Tehát, ha egy numerikus kifejezés számokból és +, −, · és: jelekből áll, akkor balról jobbra haladva először el kell végeznie a szorzást és az osztást, majd az összeadást és a kivonást, amely lehetővé teszi a kívánt megtalálását. a kifejezés értéke.

Nézzünk néhány példát a tisztázás érdekében.

Példa.

Számítsa ki a 14−2·15:6−3 kifejezés értékét!

Megoldás.

Egy kifejezés értékének megtalálásához végre kell hajtania a benne meghatározott összes műveletet az elfogadott végrehajtási sorrendnek megfelelően. Először balról jobbra sorrendben hajtjuk végre a szorzást és az osztást, megkapjuk 14-2 15:6-3=14-30:6-3=14-5-3. Most balról jobbra haladva végezzük el a fennmaradó műveleteket: 14−5−3=9−3=6 . Így megtaláltuk az eredeti kifejezés értékét, amely egyenlő 6-tal.

Válasz:

14−2 15:6−3=6 .

Példa.

Keresse meg a kifejezés értékét.

Megoldás.

Ebben a példában először a 2 (−7) szorzást és a szorzással való osztást kell végrehajtanunk a kifejezésben. Emlékezve hogyan , azt találjuk, hogy 2 (−7)=−14 . És először műveletek végrehajtása a kifejezésben , akkor , és hajtsa végre: .

A kapott értékeket behelyettesítjük az eredeti kifejezésbe: .

De mi van akkor, ha a gyökérjel alatt numerikus kifejezés található? Egy ilyen gyökér értékének meghatározásához először meg kell találnia a gyökérkifejezés értékét, követve az elfogadott műveleti sorrendet. Például, .

A numerikus kifejezésekben a gyököket néhány számként kell felfogni, és célszerű a gyököket azonnal lecserélni az értékükre, majd megkeresni az eredményül kapott kifejezés értékét gyök nélkül, műveleteket végrehajtva az elfogadott sorrendben.

Példa.

Keresse meg a kifejezés értékét a gyökökkel!

Megoldás.

Először keresse meg a gyökér értékét . Ehhez először kiszámítjuk a gyök kifejezés értékét −2 3−1+60:4=−6−1+15=8. Másodszor pedig megtaláljuk a gyökér értékét.

Most számítsuk ki a második gyökér értékét az eredeti kifejezésből: .

Végül megtalálhatjuk az eredeti kifejezés értékét, ha a gyököket az értékükre cseréljük: .

Válasz:

Elég gyakran ahhoz, hogy meg lehessen találni egy kifejezés értékét gyökerekkel, először át kell konvertálni. Mutassunk egy példamegoldást.

Példa.

Mi a kifejezés jelentése .

Megoldás.

A három gyökét nem tudjuk lecserélni annak pontos értékére, ami nem teszi lehetővé ennek a kifejezésnek az értékét a fent leírt módon. Ennek a kifejezésnek az értékét azonban egyszerű transzformációk végrehajtásával kiszámíthatjuk. Alkalmazható négyzetek különbségi képlete: . Figyelembe véve, megkapjuk . Tehát az eredeti kifejezés értéke 1 .

Válasz:

.

Diplomákkal

Ha az alap és a kitevő számok, akkor értéküket a fok definíciója alapján számítjuk ki, például 3 2 =3 3=9 vagy 8 −1 =1/8 . Vannak olyan bejegyzések is, amikor az alap és/vagy a kitevő néhány kifejezés. Ezekben az esetekben meg kell találni a kifejezés értékét az alapban, a kifejezés értékét a kitevőben, majd ki kell számítani magának a foknak az értékét.

Példa.

Keresse meg egy kifejezés értékét az alak hatványaival 2 3 4-10 +16 (1-1/2) 3,5-2 1/4.

Megoldás.

Az eredeti kifejezésnek két hatványa van: 2 3 4-10 és (1-1/2) 3,5-2 1/4. Értéküket a többi lépés végrehajtása előtt ki kell számítani.

Kezdjük a 2 3·4−10 hatványával. A mutatója numerikus kifejezést tartalmaz, számítsuk ki az értékét: 3·4−10=12−10=2 . Most megtalálhatja magának a fokozatnak az értékét: 2 3 4−10 =2 2 =4 .

Az alapban és a kitevőben (1-1/2) 3,5-2 1/4 vannak kifejezések, ezek értékét kiszámítjuk, hogy később megtaláljuk a fok értékét. Nekünk van (1–1/2) 3,5–2 1/4 = (1/2) 3 = 1/8.

Most visszatérünk az eredeti kifejezéshez, lecseréljük a benne lévő fokokat az értékükre, és megkeressük a szükséges kifejezés értékét: 2 3 4-10 +16 (1-1/2) 3,5-2 1/4 = 4+16 1/8=4+2=6 .

Válasz:

2 3 4-10 +16 (1-1/2) 3,5-2 1/4 =6.

Érdemes megjegyezni, hogy gyakoribbak az olyan esetek, amikor tanácsos előzetes vizsgálatot végezni a kifejezés egyszerűsítése hatáskörökkel az alapon.

Példa.

Keresse meg egy kifejezés értékét .

Megoldás.

A kifejezésben szereplő kitevők alapján a fokok pontos értékei nem szerezhetők meg. Próbáljuk meg egyszerűsíteni az eredeti kifejezést, talán segít megtalálni az értékét. Nekünk van

Válasz:

.

A kifejezésekben lévő hatványok gyakran kéz a kézben járnak a logaritmusokkal, de beszélünk arról, hogy az egyikben megtaláljuk a logaritmusokkal rendelkező kifejezések értékét.

Kifejezés értékének megtalálása törtekkel

A rekordjukban szereplő numerikus kifejezések tartalmazhatnak törteket. Ha meg kell találni egy ilyen kifejezés értékét, akkor a törtrészek nem közönséges törtek, a többi lépés végrehajtása előtt cserélje ki őket az értékükre.

A törtek számlálója és nevezője (amely különbözik a közönséges törtektől) tartalmazhat néhány számot és kifejezést is. Egy ilyen tört értékének kiszámításához ki kell számítania a kifejezés értékét a számlálóban, ki kell számítania a kifejezés értékét a nevezőben, majd magának a törtnek az értékét. Ezt a sorrendet az magyarázza, hogy az a/b tört, ahol a és b néhány kifejezés, valójában az (a):(b) alak hányadosa, hiszen .

Nézzünk egy példamegoldást.

Példa.

Keresse meg egy kifejezés értékét törtekkel .

Megoldás.

Az eredeti numerikus kifejezésben három tört És . Az eredeti kifejezés értékének meghatározásához először szükségünk van ezekre a törtekre, és helyettesítjük őket az értékükkel. Csináljuk.

A tört számlálója és nevezője számok. Egy ilyen tört értékének meghatározásához a törtsávot osztásjelre cseréljük, és végrehajtjuk a következő műveletet: .

A tört számlálója a 7−2 3 kifejezést tartalmazza, értéke könnyen megtalálható: 7−2 3=7−6=1 . És így, . Folytathatja a harmadik tört értékének meghatározását.

A számlálóban és a nevezőben a harmadik tört numerikus kifejezéseket tartalmaz, ezért először ki kell számítania azok értékét, és ez lehetővé teszi magának a tört értékének meghatározását. Nekünk van .

Marad a talált értékek behelyettesítése az eredeti kifejezésbe, és a fennmaradó lépések végrehajtása: .

Válasz:

.

Gyakran előfordul, hogy a törtekkel rendelkező kifejezések értékeinek megtalálásakor végre kell hajtani törtkifejezések egyszerűsítése, a törtekkel végzett műveletek végrehajtása és a törtek csökkentése alapján.

Példa.

Keresse meg egy kifejezés értékét .

Megoldás.

Az öt gyöke nincs teljesen kivonva, ezért az eredeti kifejezés értékének meghatározásához először egyszerűsítsük le. Ezért megszabadulni a nevezőben lévő irracionalitástól első töredék: . Ezt követően az eredeti kifejezés alakját veszi fel . A törtek kivonása után a gyökök eltűnnek, ami lehetővé teszi, hogy megtaláljuk az eredetileg megadott kifejezés értékét:.

Válasz:

.

Logaritmusokkal

Ha a numerikus kifejezés tartalmazza a -t, és ha lehetséges ezektől megszabadulni, akkor ez más műveletek végrehajtása előtt történik. Például a log 2 4+2 3 kifejezés értékének megtalálásakor a log 2 4 logaritmusát a 2 értékre cseréljük, majd a többi műveletet a szokásos sorrendben hajtjuk végre, azaz log 2 4 +2 3=2+2 3=2 +6=8 .

Ha numerikus kifejezések vannak a logaritmus előjele alatt és / vagy annak alapján, akkor először ezek értékét találják meg, majd kiszámítják a logaritmus értékét. Vegyünk például egy kifejezést az alak logaritmusával . A logaritmus alján és előjele alatt numerikus kifejezések találhatók, ezek értékeit: . Most megtaláljuk a logaritmust, ami után befejezzük a számításokat: .

Ha a logaritmusokat nem számítjuk ki pontosan, akkor annak előzetes egyszerűsítése a segítségével. Ebben az esetben jól kell ismernie a cikk anyagát. logaritmikus kifejezések transzformációja.

Példa.

Keresse meg egy kifejezés értékét logaritmusokkal .

Megoldás.

Kezdjük a log 2 kiszámításával (log 2 256) . Mivel 256=2 8 , akkor log 2 256=8 , tehát log 2 (log 2 256) = log 2 8 = log 2 2 3 =3.

A log 6 2 és log 6 3 logaritmusok csoportosíthatók. A log 6 2+log 6 3 logaritmusok összege megegyezik a log 6 (2 3) szorzat logaritmusával, tehát log 6 2+log 6 3=log 6 (2 3)=log 6 6=1.

Most foglalkozzunk a törtekkel. Először is átírjuk a logaritmus alapját a nevezőben közönséges törtként 1/5-re, majd a logaritmusok tulajdonságait használjuk, amelyek lehetővé teszik a tört értékének meghatározását:
.

Már csak a kapott eredményeket kell behelyettesíteni az eredeti kifejezésbe, és befejezni az érték megtalálását:

Válasz:

Hogyan találjuk meg a trigonometrikus kifejezés értékét?

Ha egy numerikus kifejezés tartalmaz vagy stb., akkor ezek értékét a rendszer az egyéb műveletek végrehajtása előtt kiszámítja. Ha vannak numerikus kifejezések a trigonometrikus függvények előjele alatt, akkor először ezek értékét számítják ki, majd megtalálják a trigonometrikus függvények értékeit.

Példa.

Keresse meg egy kifejezés értékét .

Megoldás.

A cikkre térve azt kapjuk és cosπ=−1 . Ezeket az értékeket behelyettesítjük az eredeti kifejezésbe, ez felveszi a formát . Az érték meghatározásához először hatványozást kell végrehajtani, majd befejezni a számításokat: .

Válasz:

.

Meg kell jegyezni, hogy a kifejezések értékének kiszámítása szinuszokkal, koszinuszokkal stb. gyakran előzetest igényel trigonometrikus expressziós transzformációk.

Példa.

Mi a trigonometrikus kifejezés értéke .

Megoldás.

Alakítsuk át az eredeti kifejezést a segítségével, ebben az esetben szükségünk van a dupla szög koszinusz képletre és az összeg koszinusz képletre:

Az elvégzett átalakítások segítettek megtalálni a kifejezés értékét.

Válasz:

.

Általános eset

Általános esetben egy numerikus kifejezés tartalmazhat gyököket, fokokat, törteket és bármilyen függvényt és zárójeleket. Az ilyen kifejezések értékeinek megtalálása a következő műveletek végrehajtásából áll:

• első gyökök, fokok, törtek stb. értékükkel helyettesítik,
• további műveletek zárójelben,
• és sorrendben balról jobbra, a fennmaradó műveletek végrehajtása - szorzás és osztás, majd összeadás és kivonás.

A fenti műveleteket a végső eredmény eléréséig hajtják végre.

Példa.

Keresse meg egy kifejezés értékét .

Megoldás.

Ennek a kifejezésnek a formája meglehetősen bonyolult. Ebben a kifejezésben törtet, gyököket, fokokat, szinust és logaritmust látunk. Hogyan lehet megtalálni a jelentését?

A rekordon balról jobbra haladva az űrlap töredékére bukkanunk . Tudjuk, hogy ha összetett típusú törtekkel dolgozunk, külön ki kell számítanunk a számláló értékét, külön - a nevezőt, és végül meg kell találnunk a tört értékét.

A számlálóban van az űrlap gyöke . Az érték meghatározásához először ki kell számítania a gyök kifejezés értékét . Itt van egy szinusz. Értékét csak a kifejezés értékének kiszámítása után találjuk meg . Ezt tehetjük: . Aztán honnan és .

A nevezővel minden egyszerű: .

És így, .

Miután ezt az eredményt behelyettesítette az eredeti kifejezésbe, az alakja . Az eredményül kapott kifejezés tartalmazza a fokozatot. Az érték meghatározásához először meg kell találni a mutató értékét .

Így, .

Válasz:

.

Ha nem lehet kiszámítani a gyökerek, fokok stb. pontos értékét, akkor megpróbálhatja megszabadulni tőlük bármilyen transzformáció segítségével, majd visszatérhet az érték kiszámításához a megadott séma szerint.

A kifejezések értékeinek kiszámításának racionális módjai

A numerikus kifejezések értékeinek kiszámítása következetességet és pontosságot igényel. Igen, be kell tartani az előző bekezdésekben rögzített műveletsort, de ezt nem szabad vakon és gépiesen megtenni. Ez alatt azt értjük, hogy gyakran lehet racionalizálni egy kifejezés értékének megtalálásának folyamatát. Például a számokkal rendelkező műveletek bizonyos tulajdonságai lehetővé teszik, hogy jelentősen felgyorsítsa és leegyszerűsítse egy kifejezés értékének megtalálását.

Ismerjük például a szorzásnak ezt a tulajdonságát: ha a szorzatban az egyik tényező nulla, akkor a szorzat értéke nulla. Ezt a tulajdonságot felhasználva azonnal kijelenthetjük, hogy a kifejezés értéke 0 (2 3+893-3234:54 65-79 56 2,2)(45 36−2 4+456:3 43) nulla. Ha a szokásos műveleti sorrendet követnénk, akkor először ki kellene számítanunk a nehézkes kifejezések értékeit zárójelben, és ez sok időt vesz igénybe, és az eredmény továbbra is nulla lenne.

Kényelmes a kivonás tulajdonság használata is egyenlő számok: ha egy számból kivonunk egy egyenlő számot, akkor az eredmény nulla lesz. Ez a tulajdonság tágabban is értelmezhető: két azonos numerikus kifejezés különbsége nullával egyenlő. Például a zárójelben lévő kifejezések értékének kiszámítása nélkül megtalálhatja a kifejezés értékét (54 6−12 47362:3)−(54 6−12 47362:3), ez egyenlő nullával, mivel az eredeti kifejezés azonos kifejezések különbsége.

Az azonos transzformációk hozzájárulhatnak a kifejezések értékeinek racionális kiszámításához. Hasznos lehet például a kifejezések és tényezők csoportosítása, de nem ritkábban a közös tényező zárójelből való eltávolítása sem. Tehát az 53 5+53 7-53 11+5 kifejezés értéke nagyon könnyen megtalálható, miután az 53-as tényezőt zárójelekből kivesszük: 53 (5+7–11)+5=53 1+5=53+5=58. A közvetlen számítás sokkal több időt vesz igénybe.

Ennek a bekezdésnek a végén figyeljünk a törtekkel rendelkező kifejezések értékeinek kiszámításának racionális megközelítésére - a tört számlálójában és nevezőjében ugyanazok a tényezők csökkennek. Például ugyanazon kifejezések redukálása egy tört számlálójában és nevezőjében lehetővé teszi, hogy azonnal megtalálja az értékét, amely 1/2 .

Literális kifejezés és változós kifejezés értékének megkeresése

A literális kifejezés és a változókkal rendelkező kifejezés értéke a betűk és változók adott értékére található. Vagyis egy szó szerinti kifejezés értékének megtalálásáról beszélünk adott betűértékekhez, vagy egy kifejezés értékének megtalálásáról változókkal a kiválasztott változóértékekhez.

szabály egy literális kifejezés vagy egy változós kifejezés értékének megtalálása adott betűértékekhez vagy a változók kiválasztott értékéhez a következőképpen történik: az eredeti kifejezésben be kell cserélni a betűk vagy változók adott értékeit, és kiszámítja a kapott numerikus kifejezés értékét, ez a kívánt érték.

Példa.

Számítsa ki a 0,5 x−y kifejezés értékét x=2,4 és y=5 esetén.

Megoldás.

A kifejezés szükséges értékének megtalálásához először be kell cserélni ezeket a változóértékeket az eredeti kifejezésbe, majd végre kell hajtani a következő műveleteket: 0,5 2,4-5=1,2-5=-3,8 .

Válasz:

−3,8 .

Összefoglalva, megjegyezzük, hogy néha a szó szerinti kifejezések és a változókkal rendelkező kifejezések átalakítása lehetővé teszi az értékük megszerzését, függetlenül a betűk és a változók értékétől. Például az x+3−x kifejezés leegyszerűsíthető 3-ra. Ebből arra következtethetünk, hogy az x + 3 - x kifejezés értéke 3-mal egyenlő az x változó bármely értékére az elfogadható értéktartományából (ODZ). Egy másik példa: a kifejezés értéke egyenlő 1-gyel x minden pozitív értékére, tehát az x változó érvényes értéktartománya az eredeti kifejezésben a pozitív számok halmaza, és ezen történik az egyenlőség hatótávolság.

Bibliográfia.

• Matematika: tanulmányok. 5 cellához. Általános oktatás intézmények / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. kiadás, törölve. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 p.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
• Matematika. 6. évfolyam: tankönyv. általános műveltségre intézmények / [N. Ya. Vilenkin és mások]. - 22. kiadás, Rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra: tankönyv 7 cellához. Általános oktatás intézmények / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; szerk. S. A. Teljakovszkij. - 17. kiadás - M. : Oktatás, 2008. - 240 p. : ill. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: tankönyv 8 cellához. Általános oktatás intézmények / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; szerk. S. A. Teljakovszkij. - 16. kiadás - M. : Oktatás, 2008. - 271 p. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algebra: 9. évfolyam: tankönyv. általános műveltségre intézmények / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; szerk. S. A. Teljakovszkij. - 16. kiadás - M. : Oktatás, 2009. - 271 p. : ill. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Algebraés az elemzés eleje: Proc. 10-11 sejtre. Általános oktatás intézmények / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn és mások; Szerk. A. N. Kolmogorova.- 14. kiad.- M.: Felvilágosodás, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.

Ez a cikk azt tárgyalja, hogyan lehet megtalálni a matematikai kifejezések értékeit. Kezdjük egyszerű numerikus kifejezésekkel, majd a bonyolultságuk növekedésével az eseteket is figyelembe vesszük. A végén adunk egy kifejezést, amely betűjeleket, zárójeleket, gyököket, speciális matematikai jeleket, fokokat, függvényeket stb. Az egész elmélet a hagyományoknak megfelelően bőséges és részletes példákkal lesz ellátva.

Hogyan találjuk meg egy numerikus kifejezés értékét?

A numerikus kifejezések többek között segítenek a probléma feltételének matematikai nyelven történő leírásában. Egyáltalán matematikai kifejezések lehet nagyon egyszerű, számpárból és számtani előjelekből áll, vagy nagyon összetett, tartalmazhat függvényeket, fokokat, gyököket, zárójeleket stb. A feladat részeként gyakran meg kell találni egy kifejezés értékét. Ennek mikéntjét az alábbiakban tárgyaljuk.

A legegyszerűbb esetek

Ezek olyan esetek, amikor a kifejezés nem tartalmaz mást, mint számokat és aritmetikát. Az ilyen kifejezések értékeinek sikeres megtalálásához ismernie kell az aritmetikai műveletek zárójelek nélküli végrehajtásának sorrendjét, valamint a különböző számokkal végzett műveletek képességét.

Ha a kifejezés csak számokat és számtani előjeleket tartalmaz " + " , " · " , " - " , " ÷ " , akkor a műveletek balról jobbra haladva a következő sorrendben történnek: először szorzás és osztás, majd összeadás és kivonás. Mondjunk példákat.

Példa 1. Egy numerikus kifejezés értéke

Legyen szükséges megtalálni a 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3 kifejezés értékeit.

Először végezzük el a szorzást és az osztást. Kapunk:

14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3 .

Most kivonjuk és megkapjuk a végeredményt:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

2. példa Egy numerikus kifejezés értéke

Számítsuk ki: 0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 .

Először végrehajtjuk a törtek konvertálását, osztását és szorzását:

0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9 .

Most végezzünk összeadást és kivonást. Csoportosítsuk a törteket, és hozzuk őket közös nevezőre:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

A kívánt érték megtalálható.

Kifejezések zárójelekkel

Ha egy kifejezés zárójeleket tartalmaz, akkor ezek határozzák meg a műveletek sorrendjét ebben a kifejezésben. Először a zárójelben lévő műveleteket hajtják végre, majd az összes többit. Mutassuk meg ezt egy példával.

3. példa Egy numerikus kifejezés értéke

Keresse meg a 0,5 · (0.76 - 0.06) kifejezés értékét.

A kifejezés zárójeleket tartalmaz, ezért először a kivonási műveletet hajtjuk végre a zárójelben, és csak utána a szorzást.

0,5 (0,76 - 0,06) = 0,5 0,7 = 0,35.

A zárójelben lévő zárójeleket tartalmazó kifejezések értéke ugyanezen elv szerint található.

4. példa Egy numerikus kifejezés értéke

Számítsuk ki az 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 - 1 4 értéket.

A műveleteket a legbelső zárójelektől kezdve, a külső zárójelek felé haladva hajtjuk végre.

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2 , 5 = 1 + 2 6 = 13 .

A zárójeles kifejezések értékeinek megtalálásakor a legfontosabb a műveletek sorrendjének követése.

Kifejezések gyökerekkel

Azok a matematikai kifejezések, amelyek értékeit meg kell találnunk, gyökjeleket tartalmazhatnak. Sőt, maga a kifejezés is lehet a gyökér jele alatt. Hogyan lehet ilyenkor? Először meg kell találnia a kifejezés értékét a gyökér alatt, majd ki kell bontani a gyökért a kapott számból. Ha lehetséges, jobb megszabadulni a gyököktől a numerikus kifejezésekben, helyettesítve a -tól számértékekkel.

5. példa Egy numerikus kifejezés értéke

Számítsuk ki a kifejezés értékét - 2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2 , 2 + 0 , 1 0 , 5 .

Először kiszámítjuk a radikális kifejezéseket.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.

Most kiszámolhatjuk a teljes kifejezés értékét.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5

Gyakran ahhoz, hogy a gyököket tartalmazó kifejezés értékét megtaláljuk, gyakran először az eredeti kifejezést kell átalakítani. Magyarázzuk meg ezt egy másik példával.

6. példa Egy numerikus kifejezés értéke

Mi a 3 + 1 3 - 1 - 1

Amint látja, nincs lehetőségünk a gyökér pontos értékre cserélésére, ami megnehezíti a számolási folyamatot. Ebben az esetben azonban használhatja a rövidített szorzási képletet.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

És így:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Hatásos kifejezések

Ha a kifejezés hatványokat tartalmaz, akkor ezek értékét ki kell számítani az összes többi művelet folytatása előtt. Előfordul, hogy maga a kitevő vagy a fok alapja kifejezés. Ebben az esetben először ezeknek a kifejezéseknek az értékét számítjuk ki, majd a fokozat értékét.

7. példa Egy numerikus kifejezés értéke

Határozza meg a 2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 1 4 kifejezés értékét!

Elkezdjük a számolást sorrendben.

2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 1 8 = 2.

Csak az összeadási művelet végrehajtása és a kifejezés értékének megállapítása marad:

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6 .

Gyakran célszerű a kifejezést a fokozat tulajdonságaival egyszerűsíteni is.

8. példa Egy numerikus kifejezés értéke

Számítsuk ki a következő kifejezés értékét: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .

A kitevők ismét olyanok, hogy pontos számértéküket nem lehet megkapni. Egyszerűsítse az eredeti kifejezést, hogy megtalálja az értékét.

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Kifejezések törtekkel

Ha egy kifejezés törteket tartalmaz, akkor egy ilyen kifejezés kiszámításakor az összes benne lévő törtet közönséges törtként kell ábrázolni, és ki kell számítani azok értékét.

Ha vannak kifejezések a tört számlálójában és nevezőjében, akkor ezeknek a kifejezéseknek az értékeit először kiszámítja, és magának a törtnek a végső értékét rögzíti. Az aritmetikai műveletek végrehajtása a szabványos sorrendben történik. Nézzünk egy példamegoldást.

9. példa Egy numerikus kifejezés értéke

Keressük meg a törteket tartalmazó kifejezés értékét: 3 , 2 2 - 3 7 - 2 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 .

Mint látható, az eredeti kifejezésben három tört található. Először számítsuk ki az értékeiket.

3 , 2 2 = 3 , 2 ÷ 2 = 1 , 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1 .

Írjuk át a kifejezésünket és számítsuk ki az értékét:

1 , 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1 , 6 - 0 , 5 ÷ 1 = 1 , 1

A kifejezések értékeinek megtalálásakor gyakran célszerű csökkenteni a törteket. Van egy kimondatlan szabály: mielőtt megtalálná az értékét, a legjobb, ha bármilyen kifejezést maximálisan leegyszerűsít, minden számítást a legegyszerűbb esetekre redukál.

10. példa Egy numerikus kifejezés értéke

Számítsuk ki a 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 kifejezést.

Az öt gyökerét nem tudjuk teljesen kivonni, de az eredeti kifejezést leegyszerűsíthetjük átalakításokkal.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

Az eredeti kifejezés a következő formában jelenik meg:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Számítsuk ki ennek a kifejezésnek az értékét:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Kifejezések logaritmussal

Ha egy kifejezésben szerepelnek logaritmusok, akkor értéküket, ha lehetséges, a kezdetektől számítjuk. Például a log 2 4 + 2 4 kifejezésben azonnal beírhatja ennek a logaritmusnak az értékét a log 2 4 helyett, majd végrehajthatja az összes műveletet. A következőt kapjuk: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10 .

A numerikus kifejezések a logaritmus előjele alatt és annak alján is megtalálhatók. Ebben az esetben az első lépés az értékük megtalálása. Vegyük a log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 kifejezést. Nekünk van:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10 .

Ha a logaritmus pontos értékét nem lehet kiszámítani, a kifejezés egyszerűsítése segít megtalálni az értékét.

11. példa Egy numerikus kifejezés értéke

Keresse meg a log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 kifejezés értékét.

log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3 .

A logaritmus tulajdonságai szerint:

log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1 .

Ismét alkalmazva a logaritmus tulajdonságait, a kifejezés utolsó törtére a következőt kapjuk:

log 5 729 log 0 , 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2 .

Most folytathatja az eredeti kifejezés értékének kiszámítását.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0 , 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2 .

Kifejezések trigonometrikus függvényekkel

Előfordul, hogy a kifejezésben vannak szinusz, koszinusz, érintő és kotangens trigonometrikus függvényei, valamint olyan függvények, amelyek inverzek. Az értékből számítják ki az összes többi számtani művelet végrehajtása előtt. Ellenkező esetben a kifejezés leegyszerűsödik.

12. példa Egy numerikus kifejezés értéke

Keresse meg a kifejezés értékét: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.

Először kiszámítjuk a kifejezésben szereplő trigonometrikus függvények értékeit.

sin - 5 π 2 \u003d - 1

Cserélje be az értékeket a kifejezésben, és számítsa ki az értékét:

t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ \u003d 3 2 - (- 1) + (- 1) \u003d 3 + 1 - 1 \u003d 3.

A kifejezés értéke megtalálható.

Gyakran annak érdekében, hogy megtalálja egy kifejezés értékét a trigonometrikus függvények, először konvertálni kell. Magyarázzuk meg egy példával.

13. példa Egy numerikus kifejezés értéke

Meg kell találni a cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 kifejezés értékét.

Az átalakításhoz használjuk trigonometrikus képletek a kettős szög koszinusza és az összeg koszinusza.

cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos 1 π = cos π 4 - cos 1 π 1-1 = 0.

A numerikus kifejezés általános esete

Általános esetben egy trigonometrikus kifejezés tartalmazhatja az összes fent leírt elemet: zárójeleket, fokokat, gyököket, logaritmusokat, függvényeket. Fogalmazzunk meg egy általános szabályt az ilyen kifejezések értékeinek megtalálására.

Hogyan találjuk meg egy kifejezés értékét

1. Gyökök, hatványok, logaritmusok stb. értékükkel helyettesítik.
2. A zárójelben szereplő műveletek végrehajtásra kerülnek.
3. A többi lépést balról jobbra haladva kell végrehajtani. Először - szorzás és osztás, majd - összeadás és kivonás.

Vegyünk egy példát.

14. példa Egy numerikus kifejezés értéke

Számítsuk ki, hogy mekkora a kifejezés értéke - 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 .

A kifejezés meglehetősen bonyolult és nehézkes. Nem véletlenül választottunk egy ilyen példát, igyekszünk beleilleszteni az összes fent leírt esetet. Hogyan lehet megtalálni egy ilyen kifejezés értékét?

Ismeretes, hogy egy összetett törtforma értékének kiszámításakor először a tört számlálójának és nevezőjének értékeit külön-külön találjuk meg. Ezt a kifejezést egymás után átalakítjuk és egyszerűsítjük.

Először is kiszámítjuk a 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 gyökkifejezés értékét. Ehhez meg kell találni a szinusz értékét, és azt a kifejezést, amely a trigonometrikus függvény argumentuma.

π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π

Most megtudhatja a szinusz értékét:

sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = sin π 6 + 2 π = sin π 6 = 1 2 .

Kiszámoljuk a radikális kifejezés értékét:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.

A tört nevezőjével minden egyszerűbb:

Most felírhatjuk a teljes tört értékét:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1.

Ezt szem előtt tartva írjuk a teljes kifejezést:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Végeredmény:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.

Ebben az esetben pontos értékeket tudtunk kiszámítani a gyökökhöz, logaritmusokhoz, szinuszokhoz és így tovább. Ha ez nem lehetséges, akkor matematikai transzformációkkal megpróbálhatja megszabadulni tőlük.

Kifejezések számítása racionális módokon

A numerikus értékeket következetesen és pontosan kell kiszámítani. Ez a folyamat a számokkal végzett műveletek különféle tulajdonságainak felhasználásával racionalizálható és felgyorsítható. Például ismert, hogy a szorzat akkor egyenlő nullával, ha legalább az egyik tényező nulla. E tulajdonság ismeretében azonnal kijelenthetjük, hogy a 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 kifejezés nulla. Ebben az esetben egyáltalán nem szükséges a fenti cikkben leírt sorrendben végrehajtani a lépéseket.

Kényelmes az egyenlő számok kivonásának tulajdonsága is. Műveletek elvégzése nélkül elrendelhető, hogy az 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 kifejezés értéke is nulla legyen.

Egy másik technika, amely lehetővé teszi a folyamat felgyorsítását, az azonos átalakítások használata, mint például a kifejezések és tényezők csoportosítása, valamint a közös tényező zárójelből való eltávolítása. A kifejezések törtekkel történő kiszámításának racionális megközelítése az, hogy a számlálóban és a nevezőben ugyanazokat a kifejezéseket csökkentjük.

Vegyük például a 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 kifejezést. A zárójelben lévő műveletek végrehajtása nélkül, hanem a tört csökkentésével azt mondhatjuk, hogy a kifejezés értéke 1 3 .

Változós kifejezések értékeinek megkeresése

A literális kifejezés és a változókkal rendelkező kifejezés értéke a betűk és változók adott értékére található.

Változós kifejezések értékeinek megkeresése

Egy szó szerinti kifejezés és egy változós kifejezés értékének megtalálásához be kell cserélnie a betűk és változók megadott értékeit az eredeti kifejezésbe, majd ki kell számítania a kapott numerikus kifejezés értékét.

15. példa Változós kifejezés értéke

Számítsa ki a 0, 5 x-y kifejezés értékét, ha x = 2, 4 és y = 5!

Behelyettesítjük a változók értékeit a kifejezésbe, és kiszámítjuk:

0,5 x-y = 0,5 2,4-5 = 1,2-5 = -3,8.

Néha lehetséges egy kifejezést úgy átalakítani, hogy megkapja annak értékét, függetlenül a benne szereplő betűk és változók értékétől. Ehhez meg kell szabadulni a betűktől és a változóktól a kifejezésben, ha lehetséges, azonos transzformációkkal, aritmetikai műveletek tulajdonságaival és minden lehetséges egyéb módszerrel.

Például az x + 3 - x kifejezésnek nyilvánvalóan 3 az értéke, és ennek az értéknek a kiszámításához nem szükséges ismerni az x értékét. Ennek a kifejezésnek az értéke három az x változó minden értékére az érvényes értéktartományból.

Még egy példa. Az x x kifejezés értéke eggyel egyenlő minden pozitív x esetén.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

A 7. osztályos algebra tanfolyamon egész kifejezések, azaz számokból és változókból álló kifejezések átalakításával foglalkoztunk az összeadás, kivonás és szorzás, valamint a nullától eltérő számmal való osztás műveleteivel. Így a kifejezések egész számok

Ezzel szemben kifejezések

az összeadás, kivonás és szorzás műveletén kívül változókkal ellátott kifejezéssel való osztást is tartalmaznak. Az ilyen kifejezéseket törtkifejezéseknek nevezzük.

Egész és törtkifejezések racionális kifejezéseknek nevezzük.

Az egész kifejezésnek értelme van a benne szereplő változók bármely értékéhez, mivel egy teljes kifejezés értékének megtalálásához olyan műveleteket kell végrehajtania, amelyek mindig lehetségesek.

Előfordulhat, hogy a változók egyes értékeinek tört kifejezésének nincs értelme. Például a - kifejezésnek nincs értelme a = 0 esetén. Az a minden más értékénél ennek a kifejezésnek van értelme. A kifejezésnek van értelme x és y azon értékeire, amikor x ≠ y.

Azokat a változó értékeket, amelyeknél a kifejezésnek értelme van, érvényes változóértékeknek nevezzük.

A forma egy kifejezését, mint tudod, törtnek nevezzük.

Racionális törtnek nevezzük azt a törtet, amelynek a számlálója és a nevezője polinom.

A törtek a racionális törtek példái.

BAN BEN racionális tört megengedettek a változók azon értékei, amelyeknél a tört nevezője nem tűnik el.

1. példa Keressük meg a változó érvényes értékeit a törtben

Megoldás Annak megállapításához, hogy a tört nevezője mely a értékeinél tűnik el, meg kell oldania az a (a - 9) \u003d 0 egyenletet. Ennek az egyenletnek két gyökere van: 0 és 9. Ezért a 0 és 9 kivételével minden szám érvényes értékek az a változóhoz.

2. példa Milyen x értéknél van a tört értéke egyenlő nullával?

Megoldás Egy tört akkor és csak akkor nulla, ha a 0 és b ≠ 0.