Egy háromszög területe - képletek és példák a problémamegoldásra

Alul láthatók képletek egy tetszőleges háromszög területének meghatározásához amelyek alkalmasak bármely háromszög területének megtalálására, függetlenül annak tulajdonságaitól, szögeitől vagy méreteitől. A képletek kép formájában jelennek meg, itt találhatók magyarázatok az alkalmazásra vagy helyességük indoklására. Szintén külön ábra mutatja be a képletekben szereplő betűjelek és a rajz grafikus szimbólumainak megfelelését.

jegyzet . Ha a háromszög rendelkezik speciális tulajdonságok(egyenlőszárú, téglalap, egyenlő oldalú), használhatja az alábbi képleteket, valamint további speciális képleteket, amelyek csak az alábbi tulajdonságokkal rendelkező háromszögekre érvényesek:

• "Egyenlő oldalú háromszög területének képletei"

Háromszög terület képletek

Magyarázatok a képletekhez:
a, b, c- a háromszög oldalainak hossza, amelynek területét meg akarjuk találni
r- a háromszögbe írt kör sugara
R- a háromszög körüli körülírt kör sugara
h- a háromszög magassága, oldalra süllyesztve
p- egy háromszög fél kerülete, oldalai összegének 1/2-e ( kerülete)
α - a háromszög a oldalával ellentétes szög
β - a háromszög b oldalával szemközti szög
γ - a háromszög c oldalával szemközti szög
h a, h b , h c- a háromszög magassága, leengedve az a, b, c oldalra

Kérjük, vegye figyelembe, hogy a megadott jelölés megfelel a fenti ábrának, így egy valós geometriai probléma megoldása során vizuálisan könnyebben helyettesítheti a megfelelő értékeket a képlet megfelelő helyein.

• A háromszög területe a a háromszög magasságának és annak az oldalnak a hosszának a szorzata, amelyre ez a magasság le van engedve(Forma-1). Ennek a képletnek a helyessége logikusan érthető. Az alapra csökkentett magasság egy tetszőleges háromszöget két téglalap alakúra oszt. Ha mindegyiket kiegészítjük egy b és h méretű téglalappá, akkor nyilvánvalóan ezeknek a háromszögeknek a területe pontosan a téglalap területének felével lesz egyenlő (Spr = bh)
• A háromszög területe a két oldala és a köztük lévő szög szinuszának szorzatának fele(2. képlet) (lásd alább a probléma megoldásának példáját ezzel a képlettel). Annak ellenére, hogy az előzőtől eltérőnek tűnik, könnyen átalakítható azzá. Ha a magasságot a B szögből a b oldalra csökkentjük, akkor kiderül, hogy az a oldal és a γ szög szinuszának szorzata a derékszögű háromszög szinuszának tulajdonságai szerint egyenlő az általunk megrajzolt háromszög magasságával, amiből az előző képletet kapjuk.
• Megtalálható egy tetszőleges háromszög területe keresztül munka egy kör sugarának fele, amelyet az összes oldala hosszának összege ír be(3. képlet), más szóval meg kell szorozni a háromszög fél kerületét a beírt kör sugarával (így könnyebb megjegyezni)
• Egy tetszőleges háromszög területét úgy kaphatjuk meg, hogy minden oldalának szorzatát elosztjuk a köréje körülírt kör 4 sugarával (4. képlet)
• Az 5-ös képlet egy háromszög területét az oldalak hossza és a fél kerülete (az összes oldala összegének fele) alapján határozza meg.
• Heron képlete(6) ugyanannak a képletnek a reprezentációja a félperiméter fogalmának használata nélkül, csak az oldalak hossza mentén
• Egy tetszőleges háromszög területe egyenlő a háromszög oldalának négyzetének és az oldallal szomszédos szögek szinuszainak szorzatával, osztva az ezzel az oldallal ellentétes szög kettős szinuszával (7. képlet)
• Egy tetszőleges háromszög területe a körülötte körülírt kör két négyzetének és mindegyik szögének szinuszának a szorzataként található meg. (Forma-8)
• Ha ismert az egyik oldal hossza és a vele szomszédos két szög nagysága, akkor a háromszög területe ennek az oldalnak a négyzete, osztva e szögek kotangenseinek kettős összegével (9. képlet)
• Ha egy háromszög mindegyik magasságának csak a hossza ismert (10-es képlet), akkor egy ilyen háromszög területe fordítottan arányos e magasságok hosszával, mint a Heron-képlet szerint
• A 11-es képlet lehetővé teszi a számítást egy háromszög területe a csúcsok koordinátái szerint, amelyek (x;y) értékként vannak megadva az egyes csúcsokhoz. Kérjük, vegye figyelembe, hogy a kapott értéket modulo kell venni, mivel az egyes (vagy akár az összes) csúcsok koordinátái a negatív értékek területén lehetnek

jegyzet. Az alábbiakban példákat mutatunk be a geometriai problémák megoldására a háromszög területének megtalálásához. Ha olyan geometriai problémát kell megoldania, amelyhez hasonló itt nincs - írjon róla a fórumban. A megoldásokban a " szimbólum helyett Négyzetgyök" használható az sqrt() függvény, amelyben az sqrt a négyzetgyök szimbólum, és a gyök kifejezés zárójelben van feltüntetve.Néha a szimbólum használható egyszerű radikális kifejezésekre √

Feladat. Keresse meg a két oldal adott területét és a köztük lévő szöget!

A háromszög oldalai 5 és 6 cm, a köztük lévő szög 60 fokos. Keresse meg egy háromszög területét.

Megoldás.

A feladat megoldására a lecke elméleti részéből a kettes számú képletet használjuk.
A háromszög területe két oldal hosszán és a közöttük lévő szög szinuszán keresztül található, és egyenlő lesz
S=1/2 ab sin γ

Mivel minden szükséges adatunk megvan a megoldáshoz (a képlet szerint), ezért a képletbe csak a problémafelvetés értékeit tudjuk behelyettesíteni:
S=1/2*5*6*sin60

Az értéktáblázatban trigonometrikus függvények keresse meg és helyettesítse be a kifejezésben a 60 fokos szinusz értékét. Ez egyenlő lesz a három gyökével kettővel.
S = 15 √3/2

Válasz: 7,5 √3 (a tanár igényeitől függően valószínűleg elhagyható 15 √3/2)

Feladat. Keresse meg egy egyenlő oldalú háromszög területét

Keresse meg egy egyenlő oldalú háromszög területét, amelynek oldala 3 cm.

Megoldás .

A háromszög területét a Heron-képlet segítségével találhatjuk meg:

S = 1/4 négyzetméter((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Mivel a \u003d b \u003d c, az egyenlő oldalú háromszög területének képlete a következő lesz:

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 3 2

Válasz: 9 √3 / 4.

Feladat. Területváltás az oldalak hosszának megváltoztatásakor

Hányszorosára nő egy háromszög területe, ha az oldalait megnégyszerezzük?

Megoldás.

Mivel a háromszög oldalainak méretei számunkra ismeretlenek, a feladat megoldásához feltételezzük, hogy az oldalak hossza rendre egyenlő tetszőleges a, b, c számokkal. Ezután a probléma kérdésének megválaszolásához keressük meg ennek a háromszögnek a területét, majd egy olyan háromszög területét, amelynek oldalai négyszer nagyobbak. E háromszögek területének aránya megadja a választ a problémára.

Ezt követően lépésenként szöveges magyarázatot adunk a probléma megoldásáról. A legvégén azonban ugyanazt a megoldást az érzékelés szempontjából kényelmesebb grafikus formában mutatják be. Aki szeretne, azonnal ledobhatja a megoldást.

A megoldáshoz a Heron képletet használjuk (lásd fent a lecke elméleti részében). Ez így néz ki:

S = 1/4 négyzetméter((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(lásd az alábbi kép első sorát)

Egy tetszőleges háromszög oldalainak hosszát az a, b, c változók adják meg.
Ha az oldalakat 4-szeresére növeljük, akkor az új c háromszög területe:

S 2 = 1/4 négyzet ((4a + 4b + 4c) (4b + 4c - 4a) (4a + 4c - 4b) (4a + 4b -4c))
(lásd az alábbi kép második sorát)

Amint látja, a 4 egy gyakori tényező, amely a matematika általános szabályai szerint mind a négy kifejezésből zárójelbe tehető.
Akkor

S 2 = 1/4 négyzet (4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - a kép harmadik sorában
S 2 = 1/4 négyzet (256 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - negyedik sor

A 256-os számból a négyzetgyök tökéletesen kinyerhető, ezért a gyökér alól kivesszük
S 2 = 16 * 1/4 négyzetméter ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
S 2 = 4 négyzetméter((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(lásd az alábbi ábra ötödik sorát)

A feladatban feltett kérdés megválaszolásához elegendő, ha a kapott háromszög területét elosztjuk az eredeti háromszög területével.
A területarányokat úgy határozzuk meg, hogy a kifejezéseket egymásra osztjuk és a kapott törtet csökkentjük.

Utasítás

A felek a sarkok pedig alapelemnek számítanak A. A háromszöget teljesen meghatározza az alábbi alapelemek bármelyike: vagy három oldal, vagy egy oldal és két szög, vagy két oldal és egy közöttük lévő szög. A létezésért háromszög három oldal által meghatározott a, b, c, szükséges és elégséges, hogy az egyenlőtlenségek, az úgynevezett egyenlőtlenségek háromszög:
a+b > c
a+c > b
b+c > a.

Építéshez háromszög három oldalon a, b, c, a CB=a szakasz C pontjából kell megrajzolni egy b sugarú kört iránytűvel. Ezután hasonló módon rajzoljunk kört a B pontból egy sugarú körrel egyenlő az oldalával c. Az A metszéspontjuk a kívánt harmadik csúcsa háromszög ABC, ahol AB=c, CB=a, CA=b - oldalak háromszög. A probléma , ha az a, b, c oldalak kielégítik az egyenlőtlenségeket háromszög lépésben meghatározott.

Az így megszerkesztett S területe háromszög ABC-vel ismert felek a, b, c, a Heron-képlet alapján számítható ki:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
ahol a, b, c oldalak háromszög, p a félperiméter.
p = (a+b+c)/2

Ha a háromszög egyenlő oldalú, azaz minden oldala egyenlő (a=b=c). háromszög képlettel számolva:
S=(a^2 v3)/4

Ha a háromszög derékszögű, azaz egyik szöge 90°, és az azt alkotó oldalak lábak, akkor a harmadik oldal a befogó. Ebben az esetben négyzet egyenlő a lábak szorzatával osztva kettővel.
S=ab/2

Megtalálni négyzet háromszög, használhatja a sok képlet egyikét. Válassza ki a képletet attól függően, hogy mely adatok már ismertek.

Szükséged lesz

• képletek ismerete a háromszög területének meghatározásához

Utasítás

Ha ismeri az egyik oldal értékét és a szemközti sarokból erre az oldalra süllyesztett magasság értékét, akkor a területet a következő módszerrel találhatja meg: S = a * h / 2, ahol S a háromszög területe, a a háromszög egyik oldala, h pedig az a oldal magassága.

Ismert módszer a háromszög területének meghatározására, ha három oldala ismert. Ő Heron képlete. A rögzítés egyszerűsítése érdekében bevezetünk egy köztes értéket - egy félkörzetet: p \u003d (a + b + c) / 2, ahol a, b, c - . Ekkor a Heron-képlet a következő: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^1, ^ hatványozás.

Tegyük fel, hogy ismeri a háromszög egyik oldalát és három szögét. Ekkor könnyű megtalálni a háromszög területét: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), ahol β az a oldallal szemközti szög, α és γ pedig az oldallal szomszédos szögek.

Kapcsolódó videók

jegyzet

A legáltalánosabb képlet, amely minden esetre alkalmas, a Heron formula.

Források:

3. tipp: Hogyan találjuk meg egy háromszög területét, ha három oldala van

A háromszög területének megtalálása az egyik leggyakoribb feladat az iskolai planimetriában. A háromszög három oldalának ismerete elegendő bármely háromszög területének meghatározásához. Speciális esetekben és egyenlő oldalú háromszögeknél elég tudni két, illetve egy oldal hosszát.

Szükséged lesz

• háromszögek oldalhosszai, Heron-képlet, koszinusztétel

Utasítás

Heron képlete a háromszög területére a következő: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Ha a p félkörmérőt írod, akkor a következőt kapod: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c)/2)) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

A háromszög területének képletét megfontolások alapján is levezetheti, például a koszinusztétel alkalmazásával.

A koszinusz törvénye szerint AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). A bevezetett jelöléssel ezek a következő formában is lehetnek: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Ezért cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

A háromszög területét az S = a*c*sin(ABC)/2 képlet is meghatározza két oldalon és a köztük lévő szögön keresztül. Az ABC szög szinusza az alap segítségével fejezhető ki vele trigonometrikus azonosság: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2) Ha a szinust behelyettesítjük a terület képletébe és lefestjük, akkor az ABC háromszög területének képletéhez juthatunk.

Kapcsolódó videók

Javításhoz szükség lehet mérésre négyzet falak. Könnyebb kiszámítani a szükséges festék- vagy tapétamennyiséget. A mérésekhez a legjobb mérőszalagot vagy centiméteres szalagot használni. A méréseket ezután kell elvégezni falak igazodtak.

Szükséged lesz

• -rulett;
• -létra.

Utasítás

Számolni négyzet falak, tudnia kell a mennyezet pontos magasságát, valamint meg kell mérni a hosszát a padló mentén. Ezt a következőképpen kell megtenni: vegyünk egy centimétert, és fektessük a lábazat fölé. Általában egy centiméter nem elég a teljes hosszhoz, ezért rögzítse a sarokban, majd tekerje le a maximális hosszra. Ezen a ponton ceruzával tegyen egy jelet, írja le az eredményt, és végezze el a további mérést ugyanúgy, az utolsó mérési ponttól kezdve.

Normál mennyezetek tipikusan - 2 méter 80 centiméter, 3 méter és 3 méter 20 centiméter, a háztól függően. Ha a ház az 50-es évek előtt épült, akkor valószínűleg a tényleges magasság valamivel alacsonyabb a jelzettnél. Ha számolsz négyzet javítási munkákhoz, akkor egy kis árrés nem árt - fontolja meg a szabvány alapján. Ha még mindig tudnia kell a valós magasságot - végezzen méréseket. Az elv hasonló a hossz méréséhez, de szükség lesz egy létrára.

Szorozzuk meg a kapott számokat - ez van négyzet a te falak. Igaz, festési munkákhoz vagy ki kell vonni négyzet ajtó- és ablaknyílások. Ehhez fektessen egy centimétert a nyílás mentén. Ha olyan ajtóról beszélünk, amelyet később cserél, akkor eltávolított ajtókerettel végezze, csak figyelembe véve négyzet maga a nyílás. Az ablak területét a keret kerülete mentén számítják ki. Után négyzet kiszámított ablak és ajtónyílás, az eredményt ki kell vonni a kapott helyiség teljes területéből.

Felhívjuk figyelmét, hogy a szoba hosszának és szélességének mérését együtt végzik el, könnyebb a centimétert vagy mérőszalagot rögzíteni, és ennek megfelelően pontosabb eredményt kapni. Végezze el többször ugyanazt a mérést, hogy megbizonyosodjon arról, hogy a kapott számok pontosak.

Kapcsolódó videók

Egy háromszög térfogatának meghatározása valóban nem triviális feladat. A helyzet az, hogy a háromszög kétdimenziós alakzat, azaz. teljesen egy síkban fekszik, ami azt jelenti, hogy egyszerűen nincs térfogata. Természetesen nem lehet találni olyat, ami nem létezik. De ne adjuk fel! A következő feltételezést tehetjük: egy kétdimenziós alak térfogata, ez a területe. Keressük a háromszög területét.

Szükséged lesz

• papírlap, ceruza, vonalzó, számológép

Utasítás

Rajzolj egy papírlapra vonalzóval és ceruzával. A háromszög alapos vizsgálatával megbizonyosodhat arról, hogy valóban nincs-e benne, hiszen síkra van rajzolva. Jelölje meg a háromszög oldalait: legyen az egyik oldala "a", a másik oldala "b", a harmadik oldala "c". Jelölje meg a háromszög csúcsait "A", "B" és "C" betűkkel.

Mérjük meg vonalzóval a háromszög bármely oldalát, és írjuk le az eredményt. Ezt követően állítsa vissza a merőlegest a mért oldalra a szemközti csúcsból, ilyen merőleges lesz a háromszög magassága. Az ábrán látható esetben a merőleges "h" visszaáll a "c" oldalra az "A" csúcsból. Mérje meg a kapott magasságot vonalzóval, és rögzítse a mérés eredményét.

Előfordulhat, hogy nehezen tudja visszaállítani a pontos merőlegest. Ebben az esetben más képletet kell használnia. Mérjük meg vonalzóval a háromszög minden oldalát. Ezután számítsa ki a "p" háromszög fél kerületét úgy, hogy összeadja a kapott oldalak hosszát, és elosztja az összeget felére. Ha a rendelkezésére áll a fél kerület értéke, használhatja a Heron képletet. Ehhez a következő négyzetgyökét kell venni: p(p-a)(p-b)(p-c).

Megkapta a háromszög kívánt területét. A háromszög térfogatának megtalálásának problémája nem oldódott meg, de amint fentebb említettük, a térfogat nem . Megtalálható a térfogat, amely lényegében egy háromszög a 3D világban. Ha elképzeljük, hogy az eredeti háromszögünk háromdimenziós piramis lett, akkor egy ilyen piramis térfogata az alapja hosszának és a kapott háromszög területének szorzata lesz.

jegyzet

A számítások pontosabbak lesznek, minél alaposabban végez méréseket.

Források:

• Mindent mindenre számológép - Referenciaportál
• háromszög térfogata 2019-ben

A háromszöget a derékszögű koordinátarendszerben egyedileg meghatározó három pont a háromszög csúcsai. Az egyes koordinátatengelyekhez viszonyított helyzetük ismeretében ennek bármely paraméterét kiszámíthatja lapos alak, beleértve a kerületét és korlátozza azt négyzet. Ezt többféleképpen is meg lehet tenni.

Utasítás

Használja Heron képletét a terület kiszámításához háromszög. Ez magában foglalja az ábra három oldalának méreteit, ezért kezdje a számításokat ezzel. Mindegyik oldal hosszának meg kell egyeznie a koordinátatengelyekre vetített vetületei hosszának négyzetösszegének gyökével. Ha az A(X₁,Y₁,Z1), B(X2,Y2,Z2) és C(X3,Y3,Z3) koordinátákat jelöljük, akkor az oldalak hossza a következőképpen fejezhető ki: AB = √((X₁-X₂)²) + (Y2₂)² + (Y2₂) √((X2-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²), AC = √((X1-X3)² + (Y1-Y3)² + (Z1-Z3)²).

A számítások egyszerűsítése érdekében adjon meg egy segédváltozót - a fél kerületet (P). Ebből ez az összes oldal hosszának a fele: Р = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X1-X2)² + (Y1-Y2)² + (Z1-Z₂)²) + √((X₂-Z₂)²2+(Y₂) )²) + √((X1-X3)² + (Y1-Y3)² + (Z1-Z3)²).

A háromszög területének megtalálásához használhatja különböző képletek. Az összes módszer közül a legegyszerűbb és leggyakrabban használt a magasság megszorzása az alap hosszával, majd az eredmény elosztása kettővel. Ez a módszer azonban messze nem az egyetlen. Az alábbiakban elolvashatja, hogyan találhatja meg a háromszög területét különböző képletekkel.

Külön megvizsgáljuk az egyes háromszögtípusok - téglalap, egyenlő szárú és egyenlő oldalú - területének kiszámításának módszereit. Minden képlethez egy rövid magyarázatot mellékelünk, amely segít megérteni a lényegét.

Univerzális módszerek a háromszög területének megtalálására

Az alábbi képletek speciális jelöléseket használnak. Mindegyiket megfejtjük:

• a, b, c a vizsgált ábra három oldalának hossza;
• r a háromszögünkbe írható kör sugara;
• R a körülötte leírható kör sugara;
• α - a b és c oldalak által alkotott szög értéke;
• β az a és c közötti szög;
• γ - az a és b oldalak által alkotott szög értéke;
• h a háromszögünk magassága α szögből az a oldalra süllyesztve;
• p az a, b és c oldalak összegének fele.

Logikusan világos, hogy miért találhatja meg egy háromszög területét így. A háromszög könnyen kiegészíthető paralelogrammává, amelyben a háromszög egyik oldala átlóként fog működni. A paralelogramma területét úgy kapjuk meg, hogy az egyik oldal hosszát megszorozzuk a ráhúzott magasság értékével. Az átló ezt a feltételes paralelogrammát 2 egyforma háromszögre osztja. Ezért teljesen nyilvánvaló, hogy az eredeti háromszögünk területének egyenlőnek kell lennie a kiegészítő paralelogramma területének felével.

S=½ a b sin γ

E képlet szerint a háromszög területét úgy kapjuk meg, hogy a két oldalának, azaz a és b hosszát megszorozzuk az általuk alkotott szög szinuszával. Ez a képlet logikailag az előzőből származik. Ha a magasságot a β szögből a b oldalra csökkentjük, akkor a derékszögű háromszög tulajdonságai szerint az a oldal hosszát a γ szög szinuszával megszorozva megkapjuk a háromszög magasságát, azaz h-t.

A vizsgált ábra területét úgy kapjuk meg, hogy a kör beleírható sugarának felét megszorozzuk a kerületével. Vagyis megtaláljuk az említett kör fél kerületének és sugarának szorzatát.

S= a b c/4R

E képlet szerint a számunkra szükséges értéket úgy kaphatjuk meg, hogy az ábra oldalainak szorzatát elosztjuk a köréje körülírt kör 4 sugarával.

Ezek a képletek univerzálisak, mivel lehetővé teszik bármely háromszög területének meghatározását (skálás, egyenlő szárú, egyenlő oldalú, derékszögű). Ez bonyolultabb számítások segítségével tehető meg, amelyekre nem térünk ki részletesen.

A háromszögek meghatározott tulajdonságokkal rendelkező területei

Hogyan lehet megtalálni a derékszögű háromszög területét? Ennek a figurának az a sajátossága, hogy két oldala egyben a magassága is. Ha a és b lábak, és c lesz a hipotenusz, akkor a terület a következőképpen található:

Hogyan találjuk meg az egyenlő szárú háromszög területét? Két oldala van a hosszúságú és egy oldala b hosszúságú. Ezért területe úgy határozható meg, hogy az a oldal négyzetének és a γ szög szinuszának szorzatát elosztjuk 2-vel.

Hogyan találjuk meg az egyenlő oldalú háromszög területét? Ebben minden oldal hossza a, minden szög értéke α. Magassága fele az oldal hosszának szorzata 3 négyzetgyökével. Egy szabályos háromszög területének meghatározásához az a oldal négyzetét meg kell szorozni 3 négyzetgyökével, és el kell osztani 4-gyel.

A háromszög jól ismert figura. És ez formáinak gazdag változatossága ellenére. Téglalap alakú, egyenlő oldalú, hegyes, egyenlő szárú, tompa alakú. Mindegyik különbözik valamelyest. De mindenhez tudnia kell a háromszög területét.

Közös képletek minden olyan háromszöghez, amely az oldalak hosszát vagy magasságát használja

A bennük elfogadott megnevezések: oldalak - a, b, c; magasságok a megfelelő oldalakon a, n in, n s.

1. Egy háromszög területét a ½, az oldal és a rásüllyesztett magasság szorzataként számítjuk ki. S = ½ * a * n a. Hasonlóképpen képleteket kell írni a másik két oldalra is.

2. Gém-képlet, amelyben megjelenik a félkörzet (a teljes kerülettel ellentétben kis p betűvel szokás jelölni). A fél kerületet a következőképpen kell kiszámítani: össze kell adni az összes oldalt, és el kell osztani őket 2-vel. A fél kerület képlete: p \u003d (a + b + c) / 2. Ezután az ábra területének egyenlősége így néz ki: S \u003d * (√ -p) (c) * (p -p) (p)).

3. Ha nem szeretne félkeretet használni, akkor jól jön egy ilyen képlet, amelyben csak az oldalak hossza van jelen: S \u003d ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a) * (a + c - c) * (a + c - c)). Valamivel hosszabb, mint az előző, de segít, ha elfelejtette, hogyan kell megtalálni a fél kerületet.

Általános képletek, amelyekben a háromszög szögei megjelennek

A képletek olvasásához szükséges jelölés: α, β, γ - szögek. Ellentétes oldalon helyezkednek el a, b, c, ill.

1. Eszerint két oldal és a köztük lévő szög szinuszának szorzatának fele egyenlő a háromszög területével. Vagyis: S = ½ a * b * sin γ. A másik két eset képletét is hasonló módon kell megírni.

2. Egy háromszög területe egy oldalról és három ismert szögből számítható. S \u003d (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Létezik olyan képlet is, amelynek egy oldala ismert, és két szomszédos szöge van. Így néz ki: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Az utolsó két képlet nem a legegyszerűbb. Elég nehéz emlékezni rájuk.

Általános képletek arra a helyzetre, amikor a beírt vagy körülírt körök sugarai ismertek

További jelölések: r, R — sugarak. Az elsőt a beírt kör sugarára használják. A második a leírtakra vonatkozik.

1. Az első képlet, amellyel a háromszög területét kiszámítják, a fél kerülethez kapcsolódik. S = r * r. Más módon a következőképpen írható fel: S \u003d ½ r * (a + b + c).

2. A második esetben meg kell szoroznia a háromszög összes oldalát, és el kell osztania a körülírt kör négyszeres sugarával. Szó szerint így néz ki: S \u003d (a * b * c) / (4R).

3. A harmadik helyzet lehetővé teszi az oldalak ismerete nélkül, de mindhárom szög értékére szükség van. S \u003d 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

Különleges eset: derékszögű háromszög

Ez a legegyszerűbb helyzet, mivel csak mindkét láb hosszára van szükség. Ezeket latin a és b betűkkel jelöljük. Egy derékszögű háromszög területe egyenlő a hozzá adott téglalap területének felével.

Matematikailag így néz ki: S = ½ a * b. Ő a legkönnyebben megjegyezhető. Mivel úgy néz ki, mint egy téglalap területének képlete, csak egy töredék jelenik meg, ami a felét jelöli.

Különleges eset: egyenlő szárú háromszög

Mivel a két oldala egyenlő, a területére vonatkozó képletek kissé leegyszerűsítettnek tűnnek. Például a Heron-képlet, amely egy egyenlő szárú háromszög területét számítja ki, a következő formában jelenik meg:

S = ½ in √((a + ½ in)*(a - ½ in)).

Ha átalakítod, rövidebb lesz. Ebben az esetben a Heron képlete egy egyenlő szárú háromszögre a következőképpen írható fel:

S = ¼ in √(4 * a 2 - b 2).

A területképlet valamivel egyszerűbbnek tűnik, mint egy tetszőleges háromszög esetében, ha ismertek az oldalak és a köztük lévő szög. S \u003d ½ a 2 * sin β.

Különleges eset: egyenlő oldalú háromszög

Általában a vele kapcsolatos problémákban az oldal ismert, vagy valahogy felismerhető. Ezután egy ilyen háromszög területének megtalálásának képlete a következő:

S = (a 2 √3) / 4.

Feladatok a terület megtalálásához, ha a háromszög kockás papíron van ábrázolva

A legegyszerűbb helyzet, ha derékszögű háromszöget rajzolunk úgy, hogy a lábai egybeesjenek a papír vonalaival. Ezután csak meg kell számolnia a lábakba illeszkedő sejtek számát. Ezután szorozd meg őket és oszd el kettővel.

Ha a háromszög hegyes vagy tompaszögű, akkor téglalapra kell rajzolni. Ezután a kapott ábrán 3 háromszög lesz. Az egyik a feladatban megadott. A másik kettő pedig segéd- és téglalap alakú. Az utolsó kettő területét a fent leírt módszerrel kell meghatározni. Ezután számítsa ki a téglalap területét, és vonja ki belőle a kiegészítőkre kiszámított értékeket. A háromszög területe meg van határozva.

Sokkal nehezebb az a helyzet, amikor a háromszög egyik oldala sem esik egybe a papír vonalaival. Ezután téglalapba kell írni úgy, hogy az eredeti ábra csúcsai az oldalain feküdjenek. Ebben az esetben három kiegészítő derékszögű háromszög lesz.

Példa a Heron-képlet problémájára

Feltétel. Néhány háromszögnek vannak oldalai. Ezek egyenlőek 3, 5 és 6 cm. Meg kell találni a területét.

Most a fenti képlet segítségével kiszámíthatja egy háromszög területét. A négyzetgyök alatt négy szám szorzata található: 7, 4, 2 és 1. Vagyis a terület √ (4 * 14) = 2 √ (14).

Ha nincs szüksége nagyobb pontosságra, akkor vegye ki a 14 négyzetgyökét. Ez 3,74. Ekkor a terület 7,48 lesz.

Válasz. S \u003d 2 √14 cm 2 vagy 7,48 cm 2.

Példa derékszögű háromszöggel kapcsolatos feladatra

Feltétel. Egy derékszögű háromszög egyik szára 31 cm-rel hosszabb, mint a második. A hosszukat meg kell határozni, ha a háromszög területe 180 cm 2.
Megoldás. Két egyenletrendszert kell megoldanod. Az első a területtel kapcsolatos. A második a lábak arányával, ami a feladatban van megadva.
180 \u003d ½ a * b;

a \u003d b + 31.
Először is, az "a" értékét be kell cserélni az első egyenletbe. Kiderült: 180 \u003d ½ (in + 31) * hüvelyk. Csak egy ismeretlen mennyisége van, így könnyen megoldható. A zárójelek kinyitása után azt kapjuk másodfokú egyenlet: in 2 + 31 in - 360 = 0. Két értéket ad a "ben"-re: 9 és - 40. A második szám nem alkalmas válasznak, mivel a háromszög oldalának hossza nem lehet negatív érték.

Marad a második láb kiszámítása: a kapott számhoz adjunk hozzá 31-et, és kiderül, hogy 40. Ezeket a mennyiségeket keressük a feladatban.

Válasz. A háromszög lábai 9 és 40 cm.

A háromszög területének, oldalának és szögének oldalának megtalálásának feladata

Feltétel. Valamelyik háromszög területe 60 cm2. Ki kell számítani az egyik oldalát, ha a második oldal 15 cm, és a köztük lévő szög 30º.

Megoldás. Az elfogadott jelölések alapján a kívánt "a" oldal, az ismert "b", előre meghatározott szög"γ". Ezután a területképlet a következőképpen írható át:

60 \u003d ½ a * 15 * sin 30º. Itt a 30 fok szinusza 0,5.

A transzformációk után az "a" 60 / (0,5 * 0,5 * 15) lesz. Azaz 16.

Válasz. A kívánt oldal 16 cm.

A derékszögű háromszögbe írt négyzet problémája

Feltétel. A 24 cm-es oldalú négyzet csúcsa egybeesik a háromszög derékszögével. A másik kettő a lábakon fekszik. A harmadik a hypotenusához tartozik. Az egyik láb hossza 42 cm. Mekkora egy derékszögű háromszög területe?

Megoldás. Tekints kettőt derékszögű háromszög. Az első a feladatban van megadva. A második az eredeti háromszög ismert szárán alapul. Hasonlóak, mert közös szögük van, és párhuzamos vonalak alkotják.

Ekkor a lábaik aránya egyenlő. A kisebbik háromszög lábai 24 cm (a négyzet oldala) és 18 cm (adott láb 42 cm mínusz a négyzet oldala 24 cm). A nagy háromszög megfelelő lábai 42 cm és x cm. Erre az "x"-re van szükség a háromszög területének kiszámításához.

18/42 \u003d 24 / x, azaz x \u003d 24 * 42 / 18 \u003d 56 (cm).

Ekkor a terület egyenlő 56 és 42 szorzatával, osztva kettővel, azaz 1176 cm 2-rel.

Válasz. A kívánt terület 1176 cm2.

A terület fogalma

Bármely geometriai alakzat, különösen egy háromszög területének fogalma egy ilyen alakhoz, például négyzethez kapcsolódik. Bármely geometriai alakzat egységnyi területéhez egy négyzet területét vesszük, amelynek oldala eggyel egyenlő. A teljesség kedvéért felidézünk két alapvető tulajdonságot a geometriai formák területeinek fogalmához.

1. tulajdonság: Ha geometriai alakzatok egyenlőek, területük is egyenlő.

2. tulajdonság: Bármely figura több figurára osztható. Ezenkívül az eredeti ábra területe megegyezik az azt alkotó összes figura területének értékeinek összegével.

Vegyünk egy példát.

1. példa

Nyilvánvaló, hogy a háromszög egyik oldala annak a téglalapnak az átlója, amelynek egyik oldala $5$ hosszú ($5$ cellák óta), másik oldala pedig $6$ ($6$ cella óta). Ezért ennek a háromszögnek a területe egyenlő lesz egy ilyen téglalap felével. A téglalap területe a

Ekkor a háromszög területe

Válasz: 15 dollár.

Ezután vegyen fontolóra számos módszert a háromszögek területének megtalálására, nevezetesen a magasság és az alap, a Heron képlet és az egyenlő oldalú háromszög területének használatával.

Hogyan lehet megtalálni a háromszög területét a magasság és az alap segítségével

1. tétel

A háromszög területe az oldal hosszának és az oldalhoz húzott magasság szorzatának a fele.

Matematikailag így néz ki

$S=\frac(1)(2)αh$

ahol $a$ az oldal hossza, $h$ a hozzá húzott magasság.

Bizonyíték.

Tekintsük az $ABC$ háromszöget, ahol $AC=α$. A $BH$ magasságot erre az oldalra húzzuk, és egyenlő: $h$. Építsük fel a $AXYC$ négyzetre a 2. ábrán látható módon.

A $AXBH$ téglalap területe $h\cdot AH$, a $HBYC$ téglalapé pedig $h\cdot HC$. Akkor

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Ezért a háromszög kívánt területe a 2. tulajdonság szerint egyenlő

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\frac(1)(2)αh$

A tétel bizonyítást nyert.

2. példa

Keresse meg a háromszög területét az alábbi ábrán, ha a cella területe eggyel egyenlő

Ennek a háromszögnek az alapja $9$ (mivel a $9$ az $9$ cellák). A magassága is 9 dollár. Ekkor az 1. tétel alapján megkapjuk

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Válasz: 40,5 dollár.

Heron képlete

2. tétel

Ha megadjuk egy háromszög $α$, $β$ és $γ$ három oldalát, akkor a területe a következőképpen kereshető

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

itt a $ρ$ ennek a háromszögnek a fél kerületét jelenti.

Bizonyíték.

Tekintsük a következő ábrát:

A Pitagorasz-tétellel az $ABH$ háromszögből kapjuk

A $CBH$ háromszögből a Pitagorasz-tétel alapján megkaptuk

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Ebből a két összefüggésből kapjuk az egyenlőséget

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Mivel $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, akkor $α+β+γ=2ρ$, ezért

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Az 1. tétel alapján azt kapjuk

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)()