Ühisnimetajat |veed ühele reale kirja panemisega ei tasu kiirustada; õpilased sageli ei taipa, et antud murrud vahetatakse nende vastu ühise nimetajaga võrdsete murdude vastu.
Murru korrutamine täisarvuga
Järgmine samm on uurida murdosa korrutamist täisarvuga. Murru korrutamine täisarvuga on määratletud samamoodi nagu täisarvude korrutamine.
Murru täisarvuga korrutamise uurimisel on vaja õpilastega kehtestada murdarvu täisarvuga korrutamise toimingu definitsioon võrdsete liikmete liitmisena, millest igaüks on võrdne korrutisega; näidata murdarvu täisarvuga korrutamise identiteeti, murdosa korrutamist mitmekordsega, anda murdosa 1-ga korrutamise definitsioon; näidata murru taandamise ratsionaalset meetodit, mille lugeja tähistab korrutist, mida õpilased murru täisarvuga korrutamisel esimest korda kohtavad; õpetada, kuidas seda tegevust ülesannete puhul rakendada; kaalume korrutamise erijuhtumeid, näiteks murdosa korrutamist nimetajaga võrdse arvuga; segaarvu korrutamine täisarvuga. Ülaltoodud probleemide loetelu murdosa täisarvuga korrutamise uurimisel näitab, et iga pealtnäha lihtne küsimus nõuab hoolikat uurimist ja kui palju tekib. lisaülesandeid seoses selle küsimusega.
Siin on selle teema tunniplaani näide,
1) Kodutööde kontrollimine.
2) Suulised harjutused murdude liitmiseks ja lahutamiseks.
3) Suulised näited toote arvuga jagamiseks:
4) fraktsioonide vähendamine:
5) Täisarvuga korrutamise definitsiooni kordamine:
6) Murru täisarvuga korrutamise definitsioon:
7) Ülesannete lahendamine ühe toiminguga murdarvu täisarvuga korrutamiseks »»
number. Näiteks: 1 m3 männipuitu kaalub tonne. Leia nende 2 m3 kaal
küttepuud (tonnides), 7 m3.
8) Sõnasta reegel murdarvu täisarvuga korrutamiseks:
Murru korrutamiseks täisarvuga piisab, kui korrutada murdosa lugeja selle arvuga, jättes sama nimetaja.
9) Näidete lahendamine murdosa täisarvuga korrutamiseks:
10) Leia ülesanded, mille lahendamine nõuaks korrutamist.
11) Kodutöö.
Selles kavas antud suulised harjutused korrutise arvuga jagamiseks ja murdude vähendamiseks on mõeldud selleks, et valmistada õpilasi ette põhjendama murdude vähendamist, milles korrutis on lugejas. Õpilased mäletavad, kuidas jagada korrutist arvuga ja murdude vähendamisel läbi viia järgmised mõttekäigud: murdosa vähendamiseks peate jagama lugeja ja nimetaja sama arvuga; lugeja on korrutis; korrutise arvuga jagamiseks piisab, kui jagada üks tegur selle arvuga. Seetõttu jagame murdosa vähendamisel 10 ja 25 5-ga.
Peal järgmine õppetundõpilastel tuleks paluda võrrelda korrutist ja korrutist suurusjärgus, kasutades mitmeid näiteid murdosa täisarvuga korrutamisest. Et teha kindlaks, et murdude ja ka täisarvude puhul tähendab murdosa mitmekordne suurendamine selle korrutamist täisarvuga. Põhineb vormi näidete kaalumisel
tehakse järeldus murdosa väärtuse muutumise kohta lugeja suurenemise või nimetaja vähenemisega etteantud arvu kordade võrra ja antakse konkreetne meetod murdarvu täisarvuga korrutamiseks, mis sobib juhtumile. kui murdosa nimetaja jagatakse antud täisarvuga:
Segaarvu täisarvuga korrutamist uurides vaadeldakse esmalt kahte meetodit. Näiteks:
Viimased argumendid näitavad korrutamise distributiivse seaduse kehtivust summa suhtes, kui üks liikmetest on murd. Vormi näide
ja järeldatakse, et segaarvu korrutamisel täisarvuga on enamasti lihtsam täisarvu ja murdosa täisarvuga eraldi korrutada.
Murru jagamine täisarvuga
Pärast murdosa korrutamist täisarvuga tuleks jätkata täisarvu ja murdosa jagamist täisarvuga, kuna arvu murdosa leidmine enne murdosaga korrutamist nõuab jagamist nimetajaga. See on näidatud enamikus metoodiline kirjandus. Jagamise definitsioon on antud korrutamise pöördväärtusena.
Vaatleme näidet: 4:5.
Esiteks viiakse läbi arutluskäik: 4 jagamiseks 5-ga kujutlege vaimselt iga ühikut viiega jagatud võrdsetes osades, siis 4 ühikut sisaldavad 20 viiendikku, jagades 20 viiendikku 5-ga, saame kontrollitava:
Oleme leidnud murdosa, mis korrutades 5-ga annab 4. Seega on jagamine õige. Kirjutame:
Järeldus. Täisarvu jagamisel täisarvuga saadakse murd, mille lugeja on võrdne dividendiga ja nimetaja on jagaja. Vastupidiselt võib iga murdosa lugeda jagatiseks, mille lugeja jagatakse nimetajaga.
Näiteks võrdub 3 jagatis 7-ga, kuna ·7=3.
Murru täisarvuga jagamise uurimine algab näitega murdarvu täisarvuga korrutamisest, mille jaoks koostatakse pöördülesanne. Näiteks:
vastupidine ülesanne:
tuleb leida selline murd, mis korrutades 4-ga annab korrutises. Selline murdosa on, kirjutame:
Mitmete sarnaste näidete kaalumise tulemusena jõuavad õpilased järeldusele, et murdosa jagamisel täisarvuga piisab, kui jagada lugeja täisarvuga, jättes sama nimetaja. Pärast seda tõstatatakse küsimus, mida teha juhul, kui antud murru lugeja ei jagu täisarvuga. Arvestatakse teist korrutamismeetodit: , seega .
§ 87. Murdude liitmine.
Murdude lisamisel on palju sarnasusi täisarvude lisamisega. Murdude liitmine on toiming, mis seisneb selles, et mitu antud arvu (terminit) liidetakse üheks arvuks (summaks), mis sisaldab kõiki terminiühikute ühikuid ja murde.
Vaatleme järjestikku kolme juhtumit:
1. Samade nimetajatega murdude liitmine.
2. Erinevate nimetajatega murdude liitmine.
3. Segaarvude liitmine.
1. Samade nimetajatega murdude liitmine.
Vaatleme näidet: 1/5 + 2/5.
Võtke lõik AB (joonis 17), võtke see ühikuks ja jagage see 5 võrdseks osaks, siis selle lõigu osa AC võrdub 1/5 lõigu AB ja sama lõigu CD osaga. on võrdne 2/5 AB-ga.
Jooniselt on näha, et kui võtame lõigu AD, siis võrdub see 3/5 AB; kuid segment AD on täpselt segmentide AC ja CD summa. Seega võime kirjutada:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Arvestades neid termineid ja saadud summat, näeme, et summa lugeja saadi terminite lugejate liitmisel ja nimetaja jäi muutumatuks.
Sellest saame järgmise reegli: Samade nimetajatega murdude lisamiseks tuleb lisada nende lugejad ja jätta sama nimetaja.
Kaaluge näidet:
2. Erinevate nimetajatega murdude liitmine.
Lisame murrud: 3/4 + 3/8 Kõigepealt tuleb need taandada väikseima ühisnimetajani:
Vahelinki 6/8 + 3/8 poleks saanud kirjutada; oleme selle suurema selguse huvides siia kirjutanud.
Seega tuleb erinevate nimetajatega murdude liitmiseks need esmalt viia väikseima ühisnimetajani, lisada nende lugejad ja allkirjastada ühisnimetaja.
Vaatleme näidet (vastavate murdude kohale kirjutame täiendavad tegurid):
3. Segaarvude liitmine.
Liidame numbrid kokku: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.
Toome esmalt oma arvude murdosad ühise nimetaja juurde ja kirjutame need uuesti ümber:
Nüüd lisage järjestikku täis- ja murdosad:
§ 88. Murdude lahutamine.
Murdude lahutamine on defineeritud samamoodi nagu täisarvude lahutamine. See on toiming, mille abil leitakse kahe liikme ja neist ühe liikme summast teine liige. Vaatleme järjestikku kolme juhtumit:
1. Samade nimetajatega murdude lahutamine.
2. Erinevate nimetajatega murdude lahutamine.
3. Segaarvude lahutamine.
1. Samade nimetajatega murdude lahutamine.
Kaaluge näidet:
13 / 15 - 4 / 15
Võtame lõigu AB (joonis 18), võtame selle ühikuna ja jagame 15 võrdseks osaks; siis selle lõigu AC osa on 1/15 AB-st ja sama lõigu AD osa vastab 13/15 AB-le. Jätame kõrvale veel ühe lõigu ED, mis on võrdne 4/15 AB.
Peame 13/15-st lahutama 4/15. Joonisel tähendab see, et lõigust AD tuleb lahutada lõik ED. Selle tulemusena jääb alles segment AE, mis moodustab 9/15 segmendist AB. Nii et võime kirjutada:
Meie tehtud näide näitab, et erinevuse lugeja saadi lugejate lahutamisel ja nimetaja jäi samaks.
Seetõttu peate samade nimetajatega murdude lahutamiseks lahutama alaosa lugeja minuendi lugejast ja jätma sama nimetaja.
2. Erinevate nimetajatega murdude lahutamine.
Näide. 3/4 - 5/8
Esiteks vähendame need murded väikseima ühisnimetajani:
Vahelink 6 / 8 - 5 / 8 on siin selguse mõttes kirjas, kuid selle võib edaspidi vahele jätta.
Seega tuleb murdosast murdosa lahutamiseks viia need esmalt väikseima ühisnimetajani, seejärel lahutada minuendi lugejast alaosa lugeja ja kirjutada ühisnimetaja nende erinevuse alla.
Kaaluge näidet:
3. Segaarvude lahutamine.
Näide. 10 3/4-7 2/3.
Toome minuendi ja alamosa murdosad väikseima ühisnimetajani:
Lahutasime tervikust terviku ja murdosast murdosa. Kuid on juhtumeid, kus alamjaotuse murdosa on suurem kui minulõpu murdosa. Sellistel juhtudel tuleb redutseeritud täisarvust võtta üks ühik, jagada see osadeks, milles väljendatakse murdosa, ja lisada redutseeritud osa murdosale. Ja siis tehakse lahutamine samamoodi nagu eelmises näites:
§ 89. Murdude korrutamine.
Murdude korrutamist uurides kaalume järgmised küsimused:
1. Murru korrutamine täisarvuga.
2. Antud arvu murdosa leidmine.
3. Täisarvu korrutamine murdosaga.
4. Murru korrutamine murdosaga.
5. Segaarvude korrutamine.
6. Huvi mõiste.
7. Antud arvu protsentide leidmine. Vaatleme neid järjestikku.
1. Murru korrutamine täisarvuga.
Murru korrutamisel täisarvuga on sama tähendus kui täisarvu korrutamisel täisarvuga. Murru (kordisti) korrutamine täisarvuga (kordistiga) tähendab identsete liikmete summa koostamist, kus iga liige on võrdne kordajaga ja liikmete arv on võrdne kordajaga.
Seega, kui teil on vaja 1/9 korrutada 7-ga, saab seda teha järgmiselt:
Tulemuse saime lihtsalt, kuna tegevus taandus samade nimetajatega murdude lisamisele. Seega
Selle toimingu arvessevõtmine näitab, et murdosa korrutamine täisarvuga võrdub selle murdosa suurendamisega nii mitu korda, kui täisarvus on ühikuid. Ja kuna murdosa suurenemine saavutatakse kas selle lugeja suurendamisega
või selle nimetajat vähendades 
, siis saame lugeja kas korrutada täisarvuga või jagada nimetaja sellega, kui selline jagamine on võimalik.
Siit saame reegli:
Murru korrutamiseks täisarvuga peate korrutama lugeja selle täisarvuga ja jätma nimetaja samaks või võimalusel jagama nimetaja selle arvuga, jättes lugeja muutmata.
Korrutamisel on võimalikud lühendid, näiteks:
2. Antud arvu murdosa leidmine. On palju probleeme, mille puhul peate leidma või arvutama antud arvu osa. Nende ülesannete erinevus teistest seisneb selles, et need annavad mingite objektide või mõõtühikute arvu ja tuleb leida osa sellest arvust, mida siin ka teatud murdosaga tähistatakse. Mõistmise hõlbustamiseks toome esmalt selliste probleemide näiteid ja seejärel tutvustame nende lahendamise meetodit.
Ülesanne 1. Mul oli 60 rubla; 1/3 sellest rahast kulutasin raamatute ostmisele. Kui palju raamatud maksid?
2. ülesanne. Rong peab läbima linnade A ja B vahelise vahemaa, mis on võrdne 300 km-ga. 2/3 sellest distantsist on ta juba läbinud. Mitu kilomeetrit see on?
3. ülesanne. Külas on 400 maja, neist 3/4 on telliskivi, ülejäänud puit. Mitu telliskivimaja seal on?
Siin on mõned paljudest probleemidest, millega peame tegelema antud arvu murdosa leidmiseks. Neid nimetatakse tavaliselt antud arvu murdosa leidmise ülesanneteks.
Probleemi 1 lahendus. Alates 60 rubla. Kulutasin 1/3 raamatutele; Nii et raamatute maksumuse leidmiseks peate jagama arvu 60 3-ga:
Ülesande 2 lahendus. Probleemi tähendus on see, et peate leidma 2/3 300 km-st. Arvutage esimene 1/3 300-st; see saavutatakse 300 km jagamisel 3-ga:
300: 3 = 100 (see on 1/3 300-st).
Kahe kolmandiku 300 leidmiseks peate saadud jagatise kahekordistama, st korrutama 2-ga:
100 x 2 = 200 (see on 2/3 300-st).
Ülesande 3 lahendus. Siin peate määrama telliskivimajade arvu, mis on 3/4 400-st. Leiame kõigepealt 1/4 400-st,
400: 4 = 100 (see on 1/4 400-st).
Kolmveerand 400 arvutamiseks tuleb saadud jagatis kolmekordistada, see tähendab korrutada 3-ga:
100 x 3 = 300 (see on 3/4 400-st).
Nende probleemide lahenduse põhjal saame tuletada järgmise reegli:
Antud arvu murdosa väärtuse leidmiseks tuleb see arv jagada murdosa nimetajaga ja korrutada saadud jagatis selle lugejaga.
3. Täisarvu korrutamine murdosaga.
Varem (§ 26) on kindlaks tehtud, et täisarvude korrutamist tuleb mõista kui identsete terminite liitmist (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). Selles lõikes (lõige 1) tehti kindlaks, et murdosa korrutamine täisarvuga tähendab selle murdosaga võrdsete liikmete summa leidmist.
Mõlemal juhul seisnes korrutamine identsete liikmete summa leidmises.
Nüüd jätkame täisarvu korrutamist murdosaga. Siin kohtume näiteks korrutamisega: 9 2/3. On üsna ilmne, et eelmine korrutamise definitsioon antud juhul ei kehti. See ilmneb sellest, et me ei saa sellist korrutamist asendada võrdsete arvude liitmisega.
Seetõttu peame andma korrutamise uue definitsiooni, st vastama küsimusele, mida tuleks mõista murdosaga korrutamise all, kuidas seda tegevust mõista.
Täisarvu murdosaga korrutamise tähendus on selge järgmisest definitsioonist: täisarvu (kordisti) korrutamine murdosaga (kordisti) tähendab kordaja selle murdosa leidmist.
Nimelt tähendab 9 korrutamine 2/3-ga 2/3 leidmist üheksast ühikust. Eelmises lõigus sellised probleemid lahendati; seega on lihtne aru saada, et saame lõpuks 6.
Nüüd aga tekib huvitav ja oluline küsimus: miks esmapilgul sellised erinevaid tegevusi kuidas leida summa võrdsed arvud ja arvu murdosa leidmist nimetatakse aritmeetikas sama sõna "korrutamine"?
See juhtub seetõttu, et eelmine toiming (arvu mitmekordne kordamine terminitega) ja uus tegevus (arvu murdosa leidmine) annavad vastuse homogeensetele küsimustele. See tähendab, et lähtume siin kaalutlustest, et homogeensed küsimused või ülesanded lahendatakse ühe ja sama tegevusega.
Selle mõistmiseks kaaluge järgmist probleemi: "1 m riiet maksab 50 rubla. Kui palju maksab 4 m sellist riiet?
See probleem lahendatakse, korrutades rublade arvu (50) meetrite arvuga (4), st 50 x 4 = 200 (rubla).
Võtame sama probleemi, kuid selles väljendatakse riide kogust murdarvuna: “1 m riiet maksab 50 rubla. Kui palju maksab 3/4 m sellist lappi?
Ka see probleem tuleb lahendada, korrutades rublade arvu (50) meetrite arvuga (3/4).
Samuti saab selles olevaid numbreid mitu korda muuta ilma ülesande tähendust muutmata, näiteks võtta 9/10 m või 2 3/10 m jne.
Kuna need ülesanded on sama sisuga ja erinevad vaid numbrite poolest, nimetame nende lahendamisel kasutatavaid toiminguid sama sõnaga – korrutamine.
Kuidas korrutatakse täisarv murdosaga?
Võtame viimases ülesandes esinenud numbrid:
Definitsiooni järgi peame leidma 3/4 50-st. Kõigepealt leiame 1/4 50-st ja seejärel 3/4.
1/4 50-st on 50/4;
3/4 50-st on .
Seega.
Vaatleme teist näidet: 12 5/8 = ?
1/8 12-st on 12/8,
5/8 arvust 12 on .
Seega
Siit saame reegli:
Täisarvu korrutamiseks murdosaga tuleb täisarv korrutada murru lugejaga ja muuta see korrutis lugejaks ning nimetajaks märkida antud murdosa nimetaja.
Selle reegli kirjutame tähtede abil:
Et see reegel oleks täiesti selge, tuleb meeles pidada, et murdosa võib pidada jagatiseks. Seetõttu on kasulik võrrelda leitud reeglit arvu jagatisega korrutamise reegliga, mis oli sätestatud §-s 38
Tuleb meeles pidada, et enne korrutamist peaksite tegema (võimaluse korral) kärped, Näiteks:
4. Murru korrutamine murdosaga. Murru korrutamisel murdosaga on sama tähendus, mis täisarvu korrutamisel murdosaga, see tähendab, et murdosa korrutamisel murdosaga peate leidma kordaja murdosa esimesest murrust (kordistist).
Nimelt tähendab 3/4 korrutamine 1/2-ga (poolega) poole 3/4 leidmist.
Kuidas korrutada murdosa murdosaga?
Võtame näite: 3/4 korda 5/7. See tähendab, et 3/4-st tuleb leida 5/7. Leidke kõigepealt 1/7 3/4-st ja seejärel 5/7
1/7 3/4-st oleks väljendatud järgmiselt:
5/7 numbrid 3/4 väljendatakse järgmiselt:
Seega
Teine näide: 5/8 korda 4/9.
1/9/5/8 on ,
4/9 numbrid 5/8 on .
Seega 
Nendest näidetest saab järeldada järgmise reegli:
Murru korrutamiseks murdosaga peate korrutama lugeja lugejaga ja nimetaja nimetajaga ning muutma esimese korrutise lugejaks ja teise korrutise korrutise nimetajaks.
See on reegel üldine vaade võib kirjutada nii:
Korrutamisel on vaja (võimalusel) teha vähendusi. Mõelge näidetele:
5. Segaarvude korrutamine. Kuna segaarvusid saab kergesti asendada valede murdudega, kasutatakse seda asjaolu tavaliselt segaarvude korrutamisel. See tähendab, et juhtudel, kui kordaja, kordaja või mõlemad tegurid on väljendatud segaarvudena, asendatakse need valede murdudega. Korrutage näiteks segaarvud: 2 1/2 ja 3 1/5. Muudame neist kõik valeks murdeks ja seejärel korrutame saadud murded vastavalt reeglile, mille kohaselt korrutatakse murdosa murdosaga:
Reegel. Segaarvude korrutamiseks peate need esmalt teisendama valedeks murdudeks ja seejärel korrutama vastavalt reeglile, mille kohaselt korrutatakse murd murdosaga.
Märge. Kui üks teguritest on täisarv, saab jaotusseaduse alusel korrutada järgmiselt:
6. Huvi mõiste.Ülesannete lahendamisel ja erinevate praktiliste arvutuste tegemisel kasutame kõikvõimalikke murde. Kuid tuleb meeles pidada, et paljud kogused ei võimalda nende jaoks mitte ühtegi, vaid loomulikku alajaotust. Näiteks võite võtta ühe sajandiku (1/100) rubla, see on peni, kaks sajandikku on 2 kopikat, kolm sajandikku on 3 kopikat. Võite võtta 1/10 rubla, see on "10 kopikat ehk peenraha. Võite võtta veerand rubla, s.o 25 kopikat, pool rubla, s.o 50 kopikat (viiskümmend kopikat). Aga nad praktiliselt ei tee seda. 'ära võta näiteks 2/7 rubla, sest rubla ei jagune seitsmendikuteks.
Kaalu mõõtühik, st kilogramm, võimaldab ennekõike jaotada kümnendkohti, näiteks 1/10 kg või 100 g. Ja selliseid kilogrammi murdosasid nagu 1/6, 1/11, 1/ 13 on haruldased.
Üldiselt on meie (meetrilised) mõõdud kümnendkohad ja võimaldavad kümnendsüsteemi alajaotust.
Siiski tuleb märkida, et väga erinevatel juhtudel on äärmiselt kasulik ja mugav kasutada sama (ühtset) koguste osadeks jagamise meetodit. Paljude aastate kogemused on näidanud, et selline hästi põhjendatud jaotus on "sajandike" jaotus. Vaatleme mõnda näidet, mis on seotud inimtegevuse kõige erinevamate valdkondadega.
1. Raamatute hind on langenud 12/100 varasemast hinnast.
Näide. Raamatu eelmine hind on 10 rubla. Ta langes 1 rubla võrra. 20 kop.
2. Hoiupangad maksavad hoiustajatele aasta jooksul välja 2/100 säästudesse pandavast summast.
Näide. 500 rubla pannakse kassasse, aasta tulu sellest summast on 10 rubla.
3. Ühe kooli lõpetajate arv oli 5/100 õpilaste üldarvust.
NÄIDE Koolis õppis vaid 1200 õpilast, neist 60 lõpetas kooli.
Arvu sajandikku nimetatakse protsendiks..
Sõna "protsent" on laenatud ladina keel ja selle tüvi "sent" tähendab sada. Koos eessõnaga (pro centum) tähendab see sõna "saja eest". Selle väljendi tähendus tuleneb asjaolust, et algselt in Vana-Rooma intress oli raha, mida võlgnik maksis laenuandjale "iga saja eest". Sõna "sent" kuuleb sellistes tuttavates sõnades: tsentner (sada kilogrammi), sentimeeter (nad ütlevad sentimeeter).
Näiteks selle asemel, et öelda, et tehas tootis 1/100 kõigist viimase kuu jooksul toodetud toodetest, ütleme nii: tehas tootis viimase kuu jooksul ühe protsendi jäätmetest. Selle asemel, et öelda: tehas tootis 4/100 toodet rohkem kui kehtestatud plaan, ütleme: tehas ületas plaani 4 protsendiga.
Ülaltoodud näiteid saab väljendada erinevalt:
1. Raamatute hind on langenud 12 protsenti varasemast hinnast.
2. Hoiupangad maksavad hoiustajatele 2 protsenti aastas säästudesse pandud summast.
3. Ühe kooli lõpetajate arv oli 5 protsenti kooli kõigi õpilaste arvust.
Tähe lühendamiseks on kombeks sõna "protsent" asemel kirjutada % märk.
Siiski tuleb meeles pidada, et % märki arvutustes tavaliselt ei kirjutata, selle saab kirjutada ülesandepüstitusse ja lõpptulemusesse. Arvutuste tegemisel peate selle ikooniga täisarvu asemel kirjutama murdosa, mille nimetaja on 100.
Peate suutma asendada täisarvu määratud ikooniga murdosaga, mille nimetaja on 100:
Ja vastupidi, peate harjuma täisarvu kirjutama näidatud ikooniga, mitte murdu, mille nimetaja on 100:
7. Antud arvu protsentide leidmine.
Ülesanne 1. Kool sai 200 kuupmeetrit. m küttepuid, millest 30% moodustab kaseküttepuid. Kui palju kasepuitu seal oli?
Selle probleemi mõte seisneb selles, et kaseküttepuud moodustasid vaid osa kooli tarnitud küttepuudest ja see osa on väljendatud murdosana 30/100. Niisiis seisame silmitsi ülesandega leida arvu murdosa. Selle lahendamiseks peame korrutama 200 30 / 100-ga (arvu murdosa leidmise ülesanded lahendatakse arvu korrutamisega murdosaga.).
Nii et 30% 200-st võrdub 60-ga.
Selles probleemis esinevat murdosa 30/100 saab vähendada 10 võrra. Seda vähendamist oleks võimalik teha algusest peale; probleemi lahendus ei muutuks.
2. ülesanne. Laagris oli 300 last erinevas vanuses. 11-aastaseid oli 21%, 12-aastaseid 61% ja lõpuks 13-aastaseid 18%. Mitu last igas vanuses laagris oli?
Selles ülesandes peate tegema kolm arvutust, st leidma järjestikku 11-aastaste, seejärel 12-aastaste ja lõpuks 13-aastaste laste arvu.
Niisiis, siin on vaja kolm korda leida murdosa arvust. Teeme seda:
1) Mitu last oli 11 aastat vana?
2) Mitu last oli 12-aastaseid?
3) Mitu last oli 13 aastat vana?
Pärast ülesande lahendamist on kasulik leitud numbrid liita; nende summa peaks olema 300:
63 + 183 + 54 = 300
Samuti peaksite tähelepanu pöörama asjaolule, et probleemi tingimuses antud protsentide summa on 100:
21% + 61% + 18% = 100%
See viitab sellele, et laste koguarvuks laagris võeti 100%.
3 ja da cha 3. Tööline sai 1200 rubla kuus. Neist 65% kulutas ta toidule, 6% korterile ja küttele, 4% gaasile, elektrile ja raadiole, 10% kultuurivajadustele ning 15% säästis. Kui palju raha kulus ülesandes märgitud vajadustele?
Selle ülesande lahendamiseks tuleb 5 korda leida murdosa arvust 1200. Teeme ära.
1) Kui palju raha kulub toidule? Ülesanne ütleb, et see kulu on 65% kogu sissetulekust, s.o 65/100 arvust 1200. Teeme arvutuse:
2) Kui palju raha maksti küttega korteri eest? Vaieldes nagu eelmine, jõuame järgmise arvutuseni:
3) Kui palju raha maksite gaasi, elektri ja raadio eest?
4) Kui palju raha kulub kultuurivajadustele?
5) Kui palju töötaja raha säästis?
Kontrollimiseks on kasulik lisada nendes 5 küsimuses leitud numbrid. Summa peaks olema 1200 rubla. Kõik sissetulekud on 100%, mida on lihtne kontrollida, liites kokku probleemiavalduses toodud protsendid.
Oleme lahendanud kolm probleemi. Vaatamata sellele, et need ülesanded puudutasid erinevaid asju (küttepuude tarnimine kooli, eri vanuses laste arv, töömehe kulutused), lahendati need ühtemoodi. See juhtus seetõttu, et kõikides ülesannetes oli vaja leida mõni protsent etteantud arvudest.
§ 90. Murdude jagamine.
Murdude jaotuse uurimisel kaalume järgmisi küsimusi:
1. Jagage täisarv täisarvuga.
2. Murru jagamine täisarvuga
3. Täisarvu jagamine murdosaga.
4. Murru jagamine murdosaga.
5. Segaarvude jagamine.
6. Arvu leidmine selle murdosa järgi.
7. Arvu leidmine selle protsendi järgi.
Vaatleme neid järjestikku.
1. Jagage täisarv täisarvuga.
Nagu täisarvude osas märgitud, on jagamine toiming, mis seisneb selles, et kahe teguri (dividendi) ja ühe neist teguritest (jagaja) korrutises leitakse teine tegur.
Täisarvu jagamine täisarvuga, mida vaatlesime täisarvude osakonnas. Seal kohtasime kahte jagamise juhtumit: jagamine ilma jäägita või "täielikult" (150: 10 = 15) ja jagamine jäägiga (100: 9 = 11 ja 1 jäägiga). Seega võime öelda, et täisarvude valdkonnas ei ole täpne jagamine alati võimalik, sest dividend ei ole alati jagaja ja täisarvu korrutis. Pärast murdosaga korrutamise kasutuselevõttu võime pidada võimalikuks mis tahes täisarvude jagamise juhtu (ainult nulliga jagamine on välistatud).
Näiteks 7 jagamine 12-ga tähendab arvu leidmist, mille korrutis korrutis 12 oleks 7. See arv on murdosa 7/12, sest 7/12 12 = 7. Teine näide: 14: 25 = 14/25, sest 14/25 25 = 14.
Seega tuleb täisarvu jagamiseks täisarvuga teha murd, mille lugeja on võrdne dividendiga ja nimetaja on jagaja.
2. Murru jagamine täisarvuga.
Jagage murd 6/7 3-ga. Vastavalt ülaltoodud jagamise definitsioonile on siin korrutis (6/7) ja üks teguritest (3); tuleb leida selline teine tegur, mis korrutades 3-ga annaks antud korrutise 6/7. Ilmselgelt peaks see olema kolm korda väiksem kui see toode. See tähendab, et meie ette seatud ülesanne oli vähendada murdosa 6/7 3 korda.
Teame juba, et murdosa saab vähendada kas selle lugejat vähendades või nimetajat suurendades. Seetõttu võite kirjutada:
Sel juhul jagub lugeja 6 3-ga, seega tuleks lugejat 3 korda vähendada.
Võtame veel ühe näite: 5/8 jagatud 2-ga. Siin lugeja 5 ei jagu 2-ga, mis tähendab, et nimetaja tuleb selle arvuga korrutada:
Selle põhjal saame öelda reegli: Murru jagamiseks täisarvuga peate jagama murdosa lugeja selle täisarvuga(kui võimalik), jättes sama nimetaja või korrutage murdosa nimetaja selle arvuga, jättes sama lugeja.
3. Täisarvu jagamine murdosaga.
Olgu nõutav 5 jagamine 1/2-ga, st leida arv, mis pärast 1/2-ga korrutamist annab korrutiseks 5. Ilmselgelt peab see arv olema suurem kui 5, kuna 1/2 on õige murd, ja arvu korrutamisel korraliku murdosaga peab korrutis olema väiksem kui korrutis. Et see oleks selgem, kirjutame oma tegevused järgmiselt: 5: 1 / 2 = X , seega x 1/2 \u003d 5.
Peame sellise numbri leidma X , mis 1/2-ga korrutades annaks 5. Kuna teatud arvu korrutamine 1/2-ga tähendab 1/2 leidmist sellest arvust, siis seega 1/2 tundmatust arvust X on 5 ja täisarv X kaks korda rohkem, st 5 2 \u003d 10.
Seega 5: 1/2 = 5 2 = 10
Kontrollime: 
Vaatleme veel ühte näidet. Olgu nõutav 6 jagamine 2/3-ga. Proovime esmalt leida soovitud tulemust kasutades joonist (joonis 19).
Joonis 19
Joonistage segment AB, mis on võrdne 6-ga mõnest ühikust, ja jagage iga üksus kolmeks võrdseks osaks. Igas üksuses on kolm kolmandikku (3/3) kogu segmendis AB 6 korda suurem, s.o. e. 18/3. Me ühendame väikeste sulgude abil 18 saadud segmenti 2; Seal on ainult 9 segmenti. See tähendab, et murdosa 2/3 sisaldub b ühikutes 9 korda ehk teisisõnu, murd 2/3 on 9 korda väiksem kui 6 täisarvu ühikut. Seega
Kuidas saada see tulemus ilma jooniseta, kasutades ainult arvutusi? Vaidleme järgmiselt: 6 on vaja jagada 2/3-ga, st on vaja vastata küsimusele, mitu korda 2/3 sisaldub 6-s. Uurime kõigepealt välja: mitu korda on 1/3 sisaldub 6? Terves ühikus - 3 kolmandikku ja 6 ühikus - 6 korda rohkem, st 18 kolmandikku; selle arvu leidmiseks peame korrutama 6 3-ga. Seega sisaldub 1/3 b ühikutes 18 korda ja 2/3 sisaldub b ühikutes mitte 18 korda, vaid poole vähem, st 18: 2 = 9 Seetõttu tegime 6 jagamisel 2/3-ga järgmist:
Siit saame täisarvu murdosaga jagamise reegli. Täisarvu jagamiseks murdosaga peate selle täisarvu korrutama antud murru nimetajaga ja muutes selle korrutise lugejaks, jagama selle antud murru lugejaga.
Kirjutame reegli tähtede abil:
Et see reegel oleks täiesti selge, tuleb meeles pidada, et murdosa võib pidada jagatiseks. Seetõttu on kasulik võrrelda leitud reeglit arvu jagatisega jagamise reegliga, mis oli sätestatud §-s 38. Pange tähele, et seal saadi sama valem.
Jagamisel on võimalikud lühendid, näiteks:
4. Murru jagamine murdosaga.
Olgu nõutav 3/4 jagamine 3/8-ga. Mis tähistab jagamise tulemusel saadavat arvu? See vastab küsimusele, mitu korda sisaldub murdosa 3/8 murdosas 3/4. Selle probleemi mõistmiseks teeme joonise (joonis 20).
Võtke segment AB, võtke see ühikuna, jagage see 4 võrdseks osaks ja märkige 3 sellist osa. Segment AC on võrdne 3/4 segmendist AB. Jagame nüüd kõik neli algset lõiku pooleks, seejärel jagatakse lõik AB 8 võrdseks osaks ja iga selline osa on võrdne 1/8 lõigust AB. Ühendame 3 sellist segmenti kaaredega, siis on iga segment AD ja DC võrdne 3/8 segmendiga AB. Joonis näitab, et segment, mis võrdub 3/8, sisaldub segmendis, mis võrdub 3/4 täpselt 2 korda; Seega saab jagamise tulemuse kirjutada järgmiselt:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Vaatleme veel ühte näidet. Olgu nõutav 15/16 jagamine 3/32-ga:
Võime arutleda järgmiselt: peame leidma arvu, mis pärast 3/32-ga korrutamist annab korrutise 15/16. Kirjutame arvutused järgmiselt:
15 / 16: 3 / 32 = X
3 / 32 X = 15 / 16
3/32 tundmatu number X meik 15/16
1/32 tundmatu number X on ,
32/32 numbrid X meik .
Seega
Seega tuleb murdosa jagamiseks murdosaga korrutada esimese murru lugeja teise nimetajaga ja korrutada esimese murru nimetaja teise murdosa lugejaga ning muuta esimene korrutis lugejaks ja teiseks nimetaja.
Kirjutame reegli tähtede abil:
Jagamisel on võimalikud lühendid, näiteks:
5. Segaarvude jagamine.
Segaarvude jagamisel tuleb need esmalt teisendada valedeks murdudeks ja seejärel jagada saadud murrud vastavalt murdarvude jagamise reeglitele. Kaaluge näidet:
Segaarvude teisendamine valedeks murdudeks:
Nüüd jagame:
Seega, segaarvude jagamiseks peate need teisendama valedeks murdudeks ja seejärel jagama vastavalt murdude jagamise reeglile.
6. Arvu leidmine selle murdosa järgi.
Erinevate murdudega seotud ülesannete hulgas on mõnikord selliseid, kus on antud tundmatu arvu mõne murdosa väärtus ja see arv tuleb leida. Seda tüüpi ülesanne on pöördvõrdeline antud arvu murdosa leidmise probleemiga; seal anti arv ja nõuti selle arvu murdosa leidmist, siin on antud arvu murdosa ja nõutakse selle arvu enda leidmist. See mõte saab veelgi selgemaks, kui pöördume seda tüüpi probleemi lahendamise poole.
Ülesanne 1. Esimesel päeval klaasid klaasid 50 akent, mis on 1/3 kõigist ehitatud maja akendest. Mitu akent sellel majal on?
Lahendus. Probleem ütleb, et 50 klaasitud akent moodustavad 1/3 kõigist maja akendest, mis tähendab, et aknaid on kokku 3 korda rohkem, st.
Majal oli 150 akent.
2. ülesanne. Poes müüdi 1500 kg jahu, mis on 3/8 kogu poe jahuvarust. Milline oli poe esialgne jahuvaru?
Lahendus. Probleemi seisukorrast on näha, et müüdud 1500 kg jahu moodustab 3/8 kogu varust; see tähendab, et 1/8 sellest varust on 3 korda väiksem, st selle arvutamiseks peate 1500 vähendama 3 korda:
1500: 3 = 500 (see on 1/8 aktsiast).
Ilmselgelt on kogu varu 8 korda suurem. Seega
500 8 \u003d 4000 (kg).
Jahu algne varu poes oli 4000 kg.
Selle probleemi kaalumisel võib järeldada järgmise reegli.
Arvu leidmiseks selle murdosa etteantud väärtuse järgi piisab, kui jagada see väärtus murru lugejaga ja korrutada tulemus murdosa nimetajaga.
Arvu leidmisel, võttes arvesse selle murdosa, lahendasime kaks ülesannet. Sellised ülesanded, nagu on eriti hästi näha viimasest, lahendatakse kahe toiminguga: jagamine (kui leitakse üks osa) ja korrutamine (kui leitakse täisarv).
Kuid pärast seda, kui oleme uurinud murdude jagamist, saab ülaltoodud ülesandeid lahendada ühe toiminguga, nimelt: murdosaga jagamine.
Näiteks saab viimase ülesande lahendada ühe toiminguga järgmiselt:
Tulevikus lahendame probleemi murdosa järgi arvu leidmise ühes toimingus - jagamises.
7. Arvu leidmine selle protsendi järgi.
Nendes ülesannetes peate leidma numbri, teades mõnda protsenti sellest numbrist.
Ülesanne 1. Selle aasta alguses sain hoiukassast 60 rubla. tulu summast, mille ma aasta tagasi säästudesse panin. Kui palju raha ma hoiukassasse panin? (Kassakontorid annavad hoiustajatele 2% aastas sissetulekust.)
Probleemi mõte seisneb selles, et panin teatud summa raha hoiukassasse ja lebas seal aasta. Aasta pärast sain temalt 60 rubla. tulu, mis on 2/100 rahast, mille panin. Kui palju raha ma sisse kandsin?
Seega, teades selle raha osa, väljendatuna kahel viisil (rublades ja murdosades), peame leidma kogu seni teadmata summa. See on tavaline probleem arvu leidmisel, arvestades selle murdosa. Järgmised ülesanded lahendatakse jagamise teel:
Niisiis pandi 3000 rubla hoiukassasse.
2. ülesanne. Kahe nädalaga täitsid kalurid kuuplaani 64%, valmistades ette 512 tonni kala. Mis oli nende plaan?
Probleemi olukorrast on teada, et kalurid täitsid osa plaanist. See osa võrdub 512 tonniga, mis on 64% plaanist. Mitu tonni kala on kava järgi vaja korjata, me ei tea. Ülesande lahendus seisneb selle numbri leidmises.
Sellised ülesanded lahendatakse jagades:
Nii et plaani järgi tuleb ette valmistada 800 tonni kala.
3. ülesanne. Rong sõitis Riiast Moskvasse. Kui ta 276. kilomeetrit läbis, küsis üks reisija mööduvalt konduktorilt, kui suure osa teekonnast nad on juba läbinud. Selle peale vastas dirigent: "Me oleme juba läbinud 30% kogu teekonnast." Kui kaugel on Riia Moskvast?
Probleemi seisukorrast on näha, et 30% teekonnast Riiast Moskvasse on 276 km. Peame leidma kogu nende linnade vahelise kauguse, st selle osa jaoks leidma terviku:
§ 91. Vastastikused numbrid. Jagamise asendamine korrutamisega.
Võtke murd 2/3 ja asetage lugeja ümber nimetaja kohale, saame 3/2. Saime murdosa, selle pöördarvu.
Et saada antud murdarvu pöördarvu, peate nimetaja asemele panema selle lugeja ja lugeja asemel nimetaja. Sel viisil saame murdosa, mis on mis tahes murru pöördväärtus. Näiteks:
3/4, tagurpidi 4/3; 5/6, tagurpidi 6/5
Nimetatakse kahte murdu, millel on omadus, et esimese lugeja on teise nimetaja ja esimese nimetaja teise lugeja. vastastikku pöördvõrdeline.
Nüüd mõtleme, milline murdosa on 1/2 pöördväärtus. Ilmselgelt on see 2/1 või lihtsalt 2. Otsides selle pöördarvu, saime täisarvu. Ja see juhtum ei ole üksik; vastupidi, kõigi murdude puhul, mille lugeja on 1 (üks), on pöördarvud täisarvud, näiteks:
1/3, pöördväärtus 3; 1/5, tagurpidi 5
Kuna pöördarvude leidmisel kohtusime ka täisarvudega, siis edaspidi ei räägi me retsiprooksidest, vaid pöördarvudest.
Mõelgem välja, kuidas kirjutada täisarvu pöördarvu. Murdude puhul lahendatakse see lihtsalt: lugeja asemele tuleb panna nimetaja. Samamoodi saate täisarvu pöördarvu, kuna iga täisarvu nimetaja võib olla 1. Seetõttu on 7 pöördarvuks 1/7, sest 7 \u003d 7 / 1; arvu 10 puhul on pöördväärtus 1/10, kuna 10 = 10/1
Seda ideed saab väljendada ka muul viisil: antud arvu pöördväärtus saadakse ühe jagamisel antud arvuga. See väide kehtib mitte ainult täisarvude, vaid ka murdude kohta. Tõepoolest, kui soovite kirjutada arvu, mis on murdarvu 5/9 pöördväärtus, siis võime võtta 1 ja jagada selle 5/9-ga, st.
Nüüd juhime tähelepanu ühele vara vastastikku vastastikused numbrid, mis on meile kasulikud: vastastikku pöördarvude korrutis on võrdne ühega. Tõepoolest:
Seda omadust kasutades saame pöördarvud leida järgmisel viisil. Leiame pöördarvu 8.
Tähistame seda tähega X , siis 8 X = 1, seega X = 1/8. Leiame teise numbri, 7/12 pöördväärtuse, tähistame seda tähega X , siis 7/12 X = 1, seega X = 1:7 / 12 või X = 12 / 7 .
Tutvustame siin pöördarvude mõistet, et veidi täiendada teavet murdude jagamise kohta.
Kui jagame arvu 6 3/5-ga, teeme järgmist:
Maksma Erilist tähelepanu avaldisele ja võrdle seda antud avaldisega: .
Kui võtta avaldis eraldi, ilma seoseta eelmisega, siis on võimatu lahendada küsimust, kust see tuli: 6 jagamisest 3/5-ga või 6 korrutamisest 5/3-ga. Mõlemal juhul on tulemus sama. Nii et võime öelda et ühe arvu jagamise teisega saab asendada dividendi korrutamisega jagaja pöördarvuga.
Allpool toodud näited kinnitavad seda järeldust täielikult.
Murdude korrutamine ja jagamine.
Tähelepanu!
On täiendavaid
materjal erijaos 555.
Neile, kes tugevalt "mitte väga..."
Ja neile, kes "väga...")
See tehe on palju toredam kui liitmine-lahutamine! Sest see on lihtsam. Tuletan teile meelde: murdosa korrutamiseks murdosaga peate korrutama lugejad (see on tulemuse lugeja) ja nimetajad (see on nimetaja). See on:
Näiteks:
Kõik on äärmiselt lihtne. Ja palun ärge otsige ühist nimetajat! Pole seda siin vaja...
Murru jagamiseks murdosaga peate ümber pöörama teiseks(see on oluline!) murdosa ja korrutage need, st:
Näiteks:
Kui täisarvude ja murdudega korrutamine või jagamine on tabatud, on kõik korras. Nagu liitmisegi puhul, teeme täisarvust murdosa, mille nimetajas on ühik – ja mine! Näiteks:
Keskkoolis tuleb sageli tegeleda kolmekorruseliste (või isegi neljakorruseliste!) murdudega. Näiteks:
Kuidas viia see murd korralikule vormile? Jah, väga lihtne! Kasutage jagamist kahe punkti kaudu:
Kuid ärge unustage jagamise järjekorda! Erinevalt korrutamisest on see siin väga oluline! Muidugi ei aja me 4:2 ega 2:4 segi. Kuid kolmekorruselises murdosas on lihtne eksida. Pange tähele, näiteks:
Esimesel juhul (avaldis vasakul):
Teises (avaldis paremal):
Kas tunnete erinevust? 4 ja 1/9!
Mis on jagamise järjekord? Või sulud või (nagu siin) horisontaalsete kriipsude pikkus. Arendage silma. Ja kui sulgusid või sidekriipse pole, näiteks:
siis jaga-korruta järjekorras, vasakult paremale!
Ja veel üks väga lihtne ja oluline nipp. Kraadidega tegudes tuleb see sulle kasuks! Jagame ühiku mis tahes murdosaga, näiteks 13/15-ga:
Lask on ümber läinud! Ja seda juhtub alati. Jagades 1 suvalise murdosaga, on tulemuseks sama murd, ainult tagurpidi.
See on kõik toimingud murdarvudega. Asi on üsna lihtne, kuid annab rohkem kui piisavalt vigu. Märge praktilisi nõuandeid, ja neid (vigu) on vähem!
Praktilised näpunäited:
1. Murdlausetega töötamisel on kõige olulisem täpsus ja tähelepanelikkus! Need ei ole tavalised sõnad, mitte head soovid! See on tõsine vajadus! Tehke kõik eksami arvutused täisväärtusliku ülesandena, keskendudes ja selgelt. Parem kirjutada mustandisse kaks lisarida, kui peast arvutades sassi ajada.
2. Näidetes koos erinevad tüübid murrud - minge tavaliste murdude juurde.
3. Vähendame kõik murded lõpuni.
4. Mitmekorruseline murdosa avaldised taandame tavalisteks kasutades jagamist läbi kahe punkti (jälgime jagamise järjekorda!).
5. Me jagame ühiku mõttes murdosa, lihtsalt murru ümber pöörates.
Siin on ülesanded, mida peate täitma. Vastused antakse pärast kõiki ülesandeid. Kasutage selle teema materjale ja praktilisi nõuandeid. Hinnake, mitu näidet saaksite õigesti lahendada. Esimene kord! Ilma kalkulaatorita! Ja tehke õiged järeldused...
Pidage meeles õiget vastust saadud teisest (eriti kolmandast) korrast - ei lähe arvesse! Selline on karm elu.
Niisiis, lahendada eksamirežiimis ! See on muide eksamiks valmistumine. Lahendame näite, kontrollime, lahendame järgmise. Otsustasime kõik – kontrollisime uuesti esimesest viimaseni. Aga ainult Siis vaata vastuseid.
Arvutama:
Kas otsustasite?
Otsite vastuseid, mis vastavad teie omadele. Panin need konkreetselt sassi kirja, nii-öelda kiusatusest eemale... Siin need on, vastused, semikooloniga kirja pandud.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
Ja nüüd teeme järeldused. Kui kõik õnnestus - palju õnne teile! Elementaarsed arvutused murdarvudega pole teie probleem! Saate teha tõsisemaid asju. Kui ei...
Nii et teil on üks kahest probleemist. Või mõlemad korraga.) Teadmiste puudumine ja (või) tähelepanematus. Aga see lahendatav Probleemid.
Kui teile meeldib see sait...
Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)
Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õppimine - huviga!)
saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.
Murru murdosa või murdosa arvuga korrektseks korrutamiseks peate teadma lihtsad reeglid. Nüüd analüüsime neid reegleid üksikasjalikult.
Murru korrutamine murdosaga.
Murru korrutamiseks murdosaga peate arvutama nende murdude lugejate ja nimetajate korrutise.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)
Kaaluge näidet:
Korrutame esimese murru lugeja teise murru lugejaga ja korrutame ka esimese murru nimetaja teise murru nimetajaga.
\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ korda 3) (7 \ korda 3) = \frac(4) (7)\\\)
Murd \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) on vähendatud 3 võrra.
Murru korrutamine arvuga.
Alustame reeglist mis tahes arvu saab esitada murdena \(\bf n = \frac(n)(1)\) .
Kasutame seda reeglit korrutamiseks.
\(5 \ korda \ frac (4) (7) = \ frac (5) (1) \ korda \ frac (4) (7) = \ frac (5 \ korda 4) (1 \ korda 7) = \ frac (20) (7) = 2\frac(6) (7)\\\)
Vale murd \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) teisendatuna segamurruks.
Teisisõnu, Arvu korrutamisel murdosaga korrutage arv lugejaga ja jätke nimetaja muutmata. Näide:
\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)
Segamurdude korrutamine.
Segamurdude korrutamiseks peate esmalt esitama iga segamurru valemurruna ja seejärel kasutama korrutamisreeglit. Lugeja korrutatakse lugejaga, nimetaja korrutatakse nimetajaga.
Näide:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \ korda 6) = \frac(3 \ korda \värv(punane) (3) \ korda 23) (4 \ korda 2 \ korda \värv(punane) (3)) = \frac(69) (8) = 8\frac(5)(8)\\\)
Vastastikuste murdude ja arvude korrutamine.
Murd \(\bf \frac(a)(b)\) on murdosa \(\bf \frac(b)(a)\ pöördväärtus, tingimusel et a≠0,b≠0.
Murrud \(\bf \frac(a)(b)\) ja \(\bf \frac(b)(a)\) nimetatakse pöördarvudeks. Vastastikuste murdude korrutis on 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)
Näide:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)
Seotud küsimused:
Kuidas korrutada murdosa murdosaga?
Vastus: harilike murdude korrutis on lugeja korrutis lugejaga, nimetaja nimetajaga. Segafraktsioonide korrutise saamiseks peate need teisendama valeks fraktsiooniks ja korrutama vastavalt reeglitele.
Kuidas korrutada erinevate nimetajatega murde?
Vastus: pole vahet, kas murdude nimetajad on samad või erinevad, korrutamine toimub vastavalt reeglile, mille kohaselt leitakse lugeja ja nimetaja, nimetaja ja nimetaja korrutis.
Kuidas segatud murde korrutada?
Vastus: kõigepealt peate segamurru teisendama valeks murruks ja seejärel leidma korrutise vastavalt korrutamisreeglitele.
Kuidas korrutada arvu murdosaga?
Vastus: Korrutame arvu lugejaga ja nimetaja jätame samaks.
Näide nr 1:
Arvutage korrutis: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7) (11)\) b) \(\frac(2) (15) \times \frac(10) (13) \ )
Lahendus:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \ korda 2 \ korda \värv( punane) (5)) (3 \ korda \värv (punane) (5) \ korda 13) = \frac(4) (39)\)
Näide nr 2:
Arvutage arvu ja murru korrutis: a) \(3 \times \frac(17) (23)\) b) \(\frac(2) (3) \times 11\)
Lahendus:
a) \(3 \ korda \ frac (17) (23) = \ frac (3) (1) \ korda \ frac (17) (23) = \ frac (3 \ korda 17) (1 \ korda 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11) (3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)
Näide nr 3:
Kirjutage \(\frac(1)(3)\) pöördväärtus?
Vastus: \(\frac(3)(1) = 3\)
Näide nr 4:
Arvutage kahe vastastikuse murdarvu korrutis: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)
Lahendus:
a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)
Näide nr 5:
Kas vastastikku pöördmurrud võivad olla:
a) mõlemad pärismurrud;
b) samaaegselt ebaõiged murded;
c) naturaalarvud korraga?
Lahendus:
a) Esimesele küsimusele vastamiseks kasutame näidet. Murd \(\frac(2)(3)\) on õige, selle pöördväärtus on võrdne \(\frac(3)(2)\) - vale murd. Vastus: ei.
b) peaaegu kõigis murdude loendustes ei ole see tingimus täidetud, kuid on mõned arvud, mis täidavad samal ajal valemurru tingimuse. Näiteks vale murd on \(\frac(3)(3)\) , selle pöördarvuks on \(\frac(3)(3)\). Saame kaks vale murdu. Vastus: mitte alati teatud tingimustel, kui lugeja ja nimetaja on võrdsed.
c) naturaalarvud on arvud, mida kasutame loendamisel, näiteks 1, 2, 3, .... Kui võtame arvu \(3 = \frac(3)(1)\), siis on selle pöördarvuks \(\frac(1)(3)\). Murd \(\frac(1)(3)\) ei ole naturaalarv. Kui me käime läbi kõik arvud, on pöördarvuks alati murd, välja arvatud 1. Kui võtame arvu 1, siis on selle pöördarvuks \(\frac(1)(1) = \frac(1)(1) = 1\). Number 1 naturaalarv. Vastus: need võivad olla samaaegselt naturaalarvud ainult ühel juhul, kui see arv on 1.
Näide nr 6:
Sooritage segamurdude korrutis: a) \(4 korda 2\frac(4) (5)\) b) \(1\frac(1) (4) \ korda 3\frac(2) (7)\ )
Lahendus:
a) \(4 korda 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \ korda \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1) )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)
Näide nr 7:
Kas kaks vastastikust arvu võivad olla samaaegselt segaarvud?
Vaatame näidet. Võtame segamurru \(1\frac(1)(2)\, leiame selle pöördarvu, selleks teisendame selle valeks murruks \(1\frac(1)(2) = \frac(3)( 2) \) . Selle pöördväärtus on võrdne \(\frac(2)(3)\) . Murd \(\frac(2)(3)\) on õige murd. Vastus: Kaht vastastikku pöördmurdu ei saa korraga segada.
Jätkame harilike murdudega toimingute uurimist. Nüüd tähelepanu keskpunktis harilike murdude korrutamine. Selles artiklis anname reegli harilike murdude korrutamiseks, kaaluge selle reegli rakendamist näidete lahendamisel. Samuti keskendume hariliku murru korrutamisele naturaalarvuga. Kokkuvõtteks mõelge, kuidas korrutatakse kolm ja rohkem fraktsioonid.
Leheküljel navigeerimine.
Hariliku murru korrutamine hariliku murruga
Alustame sõnastusest harilike murdude korrutamise reeglid: murdosa korrutamisel murdosaga saadakse murd, mille lugeja on võrdne korrutatud murdude lugejate korrutisega ja mille nimetaja on võrdne nimetajate korrutisega.
See tähendab, et valem vastab tavaliste murdude a / b ja c / d korrutamisele.
Toome näite, mis illustreerib harilike murdude korrutamise reeglit. Vaatleme ruutu, mille külg on 1 ühik. , samas kui selle pindala on 1 ühik 2 . Jagage see ruut võrdseteks ristkülikuteks, mille küljed on 1/4 ühikut. ja 1/8 ühikut. , samas kui algne ruut koosneb 4 8 = 32 ristkülikust, seega on iga ristküliku pindala 1/32 algse ruudu pindalast, see tähendab, et see võrdub 1/32 ühikuga 2. Nüüd värvime osa algsest ruudust üle. Kõik meie tegevused on kajastatud alloleval joonisel.
Täidetud ristküliku küljed on 5/8 ühikut. ja 3/4 ühikut. , mis tähendab, et selle pindala on võrdne murdude 5/8 ja 3/4, st ühikute 2 korrutisega. Kuid täidetud ristkülik koosneb 15 "väikesest" ristkülikust, seega on selle pindala 15/32 ühikut 2 . Seega,. Kuna 5 3=15 ja 8 4=32 , saab viimase võrdsuse ümber kirjutada järgmiselt 
, mis kinnitab vormi harilike murdude korrutamise valemit .
Pange tähele, et helilise korrutamise reegli abil saate korrutada nii tavalisi kui ka ebaõigeid murde ning samade nimetajatega murde ja erinevate nimetajatega murde.
Kaaluge näiteid harilike murdude korrutamisest.
Korrutage harilik murd 7/11 arvuga harilik murd 9/8 .
Korrutatud murdude 7 ja 9 lugejate korrutis on 63 ning nimetajate 11 ja 8 korrutis on 88. Seega harilike murdude 7/11 ja 9/8 korrutamisel saadakse murd 63/88.
Siin on lahenduse kokkuvõte: 
.
Me ei tohiks unustada saadud murdosa vähendamist, kui korrutamise tulemusel saadakse taandatav murd, ja kogu osa valimist valest murdosast.
Korrutage murrud 4/15 ja 55/6.
Rakendame harilike murdude korrutamise reeglit: 
.
Ilmselgelt on saadud murd taandatav (jaguvuse märk 10-ga võimaldab väita, et murdarvu 220/90 lugejal ja nimetajal on ühine tegur 10). Vähendame murdosa 220/90: GCD(220, 90)=10 ja 
. Jääb üle valida saadud valemurru hulgast täisarvuline osa: .
Pange tähele, et murdosa vähendamise saab läbi viia enne korrutatud murdude lugejate ja nimetajate korrutiste arvutamist, st kui murdarvul on vorm . Selle arvu puhul asendatakse a, b, c ja d nende algteguritega, mille järel lugeja ja nimetaja samad tegurid tühistatakse.
Selguse huvides pöördume tagasi eelmise näite juurde.
Arvutage vormi murdude korrutis.
Tavaliste murdude korrutamise valemiga saame 
.
Kuna 4 = 2 2 , 55 = 5 11 , 15 = 3 5 ja 6 = 2 3 , siis 
. Nüüd tühistame tavalised algtegurid: 
.
Jääb ainult arvutada lugejas ja nimetajas olevad korrutised ning seejärel valida valest murdosast täisarvuline osa: 
.
Tuleb märkida, et murdude korrutamist iseloomustab kommutatiivne omadus, see tähendab, et korrutatud murde saab vahetada: 
.
Murru korrutamine naturaalarvuga
Alustame sõnastusest reeglid hariliku murru korrutamiseks naturaalarvuga: murdosa korrutamine naturaalarvuga annab murdosa, mille lugeja on võrdne korrutatud murru lugeja korrutisega naturaalarvuga ja nimetaja on võrdne korrutatud murru nimetajaga.
Tähtede abil on reegel murdosa a / b korrutamiseks naturaalarvuga n kujul .
Valem tuleneb vormi kahe hariliku murru korrutamise valemist . Tõepoolest, esitades naturaalarvu murdena, mille nimetaja on 1, saame 
.
Vaatleme näiteid murdosa naturaalarvuga korrutamisest.
Korrutage murdosa 2/27 5-ga.
Lugeja 2 korrutamine arvuga 5 annab 10, seetõttu võrdub murdarvu naturaalarvuga korrutamise reegli kohaselt 2/27 korrutis 5-ga võrdne murdosaga 10/27.
Kogu lahenduse saab mugavalt kirjutada järgmiselt: 
.
Murru korrutamisel naturaalarvuga tuleb saadud murdosa sageli vähendada ja kui see on samuti vale, siis esitada see segaarvuna.
Korrutage murdosa 5/12 arvuga 8.
Vastavalt valemile murdosa naturaalarvuga korrutamiseks on meil 
. Ilmselt on saadud murdosa taandatav (jaguvuse märk 2-ga näitab ühine jagaja 2 lugeja ja nimetaja). Vähendame murdosa 40/12: kuna LCM(40, 12)=4, siis 
. Jääb üle valida kogu osa: .
Siin on kogu lahendus: 
.
Pange tähele, et vähendamist saab teha, asendades lugejas ja nimetajas olevad arvud nende laiendustega algteguriteks. Sel juhul näeks lahendus välja järgmine:
Selle lõigu kokkuvõtteks märgime, et murdosa korrutamisel naturaalarvuga on kommutatiivne omadus, see tähendab, et murdosa korrutis naturaalarvuga võrdub selle naturaalarvu korrutisega murdosaga: 
.
Korrutage kolm või enam murdosa
See, kuidas oleme defineerinud harilikke murde ja nendega korrutamist, võimaldab meil väita, et kõik naturaalarvude korrutamise omadused kehtivad murdude korrutamisel.
Korrutamise kommutatiivsed ja assotsiatiivsed omadused võimaldavad üheselt määrata kolme või enama murru ja naturaalarvu korrutamine. Sel juhul toimub kõik analoogselt kolme või enama naturaalarvu korrutamisega. Eelkõige saab arvutamise mugavuse huvides ümber paigutada toote murde ja naturaalarve ning toimingute sooritamise järjekorda näitavate sulgude puudumisel saame sulud ise mis tahes lubatud viisil korraldada.
Vaatleme näiteid mitme murru ja naturaalarvu korrutamisest.
Korrutage kolm tavalist murru 1/20, 12/5, 3/7 ja 5/8.
Kirjutame korrutise, mida peame arvutama 
. Murdude korrutamise reegli kohaselt on kirjutatud korrutis võrdne murdarvuga, mille lugeja on võrdne kõigi murdude lugejate korrutisega ja nimetaja on nimetajate korrutis: 
.
Enne lugejas ja nimetajas olevate korrutiste arvutamist on soovitatav asendada kõik tegurid nende laiendustega algteguriteks ja vähendada (muidugi saate pärast korrutamist murdosa vähendada, kuid paljudel juhtudel nõuab see palju arvutuslikku pingutust): .
.
Korrutage viis arvu 
.
Selles tootes on mugav rühmitada murdosa 7/8 numbriga 8 ja number 12 murdarvuga 5/36, see lihtsustab arvutusi, kuna sellise rühmitamise korral on vähenemine ilmne. Meil on
.
.
Murdude korrutamine
Vaatleme tavaliste murdude korrutamist mitmel võimalikul viisil.
Murru korrutamine murdosaga
See on kõige lihtsam juhtum, mille puhul peate kasutama järgmist murdosa korrutamise reeglid.
To korrutada murdosa murdosaga, vajalik:
- korrutage esimese murru lugeja teise murru lugejaga ja kirjutage nende korrutis uue murru lugejasse;
- korrutage esimese murru nimetaja teise murru nimetajaga ja kirjutage nende korrutis uue murru nimetajasse;
Enne lugejate ja nimetajate korrutamist kontrollige, kas murde saab vähendada. Murdarvude vähendamine arvutustes hõlbustab oluliselt teie arvutusi.
Murru korrutamine naturaalarvuga
Murdarvuni korrutada naturaalarvuga peate korrutama murdosa lugeja selle arvuga ja jätma murdosa nimetaja muutmata.
Kui korrutamise tulemus on vale murd, ärge unustage muuta seda segaarvuks, st valige kogu osa.
Segaarvude korrutamine
Segaarvude korrutamiseks peate need esmalt teisendama valedeks murdudeks ja seejärel korrutama vastavalt tavaliste murdude korrutamise reeglile.
Teine võimalus murdosa korrutamiseks naturaalarvuga
Mõnikord on arvutustes mugavam kasutada tavamurru arvuga korrutamiseks teist meetodit.
Murru korrutamiseks naturaalarvuga peate jagama murdosa nimetaja selle arvuga ja jätma lugeja samaks.
Nagu näitest näha, on seda reegli versiooni mugavam kasutada, kui murru nimetaja jagub ilma jäägita naturaalarvuga.
Segaarvude korrutamine: reeglid, näited, lahendused.
Selles artiklis analüüsime segaarvude korrutamine. Esiteks ütleme välja segaarvude korrutamise reegli ja kaalume selle reegli rakendamist näidete lahendamisel. Järgmisena räägime segaarvu ja naturaalarvu korrutamisest. Lõpuks õpime segaarvu ja tavamurru korrutamist.
Leheküljel navigeerimine.
Segaarvude korrutamine.
Segaarvude korrutamine saab taandada harilike murdude korrutamiseks. Selleks piisab, kui teisendada segaarvud valedeks murdudeks.
Paneme kirja korrutusreegel segaarvude jaoks:
- Esiteks tuleb korrutatavad segaarvud asendada valede murdudega;
- Teiseks peate kasutama reeglit murdosa korrutamiseks murdosaga.
Kaaluge näiteid selle reegli rakendamisest segaarvu segaarvuga korrutamisel.
Tehke segaarvude korrutamine ja .
Esiteks esitame korrutatud segaarvud valede murdudena: 
Ja 
. Nüüd saame segaarvude korrutamise asendada tavaliste murdude korrutamisega: 
. Murdude korrutamise reeglit rakendades saame 
. Saadud murd on taandamatu (vt taandamatuid ja taandamatuid murde), kuid see on vale (vt tavalised ja ebaõiged murrud), mistõttu lõpliku vastuse saamiseks tuleb valest murdest eraldada täisarv: .
Kirjutame kogu lahenduse ühele reale: .
.
Segaarvude korrutamise oskuste kinnistamiseks kaaluge teise näite lahendust.
Tehke korrutamine.
Naljakad numbrid ja võrdub vastavalt murdudega 13/5 ja 10/9. Siis 
. Selles etapis on aeg meeles pidada murdarvu vähendamist: asendame kõik murdosa arvud nende laiendustega algteguriteks ja teostame samade tegurite redutseerimise.
Segaarvu ja naturaalarvu korrutamine
Pärast segaarvu asendamist vale murruga, segaarvu ja naturaalarvu korrutamine taandatakse hariliku murru ja naturaalarvu korrutisele.
Korrutage segaarv ja naturaalarv 45 .
Segaarv on siis murd 
. Asendame saadud murdarvud nende laiendustega algteguriteks, teeme taandamise, mille järel valime täisarvulise osa: .
.
Segaarvu ja naturaalarvu korrutamine on mõnikord mugav, kasutades korrutamise jaotusomadust liitmise suhtes. Sel juhul võrdub segaarvu ja naturaalarvu korrutis antud naturaalarvu täisarvu ja antud naturaalarvu murdosa korrutistega, st. 
.
Arvutage toode.
Segaarvu asendame täis- ja murdosa summaga, mille järel rakendame korrutamise jaotusomadust: .
Segaarvu ja hariliku murru korrutamine kõige mugavam on taandada harilike murdude korrutisele, esitades korrutatud segaarvu vale murruna.
Korrutage segaarv hariliku murruga 4/15.
Asendades segaarvu murdosaga, saame 
.
Murdarvude korrutamine
§ 140. Mõisted. 1) Murdarvu korrutamine täisarvuga on määratletud samamoodi nagu täisarvude korrutamine, nimelt: mingi arvu (kordisti) korrutamine täisarvuga (teguriga) tähendab identsete liikmete summa tegemist, milles iga liige on võrdne korrutisega ja liikmete arv on võrdne kordajaga.
Nii et 5-ga korrutamine tähendab summa leidmist:
2) Mõne arvu (kordisti) korrutamine murdosaga (kordistiga) tähendab korrutise selle murdosa leidmist.
Seega, leides antud arvust murdosa, mida me varem kaalusime, nimetame nüüd murdosaga korrutamiseks.
3) Mõne arvu (kordaja) korrutamine segaarvuga (teguriga) tähendab korrutise korrutamist kõigepealt teguri täisarvuga, seejärel teguri murdosaga ja nende kahe korrutamise tulemuste liitmist.
Näiteks:
Kõigil neil juhtudel nimetatakse pärast korrutamist saadud arvu tööd, st samamoodi nagu täisarvude korrutamisel.
Nendest definitsioonidest on selge, et murdarvude korrutamine on tegevus, mis on alati võimalik ja alati üheselt mõistetav.
§ 141. Nende mõistete otstarbekus. Kahe viimase korrutamise definitsiooni aritmeetikasse sisseviimise otstarbekuse mõistmiseks võtame järgmise ülesande:
Ülesanne. Ühtlaselt liikuv rong sõidab 40 km tunnis; kuidas teada saada, mitu kilomeetrit see rong teatud arvu tundide jooksul läbib?
Kui jääksime sama korrutamise definitsiooni juurde, mis on näidatud täisarvude aritmeetikas (võrdsete liikmete liitmine), siis oleks meie probleemil kolm erinevat lahendust, nimelt:
Kui antud tundide arv on täisarv (näiteks 5 tundi), siis ülesande lahendamiseks tuleb 40 km selle tundide arvuga korrutada.
Kui antud tundide arv on väljendatud murdosana (näiteks tundidena), peate leidma selle murdosa väärtuse 40 km kauguselt.
Lõpuks, kui antud tundide arv on segatud (näiteks tunnid), tuleb 40 km korrutada segaarvus sisalduva täisarvuga ja lisada tulemusele selline murdosa 40 km-st, mis on seganumber.
Meie antud definitsioonid võimaldavad meil anda ühe üldise vastuse kõigile nendele võimalikele juhtumitele:
40 km tuleb korrutada etteantud tundide arvuga, olgu see milline tahes.
Seega, kui probleem on esitatud üldises vormis järgmiselt:
Ühtlaselt liikuv rong läbib v km tunnis. Mitu kilomeetrit läbib rong t tunniga?
siis olenemata arvudest v ja t, saame väljendada ühe vastuse: soovitud arv väljendatakse valemiga v · t.
Märge. Antud arvu murdosa leidmine tähendab meie definitsiooni järgi sama, mis antud arvu korrutamine selle murdosaga; seepärast tähendab näiteks 5% (s.o viis sajandikku) leidmine antud arvust sama, mis antud arvu korrutamine kas või arvuga; 125% leidmine antud arvust on sama, mis selle arvu korrutamine arvuga või arvuga jne.
§ 142. Märkus selle kohta, millal arv korrutamisest suureneb ja millal väheneb.
Õige murdarvuga korrutamisel arv väheneb ja vale murdarvuga korrutamisel arv suureneb, kui see vale murd on suurem kui üks, ja jääb muutumatuks, kui see on võrdne ühega.
Kommenteeri. Murdarvude ja täisarvude korrutamisel võetakse korrutis võrdseks nulliga, kui mõni tegur on võrdne nulliga, seega,.
§ 143. Korrutamisreeglite tuletamine.
1) Murru korrutamine täisarvuga. Olgu murdosa korrutatud 5-ga. See tähendab suurendada 5 korda. Murru suurendamiseks 5 võrra piisab selle lugeja suurendamisest või nimetaja vähendamisest 5 korda (§ 127).
Sellepärast:
1. reegel. Murru korrutamiseks täisarvuga peate korrutama lugeja selle täisarvuga ja jätma nimetaja samaks; selle asemel võid jagada ka murdosa nimetaja antud täisarvuga (kui võimalik) ja jätta lugeja samaks.
Kommenteeri. Murru ja selle nimetaja korrutis on võrdne selle lugejaga.
Niisiis:
2. reegel. Täisarvu korrutamiseks murdosaga tuleb täisarv korrutada murru lugejaga ja muuta see korrutis lugejaks ning nimetajaks märkida antud murdosa nimetaja.
3. reegel. Murru korrutamiseks murdosaga peate korrutama lugeja lugejaga ja nimetaja nimetajaga ning muutma esimese korrutise lugejaks ja teisest korrutise nimetajaks.
Kommenteeri. Seda reeglit saab rakendada ka murdarvu täisarvuga ja täisarvu murdosa korrutamisel, kui vaid lugeda täisarvu murduks, mille nimetaja on üks. Niisiis:
Seega sisalduvad kolm nüüd esitatud reeglit ühes, mida saab üldistatult väljendada järgmiselt:
4) Segaarvude korrutamine.
4. reegel. Segaarvude korrutamiseks peate need teisendama valedeks murdudeks ja seejärel korrutama vastavalt murdude korrutamise reeglitele. Näiteks:
§ 144. Korrutamise vähendamine. Murdude korrutamisel tuleks võimaluse korral teha esialgne vähendamine, nagu on näha järgmistest näidetest:
Sellist vähendamist saab teha, sest murdu väärtus ei muutu, kui lugejat ja nimetajat vähendada sama palju kordi.
§ 145. Toote muutus koos tegurite muutumisega. Kui tegurid muutuvad, muutub murdarvude korrutis täpselt samamoodi nagu täisarvude korrutis (§ 53), nimelt: kui suurendate (või vähendate) mõnda tegurit mitu korda, siis korrutis suureneb (või väheneb) sama summa võrra.
Niisiis, kui näites:
mitme murru korrutamiseks on vaja korrutada nende lugejad omavahel ja nimetajad omavahel ning teha esimene korrutis lugejaks ja teine korrutise nimetajaks.
Kommenteeri. Seda reeglit saab rakendada ka sellistele korrutistele, milles osa arvutegureid on täisarvud või segatud, kui ainult vaadelda täisarvu murdena, mille nimetaja on üks, ja muudame segaarvud ebaõigeteks murdudeks. Näiteks:
§ 147. Korrutamise põhiomadused. Murdarvude korrutamise alla kuuluvad ka need korrutamise omadused, mis oleme täisarvude jaoks ära märkinud (§ 56, 57, 59). Täpsustame neid omadusi.
1) Toode ei muutu tegurite kohtade muutumisest.
Näiteks:
Tõepoolest, eelmise lõigu reegli kohaselt on esimene korrutis võrdne murdosaga ja teine võrdne murdosaga. Kuid need murrud on samad, sest nende liikmed erinevad ainult täisarvu tegurite järjekorras ja täisarvude korrutis ei muutu tegurite kohavahetusel.
2) Toode ei muutu, kui mõni tegurite rühm asendatakse nende tootega.
Näiteks:
Tulemused on samad.
Sellest korrutamise omadusest võime teha järgmise järelduse:
mõne arvu korrutamiseks korrutisega saate selle arvu korrutada esimese teguriga, saadud arvu korrutada teisega ja nii edasi.
Näiteks:
3) Korrutamise distributiivne seadus (liitmise suhtes). Summa mõne arvuga korrutamiseks võite iga liikme selle arvuga eraldi korrutada ja tulemused liita.
Seda seadust oleme selgitanud (§ 59) täisarvudele kohaldatuna. See jääb paika ilma muudatusteta murdarvude puhul.
Näitame tegelikult, et võrdsus
(a + b + c + .)m = am + bm + cm + .
(korrutamise jaotusseadus liitmise suhtes) jääb paika ka siis, kui tähed tähendavad murdarvu. Vaatleme kolme juhtumit.
1) Oletame esmalt, et tegur m on täisarv, näiteks m = 3 (a, b, c on suvalised arvud). Täisarvuga korrutamise definitsiooni kohaselt saab kirjutada (lihtsuse huvides piiratud kolme terminiga):
(a + b + c) * 3 = (a + b + c) + (a + b + c) + (a + b + c).
Assotsiatiivse liitmise seaduse alusel võime kõik paremal pool olevad sulud ära jätta; rakendades kommutatiivset liitmise seadust ja siis jälle kombinatsiooniseadust, saame ilmselt parema külje ümber kirjutada järgmiselt:
(a + a + a) + (b + b + b) + (c + c + c).
(a + b + c) * 3 = a * 3 + b * 3 + c * 3.
Seega kinnitatakse antud juhul jaotusseadus.
Murru jagamine naturaalarvuga
Sektsioonid: Matemaatika
T klassi tüüp: ONZ (uute teadmiste avastamine - vastavalt õpetamise tegevusmeetodi tehnoloogiale).
- Tuletage meetodid murdosa naturaalarvuga jagamiseks;
- Moodustada oskus teostada murdosa jagamist naturaalarvuga;
- Korrake ja kinnitage murdude jagamine;
- Treenige murdude vähendamise, probleemide analüüsi ja lahendamise oskust.
Seadme demomaterjal:
1. Ülesanded teadmiste värskendamiseks:
2. Proovi (individuaalne) ülesanne.
1. Tehke jagamine:
2. Tehke jagamine ilma kogu arvutusahelat läbi viimata: .
- Murru jagamisel naturaalarvuga saate nimetaja selle arvuga korrutada ja lugeja jätta samaks.
- Kui lugeja jagub naturaalarvuga, saate murdosa selle arvuga jagades jagada lugeja arvuga ja jätta nimetaja samaks.
I. Motivatsioon (enesemääratlemine) selleks õppetegevused.
- Korraldada õpilasele esitatavate nõuete aktualiseerimist õppetegevuse poolt („peab“);
- Korraldada õpilaste tegevust temaatilise raamistiku loomiseks (“Ma oskan”);
- Luua tingimused, et õpilasel tekiks sisemine vajadus õppetegevusse kaasamiseks (“tahan”).
Organisatsioon haridusprotsess I etapis.
Tere! Mul on hea meel teid kõiki matemaatikatunnis näha. Loodan, et see on vastastikune.
Poisid, milliseid uusi teadmisi te viimases tunnis omandasite? (Jaga murrud).
Õige. Mis aitab teil murde jagada? (Reegel, omadused).
Kus meil neid teadmisi vaja on? (Näidetes, võrrandites, ülesannetes).
Hästi tehtud! Sul läks viimases õppetunnis hästi. Kas tahaksid täna ise uusi teadmisi avastada? (Jah).
Siis mine! Ja tunni motoks on väide “Matemaatikat ei saa õppida jälgides, kuidas naaber seda teeb!”.
II. Teadmiste realiseerimine ja individuaalse raskuse fikseerimine proovitoimingus.
- Korraldada uuritud tegevusmeetodite realiseerimine, mis on piisav uute teadmiste loomiseks. Kinnitage need meetodid verbaalselt (kõnes) ja sümboolselt (standardne) ning üldistage;
- Korraldada vaimsete operatsioonide aktualiseerimist ja kognitiivsed protsessid, piisav uute teadmiste loomiseks;
- Motiveerida proovitoimingut ja selle iseseisvat teostamist ja põhjendamist;
- Esitage proovitoimingu jaoks individuaalne ülesanne ja analüüsige seda uue õppesisu tuvastamiseks;
- Korraldage kasvatusliku eesmärgi ja tunni teema fikseerimine;
- Korraldada proovitoimingu läbiviimine ja raskuste lahendamine;
- Korraldage saadud vastuste analüüs ja fikseerige individuaalsed raskused proovitoimingu sooritamisel või selle põhjendamisel.
Haridusprotsessi korraldamine II etapis.
Frontaalselt, kasutades tahvelarvuteid (individuaalseid tahvleid).
1. Võrrelge väljendeid:
(Need avaldised on võrdsed)
Mida huvitavat märkasite? (Dividendi lugeja ja nimetaja, jagaja lugeja ja nimetaja igas avaldises suurenesid sama palju kordi. Seega on avaldistes dividendid ja jagajad esindatud murdosadega, mis on omavahel võrdsed).
Leidke väljendi tähendus ja kirjutage see tahvelarvutile. (2)
Kuidas kirjutada see arv murruna?
Kuidas te jagamistoimingu sooritasite? (Lapsed hääldavad reeglit, õpetaja riputab tähed tahvlile)
2. Arvutage ja registreerige ainult tulemused:
3. Lisage oma tulemused ja kirjutage vastus. (2)
Kuidas nimetatakse ülesandes 3 saadud arvu? (looduslik)
Kas arvate, et saate murdosa naturaalarvuga jagada? (Jah, me proovime)
Proovi seda.
4. Individuaalne (proovi)ülesanne.
Jagage: (ainult näide a)
Millist reeglit sa jagamisel kasutasid? (Vastavalt reeglile jagada murd murdosaga)
Nüüd jagage murd naturaalarvuga lihtsal viisil, ilma kogu arvutusahelat läbi viimata: (näide b). Annan teile selleks 3 sekundit.
Kes ei suutnud ülesannet 3 sekundiga täita?
Kes selle tegi? (Selliseid pole olemas)
Miks? (Me ei tea teed)
Mis sa said? (Raskusaste)
Mis te arvate, mida me tunnis teeme? (Jagage murrud naturaalarvudega)
Täpselt nii, avage märkmikud ja kirjutage üles tunni teema "Murru jagamine naturaalarvuga".
Miks see teema kõlab uuena, kui sa juba oskad murde jagada? (Vaja uus viis)
Õige. Täna kehtestame tehnika, mis lihtsustab murdosa jagamist naturaalarvuga.
III. Raskuse asukoha ja põhjuse tuvastamine.
- Korraldage lõpetatud operatsioonide taastamine ja fikseerige (verbaalne ja sümboolne) koht - samm, operatsioon, kus raskus tekkis;
- Korraldada õpilaste tegevuse korrelatsioon kasutatava meetodi (algoritmiga) ja väliskõnes raskuse põhjuse fikseerimine - need konkreetsed teadmised, oskused või võimed, millest seda tüüpi esialgse probleemi lahendamiseks ei piisa.
Haridusprotsessi korraldamine III etapis.
Millise ülesande pidid täitma? (Jagage murd naturaalarvuga ilma kogu arvutusahelat tegemata)
Mis tekitas teile raskusi? (Ei saanud kiirelt lühikese ajaga lahendada)
Mis on meie tunni eesmärk? (Leia kiire tee murdosa jagamine naturaalarvuga)
Mis sind aitab? (Juba tuntud reegel murdude jagamiseks)
IV. Raskustest väljumise projekti ehitamine.
- Projekti eesmärgi selgitamine;
- Meetodi valik (selgitamine);
- Vahendite määratlus (algoritm);
- Eesmärgi saavutamiseks plaani koostamine.
Haridusprotsessi korraldamine IV etapis.
Läheme tagasi katsejuhtumi juurde. Kas sa ütlesid, et jagasid murdude jagamise reegli järgi? (jah)
Selleks asendada naturaalarv murdosaga? (jah)
Millise(d) sammu(d) võiksite teie arvates vahele jätta?
(Lahendusahel on tahvlil avatud: 
Analüüsige ja tehke järeldus. (Samm 1)
Kui vastust pole, võtame küsimuste kaudu kokku:
Kuhu kadus loomulik jagaja? (nimetajani)
Kas lugeja on muutunud? (Ei)
Millise sammu saab siis "ära jätta"? (Samm 1)
- Korrutage murdosa nimetaja naturaalarvuga.
- Lugeja ei muutu.
- Saame uue murdosa.
V. Ehitatud projekti elluviimine.
- Korraldada kommunikatiivset suhtlust, et viia ellu konstrueeritud projekt, mille eesmärk on puuduvate teadmiste omandamine;
- Korraldada konstrueeritud tegevusmeetodi fikseerimine kõnes ja märkides (standardi abil);
- Korraldada algülesande lahendus ja fikseerida raskuse ületamine;
- Korraldage selgitus üldine uusi teadmisi.
Haridusprotsessi korraldamine V etapis.
Nüüd käivitage testjuhtum kiiresti uuel viisil.
Kas saate nüüd ülesande kiiresti täita? (jah)
Selgitage, kuidas te seda tegite? (Lapsed räägivad)
See tähendab, et oleme saanud uue teadmise: reegli murdosa naturaalarvuga jagamiseks.
Hästi tehtud! Öelge seda paarikaupa.
Seejärel räägib üks õpilane klassiga. Reegli-algoritmi fikseerime verbaalselt ja standardi kujul tahvlil.
Nüüd sisestage tähed ja kirjutage üles meie reegli valem.
Õpilane kirjutab tahvlile, hääldades reegli: murru jagamisel naturaalarvuga saate nimetaja selle arvuga korrutada ja lugeja jätta samaks.
(Kõik kirjutavad valemi vihikusse).
Ja nüüd analüüsige veel kord prooviülesande lahendamise ahelat, pöörates erilist tähelepanu vastusele. Mida nad tegid? (Murru 15 lugeja jagati (vähendatud) arvuga 3)
Mis see number on? (looduslik, jagaja)
Kuidas muidu saab murdosa naturaalarvuga jagada? (Kontrollige: kui murdosa lugeja jagub selle naturaalarvuga, saate lugeja selle arvuga jagada, kirjutada tulemuse uue murru lugejasse ja jätta nimetaja samaks)
Kirjutage see meetod valemi kujul. (Õpilane kirjutab reegli tahvlile üles. Valemi panevad kõik vihikusse.)
Läheme tagasi esimese meetodi juurde. Kas seda saab kasutada, kui a:n? (Jah see üldine viis)
Ja millal on teist meetodit mugav kasutada? (Kui murdosa lugeja jagub naturaalarvuga ilma jäägita)
VI. Esmane kinnistamine hääldusega väliskõnes.
- Korraldada laste poolt uue tegevusmeetodi omastamist, kui nad lahendavad tüüpilisi hääldusprobleeme väliskõnes (eespidiselt, paaris või rühmas).
Haridusprotsessi korraldamine VI etapis.
Arvutage uuel viisil:
- Nr 363 (a; d) - esinege tahvli ääres, hääldades reeglit.
- Nr 363 (d; f) - paaris koos proovi kontrolliga.
VII. Iseseisev töö enesetestiga vastavalt standardile.
- Korraldada õpilaste iseseisvat ülesannete täitmist uueks tegevusviisiks;
- Korraldada enesetesti võrdluse alusel standardiga;
- Vastavalt rakendamise tulemustele iseseisev töö korraldada peegeldus uue tegevusviisi assimilatsioonist.
Haridusprotsessi korraldamine VII etapis.
Arvutage uuel viisil:
Õpilased kontrollivad standardit, märgivad esituse õigsust. Vigade põhjuseid analüüsitakse ja vead parandatakse.
Õpetaja küsib neilt õpilastelt, kes tegid vigu, mis on põhjus?
Selles etapis on oluline, et iga õpilane kontrolliks iseseisvalt oma tööd.
Enne 8. ülesande lahendamist kaaluge näidet õpikust:
IX. Õppetegevuste kajastamine klassiruumis.
- Korraldage tunnis õpitud uue sisu fikseerimine;
- Korraldada õppetegevuse reflektiivne analüüs õpilastele teadaolevate nõuete täitmise seisukohalt;
- Korraldada õpilaste hinnangud enda tegevusele tunnis;
- Korraldage tunnis lahendamata raskuste fikseerimine edaspidise õppetegevuse suunana;
- Korraldage arutelu ja kodutööde salvestamine.
Haridusprotsessi korraldus IX etapis.
Poisid, milliseid uusi teadmisi te täna avastasite? (Õppisime jagama murdosa naturaalarvuga lihtsal viisil)
Sõnastage üldine viis. (Nad ütlesid)
Mil viisil ja millistel juhtudel saate seda siiski kasutada? (Nad ütlesid)
Mis on uue meetodi eelis?
Kas oleme saavutanud oma tunni eesmärgi? (jah)
Milliseid teadmisi kasutasite eesmärgi saavutamiseks? (Nad ütlesid)
Kas see on õnnestunud?
Millised olid raskused?
