Ebben a leckében részletesen megvizsgáljuk az y \u003d sin x függvényt, főbb tulajdonságait és grafikonját. A lecke elején megadjuk az y \u003d sin t trigonometrikus függvény definícióját a koordinátakörön, és figyelembe vesszük a függvény grafikonját a körön és az egyenesen. Mutassuk meg ennek a függvénynek a periodicitását a grafikonon, és vegyük figyelembe a függvény főbb tulajdonságait. Az óra végén néhány egyszerű feladatot oldunk meg a függvény és tulajdonságainak grafikonjával.
Téma: Trigonometrikus függvények
Lecke: y=sinx függvény, főbb tulajdonságai és grafikonja
Egy függvény figyelembevételekor fontos, hogy a függvény egyetlen értékét társítsuk az argumentum minden értékéhez. Ez levelezés törvényeés függvénynek nevezzük.
Határozzuk meg a megfelelési törvényt.
Bármely valós szám az egységkör egyetlen pontjának felel meg, amelynek egyetlen ordinátája van, amelyet a szám szinuszának nevezünk (1. ábra).
Minden argumentumértékhez egyetlen függvényérték van hozzárendelve.
A szinusz definíciójából nyilvánvaló tulajdonságok következnek.
Az ábra azt mutatja 
mert az egységkör egy pontjának ordinátája.
Tekintsük a függvénygrafikont. Emlékezzünk vissza az érv geometriai értelmezésére. Az argumentum a radiánban mért központi szög. A tengelyen a valós számokat vagy szögeket radiánban ábrázoljuk, a tengely mentén a megfelelő függvényértékeket.
Például az egységkörön lévő szög a grafikon egy pontjának felel meg (2. ábra).
Megkaptuk a függvény grafikonját az oldalon, de a szinusz periódusának ismeretében a függvény grafikonját a teljes definíciós tartományon ábrázolhatjuk (3. ábra).
A függvény fő periódusa Ez azt jelenti, hogy a grafikont egy szegmensen lehet megkapni, majd folytatni a teljes definíciós tartományra.
Tekintsük a függvény tulajdonságait:
1) A meghatározás tartománya:
2) Értéktartomány: 
3) Páratlan függvény:
4) A legkisebb pozitív időszak:
5) A grafikon és az x tengellyel való metszéspontjainak koordinátái: 
6) A gráf y tengellyel való metszéspontjának koordinátái:
7) Intervallumok, amelyeken a függvény pozitív értékeket vesz fel:
8) Azok az időközök, amelyeknél a függvény negatív értékeket vesz fel:
9) Növekvő időközök:
10) Csökkenő intervallumok:
11) Mélypontok: 
12) Minimális jellemzők:
13) Legmagasabb pontok: 
14) Maximális jellemzők:
Megvizsgáltuk egy függvény és grafikonjának tulajdonságait. A tulajdonságok ismételten felhasználásra kerülnek a problémák megoldásában.
Bibliográfia
1. Algebra és az elemzés kezdete, 10. évfolyam (két részben). Tankönyv oktatási intézmények számára ( profilszint) szerk. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.
2. Algebra és az elemzés kezdete, 10. évfolyam (két részben). Feladatfüzet oktatási intézmények számára (profilszint), szerk. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.
3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra és matematikai elemzés 10. évfolyamhoz ( oktatóanyag iskolák és osztályok tanulói számára a matematika elmélyült tanulmányozásával).-M .: Nevelés, 1996.
4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Mély tanulás algebra és matematikai elemzés.-M.: Nevelés, 1997.
5. Matematikai feladatgyűjtemény műszaki egyetemekre jelentkezők számára (M.I.Skanavi szerkesztésében).-M.: Higher School, 1992.
6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebrai tréner.-K.: A.S.K., 1997.
7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Az algebrai feladatok és az elemzés kezdetei (kézikönyv az általános oktatási intézmények 10-11. osztályos tanulói számára).-M .: Nevelés, 2003.
8. Karp A.P. Az algebrai feladatgyűjtemény és az elemzés kezdetei: tankönyv. pótlék 10-11 cellára. egy mély tanulmány matematika.-M.: Oktatás, 2006.
Házi feladat
Algebra és az elemzés kezdetei, 10. évfolyam (két részben). Feladatfüzet oktatási intézmények számára (profilszint), szerk.
A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.
№№ 16.4, 16.5, 16.8.
További webes források
3. Oktatási portál vizsgákra készülni ().
Megállapítottuk, hogy a trigonometrikus függvények viselkedése, és a függvények y = sin x különösen, a teljes számegyenesen (vagy az argumentum összes értékére x) teljes mértékben meghatározza az intervallumban való viselkedése 0 < x < π / 2 .
Ezért először ábrázoljuk a függvényt y = sin x pontosan ebben az intervallumban.
Készítsük el a függvényünk alábbi értéktáblázatát;
A koordinátasíkon a megfelelő pontokat megjelölve és sima vonallal összekötve az ábrán látható görbét kapjuk
A kapott görbe geometriailag is megszerkeszthető anélkül, hogy függvényértékek táblázatát összeállítanák y = sin x .
1. Az 1 sugarú kör első negyedét 8 egyenlő részre osztjuk A kör osztási pontjainak ordinátái a megfelelő szögek szinuszai.
2. A kör első negyede 0-tól ig terjedő szögeknek felel meg π / 2 . Ezért a tengelyen x Vegyünk egy szakaszt, és osszuk 8 egyenlő részre.
3.Húzzunk a tengellyel párhuzamos egyeneseket x, és az osztási pontokból visszaállítjuk a merőlegeseket a vízszintes vonalakkal való metszéspontra.
4. Kösse össze a metszéspontokat egy sima vonallal.
Most nézzük az intervallumot π /
2
<
x <
π
.
Minden argumentum értéke x ebből az intervallumból úgy ábrázolható
x = π / 2 + φ
Ahol 0 < φ < π / 2 . A redukciós képletek szerint
bűn( π / 2 + φ ) = cos φ = bűn ( π / 2 - φ ).
Tengelypontok x abszcisszával π / 2 + φ És π / 2 - φ szimmetrikusan egymásra a tengelypont körül x abszcisszával π / 2 , és ezekben a pontokban a szinuszok megegyeznek. Ez lehetővé teszi a függvény grafikonjának elkészítését y = sin x intervallumban [ π / 2 , π ] egyszerűen szimmetrikusan megjelenítve ennek a függvénynek a grafikonját az egyeneshez viszonyított intervallumban x = π / 2 .
Most használja az ingatlant páratlan függvény y \u003d sin x,
bűn(- x) = -sin x,
ezt a függvényt könnyű ábrázolni a [- π , 0].
Az y \u003d sin x függvény periodikus, 2π periódussal ;. Ezért ennek a függvénynek a teljes grafikonjának felépítéséhez elegendő az ábrán látható görbét periodikusan egy ponttal balra és jobbra folytatni. 2π .
Az így kapott görbét ún szinuszos . Ez a függvény grafikonja y = sin x.
Az ábra jól szemlélteti a függvény összes tulajdonságát y = sin x , amelyeket korábban mi is bebizonyítottunk. Emlékezzen ezekre a tulajdonságokra.
1) Funkció y = sin x minden értékre definiálva x , így a tartománya az összes valós szám halmaza.
2) Funkció y = sin x korlátozott. Az összes szükséges érték -1 és 1 között van, beleértve ezt a két számot is. Ezért ennek a függvénynek a tartományát a -1 egyenlőtlenség határozza meg < nál nél < 1. Mikor x = π / 2 + 2k π függvény veszi legmagasabb értékeket, egyenlő 1-gyel, és x = - π / 2 + 2k π - legkisebb értékek, egyenlő -1.
3) Funkció y = sin x páratlan (a szinusz szimmetrikus az origóhoz képest).
4) Funkció y = sin x periodikus a 2. periódussal π .
5) 2n időközönként π < x < π + 2n π (n bármely egész szám) pozitív, és intervallumokban π + 2k π < x < 2π + 2k π (k bármely egész szám) negatív. Ha x = k π a függvény nullára megy. Ezért az x argumentum ezen értékei (0; ± π ; ±2 π ; ...) a függvény nulláinak nevezzük y = sin x
6) Időközönként - π / 2 + 2n π < x < π / 2 + 2n π funkció y = bűn x monoton és időközönként növekszik π / 2 + 2k π < x < 3π / 2 + 2k π monoton csökken.
Különös figyelmet kell fordítani a függvény viselkedésére y = sin x a pont közelében x = 0 .
Például sin 0,012 ≈ 0,012; sin(-0,05) ≈ -0,05;
sin2° = bűn π 2 / 180=bűn π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.
Meg kell azonban jegyezni, hogy az x bármely értéke esetén
| bűn x| < | x | . (1)
Valóban, legyen az ábrán látható kör sugara 1,
a /
AOB = x.
Aztán bűn x= AC. De AU< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол x. Ennek az ívnek a hossza nyilvánvalóan egyenlő x, mivel a kör sugara 1. Tehát 0 esetén< x < π / 2
bűn x< х.
Ezért a függvény páratlansága miatt y = sin x könnyű megmutatni, hogy amikor - π / 2 < x < 0
| bűn x| < | x | .
Végül at x = 0
| sin x | = | x |.
Így a | x | < π / 2 az (1) egyenlőtlenség bebizonyosodik. Valójában ez az egyenlőtlenség a |-re is igaz x | > π / 2 amiatt, hogy | | bűn x | < 1, a π / 2 > 1
Feladatok
1.A funkció ütemezése szerint y = sin x határozzuk meg: a) sin 2; b) sin 4; c) bűn (-3).
2. Ütemezés funkció y = sin x
határozza meg, melyik szám az intervallumból
[ - π /
2 ,
π /
2
] szinusza egyenlő: a) 0,6; b) -0,8.
3. Ütemezett funkció y = sin x
határozza meg, hogy mely számoknak van szinusza,
egyenlő 1/2 .
4. Határozza meg megközelítőleg (táblázatok nélkül): a) sin 1°; b) sin 0,03;
c) sin (-0,015); d) sin (-2°30").
>>Matematika: y \u003d sin x, y \u003d cos x függvények, tulajdonságaik és grafikonjaik
y \u003d sin x, y \u003d cos x függvények, tulajdonságaik és grafikonjaik
Ebben a részben az y = függvények néhány tulajdonságát tárgyaljuk sin x,y= cos x és ábrázoljuk grafikonjaikat.
1. y függvény \u003d sin X.
Fent, a 20. §-ban megfogalmaztunk egy szabályt, amely lehetővé teszi, hogy minden t szám társítható legyen a cos t számmal, azaz. jellemezte az y = sin t függvényt. Megjegyezzük néhány tulajdonságát.
Az u = sint függvény tulajdonságai.
A definíciós tartomány a valós számok K halmaza.
Ez abból következik, hogy bármely 2-es szám megfelel egy M(1) pontnak a számkörön, amelynek jól meghatározott ordinátája van; ez az ordináta a cos t.
u = sin t páratlan függvény.
Ez abból következik, hogy a 19. §-ban bebizonyosodott, hogy bármely t az egyenlőség
Ez azt jelenti, hogy az u \u003d sin t függvény grafikonja, mint bármely páratlan függvény grafikonja, szimmetrikus az origóhoz képest téglalap alakú rendszer koordináták tOi.
Az u = sin t függvény az intervallumon növekszik 
Ez abból következik, hogy amikor a pont a számkör első negyede mentén mozog, az ordináta fokozatosan növekszik (0-ról 1-re – lásd 115. ábra), és amikor a pont a számkör második negyede mentén mozog, a ordináta fokozatosan csökken (1-ről 0-ra – lásd 115. ábra). 116. ábra).
Az u = sin t függvény alulról és felülről is korlátos. Ez abból következik, hogy mint a 19. §-ban láttuk, minden t az egyenlőtlenség
(a függvény az űrlap bármely pontján eléri ezt az értéket 
(a függvény az űrlap bármely pontján eléri ezt az értéket
A kapott tulajdonságok felhasználásával megszerkesztjük a számunkra érdekes függvény grafikonját. De (figyelem!) u - sin t helyett y \u003d sin x-et fogunk írni (végül is megszoktuk, hogy y \u003d f (x), és nem u \u003d f (t)-t írunk). Ez azt jelenti, hogy egy gráfot a szokásos хОу (és nem tOy) koordinátarendszerben fogunk készíteni.
Készítsünk egy táblázatot a függvényértékekről - sin x:
Megjegyzés.
Íme a "sine" kifejezés eredetének egyik változata. Latinul a sinus azt jelenti, hajlítás (íjhúr).
A felépített gráf bizonyos mértékig igazolja ezt a terminológiát. 
Az y \u003d sin x függvény grafikonjaként szolgáló egyenest szinuszosnak nevezzük. A szinusz azon része, amely az ábrán látható. 118 vagy 119 szinuszhullámnak nevezzük, és a szinusznak azt a részét, amely az 1. ábrán látható. A 117-et félhullámnak vagy szinuszhullám ívének nevezik.
2. Függvény y = cos x.
Az y \u003d cos x függvény vizsgálata megközelítőleg ugyanazon séma szerint hajtható végre, amelyet fentebb az y \u003d sin x függvényhez használtunk. De azt az utat választjuk, amely gyorsabban vezet a célhoz. Először két olyan képletet fogunk bebizonyítani, amelyek önmagukban is fontosak (ezt látni fogjátok a gimnáziumban), de eddig csak segédértékkel bírnak a céljaink szempontjából.
t bármely értékére az egyenlőségek
Bizonyíték. A t szám feleljen meg a numerikus n kör M pontjának, a * + - szám pedig a P pontnak (124. ábra; az egyszerűség kedvéért az első negyedben vettük az M pontot). Az AM és BP ívek egyenlőek, és az OKM és OBP derékszögű háromszögek is egyenlőek. Ezért O K = Ob, MK = Pb. Ezekből az egyenlőségekből, valamint az OKM és OLR háromszögek koordinátarendszerbeli elhelyezkedéséből két következtetést vonunk le:
1) a P pont ordinátája abszolút értékben és előjelben is egybeesik az M pont abszcisszájával; ez azt jelenti
2) a P pont abszcisszája abszolút értékben egyenlő az M pont ordinátájával, de előjelben különbözik tőle; ez azt jelenti
Körülbelül ugyanezt az érvelést hajtjuk végre azokban az esetekben, amikor az M pont nem tartozik az első negyedévhez.
Használjuk a képletet 
(ez a fent bizonyított képlet, csak a t változó helyett az x változót használjuk). Mit ad nekünk ez a képlet? Lehetővé teszi számunkra annak állítását, hogy a funkciók
azonosak, így a grafikonjaik is megegyeznek.
Ábrázoljuk a függvényt 
Ehhez térjünk át egy segédkoordináta-rendszerre, amelynek origója egy pontban van (a szaggatott vonal a 125. ábrán látható). Társítsa az y \u003d sin x függvényt ehhez új rendszer koordináták - ez lesz a függvény grafikonja 
(125. ábra), i.e. az y - cos x függvény grafikonja. Ezt, akárcsak az y \u003d sin x függvény grafikonját, szinuszosnak nevezik (ami teljesen természetes).
Az y = cos x függvény tulajdonságai.
y = cos x páros függvény.
Az építési szakaszok az ábrán láthatók. 126:
1) elkészítjük az y \u003d cos x függvény grafikonját (pontosabban egy félhullám);
2) a megszerkesztett gráfot az x tengelytől 0,5-ös együtthatóval nyújtva megkapjuk a szükséges gráf egy félhullámát;
3) a kapott félhullám felhasználásával megszerkesztjük az y \u003d 0,5 cos x függvény teljes grafikonját.
|BD|- egy pontban középpontban lévő kör ívének hossza A.
α
egy radiánban kifejezett szög.
szinusz ( sinα) – Ezt trigonometrikus függvény, a hypotenus és a láb közötti α szögtől függően derékszögű háromszög, egyenlő az aránnyal a szemközti láb hossza |BC| a hypotenus |AC| hosszára.
koszinusz ( cosα) egy trigonometrikus függvény, amely egy derékszögű háromszög befogója és szára közötti α szögtől függ, amely egyenlő a szomszédos szár hosszának arányával |AB| a hypotenus |AC| hosszára.
Elfogadott megnevezések
;
;
.
;
;
.
A szinuszfüggvény grafikonja, y = sin x
A koszinusz függvény grafikonja, y = cos x
A szinusz és a koszinusz tulajdonságai
Periodikaság
y= függvények bűn xés y= cos x periodikus periódussal 2 π.
Paritás
A szinuszfüggvény páratlan. A koszinusz függvény páros.
Definíció és értékek tartománya, szélsőség, növekedés, csökkenés
A szinusz és koszinusz függvények folytonosak a definíciós tartományukon, azaz minden x-re (lásd a folytonosság bizonyítását). Főbb tulajdonságaikat a táblázat mutatja be (n - egész).
| y= bűn x | y= cos x | |
| Hatály és folytonosság | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Értékek tartománya | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
| Emelkedő | ||
| Csökkenő | ||
| Maximum, y= 1 | ||
| Minimum, y = - 1 | ||
| Nullák, y= 0 | ||
| Metszéspontok az y tengellyel, x = 0 | y= 0 | y= 1 |
Alapképletek
A szinusz és a koszinusz négyzetének összege
Szinusz és koszinusz képletek összegre és különbségre
;
;
Képletek szinuszok és koszinuszok szorzatára
Összeg és különbség képletek
Szinusz kifejezése koszinuszon keresztül
;
;
;
.
Koszinusz kifejezése szinuszon keresztül
;
;
;
.
Kifejezés érintőben
; .
A következőkkel rendelkezünk:
;
.
Nál nél :
;
.
Szinuszok és koszinuszok, érintők és kotangensek táblázata
Ez a táblázat a szinuszok és koszinuszok értékeit mutatja az argumentum egyes értékeire vonatkozóan. 
Kifejezések összetett változókon keresztül
;
Euler-képlet
Kifejezések hiperbolikus függvényekkel
;
;
Származékok
; . Képletek származtatása >>>
Az n-edik rend származékai:
{ -∞ <
x < +∞ }
Szekáns, koszekáns
Inverz függvények
Inverz függvények szinuszhoz és koszinuszhoz az arcszinusz, illetve az arkoszinusz.
Arcsine, arcsin
Arccosine, arccos
Referenciák:
BAN BEN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematika kézikönyve mérnököknek és felsőoktatási intézmények hallgatóinak, Lan, 2009.
