A trigonometrikus transzformációk végrehajtásakor kövesse az alábbi tippeket:
- Ne próbáljon azonnal egy sémát kitalálni egy példa megoldására az elejétől a végéig.
- Ne próbálja meg az egész példát egyszerre konvertálni. Kis lépésekkel haladj előre.
- Ne feledje, hogy a trigonometriában a trigonometrikus képletek mellett továbbra is alkalmazhatja az összes tisztességes algebrai transzformációt (zárójelezés, redukáló törtek, rövidített szorzóképletek stb.).
- Hidd el, hogy minden rendben lesz.
Alapvető trigonometrikus képletek
A trigonometriában a legtöbb képletet gyakran jobbról balra és balról jobbra egyaránt alkalmazzák, így ezeket a képleteket olyan jól meg kell tanulnia, hogy könnyen alkalmazhasson néhány képletet mindkét irányban. Kezdésként leírjuk a definíciókat trigonometrikus függvények. Legyen derékszögű háromszög:
Ekkor a szinusz definíciója a következő:
A koszinusz definíciója:
Az érintő definíciója:
A kotangens definíciója:
Az alapvető trigonometrikus azonosság legegyszerűbb következményei:
Kettős szög képletek. Kettős szög szinusza:
Kettős szög koszinusza:
Kettős szög érintő:
Kettős szög kotangens:
További trigonometrikus képletek
Trigonometrikus összeadási képletek. Az összeg szinusza:
A különbség szinusza:
Az összeg koszinusza:
A különbség koszinusza:
Az összeg tangense:
Különbség érintő:
Az összeg kotangense:
Különbség kotangens:
Trigonometrikus képletek összegek szorzattá alakítására. A szinuszok összege:
Szinusz különbség:
A koszinusz összege:
Koszinusz különbség:
érintők összege:
Érintő különbség:
A kotangensek összege:
Kotangens különbség:
Trigonometrikus képletek a szorzat összeggé alakítására. A szinuszok szorzata:
A szinusz és a koszinusz szorzata:
A koszinusz szorzata:
Fokozatcsökkentési képletek.
Félszög képletek.
Trigonometrikus redukciós képletek
A koszinusz függvényt ún kofunkció szinuszfüggvény és fordítva. Hasonlóképpen, a tangens és a kotangens függvények kofüggvények. A redukciós képleteket a következő szabály szerint lehet megfogalmazni:
- Ha a redukciós képletben a szöget kivonjuk (összeadjuk) 90 fokból vagy 270 fokból, akkor a redukálható függvény kofüggvényre változik;
- Ha a redukciós képletben a szöget kivonjuk (összeadjuk) 180 fokból vagy 360 fokból, akkor a redukált függvény neve megmarad;
- Ebben az esetben a redukált függvényt megelőzi az a jel, amely a redukált (azaz eredeti) függvénynek a megfelelő negyedben van, ha a kivont (hozzáadott) szöget hegyesnek tekintjük.
Öntött képletek táblázat formájában adjuk meg:
Által trigonometrikus kör könnyű meghatározni a trigonometrikus függvények táblázatos értékeit:
Trigonometrikus egyenletek
Egy bizonyos trigonometrikus egyenlet megoldásához le kell redukálni az egyik legegyszerűbbre trigonometrikus egyenletek, amelyről az alábbiakban lesz szó. Ezért:
- Alkalmazhatja a fenti trigonometrikus képleteket. Ebben az esetben nem kell egyszerre megkísérelni az egész példát konvertálni, hanem kis lépésekben kell előre haladni.
- Nem szabad megfeledkeznünk néhány kifejezés átalakításának és használatának lehetőségéről algebrai módszerek, azaz például zárójelből kirakni valamit, vagy fordítva, zárójeleket nyitni, törtet kicsinyíteni, a rövidített szorzási képletet alkalmazni, törteket közös nevezőre hozni stb.
- Trigonometrikus egyenletek megoldásánál alkalmazhat csoportosítási módszer. Emlékeztetni kell arra, hogy ahhoz, hogy több tényező szorzata nullával egyenlő legyen, elegendő, ha bármelyik egyenlő nullával, és a többi létezett.
- Jelentkezés változó helyettesítési módszer, mint általában, a helyettesítés bevezetése után az egyenletnek egyszerűbbé kell válnia, és nem kell tartalmaznia az eredeti változót. Ne felejtse el végrehajtani a fordított helyettesítést is.
- Ne feledje, hogy a trigonometriában is gyakran előfordulnak homogén egyenletek.
- Modulok megnyitásakor vagy irracionális egyenletek trigonometrikus függvényekkel történő megoldása során emlékezni kell és figyelembe kell venni a megfelelő egyenletek közönséges függvényekkel történő megoldásának minden finomságát.
- Emlékezzen az ODZ-re (a trigonometrikus egyenletekben az ODZ-re vonatkozó korlátozások alapvetően arra a tényre vezetnek, hogy nem lehet nullával osztani, de ne feledkezzünk meg az egyéb korlátozásokról sem, különösen a racionális hatványokban és a páros fokok gyökér alatti kifejezések pozitivitására). Ne feledje azt is, hogy a szinusz és koszinusz értékek csak mínusz egy és plusz egy között lehetnek.
A lényeg az, hogy ha nem tudja, mit kell tennie, tegyen legalább valamit, míg a lényeg az, hogy helyesen használja a trigonometrikus képleteket. Ha az, amit kapsz, egyre jobb és jobb, akkor folytasd a megoldással, ha pedig rosszabbodik, akkor menj vissza az elejére, és próbálj meg más képleteket alkalmazni, így addig csináld, amíg meg nem találod a helyes megoldást.
Képletek a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldására. A szinusz esetében a megoldás írásának két ekvivalens formája van:
Más trigonometrikus függvényeknél a jelölés egyedi. A koszinuszhoz:
Érintőhöz:
A kotangenshez:
Trigonometrikus egyenletek megoldása néhány speciális esetben:
Ennek a három pontnak a sikeres, szorgalmas és felelősségteljes megvalósítása lehetővé teszi, hogy a CT-n kiváló eredményt mutasson, a maximumot, amire képes.
Hibát talált?
Ha úgy gondolja, hogy hibát talált képzési anyagok, majd írj, kérlek, erről mailben. Bejelentheti a hibát is közösségi háló(). A levélben tüntesse fel a tantárgyat (fizika vagy matematika), a téma vagy teszt megnevezését vagy számát, a feladat számát, vagy azt a helyet a szövegben (oldal), ahol Ön szerint hiba található. Írja le azt is, hogy mi az állítólagos hiba. Levele nem marad észrevétlen, a hibát vagy kijavítják, vagy elmagyarázzák, miért nem tévedésről van szó.
Szinusz, koszinusz, érintő - ha középiskolás diákok jelenlétében ejti ki ezeket a szavakat, biztos lehet benne, hogy kétharmaduk elveszti érdeklődését további beszélgetés. Az ok abban rejlik, hogy az iskolában a trigonometria alapjait a valóságtól teljesen elszigetelten tanítják, ezért a diákok nem látják értelmét a képletek és tételek tanulmányozásának.
Valójában ez a tudásterület, közelebbről megvizsgálva, nagyon érdekesnek és alkalmazottnak bizonyul - a trigonometriát a csillagászatban, az építőiparban, a fizikában, a zenében és sok más területen használják.
Ismerkedjünk meg az alapfogalmakkal, és nevezzünk meg több okot, amelyek miatt érdemes ezt a részt tanulmányozni. matematikai tudomány.
Sztori
Nem ismert, hogy az emberiség mikor kezdett a semmiből létrehozni a jövőbeli trigonometriát. Dokumentált azonban, hogy az egyiptomiak már a Kr. e. második évezredben ismerték e tudomány alapjait: a régészek találtak egy papiruszt, amelynek feladata a piramis dőlésszögének meghatározása szükséges két ismert oldalon.
Az ókori Babilon tudósai komolyabb sikereket értek el. Mivel évszázadok óta foglalkoztak csillagászattal, számos tételt elsajátítottak, speciális szögmérési módszereket vezettek be, amelyeket egyébként ma is használunk: a fokokat, perceket és másodperceket az európai tudomány kölcsönözte a görög-római kultúrában, amelyben ezek az egységek a babilóniaiaktól származtak.
Feltételezik, hogy a híres Pitagorasz-tételt, amely a trigonometria alapjaira vonatkozik, a babilóniaiak csaknem négyezer évvel ezelőtt ismerték.
Név
Szó szerint a "trigonometria" kifejezés "háromszögek mérése"ként fordítható. Ezen a tudományágon belül a fő vizsgálati tárgy évszázadokon át egy derékszögű háromszög, vagy inkább a szögek nagysága és oldalai hossza közötti kapcsolat volt (ma a trigonometria tanulmányozása ettől a résztől a nulláról indul). Az életben nem ritkák az olyan helyzetek, amikor egy objektum összes szükséges paraméterét (illetve az objektum távolságát) gyakorlatilag nem lehet megmérni, majd számításokkal szükségessé válik a hiányzó adatok beszerzése.
Például a múltban az ember nem tudta megmérni a távolságot az űrobjektumoktól, de a távolságok kiszámítására tett kísérletek jóval korunk előtt történtek. kritikus szerepet A trigonometria a navigációban is játszott: némi tudás birtokában a kapitány éjszaka mindig tudott navigálni a csillagok mentén és korrigálni az irányt.
Alapfogalmak
A trigonometria elsajátításához meg kell értenie és emlékeznie kell néhány alapvető kifejezésre.
A szög szinusza a szemközti láb és a hipotenusz aránya. Tisztázzuk, hogy a szemközti láb az általunk vizsgált szöggel szemben fekvő oldal. Így, ha a szög 30 fok, ennek a szögnek a szinusza a háromszög bármely méreténél mindig egyenlő lesz ½-vel. A szög koszinusza a szomszédos láb és a hipotenusz aránya.
Az érintő az ellenkező láb és a szomszédos láb aránya (vagy ennek megfelelően a szinusz és a koszinusz aránya). A kotangens az érintővel elosztott mértékegység.
Érdemes megemlíteni a híres Pi (3,14 ...) számot, amely egy egység sugarú kör hosszának fele.
Népszerű hibák
Azok, akik a nulláról tanulják a trigonometriát, számos hibát követnek el – többnyire figyelmetlenségből.
Először is, a geometriai problémák megoldása során emlékezni kell arra, hogy a szinuszok és koszinuszok használata csak derékszögű háromszögben lehetséges. Előfordul, hogy a „gépen ülő” diák a háromszög leghosszabb oldalát veszi be hipotenusznak, és hibás számítási eredményeket kap.
Másodszor, először könnyű összetéveszteni a szinusz és a koszinusz értékeit a választott szöghez: ne feledje, hogy a 30 fokos szinusz számszerűen egyenlő a 60 koszinuszával, és fordítva. Ha rossz számot helyettesít, minden további számítás hibás lesz.
Harmadszor, amíg a probléma teljesen meg nem oldódik, addig nem érdemes semmilyen értéket kerekíteni, gyökereket kinyerni, leírni. közönséges tört tizedesként. A tanulók gyakran arra törekszenek, hogy egy trigonometriai feladatban egy „szép” számot kapjanak, és azonnal kivonják a három gyökerét, bár pontosan egy művelet után ez a gyökér csökkenthető.
A "sine" szó etimológiája
A "sine" szó története valóban szokatlan. A tény az, hogy ennek a szónak a latin nyelvű fordítása "üreges"-et jelent. Ennek az az oka, hogy a szó helyes értelmezése elveszett az egyik nyelvről a másikra történő fordítás során.
Az alapvető trigonometrikus függvények neve Indiából származik, ahol a szinusz fogalmát a szanszkrit "húr" szóval jelölték - tény, hogy a szakasz a körívvel együtt, amelyen nyugodott, íjnak tűnt. Az arab civilizáció virágkorában a trigonometria terén elért indiai vívmányokat kölcsönözték, és a kifejezést arabátírás formájában. Történt ugyanis, hogy ebben a nyelvben már volt hasonló szó a depresszióra, és ha az arabok megértették a hangzásbeli különbséget az anyanyelvű és a kölcsönszó között, akkor az európaiak a tudományos értekezéseket latinra fordítva tévedésből szó szerint fordították az arab szót, aminek semmi köze a szinusz fogalmához. A mai napig használjuk őket.
Értéktáblázatok
Vannak olyan táblázatok, amelyek az összes lehetséges szög szinuszainak, koszinuszainak és érintőinek számértékeit tartalmazzák. Az alábbiakban a 0, 30, 45, 60 és 90 fokos szögek adatait mutatjuk be, amelyeket a trigonometria kötelező szakaszaként kell megtanulni a "bábukhoz", mivel ezeket meglehetősen könnyű megjegyezni.
Ha megtörtént, hogy a szög szinuszának vagy koszinuszának számértéke "kiszállt a fejemből", van mód arra, hogy saját maga származtassa.
Geometriai ábrázolás
Rajzoljunk egy kört, húzzuk meg az abszcisszát és a középpontján keresztül ordináljuk a tengelyeket. Az abszcissza tengelye vízszintes, az ordináta tengelye függőleges. Általában "X" és "Y" betűkkel vannak aláírva. Most a kör középpontjából húzunk egy egyenest úgy, hogy megkapjuk a szükséges szöget közte és az X tengely között. Végül attól a ponttól, ahol az egyenes metszi a kört, leeresztjük az X tengelyre merőlegest, így a kapott szakasz hossza megegyezik a szögünk szinuszának számértékével.
Ez a módszer nagyon releváns, ha elfelejtette a kívánt értéket, például egy vizsgán, és nincs kéznél trigonometriai tankönyv. Így nem kapja meg a pontos számot, de biztosan látni fogja a különbséget ½ és 1,73/2 (30 fokos szög szinusza és koszinusza) között.
Alkalmazás
A trigonometriát használó elsők egyike olyan tengerész volt, akiknek nem volt más referenciapontjuk a nyílt tengeren, mint az ég a fejük felett. Ma a hajók (repülőgépek és egyéb közlekedési módok) kapitányai nem a legrövidebb utat keresik a csillagokon keresztül, hanem aktívan igénybe veszik a GPS-navigációt, ami a trigonometria használata nélkül lehetetlen lenne.
A fizika szinte minden részében találunk szinuszokat és koszinuszokat használó számításokat: legyen szó akár erő alkalmazásáról a mechanikában, tárgyak útvonalának számításáról a kinematikában, rezgésekről, hullámterjedésről, fénytörésről - egyszerűen nem nélkülözheti az alapvető trigonometriát a képletekben.
Egy másik szakma, amely elképzelhetetlen trigonometria nélkül, a földmérő. Ezek az emberek egy teodolit és egy szintező, vagy egy kifinomultabb eszköz - fordulatszámmérő segítségével mérik a magasságkülönbséget a földfelszín különböző pontjai között.
Ismételhetőség
A trigonometria nem csak a háromszög szögeivel és oldalaival foglalkozik, bár itt kezdődött a létezése. Minden olyan területen, ahol jelen van a ciklikusság (biológia, orvostudomány, fizika, zene stb.), találkozni fog egy grafikonnal, amelynek neve valószínűleg ismerős - ez egy szinusz.
Egy ilyen grafikon az időtengely mentén kibontott kör, és hullámnak tűnik. Ha dolgozott már oszcilloszkóppal fizikaórán, tudja, miről beszélek. A zenei hangszínszabályzó és a pulzusmérő is trigonometrikus képleteket használ munkájuk során.
Végül
Amikor a trigonometria elsajátításán gondolkodik, a legtöbb közép- és középiskolás diák kezdi nehéz és nem praktikus tudománynak tekinteni, mivel csak az unalmas tankönyvi információkkal ismerkedik meg.
Ami a gyakorlatiatlanságot illeti, már láttuk, hogy ilyen vagy olyan mértékben szinte minden tevékenységi területen szükséges a szinuszok és érintők kezelésének képessége. És ami a komplexitást illeti... Gondoljunk csak bele: ha az emberek több mint kétezer évvel ezelőtt használták ezt a tudást, amikor egy felnőttnek kevesebb tudása volt, mint a mai középiskolásnak, akkor reális-e ezen a tudományterületen tanulni alapszint neked személyesen? Néhány óra átgondolt gyakorlás problémamegoldással – és az alaptanfolyam, az úgynevezett trigonometria „bábuknak” elsajátításával eléri célját.
A trigonometria története elválaszthatatlanul kapcsolódik a csillagászathoz, mivel az ókori tudósok e tudomány problémáinak megoldására kezdték el tanulmányozni a különböző mennyiségek arányait egy háromszögben.
Ma a trigonometria a matematika mikrometszete, amely a háromszögek szögeinek értékei és oldalhosszai közötti összefüggéseket vizsgálja, valamint elemzi a trigonometrikus függvények algebrai azonosságát.
A "trigonometria" kifejezés
Magát a kifejezést, amely a matematika ezen ágának a nevét adta, először Pitiscus német matematikus egy könyvének címében fedezte fel 1505-ben. A "trigonometria" szó görög eredetű, és azt jelenti, hogy "háromszöget mérek". Pontosabban, nem ennek az ábrának a szó szerinti méréséről beszélünk, hanem a megoldásáról, vagyis az ismeretlen elemeinek értékének meghatározásáról az ismertek felhasználásával.
Általános információk a trigonometriáról
A trigonometria története több mint két évezreddel ezelőtt kezdődött. Kezdetben előfordulása a háromszög szögeinek és oldalainak arányának tisztázásának szükségességével függött össze. A kutatás során világossá vált, hogy matematikai kifejezés Ezek az összefüggések speciális trigonometrikus függvények bevezetését teszik szükségessé, amelyek eredetileg numerikus táblázatokként készültek.
A matematikához kapcsolódó számos tudomány számára a trigonometria története vált lendületté a fejlődéshez. Az ókori babilóniai tudósok kutatásaihoz kapcsolódó szögmértékegységek (fok) eredete a hatszázalékos számításon alapul, amely a modern tizedestört kialakulását eredményezte, és számos alkalmazott tudományban használják.
A trigonometria állítólag eredetileg a csillagászat részeként létezett. Ezután kezdték használni az építészetben. És idővel e tudomány felhasználásának célszerűsége különböző területek emberi tevékenység. Ezek különösen a csillagászat, a tengeri és légi navigáció, az akusztika, az optika, az elektronika, az építészet és mások.
Trigonometria a korai századokban
A fennmaradt tudományos emlékek adataitól vezérelve a kutatók arra a következtetésre jutottak, hogy a trigonometria kialakulásának története Hipparkhosz görög csillagász munkásságához kötődik, aki először gondolkodott azon, hogyan lehet megoldást találni a (gömb)háromszögek megoldására. Írásai a Kr.e. 2. századra nyúlnak vissza.
Szintén az egyik jelentős eredményeket akkoriban a lábak és a hipotenusz arányának meghatározása derékszögű háromszögekben, amely később Pitagorasz-tételként vált ismertté.
A trigonometria fejlődésének története in Ókori Görögország Ptolemaiosz csillagász nevéhez fűződik - a Kopernikusz előtt uralkodó geocentrikus szerző nevéhez.
A görög csillagászok nem ismerték a szinuszokat, koszinuszokat és érintőket. Táblázatok segítségével határozták meg a kör húrjának értékét kivonó ív segítségével. Az akkord mértékegységei fok, perc és másodperc volt. Egy fok a sugár egy hatvanadával egyenlő.
Ezenkívül az ókori görögök tanulmányai előmozdították a gömbi trigonometria fejlődését. Különösen Eukleidész "Elvek" című művében ad egy tételt a különböző átmérőjű golyók térfogatarányának szabályosságairól. Ezen a területen végzett munkái egyfajta lendületté váltak a kapcsolódó tudásterületek fejlődésében. Ez különösen a csillagászati műszerek technológiája, a térképészeti vetületek elmélete, az égi koordináták rendszere stb.
Középkor: Indiai tudósok tanulmányai
A középkori indiai csillagászok jelentős sikereket értek el. Az ókori tudomány halála a 4. században a matematika fejlődési központjának Indiába való áthelyezéséhez vezetett.
A trigonometria, mint a matematikai doktrína külön szakasza megjelenésének története a középkorban kezdődött. Ekkor cserélték le a tudósok az akkordokat szinuszokra. Ez a felfedezés lehetővé tette az oldalak és szögek tanulmányozásával kapcsolatos függvények bevezetését, vagyis ekkor kezdett el a trigonometria elválni a csillagászattól, és a matematika egyik ágává vált.
Az első szinusztáblák Aryabhatában voltak, 3 o, 4 o, 5 o-n keresztül rajzolták őket. Később megjelentek a táblázatok részletes változatai: különösen Bhaskara adott egy szinusztáblázatot 1 o-ig.
Az első speciális értekezés a trigonometriáról a 10-11. században jelent meg. Szerzője Al-Biruni közép-ázsiai tudós volt. A középkori szerző fő művében, „Canon Masud” (III. könyv) pedig még mélyebbre megy a trigonometriában, megadva egy szinusztáblázatot (15 "-os lépésekben) és egy érintőtáblázatot (1 °-os lépésekben).
A trigonometria fejlődésének története Európában
Az arab értekezések latinra fordítása (XII-XIII. század) után az indiai és perzsa tudósok legtöbb gondolatát az európai tudomány kölcsönözte. A trigonometria első említése Európában a 12. századból származik.
A kutatók szerint a trigonometria története Európában az angol Richard Wallingford nevéhez fűződik, aki a „Négy értekezés a közvetlen és fordított akkordokról” című mű szerzője lett. Az ő munkája volt az első olyan munka, amely teljes egészében a trigonometriának szentelte magát. A 15. századra már sok szerző említi írásaiban a trigonometrikus függvényeket.
A trigonometria története: Újkor
A modern időkben a legtöbb tudós kezdte felismerni a trigonometria rendkívüli fontosságát, nemcsak a csillagászatban és az asztrológiában, hanem az élet más területein is. Ez mindenekelőtt tüzérség, optika és navigáció a hosszú távú tengeri utakon. Ezért a 16. század második felében ez a téma sok akkori prominens embert érdekelt, köztük Nicolaus Copernicust, Francois Vietát. Kopernikusz az égi szférák forradalmairól szóló értekezésében (1543) több fejezetet szentelt a trigonometriának. Kicsit később, a 16. század 60-as éveiben Retik, Kopernikusz tanítványa tizenöt számjegyű trigonometrikus táblázatokat idéz „A csillagászat optikai része” című munkájában.
A "Matematikai kánonban" (1579) részletes és szisztematikus, bár nem bizonyított jellemzést ad a sík- és gömbi trigonometriáról. És Albrecht Dürer lett az, akinek köszönhetően megszületett a szinuszoid.
Leonhard Euler érdemei
Leonhard Euler érdeme volt, hogy a trigonometriának modern tartalmat és formát adjon. Az Introduction to the Analysis of Infinites című értekezése (1748) tartalmazza a „trigonometrikus függvények” fogalmának a modernnel egyenértékű meghatározását. Így ez a tudós meg tudta határozni De és ez még nem minden.
A trigonometrikus függvények meghatározása a teljes számegyenesen az Euler-féle tanulmányoknak köszönhetően nem csak a megengedett negatív szögekre, hanem a 360 °-nál nagyobb szögekre is lehetővé vált. Ő volt az, aki először bizonyította műveiben, hogy a koszinusz és az érintő derékszög negatív. A koszinusz és a szinusz egész hatványainak kiterjesztése is ennek a tudósnak az érdeme lett. Általános elmélet A trigonometrikus sorozatok és a kapott sorozatok konvergenciájának vizsgálata nem képezte Euler kutatásának tárgyát. Miközben azonban a kapcsolódó problémák megoldásán dolgozott, számos felfedezést tett ezen a területen. Az ő munkásságának köszönhető, hogy a trigonometria története folytatódott. Írásában röviden kitért a gömbi trigonometria kérdéseire is.
A trigonometria alkalmazásai
A trigonometria valójában nem vonatkozik az alkalmazott tudományokra Mindennapi élet feladatait ritkán alkalmazzák. Ez a tény azonban nem csökkenti a jelentőségét. Nagyon fontos például a háromszögelés technikája, amely lehetővé teszi a csillagászok számára, hogy pontosan megmérjék a távolságot a közeli csillagoktól, és irányítsák a műholdas navigációs rendszereket.
A trigonometriát a navigációban, zeneelméletben, akusztikában, optikában, pénzpiaci elemzésekben, elektronikában, valószínűségszámításban, statisztikában, biológiában, gyógyászatban (például ultrahangos ultrahangos és számítógépes tomográfiai vizsgálatok megfejtésében), gyógyszerészetben, kémiában, számelméletben, szeizmológiában, meteorológiában, oceanológiában, építészetben, térképészetben, gazdaságtan és dezisztikában is használják. elektronika, gépészet, számítógépes grafika, krisztallográfia stb. A trigonometria történetét és a természet- és matematikai tudományok tanulmányozásában betöltött szerepét a mai napig tanulmányozzák. Talán a jövőben még több alkalmazási terület lesz.
Az alapfogalmak keletkezésének története
A trigonometria kialakulásának és fejlődésének története több mint egy évszázadra nyúlik vissza. A matematikai tudomány ezen szakaszának alapját képező fogalmak bevezetése sem volt azonnali.
Tehát a "szinusz" fogalmának nagyon van hosszú történelem. A háromszögek és körök szegmenseinek különböző arányait említik a tudományos munkák, amelyek az ie 3. századig nyúlnak vissza. Olyan nagy ókori tudósok munkái, mint Euklidész, Arkhimédész, Pergai Apollóniosz, már tartalmazzák az első tanulmányokat ezekről az összefüggésekről. Az új felfedezések bizonyos terminológiai pontosításokat igényeltek. Tehát az indiai tudós, Aryabhata a „dzsíva” nevet adja az akkordnak, azaz „íjhúr”. Amikor az arab matematikai szövegeket latinra fordították, a kifejezést egy szinusz (azaz „hajlítás”) váltotta fel, amely közeli jelentésű volt.
A "koszinusz" szó sokkal később jelent meg. Ez a kifejezés a latin "kiegészítő szinusz" kifejezés rövidített változata.
Az érintők megjelenése az árnyék hosszának meghatározásával kapcsolatos probléma dekódolásához kapcsolódik. Az "érintő" kifejezést a 10. században vezette be Abul-Wafa arab matematikus, aki összeállította az első táblázatokat az érintők és kotangensek meghatározására. De az európai tudósok nem tudtak ezekről az eredményekről. Regimontan német matematikus és csillagász 1467-ben újra felfedezi ezeket a fogalmakat. Az érintőtétel bizonyítása az ő érdeme. És ezt a kifejezést "vonatkozónak" fordítják.
- -
Általában, amikor valakit SZORÚ MATEMÁVAL akarnak megijeszteni, mindenféle szinuszokat és koszinuszokat hoznak fel példaként, mint valami nagyon összetett és csúnya dolgot. De valójában ez egy szép és érdekes rész, ami érthető és megoldható.
A téma a 9. osztályban kezdődik, és nem mindig minden tiszta első alkalommal, sok finomság és trükk van. Próbáltam mondani valamit a témában.
Bevezetés a trigonometria világába:
Mielőtt hanyatt-homlok belevágna a képletekbe, meg kell értenie a geometriából, hogy mi az a szinusz, koszinusz stb.
Szög szinusza- az ellentétes (szög) oldal és a hipotenusz aránya.
Koszinusz a szomszédos és a hypotenus aránya.
Tangens- ellenkező oldal a szomszédos oldalon
Kotangens- az ellenkezőjével szomszédos.
Most tekintsünk egy egység sugarú kört Koordináta síkés jelölj be rajta valamilyen alfa szöget: (a képek kattinthatóak, legalább néhány)
- 
-
Vékony piros vonalak a kör metszéspontjából induló merőlegesek és az x és y tengelyek derékszöge. A piros x és y az x és y koordináták értéke a tengelyeken (a szürke x és y csak azt jelzi, hogy ezek koordinátatengelyek és nem csak vonalak).
Megjegyzendő, hogy a szögeket az x tengely pozitív irányából, az óramutató járásával ellentétes irányban számoljuk.
Megtaláljuk a szinusz, koszinusz stb.
sin a: a szemközti oldal y, a hipotenusz 1.
sin a = y / 1 = y
Hogy teljesen világos legyen, honnan kapom az y-t és az 1-et, az egyértelműség kedvéért rendezzük el a betűket, és vegyük figyelembe a háromszögeket.
- -
AF = AE = 1 - a kör sugara.
Ezért AB = 1, mint sugár. AB a hipotenusz.
BD = CA = y - oh értékeként.
AD \u003d CB \u003d x - az oh értékeként.
sin a = BD / AB = y / 1 = y
További koszinusz:
cos a: szomszédos oldal - AD = x
cos a = AD / AB = x / 1 = x
arra is következtetünk érintő és kotangens.
tg a = y / x = sin a / cos a
ctg a = x / y = cos a / sin a
Már hirtelen levezettük az érintő és a kotangens képletét.
Nos, nézzük meg, hogyan lehet megoldani bizonyos szögekkel.
Például a = 45 fok.
Egy derékszögű háromszöget kapunk, amelynek egyik szöge 45 fok. Valakinek azonnal világos, hogy ez egy háromszög, aminek több oldala van, de azért aláírom.
Keresse meg a háromszög harmadik sarkát (első 90, második 5): b = 180 - 90 - 45 = 45
Ha két szög egyenlő, akkor az oldalak egyenlőek, ahogy hangzott.
Tehát kiderül, hogy ha két ilyen háromszöget adunk egymásra, akkor egy négyzetet kapunk, amelynek átlója egyenlő sugár \u003d 1. A Pitagorasz-tétel alapján tudjuk, hogy egy a oldalú négyzet átlója egyenlő kettő gyökével.
Most úgy gondoljuk. Ha 1 (az hipotenusz, más néven átló) egyenlő a négyzet oldalának szorzata 2 négyzetgyökével, akkor a négyzet oldalának 1/sqrt(2)-nek kell lennie, és ha ennek a törtnek a számlálóját és nevezőjét megszorozzuk 2 gyökével, akkor sqrt(2)/2-t kapunk. És mivel a háromszög egyenlő szárú, akkor AD = AC => x = y
Trigonometrikus függvényeink megkeresése:
sin 45 = négyzet(2)/2 / 1 = négyzet(2)/2
cos 45 = négyzet(2)/2/1 = négyzet(2)/2
tg 45 = négyzet(2)/2 / négyzet(2)/2 = 1
ctg 45 = négyzet(2)/2 / négyzet(2)/2 = 1
A többi szögnél ugyanígy kell dolgozni. Csak a háromszögek nem lesznek egyenlő szárúak, de az oldalakat ugyanolyan könnyű megtalálni a Pitagorasz-tétel segítségével.
Ily módon egy táblázatot kapunk a trigonometrikus függvények értékeiről különböző szögekből:
- 
-
Ráadásul ez az asztal csaló és nagyon kényelmes.
Hogyan készítsd el magad gond nélkül: rajzolsz egy ilyen táblázatot, és beírod a cellákba az 1 2 3 számokat.
- 
-
Most ebből az 1 2 3-ból kivonod a gyökeret, és elosztod 2-vel. Így alakul:
- 
-
Most áthúzzuk a szinust, és felírjuk a koszinust. Értékei a tükrözött szinusz:
- 
-
Ugyanilyen egyszerű a tangens származtatása - el kell osztani a szinuszvonal értékét a koszinusz egyenes értékével:
- 
-
A kotangens értéke az érintő fordított értéke. Ennek eredményeként valami ilyesmit kapunk:
- 
-
jegyzet hogy az érintő például nem létezik P/2-ben. Gondold meg, miért. (Nem lehet nullával osztani.)
Amire itt kell emlékezni: szinusz az y érték, koszinusz az x érték. Az érintő az y és x aránya, a kotangens pedig fordítva. tehát a szinuszok / koszinuszok értékének meghatározásához elegendő egy táblát rajzolni, amelyet fent leírtam, és egy kört koordinátatengelyekkel (kényelmes megnézni a 0, 90, 180, 360 szögek értékeit).
- 
-
Hát remélem el tudod mondani szállás:
- 
-
Szinuszának, koszinuszának stb. jele attól függ, hogy a szög melyik negyedben van. Bár az abszolút primitív logikai gondolkodás elvezet a helyes válaszhoz, ha figyelembe vesszük, hogy x a második és harmadik negyedben, y pedig negatív a harmadik és negyedik negyedben. Semmi szörnyű vagy ijesztő.
Szerintem nem lenne felesleges megemlíteni redukciós képletek ala szellemek, ahogy mindenki hallja, amiben van egy szem igazság. Nincsenek képletek, mint olyanok, a haszontalanságra. Ennek a műveletnek a jelentése: Könnyen megtaláljuk a szögek értékeit csak az első negyedévre (30 fok, 45, 60). A trigonometrikus függvények periodikusak, így tetszőleges nagy szöget húzhatunk az első kvadránshoz. Akkor azonnal megtaláljuk a jelentését. De a húzás nem elég - emlékezni kell a jelre. Erre valók a casting formulák.
Tehát nagy a szögünk, vagy inkább több, mint 90 fok: a \u003d 120. És meg kell találnia a szinuszát és a koszinuszát. Ehhez a 120-at olyan szögekre bontjuk, amelyekkel dolgozhatunk:
sin a = sin 120 = sin (90 + 30)
Látjuk, hogy ez a szög a második negyedben van, ott a szinusz pozitív, ezért a szinusz előtti + jel megmarad.
Hogy megszabaduljunk a 90 foktól, a szinust koszinuszra cseréljük. Nos, itt van egy szabály, amelyet emlékezni kell:
sin (90 + 30) = cos 30 = sqrt(3) / 2
És el tudod képzelni másképp is:
bűn 120 = bűn (180-60)
A 180 foktól való megszabaduláshoz nem változtatunk a funkción.
sin (180 - 60) = sin 60 = sqrt(3) / 2
Ugyanazt az értéket kaptuk, tehát minden rendben van. Most koszinusz:
cos 120 = cos (90 + 30)
A második negyed koszinusza negatív, ezért mínuszjelet tettünk. És megváltoztatjuk a függvényt az ellenkezőjére, mivel 90 fokot kell eltávolítanunk.
cos (90 + 30) = - sin 30 = - 1/2
Vagy:
cos 120 = cos (180 - 60) = - cos 60 = - 1/2
Amit tudnod kell, tudnod és megtenned a sarkok fordításához az első negyedévben:
-bontja fel a szöget emészthető kifejezésekre;
- vegye figyelembe, hogy a szög melyik negyedben található, és adja meg a megfelelő jelet, ha a függvény ebben a negyedben negatív vagy pozitív;
- megszabadulni a feleslegtől
*ha meg kell szabadulni a 90-től, 270-től, 450-től és a többitől 90+180n, ahol n tetszőleges egész szám, akkor a függvény megfordul (szinuszból koszinuszba, érintőből kotangensbe és fordítva);
*ha meg kell szabadulni a 180-tól és a maradék 180+180n-től, ahol n tetszőleges egész szám, akkor a függvény nem változik. (Van itt egy jellemző, de nehéz szavakkal elmagyarázni, na jó).
Ez minden. Nem tartom szükségesnek maguknak a képleteknek a memorizálását, amikor néhány szabályt meg tud jegyezni és könnyen tudja használni. Egyébként ezeket a képleteket nagyon könnyű bizonyítani:
- 
-
És terjedelmes asztalokat alkotnak, akkor tudjuk:
- 
-
Alapvető trigonometriai egyenletek: nagyon-nagyon jól, fejből kell ismerni őket.
Alapvető trigonometrikus azonosság(egyenlőség):
sin^2(a) + cos^2(a) = 1
Ha nem hiszi, nézze meg saját maga, és győződjön meg róla. Helyettesítse a különböző szögek értékeit.
Ez a képlet nagyon-nagyon hasznos, mindig emlékezzen rá. vele a szinusz a koszinuszon keresztül fejezhető ki és fordítva, ami néha nagyon hasznos. De mint minden más képletnél, ezt is tudni kell kezelni. Mindig ne feledje, hogy a trigonometrikus függvény előjele attól függ, hogy a szög melyik negyedben van. Ezért a gyökér kinyerésekor a negyedet tudnia kell.
Érintő és kotangens: ezeket a képleteket már a legelején levezettük.
tg a = sin a / cos a
ctg a = cos a / sin a
Az érintő és a kotangens szorzata:
tg a * ctg a = 1
Mert:
tg a * ctg a = (sin a / cos a) * (cos a / sin a) = 1 - törtek törlődnek.
Amint látja, minden képlet játék és kombináció.
Íme még kettő, amelyet az első képlet koszinusz négyzetével és szinusz négyzetével való elosztásból kapunk:
- 
-
Kérjük, vegye figyelembe, hogy az utolsó két képlet az a szög értékének korlátozásával használható, mivel nullával nem lehet osztani.
Kiegészítési képletek: vektoralgebra segítségével igazoljuk.
- 
-
Ritkán, de megfelelően használják őket. Vannak képletek a beolvasáson, de előfordulhat, hogy olvashatatlan, vagy a digitális forma könnyebben észlelhető:
- -
Kettős szög képletek:
Összeadási képletek alapján kapják meg, például: egy kettős szög koszinusza cos 2a = cos (a + a) - emlékeztet valamire? Most lecserélték a bétát alfára.
- 
-
A következő két képlet a sin^2(a) = 1 - cos^2(a) és cos^2(a) = 1 - sin^2(a) első helyettesítésből származik.
A kettős szög szinuszával egyszerűbb, és sokkal gyakrabban használják:
- 
-
A speciális perverzek pedig levezethetik a kettős szög érintőjét és kotangensét, tekintettel arra, hogy tg a \u003d sin a / cos a, és így tovább.
- 
-
A fenti személyeknek Háromszög képletek: a 2a és a szögek összeadásával származtatjuk, mivel a kettős szög képleteit már ismerjük.
- 
-
Félszög képletek:
- 
-
Nem tudom, hogyan származtatják őket, vagy inkább hogyan magyarázzam el ... Ha ezeket a képleteket leírja, és az alapvető trigonometrikus azonosságot a / 2-vel helyettesíti, akkor a válasz konvergál.
Képletek trigonometrikus függvények összeadására és kivonására:
- 
-
Összeadási képletekből kapják, de ez senkit nem érdekel. Nem gyakran találkozni.
Mint érti, még mindig van egy rakás képlet, amiket egyszerűen értelmetlen felsorolni, mert nem fogok tudni adekvátot írni róluk, száraz képleteket pedig bárhol lehet találni, ráadásul játék a korábbi létező képletekkel. Minden rettenetesen logikus és pontos. Csak utoljára mondom el a segédszög módszerről:
Az a cosx + b sinx kifejezés Acos(x+) vagy Asin(x+) alakra való átalakítását a segédszög (vagy kiegészítő argumentum) bevezetésének módszerének nevezzük. A módszert trigonometrikus egyenletek megoldásában, függvényértékek becslésében, szélsőséges feladatokban alkalmazzák, és ami fontos megjegyezni, néhány feladat nem oldható meg segédszög beiktatása nélkül.
Én, mint te, nem próbáltam megmagyarázni ezt a módszert, semmi nem lett belőle, így neked kell megtenned:
- 
-
Félelmetes, de hasznos. Ha megoldja a problémákat, működnie kell.
Innen például: mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/trigonom/metod/metod2/met2/met2.htm
Következő a kurzuson a trigonometrikus függvények grafikonjai. De elég egy lecke. Figyelembe véve, hogy ezt hat hónapig tanítják az iskolában.
Írja meg kérdéseit, oldjon meg problémákat, kérjen beszkennelt feladatokat, találja ki, próbálja ki.
Mindig a tiéd, Dan Faraday.
A matematikának azt az ágát, amely a trigonometrikus függvények tanulmányozásával, valamint azok geometriai felhasználásával foglalkozik, trigonometriának nevezik. Görögről lefordítva ezt a kifejezést „háromszögek méréseként” fordítják ("trigonon" - háromszög és "metreo" - mérés). Már az ókori Görögországban is használták az akkordtechnikát a körívek mérésével kapcsolatos mérésekhez és konstrukciókhoz. Még Eukleidész és Arkhimédész munkáiban is a modern trigonometrikus képletekhez hasonló geometriai formában mutatták be a tételeket.
Matematika: trigonometria
A trigonometria kezdete
A történészek szerint a legelső trigonometrikus táblázatokat a nikaei Hipparkhosz állította össze, aki ie 180-125 között élt. Ez az ókori görög matematikus volt az első kollégája, aki olyan táblázatokat állított össze, amelyek korrelálják a körívek és a szögsorozatoknak megfelelő húrok nagyságát. Az általa használt kör felosztása már nem volt új, hiszen korábban Hypsicles már javasolta a nap 360 részre osztását, és hasonlót találtak a babiloni csillagászok körében is.
Kr.e. 100-ban Alexandriai Minelaosz írta a „Gömb” című értekezést, amely három részből állt. A dolgozat első harmada a gömbháromszögek alapjainak tanulmányozására irányult, hasonlóan Eukleidész sík háromszögekről szóló munkájához. És valamivel később Claudius Ptolemaiosz "Almagest" című művében kibővítette Hipparkhosz "akkordjait egy körben". A 13 könyvből álló Almagest joggal tekinthető az ókor legteljesebb és legismertebb művének a trigonometria területén. És bár Hipparkhosz és Ptolemaiosz táblázatai sajnos nem maradtak fenn korunkig, más ókori szerzők művei bizonyítják létezésüket.
Az indiai gondolkodók is jelentős mértékben hozzájárultak a trigonometria fejlődéséhez. Tehát a 4-5. században Aribhata (az akkori híres indiai csillagász) írásaiban megtalálható az „ardhajiva” kifejezés (az indiai „ardha” - fél és „jiva” - íjhúrból fordítva). Ezt követően "dzsivává" alakult át, az arabok körében pedig "jab" (dudor) néven vált ismertté. Amikor a tudományos munkákat arabról az Európában általánosan elfogadott latinra fordították, ezt a kifejezést a "sine" (hajlítás, görbület) szó váltotta fel. Aribhata részletes szinusztáblázatot is összeállított, amelyet Surya Siddhanta című híres munkájában helyeztek el.
Amikor a VIII-IX. században az arab tudósok elkezdték arab nyelvre fordítani az indiai matematikusok és csillagászok tanulmányait. Ibrahim Al-Fazari, akit az első arab csillagásznak és matematikusnak tartottak, fiával, Mohameddel és egy másik tudóssal, Yakub ibn Tarikkal együtt lefordították a Brahma-sphuta-siddhantát (a traktátus szerzője Brahmagupta indiai matematikus és csillagász volt). A lefordított értekezést "Nagy Sindhind"-nek hívták, és sok középkori tudományos munka alapja lett.
Arab értekezések
A legelső saját trigonometriai munkák pedig al-Khwarizmi tollába tartoznak, aki megírta a „Kiegészítés és ellentét könyve” („Al-kitab al mukhtasar fi hisab al-jabr wa-l-muqabala”) értekezést, amelyből a tudomány „algebra” elnevezése is származik. Ekkor jelentek meg új trigonometriai kifejezések is: érintő és kotangens, szekáns és koszekáns. Az arab matematikusok kidolgozták az indiai tudósok elképzeléseit, és kiegészítették azokat saját tételeikkel és különféle trigonometrikus problémák új megoldásaival.
Az európai tudósok, akik tanulmányozták a trigonometria alapelveit arab értekezésekből lefordították latin nyelv A XII-XII. századi keresztes hadjáratok után jelentős mértékben hozzájárultak a trigonometria mint alkalmazott tudomány fejlődéséhez nemcsak a csillagászat, hanem a katonai ügyek terén is. Magát a "trigonometria" kifejezést ben vezették be tudományos világ Német B. Pitikus, aki 1595-ben adta ki az övét értekezés Trigonometria, avagy Rövid és világos értekezés a háromszögek megoldásáról címmel.
