A koordinátatengelyen lévő szakasz hosszát a következő képlet határozza meg:

A koordinátasíkon lévő szakasz hosszát a következő képlettel keressük:

Egy háromdimenziós koordinátarendszerben egy szakasz hosszának meghatározásához a következő képletet kell használni:

A szakasz közepének koordinátáit (a koordinátatengelyre csak az első képletet használják, a koordinátasíkra - az első két képletet, a háromdimenziós koordinátarendszerre - mindhárom képletet) a képletekkel számítják ki:

Funkció az űrlap megfelelése y= f(x) változók között, ami miatt minden egyes figyelembe vett értéke néhány változó x(argumentum vagy független változó) egy másik változó egy bizonyos értékének felel meg, y(függő változó, néha ezt az értéket egyszerűen a függvény értékének nevezik). Vegye figyelembe, hogy a függvény az argumentum egy értékét feltételezi x a függő változónak csak egy értéke lehet nál nél. Ugyanakkor ugyanaz az érték nál nél különféle változatokkal beszerezhető x.

Funkció hatóköre a független változó összes értéke (általában a függvény argumentuma x), amelyre a függvény definiálva van, azaz. jelentése létezik. Meg van adva a definíció tartománya D(y). Nagyjából Ön már ismeri ezt a fogalmat. Egy függvény hatókörét más néven érvényes értékek tartományának, vagy ODZ-nek hívják, amelyet már régóta meg tud találni.

Funkció tartomány a függvény függő változójának összes lehetséges értéke. Jelölve E(nál nél).

A funkció emelkedik azon az intervallumon, amelyen az argumentum nagyobb értéke a függvény nagyobb értékének felel meg. Funkció csökken azon az intervallumon, amelyen az argumentum nagyobb értéke a függvény kisebb értékének felel meg.

Funkcióintervallumok a független változó azon intervallumai, amelyeknél a függő változó megtartja pozitív vagy negatív előjelét.

Funkció nullák az argumentum azon értékei, amelyeknél a függvény értéke nulla. Ezeken a pontokon a függvény grafikonja metszi az abszcissza tengelyt (OX tengely). Nagyon gyakran egy függvény nulláinak megtalálása az egyenlet egyszerű megoldását jelenti. Ezenkívül gyakran az állandó előjelű intervallumok keresésének szükségessége azt jelenti, hogy egyszerűen meg kell oldani az egyenlőtlenséget.

Funkció y = f(x) hívják még x

Ez azt jelenti, hogy az argumentum bármely ellentétes értéke esetén az értékeket páros funkció egyenlőek. A páros függvény grafikonja mindig szimmetrikus a műveleti erősítő y tengelyére.

Funkció y = f(x) hívják páratlan, ha szimmetrikus halmazon van definiálva és bármely x a definíció tartományából az egyenlőség teljesül:

Ez azt jelenti, hogy az argumentum bármely ellentétes értéke esetén az értékeket páratlan függvény ellentétesek is. A páratlan függvény grafikonja mindig szimmetrikus az origóra.

A páros és páratlan függvények (az OX abszcissza tengely metszéspontjai) gyökeinek összege mindig nulla, mert minden pozitív gyökérre x számla negatív gyök –x.

Fontos megjegyezni, hogy néhány függvénynek nem kell párosnak vagy páratlannak lennie. Sok olyan függvény van, amely nem páros és nem páratlan. Az ilyen függvényeket ún funkciókat Általános nézet , és a fenti egyenlőségek vagy tulajdonságok egyike sem áll fenn rájuk.

Lineáris függvény függvénynek nevezzük, amely a következő képlettel adható meg:

Egy lineáris függvény grafikonja egy egyenes, és általános esetben így néz ki (egy példa arra az esetre, amikor k> 0, ebben az esetben a függvény növekszik; az alkalomra k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

A másodfokú függvény grafikonja (parabola)

A parabola grafikonját egy másodfokú függvénnyel adjuk meg:

A másodfokú függvény, mint minden más függvény, az OX tengelyt azokban a pontokban metszi, amelyek a gyökerei: ( x 1; 0) és ( x 2; 0). Ha nincsenek gyökök, akkor a másodfokú függvény nem metszi az OX tengelyt, ha van egy gyök, akkor ezen a ponton ( x 0; 0) a másodfokú függvény csak érinti az OX tengelyt, de nem metszi azt. A másodfokú függvény mindig egy pontban metszi az OY tengelyt, melynek koordinátái: (0; c). Menetrend másodfokú függvény(parabola) így nézhet ki (az ábrán olyan példák láthatók, amelyek nem merítik ki az összes lehetséges parabolatípust):

Ahol:

• ha az együttható a> 0, a függvényben y = fejsze 2 + bx + c, akkor a parabola ágai felfelé irányulnak;
• ha a < 0, то ветви параболы направлены вниз.

A parabola csúcskoordinátái a következő képletekkel számíthatók ki. X felsők (p- a fenti ábrákon) egy parabola (vagy az a pont, ahol a négyzetháromtag eléri maximális vagy minimális értékét):

Y felsők (q- a fenti ábrákon) egy parabola vagy a maximum, ha a parabola ágai lefelé irányulnak ( a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a> 0), érték négyzetes trinomikus:

Egyéb függvények grafikonjai

teljesítmény funkció

Íme néhány példa a hatványfüggvények grafikonjaira:

Fordítottan arányos függőség hívja meg a képlettel megadott függvényt:

A szám előjelétől függően k Egy fordítottan arányos gráfnak két alapvető lehetősége lehet:

Aszimptota az az egyenes, amelyhez a függvény grafikonjának egyenese végtelenül közelít, de nem metszi egymást. Grafikonok aszimptotái fordított arányosság a fenti ábrán láthatók azok a koordinátatengelyek, amelyekhez a függvény grafikonja végtelenül közelít, de nem metszi őket.

exponenciális függvény alappal A hívja meg a képlettel megadott függvényt:

a egy exponenciális függvény grafikonjának két alapvető lehetősége lehet (adunk példákat is, lásd alább):

logaritmikus függvény hívja meg a képlettel megadott függvényt:

Attól függően, hogy a szám nagyobb vagy kisebb egynél a A logaritmikus függvény grafikonjának két alapvető lehetősége lehet:

Függvénygrafikon y = |x| alábbiak szerint:

Periodikus (trigonometrikus) függvények grafikonjai

Funkció nál nél = f(x) nak, nek hívják időszakos, ha létezik ilyen nem nulla szám T, Mit f(x + T) = f(x), bárkinek x kívül esik a funkció hatókörén f(x). Ha a funkció f(x) periodikus a ponttal T, akkor a függvény:

Ahol: A, k, bállandó számok, és k nem egyenlő nullával, periodikus is ponttal T 1 , amelyet a következő képlet határoz meg:

A periodikus függvények legtöbb példája trigonometrikus függvény. Itt vannak a fő grafikonjai trigonometrikus függvények. A következő ábra a függvény grafikonjának egy részét mutatja y= bűn x(a teljes gráf végtelenségig folytatódik balra és jobbra), a függvény grafikonja y= bűn x hívott szinuszos:

Függvénygrafikon y= cos x hívott koszinusz hullám. Ez a grafikon a következő ábrán látható. A szinusz grafikonja óta korlátlanul folytatódik az OX tengely mentén balra és jobbra:

Függvénygrafikon y=tg x hívott tangentoid. Ez a grafikon a következő ábrán látható. Más periodikus függvények grafikonjaihoz hasonlóan ez a grafikon is korlátlanul ismétlődik az OX tengely mentén balra és jobbra.

És végül a függvény grafikonja y=ctg x hívott kotangentoid. Ez a grafikon a következő ábrán látható. Más periodikus és trigonometrikus függvények grafikonjaihoz hasonlóan ez a gráf korlátlanul ismétlődik az OX tengely mentén balra és jobbra.

Tanuljon meg minden képletet és törvényt a fizikában, valamint képleteket és módszereket a matematikában. Valójában ezt is nagyon egyszerű megtenni, a fizikában csak körülbelül 200 szükséges képlet van, a matematikában pedig még egy kicsit kevesebb. Mindegyik tantárgyban körülbelül egy tucat standard módszer található az alapvető bonyolultságú problémák megoldására, amelyek megtanulhatók is, és így teljesen automatikusan és nehézségek nélkül, a megfelelő időben megoldják a digitális átalakulás nagy részét. Ezután már csak a legnehezebb feladatokra kell gondolnia.

Vegyen részt a fizika és a matematika próbatételének mindhárom szakaszában. Mindegyik RT kétszer látogatható mindkét lehetőség megoldásához. A CT-n ismét a gyors és hatékony problémamegoldó képesség, a képletek és módszerek ismerete mellett szükséges az idő megfelelő tervezése, az erők elosztása, és legfőképpen a válaszlap helyes kitöltése anélkül, hogy összekeverné a válaszok és feladatok számát, vagy a saját nevét. Emellett az RT során fontos megszokni a feladatokban a kérdések feltevésének stílusát, ami a DT-n egy felkészületlen ember számára nagyon szokatlannak tűnhet.

Ennek a három pontnak a sikeres, szorgalmas és felelősségteljes megvalósítása lehetővé teszi, hogy a CT-n kiváló eredményt mutasson, a maximumot, amire képes.

Hibát talált?

Ha úgy gondolja, hogy hibát talált képzési anyagok, majd írj, kérlek, erről mailben. Bejelentheti a hibát is közösségi háló(). A levélben tüntesse fel a tantárgyat (fizika vagy matematika), a téma vagy teszt megnevezését vagy számát, a feladat számát, vagy azt a helyet a szövegben (oldal), ahol Ön szerint hiba található. Írja le azt is, hogy mi az állítólagos hiba. Levele nem marad észrevétlen, a hibát vagy kijavítják, vagy elmagyarázzák, miért nem tévedésről van szó.

1. Lineáris törtfüggvény és grafikonja

Az y = P(x) / Q(x) alakú függvényt, ahol P(x) és Q(x) polinomok, tört racionális függvénynek nevezzük.

Valószínűleg már ismeri a racionális számok fogalmát. Hasonlóképpen racionális függvények olyan függvények, amelyek két polinom hányadosaként ábrázolhatók.

Ha egy tört racionális függvény két lineáris függvény - elsőfokú polinomok - hányadosa, azaz. nézet funkció

y = (ax + b) / (cx + d), akkor ezt tört lineárisnak nevezzük.

Figyeljük meg, hogy az y = (ax + b) / (cx + d) függvényben c ≠ 0 (egyébként a függvény lineárissá válik y = ax/d + b/d) és hogy a/c ≠ b/d (egyébként a függvény állandó). A lineáris-tört függvény minden valós számra definiálva van, kivéve x = -d/c. A lineáris-törtfüggvények grafikonjai formailag nem különböznek az általunk ismert y = 1/x gráftól. Meghívjuk azt a görbét, amely az y = 1/x függvény grafikonja túlzás. Ha x abszolút értékben korlátlanul nő, az y = 1/x függvény abszolút értékben korlátlanul csökken, és a grafikon mindkét ága megközelíti az abszcissza tengelyt: a jobb felülről, a bal pedig alulról. A hiperbola ágai által megközelített vonalakat annak nevezzük aszimptoták.

1. példa

y = (2x + 1) / (x - 3).

Megoldás.

Jelöljük ki az egész részt: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).

Most könnyen belátható, hogy ennek a függvénynek a grafikonját az y = 1/x függvény grafikonjából kapjuk a következő transzformációkkal: eltolás 3 egységnyi szegmenssel jobbra, nyújtás az Oy tengely mentén 7-szeresre és eltolás 2 egységszegmenssel felfelé.

Bármely y = (ax + b) / (cx + d) tört ugyanúgy felírható, kiemelve az „egész részt”. Következésképpen az összes lineáris-törtfüggvény grafikonja a koordinátatengelyek mentén különféle módon eltolt és az Oy tengely mentén kifeszített hiperbolák.

Egy tetszőleges lineáris-tört függvény grafikonjának ábrázolásához egyáltalán nem szükséges a függvényt meghatározó tört transzformációja. Mivel tudjuk, hogy a gráf hiperbola, elég lesz megtalálni azokat az egyeneseket, amelyekhez az ágai közelítenek - az x = -d/c és y = a/c hiperbola-aszimptotákat.

2. példa

Keresse meg az y = (3x + 5)/(2x + 2) függvény gráfjának aszimptotáit!

Megoldás.

A függvény nincs definiálva, ha x = -1. Ezért az x = -1 egyenes függőleges aszimptotaként szolgál. A vízszintes aszimptota megtalálásához nézzük meg, hogy az y(x) függvény értékei mihez közelednek, amikor az x argumentum abszolút értékben nő.

Ehhez elosztjuk a tört számlálóját és nevezőjét x-szel:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Mint x → ∞, a tört 3/2-re hajlik. Ezért a vízszintes aszimptota az y = 3/2 egyenes.

3. példa

Ábrázolja az y = (2x + 1)/(x + 1) függvényt!

Megoldás.

Kiválasztjuk a tört „egész részét”:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2 (x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Most már könnyen belátható, hogy ennek a függvénynek a grafikonját az y = 1/x függvény grafikonjából kapjuk a következő transzformációkkal: 1 egységnyi eltolás balra, szimmetrikus megjelenítés az Ox-hoz képest, és 2 egységnyi intervallumnyi eltolás felfelé az Oy tengely mentén.

Definíciós tartomány D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

ÉrtéktartományE(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Metszéspontok tengelyekkel: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). A függvény a definíciós tartomány mindegyik intervallumán növekszik.

Válasz: 1. ábra.

2. Tört-racionális függvény

Tekintsünk egy y = P(x) / Q(x) alakú tört racionális függvényt, ahol P(x) és Q(x) az elsőnél magasabb fokú polinomok.

Példák ilyen racionális függvényekre:

y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) vagy y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Ha az y = P(x) / Q(x) függvény két, az elsőnél magasabb fokszámú polinom hányadosa, akkor a gráfja általában bonyolultabb lesz, és néha nehéz lehet pontosan megépíteni, minden részlettel együtt. Azonban gyakran elég azokhoz hasonló technikákat alkalmazni, amelyekkel fentebb már találkoztunk.

Legyen a tört megfelelő (n< m). Известно, что любую несократимую racionális törtábrázolható, ráadásul egyedi módon, véges számú elemi tört összegeként, amelynek formáját a Q(x) tört nevezőjének valós tényezők szorzatára való kiterjesztésével határozzuk meg:

P(x) / Q(x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) + ... +

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

Nyilvánvaló, hogy egy tört racionális függvény grafikonja megkapható elemi törtek grafikonjainak összegeként.

Tört racionális függvények ábrázolása

Tekintsünk több módot egy tört-racionális függvény ábrázolására.

4. példa

Ábrázoljuk az y = 1/x 2 függvényt.

Megoldás.

Az y \u003d x 2 függvény grafikonját használjuk az y \u003d 1 / x 2 grafikon ábrázolásához, és a grafikonok „osztásának” módszerét használjuk.

D(y) tartomány = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Értéktartomány E(y) = (0; +∞).

Nincsenek metszéspontok a tengelyekkel. A funkció egyenletes. Növekszik minden x-re a (-∞; 0) intervallumból, x esetén csökken 0-tól +∞-ig.

Válasz: 2. ábra.

5. példa

Ábrázolja az y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) függvényt.

Megoldás.

D(y) tartomány = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \u003d -x / 3 + 1/3.

Itt a faktoring, redukció és lineáris függvényre redukció technikáját alkalmaztuk.

Válasz: 3. ábra.

6. példa

Ábrázolja az y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) függvényt.

Megoldás.

A definíciós tartomány D(y) = R. Mivel a függvény páros, a gráf szimmetrikus az y tengelyre. Az ábrázolás előtt ismét átalakítjuk a kifejezést az egész rész kiemelésével:

y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).

Figyeljük meg, hogy a tört-racionális függvény képletében az egész rész kiválasztása az egyik legfontosabb a grafikonok ábrázolásakor.

Ha x → ±∞, akkor y → 1, azaz, az y = 1 egyenes vízszintes aszimptota.

Válasz: 4. ábra.

7. példa

Tekintsük az y = x/(x 2 + 1) függvényt, és próbáljuk meg pontosan megtalálni a legnagyobb értékét, pl. a legtöbb csúcspont a grafikon jobb fele. Ennek a grafikonnak a pontos felépítéséhez a mai tudás nem elegendő. Nyilvánvaló, hogy a görbénk nem "kúszhat" nagyon magasra, hiszen a nevező gyorsan elkezdi „előzni” a számlálót. Nézzük meg, hogy a függvény értéke egyenlő lehet-e 1-gyel. Ehhez meg kell oldani az x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0 egyenletet. Ennek az egyenletnek nincs valódi gyökere. Tehát a feltevésünk téves. Hogy megtalálja a legtöbbet nagyon fontos függvény, meg kell találnia, hogy melyik legnagyobb A-ra lesz megoldása az A \u003d x / (x 2 + 1) egyenletnek. Cseréljük ki az eredeti egyenletet másodfokúra: Ax 2 - x + A = 0. Ennek az egyenletnek van megoldása, ha 1 - 4A 2 ≥ 0. legmagasabb érték A = 1/2.

Válasz: 5. ábra, max y(x) = ½.

Van kérdésed? Nem tudja, hogyan kell függvénygrafikonokat készíteni?
Ha oktatói segítséget szeretne kérni - regisztráljon.
Az első óra ingyenes!

oldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.

Meghatározás: A numerikus függvény egy olyan megfelelés, amely egy adott halmazból leképez minden x számra egyedülálló y.

Kijelölés:

ahol x egy független változó (argumentum), y egy függő változó (függvény). Az x értékkészletet a függvény tartományának nevezzük (jelölése D(f)). Az y értékkészletet a függvény tartományának nevezzük (E(f)-vel jelölve). Egy függvény grafikonja a síkban lévő pontok halmaza (x, f(x))

A funkció beállításának módjai.

1. analitikai módszer (matematikai képlet használatával);
2. táblázatos módszer (táblázat használatával);
3. leíró módszer (szóbeli leírás használatával);
4. grafikus módszer (grafikon használatával).

A függvény alapvető tulajdonságai.

1. Páros és páratlan

Egy függvényt akkor is hívunk, ha
– a függvény definíciós tartománya szimmetrikus a nullához képest
f(-x) = f(x)

A páros függvény grafikonja szimmetrikus a tengelyre 0y

Egy függvényt páratlannak nevezünk, ha
– a függvény definíciós tartománya szimmetrikus a nullához képest
– bármely x-re a definíciós tartományból f(-x) = -f(x)

Egy páratlan függvény grafikonja szimmetrikus az origóra.

2. Periodikus

Az f(x) függvényt periodikusnak nevezzük periódussal, ha bármely x esetén a definíciós tartományból f(x) = f(x+T) = f(x-T) .

Egy periodikus függvény gráfja végtelenül ismétlődő azonos töredékekből áll.

3. Monotonitás (növekedés, csökkenés)

Az f(x) függvény növekszik a P halmazon, ha bármely x 1 és x 2 esetén ebből a halmazból, úgy, hogy x 1

Az f(x) függvény a P halmazon csökken, ha bármely x 1 és x 2 esetén ebből a halmazból, úgy, hogy x 1 f(x 2) .

4. Szélsőségek

Az X max pontot az f (x) függvény maximumpontjának nevezzük, ha valamelyik X max szomszédságból származó összes x-re teljesül az f (x) f (X max) egyenlőtlenség.

Az Y max =f(X max) értéket a függvény maximumának nevezzük.

X max - maximális pont
Maxnek van maximuma

Az X min pontot az f (x) függvény minimumpontjának nevezzük, ha valamely X min szomszédságból származó összes x-re teljesül az f (x) f (X min) egyenlőtlenség.

Az Y min =f(X min) értékét a függvény minimumának nevezzük.

X min - minimum pont
Y min - minimum

X min , X max - szélsőpontok
Y min , Y max - extrémák.

5. Funkció nullák

Az y = f(x) függvény nullája az x argumentum értéke, amelynél a függvény eltűnik: f(x) = 0.

X 1, X 2, X 3 az y = f(x) függvény nullái.

Feladatok és tesztek a "Függvény alapvető tulajdonságai" témában

• Funkció tulajdonságai - Numerikus függvények 9. évfolyam

  Leckék: 2 Feladatok: 11 Feladat: 1

• A logaritmusok tulajdonságai - Exponenciális és logaritmikus függvények 11. évfolyam

  Leckék: 2 Feladatok: 14 Tesztek: 1

• Négyzetgyök függvény, tulajdonságai és grafikonja - Funkció négyzetgyök. Négyzetgyök tulajdonságai 8. fokozat

  Leckék: 1 Feladatok: 9 Feladat: 1

• Funkciók - A matematika vizsgaismétlésének fontos témakörei

  Feladatok: 24

• Hatványfüggvények, tulajdonságaik és grafikonjai - Fokozatok és gyökerek. Teljesítményfunkciók 11. évfolyam

  Leckék: 4 Feladatok: 14 Tesztek: 1

A téma tanulmányozása után meg kell találnia a domaint különféle funkciókat, határozza meg grafikonok segítségével egy függvény monotonitási intervallumait, vizsgálja meg a függvények párosságát és páratlanságát. Tekintsük az ilyen problémák megoldását a következő példákon.

Példák.

1. Keresse meg a függvény tartományát.

Megoldás: a függvény hatókörét a feltételből találjuk meg

ezért az f(x) függvény páros.

Válasz: még.

D(f) = [-1; 1] szimmetrikus a nullához képest.

2)

ezért a függvény se nem páros, se nem páratlan.

Válasz: se páros, se páros.

Nemzeti Kutató Egyetem

Alkalmazott Földtani Tanszék

Esszé a felsőbb matematikáról

A témában: "Alapvető elemi funkciók,

tulajdonságaik és grafikonjaik"

Elkészült:

Ellenőrizve:

tanár

Meghatározás. Az y=a x képlettel adott függvényt (ahol a>0, a≠1) hívjuk exponenciális függvény alappal a.

Fogalmazzuk meg az exponenciális függvény főbb tulajdonságait:

1. A definíciós tartomány az összes valós szám halmaza (R).

2. Az értéktartomány az összes pozitív valós szám halmaza (R+).

3. Ha a > 1, a függvény a teljes valós vonalon növekszik; 0-nál<а<1 функция убывает.

4. Általános funkció.

, az xн intervallumon [-3;3]
, az xн intervallumon [-3;3]

Az y(х)=х n alakú függvényt, ahol n az ОR szám, hatványfüggvénynek nevezzük. Az n szám különböző értéket vehet fel: egész és tört, páros és páratlan értéket egyaránt. Ettől függően a teljesítmény függvény más formát ölt. Vegye figyelembe az olyan speciális eseteket, amelyek energiaszámok, és tükrözik az ilyen típusú görbék fő tulajdonságait a következő sorrendben: Y = X² teljesítményfüggvény (egy függvény egyenletes exponenssel - egy parabola), egy y = x³ teljesítményfüggvény (egy függvény, amely egy furcsa exponenssel - egy köbös parabola) és az y = √x függvény (x egy ½ függvény).

Teljesítmény funkció y=x²

1. D(x)=R – a függvény a teljes numerikus tengelyen definiálva van;

2. E(y)= és növekszik az intervallumon

Teljesítmény funkció y=x³

1. Az y \u003d x³ függvény grafikonját köbös parabolának nevezzük. Az y=x³ hatványfüggvény a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

2. D(x)=R – a függvény a teljes numerikus tengelyen definiálva van;

3. E(y)=(-∞;∞) – a függvény minden értéket felvesz a definíciós tartományában;

4. Ha x=0 y=0 – a függvény áthalad az O(0;0) origón.

5. A függvény a teljes definíciós tartományban növekszik.

6. A függvény páratlan (szimmetrikus az origóra).

, az xн intervallumon [-3;3]

Az x³ előtti számtényezőtől függően a függvény lehet meredek / lapos és növelő / csökkenő.

Hatványfüggvény egész negatív kitevővel:

Ha az n kitevő páratlan, akkor egy ilyen hatványfüggvény grafikonját hiperbolának nevezzük. A negatív egész kitevővel rendelkező hatványfüggvény a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) bármely n esetén;

2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), ha n páratlan szám; E(y)=(0;∞) ha n páros szám;

3. A függvény a teljes definíciós tartományban csökken, ha n páratlan szám; a függvény a (-∞;0) intervallumon növekszik és a (0;∞) intervallumon csökken, ha n páros szám.

4. A függvény páratlan (szimmetrikus az origóra), ha n páratlan szám; egy függvény páros, ha n páros szám.

5. A függvény átmegy az (1;1) és (-1;-1) pontokon, ha n páratlan szám, valamint az (1;1) és (-1;1) pontokon, ha n páros szám.

, az xн intervallumon [-3;3]

Hatványfüggvény tört kitevővel

Az alak törtkitevőjű hatványfüggvény (kép) rendelkezik az ábrán látható függvény grafikonjával. A tört kitevővel rendelkező hatványfüggvény a következő tulajdonságokkal rendelkezik: (kép)

1. D(x) нR, ha n páratlan szám és D(x)=
, az xн intervallumon
, az xн intervallumon [-3;3]

Az y \u003d log a x logaritmikus függvény a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

1. D(x)н (0; + ∞) definíciós tartománya.

2. ÉrtéktartományE(y) О (- ∞; + ∞)

3. A függvény nem páros és nem páratlan (általános).

4. A függvény a (0; + ∞) intervallumon növekszik, ha a > 1, és csökken (0; + ∞) ha 0< а < 1.

Az y = log a x függvény grafikonját az y = a x függvény grafikonjából kaphatjuk meg az y = x egyenesre vonatkozó szimmetriatranszformáció segítségével. A 9. ábrán a > 1 logaritmikus függvény diagramja, a 10. ábrán pedig 0 esetén látható.< a < 1.

; az xО intervallumon
; az xО intervallumon

Az y \u003d sin x, y \u003d cos x, y \u003d tg x, y \u003d ctg x függvényeket trigonometrikus függvényeknek nevezzük.

Az y \u003d sin x, y \u003d tg x, y \u003d ctg x függvények páratlanok, az y \u003d cos x függvények pedig párosak.

y függvény \u003d sin (x).

1. D(x) ОR definíciós terület.

2. Értéktartomány E(y) О [ - 1; 1].

3. A függvény periodikus; a főperiódus 2π.

4. A függvény páratlan.

5. A függvény növekszik a [ -π/2 + 2πn intervallumokon; π/2 + 2πn] és a [ π/2 + 2πn intervallumokon csökken; 3π/2 + 2πn], n О Z.

Az y \u003d sin (x) függvény grafikonja a 11. ábrán látható.