiivne.

Ja jällegi kasutame kraadi määratlust:

Kõik on nagu tavaliselt - kirjutame üles kraadide määratlused ja jagame need üksteiseks, jagame paarideks ja saame:

Enne viimase reegli analüüsimist lahendame mõned näited.

Arvutage avaldiste väärtused:

Lahendused :

Kui me ei pööra tähelepanu kaheksandale astmele, mida me siin näeme? Heidame pilgu 7. klassi programmile. Niisiis, mäletad? See on lühendatud korrutamisvalem, nimelt ruutude erinevus!

Saame:

Vaatame hoolikalt nimetajat. See näeb välja nagu üks lugejate tegureid, kuid mis on valesti? Vale terminite järjekord. Kui need oleksid vastupidised, saaks rakendada reeglit 3. Aga kuidas seda teha? Selgub, et see on väga lihtne: nimetaja paarisaste aitab meid siin.

Kui see korrutada, ei muutu midagi, eks? Aga nüüd näeb see välja selline:

Terminid on võluväel kohad muutnud. See "nähtus" kehtib iga väljendi kohta ühtlasel määral: me võime vabalt muuta sulgudes olevaid märke. Kuid on oluline meeles pidada: kõik märgid muutuvad samal ajal! Seda ei saa asendada ainult ühe meie jaoks taunitava miinuse muutmisega!

Läheme tagasi näite juurde:

Ja jälle valem:

Nüüd viimane reegel:

Kuidas me seda tõestame? Muidugi, nagu tavaliselt: laiendame kraadi mõistet ja lihtsustame:

Noh, nüüd avame sulgud. Mitu tähte tuleb? korda kordajatega – kuidas see välja näeb? See pole midagi muud kui operatsiooni määratlus korrutamine: kokku osutusid kordajad. See tähendab, et see on definitsiooni järgi astendajaga arvu aste:

Näide:

Kraad irratsionaalse astendajaga

Lisaks keskmise taseme kraadide teabele analüüsime kraadi irratsionaalse näitajaga. Kõik kraadide reeglid ja omadused on siin täpselt samad, mis ratsionaalse astendajaga astme puhul, erandiga - on ju definitsiooni järgi irratsionaalarvud arvud, mida ei saa murdena esitada, kus ja on täisarvud (st. , on irratsionaalarvud kõik reaalarvud, välja arvatud ratsionaalsed).

Naturaalse, täisarvu ja ratsionaalse indikaatoriga kraade uurides koostasime iga kord kindla “pildi”, “analoogia” või tuttavama kirjelduse. Näiteks loomulik astendaja on arv, mis on korrutatud iseendaga mitu korda; nullkraadine arv on justkui arv, mis on korrutatud iseendaga üks kord, see tähendab, et seda pole veel korrutama hakatud, mis tähendab, et arv ise pole veel ilmunudki - seega on tulemuseks ainult teatud "numbri ettevalmistamine", nimelt number; aste täisarvulise negatiivse indikaatoriga - justkui oleks toimunud teatud "pöördprotsess", see tähendab, et arvu ei korrutatud iseendaga, vaid jagati.

Äärmiselt raske on ette kujutada kraadi irratsionaalse eksponendiga (nagu on raske ette kujutada 4-mõõtmelist ruumi). Pigem on see puhtalt matemaatiline objekt, mille matemaatikud on loonud, et laiendada kraadi mõistet kogu arvude ruumile.

Muide, teaduses kasutatakse sageli kompleksi astendajaga kraadi, see tähendab, et astendaja pole isegi reaalarv. Kuid koolis me sellistele raskustele ei mõtle, teil on võimalus instituudis neid uusi mõisteid mõista.

Mida me siis teeme, kui näeme irratsionaalset eksponenti? Anname endast parima, et sellest lahti saada! :)

Näiteks:

Otsustage ise:

1)

2)

3)

Vastused:

1. Pidage meeles ruutude valemi erinevust. Vastus:.
2. Toome murrud samale kujule: kas mõlemad kümnendkohad või mõlemad tavalised. Saame näiteks: .
3. Ei midagi erilist, rakendame kraadide tavalisi omadusi:

OSA KOKKUVÕTE JA PÕHIVALEMID

Kraad nimetatakse väljendiks kujul: , kus:

Kraad täisarvu eksponendiga

aste, mille eksponendiks on naturaalarv (st täisarv ja positiivne).

Kraad ratsionaalse astendajaga

aste, mille indikaatoriks on negatiivsed ja murdarvud.

Kraad irratsionaalse astendajaga

eksponent, mille astendaja on lõpmatu kümnendmurd või juur.

Kraadi omadused

Kraadide omadused.

• Negatiivne arv tõsteti väärtusele isegi aste, - arv positiivne.
• Negatiivne arv tõsteti väärtusele kummaline aste, - arv negatiivne.
• Mis tahes astme positiivne arv on positiivne arv.
• Null on võrdne mis tahes võimsusega.
• Mis tahes arv nullastmega on võrdne.

NÜÜD ON SUL SÕNA...

Kuidas teile artikkel meeldib? Andke mulle allolevates kommentaarides teada, kas teile meeldis või mitte.

Rääkige meile oma kogemustest võimsusomadustega.

Võib-olla on teil küsimusi. Või ettepanekuid.

Kirjutage kommentaaridesse.

Ja edu teile eksamitel!

Võimsuse valemid kasutatakse vähendamise ja lihtsustamise protsessis keerulised väljendid, võrrandite ja võrratuste lahendamisel.

Number c on n-arvu aste a Millal:

Tehted kraadidega.

1. Kraadide korrutamisel sama baasiga saadakse nende näitajad kokku:

olena n = a m + n .

2. Sama alusega kraadide jaotuses lahutatakse nende näitajad:

3. Korrutise aste 2 või rohkem tegurid on võrdne nende tegurite astmete korrutisega:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Murru aste võrdub dividendi ja jagaja astmete suhtega:

(a/b) n = a n/bn.

5. Tõsttes astme astmeks, korrutatakse eksponendid:

(am) n = a m n .

Iga ülaltoodud valem on õige suunaga vasakult paremale ja vastupidi.

Näiteks. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operatsioonid juurtega.

1. Mitme teguri korrutis on võrdne nende tegurite juurte korrutisega:

2. Suhte juur on võrdne suhtega juurte jagatav ja jagaja:

3. Juure tõstmisel astmele piisab juurarvu tõstmisest selle astmeni:

4. Kui suurendame juure astet sisse nüks kord ja samal ajal tõsta kuni n aste on juurarv, siis juure väärtus ei muutu:

5. Kui me vähendame juure astet n juur samal ajal n kraadi võrra radikaalarvust, siis juure väärtus ei muutu:

Kraad negatiivse astendajaga. Mittepositiivse (täisarvulise) astendajaga arvu aste on defineeritud kui jagamine sama arvu astmega, mille astendaja on võrdne mittepositiivse astendaja absoluutväärtusega:

Valem olen:a n = a m - n saab kasutada mitte ainult m> n, aga ka kl m< n.

Näiteks. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Valemile olen:a n = a m - n sai õiglaseks m = n, vajate nullkraadi olemasolu.

Kraad nullastendajaga. Iga nullist erineva arvu nullastendajaga aste on võrdne ühega.

Näiteks. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Kraad murdarvulise astendajaga. Tõsta reaalarvu A mingil määral m/n, peate juure ekstraheerima n aste m selle arvu võimsus A.

Kuidas võimeid korrutada? Milliseid jõude saab korrutada ja milliseid mitte? Kuidas korrutada arvu astmega?

Algebras leiate astmete korrutise kahel juhul:

1) kui kraadidel on sama alus;

2) kui kraadidel on samad näitajad.

Kui korrutada astmeid sama alusega, peab alus jääma samaks ja astendajad tuleb liita:

Kraadide korrutamisel samade näitajatega saab kogunäidiku sulgudest välja võtta:

Mõelge konkreetsete näidetega, kuidas võimeid korrutada.

Astendaja ühikut ei kirjutata, kuid kraadide korrutamisel võtavad nad arvesse:

Korrutamisel võib kraadide arv olla ükskõik milline. Tuleb meeles pidada, et tähe ette ei saa kirjutada korrutusmärki:

Avaldistes tehakse esimesena eksponentsiatsioon.

Kui teil on vaja arvu korrutada astmega, peate esmalt sooritama astenduse ja alles seejärel korrutama:

www.algebraclass.ru

Astmete liitmine, lahutamine, korrutamine ja jagamine

Astmete liitmine ja lahutamine

Ilmselgelt saab astmetega numbreid liita nagu teisigi suurusi , lisades need ükshaaval koos nende märkidega.

Seega on a 3 ja b 2 summa a 3 + b 2 .
A 3 - b n ja h 5 -d 4 summa on a 3 - b n + h 5 - d 4.

Koefitsiendid samade muutujate samad astmed saab liita või lahutada.

Seega on 2a 2 ja 3a 2 summa 5a 2 .

Samuti on ilmne, et kui võtta kaks ruutu a, kolm ruutu a või viis ruutu a.

Aga kraadid erinevaid muutujaid Ja erinevad kraadid identsed muutujad, tuleb lisada, lisades need nende märkidele.

Seega on 2 ja 3 summa 2 + a 3 summa.

On ilmne, et ruut a ja kuup a ei ole kaks korda a ruut, vaid kaks korda suurem kuup a.

A 3 b n ja 3a 5 b 6 summa on a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Lahutamine volitusi teostatakse samamoodi nagu liitmist, ainult et alamlahendi märke tuleb vastavalt muuta.

Või:
2a 4 – (-6a 4) = 8a 4
3 h 2 b 6 - 4 h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6

Võimsuse korrutamine

Pädevustega arve saab korrutada nagu teisigi suurusi, kirjutades need üksteise järel, kas korrutusmärgiga või ilma.

Seega on a 3 korrutamise tulemus b 2-ga a 3 b 2 või aaabb.

Või:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 a

Viimase näite tulemuse saab järjestada samade muutujate lisamisega.
Avaldis on järgmisel kujul: a 5 b 5 y 3 .

Võrreldes mitut arvu (muutujat) astmetega, näeme, et kui neist kaks korrutada, on tulemuseks arv (muutuja), mille võimsus on võrdne summa terminite astmed.

Niisiis, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Siin on 5 korrutamise tulemuse võimsus, mis võrdub 2 + 3, liikmete astmete summa.

Niisiis, a n .a m = a m+n .

A n korral võetakse a teguriks nii mitu korda, kui palju on n võimsus;

Ja a m , võetakse tegurina nii mitu korda, kui aste m on võrdne;

Sellepärast, samade alustega astmeid saab korrutada eksponentide liitmise teel.

Niisiis, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Ja x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Või:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Korrutage (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Vastus: x 4 - y 4.
Korrutage (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

See reegel kehtib ka arvude kohta, mille eksponendid on − negatiivne.

1. Niisiis, a -2 .a -3 = a -5 . Seda saab kirjutada kujul (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Kui a + b korrutada a - b-ga, on tulemuseks a 2 - b 2: see on

Kahe arvu summa või erinevuse korrutamise tulemus on võrdne nende ruutude summa või erinevusega.

Kui kahe arvu summa ja vahe tõstetakse väärtuseni ruut, on tulemus võrdne nende arvude summa või erinevusega neljas kraadi.

Niisiis, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Kraadide jaotus

Pädevustega numbreid saab jagada nagu teisigi numbreid, lahutades jagajast või paigutades need murru kujul.

Seega on a 3 b 2 jagatud b 2-ga a 3 .

5 jagatuna 3-ga kirjutamine näeb välja nagu $\frac $. Kuid see on võrdne 2-ga. Numbrite reas
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
mis tahes arvu saab jagada teisega ja astendaja on võrdne erinevus jaguvate arvude näitajad.

Sama alusega astmete jagamisel lahutatakse nende eksponendid..

Niisiis, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . See tähendab, $\frac = y$.

Ja a n+1:a = a n+1-1 = a n . See tähendab, $\frac = a^n$.

Või:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Reegel kehtib ka numbrite puhul koos negatiivne kraadi väärtused.
A -5 jagamisel -3-ga saadakse -2 .
Samuti $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 või $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Võimude korrutamist ja jagamist on vaja väga hästi valdada, kuna selliseid tehteid kasutatakse algebras väga laialdaselt.

Näiteid näidete lahendamisest astmetega numbreid sisaldavate murdudega

1. Vähenda eksponente väärtuses $\frac $ Vastus: $\frac $.

2. Vähendage eksponente väärtuses $\frac$. Vastus: $\frac $ või 2x.

3. Vähendage eksponendid a 2 / a 3 ja a -3 / a -4 ning viige ühise nimetajani.
a 2 .a -4 on -2 esimene lugeja.
a 3 .a -3 on 0 = 1, teine ​​lugeja.
a 3 .a -4 on -1, ühine lugeja.
Pärast lihtsustamist: a -2 /a -1 ja 1/a -1 .

4. Vähendage eksponendid 2a 4 /5a 3 ja 2 /a 4 ja viige ühise nimetajani.
Vastus: 2a 3 / 5a 7 ja 5a 5 / 5a 7 või 2a 3 / 5a 2 ja 5/5a 2.

5. Korrutage (a 3 + b)/b 4 arvuga (a - b)/3.

6. Korrutage (a 5 + 1)/x 2 arvuga (b 2 - 1)/(x + a).

7. Korrutage b 4 /a -2 arvuga h -3 /x ja a n /y -3 .

8. Jagage 4 /a 3 3 /a 2-ga. Vastus: a/y.

kraadi omadused

Tuletame meelde, et selles õppetükis me mõistame kraadi omadused loomulike näitajatega ja nulliga. Ratsionaalsete näitajatega kraadidest ja nende omadustest räägitakse 8. klassi õppetundides.

Naturaalse astendajaga eksponendil on mitmeid olulisi omadusi, mis võimaldavad astendajanäidetes arvutusi lihtsustada.

Kinnistu nr 1
Võimude toode

Kui korrutada astmed sama alusega, jääb alus muutumatuks ja astendajad liidetakse.

a m a n \u003d a m + n, kus "a" on mis tahes arv ja "m", "n" on mis tahes naturaalarvud.

See võimsuste omadus mõjutab ka kolme või enama võimsuse korrutist.

Lihtsustage väljendit.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15

Esitada kraadina.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17

Esitada kraadina.
(0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Pange tähele, et näidatud vara puhul oli tegemist ainult võimsuste korrutamisega samade alustega.. See ei kehti nende lisamise kohta.

Te ei saa summat (3 3 + 3 2) asendada 3 5-ga. See on arusaadav, kui
arvuta (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 ja 3 5 = 243

Kinnistu nr 2
Erakraadid

Jagades astmeid sama alusega, jääb alus muutumatuks ja jagaja astendaja lahutatakse dividendi eksponendist.

Kirjutage jagatis astmena
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2

Arvutama.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Näide. Lahenda võrrand. Kasutame osakraadide omadust.
3 8: t = 3 4

Vastus: t = 3 4 = 81

Kasutades atribuute nr 1 ja nr 2, saate hõlpsasti avaldisi lihtsustada ja arvutusi teha.

Näide. Lihtsustage väljendit.
4 5 m + 6 4 m + 2: 4 4 m + 3 = 4 5 m + 6 + m + 2: 4 4 m + 3 = 4 6 m + 8 - 4 m - 3 = 4 2 m + 5

Näide. Leidke avaldise väärtus kraadiomaduste abil.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Pange tähele, et vara 2 käsitles ainult volituste jaotamist samadel alustel.

Te ei saa vahet (4 3 −4 2) asendada 4 1-ga. See on arusaadav, kui arvutate (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 ja 4 1 = 4

Kinnistu nr 3
Astendamine

Kui tõstetakse aste astmeks, jääb astme baas muutumatuks ja eksponendid korrutatakse.

(a n) m \u003d a n m, kus "a" on mis tahes arv ja "m", "n" on mis tahes naturaalarvud.

Pange tähele, et omadust nr 4, nagu ka muid kraadiomadusi, rakendatakse ka vastupidises järjekorras.

(a n b n)= (a b) n

See tähendab, et kraadide korrutamiseks samade astendajatega saate korrutada alused ja jätta eksponendi muutmata.

Näide. Arvutama.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000

Näide. Arvutama.
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

Rohkem raskeid näiteid võib esineda juhtumeid, kus korrutamine ja jagamine tuleb läbi viia erinevate alustega volituste ja erinevad näitajad. Sel juhul soovitame teil teha järgmist.

Näiteks 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Näide kümnendmurru astendamisest.

4 21 (-0,25) 20 = 4 4 20 (-0,25) 20 = 4 (4 (-0,25)) 20 = 4 (-1) 20 = 4 1 = 4

Omadused 5
Jagatise võimsus (murrud)

Jagatise tõstmiseks astmeni saate tõsta dividendi ja jagaja eraldi selle astmeni ning jagada esimese tulemuse teisega.

(a: b) n \u003d a n: b n, kus "a", "b" on mis tahes ratsionaalarvud, b ≠ 0, n on mis tahes naturaalarv.

Näide. Väljendage väljendit osavõimsustena.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Tuletame meelde, et jagatist saab esitada murruna. Seetõttu peatume murru astmeks tõstmise teemal lähemalt järgmisel leheküljel.

Kraadid ja juured

Tehted volituste ja juurtega. Kraad negatiivsega ,

null ja murdosa indikaator. Väljenditest, millel pole mõtet.

Tehted kraadidega.

1. Sama baasiga astmete korrutamisel nende näitajad liidetakse:

olen · a n = a m + n .

2. Kraadide jagamisel sama alusega nende näitajad lahutatud .

3. Kahe või enama teguri korrutise aste on võrdne nende tegurite astmete korrutisega.

4. Suhtarvu aste (murd) võrdub dividendi (lugeja) ja jagaja (nimetaja) astmete suhtega:

(a/b) n = a n / b n .

5. Kraadi tõstmisel astmeni korrutatakse nende näitajad:

Kõik ülaltoodud valemid loetakse ja täidetakse mõlemas suunas vasakult paremale ja vastupidi.

NÄIDE (2 3 5 / 15)² = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

Operatsioonid juurtega. Kõigis alltoodud valemites tähendab sümbol aritmeetiline juur(radikaalavaldis on positiivne).

1. Mitme teguri korrutis on võrdne nende tegurite juurte korrutisega:

2. Suhtarvu juur on võrdne dividendi ja jagaja juurte suhtega:

3. Juure tõstmisel astmele piisab, kui tõstad selle astmeni juurnumber:

4. Kui tõsta juure astet m korda ja tõsta samaaegselt juurarvu m -nda astmeni, siis juure väärtus ei muutu:

5. Kui vähendada juure astet m korda ja samal ajal eraldada radikaalarvust m-nda astme juur, siis juure väärtus ei muutu:

Kraadi mõiste laiendamine. Seni oleme kraade arvestanud ainult loomuliku indikaatoriga; kuid operatsioonid võimude ja juurtega võivad viia ka selleni negatiivne, null Ja murdosaline näitajad. Kõik need eksponendid nõuavad täiendavat määratlust.

Kraad negatiivse astendajaga. Mõne negatiivse (täisarvulise) astendajaga arvu aste on defineeritud kui see, mis on jagatud sama arvu astmega, mille astendaja on võrdne negatiivse astendaja absoluutväärtusega:

Nüüd valem olen : a n = a m-n saab kasutada mitte ainult m, rohkem kui n, aga ka kl m, vähem kui n .

NÄIDE a 4: a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

Kui tahame valemit olen : a n = olen — n oli õiglane m = n, vajame nullkraadi määratlust.

Kraad nullastendajaga. Iga nullist erineva arvu nullastendajaga aste on 1.

NÄITED. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Kraad murdarvulise astendajaga. Reaalarvu a tõstmiseks astmeni m / n peate selle arvu a m-ndast astmest eraldama n-nda astme juure:

Väljenditest, millel pole mõtet. Selliseid väljendeid on mitu.

Kus a ≠ 0 , ei eksisteeri.

Tõepoolest, kui me seda eeldame x on teatud arv, siis on meil vastavalt jagamistehte definitsioonile: a = 0· x, st. a= 0, mis on vastuolus tingimusega: a ≠ 0

— suvaline number.

Tõepoolest, kui eeldame, et see avaldis on võrdne mõne arvuga x, siis vastavalt jagamistehte definitsioonile on meil: 0 = 0 x. Kuid see võrdsus kehtib mis tahes arv x, mida tuli tõestada.

0 0 — suvaline number.

Lahendus. Mõelge kolmele peamisele juhtumile.

1) x = 0 – see väärtus ei rahulda seda võrrandit

2) millal x> 0 saame: x/x= 1, st. 1 = 1, millest järgneb,

Mida x- mis tahes arv; aga seda arvesse võttes

meie juhtum x> 0, vastus on x > 0 ;

Erinevate alustega astmete korrutamise reeglid

KRAD RATSIOONI INDIKAATORIGA,

TOITEFUNKTSIOON IV

§ 69. Võimude korrutamine ja jagamine samadel alustel

1. teoreem. Pädevuste korrutamiseks samade alustega piisab, kui liita eksponendid ja jätta alus samaks, see tähendab

Tõestus. Kraadi määratluse järgi

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

Oleme käsitlenud kahe võimsuse korrutist. Tegelikult kehtib tõestatud omadus mis tahes arvu samade alustega võimsuste puhul.

2. teoreem. Punktide jagamiseks samade alustega, kui dividendi näitaja on suurem kui jagaja näitaja, piisab, kui lahutada jagaja näitaja dividendi näitajast ja jätta baas samaks, st. juures t > n

(a =/= 0)

Tõestus. Tuletame meelde, et ühe arvu teisega jagamise jagatis on arv, mis jagajaga korrutamisel annab dividendi. Seetõttu tõestage valem , kus a =/= 0, see on nagu valemi tõestamine

Kui t > n , siis number t - lk on loomulik; seega teoreemi 1 järgi

2. teoreem on tõestatud.

Pange tähele, et valem

meie poolt tõestatud ainult eeldusel, et t > n . Seetõttu ei ole tõestatu põhjal veel võimalik teha näiteks järgmisi järeldusi:

Lisaks ei ole me veel arvestanud negatiivsete astendajatega kraadisid ja me ei tea veel, millist tähendust saab anda avaldisele 3 - 2 .

3. teoreem. Et tõsta aste astmeks, piisab eksponentide korrutamisest, jättes astendaja baasi samaks, see on

Tõestus. Kasutades astme määratlust ja selle jaotise teoreemi 1, saame:

Q.E.D.

Näiteks (2 3) 2 = 2 6 = 64;

518 (Suuline.) Määrake X võrranditest:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .

519. (kohandatud) Lihtsusta:

520. (kohandatud) Lihtsusta:

521. Esitage need avaldised samade alustega kraadidena:

1) 32 ja 64; 3) 85 ja 163; 5) 4 100 ja 32 50;

2) -1000 ja 100; 4) -27 ja -243; 6) 81 75 8 200 ja 3 600 4 150.