Van értelme beszélni róla műveletek algebrai törtekkel. Algebrai törtekkel a következő műveleteket definiáljuk: összeadás, kivonás, szorzás, osztás és természetes hatványra emelés. Ráadásul mindezek a műveletek zártak abban az értelemben, hogy végrehajtásuk eredményeként algebrai tört keletkezik. Elemezzük mindegyiket sorrendben.

Igen, azonnal érdemes megjegyezni, hogy az algebrai törtekkel végzett műveletek a megfelelő műveletek általánosításai a közönséges törtekkel. Ezért a megfelelő szabályok szinte szó szerint egybeesnek az összeadás és kivonás, szorzás, osztás és hatványozás végrehajtásának szabályaival. közönséges törtek.

Oldalnavigáció.

Algebrai törtek összeadása

Bármely algebrai törtek összeadása megfelel a következő két eset valamelyikének: az elsőben azonos nevezőjű törteket adunk össze, a másodikban pedig különbözőket. Kezdjük azzal a szabállyal, hogy az azonos nevezőjű törteket összeadjuk.

Az azonos nevezőjű algebrai törtek hozzáadásához hozzá kell adni a számlálókat, és a nevezőt változatlannak kell hagyni.

A hangos szabály lehetővé teszi, hogy az algebrai törtek hozzáadásáról a számlálóban lévő polinomok hozzáadására térjen át. Például, .

Különböző nevezőkkel rendelkező algebrai törtek hozzáadásához a következő szabály szerint kell eljárnia: hozza őket egy közös nevezőre, majd adja hozzá a kapott törteket azonos nevezőkkel.

Például, amikor algebrai törteket adunk hozzá, és először közös nevezőre kell hozni őket, ennek eredményeként a következő alakot veszik fel És illetőleg, amely után ezeknek az azonos nevezőjű törteknek az összeadása történik: .

Kivonás

A következő lépést, az algebrai törtek kivonását az összeadáshoz hasonlóan hajtjuk végre. Ha az eredeti algebrai törtek nevezői megegyeznek, akkor csak ki kell vonni a számlálók polinomjait, és a nevezőt változatlannak kell hagyni. Ha a nevezők eltérőek, akkor először a közös nevezőre való redukciót hajtjuk végre, majd az eredményül kapott, azonos nevezővel rendelkező törteket levonjuk.

Mondjunk példákat.

Vonjuk ki az algebrai törteket és , a nevezőik megegyeznek, ezért . Az így kapott algebrai tört tovább csökkenthető: .

Most vonjuk ki a törtet a törtből. Ezek különböző nevezőjű algebrai törtek, ezért először egy közös nevezőre hozzuk őket, ami jelen esetben 5 x (x-1) . És . Marad a kivonás:

Algebrai törtek szorzása

Az algebrai törtek szorozhatók. Ezt a műveletet a közönséges törtek szorzásához hasonlóan hajtjuk végre a következő szabály szerint: az algebrai törtek szorzásához külön kell szorozni a számlálókat és külön a nevezőket.

Vegyünk egy példát. Szorozz meg egy algebrai törtet törttel. A kimondott szabály szerint megvan . Marad a kapott tört algebrai törtté konvertálása, ehhez ebben az esetben el kell végeznie egy monom és egy polinom szorzását (és általános esetben a polinomok szorzását) a számlálóban és a nevezőben: .

Érdemes megjegyezni, hogy az algebrai törtek szorzása előtt kívánatos a számlálójukban és nevezőikben szereplő polinomok faktorizálása. Ennek oka a kapott frakció csökkentésének lehetősége. Például,
.

Ezt a műveletet a cikk részletesebben tárgyalja.

Osztály

Továbblépünk az algebrai törtekkel végzett műveletekre. A következő a sorban az algebrai törtek osztása. A következő szabály az algebrai törtek osztását szorzásra redukálja: az egyik algebrai tört egy másikkal való osztásához meg kell szorozni az első törtet a második reciprokával.

Egy adott törttel inverz algebrai tört olyan törtként értendő, amelyben a számláló és a nevező átrendeződött. Más szavakkal, két algebrai törtet kölcsönösen inverznek tekintünk, ha szorzatuk megegyezik eggyel (analógiával).

Vegyünk egy példát. Végezzük el a felosztást . Az osztó reciproka: . És így, .

Részletesebb információkért lásd az előző bekezdésben említett, algebrai törtek szorzásáról és osztásáról szóló cikket.

Algebrai tört hatványra emelése

Végül áttérünk az utolsó műveletre algebrai törtekkel - természetes hatványra emelve. , valamint az, hogy miként határoztuk meg az algebrai törtek szorzását, lehetővé teszi, hogy felírjuk az algebrai tört hatványra emelésének szabályát: külön kell emelni a számlálót erre a hatványra, és külön a nevezőt.

Mutassunk egy példát erre a műveletre. Emeljünk fel egy algebrai törtet a második hatványra. A fenti szabály szerint megvan . Marad a számlálóban lévő monomit hatványra emelni, valamint a nevezőben lévő polinomot hatványra emelni, ami az alak algebrai törtrészét adja .

Mások megoldása jellemző példák a cikkben látható egy algebrai tört hatványra emelése.

Bibliográfia.

• Algebra: tankönyv 8 cellához. Általános oktatás intézmények / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; szerk. S. A. Teljakovszkij. - 16. kiadás - M. : Oktatás, 2008. - 271 p. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. 8. osztály. 14 órakor 1. rész Tankönyv diákoknak általában oktatási intézmények/ A. G. Mordkovich. - 11. kiadás, törölve. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (kézikönyv a műszaki iskolákba jelentkezők számára): Proc. pótlék.- M.; Magasabb iskola, 1984.-351 p., ill.

Okos diákok szerzői joga

Minden jog fenntartva.
Szerzői jogi törvény védi. Az oldal egyetlen része sem, beleértve a belső anyagokat és a külső megjelenést, semmilyen formában nem reprodukálható vagy felhasználható a szerzői jog tulajdonosának előzetes írásbeli engedélye nélkül.

1. § Az algebrai tört fogalma

Az algebrai törtet kifejezésnek nevezzük

ahol P és Q polinomok; P az algebrai tört számlálója, Q az algebrai tört nevezője.

Példák az algebrai törtekre:

Bármely polinom az algebrai tört speciális esete, mert bármely polinom felírható így

Például:

Egy algebrai tört értéke a változók értékétől függ.

Például számítsuk ki a tört értékét

1)

2)

Az első esetben a következőket kapjuk:

Vegye figyelembe, hogy ez a tört csökkenthető:

Így az algebrai tört értékének kiszámítása leegyszerűsödik. Használjuk ezt.

A második esetben a következőket kapjuk:

Mint látható, a változók értékének változásával az algebrai tört értéke megváltozott.

§ 2 Egy algebrai tört változóinak megengedett értékei

Tekintsünk egy algebrai törtet

Az x = -1 érték érvénytelen ehhez a törthez, mert a tört nevezője ennél az x értéknél eltűnik. A változó ezen értékével az algebrai törtnek nincs jelentése.

Így egy algebrai tört változóinak megengedett értékei a változók azon értékei, amelyeknél a tört nevezője nem tűnik el.

Oldjunk meg néhány példát.

A változó mely értékeihez van értelme az algebrai törtnek:

A változók érvénytelen értékeinek megtalálásához a tört nevezőjét nullára kell állítani, és meg kell találni a megfelelő egyenlet gyökereit.

A változó mely értékeinél egyenlő az algebrai tört nullával:

Egy tört nulla, ha a számláló nulla. Törtünk számlálóját nullával egyenlővé tesszük, és megkeressük a kapott egyenlet gyökereit:

Így x = 0 és x= 3 esetén ennek az algebrai törtnek nincs értelme, ami azt jelenti, hogy a változó ezen értékeit ki kell zárnunk a válaszból.

Tehát ebben a leckében megtanulta az algebrai tört alapfogalmait: a tört számlálóját és nevezőjét, valamint az algebrai tört változóinak megengedett értékeit.

A felhasznált irodalom listája:

1. Mordkovich A.G. "Algebra" 8. osztály. 14 órakor 1. rész Tankönyv oktatási intézményeknek / A.G. Mordkovich. - 9. kiadás, átdolgozva. - M.: Mnemosyne, 2007. - 215 p.: ill.
2. Mordkovich A.G. "Algebra" 8. osztály. 2 órakor 2. rész Feladatfüzet oktatási intézményeknek / A.G. Mordkovich, T.N. Mishustin, E.E. Tulchinskaya. - 8. kiadás, - M .: Mnemosyne, 2006 - 239s.
3. Algebra. 8. osztály. Teszt papírok oktatási intézmények diákjai számára L.A. Alexandrova, szerk. A.G. Mordkovich 2. kiadás, törölve. - M.: Mnemosyne 2009. - 40-es évek.
4. Algebra. 8. osztály. Önálló munkavégzés oktatási intézmények diákjainak: A.G. tankönyvéhez. Mordkovich, L.A. Alexandrova, szerk. A.G. Mordkovich. 9. kiadás, ster. - M.: Mnemosyne 2013. - 112p.

A 42. §-ban azt mondták, hogy ha a polinomok felosztása nem hajtható végre teljesen, akkor a hányadost az alakba írják tört kifejezés ahol az osztalék a számláló és az osztó a nevező.

Példák törtkifejezésekre:

A törtkifejezés számlálója és nevezője maguk is lehetnek törtkifejezések, például:

A tört algebrai kifejezések közül gyakran kell foglalkozni azokkal, amelyekben a számláló és a nevező polinomok (különösen a monomok). Minden ilyen kifejezést algebrai törtnek nevezünk.

Meghatározás. Algebrai törtnek nevezzük azt az algebrai kifejezést, amely olyan tört, amelynek a számlálója és a nevezője polinom.

Az aritmetikához hasonlóan az algebrai tört számlálóját és nevezőjét törttagnak nevezzük.

A jövőben az algebrai törteken végzett műveletek tanulmányozása után bármilyen tört kifejezést azonos transzformációk segítségével algebrai törtté alakíthatunk.

Példák algebrai törtekre:

Vegye figyelembe, hogy a teljes kifejezés, vagyis a polinom felírható törtként, ehhez elég ezt a kifejezést a számlálóba, a nevezőbe pedig 1-et írni. Például:

2. Érvényes betűértékek.

A csak a számlálóban szereplő betűk bármilyen értéket felvehetnek (ha a probléma körülményei nem vezetnek be további korlátozásokat).

A nevezőben szereplő betűk esetében csak azok az értékek érvényesek, amelyek nem fordítják nullára a nevezőt. Ezért a következőkben mindig feltételezzük, hogy egy algebrai tört nevezője nem egyenlő nullával.

Amikor egy diák középiskolába költözik, a matematikát két tantárgyra osztják: algebra és geometria. Egyre több a fogalom, nehezednek a feladatok. Vannak, akik nehezen értik a törteket. Lemaradt az első leckéről ebben a témában, és íme. törtek? Egy kérdés, amely az egész iskolai életet gyötörni fogja.

Az algebrai tört fogalma

Kezdjük egy meghatározással. Alatt algebrai tört A P/Q kifejezések érthetők, ahol P a számláló és Q a nevező. Egy szám, numerikus kifejezés, numerikus-alfabetikus kifejezés elrejthető egy alfabetikus bejegyzés alatt.

Mielőtt azon töprengene, hogyan lehet megoldani az algebrai törteket, először meg kell értenie, hogy egy ilyen kifejezés egy egész része.

Általános szabály, hogy az egész 1. A nevezőben lévő szám azt mutatja, hogy az egység hány részre lett felosztva. A számlálóra azért van szükség, hogy megtudjuk, hány elemet vettünk fel. A törtsáv az osztásjelnek felel meg. Lehetőség van törtkifejezés rögzítésére „osztás” matematikai műveletként. Ebben az esetben a számláló az osztalék, a nevező az osztó.

A közönséges törtek alapszabálya

Amikor a tanulók végigcsinálják ezt a témát az iskolában, példákat kapnak megerősítésre. A helyes megoldáshoz és a nehéz helyzetekből különböző utakat találni, alkalmazni kell a törtek alapvető tulajdonságát.

Ez így hangzik: Ha a számlálót és a nevezőt is megszorozza ugyanazzal a számmal vagy kifejezéssel (a nullától eltérő), akkor a közönséges tört értéke nem változik. Ennek a szabálynak egy speciális esete a kifejezés mindkét részének felosztása ugyanarra a számra vagy polinomra. Az ilyen transzformációkat azonos egyenlőségeknek nevezzük.

Az alábbiakban megvizsgáljuk, hogyan lehet megoldani az algebrai törtek összeadását és kivonását, a törtek szorzását, osztását és redukálását.

Matematikai műveletek törtekkel

Fontolja meg, hogyan oldja meg az algebrai tört fő tulajdonságát, hogyan alkalmazza a gyakorlatban. Ha két törtet kell szorozni, összeadni, osztani vagy ki kell venni, akkor mindig be kell tartani a szabályokat.

Tehát az összeadás és kivonás műveletéhez további tényezőt kell találni, hogy a kifejezéseket közös nevezőre hozzuk. Ha kezdetben a törteket ugyanazokkal a Q kifejezésekkel adjuk meg, akkor ezt az elemet ki kell hagyni. Ha megtaláltuk a közös nevezőt, hogyan kell megoldani az algebrai törteket? Számlálók összeadása vagy kivonása. De! Emlékeztetni kell arra, hogy ha a tört előtt van egy „-” jel, akkor a számlálóban minden jel megfordul. Néha nem szabad semmilyen helyettesítést és matematikai műveletet végrehajtani. Elég a tört előtti jelet megváltoztatni.

A kifejezést gyakran úgy használják frakciócsökkentés. Ez a következőket jelenti: ha a számlálót és a nevezőt nem egységnyi kifejezéssel osztjuk el (mindkét részre ugyanaz), akkor új tört keletkezik. Az osztó és az osztó kisebb, mint korábban, de a törtek alapszabálya miatt megegyezik az eredeti példával.

Ennek a műveletnek az a célja, hogy egy új irreducibilis kifejezést kapjunk. Döntsd el ez a feladat lehetséges, ha a számlálót és a nevezőt a legnagyobbra csökkentjük közös osztó. A műveleti algoritmus két pontból áll:

1. A GCD megkeresése egy tört mindkét részére.
2. A számlálót és a nevezőt elosztjuk a talált kifejezéssel, és az előzővel megegyező irreducibilis törtet kapunk.

Az alábbi táblázat a képleteket mutatja. A kényelem kedvéért kinyomtathatja, és magával viheti egy notebookban. Ahhoz azonban, hogy a jövőben egy teszt vagy vizsga megoldásakor ne legyen nehézség az algebrai törtek megoldásának kérdésében, ezeket a képleteket fejből kell megtanulni.

Néhány példa megoldásokkal

Elméleti szempontból megvizsgáljuk az algebrai törtek megoldásának kérdését. A cikkben szereplő példák segítenek az anyag jobb megértésében.

1. Alakítsa át a törteket, és hozza őket közös nevezőre.

2. Alakítsa át a törteket és hozza őket közös nevezőre.

Az elméleti rész áttanulmányozása és a gyakorlati kérdések átgondolása után több kérdés nem merülhet fel.

Miután megkaptuk a kezdeti információkat a törtekről, térjünk át az algebrai törtekkel végzett műveletekre. Ezekkel bármilyen műveletet végrehajthat a hatványozásig. Amikor végrehajtjuk őket, egy algebrai törthez jutunk. Minden pontot egymás után kell elemezni.

Az algebrai törtekkel végzett műveletek hasonlóak a közönséges törtekkel végzett műveletekhez. Ezért érdemes megjegyezni, hogy a szabályok ugyanazok a velük végzett műveletekre.

Algebrai törtek összeadása

Az összeadás két esetben hajtható végre: azonos nevezőkkel, eltérő nevezőkkel.

Ha azonos nevezőjű törteket kell összeadnia, akkor hozzá kell adnia a számlálókat, és a nevezőt változatlanul kell hagynia. Ez a szabály lehetővé teszi a számlálókban szereplő törtek és polinomok összeadását. Ezt értjük

a 2 + a b a b - 5 + 2 a b + 3 a b - 5 + 2 b 4 - 4 a b - 5 = a 2 + a b + 2 a b + 3 + 2 b 4 - 4 a b - 5 = = a 2 + 3 a b - 1 + 2 b 4 a b - 5

Ha egy tört számlálói különböző számlálókkal rendelkeznek, akkor alkalmazni kell a szabályt: használjon csökkentést egy közös nevezőre, adja hozzá a kapott törteket.

1. példa

Hozzá kell adni az x x 2 - 1 és a 3 x 2 - x törteket

Megoldás

Az x 2 x x - 1 x + 1 és a 3 x + 3 x (x - 1) (x + 1) formájú közös nevezőre redukálunk.

Végezzük el az összeadást, és megkapjuk

x 2 x (x - 1) (x + 1) + 3 x + 3 x (x - 1) (x + 1) = x 2 + 3 x + 3 x (x - 1) (x + 1) = x 2 + 3 x + 3 x 3 - x

Válasz: x 2 + 3 x + 3 x 3 - x

Az ilyen törtek összeadásáról és kivonásáról szóló cikk részletes információkat tartalmaz, amelyek részletesen leírják a törtekkel végrehajtott műveleteket. Az összeadás során összehúzódó frakció jelenhet meg.

Kivonás

A kivonás ugyanúgy történik, mint az összeadás. Azonos nevezők esetén a műveletek csak a számlálóban hajthatók végre, a nevező változatlan marad. Különböző nevezőkkel történik a redukálás egy közösre. Csak ezután kezdheti el a számításokat.

2. példa

Térjünk át az a + 5 a 2 + 2 és az 1 - 2 a 2 + a a 2 + 2 törtek kivonására.

Megoldás

Látható, hogy a nevezők azonosak, ami azt jelenti, hogy a + 5 a 2 + 2 - 1 - 2 a 2 + a a 2 + 2 = a + 5 - (1 - 2 a 2 + a) a 2 + 2 = 2 a 2 + 4 a 2 + 2 .

Csökkentsük a 2 a 2 + 4 a 2 + 2 = 2 a 2 + 2 a 2 + 2 = 2 törtet.

Válasz: 2

3. példa

Vonjunk ki 4 5 · x-et és 3 x - 1-et.

Megoldás

A nevezők különbözőek, ezért közös 5 x (x - 1)-re redukálunk, így 4 5 x = 4 x - 1 5 x (x - 1) = 4 x - 4 5 x (x - 1) és 3 x - 1 = 3 5 x (x - 1) 5 x = 15 x 5 x (x - 1) .

Most pedig hajtsuk végre

4 5 x - 3 x - 1 = 4 x - 4 5 x (x - 1) - 15 x 5 x (x - 1) = 4 x - 4 - 15 x 5 x (x - 1) = = - 4 - 11 x 5 x (x - 1) = - 4 - 11 x 5 x 2 - 5 x

Válasz: - 4 - 11 x 5 x 2 - 5 x

Részletes információkat az algebrai törtek összeadásáról és kivonásáról szóló cikk tartalmaz.

Algebrai törtek szorzása

A törtekkel a szorzás a közönséges törtek szorzásához hasonlóan végezhető: a törtek szorzásához külön-külön kell szorozni a számlálókat és a nevezőket.

Vegyünk egy példát egy ilyen tervre.

4. példa

A szabályból 2 x + 2-t x - x y y-val megszorozva azt kapjuk, hogy 2 x + 2 x - x y y = 2 (x - x y) (x + 2) y .

Most transzformációkat kell végrehajtania, vagyis meg kell szoroznia a monomit a polinommal. Ezt értjük

2 x - x y (x + 2) y = 2 x - 2 x y x y + 2 y

A törtet először polinomokra kell bontani a tört egyszerűsítése érdekében. Ezt követően csökkentést végezhet. Nálunk ez van

2 x 3 - 8 x 3 x y - y 6 y 5 x 2 + 2 x = 2 x (x - 2) (x + 2) y (3 x - 1 ) 6 y 5 x (x + 2) = = 2 x (x - 2) (x + 2) 6 y 5 y (3 x - 1) x x + 2 = 12 (x - 2) y 4 3 x - 1 = 12 x y 4 - 24 y 4 3 x - 1

Ennek a műveletnek a részletes ismertetése a törtek szorzása és osztása című cikkben található.

Osztály

Tekintsük az osztást algebrai törtekkel. Alkalmazzuk a szabályt: a törtek osztásához meg kell szorozni az elsőt a második reciprokával.

Az a tört, amely egy adott reciprokja, olyan tört, amelynek számlálója és nevezője felcserélődött. Vagyis ezt a törtet reciproknak nevezzük.

Vegyünk egy példát.

5. példa

Végezze el az osztást x 2 - x y 9 y 2: 2 x 3 y .

Megoldás

Ekkor az inverz 2 · x 3 · y tört 3 · y 2 · x-ként lesz felírva. Tehát azt kapjuk, hogy x 2 - x y 9 y 2: 2 x 3 y = x 2 - x y 9 y 2 3 y 2 x = x x - y 3 y 9 y 2 2 x = x - y 6 y .

Válasz: x 2 - x y 9 y 2: 2 x 3 y = x - y 6 y

Algebrai tört hatványra emelése

Ha van természetes erő, akkor a cselekvés szabályát kell alkalmazni a természetes erőre emeléssel. Az ilyen számításoknál a szabályt használjuk: hatványra emeléskor a számlálót és a nevezőt külön kell emelni a hatványra, majd fel kell írni az eredményt.

6. példa

Tekintsük a 2 · x x - y tört példáját. Ha 2-vel egyenlő hatványra kell emelni, akkor a következő műveleteket hajtjuk végre: 2 x x - y 2 = 2 x 2 (x - y) 2 . Ezután a kapott monomit hatványra emeljük. A lépések elvégzése után azt kapjuk, hogy a törtek 4 x 2 x 2 - 2 x x y + y 2 alakot öltik.

Az ilyen példák részletes megoldását az algebrai tört hatványra emeléséről szóló cikk tárgyalja.

Ha tört fokával dolgozik, emlékezni kell arra, hogy a számlálót és a nevezőt külön-külön hatványra emeljük. Ez nagymértékben leegyszerűsíti a tört megoldásának folyamatát és tovább egyszerűsíti. Érdemes odafigyelni a diploma előtti táblára. Ha van mínusz jel, akkor ezt a törtet meg kell fordítani a számítás megkönnyítése érdekében.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt