Trigonometrikus azonosságok olyan egyenlőségek, amelyek kapcsolatot létesítenek egy szög szinusza, koszinusza, érintője és kotangense között, amely lehetővé teszi ezen függvények bármelyikének megtalálását, feltéve, hogy bármely másik ismert.
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1
Ez az azonosság azt mondja, hogy egy szög szinuszának négyzetének és egy szög koszinuszának négyzetének összege egyenlő eggyel, ami a gyakorlatban lehetővé teszi egy szög szinuszának kiszámítását, ha ismerjük a koszinuszát, és fordítva. .
Átalakításkor trigonometrikus kifejezések nagyon gyakran ezt az azonosságot használják, ami lehetővé teszi, hogy egy szög koszinuszának és szinuszának négyzetösszegét egységnyire cseréljük, és a csereműveletet fordított sorrendben hajtsuk végre.
Érintő és kotangens keresése szinuszon és koszinuszon keresztül
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace
Ezek az azonosságok a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definícióiból alakulnak ki. Hiszen ha megnézed, akkor definíció szerint y ordinátája a szinusz, x abszcisszája pedig a koszinusz. Ekkor az érintő egyenlő lesz az aránnyal \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), és az arány \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- kotangens lesz.
Hozzátesszük, hogy az azonosságok csak olyan \alpha szögeknél történnek, amelyeknél a benne foglalt trigonometrikus függvényeknek van értelme, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).
Például: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)\alpha szögekre érvényes, amelyek eltérnek a \frac(\pi)(2)+\pi z, A ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- a \pi z-től eltérő \alpha szög esetén z egész szám.
Az érintő és a kotangens kapcsolata
tg \alpha \cdot ctg \alpha=1
Ez az azonosság csak azokra az \alpha szögekre érvényes, amelyek eltérnek a \frac(\pi)(2) z. Ellenkező esetben sem a kotangens, sem az érintő nem kerül meghatározásra.
A fenti pontok alapján azt kapjuk tg \alpha = \frac(y)(x), A ctg\alpha=\frac(x)(y). Ebből következik tehát tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Így az egyik szög érintője és kotangense, amelynél értelmet nyernek, kölcsönösen reciprok számok.
Az érintő és a koszinusz, a kotangens és a szinusz összefüggései
tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- az \alpha és 1 szög érintőjének négyzetének összege egyenlő ennek a szögnek a koszinuszának fordított négyzetével. Ez az azonosság minden \alfára érvényes, kivéve \frac(\pi)(2)+ \pi z.
1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- 1 összege és a \alpha szög kotangensének négyzete megegyezik az adott szög szinuszának inverz négyzetével. Ez az azonosság a \pi z kivételével bármely \alfára érvényes.
Példák problémák megoldására trigonometrikus identitások használatával
1. példa
Keresse meg a \sin \alpha és a tg \alpha if függvényeket \cos \alpha=-\frac12És \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;
Megoldás megjelenítése
Megoldás
A \sin \alpha és \cos \alpha függvényeket a képlet kapcsolja össze \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Behelyettesítve ebbe a képletbe \cos \alpha = -\frac12, kapunk:
\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1
Ennek az egyenletnek 2 megoldása van:
\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)
Feltétel szerint \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . A második negyedben a szinusz pozitív, így \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).
A tg \alpha megtalálásához a képletet használjuk tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3
2. példa
Keresse meg a \cos \alpha és a ctg \alpha függvényt, ha és \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .
Megoldás megjelenítése
Megoldás
Behelyettesítés a képletbe \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 feltételes szám \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), kapunk \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Ennek az egyenletnek két megoldása van \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.
Feltétel szerint \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . A második negyedévben a koszinusz negatív, tehát \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.
A ctg \alpha megtalálásához a képletet használjuk ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Ismerjük a megfelelő értékeket.
ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).
Az érintő (tg x) és kotangens (ctg x) referenciaadatai. Geometriai definíció, tulajdonságok, grafikonok, képletek. Érintő- és kotangensek, deriváltak, integrálok, sorozatbővítések táblázata. Kifejezések összetett változókon keresztül. Kapcsolat hiperbolikus függvényekkel.
Geometriai meghatározás
|BD| - az A pontban középpontba állított kör ívének hossza.
α a radiánban kifejezett szög.
Érintő ( tgα) egy trigonometrikus függvény, amely a hipotenusz és a láb közötti α szögtől függ derékszögű háromszög, egyenlő az aránnyal a szemközti láb hossza |BC| a szomszédos láb hosszára |AB| .
Kotangens ( ctgα) egy trigonometrikus függvény, amely egy derékszögű háromszög befogója és szára közötti α szögtől függ, egyenlő a szomszédos szár hosszának arányával |AB| a szemközti láb hosszára |BC| .
Tangens
Ahol n- egész.
A nyugati irodalomban az érintőt a következőképpen jelölik:
.
;
;
.
Az érintőfüggvény grafikonja, y = tg x
Kotangens
Ahol n- egész.
A nyugati irodalomban a kotangenst a következőképpen jelölik:
.
A következő jelölést is elfogadták:
;
;
.
A kotangens függvény grafikonja, y = ctg x
Az érintő és a kotangens tulajdonságai
Periodikaság
y= függvények tg xés y= ctg xπ periódusúak.
Paritás
Az érintő és a kotangens függvények páratlanok.
Definíciók és értékek tartományai, növekvő, csökkenő
A tangens és a kotangens függvények definíciós tartományukon folytonosak (lásd a folytonosság bizonyítását). Az érintő és a kotangens főbb tulajdonságait a táblázat tartalmazza ( n- egész szám).
| y= tg x | y= ctg x | |
| Hatály és folytonosság | ||
| Értéktartomány | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Emelkedő | - | |
| Csökkenő | - | |
| Extrémek | - | - |
| Nullák, y= 0 | ||
| Metszéspontok az y tengellyel, x = 0 | y= 0 | - |
Képletek
Kifejezések szinuszban és koszinuszban
;
;
;
;
;
Az összeg és a különbség érintőjének és kotangensének képlete
A többi képlet például könnyen beszerezhető
Érintők szorzata
Az érintők összegének és különbségének képlete
Ez a táblázat az érvelés egyes értékeinek érintők és kotangensek értékeit mutatja. 
Kifejezések komplex számokkal
Kifejezések hiperbolikus függvényekkel
;
;
Származékok
; .
.
Az n-edik sorrend deriváltja a függvény x változójára vonatkozóan:
.
Tangens képleteinek származtatása > > > ; kotangensre >>>
Integrálok
Bővítések sorozatokká
Ahhoz, hogy megkapjuk az érintő kiterjesztését x hatványaiban, a függvények hatványsorában több tagot kell felvenni a kiterjesztésre. bűn xÉs cos xés osszuk fel ezeket a polinomokat egymásra, . Ez a következő képleteket eredményezi.
Nál nél .
nál nél .
Ahol B n- Bernoulli számok. Meghatározásuk vagy az ismétlődési relációból történik:
;
;
Ahol .
Vagy a Laplace-képlet szerint: 
Inverz függvények
Inverz függvények to érintő és kotangens az arctangens, illetve az arckotangens.
Arctangens, arctg
, Ahol n- egész.
Ív érintő, arcctg
, Ahol n- egész.
Referenciák:
BAN BEN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematika kézikönyve mérnököknek és felsőoktatási intézmények hallgatóinak, Lan, 2009.
G. Korn, Matematika kézikönyve kutatóknak és mérnököknek, 2012.
A két α és β szög szinuszainak és koszinuszainak összegére és különbségére vonatkozó képletek lehetővé teszik, hogy a jelzett szögek összegéből az α + β 2 és α - β 2 szögek szorzatára jussunk. Azonnal megjegyezzük, hogy ne keverje össze a szinuszok és koszinuszok összegének és különbségének képleteit az összeg és a különbség szinuszainak és koszinuszainak képleteivel. Az alábbiakban felsoroljuk ezeket a képleteket, megadjuk a származtatásukat, és példákat mutatunk be konkrét problémákra.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Képletek szinuszok és koszinuszok összegére és különbségére
Írjuk fel, hogyan néznek ki a szinuszokra és koszinuszokra vonatkozó összeg- és különbségképletek
Összeg és különbség képletek szinuszokhoz
sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2
Összeg és különbség képletek koszinuszokhoz
cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2, cos α - cos β = 2 sin α + β -2 α 2
Ezek a képletek bármely α és β szögre érvényesek. Az α + β 2 és α - β 2 szögeket rendre az alfa és béta szögek félösszegének, illetve félkülönbségének nevezzük. Minden képlethez megadunk egy formulát.
Összeg és különbség képletek definíciói szinuszokhoz és koszinuszokhoz
Két szög szinuszának összege egyenlő ezeknek a szögeknek a fele összege szinuszának és a félkülönbség koszinuszának kétszeresével.
Két szög szinuszainak különbsége egyenlő e szögek fele-különbségének szinuszának és a félösszeg koszinuszának kétszeresével.
Két szög koszinuszának összege egyenlő e szögek feleösszegének koszinuszának és fele-különbségének koszinuszának kétszeresével.
Két szög koszinuszainak különbsége egyenlő e szögek félösszegének szinuszának és félkülönbségének koszinuszának a szorzatával, negatív előjellel.
A szinuszok és koszinuszok összegének és különbségének képletei származtatása
Két szög szinuszának és koszinuszának összegének és különbségének képleteinek származtatásához összeadási képleteket kell használni. Az alábbiakban bemutatjuk őket
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β cos ( α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Magukat a szögeket is félösszegek és félkülönbségek összegeként ábrázoljuk.
α \u003d α + β 2 + α - β 2 \u003d α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β \u003d α + β 2 - α - β 2 \u003d α - β 2 \u003d
Közvetlenül folytatjuk a sin és cos összeg- és különbségképleteinek levezetését.
A szinuszösszeg képletének levezetése
A sin α + sin β összegben α-t és β-t a fenti szögekre vonatkozó kifejezésekkel helyettesítjük. Kap
sin α + sin β = sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2
Most alkalmazzuk az összeadási képletet az első kifejezésre, és a szögkülönbségek szinuszképletét a másodikra (lásd a fenti képleteket)
sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2
sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + 2 cos α - β 2
A többi képlet levezetésének lépései hasonlóak.
A szinuszok különbségének képletének levezetése
sin α - sin β = sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α 2 cos α + β 2
A koszinuszösszeg képletének levezetése
cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - cos β α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos β 2 cos α - β 2
A koszinusz különbség képlet levezetése
cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - cos β α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + α 2 sin α - β 2
Példák gyakorlati problémák megoldására
Először is ellenőrizzük az egyik képletet úgy, hogy bizonyos szögértékeket helyettesítünk bele. Legyen α = π 2, β = π 6. Számítsuk ki e szögek szinuszainak összegét! Először is használjuk az alapértékek táblázatát trigonometrikus függvények, majd alkalmazza a szinuszösszeg képletét.
Példa 1. Két szög szinuszösszegének képletének ellenőrzése
α \u003d π 2, β \u003d π 6 sin π 2 + sin π 6 \u003d 1 + 1 2 \u003d 3 2 sin π 2 + sin π 6 \u003d 2 sin π π 2 + co π 2 - 2 6 2 \u003d 2 sin π 3 cos π 6 \u003d 2 3 2 3 2 \u003d 3 2
Tekintsük most azt az esetet, amikor a szögek értéke eltér a táblázatban bemutatott alapértékektől. Legyen α = 165°, β = 75°. Számítsuk ki e szögek szinuszai közötti különbség értékét.
2. példa A szinuszkülönbség képlet alkalmazása
α = 165 ° , β = 75 ° sin α - sin β = sin 165 ° - sin 75 ° sin 165 - sin 75 = 2 sin 165 ° - sin 75 ° 2 cos 165 ° + sin 75 ° 2 = = 2 sin 45 ° cos 120 ° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2
A szinuszok és koszinuszok összegének és különbségének képleteivel az összegből vagy a különbségből a trigonometrikus függvények szorzatára lehet lépni. Ezeket a képleteket gyakran az összegről a szorzatra való átmenet képleteinek nevezik. A szinuszok és koszinuszok összegének és különbségének képleteit széles körben használják a megoldásban trigonometrikus egyenletekés trigonometrikus kifejezések konvertálásakor.
Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt
Nem foglak meggyőzni, hogy ne írj csalólapot. Ír! Beleértve a trigonometria csalólapjait. Később azt tervezem, hogy elmagyarázom, miért van szükség a csalólapokra, és hogyan hasznosak a csalólapok. És itt - információ arról, hogyan ne tanítson, de emlékezzen néhányra trigonometrikus képletek. Tehát - trigonometria csalólap nélkül!A memorizáláshoz asszociációkat használunk.
1. Összeadási képletek:
a koszinusz mindig "párban jár": koszinusz-koszinusz, szinusz-szinusz.
És még valami: a koszinusz „nem megfelelő”. „Minden nincs rendben”, ezért a „-” jeleket „+”-ra cserélik, és fordítva.
Szinuszok - "mix": szinusz-koszinusz, koszinusz-szinusz.
2. Összeg és különbség képletek:
a koszinuszok mindig „párban mennek”. Két koszinusz - "zsemle" hozzáadása után egy koszinuszpárt kapunk - "koloboks". És levonva biztosan nem kapunk kolobokokat. Kapunk pár szinust. Még mindig egy mínusz előtt.
Szinuszok - "mix" :
3. Képletek egy szorzat összeggé és különbözetté alakításához.
Mikor kapunk koszinuszpárt? A koszinuszok összeadásakor. Ezért
Mikor kapunk szinuszpárt? A koszinuszok kivonásakor. Innen:
A "keverést" szinuszok összeadásával és kivonásával is kapjuk. Melyik a szórakoztatóbb: összeadás vagy kivonás? Így van, hajtsd össze. És a képlethez vegye ki a következőt:
Az első és a harmadik képletben zárójelben - az összeg. A feltételek helyeinek átrendezésétől az összeg nem változik. A sorrend csak a második képletnél fontos. De hogy ne tévedjünk össze, az emlékezés megkönnyítése érdekében mindhárom képletben az első zárójelben a különbséget vesszük
másodszor pedig az összeg
A zsebben lévő kiságy lepedő nyugalmat ad: ha elfelejti a tápszert, leírhatja. És önbizalmat adnak: ha nem használja a csalólapot, a képletek könnyen megjegyezhetők.
A fő trigonometrikus függvények - szinusz, koszinusz, érintő és kotangens - közötti arányok megadva. trigonometrikus képletek. És mivel a trigonometrikus függvények között elég sok kapcsolat van, ez is megmagyarázza a trigonometrikus képletek bőségét. Egyes képletek összekapcsolják az azonos szög trigonometrikus függvényeit, mások - a többszörös szög függvényei, mások - lehetővé teszik a fok csökkentését, a negyedik - az összes függvény kifejezését a félszög érintőjén keresztül stb.
Ebben a cikkben sorra felsoroljuk az összes alapvető trigonometrikus képletet, amelyek elegendőek a trigonometriai feladatok túlnyomó többségének megoldásához. A könnyebb memorizálás és használat érdekében céljuk szerint csoportosítjuk, és táblázatokba foglaljuk őket.
Oldalnavigáció.
Alapvető trigonometrikus azonosságok
Fő trigonometrikus azonosságok állítsa be az összefüggést egy szög szinusza, koszinusza, érintője és kotangense között. Következnek a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definíciójából, valamint az egységkör fogalmából. Lehetővé teszik egy trigonometrikus függvény kifejezését bármely másikon keresztül.
Ezen trigonometriai képletek részletes leírását, származtatásukat és alkalmazási példáit a cikkben találja.
Öntött képletek
Öntött képletek a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens tulajdonságaiból következnek, vagyis tükrözik a trigonometrikus függvények periodicitásának tulajdonságát, a szimmetria tulajdonságát, valamint az adott szöggel való eltolás tulajdonságát. Ezek a trigonometrikus képletek lehetővé teszik, hogy a tetszőleges szögekkel történő munkavégzésről a nulla és 90 fok közötti szögekkel történő munkavégzésre váltson.
E képletek indoklása, mnemonikus szabály memorizálásuk és alkalmazásuk példái a cikkben tanulmányozhatók.
Összeadási képletek
Trigonometrikus összeadási képletek mutasd meg, hogyan fejeződnek ki két szög összegének vagy különbségének trigonometrikus függvényei e szögek trigonometrikus függvényei. Ezek a képletek szolgálnak alapul a következő trigonometrikus képletek levezetéséhez.
Képletek dupla, hármas stb. szög
Képletek dupla, hármas stb. szög (ezeket többszörös szögképleteknek is nevezik) megmutatják, hogy a dupla, tripla stb. trigonometrikus függvényei hogyan működnek. a szögeket () egyetlen szög trigonometrikus függvényében fejezzük ki. Levezetésük összeadási képleteken alapul.
A részletesebb információkat a dupla, tripla stb. cikkre vonatkozó képletek gyűjtik össze. szög .
Félszög képletek
Félszög képletek mutasd meg, hogyan fejeződnek ki egy félszög trigonometrikus függvényei egy egész szög koszinuszában. Ezek a trigonometrikus képletek a kettős szög képletekből következnek.
Következtetésük és alkalmazási példáik a cikkben találhatók.
Redukciós képletek
Trigonometrikus képletek a csökkenő fokokhozÚgy tervezték, hogy megkönnyítsék az átmenetet a trigonometrikus függvények természetes hatványairól a szinuszokra és koszinuszokra elsőfokú, de több szögben. Más szóval, lehetővé teszik a trigonometrikus függvények hatványainak csökkentését az elsőre.
Képletek a trigonometrikus függvények összegére és különbségére
A fő cél trigonometrikus függvények összeg- és különbségképletei a függvények szorzatára való átállásból áll, ami nagyon hasznos a trigonometrikus kifejezések egyszerűsítésekor. Ezeket a képleteket széles körben használják trigonometrikus egyenletek megoldásában is, mivel lehetővé teszik a szinuszok és koszinuszok összegének és különbségének faktorálását.
Képletek szinuszok, koszinuszok és szinuszok koszinuszonkénti szorzatára
A trigonometrikus függvények szorzatáról az összegre vagy különbségre való átmenet a szinuszok, koszinuszok és szinuszenkénti szorzat képletein keresztül történik.
Okos diákok szerzői joga
Minden jog fenntartva.
Szerzői jogi törvény védi. A www.webhely egyetlen része sem, beleértve a belső anyagokat és a külső megjelenést, semmilyen formában nem reprodukálható vagy felhasználható a szerzői jog tulajdonosának előzetes írásos engedélye nélkül.
